О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I

Вивчаються задачі групового переслідування для лінійних диференціальних ігор з інтегральними обмеженнями. При аналізі цих задач основним інструментом є метод розв’язувальних функцій Чикрія. Запропоновано конструкцію побудови розв’язувальної функції, що обгрунтовує правило паралельного зближення грав...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Саматов, Б.Т.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86278
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I / Б.Т. Саматов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 132-145. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86278
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-862782015-09-12T03:01:44Z О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I Саматов, Б.Т. Системный анализ Вивчаються задачі групового переслідування для лінійних диференціальних ігор з інтегральними обмеженнями. При аналізі цих задач основним інструментом є метод розв’язувальних функцій Чикрія. Запропоновано конструкцію побудови розв’язувальної функції, що обгрунтовує правило паралельного зближення гравців, тобто П-стратегію для переслідувачів. Отримано нові достатні умови розв’язності для задач групового переслідування. Як приклад розглянуто два класи ігор: контрольний приклад Понтрягіна та групове переслідування з простим рухом гравців для випадку «l-упіймання». The paper presents a prediction method that uses a parallel-hierarchical (PH) network. This work studies problems of group pursuit for linear differential games with integral constraints on controls of players. The problems were solved on the basis of the method of resolving functions proposed by Chikrii. The proposed method substantiates the parallel approach strategy, i.e., the Ï-strategy. New sufficient solvability conditions are obtained for problems of group pursuit. Theoretical facts are illustrated be giving examples of two interesting classes of problems, namely, the Pontryagin control example and a group pursuit with a simple movement for the of case “l-catch.” 2013 Article О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I / Б.Т. Саматов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 132-145. — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86278 518.9 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Саматов, Б.Т. О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I Кибернетика и системный анализ
description	Вивчаються задачі групового переслідування для лінійних диференціальних ігор з інтегральними обмеженнями. При аналізі цих задач основним інструментом є метод розв’язувальних функцій Чикрія. Запропоновано конструкцію побудови розв’язувальної функції, що обгрунтовує правило паралельного зближення гравців, тобто П-стратегію для переслідувачів. Отримано нові достатні умови розв’язності для задач групового переслідування. Як приклад розглянуто два класи ігор: контрольний приклад Понтрягіна та групове переслідування з простим рухом гравців для випадку «l-упіймання».
format	Article
author	Саматов, Б.Т.
author_facet	Саматов, Б.Т.
author_sort	Саматов, Б.Т.
title	О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I
title_short	О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I
title_full	О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I
title_fullStr	О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I
title_full_unstemmed	О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I
title_sort	о задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. i
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86278
citation_txt	О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I / Б.Т. Саматов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 132-145. — Бібліогр.: 40 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT samatovbt ozadačahgruppovogopresledovaniâpriintegralʹnyhograničeniâhnaupravleniâigrokovi
first_indexed	2025-07-06T13:44:27Z
last_indexed	2025-07-06T13:44:27Z
_version_	1836905364679819264
fulltext	ÓÄÊ 518.9 Á.Ò. ÑÀÌÀÒÎÂ Î ÇÀÄÀ×ÀÕ ÃÐÓÏÏÎÂÎÃÎ ÏÐÅÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÏÐÈ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÕ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÕ ÍÀ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÈÃÐÎÊÎÂ. I Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷à ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ, èíòåãðàëüíîå îãðàíè÷åíèå, ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ, ñòðàòåãèÿ, ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ ïðåñëåäîâàíèÿ. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäî- âîì ïðîñòðàíñòâå, îïèñûâàåìàÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé � , ( )z A z B u C z zi i i i i i i i� � � �� 0 0 , (1) ãäå z R u R Ri n i p qi i� � �, , � ; ni � 1, pi � 1, q � 1, i m�1, , — ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë îò 1 äî m; Ai , Bi , Ci — ïîñòîÿííûå ïðÿìîóãîëüíûå ìàòðèöû ðàçìåð- íîñòè n n n pi i i i� �, è n qi � ñîîòâåòñòâåííî; zi 0 — íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå i-ãî îáúåêòà; ui — óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ; � — óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð óáåãàþùåãî. Ðåàëèçàöèè ïàðàìåòðîâ u i mi , ,�1 , è � ïî îêîí÷àíèè èãðû äîëæíû áûòü èçìåðèìûìè ôóíêöèÿìè èç êëàññà L T pp [ , ],0 1� , è óäîâ- ëåòâîðÿòü ñîîòâåòñòâåííî îãðàíè÷åíèÿì \| ( ) \| , , ,u d i mi p i i T � � � � � � 0 1 0 , (2) \| ( ) \| ,� � � � �p T d � 0 0 , (3) ãäå T � 0 (ñëó÷àé T � �� íå èñêëþ÷àåòñÿ). Òàêèå óïðàâëåíèÿ â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìûìè, à èõ ñîâîêóïíîñòè îáîçíà÷àòü U i m T i , ,�1 , è VT ñîîòâåòñòâåííî. Òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ M M1 2, �� M m , êàæäîå èç êîòîðûõ èìååò âèä M M Mi i i� �0 0 , ãäå M i 0— ëèíåéíîå ïîä- ïðîñòðàíñòâî èç R ni , à M i 1 — âûïóêëîå êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî îðòîãîíàëü- íîãî äîïîëíåíèÿ Li ê ïîäïðîñòðàíñòâó M i 0 â R ni . Îïðåäåëåíèå 1. Â èãðå (1)–(3) íàáîð îòîáðàæåíèé u T V Ui T T i: [ , ]0 � , i m�1, , íàçûâàåòñÿ ñòðàòåãèåé ãðóïïû ïðåñëåäîâàòåëåé, åñëè âûïîëíåíû ñëåäó- þùèå óñëîâèÿ: 1) äîïóñòèìîñòü: äëÿ êàæäîãî �( )� �VT âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå u u Ui i T i( ) ( , ( ))� � � � �� ; i m�1, ; 2) âîëüòåððîâîñòü: åñëè äëÿ ëþáûõ t T VT� � � �[ , ], ( ), ( )0 1 2� � âûïîëíåíî ðà- âåíñòâî � � � �1 2( ) ( )� ïî÷òè äëÿ âñåõ ��[ , ]0 t , òî u ui i 1 2( ) ( )� �� ï.â. íà [ , ]0 t , ãäå u ui i 1 1( ) ( , ( ))� � � �� , u ui i 2 2( ) ( , ( ))� � � �� . Îïðåäåëåíèå 2. Â èãðå (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z z z zm 0 1 0 2 0 0� { }, , ..., âîçìîæíî çàâåðøåíèå ïðåñëåäîâàíèÿ çà âðåìÿ T T z� ( )0 , åñëè õîòÿ áû äëÿ îäíî- ãî çíà÷åíèÿ i, i m�1, , àáñîëþòíîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå z ti ( ) çàäà÷è Êîøè 132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 © Á.Ò. Ñàìàòîâ, 2013 � ( , ( )) ( ), ( )z A z B u t t C t z zi i i i i i i i� � � �� 0 0 , ïîïàäàåò íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M i çà âðåìÿ, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñëà T T z� ( )0 , ò.å. z t Mi i( )* � ïðè íåêîòîðîì t T* [ , ]� 0 . ×èñëî T z( )0 íàçûâàåòñÿ ãàðàíòèðîâàííûì âðåìåíåì ïðåñëåäîâàíèÿ. Íàõîæäåíèå íà÷àëüíûõ ïîëîæåíèé, èç êîòîðûõ âîçìîæíî çàâåðøåíèå ïðåñëå- äîâàíèÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ, ñîñòàâëÿåò îäíó èç çàäà÷ ïðåñëåäîâàíèÿ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ çàäà÷à ïðåñëåäîâàíèÿ äîñòàòî÷íî èçó÷åíà. Â ïåðâóþ î÷åðåäü ñëåäóåò óêàçàòü ðàáîòû [1–11], ìåòîäû è ðåçóëüòàòû êîòîðûõ îáîáùåíû è óãëóáëåíû â [12–19] è äð. Â ïîñëåäíèå ãîäû ñòàëè èíòåíñèâíî èññëåäîâàòüñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ïðè íàëè÷èè èíòåãðàëüíûõ è ðàçíîòèïíûõ îãðàíè÷åíèé íà óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ [20–36] è äð. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ çàäà÷à ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè è ïðè ýòîì, îïèðàÿñü íà ôîðìàëèçàöèþ Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [1, 2], èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé À.À. ×èêðèÿ [8]. Îòìåòèì, ÷òî ââåäåííûé âûøå êëàññ ñòðàòåãèé äëÿ ãðóïïû ïðåñëåäîâàòåëåé ìàêñèìàëüíî øèðîêèé ñ òî÷êè çðåíèÿ èíôîðìèðîâàí- íîñòè. Íà ñàìîì äåëå â ðàáîòå ñòðîèòñÿ êîíêðåòíàÿ ñòðàòåãèÿ, èñïîëüçóþùàÿ ãî- ðàçäî ìåíüøèé îáúåì òåêóùåé èíôîðìàöèè. À èìåííî, îòðåçîê âðåìåíè [ , ]0 T ñî- ñòîèò èç àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ ÷àñòåé äëÿ ïðåñëåäîâàòåëåé. Íà êàæäîì àêòèâ- íîì ó÷àñòêå ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìåíÿåò ôàêòè÷åñêè ñòðîáîñêîïè÷åñêóþ ñòðàòåãèþ u ti ( , )� , â ïîñòðîåíèè êîòîðîé îñíîâíóþ ðîëü èã- ðàåò òàê íàçûâàåìàÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ â ïàññèâíîé ÷àñòè ïðèðàâ- íèâàåòñÿ ê íóëþ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà ïåðåõîäà îò àêòèâíîãî ó÷àñòêà ê ïàñ- ñèâíîìó ïðåñëåäîâàòåëþ íåîáõîäèìà èíôîðìàöèÿ îá óïðàâëåíèè óáåãàþùåãî íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè [ , ]0 t , ò.å. î ôóíêöèè � � � �t t( ) ( ) :� � { }0 äëÿ êàæäîãî òåêóùåãî çíà÷åíèÿ âðåìåíè t. Íàñòîÿùàÿ ÷àñòü ðàáîòû ñîñòîèò èç ïÿòè ðàçäåëîâ. Â ðàçä. 2 ïðåäëàãàåòñÿ îáùàÿ ñõåìà ïðåñëåäîâàíèÿ, ãäå â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (1) è îò ïàðàìåòðîâ îãðàíè÷åíèé (2), (3) çàäà÷à ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ñóùåñòâåííî ðàçëè÷- íûõ ñëó÷àÿ. Â ðàçä. 3 äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ è èññëåäóþòñÿ åå ñâîéñòâà. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ôóíêöèé â ðàçä. 4 è 5 äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû 1 è 2 î âîçìîæíîñòè çàâåðøåíèÿ ïðåñëåäîâàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ïðè äî- êàçàòåëüñòâå ýòèõ òåîðåì èñïîëüçóþòñÿ èäåè ðàáîò [8, 22–24, 34]. Âî âòîðîé ÷àñ- òè ðàáîòû ïðåäëàãàåìûé ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèìåíÿåòñÿ ê êîíòðîëüíîìó ïðèìåðó Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [1, 2] è çàäà÷å ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ ïðè ïðîñòîì äâèæåíèè èãðîêîâ äëÿ ñëó÷àÿ l-ïîèìêè. 2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÐÅÄÏÎËÎÆÅÍÈß Â äàëüíåéøåì ïî óìîë÷àíèþ èíäåêñ i ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ îò 1 äî m. Êðîìå òîãî, â ôîðìóëèðîâêå çàäà÷ ó÷àñòâóåò ôèêñèðîâàííûé ïàðàìåòð p p, �1, êîòî- ðûé â îáîçíà÷åíèÿõ îïóñêàåòñÿ. Ïóñòü � i — îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ èç R ni íà ïîäïðîñòðàí- ñòâî Li . Ðàññìîòðèì ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ � i A t i p ie B R Li i � , � i A t i q ie C R Li � ïðè t � 0. Ïðåäïîëîæåíèå 1. Óðàâíåíèå � �i A t i i A t ie B F e Ci i� èìååò ðåøåíèå F F ti� ( ) , ÿâëÿþùååñÿ íåïðåðûâíîé è íåîñîáîé ìàòðèöåé ïðè âñåõ t t, � 0 . Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Fi ( )� ïîñòðîèì ôóíêöèþ � � � � � � i V s t i p s t t s F t d s t( , ) sup \| ( ) ( ) \| , ( ) [ , ] � � � � 1 0 , ãäå V s t dp s t 1 1[ , ] ( ) : \| ( ) \|� � � � � �� . Âåëè÷èíó � �i s t i t s� �� sup ( , ) 0 íàçîâåì êî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 133 ýôôèöèåíòîì Íèêîëüñêîãî [23]. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî � i � 0, íî ñëó÷àé � i � � � íå èñêëþ÷àåòñÿ. Ïðåäïîëîæåíèå 2. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî � � � � � � �1 1 2 2 � � � �� m m . (4) Åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (4), òî ÿñíî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû � i îäíî- âðåìåííî íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ � � . Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: à) � � �i i/ äëÿ ëþáîãî i; á) � � �i i/ � äëÿ íåêîòîðûõ i . Äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ çàäà÷à ïðåñëåäîâàíèÿ èçó÷àåòñÿ ïî-ðàçíîìó. Â ñëó÷àå à) âå- ëè÷èíà � ðàçáèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: � � � �� 1 2 � m , (5) ãäå � �� i i i m m � � � � � � �� 1 1 2 2 1 � . Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî � � �i i i� äëÿ âñåõ i . Â ýòîì ñëó÷àå ïîñòðîåíèå ñòðàòåãèè ïðåñëåäîâàíèÿ ïðèâîäèòñÿ â ðàçä. 4 (òåî- ðåìà 1). Â ñëó÷àå á) äëÿ çàâåðøåíèÿ ïðåñëåäîâàíèÿ äîñòàòî÷íî àêòèâíîãî ó÷àñ- òèÿ òîëüêî òåõ ïðåñëåäîâàòåëåé, äëÿ êîòîðûõ � ��i i� (ðàçä. 5, òåîðåìà 2). 3. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÅÉ ÔÓÍÊÖÈÈ 3.1. Ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ñëó÷àÿ à). Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìíîãîçíà÷- íîå îòîáðàæåíèå U t F t e B Si i p i p i t A i p i i i( , , ) ( \| ( ) \| ) / ( )� � � � �� 1 e C t A i i( )�� , (6) ãäå 0 � t , ��R q , � � �� 0, i i i i , S pi — øàð ðàäèóñà 1 ñ öåíòðîì â íóëå ïðîñòðàíñòâà R pi . Ëåììà 1. Âêëþ÷åíèå 0� �U ti ( , , )� � âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ i t, , , ,� � òà- êèõ, ÷òî 0 �� t R q, è � 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (6) ïðè � 0. Òîã- äà èìååì U t F t e B S e Ci i i t A i p i t A i i i i( , , ) \| ( ) \| ( ) ( )� � � �� 0 � . Â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ 1 ïîëó÷àåì � � � � �� i t A i i t A i ie C e B F ti i( ) ( ) ( ) � �� . Îò- ñþäà íàõîäèì, ÷òî U t F t e B S e Bi i i t A i p i t A i i i i( , , ) \| ( ) \| ( ) ( )� � � �� 0 F ti ( )� �� \| ( ) \| ( ) \| ( ) \| ( ) F t e B S F t F t i i t A i p i i i i� � � � � � � � � �� , ( ) , { }, ( ) . åñëè åñëè F t F t i i � � � � 0 0 0 Èç F t Ri pi( )� �� è F t F t Si i pi ( ) \| ( ) \| � � � � � � � âèäíî, ÷òî 0 0� �U ti ( , , )� � ïðè âñåõ 0 � t è ��R q . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè i � 0 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (6) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî ïàðàìåòðó � 0, ò.å. èç 1 2� ñëåäóåò âêëþ÷åíèå U ti ( , , )� �� 2 � �U ti ( , , )� � 1 . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî 0 0� � � �U t U ti i( , , ) ( , , )� � � � äëÿ âñåõ � 0, 0 � t è ��R q . Ëåììà äîêàçàíà. 134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Ëåììà 2. Åñëè � i t t A i ie z Mi i( )� 1, ãäå z R t ti n i i� , 0 , òî ôóíêöèÿ � � �i i i i i t t A i it t t z M e z Ui i( , , , ) max : ( ) ( ( )� � � � � !� { 0 1 t � �"� � , , ) }, (7) îïðåäåëÿåìàÿ êàê ðàçðåøàþùàÿ äëÿ i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ, ïîëóíåïðåðûâíà ñâåð- õó ïî ïåðåìåííûì � è � , ãäå t ti � è ��R q . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè (7). Äëÿ ýòî- ãî ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ �( ) ( ) M e zi i t t A i i i1 � � è U ti ( , , )� � � áóäåì ðàñ- ñìàòðèâàòü êàê îòîáðàæåíèÿ, çàâèñÿùèå ëèøü îò , ôèêñèðóÿ îñòàëüíûå ïåðå- ìåííûå. Äëÿ êðàòêîñòè ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ K M e zi i i t t A i i i( ) ( ) ( ) �� 1 , U U ti i( ) ( , , ) � � � � è Q K Ui i i( ) ( ) ( ) � ! . Ïîêàæåì, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëå- íèÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ Qi ( ) , ò.å. dom { }Q Qi i� �" : ( ) , ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì. Âíà÷àëå ïîêàæåì îãðàíè÷åííîñòü dom Qi . Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì ïðîòèâ- íîå, ò.å. ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n iQ�dom , ÷òî n � �� ïðè n�� . Â ñèëó òåîðåìû 1.1 èç [7] ïîëó÷àåì, ÷òî Qi ( ) �" òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî min ( ( ) ( )) \| \| ( ) ( ) � � � � � � � 1 0W WU Ki i , ãäå � �Li . Ñëåäîâàòåëüíî, èç ñâîéñòâ îïîðíûõ ôóíêöèé [37] è êîíêðåòíîãî âèäà ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé Ki ( ) è U i ( ) èìååì (\| ( ) \| ) ( ) –/ ( )F t Wi p i p e B Si t Ai i pi� � �� 1 � � � �� ( , ) ( ) ( ) ( )� � � �� i t A i e z M e C Wi i t ti Ai i i 1 0 (8) äëÿ âñåõ � �, \| \| �1. Ñîãëàñíî ëåììå 1 ïðè âñåõ � �, \| \| �1, âûïîëíÿåòñÿ íåðà- âåíñòâî (\| ( ) \| ) ( ) (/ ( ) ( )F t W ei p i p e B S i t A i t Ai i pi� � �� 1 i C i � �, ) � 0 . Ïîýòîìó åñëè W i t ti Ai i ie z M� �� ( ) ( )1 0, òî íåðàâåíñòâî (8) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ � 0. Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà W i t ti Ai i ie z M� �� ( ) ( )1 0 . Èç òî- ãî, ÷òî � i t t A i ie z Mi i( )� 1 è M i 1 — âûïóêëîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, ïîëó÷à- åì, ÷òî ìíîæåñòâî #i i e z M L W i t ti Ai i i � � � � � � ��{ }� � � � : \| \| , ( )( )1 01 íåïóñòîå. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå � èç #i , äëÿ êîòîðîãî íåðàâåíñòâî (8), íà- ÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî � 0 , íå âûïîëíÿåòñÿ, ÷òî è ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæå- íèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî dom Qi îãðàíè÷åííîå. Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü çàìêíóòîñòü dom Qi . Ïîñêîëüêó ìíîãîçíà÷íûå îòîáðà- æåíèÿ U i ( ) è Ki ( ) äëÿ âñåõ � 0 êîìïàêòíîçíà÷íû è íåïðåðûâíû, òî èõ îïîðíûå ôóíêöèè WUi ( ) ( ) � è WKi ( ) ( ) �� òàêæå íåïðåðûâíû äëÿ âñåõ � 0 è � �#i [37] . Â ñèëó ýòîãî ïîëó÷àåì, ÷òî è ôóíêöèÿ � i ( ) � � � � � min [ ( ) ( )] \| \| ( ) ( ) � � � 1 W WU Ki i íåïðåðûâíà ïî , � 0 . Îòñþäà è ñëåäóåò çàìêíó- òîñòüdom { }Qi i� � � : ( ) 0 , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî êîìïàêòíîñòè ïîñëåäíåãî. Åñëè dom Qi — êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî èç [ , )0 �� , òî ñóùåñòâóåò åãî íàè- áîëüøèé ýëåìåíò, êîòîðûé ïðèìåì çà ôóíêöèþ � �i i it t t z( , , , )� � è ïîêàæåì ïî- ëóíåïðåðûâíîñòü ñâåðõó ýòîé ôóíêöèè ïî ïåðåìåííûì � è � , ãäå t ti � ,��R q . Èçâåñòíî (ñì. [8, 17]), ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ g x y( , ) íåïðåðûâíà íà ïðîèçâåäåíèè êîìïàêòîâ X Y, — ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðûõ êîíå÷íîìåðíûõ åâ- êëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ, òî íåïóñòîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå N x y Y( ) :� �{ g x y( , ) � 0} äëÿ âñåõ x X� ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó íà X . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 135 Ñëåäîâàòåëüíî, èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè � � � � � � � i i i U t M t t t z W W i i ( , , , , ) min [ ( ) \| \| ( , , ) ( � � � � � � 1 1� � � � � i t ti Ai ie z ( ) ) ( )] ïî ïåðåìåííûì �, è � , ãäå � �� 0, ,t t Ri q , íàõîäèì, ÷òî ìíîãîçíà÷- íîå îòîáðàæåíèå Q t t t z Q t t t zi i i i i i i( , , , ) : ( , , , , )� � � � � � �� dom { }0 ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó ïî ïåðåìåííûì � è � . Îòñþäà è èç òîãî, ÷òî Q t t t zi i i( , , , )� �� — êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî è ôóíêöèÿ � � � �i i i i i it t t z Q t t t z( , , , ) max ( , , , )� � � � � ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó ïî � è � , ãäå t ti � è ��R q . Ëåììà äîêàçàíà. 3.2. Ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ñëó÷àÿ á). Ïóñòü � � �i i� ïðè i k�1 1, , � � �i i� ïðè i k k� �1 1 2, è � � �i i� ïðè i k m� �2 1, . Â ýòîì ñëó÷àå, êàê ñêàçàíî â ðàçä. 2, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåñëåäîâàíèÿ äîñòàòî÷íî ó÷àñòèÿ â èãðå ïðåñëå- äîâàòåëåé ñ èíäåêñàìè îò 1 äî k2 . Êàê è â ñëó÷àå à), çäåñü ââîäèòñÿ ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå âèäà (6), íî ñ èçìåíåíèåì â òîì ìåñòå, ãäå êîíñòàíòà � � �i i i� � ïðè i k�1 1, è i � 0 ïðè i k k� �1 21, . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ëåììà 1 ñïðàâåäëèâà è äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. Ïîýòîìó àíà- ëîãè÷íî ëåììå 2 ìîæíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ. Ëåììà 3. Åñëè � i tA i ie z Mi 0 1 , ãäå z R ti ni0 0� �, , òî ôóíêöèÿ � � � � �i i i i tA i it t z M e z U ti( , , , ) max : ( ) ( , ,� � � � ! �0 1 00{ ) �"}, îïðåäåëÿåìàÿ êàê ðàçðåøàþùàÿ äëÿ i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ, ãäå i k�1 2, , ïîëóíåïðå- ðûâíà ñâåðõó ïî ïåðåìåííûì � è � , êîãäà 0 �� t R q, . Äëÿ i k m� �1 2 , ïîëàãàåì, ÷òî � �i it t z( , , , )� $0 0 . 4. ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÂÎÇÌÎÆÍÎÑÒÈ ÇÀÂÅÐØÅÍÈß ÏÐÅÑËÅÄÎÂÀÍÈß ÄËß ÑËÓ×Àß à) Ïóñòü âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ 1 è 2. Äëÿ ñëó÷àÿ à) âåëè÷èíà � ïðåäñòàâëåíà â âèäå (5) è äëÿ êàæäîãî i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ ïîñòðîåíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçðå- øàþùàÿ ôóíêöèÿ � �i i it t t z( , , , )� � , ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñâåðõó ïî � è � . Òå- ïåðü ñ ïîìîùüþ ýòîé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ % i i i t t i i it t z t t t z i i ( , , ) inf ( , , ( ), ( ) [ , ] � � � � � � 1 � �� ) ,d t ti t t i � 0 , ãäå V t t d i i i p i t t � � � � � �[ , ] ( ) : \| ( ) \|� � � � � �� , ti — íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìî- ìåíò âðåìåíè, z Ri ni� . Ïóñòü T T t zi i i i� ( , ) — ïåðâûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ % i i it t z( , , ) � 0 îòíîñèòåëüíî t . Åñëè òàêîãî êîðíÿ íå ñóùåñòâóåò, òî ïîëàãàåì Ti � � . Ïðåäïîëîæåíèå 3 (îòíîñèòåëüíî ñëó÷àÿ à)). Äëÿ êàæäîãî i ñóùåñòâóåò òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå T R Ri ni* : [ , )0 1�� , ÷òî T t z T t zi i i i i i( , ) ( , )* è T t zi i i * ( , )� �. Òåîðåìà 1. Åñëè âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ 1, 2 è 3 äëÿ íà÷àëüíîãî ïîëî- æåíèÿ z 0 , òî â èãðå (1) ñ îãðàíè÷åíèÿìè (2), (3) ïðè ñëó÷àå à) âîçìîæíî çàâåðøå- íèå ïðåñëåäîâàíèÿ çà íåêîòîðîå êîíå÷íîå âðåìÿ T T z� ( )0 . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ïðåäñòàâèì ÷åòûðüìÿ øàãàìè. 136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 4.1. Êîíñòðóêöèÿ ñòðàòåãèè. Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ ti è zi ââåäåì â ðàññìîò- ðåíèå ìíîæåñòâî Ì T m M T t T z m ei i i i i i i i i i i T1 1 1 1( , ) { : ( , , , )( (� � � � � �� i i it A iz � �) ) � � � � � � (\| ( ) \| ( , , , ) ) / ( F T T t T z e Bi i p i i i i i i p i Ti� � � � � � 1 i p i T A iS e Ci i i� �� ( ) }, ãäå t T T T z ti i i i i i �� , ( , ) è i m�1, . Èç òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ � �i i i i iT t T z( , , , )� � ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó ïî ( , )� � , ñëåäóåò ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñâåðõó ïî ( , )� � ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé � � �i i i i i i i T t A iT t T z M e zi i i( , , , )( ) ( )� � � �1 , (\| ( ) \| ( , , , ) ) / ( ) F T T t T z e Bi i p i i i i i i p i T i i� � � � �� 1 S e C p i T A i i i i� �� ( ) . Â ñèëó ëåììû 1.7.5 èç [38] ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ìíîæåñòâ M Ti i 1 ( , )� � � èçìåðèìî ïî Áîðåëþ îò ( , )� � . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ èçìåðèìàÿ ïî Áî- ðåëþ âåòâü m T M Ti i i i 1 1( , ) ( , )� � �� (ëåììà 1.7.7. [38]). Òîãäà èç îïðåäåëå- íèÿ ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè (7) ïîëó÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü âêëþ÷åíèÿ � � � � � �i i i i i i i i T t A i iT t T z m T e zi i i( , , , )( ( , ) ) ( )� � � � ��1 e C T A i i i( )� �� (\| ( ) \| ( , , , ) ) / ( ) F T T t T z e Bi i p i i i i i i p i Ti� � � � � �1 i p S i . Ïîñêîëüêó çäåñü âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1.7.10 Ôèëèïïîâà–Êàñòå- íà [38, 39], òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ èçìåðèìàÿ ïî Áîðåëþ îäíîçíà÷íàÿ âåòâü � ( , )u Ti i � � � èç S pi , ÷òî � � � � � �i i i i i i i i T t A i iT t T z m T e zi i i( , , , )( ( , ) ) ( )� � � � ��1 e C T A i i i( )� �� (\| ( ) \| ( , , , ) ) / ( ) F T T t T z e Bi i p i i i i i i p i Ti� � � � � �1 i i iu T� ( , )� � � , (9) ãäå t T Ri i q �� , . Â ñèëó ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà (9) ìîæíî îïðåäåëèòü ñòðàòåãèþ äëÿ i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ â âèäå u T F T T t T zi i i i p i i i i i i p( , ) (\| ( ) \| ( , , , ) ) /� � � � � �� 1 � ( , )u Ti i � � � , (10) êîòîðàÿ èçìåðèìà ïî Áîðåëþ ïðè t T Ri i q �� , . 4.2. Âñïîìîãàòåëüíàÿ ëåììà. Ëåììà 4. Åñëè � i T t A i ie z Mi i i( ) � 1, z Ri ni ,� 0 t Ti i , è äëÿ óïðàâëåíèÿ � � �� ( ) , t Ti i � , âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî t T p i i i d \| ( ) \|� � � � , òî èç òî÷êè zi * äëÿ i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ âîçìîæíî çàâåðøåíèå ïðåñëåäîâàíèÿ çà âðåìÿ T ti i� , ãäå T T t zi i i i� ( , )* — ïåðâûé ïîëîæèòåëüíûé êî- ðåíü óðàâíåíèÿ % i i it t z( , , )* � 0 îòíîñèòåëüíî t. Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ % i i i i i i i i t t t t z T t T z d i * * ( , , ( ), ) ( , , ( ), )� � � � �� 1 , ãäå � � � �� ( ), t ti , — óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî \| ( ) \|� � � �p i t t d i . Î÷åâèäíî, ÷òî % i i i it t z ( , , ( ), )� � �1 è ôóíêöèÿ % i i it t z ( , , ( ), )� � ïî ïåðåìåííîìó t t t Ti i, , ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà è ìî- íîòîííî íåâîçðàñòàþùàÿ. Îòñþäà è èç ïðåäïîëîæåíèÿ 3 ñëåäóåò ñóùåñòâîâà- íèå òàêîãî ìîìåíòà t t t Ti i i i , � , ÷òî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 137 % i i i it t z * ( , , ( ), )� � � 0 (11) è % i i it t z ( , , ( ), )� � � 0 äëÿ âñåõ t, êîãäà t t ti i � . Òîãäà äëÿ i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ â ïðîìåæóòêå âðåìåíè [ , ]t Ti i ïðåäïèøåì ðåà- ëèçîâàòü ñòðàòåãèþ (10) â âèäå u Ti i( , ( ))� �� ( \| ( ) ( ) \| ( , , ( ), ) ) �* * /F T T t T z ui i p i i i i i i p� � � � � � 1 i iT( , ( ))� � � � , (12) ãäå � � � � � � i i i i i i i i i iT t T z T t T z* * * ( , , ( ), ) ( , , ( ), ) � � � � � ïðè ïðè t t t t t T i i i i � � � � * * , .0 Èçâåñòíî, ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ áîðåëåâñêîé è èçìåðèìîé ïî Ëåáåãó ôóíêöèé áóäåò èçìåðèìîé ïî Ëåáåãó [40]. Ïîýòîìó óïðàâëåíèå i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ (12) òàêæå áóäåò èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó ïðè ïðîèçâîëüíîì äîïóñòèìîì óïðàâëåíèè óáåãàþùåãî � � �( ), t Ti i . Ïóñòü òåïåðü óáåãàþùèé âûáèðàåò óïðàâëåíèå � �( ) [ , ]� �V t T i i i , à ïðåñëåäî- âàòåëü ðåàëèçóåò ñòðàòåãèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ óïðàâëåíèþ (12). Òîãäà äëÿ óðàâíåíèÿ � ( , ( )) ( ), ( )z A z B u T C z z ti i i i i i i i i i� � � � �� ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Êîøè z t e z e B u T Ci t t A i t A i i i i i i i( ) ( ( , ( )) ( ) ( ) ( )� � � �� )d t t i � . Îòñþäà äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè T T t zi i i i� ( , )* â ñèëó ðàâåíñòâà (9) è âèäà óï- ðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ (12) íàõîäèì � �i i i i T t A iz T e zi i i( ) ( ) � �� i i i i i i i i T t T t T z m T e i i( , , ( ), )( ( , ( )) ( )1 A i t t i i i z d* ) * � � � � � � � � � � � � �i T t A i i i i i i t t e z T t T z di i i i i ( ) * ( , , ( ), ) 1 � � �� i i i i i i i t t T t T z m T d i i ( , , ( ), ) ( , ( ))* * 1 . Ïîñêîëüêó % i i i it t z* * ( , , ( ), )� � � 0, òî èç ëåììû Ñàòèìîâà [15] ïîëó÷àåì � � � � � � � �i i i i i i i i i i t z T T t T z m T d( ) ( , , ( ), ) ( , ( ))� � � � �1 i it * � � � � M T t T z d Mi i i i i i i t t i i 1 1 � � � �( , , ( ), )* * èëè z T Mi i i( )� . Òåïåðü îñòàåòñÿ ïîêàçàòü äîïóñòèìîñòü âûáðàííîãî óïðàâëåíèÿ u Ti i( , ( ))� � � � , t Ti i � . Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû � i èìååì t T i i p i V t T t T i i i i i i i F T d F � � � \| ( ) ( ) \| sup \| ( ) [ , ] � � � � � � 1 ( ) ( ) \| ( , )T d T ti p i i i i i i� � � � � � � � � � . 138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Òîãäà èç (12) ñïîñîáîì âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ è èç ðàâåíñòâà (11) íà- õîäèì, ÷òî \| ( , ( )) \| \| ( ) ( ) \|u T d F T di i p i i p t T t T i i i i � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �i t t i i i i i i i i i i i T t T z d * ( , , ( ), )* , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïóñòü T T t zi i i i� ( , )* — ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà � i T t A i ie z Mi i i( ) � � 1 è \| ( ) \|� � � �p i t T d i i . Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ â ïðîìåæóòêå âðåìåíè t Ti i � äîñòàòî÷íî ðåàëèçîâàòü óïðàâëåíèå (12) ïðè ïðåäïîëîæåíèè � � �i i i i iT t T z ( , , ( ), )� � $ 0 íà [ , ]t Ti i . Òîãäà íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî èãðà (1) èç òî÷êè zi ñ ïîìîùüþ i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ çàâåðøèòñÿ çà âðåìÿ T ti i� . Ëåììà äîêàçàíà. 4.3. Îñíîâíàÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà. Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíóþ èã- ðó (1) äëÿ i �1: � , ( )z A z B u C z z1 1 1 1 1 1 1 1 00� � � �� . (13) Â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ 3 ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ðåøåíèå T T z1 1 1 0� ( ) óðàâíåíèÿ %1 1 1 0 0( , , )t t z � , ãäå t1 0� . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî �1 1 0 1 11e z M tA ïðè t T�[ , ]0 1 . Ïóñòü � �� ( ) — ïðîèçâîëüíàÿ äîïóñòèìàÿ ôóíêöèÿ óáåãàþùåãî. Òîãäà äëÿ óïðàâëåíèÿ � � �( ), 0 1 T , âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1) \| ( ) \|� � � �p T d 1 0 1 ; 2) \| ( ) \|� � � �p T d � 1 0 1 . Â ñëó÷àå 1) â ñèëó ëåììû 4 ïåðâûé ïðåñëåäîâàòåëü, èç òî÷êè z 1 0 , ïðèìåíÿÿ óïðàâëåíèå (12) ïðè i �1, çàâåðøàåò ïðåñëåäîâàíèÿ çà âðåìÿ T T z1 1 1 0� ( ) â äèôôå- ðåíöèàëüíîé èãðå (13). Ñëåäîâàòåëüíî, è èãðà (1) èç òî÷êè z 0çàâåðøèòñÿ çà âðå- ìÿ T z T z( ) ( )0 1 1 0� . Â ñëó÷àå 2) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò t T2 1� , ÷òî \| ( ) \|� � � �p t d � 1 0 2 . Äî ìî- ìåíòà t2 ïåðâûé ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò äåéñòâîâàòü ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ (12) äëÿ i �1. Îäíàêî ñ ýòîãî ìîìåíòà t2 èç ïîçèöèè z z t e z e C d t A t A t 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2* ( ) ( ) ( )� � � �� íà÷èíàåò êîíñòðóèðîâàòü ñâîå óïðàâëåíèå âòîðîé ïðåñëåäîâàòåëü, äëÿ êîòî- ðîãî äî ìîìåíòà t2 ïîëàãàëè, ÷òî u2 0( )� $ . Çàòåì äëÿ âòîðîãî ïðåñëåäîâàòåëÿ ïîâòîðÿåòñÿ âñÿ ïðîöåäóðà ïðåñëåäîâàíèÿ, êàê è äëÿ ïåðâîãî ïðåñëåäîâàòåëÿ. Äëÿ óïðàâëåíèÿ � � �� ( ) , êîãäà t T2 2 � , ãäå T T t z2 2 2 2� ( , )* — ïåðâûé ïîëîæè- òåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ %2 2 2 0( , , )t t z � , âîçìîæíû ñëåäóþùèå äâà ñëó÷àÿ: 1&) \| ( ) \|� � � �p t T d 2 2 2 ; 2&) \| ( ) \|� � � �p t T d � 2 2 2 . Â ñëó÷àå 1&) â ñèëó ëåììû 4 âòîðîé ïðåñëåäîâàòåëü èç òî÷êè z2 çàâåðøàåò ïðåñëåäîâàíèå çà âðåìÿ T t2 2� . Òîãäà èãðà (1) èç òî÷êè z 0 çàâåðøàåòñÿ çà âðåìÿ T z T t z( ) ( , )0 2 2 2� ñî ñòîðîíû âòîðîãî ïðåñëåäîâàòåëÿ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 139 Â ñëó÷àå 2&) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè t T3 2� , ÷òî \| ( ) \|� � � �p t t d � 2 2 3 . Êàê è âûøå, çäåñü ñ ìîìåíòà âðåìåíè t3 èç ïîëîæåíèÿ z z t e z t A 3 3 3 3 03 3 ( )� � � � � e C d t A t ( ) ( )3 3 3 3 0 � � � � àíàëîãè÷íî ïåðâûì äâóì ïðåñëåäîâàòåëÿì íà÷èíàåò ðåàëè- çîâûâàòü ñâîþ ñòðàòåãèþ òðåòèé ïðåñëåäîâàòåëü, äëÿ êîòîðîãî äî ìîìåíòà t3 ïî- ëàãàåì u3 0( )� $ è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ïîî÷åðåäíî ðåàëèçóÿ ñâîè óïðàâëåíèÿ u u um1 2 1 1, � � �� , ïðå- ñëåäîâàòåëè ìîãóò çàâåðøèòü èãðó (1) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z 0äî m�1-ãî øàãà çà âðåìÿ T z T t zi i i( ) ( , )0 � , ãäå 1 1 �i m è z z1 1 0 � . Äîêàçàòåëüñòâî ïî- ñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ i � 3 ïðîâîäèòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ i �1 2, . Åñëè èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z 0 äî m�1-ãî øàãà íå çàâåðøèòñÿ ïðåñëåäî- âàíèå, òî íàñòóïèò òàêîé ìîìåíò t Tm m� �1, ÷òî \| ( ) \|� � � �p m t t d m m � � � 1 1 , è èç òî÷êè z z t e z e C dm m m t A m t A m t m m m m m * ( ) ( ) ( )� � � � 0 0 � � � � m-é ïðåñëåäîâàòåëü íà÷èíàåò ðåà- ëèçîâûâàòü óïðàâëåíèå (12) ïðè i m� , è óïðàâëåíèå u T t Tm m m m( , ( )),� � � � � , ïðèìåíÿåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà \| ( ) \|� � � �p m t T d m m , ãäå T T t zm m m m� ( , )* — ïåðâûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ %m m mt t z( , , )* � 0. Èç òîãî, ÷òî � � � �m m� � � � �( )1 1� , è ýòî åñòü ïîñëåäíÿÿ îñòàòî÷íàÿ ÷àñòü ðåñóðñà óáåãàþ- ùåãî, òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � � �( ), t Tm m , ïîëó÷àåì, ÷òî \| ( ) \| \| ( ) \| \| ( ) \| \| ( ) \|� � � � � � � � � � � � �p p p p t t d d d d m m � � � � � � 1t tt t T m m m 2 32 0 � � � � � � � � � � . Çíà÷èò, â ñèëó ëåììû 4 èç ïîëîæåíèÿ zm * m-é ïðåñëåäîâàòåëü äî ìîìåíòà çà- âåðøåíèÿ ïðåñëåäîâàíèÿ çàòðà÷èâàåò âðåìÿ T tm m� . Ñëåäîâàòåëüíî, è èãðà (1) ñ îãðàíè÷åíèÿìè (2), (3) èç òî÷êè z 0 çàâåðøàåòñÿ çà âðåìÿ T z T t zm m m( ) ( , )0 � . Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà zm çàâèñèò îò âûáîðà äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ � � �� ( ) , 0 � tm , à çíà÷èò, è ôóíêöèÿ T T t zm m m m� ( , )* òîæå çàâèñèò îò ýòîãî óïðàâëåíèÿ. 4.4. Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà èëè îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè T t zm m m( , )* . Èç îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèé T t z T t zm m m2 2 2 1 1 1( , ), ..., ( , )* * � � � ñëåäóåò è îãðàíè÷åí- íîñòü T t zm m m( , )* . Ñíà÷àëà ïîêàæåì îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè T t z2 2 2( , )* . Â ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè–Áóíÿêîâñêîãî è ìàòðè÷íîãî íåðàâåíñòâà \| \| \|\| \|\| \|\|e eAt A t äëÿ z z t t2 2 2 2 * ( , ( ))� �� , ãäå � � � �t t 2 0 2( ) ( ) :� � { }, èìååì \| \| [ \| \| \| \| \| \| ] (\| \|* \|\| \|\| \|\| \|\| z e z C t e z A t p A T 2 2 0 2 2 2 2 02 2 2 1 � �� \| \| \| \| )C Tp 2 1 2� , ÷òî óêàçûâàåò íà îãðàíè÷åííîñòü ïîëîæåíèÿ z2 * . Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ t T2 1� , ãäå T T z1 1 1 0� ( ) . Òåïåðü â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ 3 ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ïî ( , )t z2 2 ôóíêöèÿ T t z2 2 2 ( , ), òàêàÿ ÷òî T t z T t z2 2 2 2 2 2( , ) ( , ) * * . Äëÿ ôóíêöèè T t z2 2 2 * ( , ) íà [ , ]0 1 2T Q� , ãäå Q z z e z A T 2 2 2 2 02 1� �{ * \|\| \|\| : \| \| (\| \| � \| \| \| \| )C Tp 2 1 2� }, ñóùåñòâóåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå T2 * . Îòñþäà è ñëåäóåò îã- ðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè T t z2 2 2( , )* . 140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Îãðàíè÷åííîñòü T t z3 3 3( , )* ñëåäóåò èç îãðàíè÷åííîñòè T2 è ò.ä. Â èòîãå ïî- ëó÷àåì îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè T t zm m m( , )* . Òàêèì îáðàçîì, âðåìÿ çàâåðøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé èãðû (1) T z( )0 îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå 1. Äëÿ êàæäîãî i ïîëàãàëè, ÷òî � i t t A i ie z Mi i( ) � 1 ïðè t ti� . Åñëè òåïåðü äëÿ íåêîòîðîãî i i m, ,�1 , ñóùåñòâóåò ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè T T t zi i i i� ( , ) òàêîé, ÷òî � i T t A i ie z Mi i i( ) � � 1 è % i i it t z( , , ) � 0 äëÿ âñåõ t , t t Ti i � , òî, êàê îòìå÷åíî â êîíöå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 4, è â ýòîì ñëó÷àå èç ïîëîæåíèÿ z 0 â èãðå (1) âîçìîæíî çàâåðøåíèå ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ çà âðå- ìÿ T z T t zi i i( ) ( , )0 � ñî ñòîðîíû i-ãî ïðåñëåäîâàòåëÿ. 5. ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÂÎÇÌÎÆÍÎÑÒÈ ÇÀÂÅÐØÅÍÈß ÏÐÅÑËÅÄÎÂÀÍÈß Â ÑËÓ×ÀÅ á) Â ï. 3.2 îïðåäåëåíà ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ � �i it t z( , , , )� 0 , ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñâåðõó ïî � �, 0 t, è ��R q . Òåïåðü ñ åå ïîìîùüþ ââåäåì ôóíêöèþ âèäà %( , ) – inf max ( , , ( ), ( ) [ , ] , t z t t z V t i k i i 0 0 1 1 2 � � � � �� 0 0 ) d t � , ãäå � � � � � �� [ , ] ( ) : \| ( ) \|0 0 t dp t � � � � � �� , è äëÿ i k m� �2 1, ïîëàãàåì i $ 0 . Ïóñòü & � &T T z( )0 — ïåðâûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ %( , )t z 0 0� ; åñëè òà- êîãî íå ñóùåñòâóåò, òî ïîëàãàåì & � � �T z( )0 . Ïðåäïîëîæåíèå 4 (äëÿ ñëó÷àÿ á)). Ïóñòü äëÿ ïîçèöèè z 0 ñóùåñòâóåò êî- íå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè & � &T T z( )0 . Òåîðåìà 2. Åñëè âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ 1, 2 è 4, òî èç ïîçèöèè z 0 â èãðå (1) ñ îãðàíè÷åíèÿìè (2), (3) â ñëó÷àå á) âîçìîæíî çàâåðøåíèå ïðåñëåäîâà- íèÿ çà âðåìÿ & � &T T z( )0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî ïîëîæåíèÿ z 0âûïîëíåíû ïðåäïîëî- æåíèÿ 1, 2 è 4. Ðàññìîòðèì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ % , ( , , , ( )) max ( , , ( ), )& � � � & & � � T t z T T z d i k i i 0 1 01 2 � � � � � 0 t , ãäå � �� ( ) — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî. Î÷åâèäíî, ÷òî %* ( , , , ( ))& � �T z0 10 � , è ôóíêöèÿ %* ( , , , ( ))& �T t z 0 � íåïðåðûâíà ïî t , 0 &t T . Îòñþäà â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ 4 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ìî- ìåíòà t * , ÷òî t T* & è %* ( , , , ( ))& � �T t z 0 0� . Ïðè ýòîì % ( , , , ( ))& � �T t z 0 0� äëÿ âñåõ t , 0 �t t * . Òåïåðü äëÿ ôèêñèðîâàííûõ z i ki 0 21, ,� è & � &T T z( )0 ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷- íîå îòîáðàæåíèå M T m M T T z m ei i i i i i i T Ai1 1 1 0 1( , ) : ( , , , )(& � � � & & � �� { ' zi 0 )� � & � � & & � � (\| ( ) \| ( , , , ) ) / ( ) F T T T z e Bi p i i i p i T Ai� � � � � �0 1 ' i p i T A iS e Ci i� �� ( )' }, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, çäåñü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå M Ti 1 ( , )& � � � èçìåðèìî ïî ( , )� � , ãäå 0 & �� T R q, . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñò- âóåò îäíîçíà÷íàÿ èçìåðèìàÿ ïî Áîðåëþ âåòâü m T M Ti i 1 1( , ) ( , )& � � & �� (ëåììà 1.7.7 [38]). Îòñþäà â ñèëó ëåììû 3 âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 141 � � � � � � � i i i i T A i i T T T z m T e z ei( , , , )( ( , ) ) ' (& & � & � � � �0 1 0 ' )A i i C �� & � � & & � � (\| ( ) \| ( , , , ) ) / ( ) F T T T z e Bi p i i i p i T Ai� � � � � �0 1 ' i p S i . Ïîñêîëüêó ôóíêöèè � �i iT T z( , , , )& & � 0 , i k�1 2, , è mi ( , )� � èçìåðèìû ïî Áîðå- ëþ ïî ( , )� � , òî ïî òåîðåìå 1.7.10 Ôèëèïïîâà–Êàñòåíà [38, 39] óðàâíåíèå � � � � � � � i i i i T A i i T T T z m T e z ei( , , , )( ( , ) ) (& & � & � � � �0 1 0' ' )A i i C � � � & � � & & � � (\| ( ) \| ( , , , ) ) / ( ) F T T T z e Bi p i i i p i T Ai� � � � � �0 1 ' i iu� (14) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî â êëàññå èçìåðèìûõ ïî Áîðåëþ ôóíêöèé, è ýòî ðåøå- íèå îáîçíà÷èì � ( , )u Ti & � � � , ãäå � ( , )u T Si pi& � �� ïðè 0 & �� T R q, . Â ïðîöåññå èãðû äëÿ äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ óáåãàþùåãî � �( ) , 0 &� T , ïðåñëåäîâàòåëÿì ïðåäïèøåì ðåàëèçîâàòü ñòðàòåãèè u Ti ( , )& � � � , 0 &� T , i k�1 2, , â âèäå èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó óïðàâëåíèé âèäà u T F Ti i p( , ( )) (\| ( ) ( ) \|& � � & � �� & & � & � � � � � �i i i p iT T z u T* /( , , ( ), ) ) � ( , )0 1 , (15) ãäå � � � � � � i i i iT T z T T z t t* ( , , ( ), ) ( , , ( ), )& & � � & & � 0 0 0ïðè * * , .0 ïðè t t T� & � � � Ïîêàæåì, ÷òî ïðåäëîæåííûé ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ui ( , ( ))� � � , 0 &� T , ïîçâîëÿåò çàâåðøèòü ïðåñëåäîâàíèå ïðè ïðîèçâîëüíîì äîïóñòèìîì óïðàâëåíèè � � �� ( ) , 0 &� T , çà âðåìÿ & � &T T z( )0 . Äëÿ ýòîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè � ( , ( )) ( ), ( )z A z B u T C z zi i i i i i i i� � & � � �� 0 0 , äëÿ êàæäîãî i k�1 2, . Òîãäà íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Êîøè èìååì z T e z e B u T C di T A i T A i i i i i( ) [ ( , ( )) ( )] ( )& � � & � ��' '0 � � � � � � � 0 T ' . Èç (14), (15) íàõîäèì � � � � � �� i i i T A i i T A i i iz T e z e B u T Ci i( ) [ ( , ( )) ( )& � � & � ��' '0 � � �( )]d T � 0 ' � � & & � & � �� i T A i i i i ie z T T z m Ti' 0 0 1( , , ( ), )( ( , ( )) e z d T A i t i' 0 0 ) * � � � � & & � � � � �� i T A i t i ie z T T z di' 0 0 01 * ( , , ( ), ) � & & � & � � � � � � � �i t i iT T z m T d 0 0 1 * ( , , ( ), ) ( , ( )) . Íî äëÿ t * ñóùåñòâóåò òàêîå i0 èç 1 2, k , ÷òî � � � � i i t T T z d0 0 0 0 1( , , ( ), ) * & & � � . Äåéñò- âèòåëüíî, åñëè ïðåäïîëîæèòü îáðàòíîå, òî äëÿ âñåõ i k�1 2, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî 1 00 0 � & & � � � � � �i i t T t z d( , , ( ), ) * , ÷òî âëå÷åò min ( , , ( ), ) , * i k t i iT T z d � � & & � � � � �� 1 0 0 2 1 1 � � � � max ( , , ( ), ) , * i k i i t T T z d � & & � � 1 0 02 0 � � � � . 142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî %* ( , , ( ), )& � �T t zi� 0 0 , ïîýòîìó äëÿ i0 ïîëó÷àåì � � � � � � i i i TA i i i z T e z T T z di 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1( ) ( , , ( ), )& � � & & � t � � � �� & & � & � � � � � � � � � i i i t T T z m T d0 0 0 0 1 0 ( , , ( ), ) ( , ( )) * � & & � & � � � � � � � � � i i i t T T z m T d0 0 0 0 1 0 ( , , ( ), ) ( , ( )) * � & & � � & & � � � � � � � � i i i i i T T z M d M T T0 0 0 0 0 0 1 1( , , ( ), ) ( , , ( ), ) ** z d M i i tt 0 0 0 1 00 � � èëè z T M i i0 0( )& � . Òàêèì îáðàçîì, èãðà (1) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z 0 â ñëó- ÷àå á) çàâåðøàåòñÿ çà âðåìÿ & � &T T z( )0 . Îñòàëîñü ïîêàçàòü äîïóñòèìîñòü óïðàâëåíèÿ u u Ti i� & �( , ( ))� � � , 0 &� T . Òàê êàê ïî ïîñòðîåíèþ äëÿ âñåõ i k�1 2, âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå \| ( , ( )) \| \| ( ) ( ) \| ( , * u T d F T d Ti p i p i i t & � � & � � & & � � � � � � � � 0 T z di TT � � � � �, ( ), )0 00 '' , òî èç ëåãêî ïðîâåðÿåìûõ íåðàâåíñòâ \| ( ) ( ) \|F T di p i T & � � � � � �� 0 ' , 0 0 1 t i iT T z d * ( , , ( ), ) & & � � � � � ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî \| ( , ( )) \|u T di p i i T & � � � � � � �� 0 ' . Ïîñêîëüêó êîíñòàíòà � ��i i i� � ïðè i k�1 1, è � ��i i i� � � 0 ïðè i k k� �1 21, , ïðèõîäèì ê íåðà- âåíñòâó \| ( , ( )) \|ui p i T � � � � 0 ' äëÿ âñåõ i k�1 2, . Òåîðåìà 2 äîêàçàíà ïîëíîñòüþ. Çàìå÷àíèå 2. Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ i0 è z i0 0 ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò & � &T T z i i 0 0 0( ), ÷òî � i T A i i e z Mi i 0 0 0 0 0 0 1 ' � è %( , )t z i0 0 0� äëÿ âñåõ 0 0 t T i ' , òî i0-é ïðåñëåäîâàòåëü, ñòðîÿ ñâîå óïðàâëåíèå u u T i i i0 0 0� �( , ( ))' � � � , 0 0 0 &� T z i ( ), òàê æå, êàê â (15), ïîëàãàÿ ïðè ýòîì � � i i iT T z0 0 0 0* ( , , , )& � $' íà [ , ( )]0 0 0&T z i , çàâåðøàåò èãðó (1) èç òî÷êè z 0 çà âðåìÿ & � & � &T T z T z i ( ) ( ) 0 0 0 . Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ À.À. Àçàìîâó. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1988. — Ò. 2. — 576 c. 2. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ïðåñëåäîâàíèÿ // Ìàò. ñá. — 1980. — 112, ¹ 3. — C. 308–330. 3. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ñ ó á á î ò è í À . È . Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 455 ñ. 4. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Óïðàâëåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 520 ñ. 5. À é ç å ê ñ Ð . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.: Ìèð, 1967. — 480 ñ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 143 6. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Ïðîñòîå ïðåñëåäîâàíèå íåñêîëüêèìè îáúåêòàìè // Êèáåðíåòèêà. — 1976. — ¹ 3. — C. 145–146. 7. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1968. — ¹ 1. — Ñ. 65–78. 8. × è ê ð è é À . À . Êîíôëèêòíî óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. — 384 ñ. 9. Ï å ò ð î ñ ÿ í Ë . À . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ïðåñëåäîâàíèÿ. — Ë.: ËÃÓ, 1977. — 224 ñ. 10. Ñ à ò è ì î â Í . Þ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåñëåäîâàíèÿ â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð. — Òàøêåíò: Èçä-âî ÍÓÓç., 2003. — 296 ñ. 11. × å ð í î ó ñ ü ê î Ô . Ë . , Ì å ë è ê ÿ í À . À . Èãðîâûå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ è ïîèñêà. — Ì.: Íàóêà, 1978. — 270 ñ. 12. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ãðóïïîâîå ïðåñëåäîâàíèå â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Îïòèìèçàöèîííûå èññëåäîâàíèÿ è ñòàòèñòèêà. — Ëåéïöèã, 1982. — Ñ. 13–27. 13. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. — 260 ñ. 14. × è ê ð è é À . À . , Ý é ä å ë ü ì à í Ñ . Ä . Îáîáùåííûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè Ìèòòàã–Ëåôôëåðà â èãðîâûõ çàäà÷àõ äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì- íûé àíàëèç. — 2000. — ¹ 3. — Ñ. 3–32. 15. Ñ à ò è ì î â Í . Þ . Ê çàäà÷å ïðåñëåäîâàíèÿ â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 1973. — 9, ¹ 11. — Ñ. 2000–2009. 16. Ã ð è ã î ð å í ê î Í . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ íåñêîëüêèìè äèíàìè÷åñêèìè ïðîöåññàìè. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1990. — 198 ñ. 17. Ñ ó á á î ò è í À . È . , × å í ö î â À . Ã . Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 288 ñ. 18. À ç à ì î â À . Î çàäà÷å êà÷åñòâà äëÿ èãð ïðîñòîãî ïðåñëåäîâàíèÿ ñ îãðàíè÷åíèåì // Ñåðäèêà. Áúëãàðñêî ìàòåì. ñïèñ. — 1986. — ¹ 12. — Ñ. 38–43. 19. A z a m o v A . A . , S a m a t o v B . T . The Ï-Strategy: analogies and applications // The Fourth In- tern. Conf. Game Theory and Management , June 28–30, 2010, St. Petersburg, Russia, Collected pa- pers. — 2010. — Ð. 33–47. 20. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Î í î ï ÷ ó ê Þ . Í . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ñ èíòåãðàëü- íûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Òåõí. êèáåðíåòèêà. — 1968.— ¹ 1. — Ñ. 13–22. 21. × è ê ð è é À . À . Á å ç ì à ã î ð û ÷ í û é Â . Â . Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Àâòîìàòèêà. — 1993. — ¹ 4. — Ñ. 26–36. 22. × è ê ð è é À . À . , Á å ë î ó ñ î â À . À . Î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëü- íûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Òð. Èí-òà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ. — 2009. — 15, ¹ 4. — Ñ. 290–301. 23. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Ïðÿìîé ìåòîä â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíû- ìè îãðàíè÷åíèÿìè // Óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû. — 1969. — Âûï. 2. — Ñ. 49–59. 24. Ñ à ò è ì î â Í . , Ô à ç û ë î â À . Ç . , Õ à ì ä à ì î â À . À . Î çàäà÷å ïðåñëåäîâàíèÿ è óêëîíå- íèÿ â äèôôåðåíöèàëüíûõ è äèñêðåòíûõ èãðàõ ìíîãèõ ëèö ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 1984. — 20, ¹ 8. — Ñ. 1388–1396. 25. À ç è ì î â À . ß . , Ã ó ñ å é í î â Ô . Â . Î íåêîòîðûõ êëàññàõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ñ èíòåã- ðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõí. êèáåðíåòèêà. — 1972. — ¹ 3. — Ñ. 9–16. 26. Ó ø à ê î â Â . Í . Ýêñòðåìàëüíûå ñòðàòåãèè â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1972. — 36, ¹ 1. — Ñ. 15–22. 27. À ç à ì î â À . À . , Ê ó ÷ ê à ð î â À . Ø . , Ñ à ì à ò î â Á . Ò . Î ñâÿçè ìåæäó ðàçðåøèìîñòüþ çàäà÷ ïðåñëåäîâàíèÿ, óïðàâëÿåìîñòè è óñòîé÷èâîñòè â öåëîì â ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ ñ ðàçíî- òèïíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Òàì æå. — 2007. — 71, ¹ 2. — Ñ. 259–263. 28. À ç à ì î â À . À . , Ñ à ì à ò î â Á . Ò . Ëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà ñ «ëèíèåé æèçíè» ïðè ðàçíîòèïíûõ êëàññàõ óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ // Óçá. ìàò. æóðí. — 2011. — ¹ 3. — Ñ. 43–52. 29. Ä à ð ü è í À . Í . , Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè ïðè äâîéíûõ îãðàíè÷åíèÿõ // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 2003. — 39, ¹ 11. — Ñ. 1474–1486. 30. È á ð à ã è ì î â Ã . È . Ãðóïïîâîå ïðåñëåäîâàíèå ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà óïðàâ- ëåíèÿ èãðîêîâ // Ìàò. òðóäû. — 2003. — 6, ¹ 2. — Ñ. 66–79. 144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 31. Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . , Ð è æ ê î â à È . Ë . Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ñ ðàçíîòèï- íûìè èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // System Research Information Technologies. — 2002. — N 1. — P. 141–153. 32. Ñ à ì à ò î â Á . Ò . Îá èãðå ñ «ëèíèåé æèçíè» ïðè íàëè÷èè èíòåãðàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà óïðàâëåíèÿ // Äîêë. ÀÍ ÓçÑÑÐ. — 1985. — ¹ 3. — Ñ. 3–4. 33. Ñ à ì à ò î â Á . Ò . Ïîñòðîåíèå '-ñòðàòåãèè â èãðå ïðîñòîãî ïðåñëåäîâàíèÿ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ íåêëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Òàøêåíò: Ôàí, 1986. — Ñ. 402–412. 34. Ñ à ì à ò î â Á . Ò . Î çàäà÷å ïðåñëåäîâàíèÿ-óáåãàíèÿ ïðè ëèíåéíîì èçìåíåíèè ðåñóðñà ïðå- ñëåäîâàòåëÿ // Ìàò. òðóäû. — 2012. — 15, ¹ 2. — Ñ. 159–171. 35. A z a m o v A . A . , S a m a t o v B . T . '-strategy. An elementary introduction to the theory of dif- ferential games. — Taskent: National Univ. of Uzb., 2000. — 32 p. 36. S a m a t o v B . T . The Differential game with «a survival zone» with different classes of admis- siable control functions // Game Theory and Appl., Nova Sci. Publ., 2008. — N 13. — P. 143–150. 37. Á ë à ã î ä à ò ñ ê è õ Â . È . Ââåäåíèå â îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. — Ì.: Âûñø. øê., 2001. — 239 ñ. 38. Â à ð ã à Ä æ . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå äèôôåðåíöèàëüíûìè è ôóíêöèîíàëüíûìè óðàâíåíè- ÿìè. — Ì.: Íàóêà, 1977 — 624 ñ. 39. Ô è ë è ï ï î â À . Ô . Î íåêîòîðûõ âîïðîñàõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ // Âåñòí. ÌÃÓ. Ñåð. ìàò., ìåõ., àñòð., ôèçèêè, õèìèè. — 1959. — ¹ 2. — Ñ. 25–32. 40. À ë å ê ñ å å â Â . Ì . , Ò è õ î ì è ð î â Â . Ì . , Ô î ì è í Ñ . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. — Ì.: Íàóêà, 1979. — 430 ñ. Ïîñòóïèëà 26.11.2012

О задачах группового преследования при интегральных ограничениях на управления игроков. I

Репозитарії

Схожі ресурси