О вложениях S² в E⁴

Доказано, что для любой гладко вложенной сферы S² в евклидово пространство E⁴ всегда найдется точка такая, что любая двумерная плоскость, проходящая через эту точку, пересекает сферу S²....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2013
Main Author:	Болотов, Д.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2013
Series:	Доповіді НАН України
Subjects:	Математика
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86493
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О вложениях S² в E⁴ / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 19–22. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-86493
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-864932015-09-20T03:02:10Z О вложениях S² в E⁴ Болотов, Д.В. Математика Доказано, что для любой гладко вложенной сферы S² в евклидово пространство E⁴ всегда найдется точка такая, что любая двумерная плоскость, проходящая через эту точку, пересекает сферу S². Доведено, що для будь-якої гладко вкладеної сфери S² у евклiдiв простiр E⁴ завжди зна- йдеться точка така, що будь-яка двовимiрна площина, яка проходить через цю точку, перетинає сферу S². We prove that, for any smoothly embedded sphere S² in the Euclidean space E⁴, there is a point such that any two-dimensional plane passing through this point intersects the sphere S². 2013 Article О вложениях S² в E⁴ / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 19–22. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86493 515.168.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Болотов, Д.В. О вложениях S² в E⁴ Доповіді НАН України
description	Доказано, что для любой гладко вложенной сферы S² в евклидово пространство E⁴ всегда найдется точка такая, что любая двумерная плоскость, проходящая через эту точку, пересекает сферу S².
format	Article
author	Болотов, Д.В.
author_facet	Болотов, Д.В.
author_sort	Болотов, Д.В.
title	О вложениях S² в E⁴
title_short	О вложениях S² в E⁴
title_full	О вложениях S² в E⁴
title_fullStr	О вложениях S² в E⁴
title_full_unstemmed	О вложениях S² в E⁴
title_sort	о вложениях s² в e⁴
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86493
citation_txt	О вложениях S² в E⁴ / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 19–22. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT bolotovdv ovloženiâhs2ve4
first_indexed	2025-07-06T13:58:56Z
last_indexed	2025-07-06T13:58:56Z
_version_	1836906275888168960
fulltext	УДК 515.168.3 Д.В. Болотов О вложениях S 2 в E 4 (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко) Доказано, что для любой гладко вложенной сферы S2 в евклидово пространство E4 всегда найдется точка такая, что любая двумерная плоскость, проходящая через эту точку, пересекает сферу S2. Целью данной работы является доказательство следующего результата. Теорема 1. Пусть S2 ⊂ E4 — двумерная сфера, C2 — гладко вложенная в евклидово четырехмерное пространство. Тогда найдется такая точка x ∈ E4, что любая двумерная плоскость, проходящая через x, пересекает S2. Доказательство. Сфера S2 лежит в некотором шаре B4, граница которого S3 касается сферы S2. Пусть p ∈ S3 ⋂ S2. Введем в E4 евклидовы координаты {xi, i = 1, . . . , 4} так, что точка p является началом координат, а координатный репер {ei, i = 1, . . . , 4} обладает тем свойством, что {e1, e2} определяет базис касательной плоскости сферы S2 в точке p, а e3 ортогонален касательной плоскости к S3 в точке p. Тогда в некоторой окрестности Up точки p сфера S2 задается системой { x3 = f(x1, x2), x4 = g(x1, x2), где f — выпуклая функция. Это означает, что множество γε : f = ε определяет выпуклую кривую в трехмерной плоскости Π: x4 = 0. Пусть Πε — трехмерная плоскость x3 = ε. Если ε достаточно мало, то кривая γ = S2 ⋂ Πε на сфере S2 принадлежит Up и однозначно проектируется в γε при ортогональной проекции E4 → Π. Кроме того, γ лежит на цилиндре f = ε, который ограничивает выпуклое множество в Πε. Отсюда следует, что γ лежит на границе своей выпуклой оболочки Lγ ⊂ Πε. Теперь будем рассуждать от противного. Предположим, что через всякую точку x ∈ ∈ E4 \ S2 проходит двумерная плоскость πx такая, что πx ⋂ S2 = ∅. (∗) Рассмотрим два случая. Случай 1. Предположим, что γ — плоская кривая, лежащая в некоторой двумерной плоскости α ⊂ Πε. Тогда Lγ гомеоморфно двумерному диску и для всякой точки x ∈ intLγ пересечение πx ⋂ Πε есть прямая lx, которая пересекает диск Lγ в одной точке x, где πx удовлетворяет (∗). В противном случае πx ⋂ Πε пересекает γ, что невозможно по предполо- жению. Это означает, что γ представляет нетривиальный элемент фундаментальной группы π1(E 4 \πx), так как косая проекция p : E4 → α, параллельная πx, оставляет неподвижными точки α, и является деформационной ретракцией E4 \ πx на α \ x, а значит, индуцирует © Д.В. Болотов, 2013 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 19 изоморфизм фундаментальных групп. Однако ясно, что γ является представителем обра- зующей группы π1(α \ x) = Z. С другой стороны, γ стягивается по сфере S2 ⊂ π1(E 4 \ πx) в точку, так как сфера односвязна. Получаем противоречие. Случай 2. Предположим, что γ — пространственная кривая, лежащая в трехмерной плоскости Πε. Тогда Lγ гомеоморфно трехмерному шару B и для всякой точки x ∈ intLγ пересечение πx ⋂ Πε есть прямая lx, которая пересекает граничную сферу S := ∂Lγ в двух точках. Заметим, что πx ⋂ Πε не может быть плоскостью, так как всякая плоскость, про- ходящая через x должна пересекать γ. Кривая γ разделяет сферу S на два диска D1, D2. Допустим #(lx ⋂ Di) = 1. Диск D1 вместе с одним из дисков, на которые γ разбивает сфе- ру S2, образуют многообразие S′, также гомеоморфное сфере. Мы можем считать, что lx пересекает D1 в гладкой точке y, если надо немного пошевелив πx. Напомним, что гладкой точкой границы выпуклого множества называется точка границы, в которой имеется един- ственная опорная плоскость. Заметим, что почти все точки границы выпуклого множест- ва гладкие [1]. Заменим S′ гладким многообразием S′′, аппроксимируя S′ вне некоторого конуса с центром в y и осью lx. Тогда S′′ пересекает πx трансверсально в единственной точке y. Теперь рассмотрим одноточечную компактификацию E4, гомеоморфную S4. При этом плоскость πx компактифицируется в сферу S′′′ ⊂ S4. По построению S′′ и S′′′ пересе- каются трансверсально в единственной точке. Напомним, что класс Тома ориентируемого p-мерного векторного расслоения E над гладким многообразием R — это когомологиче- ский класс Φ(E) ∈ H p DR(E), ограничение которого на каждый слой F есть образующая старших когомологий с компактными носителями Hp c (F ) слоя F [2, § 6, c. 76]. Как извест- но, класс Тома Φ(NR) ∈ H p DR(M) нормального расслоения NR к замкнутому ориенти- руемому подмногообразию R коразмерности p ориентируемого многообразия M является двойственным по Пуанкаре к R [2, § 6, c. 76]. Заметим, что NR естественно отождеств- ляется с трубчатой окрестностью R [2, § 6, c. 77]. А если подмногообразия R и S пересе- каются трансверсально в том смысле, что для любой точки пересечения x ∈ R ⋂ S имеем TxR+TxS = TxM , то Φ(NR∩S) = Φ(NR⊕NS) = Φ(NR)∧Φ(NS) [2, § 6, c. 80]. В нашем случае имеем 0 6= Φ(NS′′∩S′′′) = Φ(NS′′)∧Φ(NS′′′), так как двойственный по Пуанкаре класс к точке в ориентируемом многообразии не нулевой и, более того, является образующей в старших когомологиях Hn c (M) (см. [2, § 6]). Однако классы Φ(NS′′) и Φ(NS′′′) нулевые, так как они принадлежат тривиальной группе H2 DR(S 4). Мы получаем противоречие, а значит, предпо- ложение, что #(lx ⋂ Di) = 1, неверно. Поэтому либо #(lx ⋂ Di) = 0, либо #(lx ⋂ Di) = 2. Пусть x ∈ D1, y ∈ D2 — гладкие точки границы S выпуклого тела Lγ , а πx и πy — плос- кости, удовлетворяющие (∗). Так как x и y принадлежат Lγ , пересечения Πε ⋂ πx и Πε ⋂ πy должны быть прямыми, которые мы обозначим lx и ly соответственно. Если lx и ly оказа- лись лежащими в опорных плоскостях Tx и Ty для Lγ , то, сколь угодно мало пошевелив πx и πy, найдем плоскости π′ x и π′ y, по-прежнему удовлетворяющие (∗) и пересекающие Πε по прямым l′x и l′y так, что l′x ⋂ Tx = x и l′y ⋂ Ty = y. Так как Tx и Ty являются касательными конусами в x и y соответственно, то l′x и l′y имеют непустое пересечение с intLγ . Пусть I — отрезок, соединяющий точки x1 ∈ l′x ⋂ intLγ и x2 ∈ l′y ⋂ intLγ . Представим I в виде ди- зъюнктного объединения I = C1 ⋃ C2, где Ci определяются следующим образом: x ∈ Ci, если существует плоскость πx, удовлетворяющая (∗), такая, что lx ⋂ S ⊂ Di. Так как по построению Ci 6= ∅ и, кроме того, Ci являются открытыми множествами, а отрезок I свя- зен, то существует точка x ∈ C1 ⋂ C2. Пусть π1, π2 — плоскости, удовлетворяющие (∗), такие, что π1 ⋂ π2 = x и пересекающие Πε по прямым l1, l2 соответственно, таким, что li ⋂ S ⊂ Di. 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11 Рис. 1 Определим плоскость πε := Πε ⋂ Π { x3 = ε, x4 = 0. Заметим, что плоскость π12, натянутая на l1, l2, пересекает γ минимум в четырех точках. А так как кривая γ однозначно проектируется в выпуклую кривую γε относительно орто- гональной проекции r : Πε → πε, образ r(π12) не может вырождаться в прямую, поскольку прямая пересекает выпуклую кривую максимум в двух точках. Пусть n — нормаль к πε, x — радиус-вектор точки x, а v1 — направляющий вектор прямой l1. Рассмотрим семейство плоскостей πt 1, проходящих через некоторую точку x1 ∈ π1 \ l1 с радиусом-вектором x1 па- раллельно векторам x + tn − x1 и v1. При t = 0 мы имеем исходную плоскость π1, а при малых t мы добъемся того, что πt 1 и π2 по-прежнему удовлетворяют (∗), находятся в общем положении, а πt 1 ⋂ Πε и π2 ⋂ Πε есть непересекающиеся прямые lt1 ⊂ Πε и l2 ⊂ Πε такие, что #(lt1 ⋂ D1) = #(l2 ⋂ D2) = 2. В зависимости от знака t одна из прямых l1 или l2 про- ходит выше относительно проекции на плоскость πε. Предположим, при t > 0 реализуется случай, показанный на рис. 1. Заметим, что пространство Πε \ (l t 1 ⋃ l2) гомотопически эквивалентно евклидовой плос- кости без двух точек. Чтобы построить соответствующую гомотопию, мы сначала должны гомеоморфно отобразить Πε в себя так, чтобы прямые стали параллельны, а затем проде- формировать образ Πε \ (l t 1 ⋃ l2) на ортогональную прямым плоскость с двумя выколотыми точками. Детали мы опустим. Поэтому фундаментальная группа Πε \ (lt1 ⋃ l2) совпадает с фундаментальной группой плоскости без двух точек и равна свободной группе с двумя образующими. То есть π1(Πε \ (l t 1 ⋃ l2)) = Z ∗ Z. Пусть γa, γb — замкнутые кривые, представляющие образующие a, b фундаментальной группы π1(Πε \ (lt1 ⋃ l2)). Рассмотрим случай t > 0. В этом случае γ ≃ γa◦γ ′ a, а γ′a ≃ γb◦γ −1 a ◦γ−1 b (рис. 2). То есть γ представляет нетривиальный элемент aba−1b−1 фундаментальной группы π1(Πε \ (l t 1 ⋃ l2)). Положим E4 + = {(x1, . . . , x4) : x3 > ε} и E4 − = {(x1, . . . , x4) : x3 6 ε}. Заметим, что кривые Πε ⋂ S2 связны и стягиваются к точке Π0 ⋂ S2 при ε → 0. Это означает, что один из дисков, на которые кривая γ разбивает S2, лежит в E4 − , а другой диск лежит в E4 +. Вспомним, что плоскости πt 1 и π2 находятся в общем положении и имеют единственную точку пересечения, которую мы обозначим z. Пусть z ∈ E4 − . Так как ретракция r : E4 + \ (πt 1 ⋃ π2) → Πε \ (l t 1 ⋃ l2), ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 21 Рис. 2 сопоставляющая точке e ∈ E4 + пересечение прямой le, проходящей через точки e и z, с плос- костью Πε, является деформационной ретракцией, то γ представляет нетривиальный эле- мент группы π1(E 4 + \ (πt 1 ⋃ π2)). Но, как отмечалось выше, один из дисков, на которые γ разбивает сферу S2, лежит в E4 +. А так как по построению S2 ⋂ (πt 1 ⋃ π2) = ∅, то [γ] = 0 в π1(E 4 + \ (πt 1 ⋃ π2)). Мы пришли к противоречию. Случай, когда z ∈ E4 + рассматривается аналогично и также приводит к противоречию. Значит, предположение о том, что через каждую точку x ∈ E4 вне S2 проходит плоскость πx такая, что πx ⋂ S2 = ∅, неверно, и теорема доказана. Замечание 1. Можно показать, что для двумерного тора данная теорема уже не верна. Примером является стандартный тор Клиффорда T 2 ⊂ S3 ⊂ E4. Автор выражает благодарность проф. А.А. Борисенко за постановку задачи, внимание к ра- боте и ряд усовершенствований в доказательстве. Так же автор выражает благодарность проф. Ю.Б. Зелинскому, который сформулировал эту задачу, проф. А.А. Борисенко и В.А. Горькавому за обсуждение работы и полезные замечания. 1. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. – Москва: Наука, 1985. – 336 с. 2. Ботт Р., Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. – Москва: Наука, 1989. – 336 с. Поступило в редакцию 01.03.2013Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков Д.В. Болотов Про вкладення S 2 у E 4 Доведено, що для будь-якої гладко вкладеної сфери S2 у евклiдiв простiр E4 завжди зна- йдеться точка така, що будь-яка двовимiрна площина, яка проходить через цю точку, перетинає сферу S2. D.V. Bolotov On the embedding of S 2 in E 4 We prove that, for any smoothly embedded sphere S2 in the Euclidean space E4, there is a point such that any two-dimensional plane passing through this point intersects the sphere S2. 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11

О вложениях S² в E⁴

Institution

Similar Items