Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною
Розглядається використання теорiї змащування й методу збурень для розв’язання задачi про рух кровi у дуже вузьких капiлярах. Еритроцит i плазма кровi моделюються тривiсним елiпсоїдом та ньютонiвською в’язкою рiдиною вiдповiдно. Результати порiвнюються з результатами iнших авторiв....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85394 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною / В.А. Калiон, Є.Ю. Таран, О.М. Дiдкiвська // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 65–70. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85394 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-853942015-08-02T03:02:00Z Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною Каліон, В.А. Таран, Є.Ю. Дідківська, О.М. Фізика Розглядається використання теорiї змащування й методу збурень для розв’язання задачi про рух кровi у дуже вузьких капiлярах. Еритроцит i плазма кровi моделюються тривiсним елiпсоїдом та ньютонiвською в’язкою рiдиною вiдповiдно. Результати порiвнюються з результатами iнших авторiв. Рассматривается использование теории смазки и метода возмущений для решения задачи о движении крови в очень узких капиллярах. Эритроцит и плазма крови моделируются трехосным эллипсоидом и ньютоновской вязкой жидкостью соответственно. Результаты сравниваются с результатами других авторов. Applications of lubrication theory and a perturbation method to the problems of blood flow in very narrow capillaries are examined. The erythrocyte and plasma of blood are modeled with the threeaxial ellipsoid and with a Newtonian viscous fluid, respectively. The results are compared with results of other authors. 2013 Article Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною / В.А. Калiон, Є.Ю. Таран, О.М. Дiдкiвська // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 65–70. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85394 532.5 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Фізика Фізика |
| spellingShingle |
Фізика Фізика Каліон, В.А. Таран, Є.Ю. Дідківська, О.М. Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною Доповіді НАН України |
| description |
Розглядається використання теорiї змащування й методу збурень для розв’язання задачi про рух кровi у дуже вузьких капiлярах. Еритроцит i плазма кровi моделюються
тривiсним елiпсоїдом та ньютонiвською в’язкою рiдиною вiдповiдно. Результати порiвнюються з результатами iнших авторiв. |
| format |
Article |
| author |
Каліон, В.А. Таран, Є.Ю. Дідківська, О.М. |
| author_facet |
Каліон, В.А. Таран, Є.Ю. Дідківська, О.М. |
| author_sort |
Каліон, В.А. |
| title |
Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною |
| title_short |
Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною |
| title_full |
Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною |
| title_fullStr |
Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною |
| title_full_unstemmed |
Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною |
| title_sort |
математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Фізика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85394 |
| citation_txt |
Математичне моделювання руху тривісного еліпсоїда в капілярі, що заповнений в'язкою рідиною / В.А. Калiон, Є.Ю. Таран, О.М. Дiдкiвська // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 65–70. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kalíonva matematičnemodelûvannâruhutrivísnogoelípsoídavkapílâríŝozapovnenijvâzkoûrídinoû AT taranêû matematičnemodelûvannâruhutrivísnogoelípsoídavkapílâríŝozapovnenijvâzkoûrídinoû AT dídkívsʹkaom matematičnemodelûvannâruhutrivísnogoelípsoídavkapílâríŝozapovnenijvâzkoûrídinoû |
| first_indexed |
2025-07-06T12:36:30Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:36:30Z |
| _version_ |
1836901090219524096 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2013
ФIЗИКА
УДК 532.5
В.А. Калiон, Є. Ю. Таран, О. М. Дiдкiвська
Математичне моделювання руху тривiсного елiпсоїда
в капiлярi, що заповнений в’язкою рiдиною
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. I. Нiкiшовим)
Розглядається використання теорiї змащування й методу збурень для розв’язання за-
дачi про рух кровi у дуже вузьких капiлярах. Еритроцит i плазма кровi моделюються
тривiсним елiпсоїдом та ньютонiвською в’язкою рiдиною вiдповiдно. Результати по-
рiвнюються з результатами iнших авторiв.
Експериментальнi дослiдження процесiв поширення поживних речовин в органiзмi людини
зустрiчаються з iстотними труднощами, що обумовленi малими розмiрами дослiджуваних
об’єктiв, похибками вимiрiв i, що особливо неприємно, неможливiстю вимiряти безпосеред-
ньо деякi параметри, як, наприклад, тиск плазми мiж еритроцитом та стiнкою капiляра,
натяг мембрани еритроцита при його перемiщеннi по дрiбних судинах тощо. Застосува-
ння математичного моделювання й обчислювальних засобiв при дослiдженнi поширення
речовин (особливо кисню) в органiзмi дозволило подолати цi труднощi й знайти ефективнi
пiдходи до розв’язання проблеми транспорту речовин в органiзмi людини. У зв’язку з обме-
женiстю можливостей комп’ютерiв важливим є питання оптимiзацiї розв’язання подiбних
математичних моделей.
До цього часу при моделюваннi руху еритроцитiв у вузьких капiлярах усi автори вико-
ристовують осесиметричнi моделi [1, 3–5]. Використання осесиметричної моделi як моделi
еритроциту пов’язано з роботою Дж.М. Фiтц-Джеральда [3], який вперше побудував ма-
тематичну модель i поставив задачу про усталений рух тривiсного елiпсоїда у вузькому
цилiндричному капiлярi. В роботi [3], зокрема, було показано, що з плином часу неосеси-
метрична форма еритроцита переходить в осесиметричну. В той же час на всiх вiдомих
мiкрофотографiях [2] видно, що бiльшiсть еритроцитiв у капiлярах має суто неосесимет-
ричну форму.
Проведенi в роботi дослiдження дозволяють оцiнити внесок “осесиметричностi” у витрат-
нi характеристики течiї кровi у вузьких капiлярах та пояснити невiдповiднiсть математич-
ної моделi Фiтц-Джеральда й картини руху реальних еритроцитiв.
© В. А. Калiон, Є. Ю. Таран, О.М. Дiдкiвська, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 65
Метод дослiдження. Вивчається течiя рiдини у щiлинi шириною H(ϕ,Z) = R0 −
− RE(ϕ,Z) ≪ R0, яка утворена стiнкою капiляра та елiпсоїдом з осями 2A, 2B, 2C, що
моделює еритроцит. За припущень теорiї мастильного шару течiя описується системою рiв-
нянь Рейнольдса, яка в цилiндричнiй системi координат (R, ϕ, Z) має вигляд
∂P
∂R
= 0,
∂P
∂ϕ
= µ
∂
∂R
(
R
∂Vϕ
∂R
)
,
∂P
∂Z
=
µ
R
∂
∂R
(
R
∂VZ
∂R
)
,
∂(RVR)
∂R
+
∂Vϕ
∂ϕ
+
∂(RVZ)
∂Z
= 0.
(1)
Тут R0 — радiус капiляра; RE(ϕ,Z) — форма поверхнi еритроцита; VR, Vϕ, VZ — ком-
поненти швидкостi течiї; P — тиск; µ — в’язкiсть плазми кровi.
Крайовi умови для рiвнянь (1) у системi вiдлiку, що пов’язана з центром елiпсоїда,
записуються у виглядi:
R = R0, VR = 0, Vϕ = 0, VZ = −WE,
R = RE(ϕ,Z), VR = 0, Vϕ = 0, VZ = 0,
(2)
де WE — постiйна швидкiсть руху елiпсоїда в нерухомiй системi координат.
При розв’язаннi крайової задачi (1), (2) використовуються безрозмiрнi змiннi
r =
R
R0
, z =
Z
R0
, vr =
VR
V∗
, vϕ =
Vϕ
V∗
, vz =
VZ
V∗
,
p =
PR0
µV∗
, rE =
RE
R0
, wE =
WE
V∗
;
тут V∗ поки що не визначена. Рiвняння (1) та крайовi умови (2) при цьому стають
∂p
∂r
= 0,
∂p
∂ϕ
=
∂
∂r
(
r
∂vϕ
∂r
)
,
∂p
∂z
=
1
r
∂
∂r
(
r
∂vz
∂r
)
,
∂(rvr)
∂r
+
∂vϕ
∂ϕ
+
∂(rvz)
∂z
= 0, (3)
r = 1, vr = 0, vϕ = 0, vz = −wE; r = rE(ϕ, z), vr = 0, vϕ = 0, vz = 0. (4)
Подвiйне iнтегрування другого й третього рiвнянь системи (3) за змiнною r, з ураху-
ванням (4), дозволяє отримати явнi залежностi мiж компонентами швидкостi vϕ, vz (vr
визначається iз рiвняння нерозривностi) й градiєнта тиску p. Тиск, в свою чергу, може
бути визначений iз крайової задачi
∂
∂ϕ
[
F (η1)
∂p
∂ϕ
]
+
1
8
∂
∂z
[
F (η2)
∂p
∂z
]
=
1
2
∂
∂z
[G(η2)], 0 < ϕ <
π
2
, −c < z < c, (5)
z = −c, p = 0; z = c, p const = −∆p; ϕ = 0,
∂p
∂ϕ
= 0; ϕ =
π
2
,
∂p
∂ϕ
= 0, (6)
де
F (η) = −
[
1− η2
2
+
(1− η)2
ln η
]
, G(η) =
1− η
ln η
, (7)
η2 =
η20
1− ε sin2 ϕ
, η20 = a2
(
1−
z2
c2
)
, ε = 1−
a2
b2
, η1 =
√
η2, η10 =
√
η20. (8)
Тут a = A/R0, b = B/R0, c = C/R0.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Однак вирази для компонент швидкостi, рiвняння (5) й крайовi умови (6) мiстять до-
датковi невiдомi: швидкiсть елiпсоїда wE й рiзницю тискiв на кiнцях елiпсоїда ∆p. Для їх
визначення використанi двi додатковi iнтегральнi умови. Перша є наслiдком умови сталостi
швидкостi руху тiла в капiлярi, що вимагає, в свою чергу, щоб проекцiя на вiсь z головного
вектора гiдродинамiчних сил, якi дiють на тiло, була нульовою. Друга — умови незмiнностi
витрати рiдини через довiльний перерiз капiляра.
Хоча остання умова вносить нову невiдому — витрату рiдини через довiльний перерiз
капiляра wm, вибiр масштаба швидкостi V∗ =WE дозволяє зафiксувати величину швидкостi
тiла (wE = 1) й не збiльшувати кiлькiсть невiдомих.
З урахуванням (7), (8) iнтегральнi умови набувають вигляду
2
π/2
∫
0
c
∫
−c
{
∂p
∂z
[
G(η2) + (η2 +G(η2))
1
η2
(
∂rE
∂ϕ
)2]
+
4
ln η2
[
1 +
1
η2
(
∂rE
∂ϕ
)2]}
dzdϕ = 0, (9)
wm =
1
2π
π
2
∫
0
∂p
∂z
F (η2) dϕ−
2
π
π
2
∫
0
G(η2) dϕ. (10)
де wm — безрозмiрна витрата рiдини в довiльному перерiзi капiляра.
Рiвняння (5), спiввiдношення (7), (8) та iнтегральнi умови (9), (10) мiстять малий па-
раметр ε. Припускаючи a 6 b, маємо 0 6 ε < 1. Розглядаючи випадок ε ≪ 1, розв’язок
крайової задачi (5), (6) можна отримати методом збурень.
Оскiльки розвинення в ряд за малим параметром ε функцiй, що входять у рiвняння (5)
пiд знаком похiдної, можна подати як
F (ηk) = F (ηk0) +
ε
2
sin2 ϕηk0F
′(ηk0) +
ε2
8
sin4 ϕ[η2k0F
′′(ηk0) + 3ηk0F
′(ηk0)] + · · · , (11)
G(η2) = G(η20) + ε sin2 ϕη20G
′(η20) +
ε2
2
sin4 ϕ[η220G
′′(η20) + 2η20G
′(η20)] + · · · , (12)
то розв’язок крайової задачi (5), (6) слiд шукати у виглядi
p(ϕ, z) = ψ0(z)+ε[ψ1(z) sin
2 ϕ+g1(z)]+
ε2
2
[ψ2(z) sin
4 ϕ+g2(z) sin
2 ϕ+k2(z)]+· · · . (13)
У розвиненнi (11) k = 1, 2. Слiд вiдзначити, що крайовi умови при ϕ = 0 й ϕ = π/2 при
цьому виконуються автоматично.
Пiдставляючи (11)–(13) у рiвняння (5) i крайовi умови (6) i збираючи члени з однакови-
ми степенями ε й sin2 ϕ, отримаємо низку крайових задач для визначення функцiй ψ0(z),
ψ1(z), g1(z), ψ2(z), g2(z), k2(z), . . . . Крайовi умови в цих задачах включають невiдомi iнте-
гральнi параметри — витрату рiдини в довiльному перерiзi капiляра wm та рiзницю тискiв
∆p на кiнцях елiпсоїда. Iз iнтегральних умов (9), (10) цi iнтегральнi параметри з точнiстю
до малих другого порядку можуть бути наведенi у виглядi
wm = wm0 + εwm1, ∆p = ∆p0 + ε∆p1. (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 67
У нульовому наближеннi, що вiдповiдає елiпсоїду обертання, маємо
wm0 = −
c
∫
−c
[
G2(η20)
F (η20)
+
1
ln η20
]
dz
c
∫
−c
G(η20)
F (η20)
dz
, ∆p0 = −4
[
wm0
c
∫
−c
dz
F (η20)
+
c
∫
−c
G(η20)
F (η20)
dz
]
. (15)
Як i у випадку нульового наближення, визначення iнтегральних характеристик у пер-
шому наближеннi зводиться до квадратур.
Знаходження iнтегральних параметрiв wm та ∆p дозволяє визначити в явному вигля-
дi крайовi умови для рiвнянь, iз яких знаходяться ψ0(z), ψ1(z), g1(z), i розв’язати для
цих функцiй вiдповiднi крайовi задачi. Для розв’язання цих задач використовувався метод
стрiльби, за процедурою якого на вiдрiзку −c 6 z 6 c були розв’язанi такi задачi Кошi:
dψ0
dz
= 4
wm0 +G(η20)
F (η20)
,
dψ1
dz
=
1
F (η20)
[
u− F1(η20)
dψ0
dz
+ 4G1(η20)
]
,
dg1
dz
=
8wm1 − F1(η20)
dψ0
dz
+ 4G1(η20)
2F (η20)
−
1
2
dψ1
dz
,
du
dz
= 32F (η10)ψ1,
z = −c, ψ0 = 0, ψ1 = 0, g1 = 0, u = u0,
(16)
де u0 — параметр стрiльби; F1(η) = ηF ′(η), G1(η) = ηG′(η).
Числовi результати та їх аналiз. Результати числового експерименту наведенi
в табл. 1 та на рис. 1, 2. В табл. 1 поданi деякi iнтегральнi характеристики течiї, що ви-
значаються за формулами (14): безрозмiрнi рiзниця тискiв ∆p, ефективна в’язкiсть η =
= ∆p/(16cwm) й витрата рiдини wm в околi еритроцита, що рухається в цилiндричному
капiлярi пiд дiєю сталої рiзницi тискiв, коли моделлю еритроцита є тривiсний елiпсоїд
abc = (0,9; 0,99; 1,0), а також у випадку елiпсоїдiв обертання abc = (0,9; 0,9; 1,0), abc =
= (0,99; 0,99; 1,0) та для “ефективного” елiпсоїда обертання abc = (0,944; 0,944; 1,0). “Ефек-
тивний” елiпсоїд — це осесиметричний елiпсоїд, який має такий самий перерiз у площи-
нi z = 0, що й тривiсний елiпсоїд abc = (0,9; 0,99; 1,0).
Привертає увагу менша величина безрозмiрних рiзницi тискiв й ефективної в’язкостi
при русi тривiсного елiпсоїда, порiвняно з їх величинами при русi елiпсоїда обертання, що
має той самий перерiз. При тому безрозмiрнi витрати рiдини для них вiдрiзняються менше,
нiж на 1%.
Таблиця 1. Числовi значення безрозмiрних рiзницi тискiв, ефективної в’язкостi й витрати рiдини в околi
еритроцита
Напiвосi елiпса
Безрозмiрна
рiзниця тискiв
Ефективна
в’язкiсть
Витрата
рiдини
a b c ∆p η wm
0,9 0,99 1,00 38,4623 2,6043 0,92310
0,99 0,99 1,00 142,9727 9,0546 0,98688
0,944 0,944 1,00 46,8131 3,1430 0,93088
0,9 0,9 1,00 30,9246 2,1895 0,88276
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Рис. 1. Залежнiсть приведеного тиску (p+∆p)/∆p вiд приведеної поздовжньої координати z/c на вiдрiзку
[−1, 1] й кута ϕ на промiжку [0, 90◦] для тривiсного елiпсоїда
Рис. 2. Залежностi приведеного тиску вiд поздовжньої координати для тривiсного елiпсоїда при рiзних
значеннях кута ϕ, а також для рiзних елiпсоїдiв обертання. Кружечками й трикутниками позначенi данi
iнших авторiв
Тому є важливим поряд iз iнтегральними характеристиками течiї розглянути її локальнi
характеристики — в першу чергу профiль тиску у мастильному шарi мiж еритроцитом
i стiнкою капiляра.
На рис. 1 наведено графiк залежностi приведеного тиску (p + ∆p)/∆p вiд приведеної
поздовжньої координати z/c на вiдрiзку [−1, 1] й кута ϕ на промiжку [0, 90◦] для тривiсного
елiпсоїда abc = (0,9; 0,99; 1,0).
Рис. 2 також демонструє залежностi приведеного тиску (p + ∆p)/∆p вiд приведеної
поздовжньої координати z/c на вiдрiзку [−1, 1] при фiксованих значеннях кута ϕ [0, 45◦, 90◦]
для того ж тривiсного елiпсоїда. На рис. 2 також наведенi значення тиску для елiпсоїдiв
обертання abc = (0,9; 0,9; 1,0), abc = (0,99; 0,99; 1,0) та abc = (0,944; 0,944; 1,0). Останнiй
елiпсоїд обертання має той же самий перерiз в площинi z = 0, що й тривiсний елiпсоїд
abc = (0,9; 0,99; 1,0).
Крiм того, на рис. 2 подано результати розрахункiв приведеного тиску для елiпсоїда
обертання abc = (0,99; 0,99; 1,0) з статей Рiчарда Скейлака [4, 5] (трикутники) та з ди-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 69
сертацiйної роботи В.А. Калiона [1] (кружечки). Звертає на себе увагу повний збiг усiх
результатiв.
З рис. 2 випливає, що максимальнi значення профiлю тиску при рiзних кутах ϕ для
тривiсного елiпсоїда значно меншi, нiж для елiпсоїда обертання, що вiдповiдає значенню
a = 0,9 (ϕ = 0) або a = 0,99 (ϕ = 90◦). Слiд зауважити, що профiль приведеного тиску для
елiпсоїда обертання при a = 0,944 (його площа перерiзу при z = 0 дорiвнює площi пере-
рiзу тривiсного елiпсоїда) майже збiгається з профiлем приведеного тиску для тривiсного
елiпсоїда при ϕ = 90◦ (a = 0,99).
Таким чином, результати розрахункiв за побудованою математичною моделлю руху кро-
вi у дуже вузьких капiлярах в нульовому наближеннi (осесиметричний елiпсоїд) повнiстю
збiгаються з результатами iнших авторiв [1, 4, 5]. Оцiнка профiлiв тиску й iнтегральних
характеристик для тривiсних й осесиметричних елiпсоїдiв дозволяє стверджувати, що не-
осесиметрична форма тiла при русi в дуже вузьких капiлярах є бiльш енергетично вигiдна.
А отже, проведене числове моделювання руху кровi у дуже вузьких капiлярах пiдтверджує
можливiсть руху неосесиметричних еритроцитiв у дуже вузьких капiлярах й ставить пiд
сумнiв висновки, зробленi в роботi Дж.М. Фiтц-Джеральда [3].
1. Калион В.А. Математические модели движения кровяных телец и их линейных агрегатов в капил-
лярах: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев: 1984. – 24 с.
2. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. – Москва: Мир. – 1981. – 658 с.
3. Фитц-Джеральд Дж.М. Механика движения эритроцитов в очень узких капиллярах // Механика. –
1971. – No 4. – С. 90–118.
4. Tozeren H., Skalak R. Flow of elastic compressible spheres in tubes // J. Fluid Mech. – 1979. – 95. –
No 6. – P. 743–760.
5. Zarda P.R., Chien S., Skalak R. Elastic deformations of red blood cells // J. Biomechanics. – 1977. – 10. –
No 2. – P. 211–221.
Надiйшло до редакцiї 19.06.2012Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
В.А. Калион, Е.Ю. Таран, Е.Н. Дидковская
Математическое моделирование движения трехосного эллипсоида
в капилляре, заполненном вязкой жидкостью
Рассматривается использование теории смазки и метода возмущений для решения задачи
о движении крови в очень узких капиллярах. Эритроцит и плазма крови моделируются
трехосным эллипсоидом и ньютоновской вязкой жидкостью соответственно. Результаты
сравниваются с результатами других авторов.
V.A. Kalion, E.Yu. Taran, O.M. Didkivska
Mathematical modeling of the three-axial ellipsoid motion through
a capillary filled with a viscous liquid
Applications of lubrication theory and a perturbation method to the problems of blood flow in very
narrow capillaries are examined. The erythrocyte and plasma of blood are modeled with the three-
axial ellipsoid and with a Newtonian viscous fluid, respectively. The results are compared with
results of other authors.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
|