Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста

Запропоновано стохастичну модель повного циклу однопродуктової макроекономіки зростання, проведено її дослідження та на модельному прикладі проведено числове моделювання....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Бойчук, М.В., Семчук, А.Р.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86224
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста / М.В. Бойчук, А.Р. Семчук // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 156-163. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86224
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-862242015-09-10T03:02:03Z Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста Бойчук, М.В. Семчук, А.Р. Системный анализ Запропоновано стохастичну модель повного циклу однопродуктової макроекономіки зростання, проведено її дослідження та на модельному прикладі проведено числове моделювання. A stochastic modeling of a full cycle of the single-component macroeconomics of growth was proposed, was conducted her research and was carried out the numerical modeling on the modeling example. 2013 Article Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста / М.В. Бойчук, А.Р. Семчук // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 156-163. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86224 519.863:330.115 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Бойчук, М.В. Семчук, А.Р. Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста Кибернетика и системный анализ
description	Запропоновано стохастичну модель повного циклу однопродуктової макроекономіки зростання, проведено її дослідження та на модельному прикладі проведено числове моделювання.
format	Article
author	Бойчук, М.В. Семчук, А.Р.
author_facet	Бойчук, М.В. Семчук, А.Р.
author_sort	Бойчук, М.В.
title	Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста
title_short	Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста
title_full	Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста
title_fullStr	Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста
title_full_unstemmed	Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста
title_sort	стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86224
citation_txt	Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста / М.В. Бойчук, А.Р. Семчук // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 156-163. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT bojčukmv stohastičeskoemodelirovaniepolnogociklaodnoproduktovojmakroékonomikirosta AT semčukar stohastičeskoemodelirovaniepolnogociklaodnoproduktovojmakroékonomikirosta
first_indexed	2025-07-06T13:41:20Z
last_indexed	2025-07-06T13:41:20Z
_version_	1836905168805822464
fulltext	ÓÄÊ 519.863: 330.115 Ì.Â. ÁÎÉ×ÓÊ, À.Ð. ÑÅÌ×ÓÊ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÏÎËÍÎÃÎ ÖÈÊËÀ ÎÄÍÎÏÐÎÄÓÊÒÎÂÎÉ ÌÀÊÐÎÝÊÎÍÎÌÈÊÈ ÐÎÑÒÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, îäíîïðîäóêòîâàÿ ìàêðî- ýêîíîìèêà, òðàåêòîðèÿ, óïðàâëåíèå, ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ. Â ðàáîòàõ [1–3] ïðåäëîæåíû è èññëåäîâàíû äåòåðìèíèðîâàííûå ìîäåëè îäíî- ïðîäóêòîâîé ìàêðîýêîíîìèêè ðîñòà. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ïðåäñòàâëÿþò èíòå- ðåñ ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè. Ïîä ïîëíûì öèêëîì ìîäåëè îäíîïðîäóêòîâîé ìàêðîýêîíîìèêè ðîñòà ñëåäóåò ïîíèìàòü ó÷åò â íåé âñåõ îñíîâíûõ ïîêàçàòå- ëåé, ó÷àñòâóþùèõ â ýòîì ïðîöåññå [3]. Ñôîðìóëèðóåì ïðåäïîëîæåíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåòåðìèíèðî- âàííîé ìîäåëè, à çàòåì íà åå îñíîâå ôîðìàëèçóåì ñòîõàñòè÷åñêóþ ìîäåëü. ÄÅÒÅÐÌÈÍÈÐÎÂÀÍÍÀß ÌÎÄÅËÜ Ïðåäïîëîæåíèå 1. Âàëîâàÿ ïðîäóêöèÿ Õ â ìîìåíò âðåìåíè t t T�[ , ]0 ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî âûïóñêà ïðîäóêöèè Y è ïðîèçâîäñòâåííîãî ïîòðåáëåíèÿ W : X t Y t W t t t T( ) ( ) ( ), [ , ]� � � 0 . (1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçâîäñòâåííîå ïîòðåáëåíèå W ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëü- íî âàëîâîé ïðîäóêöèè X : W t aX t a a t t T( ) ( ), ( ; ), , [ , ]� � � �0 1 0const . (2) Òîãäà êîíå÷íûé âûïóñê ïðîäóêöèè ñîñòàâèò Y t a X t t t T( ) ( ) ( ), [ , ]� � �1 0 . (3) Ïðåäïîëîæåíèå 2. Ïðèáûëü è çàòðàòû òîæäåñòâåííî ñîâïàäàþò Y t C t I t U t Z t O t S t t t Tr p a( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ]� � � � � � � 0 , (4) ãäå Ñ — íåïðîèçâîäñòâåííîå ïîòðåáëåíèå; I — âàëîâûå èíâåñòèöèè; U r — çàòðàòû íà ñîäåðæàíèå ãîñóäàðñòâåííîãî àïïàðàòà (ïðàâèòåëüñòâåííûå çàòðà- òû); Z — ñðåäñòâà, âûäåëåííûå íà áîðüáó ñ çàãðÿçíåíèåì îêðóæàþùåé ñðåäû; O p — íàëîãè; S a — ñàëüäî (ýêñïîðò ìèíóñ èìïîðò). Ïóñòü ïðàâèòåëüñòâåí- íûå çàòðàòû, ðàñõîäû íà áîðüáó ñ çàãðÿçíåíèåì îêðóæàþùåé ñðåäû, íàëîãè è ñàëüäî ÿâëÿþòñÿ ÷àñòüþ w êîíå÷íîãî âûïóñêà ïðîäóêöèè Y : U t Z t O t S t wY t w w t tr p a( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ; ), , [� � � � � � �0 1 0const , ]T . (5) Ñ ó÷åòîì (5) èç (4) èìååì C t I t w Y t t t T( ) ( ) ( ) ( ), [ , ]� � � �1 0 . (6) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåïðîèçâîäñòâåííîå ïîòðåáëåíèå Ñ ñîñòàâëÿåò ÷àñòü s âåëè÷èíû ( )1� w Y : C t s t w Y t w a s t X t s t t( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , [ ,� � � � � � � �1 1 1 0 1 0 T ]. (7) Òîãäà âàëîâûå èíâåñòèöèè ² èç (6) áóäóò ðàâíû I t s t w Y t a w s t X t t t( ) ( ( ))( ) ( ) ( )( )( ( )) ( ), [� � � � � � � �1 1 1 1 1 0 , ]T . (8) 156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 © Ì.Â. Áîé÷óê, À.Ð. Ñåì÷óê, 2013 Ïðåäïîëîæåíèå 3. Ñóììàðíûå ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êàïèòàëà (÷èñòûå èíâåñ- òèöèè) J K t� � ( ) è àìîðòèçàöèîííûå îò÷èñëåíèÿ A K t� � ( ) ñîñòàâëÿþò âàëîâûå èíâåñòèöèè I t( ) : � ( ) ( ) ( ), , [ , ]K t K t I t t t T� � � �� const 0 , (9) ãäå � ( ) ( ) /K t dK t dt� — ÷èñòûå èíâåñòèöèè (ïðèáûëü), � , � �( , )0 1 , — íîðìà àìîðòèçàöèè êàïèòàëà. Ïðåäïîëîæåíèå 4. Âàëîâàÿ ïðîäóêöèÿ X óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ [3]: 0 0� � �X t F K t L t t t T( ) ( ( ), ( )), [ , ]. (10) Òðóäîâûå ðåñóðñû L t( ) ÿâëÿþòñÿ ýêçîãåííîé ïåðåìåííîé, êîòîðàÿ èìååò ïî- ñòîÿííûé òåìï ðîñòà � : L t L e L t t T t t ( ) , , [ , ] ( )� � �� 0 0 0� 0 const . (11) Ïðîèçâîäñòâåííàÿ ôóíêöèÿ F K L( , ) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ K è L è ÿâëÿåòñÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé, âîãíóòîé ïî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ K � 0 è L � 0 [1]. Êðîìå òîãî, ôóíêöèþ F áóäåì ñ÷èòàòü îäíîðîäíîé ñòåïåíè � �( ; )0 2 [4], ò.å. äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � 0 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå F K L F K L K L( , ) ( , ), ,� � � �� 0 0 . (12) Ïîëîæèâ � � �L 1, èç (12) ïîëó÷èì F K L f K L( / , ) ( / )1 � . (13) Íîâàÿ ôóíêöèÿ f õàðàêòåðèçóåò ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà (âûïóñê ïðîäóê- öèè íà îäíîãî ðàáîòíèêà) è åñòü ôóíêöèåé êàïèòàëîâîîðóæåííîñòè (êîëè÷åñòâî êàïèòàëà íà îäíîãî ðàáîòíèêà) k K L� / . Ñëåäñòâèåì íåîêëàññè÷åñêèõ ñâîéñòâ [1] ôóíêöèè F K L( , ) ÿâëÿþòñÿ íåîêëàññè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ f f k f k( ) , ( ) , ( )0 0 0 0� � �'' . (14) Äåòåðìèíèðîâàííàÿ ìîäåëü îäíîïðîäóêòîâîé ìàêðîýêîíîìèêè ðîñòà ñ ó÷å- òîì ñîîòíîøåíèé (8)–(14) è ðàâåíñòâà � / �K L k k� � � èìååò âèä �( ) ( ) ( ) ( )( )[ ( )] ( ), ( ) , k t k t a w s t x t s t � � � � � � � � � � � 1 1 1 0 1 0 x t t f k t t t T( ) ( ) ( ( )), [ , ],� � 0 (15) ãäå x X L� / , ( ) ( ) ( ) t L e t t� � � � 0 1 1 0� � � . ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ Ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêóþ ìîäåëü îäíîïðîäóêòîâîé ìàêðîýêîíîìèêè ðîñòà. Ïóñòü { }�, ,� P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîòîêîì �-àëãåáð �t � � , t t T�[ , ]0 , ñ ìíîæåñòâîì ñîáûòèé � è ìåðîé (âåðîÿòíîñòüþ) P, � � �( ) ( , )t t� �� (� — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, � ��) — �t -èçìåðèìûé ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ [5] ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M t�( ) � 0, t t T�[ , ]0 . Íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå { }�, ,� P çàäàí ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {k t k t( ) ( , )� � , � � ��, [ , ]t t T0 }. Óïðàâëÿåìàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà îïèñûâà- åòñÿ óðàâíåíèåì Èòî [5]: �( ) ( ) ( ) ( )( )[ ( )] ( ) ( ) � ( ),k t k t a w s t x t n t t� � � � � � �� 1 1 1 0 � � � � � �x t t f k t s t t t T k t k( ) ( ) ( ( )), ( ) , [ , ], ( ) , 0 1 0 0 0 (16) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 157 ãäå n — êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà [ , ]t T0 , k t0 0 �� . Äîáàâèì ê ñèñòå- ìå (16) îãðàíè÷åíèå íà êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû k T kT( ) � . (17) Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èç ìíîæåñòâà äîïóñ- òèìûõ óïðàâëåíèé 0 1 0 0� � � � �s t x t t f k t t t T( ) , ( ) ( ) ( ( )), [ , ] (18) âûáðàòü òàêèå óïðàâëåíèÿ s è x , êîòîðûå ìàêñèìèçèðîâàëè áû ñðåäíåå èíòåã- ðàëüíîå äèñêîíòèðóåìîå ïîòðåáëåíèå M e C t dt L w a M e s t xt t T t t� � � �� ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 1 1 ( ) max , t dt t T s x 0 � � , (19) ãäå � const > 0 — íîðìà äèñêîíòà, M — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Îòìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàïèòàëîâîîðóæåííîñòè ñèñòåìû (16) âõîäèò ïðîèç- âîäíàÿ îò âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà �( )t (� ( )� t ), êîòîðóþ ñëåäóåò ïîíèìàòü íå â îáû÷- íîì ñìûñëå, à êàê îáîáùåííóþ ïðîèçâîäíóþ â îáîáùåííîì ñìûñëå, à ôóíêöèÿ � ( )� t òàêæå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííîé ôóíêöèåé. Â çàäà÷å (16)–(19) ïîä òðàåêòîðèåé ïîíèìàåòñÿ êàïèòàëîâîîðóæåííîñòü k, à ïîä óïðàâëåíèåì — íîðìà ïîòðåáëåíèÿ s è âàëîâàÿ ïðîäóêöèÿ õ . ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìîäåëè (16), (18), (19) áåç îãðàíè÷åíèÿ íà êîíå÷íîå ñîñòîÿ- íèå ñèñòåìû (17) èñïîëüçóåì óðàâíåíèå Áåëëìàíà [6]: inf ( , ) [ ( ) ( )( )( ) ] ,x s t V t k k a w s x k � � � � � �� 1 1 1 V t k( , ) � � � � � � � � � �� 0 5 1 12 2 2 0 0, ( ) ( , ) ( )( ) ( )( ) n t k V t k L w a e sx t t� �� 0 0, ( , )V T kT , (20) ãäå V t k( , ) — öåíà óïðàâëåíèÿ è êàê ôóíêöèÿ îíà äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôå- ðåíöèðóåìàÿ ïî k è îäèí ðàç ïî t ïðè ïî÷òè âñåõ t èç [ , ]t T0 . Ïîñêîëüêó óïðàâëåíèå x è ïðîèçâåäåíèå óïðàâëåíèé sx êàê ïåðåìåííûå íà óðîâíå îïòèìèçàöèè çàäà÷è (20) ñ÷èòàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûìè, ïî óïðàâëåíèþ x âûäåëèì çàäà÷ó îïòèìèçàöèè ( )( ) inf [ ; ( ) ( )] 1 1 0 � � � � � � w a V k x x t f k , ðå- øåíèåì êîòîðîé ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà � � �V k/ 0 ÿâëÿåòñÿ ìàãèñòðàëüíîå óïðàâëåíèå âàëîâîé ïðîäóêöèåé x t t f k tì ( ) ( ) ( ( ))� . (21) Ïîäñòàâèì (21) â óðàâíåíèå Áåëëìàíà (20). Ïîñëå ÷åãî ïðèðàâíÿåì ê íóëþ êîýôôèöèåíò ïðè ïðîèçâåäåíèè óïðàâëåíèé sx è ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè V : � � � �� k V L e t t 0 0 0 ( )( )� . Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî k ýòî óðàâíåíèå è èñïîëüçîâàâ óñëîâèåV T kT( , ) � 0, ïî- ëó÷èì ôóíêöèþ V : V t k L e k L k e t t T T t ( , ) ( )( ) ( )( )� � �� 0 0 0 0� � . (22) Èç (22) èìååì íåðàâåíñòâî � � �V k/ 0, êîòîðîå ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ñî- îòíîøåíèÿ (21). 158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 Ïîäñòàâèâ (22) â óðàâíåíèå Áåëëìàíà (20), ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäå- ëåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé òðàåêòîðèè kâ: k w a t f k k t w a t f â â â� � � � � � �( )( ) ( ) ( ), � ( ) ( )( ) � ( ) (1 1 1 1 � k t w a t f k t â â ( )) ( )( ) ( ) ( ( )) . � � � � � �1 1 (23) Âñïîìîãàòåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ k tâ ( ) � 0, t t T�[ , ]0 , ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôå- ðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé è îïðåäåëÿåòñÿ èç (23) îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ [7]. Îòìåòèì, ÷òî ïðè � �1 òðàåêòîðèÿ kâ áóäåò ñòàòè÷åñêîé. Îïðåäåëèâ kâ � 0 è ïîä- ñòàâèâ â óðàâíåíèå äèíàìèêè (16), ïîëó÷èì ïðè k k� â ñòîõàñòè÷åñêîå óïðàâëå- íèå íîðìîé ïîòðåáëåíèÿ s t w a t f k t( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))� � � � �� 1 1 11 1 1 1� â � � � � �[ � ( ) ( ) ( ) ( ) � ( )], [ , ]k t k t n t t t t Tâ â� � � 0 . Òîãäà ìàãèñòðàëüíîå óïðàâëåíèå sì ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà äëÿ âèíåðîâ- ñêîãî ïðîöåññà [5]: M t M t� ( ) ( ( ))� �� 0, t t T�[ , ]0 , âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå s t s t s t s t s t ì åñëè åñëè åñëè ( ) , ( ) , , ( ) , ( ), ( ) , � � � � 0 0 1 1 0 1 � � � � � �t t T[ , ]0 , (24) è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé íà [ , ]t T0 . Îòìåòèì, ÷òî ïðè � �1 ìàãèñ- òðàëüíîå óïðàâëåíèå sì — ñòàòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìàãèñòðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ (ñòîõàñòè÷åñ- êàÿ ìàãèñòðàëü) kì îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëüíîé ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è � ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )k t k t w a tì ì� � � � � � �� 1 1 � � � �[ ( )] ( ( )) ( ) � ( ), [ , ]1 0s t f k t n t t t t Tì ì � , (25) k t kì ( )0 0� . Çàäà÷ó (25) ìîæíî ðåøèòü îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ [8–10]. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f — íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ è âîãíóòàÿ ïðè k 0 , ôóíêöèÿ n — êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ íà [ , ]t T0 , à ôóíêöèÿ sì — íåïðåðûâíàÿ íà [ , ]t T0 , òî âû- ïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè f k s t f k n t k k t t T2 2 2 2 2 01 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , [ , ]� � � � � �ì const , êîòîðîå ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (25) â ñìûñ- ëå ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè [8, 11, 12]. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà Mk T kTì ( ) � äëÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Mk T kTì ( ) � , òî ìàãèñòðàëüíûå óïðàâëåíèÿ sì è xì , à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ è ñðåäíÿÿ ìàãèñòðàëè ÿâëÿþò- ñÿ îïòèìàëüíûì ïðîöåññîì çàäà÷è (16)–(19): k t k t s t s t x t x t t t Tîï ì îï ì îï ì( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), [ , ]� � � � 0 . (26) Ïðè Mk T kTì ( )� íóæíî ïîñòðîèòü ïðàâîå óïðàâëåíèå sï , ñîîòâåòñòâóþ- ùóþ ïðàâóþ òðàåêòîðèþ kï è ïðàâûé ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ � ï . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàéäåííàÿ ìàãèñòðàëü kì íå óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ íà êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (17) ñèñòåìû (16)–(19), ò.å. íå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Mk T kTì ( ) � . Òîãäà íà îòðåçêå âðåìåíè [ , ]t0 � ï (� ï — èñêîìûé ìîìåíò âðåìå- íè) âîçüìåì ìàãèñòðàëüíîå óïðàâëåíèå sì è ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàãèñòðàëü kì , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 159 à íà îñòàâøåìñÿ îòðåçêå âðåìåíè [ , ]� ï T (ïðàâàÿ ÷àñòü îòðåçêà âðåìåíè [ , ]t T0 ) îïðåäåëèì óïðàâëåíèå sï (ïðàâîå óïðàâëåíèå) è ñîîòâåòñòâóþùóþ òðàåêòîðèþ kï (ïðàâóþ òðàåêòîðèþ) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíèëîñü îãðàíè÷åíèå íà êî- íå÷íîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû Mk T kTì ( ) � , åñëè ýòî âîçìîæíî. Ïðè ýòîì ìîìåíò âðåìåíè � ï (ïðàâûé ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ) îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåí- ñòâà ñðåäíåé ìàãèñòðàëè kì è ñðåäíåé ïðàâîé òðàåêòîðèè kï , ò.å. èç ðàâåíñòâà Mk Mkì ï ï ï( ) )� �� . Òîãäà îáúåäèíÿÿ äâà óïðàâëåíèÿ: sì è sï , à òàêæå ñîîòâå- òñòâåííî òðàåêòîðèè kì è kï íà [ , ]t T0 , ïîëó÷àåì èñêîìûå óïðàâëåíèå s è ñîîòâå- òñòâóþùóþ òðàåêòîðèþ k äëÿ çàäà÷è (16)–(19), ò.å. îïòèìàëüíûé ïðîöåññ äëÿ ýòîé çàäà÷è. Ïðàâîå óïðàâëåíèå. Ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà Mk T kTì ( )� íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ïðàâîå óïðàâëåíèå sï è ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðàâóþ òðàåêòîðèþ kï . Ïðè- ÷åì ïðàâàÿ òðàåêòîðèÿ kï íà [ , ]� ï T äîëæíà ìîíîòîííî âîçðàñòàòü, ò.å. äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñòîõàñòè÷åñêîå íåðàâåíñòâî ( � ( )k tï 0, t T�[ , ]� ï ): � � � � � � �( ) ( ) ( )( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ) � ( )� � �k t w a t s t f k t n t t1 1 1 0 . Ýòî íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðàâîãî óïðàâëåíèÿ sï , êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñëåäóþùåé çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: max ( ( ))� z t , � � � � � � �( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ))( ( )) ( ) � ( )� � �k t a w t f k t s t n t t1 1 1 � � � � � �0 0 1 0 , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ,s t s t z t z t (27) k t k k t t TTì ( ) ,� � � �0 , ãäå �0 0 — äîñòàòî÷íî ìàëîå çàäàííîå ÷èñëî. Ïîñêîëüêó äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò ïðîèç- âîäíîé ðàâíî ïðîèçâîäíîé îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ [5]: M t M t� ( ) ( ( ))� �� , t t T�[ , ]0 , à M t�( ) � 0, t t T�[ , ]0 , ñîîòâåòñòâåííî M t� ( )� � 0. Èç ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è (27) ñîãëàñíî [13] èìååì äåòåðìèíèðîâàííóþ çà- äà÷ó ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåãî ïðàâîãî óïðàâëåíèÿ sï : max ( ( ))� z t , � � � � � � � � ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ))( ( )) , ( ) � � �k t a w t f k t s t s t 1 1 1 0 0 , ( ) ( ) , ( ) ,s t z t z t� � �1 0 (28) Mk t k kTì ( ) � � . Åñëè ðåøåíèå sï çàäà÷è (28) íå ñóùåñòâóåò, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîíå÷íîå ñî- ñòîÿíèå ñèñòåìû kT íåäîñòèæèìî è íóæíî îñëàáèòü óñëîâèÿ íà èñõîäíóþ èí- ôîðìàöèþ ñèñòåìû (16)–(19). Ïóñòü ðåøåíèå çàäà÷è íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâà- íèÿ (28) ñóùåñòâóåò è, ðåøèâ åå îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ [14], íàéäåì ïðàâîå óïðàâëåíèå s tï ( ) , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé íà [ , ]t T0 . Òîãäà ñòî- õàñòè÷åñêàÿ ïðàâàÿ òðàåêòîðèÿ kï è ïðàâûé ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ � ï îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ))k t k t w a t s t f k t� � � � � � �� 1 1 ï � � �n t t t t T k T kT( ) � ( ), [ , ], ( )� 0 , (29) k D k Mk t k t Mk t t t T( ) \| ( ) ( ) ( ) , [ , ]� � ��ï ì ì{ }� � � � � � � �� 0 , ãäå � 0 — äîñòàòî÷íî ìàëîå çàäàííîå ÷èñëî. 160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 Îòìåòèì, ÷òî çàäà÷ó (29) ìîæíî ðåøèòü îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ [8–10]. Ïîñêîëüêó f k( )� 0 — íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ è âîãíóòàÿ ôóíêöèÿ, à ôóíêöèè n — êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ è sï — íåïðåðûâíàÿ íà [ , ]t T0 , òî âûïîë- íÿåòñÿ óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè f k s t f k n t k k t t T2 2 2 2 2 01 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , [ , ]� � � � � �ï const , êîòîðîå ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (29) â ñìûñ- ëå ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè [8, 11, 12]. Ïîñêîëüêó çíà÷åíèå ïðàâîãî ìîìåí- òà ïåðåêëþ÷åíèÿ � ï ìîæåò âû÷èñëÿòüñÿ ñ áîëüøîé ïîãðåøíîñòüþ, òî äëÿ áîëåå òî÷íîãî âû÷èñëåíèÿ � ï íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ. Ïðàâûé ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ. Äëÿ áîëåå òî÷íîãî îïðåäåëå- íèÿ � ï íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ. Ôîðìàëèçóåì ýòó çàäà÷ó. Îáîçíà÷èì s k( ) ìîìåíò ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ ìíîæåñòâà D� ñèñòå- ìîé (16) ïðè x t t f k( ) ( ) ( )� , íà÷èíàþùåé äâèæåíèå â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè îñè t èç êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû k kT� ïðè t T� . Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â âûáîðå òàêîãî óïðàâëå- íèÿ s tï * ( ) , ïðè êîòîðîì ñðåäíåå âðåìÿ äîñòèæåíèÿ D� äâèæóùåéñÿ òî÷êîé ìèíèìàëüíî M k M k s s s s ï ï * ( ) min ( )� � �1 . (30) Ðåøèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ (16), (30). Çàïèøåì óðàâíåíèå Áåëëìàíà [6]: inf ( , ) [ ( ) ( )( ) ( ) ( )( s t V t k k a w t f k s � � � � � �� 1 1 1 )] ( , ) � � � k V t k � � � � � � � �� 0 5 1 0 12 2 2 0, ( ) ( , ) , [ , ], , (n t k V t k t t T s s Vï ï� , ( )) ,Mkì ï� � 0 (31) ãäå sï — ðåøåíèå çàäà÷è íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (28). Èç (31) îïðåäåëèì ïðàâîå óïðàâëåíèå sï * : s t s k V k Vï ï åñëè åñëè ïðîèçâîëüíîå èç * ( ) , , , ,� � � � � � 0 1 0 åñëèï[ , ] , ,s k V1 0 � � � � � � �� t t T�[ , ]0 . (32) ×òîáû sï * áûëî ðàâíî sï , íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà � � �V k/ 0 . Ïîýòîìó ôóíêöèþ V áóäåì èñêàòü â âèäå V t k lk lMk l( , ) ( ),� � �� ï 0. (33) Ïîäñòàâèì (33) â óðàâíåíèå Áåëëìàíà (31) è ïîëîæèì t � � ï , k Mk� ì ï( )� . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì íåëèíåéíîå àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðàâîãî ìîìåíòà ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ � ï : l Mk a w[ ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � � �� ì ï ï1 1 � � � � �f Mk s t T( ( ))( ( ))] , ( , )ì ï ï ï ï� � �1 1 0 0 , (34) êîòîðîå ìîæíî ðåøèòü îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ [7]. Ïðè÷åì âûáîðîì ÷èñëà l ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî � ï �( , )t T0 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 161 Ïðàâàÿ òðàåêòîðèÿ. Ñîãëàñíî íàéäåííîìó � ï ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòîõàñòè- ÷åñêàÿ ïðàâàÿ òðàåêòîðèÿ k tï ( ) îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëüíîé ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è �( ) ( ) ( ) ( )( )[ ( )] ( ) ( ( )) (k t k t a w s t t f k t n t� � � � � � �� 1 1 1 ï ) � ( )� t , (35) t T k k� �[ , ], ( ) ( )� � �ï ï ì ï , à ñðåäíÿÿ ïðàâàÿ òðàåêòîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç çàäà÷è (35) ïðè n t( ) � 0, t t T�[ , ]0 , è íà÷àëüíîì ñðåäíåì óñëîâèè k Mk( ) ( )� �ï ì ï� . Îïòèìàëüíûé ïðîöåññ. Çàïèøåì ñòîõàñòè÷åñêèé è ñðåäíèé îïòèìàëüíûé ïðîöåññ çàäà÷è (16)–(19) { }îï îï îïk t s t x t t t T( ), ( ), ( ), [ , ]� 0 [6]: k t k t t t k t t T x îï ì ï ï ï åñëè åñëè ( ) ( ), [ , ), ( ), [ , ], � � � � � � 0 � � îï îï( ) ( ) ( ( )), [ , ].t t f k t t t T� �� 0 s t s t t t s t t T îï ì ï ï ï åñëè åñëè ( ) ( ), [ , ), ( ), [ , ], � � � � � � 0 � � (36) Èòàê, ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà äâèæåòñÿ îò t t� 0 äî ìîìåíòà t � � ï ïî ìàãèñò- ðàëè kì ïðè ìàãèñòðàëüíîì óïðàâëåíèè sì , â ìîìåíò ïðàâîãî ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâ- ëåíèÿ t � � ï ñõîäèò ñ ìàãèñòðàëè è äàëåå, äî ìîìåíòà t T� , äâèæåòñÿ ïî ïðàâîé òðàåêòîðèè kï ïðè ïðàâîì óïðàâëåíèè sï . Ïðè ýòîì îïòèìàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ kîï è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå xîï ÿâëÿþòñÿ êóñî÷íî-äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè, à îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå sîï — êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé íà [ , ]t T0 . ÀËÃÎÐÈÒÌ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÄËß ÇÀÄÀ×È ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÎÄÍÎÏÐÎÄÓÊÒÎÂÎÉ ÌÀÊÐÎÝÊÎÍÎÌÈÊÈ ÐÎÑÒÀ Øàã 1. Âû÷èñëèòü ìàãèñòðàëüíîå óïðàâëåíèå s tì ( ), t t T�[ , ]0 , ïî ôîðìóëå (24) è ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ è ñðåäíþþ ìàãèñòðàëüíóþ òðàåêòîðèþ k tì ( ) èç ðåøåíèÿ çàäà÷è (27). Øàã 2. Ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà Mk T kTì ( ) � . Åñëè îíî âûïîë- íÿåòñÿ, òî ðàññ÷èòàòü ñòîõàñòè÷åñêèé è ñðåäíèé îïòèìàëüíûé ïðîöåññ çàäà÷è (16)–(19) ïî ôîðìóëàì k t k t s t s t x t x tîï ì îï ì îï ì( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )� � � . Êîíåö ðàáîòû àëãîðèòìà. Ïðè Mk T kTì ( )� âû÷èñëèòü ïðàâîå óïðàâëåíèå sï èç ðåøåíèÿ çàäà÷è íåëè- íåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (28). Ïåðåõîä ê øàãó 3. Øàã 3. Âû÷èñëèòü ñòîõàñòè÷åñêóþ è ñðåä- íþþ ïðàâóþ òðàåêòîðèþ k tï ( ) è ïðàâûé ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ � ï . Øàã 4. Ðàññ÷èòàòü ñòîõàñòè÷åñêèé è ñðåä- íèé îïòèìàëüíûé ïðîöåññ ïî ôîðìóëàì (36). Êîíåö ðàáîòû àëãîðèòìà. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÍÀ ÌÎÄÅËÜÍÎÌ ÏÐÈÌÅÐÅ Èñõîäíûå äàííûå: a � 01, ; w � 0 05, ; � � 0 04, ; � � 0 06, ; L0 3� ; t0 0� ; � �11, ; T �12; � 0 08, ; f k k( ) ,� 2 0 6 ; k0 200� ; kT � 238 9792, . Íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà ïðèâåäåíû â òàáë. 1. Ìàãèñòðàëü è ïðàâàÿ òðàåêòîðèÿ âû÷èñ- ëÿëèñü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ (25) è (35) 162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 Ò à á ë è ö à 1 Âðåìÿ, t Çíà÷åíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ kîï sîï 1 222,7803 0,0417 2 246,4568 0,0417 3 270,6839 0,0417 4 259,3059 0,2984 5 250,2120 0,3297 6 243,3588 0,3644 7 238,7425 0,4028 8 236,4033 0,4451 9 236,4323 0,4919 10 238,9792 0,5437 11 238,9793 0,5438 12 238,9793 0,5438 ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë Ðóíãå–Êóòòà ñ øàãîì h � 01, [8]. Çàäà÷à íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (28) ðåøàëàñü ìåòîäîì Ýððîó–Ãóðâèöà [14]. Â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà ïîëó÷èëè, ÷òî ïðàâûé ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ � ï � 3 0008, . Ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà äâèæåòñÿ ïî ìàãèñòðàëè, â ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ � ï � 3 0008, ñõîäèò ñ íåå è äâèæåòñÿ äî ìîìåíòà T �12 ïî ïðàâîé òðàåêòîðèè. Ïðè ýòîì íà îòðåçêå âðåìåíè [ ; , ]0 3 0008 áîëüøàÿ ÷àñòü èíâåñòèöèé âêëàäûâàåòñÿ â íà- êîïëåíèå êàïèòàëà (â ñðåäíåì 95,83 %), à î÷åíü ìàëàÿ ÷àñòü (â ñðåäíåì 4,17 %) èäåò íà ïîòðåáëåíèå. Íà îòðåçêå âðåìåíè [ , ; ]3 0008 12 èíâåñòèöèè ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïî÷òè ïîðîâíó. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ 1. Ìàãèñòðàëüíîå è ïðàâîå óïðàâëåíèÿ, à òàêæå ïðàâûé ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè îäíîïðîäóêòîâîé ìàêðîýêîíîìèêè ðîñòà íîñÿò äåòåðìèíèðîâàííûé õàðàêòåð, à ìàãèñòðàëü è ïðàâàÿ òðàåêòîðèÿ — ñòî- õàñòè÷åñêèé. 2. Ïðåäëîæåííàÿ ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è ìîäåëèðî- âàíèÿ îäíîïðîäóêòîâîé ìàêðîýêîíîìèêè ðîñòà äîïîëíÿåò ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñ- êîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, äàåò âîçìîæíîñòü ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü è äîñòîâåð- íîñòü ïðîãíîçèðîâàíèÿ è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé äëÿ òàêîãî ðîäà ýêîíîìè÷åñêèõ ïðî- öåññîâ è ñèñòåì. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À ø ì à í î â Ñ . À . Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ýêîíîìèêó. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 296 ñ. 2. Ê î ë å ì à å â Â . À . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà. — Ì.: ÞÍÈÒÈ, 1998. — 240 ñ. 3. Îñíîâû òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ / Â.Ô. Êðîòîâ, Á.À. Ëàãîøà, Ñ.Ì. Ëîáàíîâ è äð.; Ïîä ðåä. Â.Ô. Êðîòîâà. — Ì.: Âûñø. øê., 1990. — 430 ñ. 4. Áî é ÷ ó ê Ì . Â . , Á î é ÷ ó ê Â . Ì . Ìîäåëþâàííÿ âèðîáíè÷èõ ôóíêö³é çà äîïîìîãîþ äèôå- ðåíö³àëüíèõ ìîäåëåé äðóãîãî ïîðÿäêó // Íàóê. â³ñí. Áóêîâèíñüêî¿ äåðæ. ô³í. àêàä.: Çá. íàóê. ïðàöü. — ×åðí³âö³: Òåõíîäðóê, 2008. — Âèï. 3, ÷. ²: Åêîíîì³÷í³ íàóêè. — Ñ. 351–356. 5. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ëåêö³¿ ç òåîð³¿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â. — Ê.: Ëèá³äü, 1990. — 168 ñ. 6. À í ä ð å å â à Å . À . , Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . , Ø à é õ å ò Ë . Å . Óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1992. — 336 ñ. 7. ßñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Îñíîâè îá÷èñëþâàëüíèõ ìåòîä³â. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2005. — 396 ñ. 8. Þ ð ÷ å í ê î ² . Â . , ß ñ è í ñ ü ê à Ë . ² . , ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Ìåòîäè ñòîõàñòè÷íîãî ìîäå- ëþâàííÿ ñèñòåì. — ×åðí³âö³: Ïðóò, 2002. — 416 ñ. 9. Í è ê è ò è í Í . Í . , Ð à ç å â è ÷ Â . Ä . Ìåòîäû öèôðîâîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è îöåíêà èõ ïîãðåøíîñòè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1978. — 18, ¹ 1. — Ñ. 106–117. 10. Ì è ë ü ø ò å é í Ã . Í . Ïðèáëèæåííîå èíòåãðèðîâàíèå ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèå. — 1975. — 20, âûï. 3. — Ñ. 583–588. 11. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1977. — 364 ñ. 12. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1977. — 348 ñ. 13. Å ð ì î ë ü å â Þ . Ì . Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1976. — 240 ñ. 14. À ê ó ë è ÷ È . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ. — Ì.: Âûñø. øê., 1986. — 320 ñ. Ïîñòóïèëà 27.02.2012 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 163

Стохастическое моделирование полного цикла однопродуктовой макроэкономики роста

Institution

Ähnliche Einträge