Характеризація властивості Гана
Доведено нове узагальнення теореми Калбрi–Троаллiка i для берiвського простору X, метризовного компакта Y та метричного простору Z знайдено необхiднi i достатнi умови на вiдображення f : X × Y → Z, щоб для нього множина точок x з X таких, що f сукупно неперервне в кожнiй точцi множини {x} × Y , б...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86966 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Характеризація властивості Гана / В.В. Нестеренко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 32-37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-86966 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-869662015-10-08T03:02:16Z Характеризація властивості Гана Нестеренко, В.В. Математика Доведено нове узагальнення теореми Калбрi–Троаллiка i для берiвського простору X, метризовного компакта Y та метричного простору Z знайдено необхiднi i достатнi умови на вiдображення f : X × Y → Z, щоб для нього множина точок x з X таких, що f сукупно неперервне в кожнiй точцi множини {x} × Y , була залишковою в X. Доказано новое обобщение теоремы Калбри–Троаллика и для бэровского пространства X, метризуемого компакта Y и метрического пространства Z найдены необходимые и достаточные условия на отображение f : X × Y → Z, чтобы для него множество точек x с X таких, что f совокупно непрерывное в каждой точке множества {x} × Y , было остаточным в X. We prove a new generalization of the Calbrix–Troallic theorem. For a Baire space X, a metrizable compact Y , and a metric space Z, the necessary and sufficient conditions for a mapping f : X × × Y → Z, for which a set of points x of X such that f is jointly continuous at each point of the set {x} × Y is residual in X, are found. 2014 Article Характеризація властивості Гана / В.В. Нестеренко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 32-37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86966 517.51 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Нестеренко, В.В. Характеризація властивості Гана Доповіді НАН України |
| description |
Доведено нове узагальнення теореми Калбрi–Троаллiка i для берiвського простору X,
метризовного компакта Y та метричного простору Z знайдено необхiднi i достатнi
умови на вiдображення f : X × Y → Z, щоб для нього множина точок x з X таких,
що f сукупно неперервне в кожнiй точцi множини {x} × Y , була залишковою в X. |
| format |
Article |
| author |
Нестеренко, В.В. |
| author_facet |
Нестеренко, В.В. |
| author_sort |
Нестеренко, В.В. |
| title |
Характеризація властивості Гана |
| title_short |
Характеризація властивості Гана |
| title_full |
Характеризація властивості Гана |
| title_fullStr |
Характеризація властивості Гана |
| title_full_unstemmed |
Характеризація властивості Гана |
| title_sort |
характеризація властивості гана |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/86966 |
| citation_txt |
Характеризація властивості Гана / В.В. Нестеренко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 32-37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT nesterenkovv harakterizacíâvlastivostígana |
| first_indexed |
2025-07-06T14:32:46Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:32:46Z |
| _version_ |
1836908405110865920 |
| fulltext |
УДК 517.51
В.В. Нестеренко
Характеризацiя властивостi Гана
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Шарком)
Доведено нове узагальнення теореми Калбрi–Троаллiка i для берiвського простору X,
метризовного компакта Y та метричного простору Z знайдено необхiднi i достатнi
умови на вiдображення f : X × Y → Z, щоб для нього множина точок x з X таких,
що f сукупно неперервне в кожнiй точцi множини {x} × Y , була залишковою в X.
1. Дослiдження задачi про зв’язки мiж нарiзною та сукупною неперервнiстю, розпочате
в класичних працях Р. Бера та В. Осгуда, знайшло своє продовження в працях багатьох
математикiв XX ст. Одним iз варiантiв цiєї задачi є питання про наявнiсть у вiдображеннi
f : X × Y → Z властивостi Гана, тобто iснування залишкової множини A ⊆ X такої, що
A×Y ⊆ C(f), де C(f) — множина точок неперервностi вiдображення f . Починаючи з умови
нарiзної неперервностi вiдображень f : R2 → R, знайдено велику кiлькiсть достатнiх умов
iснування у вiдображення f : X × Y → Z властивостi Гана. Цi умови стосуються як самого
вiдображення f , так i просторiв X, Y та Z. Питання про необхiднi i достатнi умови iснування
у вiдображення властивостi Гана досi не розглядалися.
Вiдправним пунктом даного дослiдження є теорема Калбрi–Троаллiка з [1], згiдно з якою
для довiльних топологiчних просторiв X i Y , метризовного простору Z, нарiзно неперерв-
ного вiдображення f : X×Y → Z i множини B злiченного типу в Y множина CB(f) = {x ∈
∈ X : {x} ×B ⊆ C(f)} є залишковою в X. Як негайний наслiдок цього, в [1] отримано такi
результати: якщо X — топологiчний простiр, простiр Y задовольняє першу (другу) аксiо-
му злiченностi, а Z — метричний простiр, то для кожного y ∈ Y множина Cy(f) = C{y}(f)
залишкова (множина CY (f) залишкова) в X. Цi наслiдки були перенесенi в [2] на KC-функ-
цiї, а в [3] — на KhC-функцiї, але аналогу загальної теореми Калбрi–Троаллiка для мно-
жин злiченного типу довгий час не було знайдено нi для KC-функцiй, нi, тим бiльше, для
KhC-функцiй. Лише в [4] теорему Калбрi–Троаллiка було узагальнено на функцiї з шир-
шого класу N .
А. Бузiад i Ж. Троаллiк в [5] отримали iнше узагальнення теореми Калбрi–Троаллiка:
для довiльних топологiчних просторiв X i Y , метричного простору Z, злiченної сiм’ї B
непорожнiх множин в Y , вiдображення f : X×Y → Z такого, що для кожної множини V ∈ B
многозначне вiдображення FV : X ∋ x → fx(V ) ∈ 2Z квазiнеперервне знизу, iснує залишкова
в X множина A така, що коли вiдображення fa неперервне в точцi b ∈ Y i деяка база
околiв точки b мiститься в B, то вiдображення f неперервне за сукупнiстю змiнних в точцi
(a, b). Зауважимо, що квазiнеперервнiсть знизу вiдображення FV : X ∋ x 7→ fx(V ) ∈ 2Z
для кожної вiдкритої непорожньої множини V ∈ Y рiвносильна слабкiй горизонтальнiй
квазiнеперервностi [6] вiдображення f : X × Y → Z.
Результати з [4, 5] було узагальнено в [7] i одержано такий результат: якщо X i Y —
топологiчнi простори, Z — метричний простiр, V — не бiльш нiж злiченна система множин
в Y , Vy = {V ∈ V : V — окiл точки y в Y }, B(V) = {y ∈ Y : Vy — база околiв точки y в Y },
© В. В. Нестеренко, 2014
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
f : X × Y → Z — таке вiдображення, що для кожної множини V ∈ V, для якої V
⋂
B(V) 6=
6= ∅, вiдображення FV : X ∋ x 7→ FV (x) = fx(V ) ⊆ Z псевдоквазiнеперервне знизу та
покриттєво категорно клiкове знизу, то множина R = {x ∈ X : {x}×(C(fx)
⋂
B(V)) ⊆ C(f)}
є залишковою в X.
Усi перелiченi результати дають лише достатнi умови iснування множини C(f) певного
типу. В цiй роботi ми узагальнимо результат з [7], а також одержимо необхiднi i достатнi
умови того, що вiдображення f : X × Y → Z має властивiсть Гана (теорема 3). Попереднiй
варiант теореми 3 був анонсований у [8].
2. Нехай X i Z — топологiчнi простори. Для множини A ⊆ X ї ї образ при многозначному
вiдображеннi F — це множина
F (A) = {z ∈ Z : (∃x ∈ A)(z ∈ F (x))} =
⋃
x∈A
F (x).
Многозначне вiдображення F : X → Z називається псевдоквазiнеперервним знизу [7], якщо
для кожної непорожньої вiдкритої множини U в X i довiльної пiдмножини A ⊆ X такої,
що U ⊆ A, iснує вiдкрита непорожня множина G в X така, що G ⊆ U i F (G) ⊆ F (A).
Многозначне вiдображення F : X → Z називається покриттєво категорно клiковим зни-
зу [7], якщо для кожного вiдкритого покриття W простору Z i довiльної множини E другої
категорiї в X iснують десь щiльна в X множина A i множина W ∈ W такi, що A ⊆ E
i F (x)
⋂
W 6= ∅ для всiх x ∈ A.
Нехай X i Y — топологiчнi простори, а Z — метричний простiр з метрикою d. Для непо-
рожньої множини E ⊆ Z через diam(E) = sup
u,v∈E
d(u, v) позначимо її дiаметр, а для функцiї
f : X → Z позначимо через ωf (A) = diam(f(A)) коливання функцiї f на множинi A. Через
Br(z0) = {z ∈ Z : d(z, z0) < r} позначимо вiдкриту кулю з центром в точцi z0 i радiуса r.
Нехай F : X → Z — многозначне вiдображення. Ми кажемо, що многозначне вiдобра-
ження F : X → Z задовольняє умову (A), якщо для довiльних чисел 0 < α < β, довiль-
ної вiдкритої непорожньої множини U в X i довiльної множини E ⊆ X, щiльної в U ,
для яких diam(F (E)) < α, iснує вiдкрита непорожня множина G в X така, що G ⊆ U
i diam(F (G)) < β. Многозначне вiдображення F : X → Z називається категорно клiковим
знизу [7], якщо для кожного ε > 0 i довiльної множини E другої категорiї в X iснують
десь щiльна в X множина A i вiдображення g : A → Z такi, що A ⊆ E, g(x) ∈ F (x) для
кожного x ∈ A i diam(g(A)) < ε.
Спершу зазначимо, що коли Z — сепарабельний метричний простiр, то довiльне много-
значне вiдображення F : X → Z є категорно клiковим знизу.
Твердження 1. Нехай X — топологiчний простiр, Z — метричний простiр з метри-
кою d i F : X → Z — многозначне вiдображення. Тодi:
1) якщо F псевдоквазiнеперервне знизу, то F задовольняє умову (A);
2) якщо F покриттєво категорно клiкове знизу, то F категорно клiкове знизу.
Доведення. Спочатку перевiримо 1. Вiзьмемо довiльнi числа 0 < α < β, вiдкриту непо-
рожню множину U в X i щiльну в U множину E ⊆ X, для яких diam(F (E)) < α. Оскiльки
вiдображення F псевдоквазiнеперервне знизу, то iснує вiдкрита непорожня множина G в X
така, що G ⊆ U i F (G) ⊆ F (E). Тодi
diam(F (G)) 6 diam(F (E)) = diam(F (E)) < α < β.
Тепер перевiримо 2. Вiзьмемо довiльне ε > 0 i довiльну множину E другої категорiї в X.
Розглянемо вiдкрите покриття W = {Bε/3(z) : z ∈ Z} простору Z. З покриттєвої категорної
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 33
клiковостi знизу вiдображення F випливає, що iснують десь щiльна в X множина A i мно-
жина W ∈ W такi, що A ⊆ E i F (x)
⋂
W 6= ∅ для всiх x ∈ A. Оскiльки W ∈ W, то iснує
точка z0 ∈ Z така, що W = B ε
3
(z0). Для кожної точки x ∈ A виберемо точку zx ∈ F (x)
⋂
W .
Тодi для вiдображення g : A → Z, g(x) = zx маємо, що g(x) ∈ F (x) для кожного x ∈ A
i g(A) ⊆ W . Тому diam(g(A)) 6 2ε/3 < ε.
П р и к л ад 1 . Нехай Q = {rn : n ∈ N} — множина рацiональних точок. Розглянемо функцiю
F : R → R, що визначена формулою
F (x) =
{
1
n
}
, x = rn,
{0}, x 6∈ Q.
Функцiя F задовольняє умову (A), але не є псевдоквазiнеперервною знизу.
3. Для доведення основного результату нам буде потрiбна така лема.
Лема 1. Нехай X — топологiчний простiр, Z — метричний простiр з метрикою d,
ε > 0, многозначне вiдображення F : X → Z задовольняє умову (A) i є категорно клiковим
знизу, E — множина другої категорiї в X i E ⊆ {x ∈ X : diam(F (x)) < ε}. Тодi iснує
вiдкрита непорожня множина G в X така, що G ⊆ E i diam(F (G)) < 3ε.
Доведення. З категорної клiковостi знизу вiдображення F випливає, що iснують десь
щiльна множина E1 в X i вiдображення g : E1 → Z такi, що E1 ⊆ E, g(x) ∈ F (x) для
кожного x ∈ E1 i diam(g(E1)) < ε/2. Покажемо, що diam(F (E1)) < 8ε/3.
Вiзьмемо точки z1, z2 ∈ F (E1). Тодi iснують точки x1, x2 ∈ E1 такi, що zi ∈ F (xi) для
i = 1, 2. В такому разi
d(z1, z2) 6 d(z1, g(x1)) + d(g(x1), g(x2)) + d(g(x2), x2) < ε+
ε
2
+ ε =
5ε
2
.
Отже, diam(F (E1)) 6 5ε/2 < 8ε/3.
Покладемо U = intE1, α = 8ε/3 i β = 3ε. Згiдно з умовою (A) iснує вiдкрита непорожня
множина G в X така, що G ⊆ E1 ⊆ E i diam(F (G)) < 3ε.
Для вiдображення f символом D(f) ми позначимо його множину точок розриву, тобто
доповнення до множини C(f) його точок неперервностi. Нехай V — деяка система множин
у просторi Y . Для точки y ∈ Y покладемо
V(y) = {V ∈ V : V — окiл точки y в Y }
i
B(V) = {y ∈ Y : V(y) — база околiв точки y в Y }.
Для вiдображення f : X ×Y → Z i непорожньої множини V в Y розглядатимемо многозна-
чне вiдображення FV : X ∋ x 7→ FV (x) = fx(V ) ⊆ Z.
Теорема 1. Нехай X i Y — топологiчнi простори, Z — метричний простiр, V =
= {Vn : n ∈ N} — не бiльш нiж злiченна система множин в Y , f : X × Y → Z — така
функцiя, що для кожної множини V ∈ V, для якої V
⋂
B(V) 6= ∅, вiдображення FV задо-
вольняє умову (A) i є категорно клiковим знизу. Тодi множина
R = {x ∈ X : {x} × (C(fx)
⋂
B(V)) ⊆ C(f)}
є залишковою в X.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Доведення. Припустимо, що доповнення
E0 = X \R = {x ∈ X : ∃yx ∈ C(fx)
⋂
B(V)|px = (x, yx) ∈ D(f)}
є множиною другої категорiї в X. Для номерiв m i n розглянемо множини
Am,n =
{
x ∈ E0 : ωf (px) >
1
m
, Vn ∈ V(yx), ωfx(Vn) <
1
3m
}
.
Якщо x ∈ E0, то px = (x, yx) ∈ D(f) i yx ∈ C(fx)
⋂
B(V), тому ωf (px) > 0, ωfx(yx) = 0
i yx ∈ B(V), звiдки негайно випливає, що iснують такi номери m i n, що ωf (px) > 1/m,
ωfx(Vn) < 1/(3m) i Vn ∈ V(yx). Це показує, що
∞
⋃
m,n=1
Am,n = E0. Оскiльки E0 — це множина
другої категорiї, то iснують номери m i n такi, що множина E = Am,n теж є множиною
другої категорiї.
Зауважимо, що для множини V = Vn ∈ V перетин V
⋂
B(V) 6= ∅, бо Am,n 6= ∅,
адже Am,n є множиною другої категорiї, а тому iснує точка a ∈ Am,n i для неї V ∈ V(ya), при-
чому ya ∈ B(V) за побудовою, отже, ya ∈ V
⋂
B(V). Тому за умовою многозначне вiдобра-
ження FV : X → Z задовольняє умову (A) i є категорно клiковим знизу.
Для вiдображення FV виконуються всi умови леми 1, згiдно з якою iснує вiдкрита не-
порожня множина G в X така, що G ⊆ E i diam(FV (G)) < 1/m. Тодi
ωf (G× V ) = diam f(G× V ) = diamFV (G) <
1
m
.
Оскiльки G ⊆ E i множина G вiдкрита, то G ⊆ G
⋂
E. Але G 6= ∅, отже, i G
⋂
E 6=
6= ∅. Вiзьмемо якусь точку x0 ∈ G
⋂
E. Ясно, що вiдкрита множина G × V буде околом
точки px0
= (x0, yx0
) в добутку X × Y , бо x0 ∈ G, yx0
∈ V i множини G та V вiдкритi
у вiдповiдних просторах. Тому ωf (px0
) 6 ωf (G × V ) 6 1/m. З iншого боку, x0 ∈ E ⊆
⊆ E = Am,n. Тому ωf (px0
) > 1/m. Отримана суперечнiсть доводить, що доповнення X \R
насправдi є множиною першої категорiї, а R є залишковою множиною в X.
Твердження 1 та приклад 1 показують, що теорема 1 сильнiша за вiдповiдну теорему
з [7].
Як i в [1], пiдмножину B топологiчного простору Y ми називаємо множиною злiчен-
ного типу, якщо iснує така не бiльш нiж злiченна система VB = {Vn : n ∈ N} вiдкритих
множин Vn в Y , що для кожної точки y ∈ B система VB(y) = {Vn : y ∈ Vn} є базою околiв
точки y в просторi Y . Така система VB називається злiченною базою для B. Увесь простiр Y
є множиною злiченного типу тодi i тiльки тодi, коли вiн має не бiльш нiж злiченну базу,
тобто задовольняє другу аксiому злiченностi, а виконання першої аксiоми злiченностi в Y
означає, що всi одноточковi множини {y} в Y є множинами злiченного типу.
Як наслiдок з теореми 1 одержуємо такий результат.
Наслiдок 1. Нехай X i Y — топологiчнi простори, Z — метричний простiр, B —
множина злiченного типу в Y , f : X × Y → Z — така функцiя, що для кожної множини
V ∈ VB, для якої V
⋂
B 6= ∅, вiдображення FV задовольняє умову (A) та є категорно
клiковим знизу i множина M = {x ∈ X : B ⊆ C(fx)} залишкова в X. Тодi iснує залишкова
в X множина A така, що A × B ⊆ C(f).
Доведення. Для системи VB множина B(VB) = B. Тодi з теореми 1 випливає, що
множина
R = {x ∈ X : {x} × (C(fx)
⋂
B(V)) ⊆ C(f)}
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 35
є залишковою в X. Зауважимо, що C(fx)
⋂
B(VB) = B для x ∈ M . Множина A = R
⋂
M
є залишковою в X i A × B ⊆ C(f).
4. Кажуть [2], що функцiя f : X ×Y → Z має властивiсть Гана, якщо iснує залишкова
в X множина A така, що функцiя f неперервна за сукупнiстю змiнних у кожнiй точцi
множини A × Y .
Наслiдок 2. Нехай X — топологiчний простiр, простiр Y задовольняє другу аксiо-
му злiченностi, V — база простору Y , Z — метричний простiр, функцiя f : X × Y → Z
така, що для кожної множини V ∈ V вiдображення FV задовольняє умову (A) та є ка-
тегорно клiковим знизу i множина M = {x ∈ X : B ⊆ C(fx)} залишкова в X. Тодi f має
властивiсть Гана.
Доведення. Доведення випливає з наслiдку 1 з урахуванням того, що B = Y .
Теорема 2. Нехай X — берiвський простiр, Y — компактний простiр, Z — метричний
простiр з метрикою d, f : X × Y → Z — функцiя, яка має властивiсть Гана. Тодi для
довiльної непорожньої множини N в Y многозначне вiдображення FN задовольняє умову
(A) та є категорно клiковим знизу i множина M = {x ∈ X : C(fx) = Y } залишкова в X.
Доведення. Оскiльки функцiя f задовольняє властивiсть Гана, то iснує залишкова в X
множина A така, що функцiя f неперервна за сукупнiстю змiнних у кожнiй точцi множини
A× Y . Тому для кожної точки x ∈ A функцiя fx неперервна в кожнiй точцi y ∈ Y . Отже,
M ⊇ A i тому множина M є залишковою в X.
Вiзьмемо довiльну непорожню множину N в Y i розглянемо многозначне вiдображен-
ня FN . Покажемо, що вiдображення FN категорно клiкове. Вiзьмемо довiльне ε > 0, до-
вiльну множину E другої категорiї в X. Оскiльки множина E другої категорiї, то вона
десь щiльна в X. Нехай E щiльна в деякiй вiдкритiй непорожнiй множинi U в X, тобто
E ⊇ U . В берiвському просторi кожна залишкова множина є всюди щiльною, тому множи-
на A всюди щiльна в X. Вiзьмемо довiльнi точки x ∈ U
⋂
A i y ∈ N . Оскiльки функцiя f
неперервна в точцi (x, y), то iснують вiдкритi непорожнi множини G в X i H в Y такi, що
x ∈ G ⊆ U , y ∈ H i ωf (G ×H) < ε. Покладемо E1 = E
⋂
G. Оскiльки множина E щiльна
в U i G ⊆ U , то множина E1 щiльна в G. Розглянемо вiдображення g : E1 → Z, для якого
g(u) = f(u, y) при u ∈ E1. Тодi
diam(g(E1)) = diam(f(E1 × {y})) = ωf (E1 × {y}) 6 ωf (G×H) < ε.
Отже, вiдображення FE категорно клiкове знизу.
Тепер покажемо, що вiдображення FN задовольняє умову (A). Вiзьмемо довiльнi числа
0 < α < β, довiльну вiдкриту непорожню множину U в X, довiльну множину E ⊆ X,
щiльну в U , для якої diam(FN (E)) < α. Оскiльки множина A всюди щiльна в X, то iснує
точка x0 ∈ U
⋂
A. Для довiльної точки y ∈ Y функцiя f неперервна в точцi (x0, y). Тому для
кожної точки y ∈ Y iснують окiл U(y) точки x0 в X i вiдкритий окiл V (y) точки y в Y такi,
що ωf (U(y) × V (y)) < (β − α)/4. Система множин {V (y) : y ∈ Y } є вiдкритим покриттям
компактного простору Y . Отже, iснують точки y1, y2, . . . , yn такi, що система множин {Vk =
= V (yk) : k = 1, . . . , n} є покриттям простору Y . Покладемо G = U
⋂
( n
⋂
k=1
U(yk)
)
. Ясно, що
G 6= ∅, адже x0 ∈ G. Крiм того, G ⊆ E, бо G ⊆ U ⊆ E. Покажемо, що ωf (G × N) < β.
Вiзьмемо точки (a, b), (u, v) ∈ G × N . Оскiльки G ⊆ E, то iснує точка x1 ∈ E
⋂
G. Далi
iснують номери m та l такi, що b ∈ Vm та v ∈ Vl. Тодi {b, v} ⊆ Y =
n
⋃
k=1
Vk, тому
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
d(f(a, b), f(u, v)) 6 d(f(a, b), f(x1, b)) + d(f(x1, b), f(x1, v)) + d(f(x1, v), f(u, v)) <
<
β − α
4
+ α+
β − α
4
= α+
β − α
2
=
α+ β
2
.
Отже, ωf (G×N) 6 (α+β)/2 < β, тобто diam(FN (G)) < β, це i означає, що вiдображення FN
задовольняє властивiсть (A).
З теореми 2 i наслiдку 2 одержуємо такий результат.
Теорема 3. Нехай X — берiвський простiр, Y — компактний простiр, який задоволь-
няє другу аксiому злiченностi, V — база простору Y , Z — метричний простiр. Тодi для
того щоб функцiя f : X × Y → Z задовольняла властивiсть Гана, необхiдно i достатньо,
щоб для кожної множини V ∈ V вiдображення FV задовольняло умову (A) та було кате-
горно клiковим знизу i множина {x ∈ X : C(fx) ⊆ B} була залишковою в X.
1. Calbrix J., Troallic J. P. Applications séparément continues // C. r. Acad. Sci. Paris. Sér. A. – 1979. –
288. – P. 647–648.
2. Маслюченко В.К. Простори Гана i задача Дiнi // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 1998. – 41, № 4. –
С. 39–45.
3. Маслюченко В.К., Нестеренко В.В. Сукупна неперервнiсть та квазiнеперервнiсть горизонтально
квазiнеперервних функцiй // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 12. – С. 1711–1714.
4. Маслюченко В.К., Нестеренко В. В. Точки сукупної неперервностi та великi коливання // Укр. мат.
журн. – 2010. – 62, № 6. – С. 791–800.
5. Bouziad A., Troallic J. P. Lower quasicontinuity, joint continuity and related concepts // Topol. Appl. –
2010. – 157, No 18. – P. 2889–2894.
6. Нестеренко В. В. Слабка горизонтальна квазiнеперервнiсть // Мат. вiсн. НТШ. – 2008. – 5. – С. 177–
182.
7. Маслюченко В.К., Нестеренко В.В. Про нове узагальнення теореми Калбрi–Троаллiка // Всеукр.
конф. “Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу”, 25 лютого – 3 березня, 2013:
Тези доп. – Iвано-Франкiвськ, 2013. – С. 65–66.
8. Нестеренко В. В. Характеризацiя властивостi Гана // Всеукр. конф. “Сучаснi проблеми теорiї ймо-
вiрностей та математичного аналiзу”, 20–26 лютого, 2012: Тези доп. – Ворохта, 2012. – С. 45–46.
Надiйшло до редакцiї 13.08.2013Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
В.В. Нестеренко
Характеризация свойства Гана
Доказано новое обобщение теоремы Калбри–Троаллика и для бэровского пространства X,
метризуемого компакта Y и метрического пространства Z найдены необходимые и доста-
точные условия на отображение f : X × Y → Z, чтобы для него множество точек x ∈ X
таких, что f совокупно непрерывное в каждой точке множества {x} × Y , было остаточ-
ным в X.
V.V. Nesterenko
A characterization of the Hahn property
We prove a new generalization of the Calbrix–Troallic theorem. For a Baire space X, a metrizable
compact Y , and a metric space Z, the necessary and sufficient conditions for a mapping f : X ×
× Y → Z, for which a set of points x of X such that f is jointly continuous at each point of the
set {x} × Y is residual in X, are found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 37
|