Теорема Хейде на a-адических соленоидах
Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характеризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для a-адических соленоидов....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85630 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теорема Хейде на a-адических соленоидах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 14–18. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-85630 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-856302015-08-12T03:02:03Z Теорема Хейде на a-адических соленоидах Миронюк, М.В. Математика Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характеризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для a-адических соленоидов. Згiдно з теоремою Хейде, гауссiв розподiл на дiйснiй прямiй характеризується симетрiєю умовного розподiлу однiєї лiнiйної форми вiд незалежних випадкових величин при фiксованiй iншiй. Розглянуто аналог теореми Хейде для a-адичних соленоїдiв. According to the Heyde theorem, the Gaussian distribution on a real line is characterized by the symmetry of a conditional distribution of one linear form of independent random variables given another one. An analog of the Heyde theorem on a-adic solenoids is considered. 2013 Article Теорема Хейде на a-адических соленоидах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 14–18. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85630 517+519.2 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Миронюк, М.В. Теорема Хейде на a-адических соленоидах Доповіді НАН України |
| description |
Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характеризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых
случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для a-адических соленоидов. |
| format |
Article |
| author |
Миронюк, М.В. |
| author_facet |
Миронюк, М.В. |
| author_sort |
Миронюк, М.В. |
| title |
Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_short |
Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_full |
Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_fullStr |
Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_full_unstemmed |
Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_sort |
теорема хейде на a-адических соленоидах |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/85630 |
| citation_txt |
Теорема Хейде на a-адических соленоидах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 14–18. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT mironûkmv teoremahejdenaaadičeskihsolenoidah |
| first_indexed |
2025-07-06T12:54:34Z |
| last_indexed |
2025-07-06T12:54:34Z |
| _version_ |
1836902226817187840 |
| fulltext |
УДК 517+519.2
М. В. Миронюк
Теорема Хейде на a-адических соленоидах
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характе-
ризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых
случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для
a-адических соленоидов.
Одна из наиболее известных теорем математической статистики теорема Скитовича–Дар-
муа утверждает, что гауссовское распределение на вещественной прямой характеризуется
независимостью линейных форм от независимых случайных величин [1, 2] (см. также [3,
§ 13.1]). Хейде доказал близкий результат, где вместо независимости линейных форм пред-
полагалось, что условное распределение одной линейной формы при фиксированной второй
симметрично.
Теорема Хейде [4] (см. также [3, § 13.4.1]). Пусть ξ1, . . . , ξn, n > 2, — независимые
случайные величины, αj , βj — ненулевые константы такие, что βiα
−1
i ± βjα
−1
j 6= 0 при
всех i 6= j. Если условное распределение линейной формы L2 = β1ξ1+· · ·+βnξn при фиксиро-
ванной L1 = α1ξ1 + · · ·+αnξn симметрично, то все случайные величины ξj — гауссовские.
В работах [5, 6] были доказаны аналоги теоремы Хейде для конечных абелевых групп, а
в работах [7, 8] — для дискретных абелевых групп. В работе [9] теорема Хейде изучалась для
произвольных локально компактных абелевых групп в случае, когда характеристические
функции рассматриваемых распределений не обращаются в нуль. В [10] была сформули-
рована задача обобщения теоремы Хейде на a-адические соленоиды. В настоящей работе
мы решаем эту задачу.
Прежде чем формулировать результаты работы, напомним некоторые определения и ус-
ловимся об обозначениях. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метри-
ческая группа, Aut(X) — группа топологических автоморфизмов X. Пусть Y = X∗ —
группа характеров группы X. Если δ : X 7→ X — непрерывный гомоморфизм, то сопряжен-
ный гомоморфизм δ̃ : Y 7→ Y определяется по формуле (x, δ̃y) = (δx, y) для всех x ∈ X,
y ∈ Y . Отметим, что δ ∈ Aut(X) тогда и только тогда, когда δ̃ ∈ Aut(Y ). Если n — це-
лое, n 6= 0, то через fn обозначим гомоморфизм fn : X 7→ X, определяемый формулой
fn(x) = nx. Обозначим через R — группу вещественных чисел, через Z — группу целых
чисел, через Q — рассматриваемую в дискретной топологии группу рациональных чисел,
через Z(n) — конечную циклическую группу порядка n. Обозначим через Z(p∞) рассма-
триваемую в дискретной топологии группу корней степени pn из единицы, где n принимает
все неотрицательные целые значения (эту группу мы отождествляем с группой вычетов по
модулю 1 группы p-ично рациональных чисел).
Пусть a = (a0, a1, . . .), где все aj ∈ Z, aj > 1. Напомним определение группы це-
лых a-адических чисел ∆a. Как множество, ∆a совпадает с декартовым произведением
∞
P
n=0
{0, 1, . . . , an − 1}. Рассмотрим x = (x0, x1, x2, . . .), y = (y0, y1, y2, . . .) ∈ ∆a, и определим
© М. В. Миронюк, 2013
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
сумму z = x + y следующим образом. Пусть x0 + y0 = t0a0 + z0, где z0 ∈ {0, 1, . . . , a0 − 1},
t0 ∈ {0, 1}. Предположим, что числа z0, z1, . . . , zk; t0, t1, . . . , tk уже определены. Положим то-
гда xk+1+yk+1+tk = tk+1ak+1+zk+1, где zk+1 ∈ {0, 1, . . . , ak+1−1}, tk+1 ∈ {0, 1}. Таким обра-
зом по индукции определена последовательность z = (z0, z1, z2, . . .). Множество ∆a с опре-
деленным выше сложением является абелевой группой, нейтральный элемент которой —
последовательность в ∆a, состоящая из нулей. Рассмотрим ∆a в топологии произведения.
Полученная группа называется группой целых a-адических чисел. Если a = (p, p, . . . , p, . . .),
где p — простое число, то соответствующая группа называется группой p-адических целых
чисел и обозначается через ∆p. Отметим, что ∆∗
p ≈ Z(p∞) (см. [11, § 25.2]).
Рассмотрим группу R×∆a. Пусть B — подгруппа в R×∆a вида B = {(n, nu)}∞n=−∞, где
u = (1, 0, . . . , 0, . . .). Фактор-группа Σa = (R ×∆a)/B называется a-адическим соленоидом.
Группа Σa компактна, связна и имеет размерность один [11, 10.12, 10.13, 24.28]. Группа
характеров группы Σa топологически изоморфна подгруппе Ha ⊂ Q вида
Ha =
{
m
a0a1 · · · an
: n = 0, 1, . . . ; m ∈ Z
}
.
Не ограничивая общности, мы будем считать, что если X = Σa, то Y = X∗ = Ha.
Пусть µ̂(y) =
∫
X
(x, y) dµ(x) — характеристическая функция распределения µ на X.
Распределение γ ∈ M1(X) называется гауссовским [12, § 4.6], если его характеристи-
ческая функция представима в виде
γ̂(y) = (x, y) exp{−ϕ(y)},
где x ∈ X, а ϕ(y) — непрерывная неотрицательная функция на Y , удовлетворяющая урав-
нению
ϕ(u+ v) + ϕ(u− v) = 2[ϕ(u) + ϕ(v)], u, v ∈ Y.
Отметим, что если X = Σa, то ϕ(y) = λy2, где λ > 0, y ∈ Y = Ha.
Заметим, что носитель гауссовского распределения на произвольной локально компакт-
ной абелевой группе X — это класс смежности некоторой связной подгруппы группы X.
Тогда если γ — невырожденное гауссовское распределение на группе X = Σa, то σ(γ) = X.
Обозначим через Γ(X) множество гауссовских распределений на X.
Обозначим через I(X) множество идемпотентных распределений на X, т. е. множество
сдвигов распределений Хаара mK компактных подгрупп K группы X. Отметим, что если
распределение µ ∈ Γ(X)∗I(X), т. е. µ = γ∗mK, где γ ∈ Γ(X), то µ инвариантно относительно
компактной подгруппы K ⊂ X и при естественном гомоморфизме X 7→ X/K µ индуцирует
на фактор-группе X/K гауссовское распределение.
Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями в группе X = Σa и с рас-
пределениями µ1, µ2. Рассмотрим линейные формы L1 = α1ξ1 + α2ξ2 и L2 = β1ξ1 + β2ξ2,
где αj , βj ∈ Aut(X) и β1α
−1
1
± β2α
−1
2
∈ Aut(X). Предположим, что условное распреде-
ление линейной формы L2 при фиксированной L1 симметрично. Изучая возможные рас-
пределения µj на X, можно считать, что L1 = ξ1 + ξ2 и L2 = δ1ξ1 + δ2ξ2, где δj ∈ Aut(X)
и δ1±δ2 ∈ Aut(X). Действительно, вводя новые независимые случайные величины ξ′j = αjξj,
j = 1, 2, мы сводим задачу к такому виду форм. Заметим, что любой топологический ав-
томорфизм δ группы X имеет вид
δ = fpf
−1
q
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 15
при некоторых взаимно простых p и q, где fp, fq ∈ Aut(X). Поскольку при любом δ ∈ Aut(X)
условное распределение линейной формы L2 при фиксированной L1 симметрично тогда
и только тогда, когда условное распределение линейной формы δL2 при фиксированной L1
симметрично, то, не ограничивая общности, можно с самого начала предполагать, что L1 =
= ξ1 + ξ2, L2 = pξ1 + qξ2, где p, q ∈ Z, pq 6= 0, p и q — взаимно просты, fp, fq, fp±q ∈ Aut(X).
Сформулируем теперь основной результат работы.
Теорема 1. Пусть X = Σa. Предположим, что fp, fq, fp±q ∈ Aut(X), p и q взаимно
просты. Имеют место следующие утверждения:
1. Пусть pq = −3. Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями
в группе X и с распределениями µ1, µ2. Если условное распределение линейной формы L2 =
= pξ1 + qξ2 при фиксированной L1 = ξ1 + ξ2 симметрично, то по крайней мере одно из
распределений µj ∈ Γ(X) ∗ I(X).
2. Пусть pq 6= −3. Тогда существуют независимые случайные величины ξ1, ξ2 со значе-
ниями в группе X и с распределениями µ1, µ2 такими, что условное распределение линей-
ной формы L2 = pξ1 + qξ2 при фиксированной L1 = ξ1 + ξ2 симметрично, а распределения
µj 6∈ Γ(X) ∗ I(X), j = 1, 2.
Теорему 1 можно рассматривать как групповой аналог теоремы Хейде для a-адических
соленоидов. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится несколько утверждений.
Лемма 1. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метрическая груп-
па. Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями в группе X и с распре-
делениями µ1, µ2. Рассмотрим линейные формы L1 = α1ξ1+α2ξ2 и L2 = β1ξ1+β2ξ2, где αj,
βj — непрерывные гомоморфизмы группы X. Условное распределение линейной формы L2
при фиксированной L1 симметрично тогда и только тогда, когда характеристические
функции распределений µj удовлетворяют уравнению
µ̂1(α̃1u+ β̃1v)µ̂2(α̃2u+ β̃2v) = µ̂1(α̃1u− β̃1v)µ̂2(α̃2u− β̃2v), u, v ∈ Y.
Лемма 1 доказана в [10, 16.1] в случае, когда αj , βj ∈ Aut(X). Приведенное в [10,
16.1] доказательство справедливо для произвольных непрерывных гомоморфизмов αj , βj
группы X.
Лемма 2. Пусть либо |q| = 2, либо q = 4m+3, где m — некоторое целое число. Пусть
X = ∆2. Тогда существуют независимые одинаково распределенные случайные величины
ξ1, ξ2 со значениями в группе X и с распределением µ такие, что условное распределение
линейной формы L2 = ξ1+qξ2 при фиксированной L1 = ξ1+ξ2 симметрично, а распределение
µ 6∈ I(X).
Лемма 3. Пусть q = 4m + 1, где m 6∈ {0,−1}. Пусть |2m + 1| = pl1
1
× · · · × plkk —
разложение числа |2m + 1| на простые множители. Пусть X = ∆p1 × · · · × ∆pk. Тогда
существуют независимые одинаково распределенные случайные величины ξ1, ξ2 со значе-
ниями в группе X и с распределением µ такие, что условное распределение линейной формы
L2 = ξ1 + qξ2 при фиксированной L1 = ξ1 + ξ2 симметрично, а распределение µ 6∈ I(X).
Лемма 4. Пусть X = Σa. Если fn ∈ Aut(X), где n = pl1
1
×· · ·×plk
k
— разложение числа n
на простые множители, то группа X содержит подгруппу, топологически изоморфную
∆p1 × · · · × ∆pk .
Лемма 5. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метрическая груп-
па, δ1, δ2 ∈ Aut(X). Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями
в группе X и с распределениями µ1, µ2. Линейные формы L1 = ξ1 + ξ2 и L2 = δ1ξ1 + δ2ξ2
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
независимы тогда и только тогда, когда характеристические функции распределений µj
удовлетворяют уравнению
µ̂1(u+ δ̃1v)µ̂2(u+ δ̃2v) = µ̂1(u)µ̂1(δ̃1v)µ̂2(u)µ̂2(δ̃2v), u, v ∈ Y.
Лемма 5 доказана в [10, 10.1] в случае, когда αj , βj ∈ Aut(X). Приведенное в [10,
10.1] доказательство справедливо для произвольных непрерывных гомоморфизмов αj , βj
группы X.
Лемма 6. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метрическая груп-
па, δ1, δ2 — непрерывные гомоморфизмы группы X. Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные
величины со значениями в группе X и с распределениями µ1, µ2. Тогда если условное рас-
пределение линейной формы L2 = δ1ξ1+δ2ξ2 при фиксированной L1 = ξ1+ξ2 симметрично,
то линейные формы L′
1 = (δ1 + δ2)ξ1 + 2δ2ξ2 и L′
2 = 2δ1ξ1 + (δ1 + δ2)ξ2 независимы.
Замечание 1. Из леммы 6 следует, что теорема Хейде на группе R при n = 2 может
быть получена из теоремы Скитовича–Дармуа.
Замечание 2. Утверждение 1 теоремы 1 не может быть усилено до утверждения, что оба
распределения µj ∈ Γ(X) ∗ I(X). Другими словами, при pq = −3 существуют независимые
случайные величины ξ1, ξ2 со значениями в группе X и с распределениями µ1, µ2 такими,
что условное распределение линейной формы L2 = pξ1+qξ2 при фиксированной L1 = ξ1+ξ2
симметрично, и одно из распределений µj 6∈ Γ(X) ∗ I(X).
Замечание 3. Заметим, что в теореме 1 мы предполагаем, что на группе X = Σa при
некоторых взаимно простых p и q существуют автоморфизмы fp и fq такие, что fp±q ∈
∈ Aut(X). Группы X = Σa, обладающие этим свойством, нетрудно описать. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы f2, f3 ∈ Aut(X).
Замечание 4. Отметим, что если в теореме 1 распределения µ1, µ2 такие, что их характе-
ристические функции не обращаются в нуль, то µ1, µ2 ∈ Γ(X). Действительно, из условий
на коэффициенты форм следует, что одно из чисел p, q, p ± q четно. Значит, f2 ∈ Aut(X).
Следовательно, группа X = Σa не содержит элементом порядка 2. Искомое утверждение
вытекает теперь из следующей теоремы, доказанной в [9]. Пусть X — локально компактная
сепарабельная абелева метрическая группа, не содержащая элементов порядка 2. Пусть ξ1,
ξ2 — независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями µ1,
µ2. Рассмотрим линейные формы L1 = ξ1 + ξ2 и L2 = δ1ξ1 + δ2ξ2, где δj , δ1 ± δ2 ∈ Aut(X).
Если условное распределение линейной формы L2 при фиксированной L1 симметрично, то
распределения µ1, µ2 ∈ Γ(X).
Работа выполнена при поддержке украинско-французской программы DNIPRO 2013–2014 “Ве-
роятностные задачи в спектральной теории и на группах”.
1. Darmois G. Analyse generale des liaisons stochastiques // Rev. Inst. Intern. Stat. – 1953. – 21. – P. 2–8.
2. Скитович В.П. Об одном свойстве нормального распределения // Докл. АН СССР. – 1953. – 89,
№ 2. – С. 217–219.
3. Каган А.М., Линник Ю.В., Рао С. Р. Характеризационные задачи математической статистики. –
Москва: Наука, 1972. – 656 с.
4. Heyde C.C. Characterization of the normal law by the symmetry of a certain conditional distribution //
Sankhya. Ser. A. – 1970. – 32. – P. 115–118.
5. Feldman G.M. On the Heyde theorem for finite Abelian groups // J. Theoret. Probab. – 2004. – 17.
P. 929–941.
6. Миронюк М.В., Фельдман Г.М. Об одной характеризационной теореме на конечных абелевых груп-
пах // Сиб. мат. журн. – 2005. – 46, № 2. – С. 403–415.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 17
7. Feldman G.M. On the Heyde theorem for discrete Abelian groups // Studia Math. – 2006. – 177, No 1. –
P. 67–79.
8. Myronyuk M.V. Heyde’s characterization theorem for discrete Abelian groups // J. Austral. Math. S. –
2010. – 88. – P. 93–102.
9. Feldman G.M. On a characterization theorem for locally compact Abelian groups // Probab. Theory Relat.
Fields. – 2005. – 133. – P. 345–357.
10. Feldman G.M. Functional equations and characterization problems on locally compact Abelian groups.
EMS Tracts in Mathematics. Vol. 5. – Zürich: European Math. Society, 2008. – 256 p.
11. Hewitt E., Ross K.A. Abstract harmonic analysis. Vol. 1. – Berlin; Göttingen; Heildelberg: Springer, 1963. –
540 p.
12. Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. – New York; London: Academic Press, 1967. –
276 p.
Поступило в редакцию 15.10.2012Физико-технический институт
низких температур им. Б.И. Веркина
НАН Украины, Харьков
М.В. Миронюк
Теорема Хейде на a-адичних соленоїдах
Згiдно з теоремою Хейде, гауссiв розподiл на дiйснiй прямiй характеризується симетрiєю
умовного розподiлу однiєї лiнiйної форми вiд незалежних випадкових величин при фiксованiй
iншiй. Розглянуто аналог теореми Хейде для a-адичних соленоїдiв.
M.V. Myronyuk
The Heyde theorem on a-adic solenoids
According to the Heyde theorem, the Gaussian distribution on a real line is characterized by the
symmetry of a conditional distribution of one linear form of independent random variables given
another one. An analog of the Heyde theorem on a-adic solenoids is considered.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
|