Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем

Проведено детальний спектральний аналiз злiченних графiв, якi є об’єданням скiнченного графа та напiвобмеженого нескiнченного ланцюжка. Охарактеризовано спектр матрицi сумiжностi таких графiв, побудовано спектральну мiру, наведено у явнiй формi власнi вектори та спектральний розклад за власними век...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Лебідь, В.О., Нижник, Л.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87136
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем / В.О. Лебідь, Л.П. Нижник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 29-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87136
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-871362018-04-07T23:33:58Z Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем Лебідь, В.О. Нижник, Л.П. Математика Проведено детальний спектральний аналiз злiченних графiв, якi є об’єданням скiнченного графа та напiвобмеженого нескiнченного ланцюжка. Охарактеризовано спектр матрицi сумiжностi таких графiв, побудовано спектральну мiру, наведено у явнiй формi власнi вектори та спектральний розклад за власними векторами. Проведен детальный спектральный анализ счетных графов, которые являются объединением конечного графа и полуограниченной бесконечной цепочки. Охарактеризован спектр матрицы смежности таких графов, построена спектральная мера, приведены в явной форме собственные векторы и спектральное разложение по собственным векторам. A complete spectral analysis of countable graphs defined as the union of a finite graph and a semibounded infinite chain is given. The spectrum of the adjacency matrix of graphs is defined, a spectral measure is constructed, the eigenvectors and the spectral expansion in eigenvectors are presented. 2014 Article Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем / В.О. Лебідь, Л.П. Нижник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 29-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87136 517.983 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Лебідь, В.О. Нижник, Л.П. Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем Доповіді НАН України
description	Проведено детальний спектральний аналiз злiченних графiв, якi є об’єданням скiнченного графа та напiвобмеженого нескiнченного ланцюжка. Охарактеризовано спектр матрицi сумiжностi таких графiв, побудовано спектральну мiру, наведено у явнiй формi власнi вектори та спектральний розклад за власними векторами.
format	Article
author	Лебідь, В.О. Нижник, Л.П.
author_facet	Лебідь, В.О. Нижник, Л.П.
author_sort	Лебідь, В.О.
title	Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем
title_short	Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем
title_full	Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем
title_fullStr	Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем
title_full_unstemmed	Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем
title_sort	спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87136
citation_txt	Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем / В.О. Лебідь, Л.П. Нижник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 29-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT lebídʹvo spektralʹnijanalízlokalʹnoskínčennihgrafívzodnimneskínčennimpromenem AT nižniklp spektralʹnijanalízlokalʹnoskínčennihgrafívzodnimneskínčennimpromenem
first_indexed	2025-07-06T14:41:48Z
last_indexed	2025-07-06T14:41:48Z
_version_	1836908973077299200
fulltext	УДК 517.983 В.О. Лебiдь, Л. П. Нижник Спектральний аналiз локально скiнченних графiв з одним нескiнченним променем (Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.С. Самойленком) Проведено детальний спектральний аналiз злiченних графiв, якi є об’єданням скiнченно- го графа та напiвобмеженого нескiнченного ланцюжка. Охарактеризовано спектр мат- рицi сумiжностi таких графiв, побудовано спектральну мiру, наведено у явнiй формi власнi вектори та спектральний розклад за власними векторами. 1. Постановка задачi. Спектральна теорiя графiв є одним iз актуальних напрямiв у су- часнiй математичнiй фiзицi (див. [1–8] i цитовану там лiтературу). Це пов’язано як iз внут- рiшнiми стимулами розвитку теорiї, так i з вирiшенням конкретних прикладних задач, якi виникають у теорiї iнформацiйних, комунiкацiйних, енергетичних та транспортних мереж. Простим неорiєнтованим графом G називають пару (V,E), у якiй V — деяка непорожня множина (множина вершин), а E — множина, що складається з невпорядкованих пар рiзних вершин V (множина ребер). З графом G однозначно пов’язана матриця сумiжностi A(G) = = (aij) ∞ i,j=1, елементи якої aij дорiвнюють 1, якщо вершини з номерами i та j з’єднуються ребром, або — 0, якщо таке ребро вiдсутнє. У випадку злiченних графiв матриця A(G) породжує в гiльбертовому просторi l2(V ) самоспряжений оператор A, спектр якого має дискретну σp(A) та неперервну компоненту σc(A). Пiд спектральним аналiзом графа G розумiють спектральний аналiз самоспряженого оператора A у гiльбертовому просторi l2(V ). Метою даної роботи є проведення детального спектрального аналiзу локально скiнчен- них графiв Gn,∞, якi утворенi приєднанням до скiнченних графiв Gn напiвобмеженого лан- цюжка AN, вершини якого можна занумерувати всiма натуральними числами N, а ребра з’єднують лише вершини з послiдовними номерами. Матриця сумiжностi A(Gn,∞) графа Gn,∞ породжує самоспряжений обмежений опера- тор A, який дiє в l2(N) як Ax = ( n∑ i=1 a1ixi, . . . , n∑ i=1 a(n−1)ixi, n∑ i=1 anixi + xn+1, xn + xn+2, . . . , xj−1 + xj+1, . . . ) . (1) Тут скiнченна симетрична матриця A = (aij) n i,j=1 є матрицею сумiжностi графа Gn. Матриця сумiжностi напiвобмеженого ланцюжка AN є якобiєвою матрицею J0, у якої на головнiй дiагоналi стоять нулi, а на двох побiчних — одиницi. Добре вiдомо, що матри- ця J0 породжує в просторi l2(N) самоспряжений оператор, спектр якого чисто абсолютно неперервний, однократний i утворює iнтервал [−2, 2] (див. [4, 9, 10]). Бiльше того, для оператора J0 у просторi l2(N) справедлива спектральна теорема про розклад за узагальненими власними функцiями (див. [9]). Для кожного λ ∈ [−2, 2] век- тор-функцiя ϕλ = (ϕλ,1, ϕλ,2, . . .), де ϕλ,j = Pj−1(λ), j > 1, є узагальненою власною функ- цiєю оператора J0, що вiдповiдає власному значенню λ, тобто J0ϕλ = λϕλ. © В. О. Лебiдь, Л.П. Нижник, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 29 Тут Pj(λ) є полiномом степеня j вiд λ, що виражається у виглядi Pj(λ) = Uj(λ/2) через полiноми Чебишова другого роду Uj(z) = sin((j + 1) arccos z)/sin(arccos z). Для полiномiв Pj(λ) вiрне рекурентне спiввiдношення Pj+1(λ) = λPj(λ)−Pj−1(λ) з початковими умовами P−1(λ) = 0, P0(λ) = 1, P1(λ) = λ. Кожному вектору x ∈ l2(N) вiдповiдає його перетворення Фур’є x̃(λ) за узагальненим власним вектором x̃(λ) ≡ Fx = (x, ϕλ) = ∞∑ j=1 xjϕλ,j . (2) Функцiя x̃(λ) належить простoру L2([−2, 2], ρ(λ)dλ) ≡ L2(ρ) квадратично сумовних функцiй на iнтервалi [−2, 2] з вагою ρ(λ) = √ 4− λ2/2π ≡ ρ0(λ). Вiрне обернене перетворення Фур’є, визначене на всьому L2(ρ) x ≡ F−1x = 2∫ −2 x̃(λ)ϕλρ(λ) dλ. (3) Для довiльних x, y ∈ l2(N) справедлива рiвнiсть Парсеваля (x, y)l2 = (x̃, ỹ)L2(ρ). (4) 2. Повний граф. Якщо Gn — повний граф iз n вершин (кожнi двi вершини якого з’єднує ребро), то йому вiдповiдає матриця сумiжностi, в якої всi елементи, крiм дiагональ- них, є 1, а на дiагоналi стоять 0. Повний спектральний аналiз оператора вигляду (1) для повного графа дає така теорема. Теорема 1. Оператор A вигляду (1), що вiдповiдає повному графу з n вершин, до однiєї з вершин якого приєднаний нескiнченний промiнь, є обмеженим самоспряженим операто- ром у l2(N). Спектр оператора мiстить дискретну та абсолютно неперервну компоненти. Дискретний спектр оператора A при n > 3 складається з двох власних значень: σp(A) = {−1 кратностi n− 2;λ+}, де число λ+ є додатним нулем квадратного полiнома p(λ) = (n− 1)2 + (n− 2)2 + (n− 2)(n − 3)λ− (n− 2)λ2. (5) Вектори, що мають вигляд em = (0, 0, . . . , 1,−1, 0, . . .), де числа 1 та −1 стоять на мiсцях з номерами m та m + 1, m = 1, 2, . . . , n − 2, є власними векторами оператора A, що вiдповiдають власному значенню λ = −1 та утворюють (n− 2)-вимiрний пiдпростiр. Власний вектор, що вiдповiдає власному значенню λ+, має вигляд e+ = ((n − 1)−1, . . . , (n− 1)−1 ︸︷︷︸ n−1 , µ, µ2, . . .), де число µ = [λ+ − (n − 2)](n − 1)−1. Абсолютно неперервний спектр оператора A утворює iнтервал [−2, 2]. Для довiльного λ ∈ [−2, 2] узагальнений власний вектор оператора A явно виражається через полiноми Pj(λ): ϕλ = (P0(λ), . . . , P0(λ)︸︷︷︸ n−1 , P1(λ)− (n − 2)P0(λ), P2(λ)− (n− 2)P1(λ)− (n − 2)P0(λ), . . . , Pj−n+1(λ)− (n− 2)Pj−n(λ)− (n− 2)Pj−n−1(λ), . . .). (6) 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3 Для векторiв x ∈ Hc = l2(N)⊖Hp, де Hp — пiдпростiр, що мiстить усi власнi векто- ри A, перетворення Фур’є x̃(λ) за узагальненими власними векторами, яке визначаєть- ся (2), належить простору L2(ρ) зi спектральною щiльнiстю ρ(λ) = √ 4− λ2 2πp(λ) , (7) де полiном p(λ) визначається рiвнiстю (5). Перетворення Фур’є F є iзометричним оператором iз пiдпросторуHc ⊂ l2(N) у простiр L2(ρ). Вiрне обернене перетворення Фур’є (3), визначене на всьому L2(ρ). Для довiльних x, y ∈ Hc справедлива рiвнiсть Парсеваля (4). Доведення випливає з явного вигляду оператора A i наведених виразiв для власних векторiв. Враховуючи, що система полiномiв {Pj}∞j=0 утворює ортонормований базис у прос- торi L2(ρ0), а вираз (1 + µ2 − µλ)−1 = ∞∑ m=0 µmPm(λ) є твiрною для полiномiв Pj , отримуємо вираз (7) для спектральної щiльностi аналогiчно тому, як це зроблено для зiркових графiв у роботi [11]. П р и к л ад 1 . При n = 3 графG3,∞ має вигляд трикутника, до однiєї вершини якого приєднаний промiнь. Спектр такого графа мiстить два простi власнi значення σp = {−1, √ 5} i абсолютно непе- рервну компоненту σac = [−2, 2]. Спектральна щiльнiсть визначається як ρ(λ) = √ 4− λ2/(2π(5 − − λ2)). 3. Загальний випадок. Розглянемо випадок Gn,∞ графа, якому вiдповiдає оператор A виду (1). Теорема 2. Для самоспряженого оператора A вигляду (1) у просторi l2(N) власний вектор eλ буде фiнiтним (у якого тiльки скiнченне число компонент вiдмiнне вiд нуля) тодi й лише тодi, коли: а) усi його компоненти eλ,j = 0 при j > n; б) ранг матрицi Ã(λ), отриманої з A− λI шляхом вiдкидання останнього стовпчика, менший нiж n − 1; в) вектор êλ = (eλ,1, . . . , eλ,n−1) є нетривiальним розв’язком системи рiвнянь Ã(λ)êλ = 0. (8) Теорема 3. Для самоспряженого оператора A вигляду (1) у просторi l2(N) власному значенню λ з умовою \|λ\| > 2 вiдповiдає нефiнiтний власний вектор тодi й лише тодi, коли число λ є розв’язком системи рiвнянь λ = µ+ µ−1, µ−1 = det(λI − Â) det(λI −A) , (9) де \|µ\| < 1, а матриця Â отримується iз матрицi A вiдкиданням останнього стовпчика i останнього рядка. З точнiстю до сталого множника нефiнiтний власний вектор має вигляд eλ = (eλ,1, . . . , eλ,n−1, µ, µ 2, . . . , µk, . . .). Вектор ẽλ = (eλ,1, . . . , eλ,n−1, µ) є розв’язком рiвняння (A− λI)ẽλ + µ2en = 0, (10) де en = (0, . . . , 0, 1) — n-вимiрний вектор. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 31 Нехай полiном r(λ) з коефiцiєнтом, що дорiвнює 1, при старшому степенi λ є найбiльшим спiльним дiльником det(λI − A) = a(λ)r(λ) та det(λI − Â) = a(λ)r(λ), тодi, пiдставляючи µ−1 = âa−1 у рiвнiсть λ = µ + µ−1, отримуємо, що множина власних значень λ оператора A вигляду (1), якi вiдповiдають нефiнiтним власним векторам, є множиною дiйсних нулiв полiнома p(λ) = â(λ) 2 + a(λ)2 − λâ(λ)a(λ), (11) якi за модулем бiльшi, нiж 2, i для яких µ = aâ−1 за модулем меншi, нiж 1. Полiном (11) будемо називати спектральним для графа Gn,∞. У спектрального полiнома усi дiйснi нулi простi i за модулем не меншi, нiж 2. Теорема 4. Для λ ∈ [−2, 2] iснує i єдина вектор-функцiя ϕλ = (ϕλ,0, ϕλ,1, . . .), яка є узагальненим власним вектором для оператора A з власним значенням λ, i така, що всi її компоненти є полiномами вiд λ та задовольняють умови: 1) вектор ϕλ ортогональний усiм фiнiтним власним векторам оператора A; 2) ϕλ,n = â(λ), ϕλ,n+1 = a(λ); 3) iснують i єдинi числа γ1, . . . , γk (γk 6= 0) такi, що при j > 2n + 2 ϕλ,j = Pj(λ) + k∑ l=1 γlPj−l(λ). (12) Теорема 5. Нехай Hc — пiдпростiр простору l2(V ), який складається з векторiв, ортогональних до всiх власних векторiв самоспряженого оператора A вигляду (1). Тодi справедливi розклади векторiв x ∈ Hc за узагальненими власними векторами ϕλ, тобто вiрнi рiвностi (2)–(4), де спектральна щiльнiсть ρ(λ) визначається через полiноми p(λ) у виглядi (7). Доведення теорем 2–5 використовує явний вигляд (1) оператора A i той факт, що компо- ненти звичайних i узагальнених власних векторiв задовольняють просте рiзницеве рiвняння ψj−1 + ψj+1 = λψj при j > n. Дане рiвняння має два лiнiйно незалежнi розв’язки ψj = µ±j при \|λ\| > 2, де µ + µ−1 = λ, або ψj = Pj(λ), ψj = Pj+1(λ) при \|λ\| 6 2. Крiм того, мож- на показати, що матриця сумiжностi графа Gn,∞ унiтарно еквiвалентна ортогональнiй сумi скiнченної симетричної матрицi i якобiєвої матрицi J , у якої лише скiнченне число елементiв вiдмiннi вiд вiдповiдних елементiв матрицi J0. Це дає можливiсть використати спектральну теорiю якобiєвих матриць [9, 10] i приводить до рiвностей (2)–(4) у пiдпросторi Hc з деякою спектральною щiльнiстю ρ(λ). Зв’язок (7) спектральної щiльностi ρ(λ) зi спектральним по- лiномом p(λ) випливає iз явного вигляду (12) для узагальнених власних векторiв. 4. Циклiчний граф. Розглянемо граф Cn,∞, що утворений приєднанням нескiнченного променя до однiєї вершини циклiчного графа Cn iз n послiдовно занумерованих вершин. Оператор A, який вiдповiдає матрицi сумiжностi A(Cn,∞), дiє так: Ax = (x2 + xn, x1 + x3, . . . , xn−2 + xn, x1 + xn−1, . . . , xj−1 + xj+1, . . .). (13) Теорема 6. Оператор A вигляду (13), що вiдповiдає циклiчному графу Cn,∞ з n вершин, до однiєї з вершин якого приєднаний нескiнченний промiнь, є обмеженим самоспряженим оператором у l2(N). Дискретний спектр оператора A, якому вiдповiдають фiнiтнi власнi значення, має вигляд: σp(A) = { λk = 2cos 2πk n , k = 0, 1, . . . , [ n 2 ] − 1 } . 32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3 Абсолютно неперервна компонента спектра оператора A утворює iнтервал [−2, 2]. Спектральна щiльнiсть ρ(λ) визначається рiвнiстю (7), у якiй спектральний полiном має вигляд (11), де â(λ) = Pn−1(λ)/r(λ), a(λ) = (Pn(λ)−Pn−2(λ)−2)/r(λ), a r(λ) = [n/2]−1∏ k=1 (λ−λk). П р и к л ад 2 . У випадку, коли нескiнченний промiнь приєднаний до циклiчного графа iз 4 вершин, оператор A має фiнiтний власний вектор e0 = (0, 1,−1, 0, 0, 0, . . .) з власним значенням λ = 0, два нефiнiтнi власнi вектори e± = ((1/ √ 2)µ±, 1/2, 1/2, µ±, µ 2 ±, . . .), що вiдповiдають власним значенням λ± = ± √ 2 + 2 √ 2, де числа µ± = ± √√ 2− 1 пов’язанi з λ± спiввiдношеннями µ± = = √ 2λ−1 ± . Власнi значення λ± є нулями спектрального полiнома p(λ) = 4 + 4λ2 − λ4. Кожному λ ∈ [−2, 2] вiдповiдає узагальнений власний вектор ϕλ = (2P0(λ), P1(λ), P1(λ), P2(λ)− P0(λ), P3(λ)− 2P1(λ), P4(λ)− 2P2(λ)− P0(λ), . . . , Pj−2(λ)− 2Pj−4(λ)− Pj−6(λ), . . .). (14) Для векторiв x ∈ Hc ⊂ l2(N) справедливi розклади (2), (3) за узагальненим власним вектором ϕλ вигляду (14). 5. T -подiбнi графи. Розглянемо граф Tp,q,∞, утворений приєднанням променя AN до вершини, що дiлить ланцюжок на двi частини iз p та q ребрами. Оскiльки характеристичний многочлен det(λI−Am) матрицi Am простого ланцюга iз m вершин виражається через полi- ном Pm(λ), а характеристичний многочлен незв’язного графа є добуток характеристичних многочленiв матриць сумiжностi кожної з компонент незв’язного графа, то для Tp,q,∞-графа det(λI − Â) = Pp(λ)Pq(λ), det(λI −A) = Pp+q+1(λ). (15) У випадку, коли p = q, тобто у T -графа рiвнi плечi, взаємно простi полiноми â(λ) i a(λ) мають вигляд â(λ) = Pq(λ), a(λ) = Pq+1(λ)− Pq−1(λ). (16) Тому спектральний полiном графа Tq,q,∞ iз (11) з урахуванням (16) має вигляд p(λ) = Pq(λ) 2 + 2Pq−1(λ) 2 − 2Pq+1(λ)Pq−1(λ). Оскiльки нулями полiнома Pm(λ) є числа λk = 2cos(πk/(2(m + 1))) (k = 1, 2, . . . ,m), то взаємно простi полiноми â(λ) i a(λ) для випадку (15) знаходяться явно. Зокрема, у випадку, коли числа p+1 i q+1 взаємно простi, â(λ) = Pp(λ)Pq(λ), а a(λ) = Pp+q+1(λ) i спектральний полiном має вигляд p(λ) = Pp+q+1(λ)[Pp+q+1(λ)− λPp(λ)Pq(λ)] + Pp(λ) 2Pq(λ) 2. 6. Зiрковi графи. Розглянемо зiрковий граф S~k,∞, ~k = (k1, k2, . . . , kn) з одним не- скiнченним променем, що приєднаний до центра зiркового графа S~k з ланцюговими про- менями, якi мiстять вiдповiдно k1, k2, . . . , kn вершин i виходять iз центра зiркового графа. У цьому випадку можна у явному виглядi провести повний спектральний аналiз такого гра- фа, виходячи iз загальних теорем, наведених у п. 3. Дiйсно, характеристичний многочлен матрицi сумiжностi графа S~k явно виражається через полiноми Pj(λ) у виглядi det(λI − − A) = λPk1(λ) · · ·Pkn(λ) − n∑ j=1 [Pk1(λ) · · ·Pkj−1(λ) · · ·Pkn(λ)]. Характеристичний многочлен ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 33 зiркового графа S~k з вилученим центром має вигляд det(λI − Ã) = Pk1(λ)Pk2(λ) · · ·Pkn(λ). Тодi спектральний полiном зiркового графа S~k,∞ визначається рiвнiстю (11). У випадку, ко- ли всi скiнченнi променi мiстять однакову кiлькiсть вершин, тобто k1 = k2 = · · · = kn = k, r(λ) = Pk(λ) n−1 i спектральний полiном має вигляд p(λ) = Pk(λ) 2 + n2Pk−1(λ) 2 − λnPk(λ)Pk−1(λ). Цей вираз у випадку k = 1 тотожний розглянутому в роботi [11] p(λ) = n2 − (n − 1)λ2. При k = 2 спектральний полiном має вигляд p(λ) = 1 + (n2 + n − 2)λ2 − (n − 1)λ4. Роботу виконано в рамках проекту 03–01–12 “Оберненi задачi в сучаснiй математичнiй фiзи- цi” спiльних проектiв НАН України та Сибiрського вiддiлення РАН. Автори висловлюють щиру подяку Ю.С. Самойленку за конструктивнi зауваження. 1. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов. Теория и применение. – Киев: Наук. думка, 1984. – 384 с. 2. Москалева Ю.П., Самойленко Ю.С. Введение в спектральную теорию графов. – Киев: Центр учеб. лит., 2007. – 114 с. 3. Brouwer A.E., Haemers W.H. Spectra of graphs. – New York: Springer, 2012. – 250 с. 4. Mohar B. The spectrum of an infinite graph // Linear Algebra Appl. – 1982. – 48. – P. 245–256. 5. Mohar B., Woess W. A survey on spectra of infinite graphs // Bull. London Math. Soc. – 1989. – 21. – P. 209–234. 6. Mantoiu M., Richard S., Tiedra de Aldecoa R. Spectral analysis for adjacency operators on graphs // arXiv:math-ph/0603020v1 7 Mar 2006. 7. von Below J. An index theory for uniformly locally finite graphs // Linear Algebra Appl. – 2009. – 431. – P. 1–19. 8. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометричес- ких графах. – Москва: Физматлит, 2004. – 272 с. 9. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка, 1965. – 798 с. 10. Simon B. Szego’s theorem and its descendants: Spectral theory for L2 perturbations of orthogonal polyno- mials. – Princeton, NY: Princeton Univ. Press, 2011. – 650 p. 11. Лебiдь В.О., Нижник Л.П. Спектральний аналiз зiркового графа з одним нескiнченним променем // Наук. зап. НаУКМА. – 2013. – 139. – C. 18–22. Надiйшло до редакцiї 18.09.2013Iнститут математики НАН України, Київ В.А. Лебедь, Л.П. Нижник Спектральный анализ локально конечных графов с одним бесконечным лучом Проведен детальный спектральный анализ счетных графов, которые являются объедине- нием конечного графа и полуограниченной бесконечной цепочки. Охарактеризован спектр матрицы смежности таких графов, построена спектральная мера, приведены в явной фор- ме собственные векторы и спектральное разложение по собственным векторам. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3 V.O. Lebid, L. P. Nizhnik Spectral analysis of locally finite graphs with one infinite ray A complete spectral analysis of countable graphs defined as the union of a finite graph and a semibounded infinite chain is given. The spectrum of the adjacency matrix of graphs is defined, a spectral measure is constructed, the eigenvectors and the spectral expansion in eigenvectors are presented. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 35

Спектральний аналіз локально скінченних графів з одним нескінченним променем

Institution

Ähnliche Einträge