Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки
Рассмотрена задача о собственных колебаниях упругой жестко закрепленной пластинки. Предложен проекционный метод построения ее решений, основанный на использовании метода Трефтца решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца и метода наименьших квадратов для решения вспомогательной спектральной кр...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Series: | Акустичний вісник |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87269 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки / М.Я. Барняк, Б. Солтанниа // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87269 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-872692015-10-17T03:01:43Z Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки Барняк, М.Я. Солтанниа, Б. Рассмотрена задача о собственных колебаниях упругой жестко закрепленной пластинки. Предложен проекционный метод построения ее решений, основанный на использовании метода Трефтца решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца и метода наименьших квадратов для решения вспомогательной спектральной краевой задачи с параметром в краевом условии. В результате построены решения задачи, точно удовлетворяющие уравнению внутри области и приближенно (с точностью до шести-восьми значащих цифр) - краевым условиям задачи. В качестве примера определены 24 первые собственные значения и собственные функции задачи для эллиптической и суперэллиптической пластинок. Розглянуто задачу про власні коливання пружної жорстко закріпленої пластинки. Запропоновано проекційний метод побудови її розв'язків, який грунтується на використанні методу Трефтца розв'язування задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца й методу найменших квадратів для розв'язування допоміжної спектральної крайової задачі з параметром у крайовій умові. В результаті побудовано розв'язки задачі, які точно задовольняють рівняння всередині області й наближено (з точністю до шести-восьми значущих цифр) - крайові умови задачі. Як приклад визначено 24 перші власні значення й власні функції задачі для еліптичної та супереліптичної пластинок. The paper deals with the problem on natural vibrations of the elastic plate with a fixed boundary. To solve this problem a projective method is suggested that is based on the Trefts method for solving the Dirichlet problems for the Helmholtz equation and r.m.s. value method for solving auxiliary spectral boundary problems with a parameter in the boundary condition. As a result, the solution has been developed that exactly satisfies the equation inside the domain and approximately (to within six-eight significant figures) - boundary conditions of the problem. As an example, the first 24 eigenvalues and eigenfunctions in the problem for the elliptic and superelliptic plates have been specified. 2009 Article Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки / М.Я. Барняк, Б. Солтанниа // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87269 539.3 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о собственных колебаниях упругой жестко закрепленной пластинки. Предложен проекционный метод построения ее решений, основанный на использовании метода Трефтца решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца и метода наименьших квадратов для решения вспомогательной спектральной краевой задачи с параметром в краевом условии. В результате построены решения задачи, точно удовлетворяющие уравнению внутри области и приближенно (с точностью до шести-восьми значащих цифр) - краевым условиям задачи. В качестве примера определены 24 первые собственные значения и собственные функции задачи для эллиптической и суперэллиптической пластинок. |
| format |
Article |
| author |
Барняк, М.Я. Солтанниа, Б. |
| spellingShingle |
Барняк, М.Я. Солтанниа, Б. Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки Акустичний вісник |
| author_facet |
Барняк, М.Я. Солтанниа, Б. |
| author_sort |
Барняк, М.Я. |
| title |
Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки |
| title_short |
Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки |
| title_full |
Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки |
| title_fullStr |
Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки |
| title_full_unstemmed |
Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки |
| title_sort |
проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87269 |
| citation_txt |
Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жестко защемленной пластинки / М.Я. Барняк, Б. Солтанниа // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT barnâkmâ proekcionnyjmetodrešeniâzadačiosobstvennyhkolebaniâhžestkozaŝemlennojplastinki AT soltanniab proekcionnyjmetodrešeniâzadačiosobstvennyhkolebaniâhžestkozaŝemlennojplastinki |
| first_indexed |
2025-07-06T14:51:34Z |
| last_indexed |
2025-07-06T14:51:34Z |
| _version_ |
1836909587374014464 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
УДК 539.3
ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЖЕСТКО
ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНКИ
М. Я. Б А Р НЯ К∗, Б. С ОЛ ТА Н Н И А∗∗
∗Институт математики НАН Украины, Киев
∗∗Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев
Отримано 24.03.2009
Рассмотрена задача о собственных колебаниях упругой жестко закрепленной пластинки. Предложен проекцион-
ный метод построения ее решений, основанный на использовании метода Трефтца решения задачи Дирихле для
уравнения Гельмгольца и метода наименьших квадратов для решения вспомогательной спектральной краевой зада-
чи с параметром в краевом условии. В результате построены решения задачи, точно удовлетворяющие уравнению
внутри области и приближенно (с точностью до шести– восьми значащих цифр) – краевым условиям задачи. В
качестве примера определены 24 первые собственные значения и собственные функции задачи для эллиптической
и суперэллиптической пластинок.
Розглянуто задачу про власнi коливання пружної жорстко закрiпленої пластинки. Запропоновано проекцiйний ме-
тод побудови її розв’язкiв, який грунтується на використаннi методу Трефтца розв’язування задачi Дiрiхле для
рiвняння Гельмгольца й методу найменших квадратiв для розв’язування допомiжної спектральної крайової задачi
з параметром у крайовiй умовi. В результатi побудовано розв’язки задачi, якi точно задовольняють рiвняння все-
рединi областi й наближено (з точнiстю до шести– восьми значущих цифр) – крайовi умови задачi. Як приклад
визначено 24 першi власнi значення й власнi функцiї задачi для елiптичної та суперелiптичної пластинок.
The paper deals with the problem on natural vibrations of the elastic plate with a fixed boundary. To solve this problem
a projective method is suggested that is based on the Trefts method for solving the Dirichlet problems for the Helmholtz
equation and r.m s. value method for solving auxiliary spectral boundary problems with a parameter in the boundary condi-
tion. As a result, the solution has been developed that exactly satisfies the equation inside the domain and approximately
(to within six – eight significant figures) – boundary conditions of the problem. As an example, the first 24 eigenvalues
and eigenfunctions in the problem for the elliptic and superelliptic plates have been specified.
ВВЕДЕНИЕ
Определение частот и форм собственных коле-
баний упругих пластин – классическая задача, ко-
торая в настоящее время достаточно хорошо ис-
следована. В работах многих авторов, начиная с
работ С. П. Тимошенко, предложены эффектив-
ные методы построения ее решений [1 – 5]. Наи-
более универсальным оказалось применение для
этой цели метода Ритца, который позволяет рас-
сматривать пластинки довольно сложной геоме-
трии [3 – 5]. Заметим, что метод Ритца дает воз-
можность получать аналитическое решение этой
задачи, удовлетворяющее приближенно как урав-
нению в области, так и краевым условиям, причем
оценить его точность не всегда удается.
Современный уровень развития компьютерной
техники, позволяющей выполнять большой объем
вычислений, дает возможность определять реше-
ния краевых задач с высокой точностью. В част-
ности, в этой работе построено аналитическое
решение задачи, удовлетворяющее уравнению в
области точно, а краевым условиям – прибли-
женно, с точностью до шести – восьми значащих
цифр.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача о собственных колеба-
ниях жестко защемленной по всему краю упругой
пластинки, занимающей область G, ограниченную
линией l. Как известно из работ [1, 2], ее собствен-
ные колебания описываются следующей краевой
спектральной задачей:
∆2w ≡ ∂4w
∂x4
+ 2
∂4w
∂x2∂y2
+
∂4w
∂y4
= λ2w в G, (1)
w = 0,
∂w
∂n
= 0 на l, (2)
где w(x, y) – прогиб пластинки; (x, y) – декартова
система координат; λ – спектральный параметр;
n – внешняя, по отношению к G, нормаль к l.
Для круговой области единичного радиуса изве-
стно точное решение задачи (1), (2), которое
строится с помощью метода разделения перемен-
ных в полярной системе координат (r, η) и имеет
следующий вид:
w(r, η) = vm(r) exp(imη), m = 0, 1, . . . , (3)
c© М. Я. Барняк, Б. Солтанниа, 2009 11
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
где
vm(r) =
Jk(
√
λkr)
Jk(
√
λk)
− Ik(
√
λkr)
Ik(
√
λk)
;
λk – k-ый корень трансцендентного уравнения
Ik(
√
λk)J ′
k(
√
λk) − Jk(
√
λk)I′k(
√
λk) = 0.
В случае областей более сложной формы для
построения решений задачи (1), (2) применяется
вариационный метод, основанный на сведении за-
дачи к минимизации функционала
F (w) =
∫
G
(
(
∂2w
∂x2
)2
+ 2
(
∂2w
∂x∂y
)2
+
+
(
∂2w
∂y2
)
)
dG
(4)
на классе функций w(x, y), интегрируемых с ква-
дратом вместе с первыми и вторыми частными
производными по области G и удовлетворяющих
краевым условиям (2) и условию нормировки
∫
G
w2dG = 1. (5)
Для минимизации функционала (4) используют
метод Ритца, когда искомое решение задачи пред-
ставляют в виде конечной суммы
w =
N
∑
k=1
akuk, (6)
где {uk(x, y)}∞k=1 – некоторая полная в определен-
ном выше классе система координатных функций.
Такая методика известна еще из работ Ритца,
Тимошенко и др. В настоящее время появляется
ряд исследований, посвященных решению этой за-
дачи с помощью метода Ритца. Мы предлагаем
принципиально другой подход к построению реше-
ний – в его основу положены идеи проекционных
методов.
Сначала несколько преобразуем задачу. Для
этого докажем следующее утверждение: всякое до-
статочно гладкое, а именно, четырежды непре-
рывно дифференцируемое решение уравнения (1)
w(x, y) при λ 6=0 представимо в виде суммы
w(x, y) = ϕ(x, y) + ψ(x, y), (7)
где ϕ(x, y) и ψ(x, y) – решения уравнений Гельм-
гольца
(∆ + λ)ϕ = 0, (8)
(−∆ + λ)ψ = 0. (9)
Доказательство. Положим
ϕ =
1
2λ
(−∆ + λ)w, ψ =
1
2λ
(∆ + λ)w. (10)
Подействуем на первую из функций оператором
(∆+λ), а на вторую – оператором (∆−λ). В силу
того, что указанные операторы коммутируют ме-
жду собой, а функция w(x, y) является решением
уравнения (1), получим
(∆ + λ)ϕ = 0, (−∆ + λ)ψ = 0.
Складывая оба выражения (10), имеем
w(x, y)=ϕ(x, y)+ψ(x, y), что и доказывает наше
утверждение.
Задачу (1), (2) можно переписать в следующем
виде:
(∆+λ)ϕ=0 в G,
∂ϕ
∂n
+
∂ψ
∂n
=0 на l,
(−∆+λ)ψ=0 в G, ϕ+ψ=0 на l.
(11)
Отдельно выделим из полученной задачи (11) за-
дачу Дирихле для уравнения Гельмгольца
(−∆ + λ)ψ = 0 в G, ψ = −ϕ на l. (12)
Функция ψ(x, y) может быть определена с помо-
щью функции Грина H(x, y, ξ, η):
ψ(x, y) = −
∫
l
H(x, y, ξ, η)ϕ(ξ, η)dl. (13)
Тогда
∂ψ
∂n
∣
∣
∣
∣
l
= −
∫
l
∂H
∂n
∣
∣
∣
∣
l
ϕdl = −Tλϕ
∣
∣
l
,
где Tλ – положительно-определенный интегро-
дифференциальный оператор, который ставит в
соответствие граничным значениям функции ϕ на
l значение нормальной производной решения за-
дачи (12), т. е. функции ψ на l. Следовательно, за-
дачу (11) можно переписать в таком виде:
(∆ + λ)ϕ = 0 в G,
∂ϕ
∂n
+ Tλϕ = 0 на l.
(14)
Таким образом задача (1), (2) сводится к спек-
тральной задаче для оператора Лапласа в обла-
сти G. Кроме того, спектральный параметр вхо-
дит в краевое условие задачи посредством опе-
ратора Tλ, определяющего решение задачи (12).
12 М. Я. Барняк, Б. Солтанниа
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
Явный вид этого оператора, т. е. функцию Гри-
на H(x, y, ξ, η), удается записать только для част-
ных случаев формы областиG: круга, кольца, пря-
моугольника. Для других областей решение зада-
чи (12) можно построить с помощью проекцион-
ных методов.
2. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД
Пусть имеются две системы функций – {fk}∞k=1
и {wk}∞k=1, удовлетворяющие уравнениям (8) и (9)
соответственно и полные в соответствующих под-
пространствах пространства Соболева W
1
2(G) ре-
шений этих уравнений, т. е. любые решения урав-
нений (8) и (9) могут быть как угодно точно ап-
проксимированы конечными суммами
ϕN =
N
∑
k=1
akfk, ψM =
M
∑
k=1
bkwk (15)
в метрике пространства W
1
2(G). Другими словами,
для любого ε>0 всегда найдутся такие значения
констант N , M и коэффициентов ak и bk, что
‖ϕ− ϕN‖W1
2
(G) < ε, ‖ψ − ψM‖W1
2
(G) < ε,
где ‖u‖W1
2
(G)=
∫
G
(
(∇u)2+u2
)
dG.
Для всякого фиксированного значения парамет-
ра λ сформулируем вспомогательную спектраль-
ную задачу
(−∆ + λ)u = 0 в G,
∂u
∂n
+ Tλu = σu на l,
(16)
где σ – спектральный параметр. Квадрат мини-
мального по модулю σ можно определить как ми-
нимум функционала
K(u) =
∫
l
(
∂u
∂n
+ Tλu)
2dl
∫
l
u2dl
(17)
на классе функций u, удовлетворяющих уравне-
нию (8). Если окажется, что при некотором λ=λi
минимальная величина функционала достаточно
мала, то λi можно принять за приближенное соб-
ственное значение задачи (14). Функцию ui, пре-
доставляющую функционалу K(u) эту минималь-
ную величину, примем за соответствующую соб-
ственную функцию задачи. При этом само ми-
нимальное значение функционала укажет на точ-
ность, с которой полученное решение удовлетворя-
ет краевому условию задачи. Приближенное реше-
ние задачи (16) представим в виде конечной сум-
мы
uN =
N
∑
k=1
akfk, (18)
где коэффициенты ak определим из условий ми-
нимума функционала (17) ∂K(uN )/∂ak =0, кото-
рые принимают вид системы линейных одноро-
дных уравнений
N
∑
k=1
(αi,k − σ2βi,k)ak = 0, i = 1, 2, . . . , N. (19)
Здесь
αi,k =
∫
l
(
∂fi
∂n
+ Tλfi
)(
∂fk
∂n
+ Tλfk
)
dl;
βi,k =
∫
l
fifkdl.
Из условия существования нетривиального ре-
шения системы линейных однородных алгебраиче-
ских уравнений (19) определим наименьшее по мо-
дулю собственное значение задачи (16). Здесь при-
нято, что оператор Tλ определен, т. е. предполага-
ется, что мы умеем решать задачу (12). Для по-
строения решений этой задачи при ϕ=fi исполь-
зуем метод Трефтца [6], представляя искомое ре-
шение задачи
(−∆ + λ)ψk = 0 в G, ψk = −fk на l
в виде
ψk =
M
∑
j=1
bj,kwj . (20)
Коэффициенты bj,k, согласно методу Трефтца,
определяются из условий ортгональности [6]
∫
l
(
M
∑
j=1
bj,kwj + fk
)
∂wi
∂n
dl = 0,
i = 1, 2, . . . ,M, k = 1, 2, . . . , N,
которые можно переписать как
M
∑
j=1
γi,jbj,kwj + ωi,k = 0.
М. Я. Барняк, Б. Солтанниа 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
Здесь введены обозначения
γi,j =
∫
l
wj
∂wi
∂n
dl =
∫
l
wi
∂wj
∂n
dl,
ωi,k =
∫
l
fk
∂wi
∂n
dl.
Полученную систему линейных алгебраических
уравнений сN правыми частями запишем в сокра-
щенном виде
DX + Ω = 0, (21)
где D, X и Ω – матрицы коэффициентов γi,j, bj,k и
ωi,k соответственно. В результате решения систе-
мы уравнений (21) определяем матрицу коэффи-
циентов X для функций ψk, а с ними и значение
Tλfk =
M
∑
j=1
bj,k
∂wj
∂n
.
Окончательно имеем
αi,k =
∫
l
∂fi
∂n
∂fk
∂n
dl+
∫
l
M
∑
j=1
bj,i
∂wj
∂n
M
∑
j=1
bj,k
∂wj
∂n
dl+
+
∫
l
M
∑
j=1
bj,i
∂wj
∂n
∂fk
∂n
dl+
M
∑
j=1
bj,k
∂wj
∂n
∂fi
∂n
dl.
Вводя обозначения матриц коэффициентов
α0
i,k =
∫
l
∂fi
∂n
∂fk
∂n
dl через A0,
α1
i,k =
∫
l
∂wi
∂n
∂fk
∂n
dl через A1,
α2
i,k =
∫
l
∂wi
∂n
∂wk
∂n
dl через A2,
получаем следующее выражение для матрицы:
A = A0 + A1X + (A1X)T + X
T
A2X,
где X
T – матрица, транспонированная к X.
Обобщенную спектральную задачу для матриц
A и B решаем с помощью стандартных подпро-
грамм.
3. ВЫБОР СИСТЕМ КООРДИНАТНЫХ
ФУНКЦИЙ
Успех применения проекционных методов к ре-
шению краевых задач математической физики
всецело зависит от удачного выбора системы ко-
ординатных функций.
Перейдем к цилиндрической системе координат
(r, η):
x = r cos(η), y = r sin(η). (22)
В качестве системы функций {fk}∞k=1 и {wk}∞k=1
выберем решения уравнений (8) и (9), определяе-
мые с помощью метода разделения переменных:
f2k(r, η) = Jk(
√
λkr) cos(kη),
f2k+1(r, η) = Jk+1(
√
λkr) sin((k + 1)η),
w2k(r, η) = Ik(
√
λkr) cos(kη),
w2k+1(r, η) = Ik+1(
√
λkr) sin((k + 1)η),
k = 1, 2, . . .
(23)
Отметим, что все выражения в (23) при нече-
тных значениях индексов – нечетные функции пе-
ременной η, а следовательно, и нечетные функ-
ции y. Четные значения индексов соответствуют
четным функциям переменной y. Нетрудно про-
верить, что при четных значениях параметра k
все функции – четные относительно переменной
t=π/2−η, а следовательно, и x.
При нечетных k все функции будут нечетными
по x, а при четных – четными. Действительно,
проведем в выражениях (23) замену переменной
η=π/2−t при k=2j:
f4j(r, η)=J2j(
√
λr) cos(2jt)(−1)j ,
f4j+1(r, η)=J2j+1(
√
λr) cos((2j+1)t)(−1)j ,
w4j(r, η)=I2j(
√
λr) cos(2jt)(−1)j ,
w4j+1(r, η)=I2j+1(
√
λr) cos((2j+1)t)(−1)j ,
j = 0, 1, 2, . . .
(24)
Учитывая связь (22), делаем вывод, что все выпи-
санные функции – четные по x.
Если сделать замену переменной η=π/2−t при
k=2j+1, то получим нечетные функции перемен-
14 М. Я. Барняк, Б. Солтанниа
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
ной x с индексами 4j+2 и 4j+3:
f4j+2(r, η)=J2j+1(
√
λr) sin((2j+1)t)(−1)j ,
f4j+3(r, η)=J2j+2(
√
λr) sin((2j+2)t)(−1)j ,
w4j+2(r, η)=I2j+1(
√
λr) sin((2j+1)t)(−1)j ,
w4j+3(r, η)=I2j+2(
√
λr) sin((2j+2)t)(−1)j ,
j = 0, 1, 2, . . .
(25)
Таким образом, все функции fi(x, y) и wi(x, y)
разбиваются по признаку четности по переменным
x и y на четыре класса:
1) функции с индексом 4j четные по x и четные
по y;
2) функции с индексом 4j+1 четные по x и не-
четные по y;
3) функции с индексом 4j+2 нечетные по x и
четные по y;
4) функции с индексом 4j+3 нечетные по x и
нечетные по y.
Эти свойства используются при построении реше-
ний задачи для симметричных областей.
Как уже отмечено, через выписанные функции
выражаются точные решения задачи для круговой
области. Таким образом, их целесообразно исполь-
зовать для аппроксимации решений задачи для
областей, мало отличающихся от круговой.
4. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗА-
ЦИИ ПРОЕКЦИОННОГО МЕТОДА
Ниже предлагается алгоритм численной реали-
зации описанного проекционного метода решения
задачи для областей эллиптической и суперэлли-
птической формы, уравнение границы которых за-
дается в виде
(x
a
)2k
+
(y
b
)2k
= 1, (26)
где k – произвольное целое положительное чис-
ло. При k=1 получаем канонический эллипс. Для
такой области задача (1), (2) была рассмотрена в
работах [3 –5]. Там для ее решения применялся ме-
тод Ритца.
Уравнение суперэллипса в полярной системе ко-
ординат имеет вид
F (r, η) ≡ rp
(
(cos η
a
)p
+
(
sin η
b
)p)
− 1 = 0 (27)
или
r =
(
(cos η
a
)p
+
(
sin η
b
)p)−
1
p
,
где p=2k.
Вычислим нормальную производную от ϕ(r, η)
на l:
∂ϕ
∂n
=
∂ϕ
∂r
∂F/∂r
|∇F | +
1
r
∂ϕ
∂η
∂F/∂η
|∇F | .
Элемент дуги кривой составляет
dl =
√
(dr)2 + r2(dη)2 =
√
1 +
1
r2
(
dr
dη
)2
rdη.
Производную dr/dη вычислим как производную
неявно заданной функции, а потому
dl =
√
1 +
1
r2
(
∂F/∂η
|∇F |
)2
rdη =
|∇F |
∂F/∂r
.
Таким образом,
∂ϕ
∂n
dl =
∂ϕ
∂r
+
1
r2
∂ϕ
∂η
∂F/∂η
∂F/∂r
.
Теперь, когда получено выражение для нор-
мальных производных от функций в полярной си-
стеме координат, не представляет труда найти ко-
эффициенты матриц, например, с помощью мето-
да Гаусса. Вычисляя матрицы A и B и решая спе-
ктральную задачу (16), имеем зависимость
σ2
min = σ2
min(λ).
Изложим алгоритм определения величины ми-
нимума значения этой функции. Сначала зада-
ем некоторое начальное значение λ1 и вычисля-
ем значение σ1 =σmin(λ1). Далее, изменяем λ с
некоторым постоянным шагом h. Как только по-
лучим три последовательные пары значений ар-
гумента λ и функции σmin – (λ1, σ1), (λ2, σ2),
(λ3, σ3), – проверяем, не попали ли мы на мини-
мум. Если выполняется условие σ1>σ2>σ3 или
σ1<σ2<σ3, значит функция на этом отрезке моно-
тонно убывает или монотонно возрастает. Следо-
вательно, минимума здесь нет, и мы дальше с тем
же шагом увеличиваем значение аргумента. Если
окажется, что на некотором отрезке выполняю-
тся неравенства σ1>σ2<σ3, то это означает что
на отрезке λ1<λ<λ3 находится точка, в которой
функция принимает минимальное значение. Что-
бы уточнить его, проводим через точки (λ1, σ1),
(λ2, σ2), (λ3, σ3) параболу σ=c(λ−s)+d. Подстав-
ляя в уравнение параболы координаты указанных
трех точек, получаем систему уравнений относи-
тельно неизвестных коэффициентов c, s и d:
М. Я. Барняк, Б. Солтанниа 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
Табл 1. Собственные значения
для колебаний суперэллиптической пластинки,
симметричных по x и антисимметричных по y
(p=10, N =15)
M λ1, σ2
min λ2, σ2
min
10 3.22981305, 0.59·10−6
5.02247739, 0.14·10−4
11 3.22981309, 0.72·10−6
5.02247598, 0.56·10−5
12 3.22981310, 0.62·10−6
5.02247616, 0.40·10−5
M λ3, σ2
min λ4, σ2
min
10 5.89299340, 0.75·10−4
6.96353055, 0.68·10−2
11 5.89299330, 0.56·10−4
6.96361217, 0.13·10−2
12 5.89299311, 0.19·10−4
6.96363141, 0.14·10−4
M λ5, σ2
min λ6, σ2
min
10 8.46241786, 0.23·101
8.90078664, 0.24·100
11 8.46762713, 0.21·100
8.90128922, 0.10·10−1
12 8.46849720, 0.17·10−1
8.90128340, 0.57·10−2
Табл 2. Собственные значения
для колебаний суперэллиптической пластинки,
симметричных по x и антисимметричных по y
(p=10, M =24)
N λ1, σ2
min λ2, σ2
min
18 3.22981314, 0.32·10−10
5.02247602, 0.61·10−9
19 3.22981312, 0.31·10−10
5.02247607, 0.50·10−9
20 3.22981316, 0.16·10−10
5.02247601, 0.11·10−9
N λ3, σ2
min λ4, σ2
min
18 5.89299354, 0.94·10−8
6.96363117, 0.61·10−7
19 5.89299346, 0.54·10−8
6.96363001, 0.27·10−7
20 5.89299359, 0.11·10−8
6.96363035, 0.43·10−8
N λ5, σ2
min λ6, σ2
min
18 8.46862759, 0.25·10−6
8.90131359, 0.63·10−6
19 8.46862616, 0.15·10−6
8.90131535, 0.14·10−6
20 8.46862502, 0.42·10−8
8.90131318, 0.70·10−8
σj = c(λ1 − s)2 + d, j = 1, 2, 3. (28)
Тогда
σ3 − σ2
σ2 − σ1
=
(λ3 − λ2)(λ3 + λ2 − 2s)
(λ2 − λ1)(λ2 + λ1 − 2s)
,
откуда следует
s =
(λ1 + λ2)g1 − (λ2 + λ3)g2
2(g1 + g2)
,
g1 =
σ3 − σ2
σ2 − σ1
; g2 =
λ3 − λ2
λ2 − λ1
.
Мы получили точку вершины параболы. Далее
определяем значение σmin(s). Если окажется, что
Табл 3. Собственные значения для колебаний
суперэллиптической пластинки,
антисимметричных по x и y
(p=10, M =24)
N λ1, σ2
min λ2, σ2
min
18 4.46970893, 0.93·10−9
5.84092294, 0.50·10−8
19 4.46970894, 0.54·10−10
5.84092248, 0.38·10−9
20 4.46970885, 0.38·10−10
5.84092290, 0.33·10−9
N λ3, σ2
min λ4, σ2
min
18 7.38116493, 0.11·10−7
7.59565053, 0.37·10−7
19 7.38116630, 0.77·10−8
7.59565031, 0.38·10−8
20 7.38116572, 0.49·10−8
7.59565035, 0.25·10−8
N λ5, σ2
min λ6, σ2
min
18 8.25794908, 0.64·10−7
9.55885163, 0.81·10−6
19 8.25794741, 0.52·10−7
9.55885003, 0.30·10−6
20 8.25794812, 0.26·10−7
9.55884912, 0.72·10−7
Табл 4. Собственные значения
для колебаний суперэллиптической пластинки,
антисимметричных по x и симметричных по y
(p=10, M =24)
N λ1, σ2
min λ2, σ2
min
18 2.59855910, 0.31·10−10
4.07967578, 0.44·10−9
19 2.59855912, 0.22·10−11
4.07967578, 0.18·10−9
20 2.59855908, 0.25·10−11
4.07967569, 0.99·10−10
N λ3, σ2
min λ4, σ2
min
18 5.59834322, 0.13·10−8
6.00685464, 0.47·10−8
19 5.59834318, 0.14·10−8
6.00685445, 0.23·10−8
20 5.59834333, 0.50·10−9
6.00685470, 0.39·10−9
N λ5, σ2
min λ6, σ2
min
18 6.35996348, 0.26·10−7
7.67856116, 0.13·10−6
19 6.35996328, 0.25·10−7
7.67856134, 0.13·10−6
20 6.35996282, 0.73·10−8
7.67856121, 0.26·10−7
λ1<s<λ2, то переопределяем точки следующим
образом:
λ1 = λ1, λ2 = s, λ3 = λ2,
σ1 = σ1, σ2 = σmin(s), σ3 = σ2,
(29)
и проводим через них снова параболу. Если окаже-
тся, что λ1>s>λ2, то переопределяем точки та-
ким образом:
λ1 = λ2, λ2 = s, λ3 = λ3,
σ1 = σ2, σ2 = σmin(s), σ3 = σ3,
(30)
а далее действуем аналогично.
Будем уточнять точку минимума до тех пор, по-
ка выполняется условие |λ2−s|<ε, где ε – напе-
16 М. Я. Барняк, Б. Солтанниа
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
Табл 5. Собственные значения для колебаний
суперэллиптической пластинки,
симметричных по x и y
(p=10, M =24)
N λ1, σ2
min λ2, σ2
min
18 4.06667490, 0.43·10−9
5.08328128, 0.78·10−8
19 4.06667495, 0.50·10−10
5.08328121, 0.52·10−9
20 4.06667492, 0.54·10−11
5.08328127, 0.13·10−9
N λ3, σ2
min λ4, σ2
min
18 6.68938896, 0.48·10−7
7.14809029, 0.94·10−8
19 6.68938881, 0.71·10−9
7.14809019, 0.13·10−8
20 6.68938921, 0.10·10−8
7.14809113, 0.15·10−8
N λ5, σ2
min λ6, σ2
min
18 7.75769090, 0.11·10−6
8.53666727, 0.35·10−6
19 7.75769093, 0.19·10−7
8.53666932, 0.21·10−7
20 7.75769133, 0.19·10−7
8.53666641, 0.87·10−8
Табл 6. Собственные значения
для колебаний эллиптической пластинки,
симметричных по x и антисимметричных по y
(a=1, b=1.5, N =15)
M λ1, σ2
min λ2, σ2
min
10 3.55726340, 0.18·10−13
5.36787046, 0.70·10−12
11 3.55726342, 0.21·10−13
5.36787046, 0.30·10−12
12 3.55726341, 0.32·10−13
5.36787044, 0.39·10−12
M λ3, σ2
min λ4, σ2
min
10 6.59952327, 0.14·10−11
7.26517579, 0.89·10−10
11 6.59952336, 0.84·10−13
7.26517583, 0.16·10−11
12 6.59952326, 0.12·10−11
7.26517578, 0.45·10−11
M λ5, σ2
min λ6, σ2
min
10 8.19747599, 0.11·10−8
9.15462467, 0.16·10−5
11 8.19747588, 0.19·10−11
9.15462461, 0.11·10−7
12 8.19747577, 0.34·10−10
9.15462476, 0.16·10−9
ред заданная точность ее определения. Как только
оно перестает выполняться, запоминаем значения
определенного корня и продолжаем цикл даль-
ше: увеличиваем значение λ и определяем следу-
ющий локальный минимум, а следовательно, соб-
ственные значения и собственные функции зада-
чи (1), (2).
В качестве примера в табл. 1 – 5 приведены ре-
зультаты расчета первых шести (из каждой серии
по признаку симметрии относительно осей симме-
трии области) собственных значений задачи для
суперэллиптической области при p=10.
В табл. 1 и 2 даны собственные значения для
симметричных по x и антисимметричных по y соб-
ственных колебаний пластинки. При составлении
табл. 1 использовано N=15 функций fk и ра-
Табл 7. Прочие собственные значения
для колебаний эллиптической пластинки
(a=1, b=1.5, N =15, M =12)
антисимметричные по x и симметричные по y
λ1, σ2
min λ2, σ2
min
2.75918600, 0.19·10−13
4.44170297, 0.10·10−12
λ3, σ2
min λ4, σ2
min
5.86342728, 0.77·10−12
6.31337881, 0.59·10−13
λ5, σ2
min λ6, σ2
min
7.37961926, 0.62·10−11
8.21440526, 0.14·10−10
антисимметричные по x и y
λ1, σ2
min λ2, σ2
min
5.03474568, 0.21·10−12
6.66061523, 0.43·10−11
λ3, σ2
min λ4, σ2
min
8.16601016, 0.34·10−11
8.38676268, 0.68·10−10
λ5, σ2
min λ6, σ2
min
9.72752868, −0.29·10−10
10.14944236, 0.77·10−9
симметричные по x и y
λ1, σ2
min λ2, σ2
min
4.29402274, 0.81·10−13
5.82934003, 0.85·10−12
λ3, σ2
min λ4, σ2
min
7.43338331, −0.15·10−11
7.51609942,−0.12·10−10
λ5, σ2
min λ6, σ2
min
8.93220891, 0.12·10−10
9.26609345, 0.11·10−9
зное количество wk. Здесь и далее через запятую
приведены собственное число λj и соответствую-
щий квадрат наименьшего собственного значения
вспомогательной задачи (16), т. е. фактически точ-
ность удовлетворения ее краевого условия в сре-
днеквадратичном смысле. Величины, приведен-
ные в табл. 2, получены при большем числе учтен-
ных координатных функций: как wk (M =24), так
и fk. Это дало возможность уточнить искомые соб-
ственные значения задачи и значительно повысить
точность удовлетворения граничного условия.
Табл. 3 содержит собственные значения, соо-
тветствующие антисимметричным по обеим коор-
динатам колебаниям пластинки, в табл. 4 – ан-
тисимметричным по x и симметричным по y, а в
табл. 5 – симметричным по обеим координатам.
В табл. 6 представлены собственные значения
задачи для эллиптической области с полуосями
a0 =1 и b0 =1.5. Сравнивая данные табл. 1 и 6,
легко заметить, что точность удовлетворения кра-
евому условию в последней таблице значительно
выше, хотя количество используемых координа-
тных функций одинаково. Это можно объяснить
большим значением кривизны границы суперэлли-
М. Я. Барняк, Б. Солтанниа 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 11 – 18
птической области. Не надо забывать, что в преде-
ле, когда p→∞, суперэллиптическая область при-
ближается к прямоугольной, для которой решения
задачи (1), (2) имеют особенность в угловых то-
чках.
Для полноты картины приведем результаты
определения остальных собственных значений для
этой же эллиптической области: табл. 7.
ВЫВОДЫ
Как видно из приведенных таблиц, разра-
ботанный алгоритм дает возможность строить
решения поставленной задачи с достаточно
высокой степенью точности. Такая методика
может быть применена для широкого класса
односвязных областей, в том числе и для не-
симметричных. В последнем случае необходимо
использовать в качестве системы координатных
функций одновременно все подсистемы реше-
ний уравнений Гельмгольца. Преимуществом
разработанной методики, наряду с высокой
точностью построенных решений, является
компактная аналитическая форма их пред-
ставления. Таким образом, удается определить
не только первые, но и более высокие собствен-
ные значения и соответствующие им собственные
функции задачи. Использование в качестве ко-
ординатных функций других решений уравнений
Гельмгольца даст возможность обобщить данную
методику на более широкий класс форм упругих
пластин.
1. Ritz W. Theorie der Transwersalschwingungen ei-
ner quadratischen Platte mit freien Ränden.– Paris:
Gesammelte Werke, 1911.– 66 s.
2. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки.– М.: Го-
стехиздат, 1948.– 356 с.
3. Altekin M. Free linear vibration and buckling of super
elliptical plates resting on symmetrically distributed
point-supports on the diagonals // Thin-Wall. Struct.–
2008.– 46.– P. 1066-1086.
4. Liew K. M., Feng Z. C. Three-dimensional free vi-
bration analysis of perforated super elliptical plates
via the p-Ritz method // Int. J. Mech. Sci.– 2001.–
43.– P. 2613–2630.
5. Zhou D., Lo S. H., Cheung Y. K., Au F. T. K.
3-D vibration analysis of generalized super elliptical
plates using Chebyshev – Ritz method // Int. J. Solids
Struct.– 2004.– 41.– P. 4697–4712.
6. Михлин С. Г. Вариационные методы в математиче-
ской физике.– М.: Наука, 1970.– 512 с.
18 М. Я. Барняк, Б. Солтанниа
|