Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы

Методом стационарной фазы рассчитаны импульсные характеристики отдельных мод в гидроакустическом волноводе Пекериса с поглощающим дном. Дисперсионное уравнение решено численно в широком диапазоне частот. Определены групповые скорости мод и производные от горизонтального волнового числа. Уточнены усл...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Ластовенко, О.Р., Лисютин, В.А., Ярошенко, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Акустичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87273
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы / О.Р. Ластовенко, В.А. Лисютин, А.А. Ярошенко // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 64-71. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-87273
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-872732015-10-17T03:01:52Z Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы Ластовенко, О.Р. Лисютин, В.А. Ярошенко, А.А. Методом стационарной фазы рассчитаны импульсные характеристики отдельных мод в гидроакустическом волноводе Пекериса с поглощающим дном. Дисперсионное уравнение решено численно в широком диапазоне частот. Определены групповые скорости мод и производные от горизонтального волнового числа. Уточнены условия применимости метода стационарной фазы для вычисления грунтовой и водной волн, а также волны Эйри в поглощающем волноводе. Методом стаціонарної фази розраховані імпульсні характеристики окремих мод у гідроакустичному хвилеводі Пекеріса з поглинаючим дном. Дисперсійне рівняння розв'язано чисельно в широкому діапазоні частот. Визначені групові швидкості мод та похідні від горизонтального хвильового числа. Уточнені умови застосування методу стаціонарної фази для обчислення грунтової й водної хвиль, а також хвилі Ейрі у поглинаючому хвилеводі. Pulse characteristics of the separate modes in hydroacoustic Pekeris waveguide with an absorbing bottom have been calculated by the stationary phase method. The dispersion equation has been solved numerically in a wide frequency range. Group velocities of the modes and derivations of the horizontal wave number have been determined. Conditions of the stationary phase method applicability for calculating the bottom, underwater and Airy waves in the waveguide with an absorption have been specified. 2009 Article Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы / О.Р. Ластовенко, В.А. Лисютин, А.А. Ярошенко // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 64-71. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87273 534.231 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Методом стационарной фазы рассчитаны импульсные характеристики отдельных мод в гидроакустическом волноводе Пекериса с поглощающим дном. Дисперсионное уравнение решено численно в широком диапазоне частот. Определены групповые скорости мод и производные от горизонтального волнового числа. Уточнены условия применимости метода стационарной фазы для вычисления грунтовой и водной волн, а также волны Эйри в поглощающем волноводе.
format	Article
author	Ластовенко, О.Р. Лисютин, В.А. Ярошенко, А.А.
spellingShingle	Ластовенко, О.Р. Лисютин, В.А. Ярошенко, А.А. Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы Акустичний вісник
author_facet	Ластовенко, О.Р. Лисютин, В.А. Ярошенко, А.А.
author_sort	Ластовенко, О.Р.
title	Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы
title_short	Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы
title_full	Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы
title_fullStr	Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы
title_full_unstemmed	Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы
title_sort	решение для импульсной характеристики волновода пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87273
citation_txt	Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы / О.Р. Ластовенко, В.А. Лисютин, А.А. Ярошенко // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 1. — С. 64-71. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Акустичний вісник
work_keys_str_mv	AT lastovenkoor rešeniedlâimpulʹsnojharakteristikivolnovodapekerisaspogloŝaûŝimdnommetodomstacionarnojfazy AT lisûtinva rešeniedlâimpulʹsnojharakteristikivolnovodapekerisaspogloŝaûŝimdnommetodomstacionarnojfazy AT ârošenkoaa rešeniedlâimpulʹsnojharakteristikivolnovodapekerisaspogloŝaûŝimdnommetodomstacionarnojfazy
first_indexed	2025-07-06T14:51:51Z
last_indexed	2025-07-06T14:51:51Z
_version_	1836909604820221952
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 УДК 534.231 РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНОВОДА ПЕКЕРИСА С ПОГЛОЩАЮЩИМ ДНОМ МЕТОДОМ СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ О. Р. ЛА С ТОВ ЕН К О, В. А. Л И СЮ ТИ Н, А. А. Я Р ОШ ЕН К О Севастопольский национальный технический университет Получено 09.07.2009 Методом стационарной фазы рассчитаны импульсные характеристики отдельных мод в гидроакустическом вол- новоде Пекериса с поглощающим дном. Дисперсионное уравнение решено численно в широком диапазоне частот. Определены групповые скорости мод и производные от горизонтального волнового числа. Уточнены условия приме- нимости метода стационарной фазы для вычисления грунтовой и водной волн, а также волны Эйри в поглощающем волноводе. Методом стацiонарної фази розрахованi iмпульснi характеристики окремих мод у гiдроакустичному хвилеводi Пе- керiса з поглинаючим дном. Дисперсiйне рiвняння розв’язано чисельно в широкому дiапазонi частот. Визначенi груповi швидкостi мод та похiднi вiд горизонтального хвильового числа. Уточненi умови застосування методу ста- цiонарної фази для обчислення грунтової й водної хвиль, а також хвилi Ейрi у поглинаючому хвилеводi. Pulse characteristics of the separate modes in hydroacoustic Pekeris waveguide with an absorbing bottom have been calculated by the stationary phase method. The dispersion equation has been solved numerically in a wide frequency range. Group velocities of the modes and derivations of the horizontal wave number have been determined. Conditions of the stationary phase method applicability for calculating the bottom, underwater and Airy waves in the waveguide with an absorption have been specified. ВВЕДЕНИЕ Гидроакустический волновод можно рассматри- вать как канал связи, представляющий собой пространственно-временной и частотный фильтр с распределенными по трассе параметрами. Отклик линейного канала связи на входной сигнал опреде- ляется импульсной характеристикой канала (ИХ) или его комплексным коэффициентом передачи (ККП), связанными друг с другом парой преобра- зований Фурье. Для моделирования импульсных характеристик морских (мелкого и глубокого моря) и сейсмиче- ских волноводов используются два подхода – лу- чевой и волновой. В случае лучевого решения ИХ представляется в виде дискретной функции, со- стоящей из ступенек, разделенных неодинаковыми интервалами времени и соответствующими момен- там вступления лучей [1, 2]. “Синтетический” ме- тод расчета импульсной сейсмограммы, в рамках которого среда разбивается горизонтальной се- ткой на большое количество плоскопараллельных однородных слоев с одинаковыми временами про- бега волны по вертикали, а затем рассчитывается прошедшая волна с учетом всех коэффициентов отражения, рассматривается в [3]. Различия в применении волнового подхода в ко- нечном итоге сводятся к неодинаковым способам вычисления спектрального интеграла [4]. Рассчи- тывать ККП волновода в виде суммы нормаль- ных волн предлагают Р. Лаваль, И. Лабаск [5, 6]. Расчет ККП без разделения на моды с помо- щью быстрой полевой программы, перемножение с функцией спектра источника, а затем восстанов- ление реализации сигнала со стационарным спе- ктром посредством обратного преобразования Фу- рье использует Ди Наполи [7, 8]. Физическое мо- делирование распространения импульсов в сре- дах с дисперсией описывается в [9]. Проблема ка- узальности (физической осуществимости) ИХ с точки зрения принципа причинности обсуждае- тся в [10]. Возникновение некаузальных “предве- стников” первого вступления сигнала, являющее- ся следствием технического ограничения спектра, неизбежно, если при расчетах используются чи- сленные алгоритмы преобразования Фурье [11]. Современная вычислительная техника предо- ставляет возможность применения классических асимптотических методов на новом качественном уровне с более детальным исследованием границ их применимости и сопоставлением с результата- ми решения задач приближенными аналитически- ми и численными методами. Цель данной работы – получить решение для импульсных характеристик отдельных нормальных волн и волновода “полу- кинематическим” методом стационарной фазы, не используя алгоритм быстрого обратного преобра- зования Фурье. 64 c© О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко, 2009 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Модель волновода Пекериса состоит из двух областей: водного слоя 1 глубиной h и полупро- странства 2 с плотностями ρ1,2 и скоростями звука с1,2 соответственно. Глубины источника (z0) и при- емника (z) отсчитываются от поверхности, рассто- яние между ними равно r (рис. 1). Импульсную характеристику волновода пред- ставим в виде обратного преобразования Фурье акустического поля, полученного в виде суммы нормальных волн [12, 13]: h(i, t) = 1 π ∞ ∫ 0 S(ω) ∞ ∑ l=1 Hl(r, z) exp(−iωt)dω. (1) Здесь h(i, t) – комплексный аналитический сигнал ИХ; Hl(r, z) – ККП волновода для отдельной мо- ды; S(ω) – постоянная и вещественная функция спектра ИХ [14]; l – номер моды. Запишем ККП нормальной волны в виде [13] Hl(r, z) = 2πiAlΨ(z, b1l)H (1) 0 (ξlr), (2) где Аl – коэффициенты возбуждения мод; Ψ(z, b1l) – функции вертикального профиля моды; b1l и ξl – вертикальное и горизонтальное волно- вые числа соответственно. В выражении (2) Аl и Ψ(z, b1l) – непериодические функции, слабо зави- сящие от частоты; H (l) 0 (ξlr) – функция Ханкеля. Подставим выражение (2) в формулу (1), заме- нив функцию Ханкеля в (2) первым членом ее асимптотического разложения. После изменения порядка суммирования и интегрирования, выно- ся медленно меняющиеся с частотой сомножители за знак интеграла [12] и полагая Sl(ω)=2−3/2π1/2, получаем ИХ (1) волновода в виде h(i, t) = ∞ ∑ l=1 hl(i, t) = = √ 1 r exp(iπ/4) ∞ ∑ l=1 1 √ ξl(ω(t)) × ×Al(ω(t))Ψ ( z, b1l(ω(t)) ) exp(−βl(ω(t))r)× × ∞ ∫ 0 exp(−i(ωt − ζlr))dω, (3) где ζl; βl – действительная и мнимая части го- ризонтального волнового числа ξl. Следует отме- тить, что функции частоты Al, ξl, bl, βl в соотно- шении (3) неявно зависят от времени, поскольку ρ1, с1 «1» r z «2»ρ1, с1, γ • z0 • z r=0 h Рис. 1. Схема волновода Пекериса момент вступления частоты ω определяется дис- персией групповой скорости моды. Введем обозначение Ql = AlΨl(z, b1l)√ ξl . Тогда решение для вещественной импульсной ха- рактеристики отдельной моды сводится к вычи- слению выражения hl(t) = exp(−βlr)√ r × ×Re [ exp(iπ/4)Ql ∞ ∫ 0 exp(−i(ωt − ζlr))dω ] . (4) Переобозначив интеграл через J , будем искать ре- шение (4) методом стационарной фазы [11,12, 14]. 2. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ Временной ход частоты ω(t) в реализации ИХ определяется дисперсией групповой скорости ul(f), которая для волновода с поглощением су- щественно отличается от классической, рассчитан- ной Пекерисом [15]. Поэтому, перед тем как при- ступить к нахождению интеграла J , следует рас- считать групповые скорости мод и производные горизонтального волнового числа. Дисперсионное уравнение для волновода Пеке- риса имеет следующий вид [14, 16]: tg (b1h) = i mb1 b2 . (5) Здесь b1, b2 – вертикальные волновые числа в водном слое и полупространстве соответственно; m=ρ2/ρ1. О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко 65 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 0 100 200 300 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 f, Hz u l, m /s Рис. 2. Частотные зависимости групповой скорости для первых пяти мод: сплошная – γ2 =0.01; штриховая – γ2 =0.03 Для поиска комплексных волновых чисел выра- зим в соотношении (5) b2 через b1 и воспользуемся формулой b2l= √ k2 2−ξ2 l : F (hb1l) = hb1l − (l − 1/2)π− −arctg √ k2 1 − k2 2 − b2 1l mb1l = 0. (6) Уравнение (6) решалось итерационным методом Ньютона – Рафсона [16, 17]. Для этого была най- дена производная в явном виде: dF db1 = h + 1 b1(1 + Θ2) { Θ + 1 m2Θ } , Θ = √ k2 1 − k2 2 − b1 2 m2b1 . Начальное приближение корня было (l−0.5)π/h, а невязка – \|F (hb1)\|<10−8. Волновое чис- ло в полупространстве задавалось в виде: k2=(1−iγ2)2πf/c2 , где γ2 – тангенс угла потерь. Горизонтальные волновые числа мод определя- лись из формулы связи ξl = √ k2 1−b2 1l, а критиче- ские частоты – из условия Im (b2l(ω>ωкр))<0 [16]. Производные от вещественной части горизонталь- ного волнового числа и групповые скорости мод рассчитывались численно по формулам dζl dω ≡ ζ̇l ≈ 1 2π ∆ζl ∆f , d2ζl dω2 ≡ ζ̈l ≈ 1 2π ∆ζ̇l ∆f , d3ζl dω3 ≡ ... ζ l ≈ 1 2π ∆ζ̈l ∆f , d4ζl dω4 ≡ .... ζ l ≈ 1 2π ∆ ... ζl ∆f , ul = 1 ζ̇l . Частотные зависимости групповой скорости для первых пяти мод (кривые идут слева напра- во) показаны на рис. 2. Физические параме- тры сред: h=20 м, с1 =1500 м/с, с2 =2000 м/с, ρ1 =1033 кг/м3, ρ2 =2000 кг/м3, γ2 =0.01 и 0.03. Из графика видно, что кривые ul(f) для погло- щающего волновода можно подразделить на три вида: 1) классические, с одним экстремумом (мини- мум) и двумя ветвями дисперсии групповой скорости; 2) с двумя экстремумами (минимум и максимум) и тремя участками дисперсии скорости; 3) без экстремумов, характер дисперсии упро- щенный, аналогичный идеальному волноводу. 3. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАК- ТЕРИСТИКИ Главная часть интеграла J получается за счет областей в окрестности точек стационарной фазы ω=ωs, определяемых из уравнения dϕ dω ∣ ∣ ∣ ∣ ω=ωs ≡ ϕ̇ = 0, где ϕ=ωt − ζlr – фаза экспоненты в (4). Полагая в окрестности точки стационарной фазы ω=ωs+w (w – малое приращение частоты), разложим ϕ по степеням w (индекс номера моды l ниже запи- сывать не будем): ϕ(ω) = ϕ(ωs) − 1 2! rζ̈(ωs)w 2 − 1 3! r ... ζ(ωs)w 3 . . . Нижний предел интегрирования в J можно расши- рить до −∞, поскольку в интеграле по w будут существенны лишь малые значения (путь интегри- рования проходит через точку ωs, а не начинается в ней) [12]. Таким образом, J = exp[−i(ζ(ωs)r − ωst)]× × ∞ ∫ −∞ exp [ i ( 1 2 rζ̈(ωs)w 2+ + 1 6 r ... ζ(ωs)w 3 + . . . )] dw. (7) 66 О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 Обозначим интеграл в формуле (7) как J∗. Изве- стно [12, 14, 18], что J∗ ≈ √ 2π r\|ζ̈(ωs)\| exp [ i sign (ζ̈(ωs)) π 4 ] × × { 1 − i [ − 5((ωs)) 2 24r(ζ̈(ωs))3 + .... ζ (ωs) 8r(ζ̈(ωs))2 ] + +o ( 1 r2 ) } . (8) Случай ζ̈ >0 (где sign (ζ̈)=1) реализуется на ветви дисперсионной кривой, соответствующей грунтовой волне, а ζ̈ <0 (где sign (ζ̈)=−1) – на ве- тви, соответствующей водной волне. Окрестности точек экстремумов u(f), в которых ζ̈ =0, требуют дополнительного исследования методом Эйри. Частоту минимума групповой скорости обозна- чим ωAi, а значениям всех переменных на этой ча- стоте будем приписывать индекс “Ai ”. В интеграле J , входящем в выражение (4), примем ω=ωAi + w и снова разложим фазу ϕ=ωt − ξlr в ряд по сте- пеням w, но уже в окрестности частоты ωAi: ϕ(ω) = ϕ(ωAi) + a1w + a3w 3 + a4w 4 + . . . . Здесь a1 = t − rζ̇Ai = t − r/uAi; a3 = −r ... ζAi/6 > 0; a4 = −r .... ζAi/24. Заметим, что производные от ζ в этом случае вычисляются только на частоте ωAi, и не зависят от времени. Учитывая, что от интеграла J должна быть взя- та только вещественная часть, получаем J = ∞ ∫ 0 cos(ϕ(ω))dω ≈ ≈ ∞ ∫ −∞ cos[(ωAit−ζAir)+a1w+a3w 3+a4w 4]dw. (9) Обозначим последний интеграл в (9) как Int. Тогда J ≈ Int = Int1 + Int2, (10) где Int1 = 2 cos(ωAit − ζAir)× × ∞ ∫ 0 cos(a1w + a3w 3) cos(a4w 4)dw, Int2 = −2 sin(ωAit − ζAir)× × ∞ ∫ 0 cos(a1w + a3w 3) sin(a4w 4)dw. Здесь нечетные по отношению к w функции при интегрировании от −∞ до +∞ дали нуль, а инте- грал от четных заменен на удвоенный в пределах от 0 до ∞. Учитывая малость аргумента в после- днем косинусе в Int1, полагаем его равным едини- це. Тогда Int1 решается приближенно [12, 14, 19]: Int1 ≈ 2 cos(ωmt − ζmr)T (a1, a3), (11) где T (a1, a3) ≡ ∞ ∫ 0 cos(a1w + a3w 3) = = π\|3a3\|−1/3Ai (a1\|3a3\|−1/3); Ai – функция Эйри. Полагая во втором интегра- ле в (10) sin(a4w 4)≈a4w 4, нетрудно убедиться, что его можно представить в виде [14] Int2 ≈ 2 sin(ωmt − ζmr)a4 ∂2T ∂a1∂a3 . (12) Учитывая малость a4, второе слагаемое в (10) бу- дем рассматривать как поправочное. Вычисляя смешанные производные, после преобразований получаем ∂2T ∂a1∂a3 = 1 3\|a3\|5/3 [ a2 1 3a 2/3 3 Ai (a1\|3a3\|−1/3)+ +2Ai ′(a1\|3a3\|−1/3) ] , (13) где Ai ′ – производная от функции Эйри. 4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ Выражение, обозначенное в формуле (4) как Ql, для волновода Пекериса имеет вид [12, 14, 16]: Ql = exp(iπ/4)√ ξl × × exp(−βlr)b1l sin(b1lz) sin(b1lz0) b1lh−sin(b1lh) cos(b1lh)− 1 m2 sin2(b1lh)tg (b1lh) . (14) Запишем расчетные выражения для фрагмен- тов ИХ, соответствующих участкам дисперси- онных кривых между точками, где ω=ωкр и ω→ωmax. Обозначим выражение, заключенное в фигурные скобки в представлении (8) (без о(1/r2)), как S. Последовательно подставляя вели- чину (8) в соотношения (7) и (4), после отделения О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко 67 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 вещественной части получаем hl(t) = exp(−β(ωs)r) r √ \|ζ̈(ωs)\| \|Ql(ωs)\|× ×\|S\| cos [ ωst − rζ(ωs) + arg(S) + arg(Ql)+ +sign (ζ̈(ωs)) π 4 − π 4 ] . (15) Определим функцию, характеризующую границы применимости разложения (8). Выражение (15) справедливо, пока сумма второго и третье- го членов (величина, заключенная в квадра- тных скобках внутри фигурных) в разложе- нии (8) много меньше единицы [12,14]. Обозначая E1(ω(t))= \|1−S\|, потребуем выполнения условия E1�1. Запишем расчетные выражения для волны Эй- ри. Подставляя (13) в (12), (12) и (11) в (10) и за- меняя a1, a3, a4 соответствующими выражениями, получаем hl(t) = exp(−βAir) r5/6 \|Ql(ωAi)\| π24/3 \| ... ζAi\|1/3 × × { cos ( ωAit − rζAi + arg(Ql) − π 4 ) × ×Ai ( t − rζ̇Ai (r\| ... ζAi\|/2)1/3 ) + +K sin ( ωAit − rζAi + ΦQl(ωAi) − π 4 ) } , (16) где K = − 1 21/3 1 r1/3 .... ζ Ai \| ... ζAi\|4/3 × × [ (t − rζ̇Ai) 2 62/3(r\| ... ζAi\|)2/3 Ai ( t − rζ̇Ai (r\| ... ζAi\|/2)1/3 ) + + 1 61/3 Ai ′ ( t − rζ̇Ai (r\| ... ζAi\|/2)1/3 )] . Использование в формуле (9) членов вплоть до 4-го порядка позволяет расширить временной ин- тервал, на протяжении которого она применяе- тся, в сторону опережения кинематического мо- мента вступления волны Эйри tAi=r/uAi=rζ̇Ai на некоторую величину τ−. Опережающую (τ−) и отстающую (τ+) границы интервала времени tAi−τ−<t<tAi + τ+ следует оценивать раздельно. Опережающая граница должна соответствовать аргументу функции Эйри, при котором она при- нимает максимальное значение: τ− = (r\| ... ζAi\|/2)1/3. (17) Величину отстающей границы интервала можно оценить как τ+ = t − tAi, где t – максимальное зна- чение аргумента функции Эйри в (16), при кото- ром можно ограничиться только первым слагае- мым в (10). Обозначим E2 = K Ai ( t − rζ̇Ai (r\| ... ζAi\|/2)1/3 ) . (18) Если E2�1, то в выражении, заключенном в фор- муле (16) в фигурные скобки, можно ограничиться только первым слагаемым, что соответствует пре- небрежением четвертым членом разложения в по- дынтегральном выражении (9). На рис. 3, а, б показаны реализации грунтовой, водной и волны Эйри по раздельности, а также сумма волн – ИХ первой моды, рассчитанные для волновода без поглощения. Точками на оси вре- мени последовательно обозначены: момент всту- пления грунтовой волны (r/u(fкр)), водной вол- ны (r/u(f =500 Гц)), волны Эйри (tAi). Расстоя- ние между источником импульса и приемником r=4000 м. Поскольку при расчете максимальная частота технически ограничена 500 Гц, момент вступления водной волны оказывается несколько позже кинематического (r/c1 =4 с). Все ИХ здесь и ниже нормированы на максимум амплитуды. Момент “переключения” с метода стационарной фазы на метод Эйри в точности соответствует tAi − τ− (максимум функции Эйри). При этом для грунтовой волны E1≈0.18 (рис. 3, в, штриховая). Вследствие резкого возрастания E1, при более по- зднем переключении отклонение закона измене- ния амплитуды грунтовой и водной волн от гар- монических уже становятся заметными. Следует обратить внимание и на рост E1 для водной вол- ны (рис. 3, в, сплошная) при приближении к ее ки- нематическому моменту вступления (возрастании частоты). Отсюда следует, что существует макси- мальная частота, выше которой метод стационар- ной фазы будет неприменим. Для волны Эйри изменение E2 (рис. 3, в, точ- ки) – немонотонно. Второй минимум (E2 =0) соот- ветствует частоте, где .... ζ =0. К этому времени вол- на Эйри практически затухает (для первой моды), даже в волноводе без поглощения. 68 О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 -1 -0.5 0 0.5 1 h1(t) t, 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 -1 -0.5 0 0.5 1 h1(t) t, 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 E1, E2 t, а б в Рис. 3. Импульсная характеристика волновода без поглощения: а – временная реализация (волны разделены); б – временная реализация (сумма всех волн); в – величины, характеризующие ошибки приближений; штриховая – грунтовая волна; сплошная на а, в – водная волна; пунктир – волна Эйри На рис. 4 показаны реализации ИХ волновода с учетом поглощения и временной ход коэффици- ента поглощения α1 =8.69Im (ξ1) для грунтовой и водной волн. Для грунтовой волны он максимален в момент ее вступления (критическая частота) и уменьшается с течением времени. Для водной вол- ны в момент вступления коэффициент поглоще- 1(t), !/" 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 0 1 2 3 4 5 6 x 10 -3 t, # h1(t) 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 -1 -0.5 0 0.5 1 t, # а б Рис. 4. Характеристики волновода с поглощением: а – временная зависимость коэффициента поглощения; б – временная реализация импульсной характеристики; штриховая – грунтовая волна; сплошная на а – водная волна; пунктир – волна Эйри ния, наоборот, минимален и возрастает. В фазе Эй- ри две кривые сливаются, поскольку частота про- цесса становится постоянной. На реализации ИХ первой моды поглощающего волновода максимум амплитуды смещается из фазы Эйри в область ин- терференции грунтовой и водной волн (ср. рис. 3, б и 4). Рассмотрим теперь импульсные характеристи- ки третьей моды с упрощенным характером дис- персии групповой скорости (рис. 5). Здесь и да- лее примем, что r=1000 м, γ=0.03, максималь- ная расчетная частота 5 кГц. Поскольку нет груп- повых скоростей u3 >c1 (см. рис. 2), то возника- ет только водная волна. Резкий спад амплитуды волнового процесса происходит вследствие возра- стания коэффициента поглощения α3 и совпадает с уменьшением du3/df (“полка” на кривой для u3 на рис. 2). Синхронно возрастает и E1, приближа- ясь к единице, а на реализации становятся заме- тны отклонения от гармонического закона (велики О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко 69 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 h3(t) 1 t, E1 t, t, 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 -1 -0.5 0 0.5 1 0.8 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 0 0.2 0.4 0.6 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 3(t), !"/# а б в Рис. 5. Характеристики волновода с поглощением: а – временная реализация импульсной характеристики; б – функция E1; в – временная зависимость коэффициента поглощения нелинейные искажения). В этом диапазоне метод стационарной фазы уже следует считать “ограни- ченно применимым”. Второй всплеск E1 возникает также из-за уменьшения du3/df при приближении к критической частоте. Частотные зависимости групповой скорости второй моды имеют самый сложный вид – с дву- мя экстремумами (см. рис. 2). Правая часть кри- h2(t) t, 1 1.05 1.1 1.15 1.2 -1 -0.5 0 0.5 1 t, 1 1.05 1.1 1.15 1.2 -1 -0.5 0 0.5 1 h2(t) E1, E2!10-1 t, 1 1.05 1.1 1.15 1.2 0 0.05 0.1 а б в Рис. 6. Характеристики волновода с поглощением: а – временная реализация импульсной характеристики, водная волна (сплошная) и волна Эйри (пунктир) разделены; б – временная реализация импульсной характеристики (сумма волн); в – функции E1 (сплошная) и E2 (пунктир) вой соответствует водной волне, два экстремума порождают две волны Эйри, а участки между дву- мя экстремумами и левее максимума – значитель- но ослабленные волны типа грунтовой и водной соответственно. Расчет последних двух методом стационарной фазы технически невозможен, по- скольку для них E1�1, а поглощение х велико. На рис. 6 показаны реализации ИХ, водная вол- 70 О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 1. С. 64 – 71 на и волна Эйри раздельно, а также сумма волн. Кинематические моменты вступления волн Эйри отмечены на оси времени точками, а моменты на- чала расчета первой и второй волн Эйри – крести- ками. Следует отметить, что “третьего” прибли- жения при расчете волн Эйри здесь недостаточно (E2 >1), поскольку экстремумы групповой скоро- сти у второй моды более острые, чем у первой. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Методом стационарной фазы получено реше- ние для импульсных характеристик нормальных волн в волноводе Пекериса с поглощающим дном. Вычислительные возможности современных ком- пьютеров позволили более детально, по сравнению с [12, 14], проанализировать границы применимо- сти метода в приложении к короткоимпульсным сигналам. Показано, что: • момент времени переключения расчета с ме- тода стационарной фазы на “метод Эйри” бли- зок к максимуму функции Эйри (17), и дол- жен определяться из условия непрерывности и максимальной гладкости реализации; • для вычисления импульсных характеристик “третьего” приближения в разложении (9) не- достаточно (во всяком случае, для высших мод); • вступление грунтовой волны происходит мгновенно, без переходного процесса, а для волновода с поглощением квазипереходный процесс реализуется за счет роста коэф- фициента поглощения при приближении к критической частоте; • при приближении к моменту “переключения” нелинейные искажения волнового процесса в водной и, особенно, в грунтовой волне значи- тельно возрастают. Сравнение эффективности алгоритма обратного быстрого преобразования Фурье и метода стацио- нарной фазы для моделирования ИХ гидроакусти- ческих волноводов позволяет сделать вывод о том, что последний более применим для значительных расстояний между источником и приемником. 1. Pekeris C. L., Longman I. M. Ray-theory solution of the problem of propagation of explosive sound in a layered liquid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1958.– 30, N 4.– P. 323–328. 2. Smith P. W. The averaged impulse response of a shallow-water channel // J. Acoust. Soc. Amer.– 1971.– 50, N 1.– P. 332–336. 3. Ратникова Л. И. Методы расчета сейсмических волн в тонкослоистых средах.– М.: Наука, 1973.– 124 с. 4. Акустика океана. Современное состояние / Под ред. Л. М. Бреховских, И. Б. Андреевой.– М.: На- ука, 1982.– 247 с. 5. Лаваль Р., Лабаск Р. Влияние неоднородностей и нестабильности среды на пространственную и вре- менную обработку сигналов // Подводная акусти- ка и обработка сигналов / Под ред. Л. Бьерне.– М.: Мир, 1985.– С. 32–43. 6. Лаваль Р. Расчет усредненных потерь при рас- пространении звука и частотно-пространственных функций когерентности сигналов в мелководных районах // Акустика дна океана / Под ред. У. Ку- пермана, Ф. Енсена.– М.: Мир, 1984.– С. 245–261. 7. Ди Наполи Ф. Р., Поттер Д., Херстейн П. Акусти- ческие волны, взаимодействующие с дном: модель и эксперимент // Акустика дна океана / Под ред. У. Купермана, Ф. Енсена.– М.: Мир, 1984.– С. 174– 185. 8. Акустика океана / Под ред. Дж. Де Санто.– М.: Мир, 1982.– 318 с. 9. Proud J. M. Tamarkin P., Kornhauser E. T. Propagation of sound pulses in a dispersive medi- um // J. Acoust. Soc. Amer.– 1956.– 28, N 1.– P. 80– 85. 10. Buckingham M. J. Causality, Stokes’ wave equation, and acoustic pulse propagation in a viscous fluid // Phys. Rev. E.– 2005.– 72.– P. 026610(1–9). 11. Толстой И., Клей К. С. Акустика океана. Теория и эксперимент в подводной акустике.– М.: Мир, 1969.– 301 с. 12. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах.– М.: Наука, 1973.– 343 с. 13. Ярошенко А. А., Ластовенко О. Р., Лисютин В. А. О диссипативных модах в гидроакустическом вол- новоде с дном в виде полупространства с поглоще- нием // Вiсн. СумДУ. Сер. Фiзика, математика, механiка.– 2008.– N 1.– С. 181–189. 14. Пекерис К. Теория распространения звука взрыва в мелкой воде // Распространение звука в океане.– М.: ИИЛ, 1951.– С. 48–156. 15. Ластовенко О. Р., Лисютин В. А., Ярошенко А. А. О частотных зависимостях групповой скорости мод в гидроакустическом волноводе с дном в виде поглощающего полупространства // Акустичний симпозiум “КОНСОНАНС-2007”. Збiрник праць.– К.: Iн-т гiдромех. НАН України, 2008.– С. 134–140. 16. Buckingham M. J., Giddens E. M. On the acoustic field in a Pekeris waveguide with attenuation in the bottom half-space // J. Acoust. Soc. Amer.– 2006.– 119, N 1.– P. 123–147. 17. Рыжиков Ю. И. Вычислительные методы.– СПб.: БХВ, 2007.– 400 с. 18. Грiнченко В. Т., Вовк I. В., Маципура В. Т. Основи акустики.– К.: Наук. думка, 2007.– 640 с. 19. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специ- альным функциям.– М.: Наука, 1979.– 830 с. О. Р. Ластовенко, В. А. Лисютин, А. А. Ярошенко 71

Решение для импульсной характеристики волновода Пекериса с поглощающим дном методом стационарной фазы

Institution

Ähnliche Einträge