Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування
Розглянуто випадкову еволюцiю з перемикаючим процесом типу Орнштейна–Уленбека. Знайдено потенцiальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека, що дозволяє визначити генератор граничної випадкової еволюцї на зростаючому часовому iнтервалi. Описано можливi застосування та властивостi таких процесiв....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85593 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування / В.С. Королюк, І.В. Самойленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 21–27. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85593 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-855932015-08-09T03:02:30Z Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування Королюк, В.С. Самойленко, І.В. Математика Розглянуто випадкову еволюцiю з перемикаючим процесом типу Орнштейна–Уленбека. Знайдено потенцiальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека, що дозволяє визначити генератор граничної випадкової еволюцї на зростаючому часовому iнтервалi. Описано можливi застосування та властивостi таких процесiв. Рассмотрена случайная эволюция с переключающим процессом типа Орнштейна–Уленбека. Найден потенциальный оператор процесса Орнштейна–Уленбека, что позволяет определить генератор предельной случайной эволюции на возрастающем временном интервале. Описаны возможные приложения и свойства таких процессов. We study the random evolution with a switching process of the Ornstein–Uhlenbeck type. Potential operator of the Ornstein–Uhlenbeck process is found, which allows us find the generator of limit random evolution on an increasing time interval. We also discuss possible applications and properties of such processes. 2013 Article Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування / В.С. Королюк, І.В. Самойленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 21–27. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85593 519.24 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Королюк, В.С. Самойленко, І.В. Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто випадкову еволюцiю з перемикаючим процесом типу Орнштейна–Уленбека.
Знайдено потенцiальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека, що дозволяє визначити генератор граничної випадкової еволюцї на зростаючому часовому iнтервалi. Описано можливi застосування та властивостi таких процесiв. |
| format |
Article |
| author |
Королюк, В.С. Самойленко, І.В. |
| author_facet |
Королюк, В.С. Самойленко, І.В. |
| author_sort |
Королюк, В.С. |
| title |
Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування |
| title_short |
Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування |
| title_full |
Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування |
| title_fullStr |
Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування |
| title_full_unstemmed |
Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування |
| title_sort |
потенціальний оператор процесу орнштейна–уленбека та його застосування |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85593 |
| citation_txt |
Потенціальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека та його застосування / В.С. Королюк, І.В. Самойленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 21–27. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT korolûkvs potencíalʹnijoperatorprocesuornštejnaulenbekatajogozastosuvannâ AT samojlenkoív potencíalʹnijoperatorprocesuornštejnaulenbekatajogozastosuvannâ |
| first_indexed |
2025-07-06T12:52:06Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:52:06Z |
| _version_ |
1836902072567463936 |
| fulltext |
УДК 519.24
Академiк НАН України В.С. Королюк, I. В. Самойленко
Потенцiальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека
та його застосування
Розглянуто випадкову еволюцiю з перемикаючим процесом типу Орнштейна–Уленбека.
Знайдено потенцiальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека, що дозволяє визначи-
ти генератор граничної випадкової еволюцї на зростаючому часовому iнтервалi. Описано
можливi застосування та властивостi таких процесiв.
Вiдомо, що гранична поведiнка стохастичних систем з перемиканням на зростаючих iн-
тервалах часу характеризується усередненням граничного процесу за стацiонарною мiрою
перемикаючого процесу [1]. Таким перемикаючим процесом можуть бути ергодичнi мар-
ковськi та напiвмарковськi процеси. Зауважимо, що при вiдшуканнi генератора граничного
процесу важливу роль вiдiграє потенцiальний оператор перемикаючого процесу.
З точки зору можливих застосувань одним з найцiкавiших варiантiв перемикаючого
процесу є процес типу Орнштейна–Уленбека, а отже, постає задача про визначення вiдпо-
вiдного потенцiального оператора. Останнiй оператор є, очевидно, iнтегральним, оскiльки
вiн обернений до диференцiального генератора процесу Орнштейна–Уленбека. Метою цi-
єї роботи є вiдшукання простого явного вигляду ядра потенцiального оператора процесу
Орнштейна–Уленбека та обговорення можливих застосувань таких процесiв.
Цiкавим результатом роботи є той факт, що наявнiсть перемикання у виглядi процесу
Орнштейна–Уленбека призводить до збiльшення швидкостi випадкової еволюцї на велико-
му часовому промiжку. Стосовно застосувань (див. п. 2 та приклади 1, 2) це може означати,
зокрема, що велика волатильнiсь вiдсоткової ставки по кредитах прискорює як швидкiсть
зростання, так i швидкiсть падiня виробництва. Але ж загальновiдомо, що пiд час перiодiв
економiчного зростання коливання на бiржi, як i змiна вiдсоткових ставок, незначнi, нато-
мiсть вони iстотно збiльшуються саме пiд час економiчних спадiв. Звiдси можна зробити
висновок, що поведiнка банкiв та бiржових гравцiв не прискорює економiчне зростання, але
значно збiльшує швидкiсть падiння економiки.
Крiм того, перемикаючий процес можна трактувати як керуючий процес, завдяки якому
еволюцiя прямує до свого рiвноважного значення, оскiльки наявнiсть перемикаючого про-
цесу призводить до “притягання” поточного значення випадкової еволюцiї до її середнього
значення.
Роботу побудовано таким чином: у п. 1 подано кiлька загальновiдомих означень, якi
будуть використанi нами, та наведено вiдповiдний приклад; у п. 2 описано можливi за-
стосування випадкових еволюцiй з перемикаючим процесом типу Орнштейна–Уленбека;
у п. 3 доведено теорему про явний вигляд ядра потенцiального оператора для процесу
Орнштейна–Уленбека.
1. Означення потенцiального оператора та процесу Орнштейна–Уленбека. По-
значимо через B банахiв простiр дiйснозначних вимiрних функцiй з sup-нормою ‖ · ‖, яка
означена на просторi станiв E.
© В. С. Королюк, I. В. Самойленко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 21
Нехай Q : B → B — лiнiйний оператор на B. Введемо такi пiдпростори:
DQ := {ϕ : ϕ ∈ B, Qϕ ∈ B} — область визначення Q,
RQ := {ψ : ψ = Qϕ,ϕ ∈ B} — пiдпростiр значень Q,
NQ := {ϕ : Qϕ = 0, ϕ ∈ B} — пiдпростiр нулiв Q.
Оператор Q обмежений, якщо iснує константа C > 0 така, що ‖Qϕ‖ < C‖ϕ‖, ϕ ∈ DQ.
Обмежений лiнiйний оператор Q назвемо зведено-оборотним (детальнiше див. [1, 2]),
якщо банахiв простiр B можна зобразити як пряму суму двох пiдпросторiв
B = NQ ⊕RQ,
де нуль-пiдпростiр має нетривiальну розмiрнiсть
dimNQ > 1.
Останнє подання визначає проектор на пiдпростiр NQ:
Πϕ :=
{
ϕ, ϕ ∈ NQ,
0, ϕ ∈ RQ.
Натомiсть оператор I − Π є проектором на пiдпростiр RQ
(I −Π)ϕ :=
{
0, ϕ ∈ NQ,
ϕ, ϕ ∈ RQ.
Потенцiальним оператором зведено-оборотного оператора Q називається оператор [1, 2]
R0 := Π− (Q+Π)−1 = (Π−Q)−1 −Π.
Потенцiальний оператор має такi властивостi:
QR0 = R0Q = Π− I, (1)
ΠR0 = R0Π = 0. (2)
Процес Орнштейна–Уленбека x(t) ∈ R задається розв’язком стохастичного рiвняння
(означено в роботi [3], детально див. [4]):
dx(t) = −cx(t)dt+ σdw(t), (3)
де c, σ > 0, w(t) — стандартний вiнерiвський процес.
У просторi двiчi диференцiйовних функцiй процес Орнштейна–Уленбека задається ге-
нератором
Qϕ(x) =
σ2
2
ϕ′′(x)− cxϕ′(x). (4)
Позначимо C0(R) простiр неперервних функцiй виду ϕ + c, c = const, де ϕ дорiвнює 0
на нескiнченностi. Вiдомо [5], що напiвгрупа, задана процесом Орнштейна–Уленбека x(t)
на C0(R), є строго неперервною в нулi, а iнварiантна мiра процесу має вигляд
π(x) =
1√
2πσ0
e−x2/2σ2
0 , σ2
0
=
σ2
2c
.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
П р и к л ад 1 (детально див. [1]). Розглянемо випадкову еволюцiю uε(t), що задається рiвнянням
d
dt
uε(t) = Cε
(
uε(t), x
(
t
ε2
))
, u(0) = u ∈ R, ε→ 0(ε > 0),
тут x(t) — перемикаючий марковський або напiвмарковський процес, функцiя
Cε(u, x) = C(u, x) + ε−1C0(x),
де C(u, x) має сенс швидкостi еволюцiї, C0(x) завдяки нижченаведенiй умовi балансу породжує
флуктуацiї i, як наслiдок, дифузiю у граничному процесi.
За умови балансу
ΠC0(x) =
∫
R
π(dx)C0(x) = 0
граничний оператор
L̂ = ΠC(u, x)Π + ΠC0(x)R0C0(x)Π = Ĉ(u) +
1
2
B
визначає гауссiв процес ζ(t), t > 0, що задається генератором
L̂ϕ(u) = Ĉϕ′(u) +
1
2
Bϕ′′(u).
Очевидно, якщо перемикаючим процесом виступатиме процес Орнштейна–Уленбека, по-
стає питання про знаходження вiдповiдних операторiв Π та R0.
2. Деякi застосування. Процеси типу Орнштейна–Уленбека широко застосовуються
в рiзних галузях науки, зокрема у фiзицi, фiнансовiй математицi. Нас цiкавлять можливi
iнтерпретацiї коефiцiєнтiв c, σ у формулi (3). Очевидно, одним iз перших варiантiв засто-
сування рiвнянь, якi описують процеси типу Орнштейна–Уленбека, є модель броунiвського
руху, запропонована П. Ланжевеном [6]
mdv(t) = (Φ(x)− γv(t))dt + dw(t),
де v(t) — швидкiсть броунiвської частинки, m — її маса, Φ(x) — сила, що виникає при
внутрiшнiй та зовнiшнiй молекулярнiй взаємодiї, γ — коефiцiєнт в’язкого тертя, w(t) —
шумовий член, який виникає за рахунок неперервних зiткнень з молекулами рiдини.
Прикладом застосування процесiв типу Орнштейна–Уленбека у фiнансовiй математицi
є модель Васичека [7] еволюцiї вiдсоткової ставки, яка описується стохастичним рiвнянням
dr(t) = α(β − r(t))dt+ σdw(t),
де β — середнiй довгостроковий рiвень вiдсоткової ставки, α — параметр, що характеризує
швидкiсть повернення до середнього значення вiдсоткової ставки, σ — параметр волатиль-
ностi.
Розв’язок має вигляд
r(t) = r(0)e−αt + β(1− e−αt) + σe−αt
t∫
0
eαθdw(θ),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 23
другий момент
M(r(t))2 =
σ2
2α
(1− e−2αt).
Якщо ми розглянемо процес, який описує еволюцiю рiвня виробництва в залежностi
вiд капiталовкладень, то функцiя, яка вiдповiдатиме за швидкiсть зростання виробництва,
безумовно залежатиме вiд рiвня процентної ставки по кредитах, отже, ми приходимо до
рiвняння
d
dt
u(t) = C(u(t), r(t)), u(0) = u ∈ R.
Дослiдження довгострокової перспективи змiн рiвня виробництва змушує звернутись до
моделi, описаної в прикладi 1.
3. Ядро потенцiального оператора процесу Орнштейна–Уленбека. У банахо-
вому просторi L1(R,R, π), де R — борелiвська σ-алгебра на R, визначається проектор на
нуль-пiдпростiр оператора (4):
Πϕ(x) =
1√
2πσ0
∞∫
−∞
e−x2/2σ2
0ϕ(x) dx.
Справдi, мають мiсце такi спiввiдношення:
QΠϕ(x) = ΠQϕ(x) = 0.
Рiвнiсть QΠϕ(x) = 0 очевидна, оскiльки Πϕ(x) = const i не залежить вiд x, друга рiвнiсть
отримується iнтегруванням по частинах:
ΠQϕ(x) =
1√
2πσ0
[
σ2
2
e−x2/2σ2
0ϕ′(x)
∣∣∣∣
∞
−∞
+
σ2
2σ2
0
∞∫
−∞
xe−x2/2σ2
0ϕ′(x) dx −
− c
∞∫
−∞
xe−x2/2σ2
0ϕ′(x) dx
]
= 0.
Наша мета — за допомогою спiввiдношень (1), (2) знайти явний вигляд ядра потенцiального
оператора R0.
Потенцiальний оператор процесу Орнштейна–Уленбека розглядався в монографiї [2]
в досить складнiй формi:
R0ϕ(x) = − 2
σ2
x∫
0
eλy
2/σ2
∞∫
y
e−λu2/σ2
ϕ(u) dudy +
2c2
σ2
x∫
0
eλy
2/σ2
∞∫
y
e−λu2/σ2
dudy ×
×
∞∫
−∞
e−λu2/σ2
ϕ(u) du +
2c
σ2
∞∫
−∞
e−λx2/σ2
x∫
0
eλy
2/σ2
∞∫
y
e−λu2/σ2
ϕ(u) dudydx.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
В данiй роботi ми знаходимо ядро цього оператора в значно спрощеному виглядi. Основ-
ний результат сформулюємо у виглядi теореми.
Теорема. Потенцiальний опреатор генератора (4), що вiдповiдає процесу Орнштейна–
Уленбека (3), має вигляд
R0ϕ(x) =
∞∫
−∞
R0(x, y)ϕ(y) dy,
де ядро
R0(x, y) :=
2
σ2
x∧y∫
−∞
e
−
(y2−z
2)
2σ2
0 dz.
Доведення. Оскiльки потенцiальний оператор визначається спiввiдношеннями (1), (2),
для доведення достатньо взяти функцiю ϕ(x) ∈ RQ, тобто таку, яка задовольняє умову
балансу
Πϕ(x) =
1√
2πσ0
∞∫
−∞
e−x2/2σ2
0ϕ(x) dx = 0,
та показати, що для неї виконується умова (1).
Маємо
QR0ϕ(x) =
σ2
2
(R0ϕ(x))
′′ − cx(R0ϕ(x))
′.
Лема 1. Справджуються такi спiввiдношення:
(R0ϕ(x))
′ =
2
σ2
ex
2/2σ2
0
∞∫
x
e−y2/2σ2
0ϕ(y)dy,
(R0ϕ(x))
′′ =
2
σ2
(
x
σ2
0
ex
2/2σ2
0
∞∫
x
e−y2/2σ2
0ϕ(y)dy − ϕ(x)
)
.
Доведення. Легко перевiряється диференцiюванням.
Отже, маємо
QR0ϕ(x) =
x
σ2
0
ex
2/2σ2
0
∞∫
x
e−y2/2σ2
0ϕ(y) dy − ϕ(x) − cx
2
σ2
ex
2/2σ2
0
∞∫
x
e−y2/2σ2
0ϕ(y) dy =
= −ϕ(x) = (Π− I)ϕ(x).
Тепер розглянемо другу частину формули (1):
R0Qϕ(x) =
2
σ2
∞∫
−∞
x∧y∫
−∞
e
−
(y2−z
2)
2σ2
0 dzQϕ(y) dy =
=
2
σ2
( x∫
−∞
e−y2/2σ2
0
y∫
−∞
ez
2/2σ2
0dzQϕ(y) dy +
x∫
−∞
ez
2/2σ2
0dz
∞∫
x
e−y2/2σ2
0Qϕ(y) dy
)
. (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 25
Лема 2. Справджуються такi спiввiдношення:
x∫
−∞
e−y2/2σ2
0
y∫
−∞
ez
2/2σ2
0dzQϕ(y) dy =
σ2
2
ϕ′(x)e−x2/2σ2
0
x∫
−∞
ez
2/2σ2
0dz − σ2
2
ϕ(x),
x∫
−∞
ez
2/2σ2
0dz
∞∫
x
e−y2/2σ2
0Qϕ(y) dy = −σ
2
2
ϕ′(x)e−x2/2σ2
0
x∫
−∞
ez
2/2σ2
0dz.
Доведення. Перевiряється iнтегруванням по частинах iз урахуванням припущення,
що ϕ(x) ∈ C0(R).
Пiдставивши отриманi в лемi 2 спiввiдношення в (5), матимемо остаточно
R0Qϕ(x) = QR0ϕ(x) = −ϕ(x) = (Π− I)ϕ(x).
Теорему доведено.
П р и к л ад 2 . Розглянемо функцiю ϕ(x) = x, знайдемо спочатку значення R0ϕ(x). Зауважимо,
що ϕ(x) ∈ RQ, оскiльки
Πϕ(x) =
1√
2πσ0
∞∫
−∞
xe−x2/2σ2
0dx = 0.
Оскiльки для функцiї h(x) = −x/c та генератора (4) очевидно маємо Qh(x) = x, то з (1)
R0Qh(x) = R0x = −h(x) = 1
c
x.
Якщо в прикладi 1 функцiя C0(x) = ϕ(x) = x, то матимемо
B = 2ΠxR0x =
2
c
Πx2 =
2
c
1√
2πσ0
∞∫
−∞
x2e−x2/2σ2
0dx =
2
c
σ2
0
.
Це означає, що лiнiйна швидкiсть перемикання у функцiї, яка породжує флуктуацiї, призводить до
виникнення дифузiйної складової, яка реалiзується за допомогою параметра B.
Аналогiчно, якщо швидкiсть еволюцiї перемикається пропорцiйно квадратичнiй функцiї, тобто
C(u, x) = C(u)x2, то швидкiсть усередненого процесу дорiвнює
Ĉ = C(u)
1√
2πσ0
∞∫
−∞
x2e−x2/2σ2
0dx = C(u)σ2
0
.
Таким чином, наявнiсть перемикання у виглядi процесу Орнштейна–Уленбека призво-
дить до збiльшення швидкостi процесу на великому часовому промiжку пропорцiйно множ-
нику σ20 .
1. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – Hackensack, NJ: World Sci. Publ.,
2005. – 331 p.
2. Korolyuk V. S., Turbin A. F. Mathematical foundations of the state lumping of large systems. – Dordrecht:
Kluwer, 1993. – 278 p.
3. Uhlenbeck G. E., Ornstein L. S. On the theory of Brownian motion // Phys. Rev. – 1930. – 36. – P. 823–841.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
4. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и
математической статистике. – Киев: Наук. думка, 1978. – 582 с.
5. Gikhman I. I., Skorokhod A.V. The theory of stochastic processes II. – New York; Heidelberg: Springer,
1975. – 441 p.
6. Ланжевен П. О теории броуновского движения // Избр. тр. – Москва: Изд-во АН СССР, 1960. –
С. 338–341.
7. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // J. Fin. Econ. – 1977. – 5. – P. 177–188.
Надiйшло до редакцiї 11.09.2012Iнститут математики НАН України, Київ
Академик НАН Украины В.С. Королюк, И.В. Самойленко
Потенциальный оператор процесса Орнштейна–Уленбека и его
приложения
Рассмотрена случайная эволюция с переключающим процессом типа Орнштейна–Уленбека.
Найден потенциальный оператор процесса Орнштейна–Уленбека, что позволяет опреде-
лить генератор предельной случайной эволюции на возрастающем временном интервале.
Описаны возможные приложения и свойства таких процессов.
Academician of the NAS of Ukraine V. S. Koroliuk, I. V. Samoilenko
Potential operator of the Ornstein–Uhlenbeck process with applications
We study the random evolution with a switching process of the Ornstein–Uhlenbeck type. Potential
operator of the Ornstein–Uhlenbeck process is found, which allows us find the generator of li-
mit random evolution on an increasing time interval. We also discuss possible applications and
properties of such processes.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 27
|