Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами
Нехай R — кiльце, G — група. Модуль A над груповим кiльцем RG будемо називати мiнiмаксно-антифiнiтарним RG-модулем, якщо фактор-модуль A/CA(H) є мiнiмаксним як R-модуль для будь-якої власної пiдгрупи H, яка не є скiнченно породженою, aле R-модуль A/CA(G) не є мiнiмаксним. Дослiджуються мiнiмаксно-а...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87697 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами / Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В.А. Чупордя // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 29-33. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87697 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-876972015-10-24T03:01:46Z Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Математика Нехай R — кiльце, G — група. Модуль A над груповим кiльцем RG будемо називати мiнiмаксно-антифiнiтарним RG-модулем, якщо фактор-модуль A/CA(H) є мiнiмаксним як R-модуль для будь-якої власної пiдгрупи H, яка не є скiнченно породженою, aле R-модуль A/CA(G) не є мiнiмаксним. Дослiджуються мiнiмаксно-антифiнiтарнi модулi над цiлочисельними груповими кiльцями локально узагальнено радикальних груп. Пусть R — кольцо, G — группа. Модуль A над групповым кольцом RG будем называть минимаксно-антифинитарным RG-модулем, если фактор-модуль A/CA(H) является минимаксным как R-модуль для произвольной собственной подгруппы H, которая не является конечно порожденной, но R-модуль A/CA(G) не является минимаксным. Исследуются минимаксно-антифинитарные модули над целочисленными групповыми кольцами локально обобщенно радикальных групп. Let R be a ring, G be a group, and A be an RG-module. We say that A is a minimax-antifinitary RG-module if the factor-module A/CA(H) is minimax as an R-module for each not finitely generated proper subgroup H, and the R-module A/CA(G) is not minimax. The minimax-antifinitary modules over the group ring RG, where R = Z is the ring of all integers and G is the locally generalized radical group, are studied. 2014 Article Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами / Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В.А. Чупордя // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 29-33. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87697 512.544 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами Доповіді НАН України |
| description |
Нехай R — кiльце, G — група. Модуль A над груповим кiльцем RG будемо називати мiнiмаксно-антифiнiтарним RG-модулем, якщо фактор-модуль A/CA(H) є мiнiмаксним
як R-модуль для будь-якої власної пiдгрупи H, яка не є скiнченно породженою, aле R-модуль A/CA(G) не є мiнiмаксним. Дослiджуються мiнiмаксно-антифiнiтарнi модулi над
цiлочисельними груповими кiльцями локально узагальнено радикальних груп. |
| format |
Article |
| author |
Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. |
| author_facet |
Курдаченко, Л.А. Субботін, І.Я. Чупордя, В.А. |
| author_sort |
Курдаченко, Л.А. |
| title |
Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами |
| title_short |
Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами |
| title_full |
Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами |
| title_fullStr |
Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами |
| title_full_unstemmed |
Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами |
| title_sort |
про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87697 |
| citation_txt |
Про структуру модулів над узагальнено розв'язними групами / Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В.А. Чупордя // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 29-33. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kurdačenkola prostrukturumodulívnaduzagalʹnenorozvâznimigrupami AT subbotíníâ prostrukturumodulívnaduzagalʹnenorozvâznimigrupami AT čupordâva prostrukturumodulívnaduzagalʹnenorozvâznimigrupami |
| first_indexed |
2025-07-06T15:22:50Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:22:50Z |
| _version_ |
1836911554529853440 |
| fulltext |
УДК 512.544
Л.А. Курдаченко, I. Я. Субботiн, В.А. Чупордя
Про структуру модулiв над узагальнено розв’язними
групами
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним)
Нехай R — кiльце, G — група. Модуль A над груповим кiльцем RG будемо називати мi-
нiмаксно-антифiнiтарним RG-модулем, якщо фактор-модуль A/CA(H) є мiнiмаксним
як R-модуль для будь-якої власної пiдгрупи H, яка не є скiнченно породженою, aле R-мо-
дуль A/CA(G) не є мiнiмаксним. Дослiджуються мiнiмаксно-антифiнiтарнi модулi над
цiлочисельними груповими кiльцями локально узагальнено радикальних груп.
Нехай R — кiльце, G — група та A — RG-модуль. Модулi над груповими кiльцями RG
є старим класичним об’єктом дослiджень i знаходять застосування в рiзних областях ал-
гебри. Випадок, коли група G є скiнченною, вивчається досить детально вже довгий час.
Однак у випадку, коли група G нескiнченна, ситуацiя зовсiм iнша. Вивчення модулiв над
майже полiциклiчними групами було розпочато в роботах Ф. Холла [1, 2], якi вже стали
класичними. Зокрема, виявилося, що групове кiльце RG майже полiциклiчної групи G над
нетеровим кiльцем R буде нетеровим. Цей факт мав велику роль для розвитку теорiї моду-
лiв над майже полiциклiчними групами. Зараз ця теорiя є дуже розвиненою i багатою на
цiкавi змiстовнi результати. В цьому планi клас майже полiциклiчних груп є винятковим,
нiчого схожого для iнших класiв нескiнченних груп, навiть таких близьких до скiнченних,
як чернiковськi, ми не маємо. Це є однiєю з причин того, що теорiя модулiв над iншими
типами нескiнченних груп не так добре розвинена. Тому вивчення модулiв над iншими ти-
пами нескiнченних груп не може базуватися зараз тiльки на вивченнi вiдповiдних групових
кiлець, вона потребує застосування деяких природних обмежень. Зокрема, умови скiнчен-
ностi є природними обмеженнями, що виявилися дуже корисними i вже продемонстрували
свою ефективнiсть. Першими природними обмеженнями, якi випливають з класичної теорiї
кiлець та модулiв, є обмеження, що дають близькiсть до таких класичних умов, як умови
“бути нетеровим модулем” та “бути артiновим модулем”. Нетеровi та артiновi модулi вивча-
ються вже досить давно. Багато аспектiв теорiї артiнових модулiв над груповими кiльцями
було вiдображено в книзi [3]. Не так давно в теорiї нескiнченно вимiрних лiнiйних груп
почав iнтенсивно застосовуватися так званий фiнiтарний пiдхiд. Вiн виявився досить ре-
зультативним i принiс багато цiкавих результатiв.
Нехай R — кiльце, G — група та A — модуль над груповим кiльцем RG. Для пiдгрупи H
групи G розглянемо її централiзатор
CA(H) = {a ∈ A | ah = a для кожного елемента h ∈ H}
в модулi A. Очевидно, CA(H) буде RH-пiдмодулем A та H реально дiє на A/CA(H).
R-фактор-модуль A/CA(H) називається коцентралiзатором H в A. Фактор-група
H/CH(A/CA(H)) буде iзоморфною до пiдгрупи групи автоморфiзмiв R-модуля A/CA(H).
© Л.А. Курдаченко, I.Я. Субботiн, В. А. Чупордя, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 29
Якщо x — елемент CH(A/CA(H)), то x дiє тотожно на факторах ряду 〈0〉 6 CA(H) 6 A.
Звiдси отримуємо, що пiдгрупа CH(A/CA(H)) буде абелевою. Це показує, що структура H
значною мiрою визначається структурою CH(A/CA(H)), а отже, структурою групи авто-
морфiзмiв R-модуля A/CA(H).
Нехай M — деякий клас R-модулiв. Будемо говорити, що A є M-фiнiтарним модулем
над RG, якщо A/CA(x) ∈ M для кожного елемента x ∈ G. Якщо R — поле i CG(A) = 〈1〉, a
M — клас скiнченновимiрних векторних просторiв над R, то приходимо до фiнiтарних лiнiй-
них груп. Теорiя фiнiтарних лiнiйних груп є досить добре розвиненою (див., наприклад, [4]).
Б. Верфрiтц розпочав розгляд випадкiв, коли M — клас скiнченних R-модулiв [5–8], коли
M — клас нетерових R-модулiв [9] та коли M — клас артiнових R-модулiв [7, 8, 10, 11]. Артi-
ново-фiнiтарнi модулi розглядалися також у статтi [12]. Артiновi та нетеровi модулi можуть
бути об’єднанi таким чином. R-модуль A називається мiнiмаксним, якщо A має скiнченний
ряд пiдмодулiв, фактори якого нетеровi або артiновi. Неважко показати, що у випадку, ко-
ли R — комутативне кiльце без дiльникiв нуля, то кожний мiнiмаксний R-модуль A мiстить
у собi такий нетеровий пiдмодуль B, що A/B є артiновим. Першим природним випадком
тут є випадок, коли R = Z є кiльцем всiх цiлих чисел. Б. Верфрiтц розпочав розгляд нетеро-
во-фiнiтарних та артiново-фiнiтарних модулiв саме з розгляду модулiв над цiлочисельними
груповими кiльцями. Цей випадок знаходить важливi застосування, зокрема, для узагаль-
нено розв’язних груп.
Нехай M — деякий клас R-модулiв. Покладемо
CM(G) = {H | H — пiдгрупа групи G, що має властивiсть A/CA(H) ∈ M}.
Якщо A — це M-фiнiтарний модуль, то система CM(G) мiстить усi циклiчнi пiдгрупи
(бiльш того, всi скiнченно породженi пiдгрупи у випадку, коли M задовольняє деякi при-
роднi обмеження). Очевидно, будова групи G суттєво залежить вiд того, яка з важливих
природних систем її пiдгруп мiстить CM(G). Тому природно було б розглянути ситуацiї, коли
система CM(G) є досить великою. Зокрема, великими системами пiдгруп групи G є система
всiх її власних пiдгруп та система всiх її пiдгруп, що не є скiнченно породженими. Наприк-
лад, якщо система CM(G) мiстить у собi всi пiдгрупи, що не є скiнченно породженими, то
отримуємо ситуацiю, яка є дуальною до M-фiнiтарних модулiв.
Нехай R — кiльце, G — група та A — RG-модуль. Будемо говорити, що A є мiнi-
максно-антифiнiтарним RG-модулем, якщо фактор-модуль A/CA(H) є мiнiмаксним як
R-модуль для будь-якої власної пiдгрупи H, яка не є скiнченно породженою, aле R-модуль
A/CA(G) не є мiнiмаксним.
При вивченнi структури мiнiмаксно-aнтифiнiтарних ZG-модулiв значну роль вiдiграє
така пiдгрупа. Покладемо
CocZ−mmx(G) = {x | A/CA(x) є мiнiмаксним Z-модулем}.
Вивчення мiнiмаксно-aнтифiнiтарних ZG-модулiв розпадається на три природнi частини.
Першим є випадок, коли G = CocZ−mmx(G). У цьому випадку кожна власна пiдгрупа G має
мiнiмаксний коцентралiзатор. Ми будемо розглядати модулi над групами, якi належать до
нижченаведеного дуже широкого класу груп.
Групу G будемо називати узагальнено радикальною, якщо G має зростаючий ряд, фак-
тори якого або локально нiльпотентнi, або локально скiнченнi. Зокрема, узагальнено ра-
дикальна група G має зростаючу локально нiльпотентну пiдгрупу або зростаючу локально
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
скiнченну пiдгрупу. У першому випадку її локально нiльпотентний радикал буде неоди-
ничним, а у другому випадку неодиничним буде її локально скiнченний радикал. Отже,
узагальнено радикальна група G має зростаючий ряд нормальних пiдгруп з локально нiль-
потентними або локально скiнченними факторами. Група G називається локально узагаль-
нено радикальною, якщо кожна її скiнченно породжена пiдгрупа є узагальнено радикаль-
ною. Клас локально узагальнено радикальних груп є дуже широким, зокрема, вiн мiстить
всi локально скiнченнi та всi локально розв’язнi групи.
Tеорема 1. Нехай G — локально узагальнено радикальна група та A — ZG-модуль,
для якого A/CA(G) не є Z-мiнiмаксним. Якщо фактор-модуль A/CA(H) є Z-мiнiмаксним
для кожної власної пiдгрупи H групи G, то G/CG(A) є циклiчною або квазiциклiчною
p-групою для деякого простого числа p.
Наслiдок N. Нехай G — локально узагальнено радикальна група та A — ZG-модуль,
для якого A/CA(G) не є Z-нетеровим. Якщо фактор-модуль A/CA(H) є Z-нетеровим для
кожної власної пiдгрупи H групи G, то G/CG(A) є циклiчною або квазiциклiчною p-групою
для деякого простого числа p.
Наслiдок А. Нехай G — локально узагальнено радикальна група та A — ZG-модуль,
для якого A/CA(G) не є Z-артiновим. Якщо фактор-модуль A/CA(H) є Z-артiновим для
кожної власної пiдгрупи H групи G, то G/CG(A) є циклiчною або квазiциклiчною p-групою
для деякого простого числа p.
Результат, аналогiчний теоремi 1, має мiсце i для iнших класiв груп. Зокрема, має мiсце
Наслiдок D. Нехай G — група, що не збiгається зi своїм комутантом, та A — ZG-мо-
дуль, для якого A/CA(G) не є Z-мiнiмаксним. Якщо фактор-модуль A/CA(H) є Z-мiнi-
максним для кожної власної пiдгрупи H групи G, то G/CG(A) є циклiчною або квазiцик-
лiчною p-групою для деякого простого числа p.
Дiйсно, застосувавши тi ж самi аргументи, якi були застосованi в роздiлi 2 роботи [13],
можна звести загальну ситуацiю до випадку, коли група G не мiстить у собi власних пiд-
груп скiнченного iндексу, не може бути скiнченно породженою та G/[G,G] буде квазiци-
клiчною групою. Нехай K/[G,G] — власна пiдгрупа G/[G,G], тодi A/CA(K) — Z-мiнiмакс-
ний модуль. Зокрема, його перiодична частина T/CA(K) буде чернiковською. Оскiльки K
нормальна в G, то CA(K) та T будуть ZG-пiдмодулями. Вiдомо, що група автоморфiз-
мiв абелевої чернiковської групи є резидуально скiнченною, а оскiльки G не має власних
пiдгруп скiнченного iндексу, то G дiє тотожно на T/CA(K), тобто [T,G] 6 CA(K). A/T
є мiнiмаксною i не має скруту, а тому вона є резидуально скiнченною. Звiдси випливає
включення [A,G] 6 T . А отже, [[A,G], G] 6 CA(K). Останнє включення має мiсце для
кожної власної пiдгрупи K > [G,G], а оскiльки G є об’єднанням усiх таких пiдгруп, то
отримуємо включення [[A,G], G] 6 CA(G). Таким чином, G дiє тотожно на факторах ряду
〈0〉 6 CA(G) 6 [A,G] 6 A, а це тягне за собою нiльпотентнiсть групи G/CG(A), i тепер
можна застосувати теорему 1.
Цiкавим є той факт, що автору роботи [14] вдалося отримати цi слабкiшi результати,
майже дослiвно повторюючи аргументи доведень нашої препублiкацiї [15], яка з’явилася
ранiше.
Другим є випадок, коли G 6= CocZ−mmx(G) i група G не є скiнченно породженою. Його
описує така теорема.
Tеорема 2. Нехай G — локально узагальнено радикальна група, A — мiнiмаксно-aн-
тифiнiтарний ZG-модуль та D = CocZ−mmx(G). Припустимо, що G не є скiнченно по-
родженою, G 6= D тa CG(A) = 〈1〉. Tодi G є групою одного з таких типiв:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 31
(1) G — квазiциклiчна q-група для деякого простого числа q.
(2) G = Q× 〈g〉, де Q є квазiциклiчною q-пiдгрупою, g — p-елемент та gp ∈ D, p, q —
простi числа (не обов’язково рiзнi).
(3) G мiстить у собi таку нормальну подiльну чернiковську q-пiдгрупу Q, що G = Q〈g〉,
де g — p-елемент, p, q — простi числа (не обов’язково рiзнi).
Бiльш того, G задовольняє такi умови:
(3a) gp ∈ D;
(3b) Q є G-квазiскiнченною;
(3c) якщо q = p, то Q має спецiальний ранг pm−1(p − 1), де pm = |〈g〉/C〈g〉(Q)|;
(3d) якщо q 6= p, то Q має спецiальний ранг o(q, pm), де знову pm = |〈g〉/C〈g〉(Q)| тa
o(q, pm) — порядок q за модулем pm.
Також для типiв (2), (3) A(ωZD) є чернiковською та Π(A(ωZD)) ⊆ Π(D).
Тут через ωRG позначено фундаментальний iдеал групового кiльця RG, тобто двосто-
роннiй iдеал RG, породжений елементами g − 1, де g ∈ G.
Також нагадаємо, що нормальна абелева пiдгрупа A групи G називається G-квазiскiн-
ченною, якщо кожна власна G-iнварiантна пiдгрупа A є скiнченною.
Нарештi, третiм є випадок, коли G 6= CocZ−mmx(G) i група G скiнченно породжена.
Його описує така теорема.
Tеорема 3. Нехай G — скiнченно породжена узагальнено радикальна група, A — мi-
нiмаксно-aнтифiнiтарний ZG-модуль та D = CocZ−mmx(G). Припустимо, що G 6= D тa
CG(A) = 〈1〉. Tодi G задовольняє такi умови:
1) D мiстить у собi таку нормальну в G нiльпотентну пiдгрупу K, що G/K — майже
полiциклiчна група;
2) G/D є вiльною вiд скруту;
3) K задовольняє умову максимальностi для 〈g〉-iнварiантних пiдгруп для будь-якого
елемента g, що не мiститься в D.
1. Hall P. Finiteness conditions for soluble groups // Proc. London Math. Soc. – 1954. – 4. – P. 419–436.
2. Hall P. On the finiteness of certain soluble groups // Ibid. – 1959. – 9. – P. 595–632.
3. Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. Artinian modules over group rings. – Basel: Birkhäuser, 2007. –
248 p.
4. Phillips R. Finitary linear groups: a survey // Finite and locally finite groups / NATO ASI. Ser. C 471. –
Dordrecht: Kluwer, 1995. – P. 111–146.
5. Wehrfritz B.A. F. Finite-finitary groups of automorphisms // J. Algebra and Its Appl. – 2002. – 4. –
P. 375–389.
6. Wehrfritz B. A.F. Finitary automorphism groups over commutative rings // J. Pure Appl. Algebra. –
2002. – 172. – P. 337–346.
7. Wehrfritz B. A.F. Finitary and artinian-finitary groups over the integers Z // Ukr. Math. J. – 2002. – 54. –
P. 924–936.
8. Wehrfritz B.A. F. Finitary and artinian-finitary groups over commutative rings // J. Group Theory. –
2004. – 7. – P. 243–253.
9. Wehrfritz B. A.F. On generalized finitary groups // J. Algebra. – 2002. – 247. – P. 707–727.
10. Wehrfritz B. A. F. Artinian-finitary groups over commutative rings and non-commutative rings // J. London
Math. Soc. – 2004. – 70. – P. 325–340.
11. Wehrfritz B. A.F. Artinian-finitary groups are locally normal-finitary // J. Algebra. – 2005. – 287. –
P. 417–431.
12. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Chupordya V.A. On bounded artinian finitary modules // Int. J. Alge-
bra and Computation. – 2007. – 17, No 4. – P. 881–893.
13. Kurdachenko L.A., Munoz-Escolano J.M., Otal J. Antifinitary linear groups // Forum Math. – 2008. –
20. – P. 27–44.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
14. Dashkova O.Yu. On modules over group rings of groups with restriction on the system of all proper
subgroups // arXiv:1305.0744v2.
15. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Chupordya V.A. On the structure of some modules over generalized
soluble groups // arXiv:1302.2115.
Надiйшло до редакцiї 13.11.2013Днiпропетровський нацiональний унiверситет
iм. Олеся Гончара
Нацiональний унiверситет Лос-Анджелеса, США
Л.А. Курдаченко, И. Я. Субботин, В.А. Чупордя
О структуре модулей над обобщенно разрешимыми группами
Пусть R — кольцо, G — группа. Модуль A над групповым кольцом RG будем называть
минимаксно-антифинитарным RG-модулем, если фактор-модуль A/CA(H) является ми-
нимаксным как R-модуль для произвольной собственной подгруппы H, которая не являет-
ся конечно порожденной, но R-модуль A/CA(G) не является минимаксным. Исследуются
минимаксно-антифинитарные модули над целочисленными групповыми кольцами локально
обобщенно радикальных групп.
L.A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, V. A. Chupordya
On the structure of some modules over generalized soluble groups
Let R be a ring, G be a group, and A be an RG-module. We say that A is a minimax-antifini-
tary RG-module if the factor-module A/CA(H) is minimax as an R-module for each not finitely
generated proper subgroup H, and the R-module A/CA(G) is not minimax. The minimax-antifini-
tary modules over the group ring RG, where R = Z is the ring of all integers and G is the locally
generalized radical group, are studied.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 33
|