О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области
Методами теории периодических потенциалов доказана гладкая зависимость решения “ячеечной” краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона от параметров области....
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87590 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области / Л.А. Хилькова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 32-36. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87590 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-875902015-10-22T03:02:04Z О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области Хилькова, Л.А. Математика Методами теории периодических потенциалов доказана гладкая зависимость решения “ячеечной” краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона от параметров области. Методами теорiї перiодичних потенцiалiв доведено гладку залежнiсть рiшення “комiркової” крайової задачi Неймана для розв’язку Пуассона вiд параметрiв областi. The smooth dependence of the solution of the Neumann boundary-value “cell” problem for the Poisson equation on the parameters of a domain is proved by methods of the periodic potential theory. 2014 Article О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области / Л.А. Хилькова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 32-36. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87590 517.958 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Хилькова, Л.А. О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области Доповіді НАН України |
| description |
Методами теории периодических потенциалов доказана гладкая зависимость решения
“ячеечной” краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона от параметров области. |
| format |
Article |
| author |
Хилькова, Л.А. |
| author_facet |
Хилькова, Л.А. |
| author_sort |
Хилькова, Л.А. |
| title |
О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области |
| title_short |
О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области |
| title_full |
О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области |
| title_fullStr |
О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области |
| title_full_unstemmed |
О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области |
| title_sort |
о гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи неймана от параметров области |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87590 |
| citation_txt |
О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой задачи Неймана от параметров области / Л.А. Хилькова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 32-36. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT hilʹkovala ogladkojzavisimostirešeniââčeečnojkraevojzadačinejmanaotparametrovoblasti |
| first_indexed |
2025-07-06T15:14:47Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:14:47Z |
| _version_ |
1836911047726858240 |
| fulltext |
УДК 517.958
Л.А. Хилькова
О гладкой зависимости решения “ячеечной” краевой
задачи Неймана от параметров области
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Методами теории периодических потенциалов доказана гладкая зависимость решения
“ячеечной” краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона от параметров области.
Понятие “ячеечной” краевой задачи возникает в теории усреднения сильно неоднородных
сред с периодической микроструктурой (см., например, [1–3]). Через ее решение опреде-
ляются осредненные характеристики таких сред. В частности, усреднение краевой зада-
чи Неймана для уравнения Пуассона в периодически перфорированной области приводит
к следующей “ячеечной” задаче.
Пусть Π = {x = (x1, x2, x3) ∈ R
3 : |xi| 6 hi/2, i = 1, 2, 3} — параллелепипед в R
3, а G —
область в нем с гладкой границей S и центром масс в точке O. Обозначим через Γ±
i —
противоположные грани в Π. Рассмотрим в области Π \ G краевую задачу
∆U(x) = 0, x ∈ Π \G
∂U
∂n
=
∂xk
∂n
, x ∈ S
U |Γ+
i
= U |Γ−
i
,
∂U
∂n
|Γ+
i
=
∂U
∂n
|Γ−
i∫
Π\G
Udx = 0
, (1)
где n = n(x) — единичный вектор внешней нормали к S в точке x ∈ S.
Как известно, существует единственное решение U(x) = Uk(x) этой задачи, а коэффи-
циенты усредненного уравнения
3∑
k,l=1
akl
∂2U
∂xk∂xl
= f(x)
вычисляются по формуле
akl =
|Π \G|
|Π|
δkl −
1
|Π|
∫
Π\G
(∇Uk(x),∇U l(x)) dx.
Такая же формула имеет место для коэффициентов усредненного уравнения для задачи
Неймана в области Ωε с локально периодической структурой [4]. Но в этом случае коэф-
фициенты усредненного уравнения являются функциями от y ∈ R
3, поскольку область
G = Gy в ячейке Π зависит от y как от параметра.
© Л.А. Хилькова, 2014
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
В простейшем случае локально периодической структуры
Gy =
{
x ∈ Π : A−1(y)
x− a(y)
d(y)
∈ G
}
,
где a(y) задает сдвиг, d(y) — растяжение, A(y) — поворот области G ∈ Π, a(y), d(y), A(y) —
гладкие функции y (∈ C1(Ω)) такие, что a(0) = 0, d(0) = 1, A(0) = E (y = 0 соответствует
периодической структуре).
В данной работе рассматривается более общий случай локально периодической струк-
туры:
Gy = Fy(G), Sy = Fy(S) = ∂Gy ,
где Fy(x) — дифференцируемое и обратимое отображение R
3 в R
3, зависящее от параметра
y ∈ R
3 так, что F0(x) = I (I — тождественное отображение), и при |y| < L
‖Fy − I‖C1(Π) 6 C1|y|,
Fy(G) ⊂ Πε,
(2)
где
Πε =
{
x = (x1, x2, x3) ∈ R
3 : |xi| <
hi − ε
2
}
.
Обозначим через Uy(x) решение задачи (1) при G = Gy (зависимость от k = 1, 2, 3
опускаем). Цель работы — показать, что справедлива оценка
‖DαUy −DαU0‖C1(Π\Πε) 6 C2|y|, |α| = 0, 1. (3)
Обозначим через R(x) Π-периодическое фундаментальное решение уравнения Пуассона
в R
3, т. е. функцию, удовлетворяющую в R
3 соотношениям
∆R(x) = −
∑
m∈Z3
δ(x −mh) +
1
|Π|
R(x+ h) = R(x)
, x ∈ R
3, (4)
где m = {m1,m2,m3} ∈ Z
3, mi ∈ Z, h = {h1e
1,m2e
2,m3e
3}, mh =
3∑
i=1
mihie
i, ei — орт оси xi.
Такая функция изучалась в работах [2, 3]. В частности, показано, что при x ∈ Π
R(x) =
1
4π|x|
+ (Bx, x), (5)
где B — симметрическая 3 × 3 матрица.
С помощью ядра R(x) можно построить потенциалы простого и двойного слоев, которые
в силу (5) обладают такими же свойствами, что и соответствующие потенциалы с ньюто-
новым ядром 1/(4π|x|). Основываясь на этом, получим для решения Uy(x) задачи (1) на
G = Gy представление, которое приводит к требуемой оценке (3).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 33
Для этого продолжим Uy(x) периодически (с параллелепипедным периодом Π) на все
пространство R
3. Полученная функция Ũy(x) удовлетворяет соотношениям
∆Ũy(x) = 0
Ũy(x+ h) = Ũy(x)
}
, x ∈ R
3 \ G̃y, (6)
∂Ũy
∂n
=
∂xk
∂n
, x ∈ S̃y, (7)
где G̃y =
⋃
m
(Gy + mh), S̃y =
⋃
m
(Sy + mh).
Будем искать Ũy(x) в виде потенциала простого слоя с ядром R(x)
Ũy(x) =
∫
Sy
R(x− ξ)µy(ξ) dS(ξ) (8)
с плотностью µy(ξ) с нулевым средним
∫
Sy
µy(ξ) dS(ξ) = 0.
Тогда в силу свойства (4) ядра R(x) выполняются равенства (6). Потребуем, чтобы
функция (8) удовлетворяла граничному условию (7). Тогда, учитывая что предельная фор-
мула для нормальной производной функции (8) на S такая же, как для ньютонова потен-
циала простого слоя, получаем для плотности µy(ξ) интегральное уравнение
µy(x)−
∫
Sy
Ky(x, ξ)µy(ξ) dS(ξ) = fy(x), x ∈ Sy, (9)
где
fy(x) = −
∂xk
∂n
∣∣∣∣
x∈Sy
,
Ky(x, ξ) = −
∂
∂n
R(x− ξ)
∣∣∣∣
x,ξ∈Sy
= (∇R(x− ξ), n)|x,ξ∈Sy
.
(10)
Из (5) следует, что интегральный оператор Ky с ядром Ky(x, ξ) действует из пространс-
тва Ĉ(Sy) = C(Sy) ⊖ 1 (функции с нулевым средним) в него же как вполне непрерывный
оператор. Правая часть уравнения (9) принадлежит тому же пространству Ĉ(Sy). Поэто-
му решение уравнения (9) принадлежит Ĉ(Sy). Существование такого решения следует из
теорем Фредгольма для вполне непрерывного оператора Ky, так как соответствующее одно-
родное уравнение для сопряженного к Ky оператора не имеет ненулевых решений. (Суще-
ствование такого решения означало бы, что существует ненулевое решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в области G с нулевым граничным условием, что противоречит
принципу максимума.)
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
Положим
f̂y(x
′) = Jy(x
′)fy(Fy(x
′)), x′ ∈ S,
Ky(x
′, ξ′) = Jy(x
′)Ky(Fy(x
′), Fy(ξ
′))Jy(ξ
′), x′, ξ′ ∈ S,
(11)
где Jy(x) — якобиан отображения Fy(x
′) : Sy → S. Тогда уравнение (9) для функции µ̂y(x
′) =
= Jy(x
′)µy(Fy(x
′)) принимает вид
µ̂y(x
′)−
∫
S
K̂y(x
′, ξ′)µ̂y(ξ
′) dS(ξ′) = f̂y(x
′), x′ ∈ S. (12)
В силу гладкости поверхности S (S ⊂ C1) из (2), (10) и (11) следуют оценки
‖K̂y(x
′, ξ′)− K̂0(x
′, ξ′)‖
Ĉ(S)
6
C1
|x′ − ξ′|
|y|, (13)
‖f̂y(x
′)− f̂0(x
′)‖
Ĉ(S)
6 C2|y|. (14)
Запишем уравнение (12) в операторной форме в пространстве Ĉ(S):
µ̂y − K̂0µ̂y − Λ̂yµ̂y = f̂0 + δ̂0, (15)
где K̂0, Λ̂y — интегральные операторы в Ĉ(S) с ядрами K̂0(x
′, ξ′) и Λ̂y(x
′, ξ′) = K̂y(x
′, ξ′)−
− K̂0(x
′, ξ′), а δ̂0(x
′) = f̂y(x
′) − f̂0(x
′). В силу (13), (14) нормы оператора Λ̂y и вектора δ̂0
имеют оценки
‖Λ̂y‖Ĉ(S)
6 C1|y|
и
‖δ̂0‖Ĉ(S) 6 C2|y|.
Поэтому из (15) следует, что
‖µ̂y − µ̂0‖Ĉ(S) 6 C3|y|. (16)
Согласно определению функции Ũy(x) и функции (8) решение Uy(x) задачи (1) при
S = Sy и при x ∈ Π \ Πε представимо в виде
Uy(x) =
∫
S
R(x− Fy(ξ
′))µ̂y(ξ
′) dS(ξ′).
Отсюда, учитывая (16), (5) и (2), получаем требуемую оценку (3).
1. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.Н. Осреднение процессов в периодических средах. Математические за-
дачи механики композитных материалов. – Москва: Наука, 1984. – 352 с.
2. Щербина В.А. Фундаментальные решения 3-х мерных ячеечных задач для некоторых уравнений ма-
тематической физики // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1989. – 29, No 2. – С. 298–304.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 35
3. Щербина В.А. Краевые задачи с три-периодическим решением для уравнения Лапласа в R
3 // Теория
функций, функц. анализ и их приложения. – 1986. – No 46. – С. 132–139.
4. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. – Київ: Наук. думка,
2005. – 551 с.
Поступило в редакцию 01.10.2013Институт химических технологий
Восточноукраинского национального университета
им. Владимира Даля, Рубежное
Л.О. Хiлькова
Про гладку залежнiсть розв’язку “комiркової” крайової задачi
Неймана вiд параметрiв областi
Методами теорiї перiодичних потенцiалiв доведено гладку залежнiсть рiшення “комiркової”
крайової задачi Неймана для розв’язку Пуассона вiд параметрiв областi.
L.A. Khilkova
The smooth dependence of the solution of the Neumann
boundary-value “cell” problem on the parameters of a domain
The smooth dependence of the solution of the Neumann boundary-value “cell” problem for the
Poisson equation on the parameters of a domain is proved by methods of the periodic potential
theory.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
|