Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності
Розглянуто питання продовження мiр можливостi та необхiдностi на булеан. Доведено теореми, якi задають умови їх узгодженого продовження. Таким чином, побудовано основи коректного використання теорiї можливостей для розв’язання теоретичних та прикладних задач....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8635 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 7-13. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-8635 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-86352010-06-14T12:01:10Z Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності Бичков, О.С. Математика Розглянуто питання продовження мiр можливостi та необхiдностi на булеан. Доведено теореми, якi задають умови їх узгодженого продовження. Таким чином, побудовано основи коректного використання теорiї можливостей для розв’язання теоретичних та прикладних задач. A question about the continuation of measures of necessity and possibility from the algebra to a Boolean is considered. The theorems defining the conditions of their consistent continuation are proved. Thus, the foundations for a correct use of the theory of possibilities in solving the theoretical and applied tasks are constructed. 2009 Article Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 7-13. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8635 517.987 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бичков, О.С. Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності |
| description |
Розглянуто питання продовження мiр можливостi та необхiдностi на булеан. Доведено теореми, якi задають умови їх узгодженого продовження. Таким чином, побудовано основи коректного використання теорiї можливостей для розв’язання теоретичних та прикладних задач. |
| format |
Article |
| author |
Бичков, О.С. |
| author_facet |
Бичков, О.С. |
| author_sort |
Бичков, О.С. |
| title |
Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності |
| title_short |
Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності |
| title_full |
Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності |
| title_fullStr |
Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності |
| title_full_unstemmed |
Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності |
| title_sort |
про узгоджене продовження мір можливості та необхідності |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/8635 |
| citation_txt |
Про узгоджене продовження мір можливості та необхідності / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 7-13. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bičkovos prouzgodženeprodovžennâmírmožlivostítaneobhídností |
| first_indexed |
2025-07-02T11:15:42Z |
| last_indexed |
2025-07-02T11:15:42Z |
| _version_ |
1836533618023858176 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 517.987
© 2009
О.С. Бичков
Про узгоджене продовження мiр можливостi
та необхiдностi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю. I. Самойленком )
Розглянуто питання продовження мiр можливостi та необхiдностi на булеан. Доведе-
но теореми, якi задають умови їх узгодженого продовження. Таким чином, побудовано
основи коректного використання теорiї можливостей для розв’язання теоретичних та
прикладних задач.
У роботах [1–4] для моделювання невизначеностей пропонується застосовувати теорiю мож-
ливостей. Основи цiєї теорiї закладено в [5, 6]. У цих працях введено поняття мiр можли-
востi, необхiдностi та основнi аксiоми побудови простору можливостей. Для бiльш повного
опису невизначених подiй в [2, 3] доведено теорему про σ-адитивне продовження мiри з ал-
гебри на булеан iз збереженням властивостей мiри. Але, як було показано в [2], лише мiри
можливостей недостатньо для адекватного опису природних невизначеностей. Тому в [2]
запропоновано застосовувати PN -простiр з двома мiрами.
У цiй роботi узагальнено результати попереднiх дослiджень з побудови простору мож-
ливостей, доведено iснування κ-адитивного продовження мiри можливостей на булеан та
побудовано узгоджений простiр можливостей.
Основний результат. Нехай X — непорожня множина, A — клас пiдмножин X, який
мiстить ∅, X. Нехай κ позначає кардинальне число i κ > ℵ0.
Означення 1. κ-адитивна мiра можливостi на A визначається як функцiя P : A → L,
що задовольняє умову, якщо {At | t ∈ T} — сiм’я множин з A, |T | 6 κ,
⋃
t∈T
At ∈ A, то
P
(
⋃
t∈T
At
)
= sup
t∈T
P (At).
Означення 2. κ-зовнiшня мiра можливостi, побудована за κ-адитивною мiрою можли-
востi P на A, визначається як функцiя P ∗ : 2X → L, що задовольняє умову
∀B ∈ 2X : P ∗(B) = inf
{Et|t∈T}
sup
t∈T
P (Et),
де iнфiмум береться за системами {Et | t ∈ T} пiдмножин A, для яких |T | 6 κ i
⋃
t∈T
At ⊇ B.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 7
Означення 3. κ-мультиплiкативна мiра необхiдностi на A визначається як функцiя
N : A → L, що задовольняє умову, якщо {At | t ∈ T} — сiм’я множин з A, |T | 6 κ,
⋂
t∈T
At ∈ A, то N
(
⋂
t∈T
At
)
= inf
t∈T
N(At).
Означення 4. κ-внутрiшня мiра необхiдностi, побудована за κ-мультиплiкативною мi-
рою необхiдностi N на A, визначається як функцiя N∗ : 2X → L, що задовольняє умову
∀B ∈ 2X : N∗(B) = sup
{Et|t∈T}
inf
t∈T
N(Et), де супремум береться за системами {Et | t ∈ T}
пiдмножин A, для яких |T | 6 κ i
⋂
t∈T
At ⊆ B.
Означення 5. κ-узагальнене заперечення на A визначається як функцiя θ : A → A,
що задовольняє умови:
1) якщо {At | t ∈ T} — сiм’я множин з A, |T | 6 κ,
⋃
t∈T
At ∈ A, то
⋂
t∈T
θ(At) ∈ A
i виконується рiвнiсть θ
(
⋃
t∈T
At
)
=
⋂
t∈T
θ(At);
2) ∀A ∈ A : θ(θ(A)) = A.
Означення 6. Мiра можливостi P називається нормованою, якщо P (X) = 1, P (∅) = 0.
Мiра необхiдностi N називається нормованою, якщо N(X) = 1, N(∅) = 0.
Надалi усi мiри можливостi та усi мiри необхiдностi будуть вважатися нормованими.
Означення 7. P -моделлю теорiї можливостей назвемо трiйку (X,A,P ), де P є κ-ади-
тивною мiрою можливостi на A, для деякого κ > ℵ0.
Означення 8. PN -моделлю теорiї можливостей назвемо четвiрку (X,A,P,N), де P
є κ-адитивною мiрою можливостi на A, N є κ-мультиплiкативною мiрою необхiдностi на
A, для деякого κ > ℵ0.
Означення 9. PN -модель називається узгодженою, якщо ∀A ∈ A N(A) 6 P (A) i, крiм
того, iснують узагальнене заперечення θ та неперервна спадна бiєкцiя θN
L : [0, 1] → [0, 1]
такi, що ∀A ∈ A : P (θ(A)) = θN
L (N(A)).
Узгоджена PN -модель надає кожнiй подiї значення можливостi i необхiдностi, причому
цi значення є пов’язаними за допомогою узагальненого заперечення. Заперечення не обо-
в’язково є доповненням. P -модель надає формалiзацiю лише поняттю можливостi i може
розглядатися як спрощення PN -моделi.
Властивостi κ-адитивних мiр можливостi i необхiдностi. Далi позначатимемо A
клас пiдмножин X, замкнений вiдносно скiнченних об’єднань та перетинiв, що мiстить ∅
i X.
Введемо позначення
OA =
{
{Et} : Et ∈ A, t ∈ T, A ⊆
⋃
t∈T
Et
}
,
OB =
{
{Et} : Et ∈ B, t ∈ T, B ⊆
⋃
t∈T
Et
}
.
Лема 1. Зовнiшня мiра можливостi P ∗(·)-монотонна, тобто для ∀A,B ⊆ X таких,
що A ⊆ B матимемо P ∗(A) 6 P ∗(B).
Лема 2. Якщо P — κ-мiра можливостi на A, P ∗ — κ-зовнiшня мiра можливостi,
побудована за P , то для довiльної множини A ∈ A виконується P ∗(A) = P (A).
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Теорема 1. Нехай P — κ-адитивна мiра можливостi на A, P ∗ — κ-зовнiшня мiра
можливостi, побудована за мiрою можливостi P . Тодi P ∗ — κ-адитивна мiра можливо-
стi на булеанi X, яка є продовженням мiри P .
Доведення. P ∗ є продовженням P за лемою 2. Покажемо κ-адитивнiсть P ∗ на булеа-
нi X, тобто покажемо виконання рiвностi
P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
= sup
t∈T
P ∗(At) для |T | 6 κ, ∀ t ∈ T : At ⊆ X.
Спочатку доведемо виконання нерiвностi
P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
6 sup
t∈T
P ∗(At).
Для множини
⋃
t∈T
At маємо
P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
= inf
{Et∈T }
sup
t∈T
P (At).
Вiдповiдно, для кожної iз множин At виконується
P ∗(At) = inf
{Etp}∈OAt
sup
p∈T
(Etp). (1)
Сiм’я множин {Ejk} є одним iз зовнiшнiх покриттiв множини
⋃
t∈T
At, причому її поту-
жнiсть не перевищує κ2 = κ. Оскiльки нижня грань множини не бiльша за будь-який його
член, то виконується така нерiвнiсть:
P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
= inf
{Et∈T }
sup
t∈T
P (At) 6 sup
t∈T
p∈T
P (Etp) = sup
t∈T
sup
p∈T
P (Etp). (2)
З (1) випливає, що для кожного t ∈ T можна пiдiбрати таке зовнiшнє покриття {Etp}p∈T ,
що P ∗(At) > sup
p∈T
P (Etp) − ε. Пiдставивши цей вираз у (2), одержимо, що P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
6
6 sup
t∈T
P ∗(At) + ε. Оскiльки ε може бути як завгодно малим додатним числом, маємо
P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
6 sup
t∈T
P ∗(At).
Доведемо тепер нерiвнiсть
P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
> sup
t∈T
P ∗(At). (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 9
З монотонностi κ-зовнiшньої можливостi i включення ∀s ∈ T
⋃
t∈T
At ⊇ As випливає, що
P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
> P ∗(As), звiдки, переходячи до супремума, отримуємо нерiвнiсть (3).
Таким чином, P ∗
(
⋃
t∈T
At
)
= sup
t∈T
P ∗(At). Отже, P ∗(·), за означенням, мiра можливостi,
що i доводить теорему.
Наслiдок. Нехай P — κ-адитивна мiра можливостi на A; B — клас пiдмножин X та-
кий, що A ⊆ B, P ∗ — κ-зовнiшня мiра можливостi, побудована за мiрою можливостi P .
Тодi P ∗|B — κ-адитивна мiра можливостi на B, яка є продовженням мiри P .
Далi в текстi ця мiра називатиметься стандартним κ-продовженням P з A на B.
Введемо такi позначення
IA =
{
{Et} : Et ∈ A, t ∈ T, A ⊇
⋃
t∈T
Et
}
,
IB =
{
{Et} : Et ∈ B, t ∈ T, B ⊇
⋃
t∈T
Et
}
.
Теорема 2. Нехай N — κ-мультиплiкативна мiра необхiдностi на A, N∗ — κ-внутрi-
шня мiра необхiдностi, побудована за N . Тодi N∗ — κ-мультиплiкативна мiра необхiдно-
стi на булеанi X, яка є продовженням N .
Покажемо, що для довiльної множини A ∈ A внутрiшня мiра необхiдностi дорiвнює мiрi
необхiдностi цiєї множини, тобто N∗(A) = N(A).
Виберемо сiм’ю {Et}t∈T , Et ∈ A таким чином, що T = {1}, E1 = A. Отримаємо, що
A =
⋂
t∈T
Et i, вiдповiдно, sup
{Et}∈IA
inf
t∈T
N(Et) > N(A), тобто N∗(A) > N(A).
За означенням точної верхньої гранi для ∀ ε > 0 ∃ {Et}t∈T , Et ∈ A така, що
inf
t∈T
N(Et) > N∗(A) − ε.
Оскiльки A = A
⋃
(
⋂
t∈T
Et
)
=
⋂
t∈T
(
A
⋃
Et
)
, то
N(A) = N
(
⋂
t∈T
(
A
⋃
Et
))
= ⊗
t∈T
N
(
A
⋃
E5
)
= inf
t∈T
N
(
A
⋃
Et
)
> inf
t∈T
N(Et)
для A ∈ A. Звiдси випливає, що N(A) > N∗(A)− ε. Але при ε → 0 матимемо знак нестрогої
нерiвностi, тобто N(A) > N∗(A). Отже, N(A) = N∗(A).
Покажемо κ-мультиплiкативнiсть N∗ на булеанi X, тобто
N∗
(
⋂
t∈T
At
)
= inf
t∈T
N∗(At) для |T | 6 κ, ∀ t ∈ T : At ⊆ X.
Спочатку доведемо виконання нерiвностi
N∗
(
⋂
t∈T
At
)
> inf
t∈T
N∗(At).
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Нехай для множини
⋂
t∈T
At маємо N∗
(
⋂
t∈T
At
)
= sup
{Et}∈T
inf
t∈T
N(Et) i, вiдповiдно, для кож-
ної з множин At виконується
N∗(At) = sup
{Ets}∈IAt
inf
s∈T
N(Ets). (4)
Сiм’я множин {Ets}t,s∈T є одним з внутрiшнiх покриттiв множини
⋂
t∈T
At, причому її
потужнiсть не перевищує κ2 = κ. Оскiльки верхня грань множини не менша за будь-який
його член, то виконується така нерiвнiсть:
N∗
(
⋂
t∈T
At
)
= sup
{Et}∈IA
inf
t∈T
N(Et) > inf
t.s∈T
N(Ets) = inf
t∈T
inf
s∈T
N(Ets). (5)
З (4) випливає, що для кожного t ∈ T можна пiдiбрати таке внутрiшнє покриття
{Ets}, s ∈ T , що N∗(At) 6 inf
t∈T
N(Ets) + ε. Пiдставивши цей вираз у (5), отримаємо, що
N∗
(
⋂
j∈T
Aj
)
> inf
j∈T
N∗(Aj) − ε. Оскiльки ǫ може бути наскiльки завгодно малим додатним
числом, то
N∗
(
⋂
t∈T
At
)
> inf
t∈T
N∗(At). (6)
Доведемо тепер зворотну нерiвнiсть, тобто
N∗
(
⋂
t∈T
At
)
6 inf
t∈T
N∗(At).
Маємо, що
⋂
t∈T
At ⊆ At. З монотонностi внутрiшньої необхiдностi випливає, що
N∗
(
⋂
t∈T
At
)
6 N∗(At).
Звiдси отримуємо нерiвнiсть
N∗
(
⋂
t∈T
At
)
6 inf
t∈T
N∗(At).
Звiдси i з нерiвностi (6) маємо N∗
(
⋂
t∈T
At
)
= inf
t∈T
N∗(At).
Отримали, що N∗(·) — за визначенням мiра необхiдностi i на множинах з A набуває
значення N(·), що i доводить теорему.
Наслiдок. Нехай N — κ-мультиплiкативна мiра необхiдностi на A; B — клас пiд-
множин X, такий, що A ⊆ B. N∗ — κ-внутрiшня мiра необхiдностi, побудована за N .
Тодi N∗|B — κ-мультиплiкативна мiра необхiдностi на B, яка є продовженням.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 11
Далi в текстi ця мiра називатиметься стандартним κ-продовженням N з A на B.
Лема 3 (транзитивнiсть продовжень). Нехай P — κ-адитивна мiра можливостi на A;
B i C — класи пiдмножин X, замкненi вiдносно скiнченних об’єднань та перетинiв i такi,
що A ⊆ B ⊆ C. Нехай Q — стандартне κ-продовження P з A на B, R — стандартне
κ-продовження Q з B на C, H — стандартне κ-продовження P з A на C. Тодi H = R.
Доведення. Позначатимемо через Et пiдмножини з A, Ft — пiдмножини з B. Нехай
A ∈ C:
R(A) = inf
{
sup
t∈T
Q(Ft) | |{Ft, t ∈ T}| 6 κ,
⋃
t∈T
Ft ⊇ A
}
= inf
{Ft,t∈T} :
⋃
Ft⊇A
sup
t∈T
P ∗(Ft).
За теоремою про продовження та з монотонностi зовнiшньої мiри маємо
R(A) = inf
{Ft,t∈T} :
⋃
Ft⊇A
P ∗
(
⋃
t∈T
Ft
)
> P ∗(A) = H(A).
З iншого боку, враховуючи, що A ⊆ B, отримуємо
R(A) = inf
{Ft,t∈T} :
⋃
Ft⊇A
sup
t∈T
Q(Ft) 6 inf
{Et,t∈T} :
⋃
Et⊇A
sup
t∈T
Q(Et) =
= inf
{Et,t∈T} :
⋃
Et⊇A
sup
t∈T
P (Et) = H(A).
Лему доведено.
Теорема 3. Нехай B — клас пiдмножин X, A ⊆ B замкнений вiдносно κ-об’єднань та
перетинiв (як i A). Нехай на A задано κ-адитивну мiру можливостi P , κ-мультиплi-
кативну мiру необхiдностi N i κ-узагальнене заперечення θ. Нехай iснує продовження θ
до κ-узагальненого заперечення θ1 на B i iснує функцiя θN
L : L → L — неперервна i строго
спадна бiєкцiя, така, що ∀A ∈ A : P (θ(A)) = θN
L (N(A)) (обернену до неї функцiю позна-
чимо θP
L ). Нехай P1, Q1 — стандартнi κ-продовження вiдповiдно P i N з A на B. Тодi
∀A ∈ B : P1(θ1(A)) = θN
L (N1(A)).
Доведення. Маємо
θN
L (N1(θ1(A))) = θN
L
(
sup
{Et,t∈T} :
⋂
Et⊆θ1(A)
inf
t∈T
N(Et)
)
=
= inf
{Et,t∈T} :
⋂
Et⊆θ1(A)
sup
t∈T
θN
L (N(Et)) = inf
{Et,t∈T} :
⋃
θ1(Et)⊇A
sup
t∈T
θN
L (N(Et)).
Виконавши замiну Ft = θ(Et), отримаємо
θN
L (N1(θ1(A))) = inf
{Ft,t∈T} :
⋃
Ft⊇A
sup
t∈T
θN
L (N(θ(Ft))) = inf
{Ft,t∈T} :
⋃
Ft⊇A
sup
t∈T
P (Ft) = P1(A).
Теорему доведено.
Таким чином, одержано твердження, якi узагальнюють результати робiт [1–4]. Доведено
iснування κ-продовжень мiр необхiдностi та можливостi на булеан. Також дається означен-
ня узгодженої моделi теорiї можливостi та доведено умови узгодженого κ-продовження мiр
на довiльний клас множин.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
1. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применение. – Москва: УРСС, 1990. – 190 с.
2. Бичков О.С., Колеснiков К.С. Побудова (PN)-моделi теорiї можливостей // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер.
фiз.-мат. науки. – 2007. – № 1. – С. 134–138.
3. Бычков А.С. Об одном развитии теории возможностей // Кибернетика и систем. анализ. – 2007. –
№ 5. – С. 67–72.
4. Бичков О.С. До теорiї можливостей та її застосування // Доп. НАН України. – 2007. – № 5. – С. 7–12.
5. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. – 1978. – 1. –
P. 3–28.
6. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. –
Москва: Радио и связь, 1990. – 288 с.
Надiйшло до редакцiї 21.10.2008Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
O. S. Bychkov
About a consistent continuation of measures of necessity and possibility
A question about the continuation of measures of necessity and possibility from the algebra to a
Boolean is considered. The theorems defining the conditions of their consistent continuation are
proved. Thus, the foundations for a correct use of the theory of possibilities in solving the theoretical
and applied tasks are constructed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 13
|