Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка
На основе анализа ежедневных аномалий температуры воздуха в Киеве за прошедшее столетие установлено, что экстремальная положительная аномалия естественным путем может достигнуть +15,13 °С, превысив на 1° наблюдавшийся максимум. Климатический процесс был стабилен и не подвергался антропогенным дефо...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87708 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка / Л.А. Ковальчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 95-101. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87708 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-877082015-10-24T03:01:42Z Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка Ковальчук, Л.А. Науки про Землю На основе анализа ежедневных аномалий температуры воздуха в Киеве за прошедшее столетие установлено, что экстремальная положительная аномалия естественным путем может достигнуть +15,13 °С, превысив на 1° наблюдавшийся максимум. Климатический процесс был стабилен и не подвергался антропогенным деформациям. Предложена стохастическая модель динамики аномалий температуры воздуха, в основу которой положены “винеровские блуждания”, удерживаемые в естественных климатических границах процессом Орнштейна–Уленбека. На основi аналiзу щоденних аномалiй температури повiтря в Києвi за минуле столiття встановлено, що екстремальна додатна аномалiя природним шляхом може досягнути +15,13 °С, перевершивши на 1° спостережений максимум. Клiматичний процес був стабiльний i не зазнавав антропогенних деформацiй. Запропонована стохастична модель динамiки аномалiй температури повiтря, в основу котрої покладено “вiнеровськi блукання”, якi утримувалися в природних клiматичних межах процесом Орнштейна–Уленбека. Based on the analysis of daily air temperature anomalies in Kiev during the last century, it is found that the extreme positive anomaly naturally can reach +15.13 °C, exceeding the observed maximum by 1°. The climate process was stable and not subjected to human-induced deformations. We propose a stochastic model of the dynamics of air temperature anomalies, which is built on the “Wiener walks” held under natural climatic boundaries of the Ornstein–Uhlenbeck process. 2014 Article Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка / Л.А. Ковальчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 95-101. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87708 556,531:556,18:311 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Науки про Землю Науки про Землю |
| spellingShingle |
Науки про Землю Науки про Землю Ковальчук, Л.А. Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка Доповіді НАН України |
| description |
На основе анализа ежедневных аномалий температуры воздуха в Киеве за прошедшее
столетие установлено, что экстремальная положительная аномалия естественным
путем может достигнуть +15,13 °С, превысив на 1° наблюдавшийся максимум. Климатический процесс был стабилен и не подвергался антропогенным деформациям. Предложена стохастическая модель динамики аномалий температуры воздуха, в основу которой положены “винеровские блуждания”, удерживаемые в естественных климатических границах процессом Орнштейна–Уленбека. |
| format |
Article |
| author |
Ковальчук, Л.А. |
| author_facet |
Ковальчук, Л.А. |
| author_sort |
Ковальчук, Л.А. |
| title |
Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка |
| title_short |
Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка |
| title_full |
Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка |
| title_fullStr |
Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка |
| title_full_unstemmed |
Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка |
| title_sort |
моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса орнштейна–уленбека и уравнения фоккера–планка |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87708 |
| citation_txt |
Моделирование динамики статистических распределений температуры воздуха посредством процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения Фоккера–Планка / Л.А. Ковальчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 95-101. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kovalʹčukla modelirovaniedinamikistatističeskihraspredelenijtemperaturyvozduhaposredstvomprocessaornštejnaulenbekaiuravneniâfokkeraplanka |
| first_indexed |
2025-07-06T15:23:30Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:23:30Z |
| _version_ |
1836911597293928448 |
| fulltext |
УДК 556,531:556,18:311
Л.А. Ковальчук
Моделирование динамики статистических
распределений температуры воздуха посредством
процесса Орнштейна–Уленбека и уравнения
Фоккера–Планка
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В. И. Осадчим)
На основе анализа ежедневных аномалий температуры воздуха в Киеве за прошедшее
столетие установлено, что экстремальная положительная аномалия естественным
путем может достигнуть +15,13 ◦С, превысив на 1◦ наблюдавшийся максимум. Кли-
матический процесс был стабилен и не подвергался антропогенным деформациям. Пред-
ложена стохастическая модель динамики аномалий температуры воздуха, в основу ко-
торой положены “винеровские блуждания”, удерживаемые в естественных климати-
ческих границах процессом Орнштейна–Уленбека.
Состояние проблемы. Экспертами дано определение климатической системы, как сово-
купности взаимодействующих между собой атмосферы, гидросферы, биосферы, литосферы
и криосферы, а также дано определение климата, как статистического ансамбля состояний
его характеристик. Однако нет определения климатического процесса, хотя такое выраже-
ние широко применяется в практике. Наша цель — обосновать возможность моделирования
климатического процесса на основе теории случайных процессов [1]. В частности, посред-
ством решения уравнения Фоккера–Планка процесса Орнштейна–Уленбека [2].
Материал и методика. В основу исследования положены ежедневные значения темпе-
ратуры воздуха в Киеве с 1900 по 2009 гг., полученные Гидрометеорологической службой
Украины по результатам стандартных наблюдений, которые были очищены от детерми-
нированной составляющей: годового хода. Из ежедневных значений температуры воздуха
вычитались среднемноголетние значения температуры соответствующего дня, т. е. значе-
ния медианы.
Нами климатический процесс определен, по аналогии со случайным процессом, как
многомерная функция распределения вероятностей его характеристик. Рабочая гипотеза
заключается в следующем: климатический процесс последнего столетия был стабилен и не
подвергался антропогенным деформациям; динамику его аномалий можно описать про-
цессом “винеровских блужданий”, удерживаемых в естественных климатических границах
процессом Орнштейна–Уленбека. Проверка рабочей гипотезы потребовала: 1) обосновать
естественность потепления второй половины века, т. е. определить естественный экстре-
мальный максимум положительных аномалий; 2) минимизировать погрешности модели-
рования асимметричного климатического процесса посредством симметричного процесса
Орнштейна–Уленбека, верифицировать результаты моделирования.
Естественный экстремальный максимум определен на основе функции распределения
вероятностей (интеграла вероятностей) ежедневных аномалий температуры воздуха с 1900
© Л.А. Ковальчук, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 95
по 2009 гг. Сначала была определена вероятность наблюденного исторического экстре-
мального минимума аномалий температуры, затем, соответственно полученной вероятности
было вычислено значение естественного экстремального максимума аномалий температуры.
Погрешности моделирования минимизировались управляющими параметрами процесса
Орнштейна–Уленбека и процедурой интегрирования при вычислении функции распределе-
ния вероятностей. Адекватность процесса Орнштейна–Уленбека определена по его способ-
ности долгосрочного “прогнозирования” среднегодовых и среднемесячных аномалий темпе-
ратуры воздуха в рамках их естественных климатических “коридоров” при наличии асим-
метрии распределения.
Закон статистического распределения ежедневных аномалий температуры воздуха
(∆T ◦С) идентифицирован при помощи модели экспоненциального распределения [2], мо-
дифицированного для асимметричного случая:
p(x) =
α
2λσΓ(1/α)
exp
(
−
∣
∣
∣
∣
x−m
λσ
∣
∣
∣
∣
α)
, (1)
где λ =
√
Γ(1/α)
Γ(3/α)
, Γ(z) — гамма-функция; m = 0 — центр распределения ∆T ; σ = σ∆T<0,
σ∆T>0 — стандартные отклонения, α = α∆T<0, α∆T>0 — некоторые характеристики рас-
пределения, которые однозначно определяют параметр формы экспоненциальных распре-
делений — эксцесс ε = ε∆T<0, ε∆T>0:
ε =
Γ(1/α)Γ(5/α)
(Γ(3/α))2
. (2)
В связи с тем что предполагаемая вероятность исторического минимума ежедневных
аномалий температуры за 110-летний период может оказаться ниже 10−6, погрешность
идентифицируемой функции распределения вероятностей (интеграла вероятностей) анома-
лий температуры не должна быть >10−10, а достоверность критерия согласия (χ2) должна
быть выше 99,9999999999%.
Большинство суждений о динамике климата основаны на анализе многолетних вари-
аций средних аномалий температуры. Учитывая, что вероятностное пространство клима-
тической системы ограничено, а статистические распределения многих гидрометеорологи-
ческих характеристик относятся к семейству экспоненциальных, моделирование климати-
ческого процесса значительно упрощается благодаря процессу Орнштейна–Уленбека:
dx = −β(x− ξ)dt+ σδW, (3)
где x — среднее значение месячной аномалии температуры воздуха (µ∆T ); β — коэффи-
циент “притяжения”; ξ — равновесный уровень “притяжения”; t — время; σ — стандартное
отклонение (σµ∆T ); W (t) — бесконечно малый винеровский “шум”.
δW = ε
√
dt, ε ∼ N(0, 1). (4)
Параметры β и ξ определялись на основе результатов наблюдений:
β =
σ2
µ∆T
2R2
µ∆T
, (5)
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
здесь R — размах колебаний µ∆T (“коридор”);
ξ =
µ(∆T )k
µ(∆T )h
, (6)
здесь k + h = s — период наблюдений.
Плотность вероятности перехода p(x0, t0 ⇒ x, t) аномалий температуры воздуха ∆T ,
например, из экстремально теплого состояния в экстремально холодное состояние, оцени-
валась согласно решению Фоккера–Планка процесса Орнштейна–Уленбека, которое реали-
зовано посредством формул, удобных для вычислений [3]:
p(x0, t0 ⇒ x, t) =
1
√
2πD(t, t0)
exp
{
−
1
2
[x− x(t, t0)]
2
D(t, t0)
}
, (7)
где x — ежедневные аномалии температуры воздуха (∆T ),
x(t, t0) = ξ + (x0 − ξ)e−β(t−t0), (8)
D(t, t0) =
σ2
2β
(1− e−2β(t−t0)). (9)
Параметры ξ и β определялись на основе результатов наблюдений:
ξ =
x(∆T )k
x(∆T )h
, (10)
здесь k + h = s — период наблюдений;
β =
σ2
2R2
, (11)
где σ — стандартное отклонение ∆T ; R — размах колебаний ∆T (“коридор”).
На основе полученных плотностей вероятностей перехода p(x0, t0 ⇒ x, t) при помощи
интеграла вероятностей были вычислены вероятности перехода P (x0, t0 ⇒ x, t).
Обсуждение результатов исследований. Функция вероятностей аномалий темпе-
ратуры воздуха идентифицирована с погрешностью 10−13, критерий согласия χ2 = 80,75
при 86 степенях свободы имеет достоверность более 99,99999999999999%. Вычисленная ве-
роятность экстремального исторического минимума аномалий температуры −25,55 ◦С была
равной 0,0000078. Вычисленный естественный максимум аномалий температуры воздуха,
соответствующий вероятности 0,0000078, оказался равным +15,13 ◦С, тогда как истори-
ческий максимум не превысил +14,15 ◦С. Следовательно, естественным путем, без антро-
погенного воздействий, экстремальная аномалия температуры воздуха может достигнуть
+15,13 ◦С.
Адекватность процесса Орнштейна–Уленбека асимметричному климатическому процес-
су достигнута при помощи ξ — равновесного уровня “притяжения” (8). Установлено, что
процесс Орнштейна–Уленбека адекватно моделирует, не выходя за границы размаха, воз-
можные реализации как средних годовых, так и средне январских, и средне июльских ано-
малий температуры воздуха. Однако сами “блуждающие” траектории, в силу бесконечной
малости винеровского “шума” (2), не следует рассматривать в качестве конкретных буду-
щих реализаций средних аномалий температуры, так как они сами являются совокупностя-
ми множества реализаций. В случае “прогноза” средних годовых аномалий температуры на
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 97
Рис. 1. Плотность вероятности перехода p(x0, t0 → x, t) аномалий температуры воздуха ∆T
◦C по суткам
в январе (а) и июле (б )
несколько лет вперед при ∆t = 5 сут в течение первых двух лет реализации не выходили за
пределы ±1 ◦С, но, выполняя тот же “прогноз” при ∆t = 4 ч, реализации приблизились бы
к своим границам значительно раньше. Подтверждение тому “прогноз” средне январских
аномалий температуры на несколько месяцев вперед при ∆t = 4 ч, когда уже через ме-
сяц-полтора реализации колебались в пределах ±4 ◦С, а также “прогноз” средне июльских
аномалий температуры при ∆t = 4 ч, когда уже через декаду реализации достигли нижней
границы “коридора” — 3 ◦С.
Блуждание “прогнозных” средне январских или средне июльских аномалий температу-
ры воздуха отражалось на вероятностях перехода от текущего значения средней аномалии
к своему возможному значению, что проявилось в плавно искривленных по координате
времени траекториях максимума плотности вероятности перехода p(x0, t0 ⇒ x, t) (рис. 1).
Существенные различия в форме январских и июльских кривых плотностей вероятностей
перехода обусловлены превышением в 3,5 раза январской дисперсии над июльской дис-
персией аномалий температуры воздуха. Именно рост дисперсии с увеличение заблаговре-
менности “прогноза” приводит к “расползанию” области возможных реализаций аномалий
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
Рис. 2. Вероятности перехода p(x0, t0 → x, t) аномалий температуры воздуха ∆T
◦C по суткам в январе (а)
и июле (б ).
Волнистость перехода p(x0, t0 → x, t) обусловлена “не идеальной гладкостью” p(x0, t0 → x, t)
температуры воздуха, т. е. неопределенности. Если в январе на 5-е сут диапазон неопреде-
ленности распространялся от −8 до +5 ◦С, то на 30-е сут неопределенность охватывала уже
от −15 до +10 ◦С, что привело к уменьшению максимума плотности вероятности перехода
за тот же период в 2,1 раза от 0,15 до 0,07. В июле на 5-е сут неопределенность находилась
в пределах от −4 до +3 ◦С, а на 30-е сут — от −8 до +7 ◦С, при этом максимум плотнос-
ти вероятности перехода уменьшился от 0,30 до 0,11. Следовательно, более интенсивный
рост дисперсии вероятности перехода, т. е. неопределенности, относительно изменчивости
средних аномалий температуры объясняет непредсказуемость далее 5-ти сут абсолютных
значений аномалий температуры.
Зависимость вероятности перехода P (x0, t0 ⇒ x, t) от дисперсии оказалась подобной за-
висимости от нее плотности вероятности перехода p(x0, t0 ⇒ x, t). В январе, вероятность
сохранения средней аномалии температуры на 5-е сут оказалась равной 0,0009, что на по-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 99
Рис. 3. Вероятность перехода p(x0, t0 → x, t) экстремальных аномалий температуры воздуха ∆T
◦C по
суткам в январе (а) и июле (б )
рядок выше вероятности перехода температуры в диапазон около — 7 ◦С или вблизи +5 ◦С
(рис. 2, а). На 10-е сут вероятность “самосохранения” средней аномалии температуры пони-
зилась до 0,0006, а крайние границы возможного, хотя и маловероятного (0,0001) перехода
расширились от −8 до +7 ◦С. На 30-е сут вероятность наблюдения средне многолетней
аномалии температуры составляла всего лишь 0,0004, тогда как диапазон возможного ее
перехода расширился от −14 до +10 ◦С. Напротив, в июле, вероятность сохранения сред-
ней аномалии на 5-е сут была близкой 0,0017 при диапазоне возможных переходов от −3 до
+3 ◦С (см. б на рис. 2). На 10-е сут вероятность “самосохранения” июльской средней ано-
малии понизилась до 0,0012, а на 30-е сут — до 0,0006 при диапазоне вероятных переходов
от −8 до +6 ◦С. Следовательно, в январе “стохастическая память самосохранения” средней
аномалии температуры воздуха в два раза ниже, чем в июле, ввиду более стремительного
роста январской дисперсии.
“Стохастическая способность самосохранения” как январского минимума −25,55 ◦С, так
и июльского максимума +14,15 ◦С оказалась похожей. Для январского минимума вероят-
ность “самосохранения” составляла на первые сутки — 0,002, на пятые — 0,0009, на де-
сятые — 0,0006, на тридцатые — 0,0004; для июльского максимума — на первые сутки —
0,0037, на пятые — 0,0017, на десятые — 0,0012, на тридцатые — 0,0007 (рис. 3). У январ-
100 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
ского минимума аномалий температуры, принятого нами в качестве предельного, переход
возможен только в диапазоны более высоких температур (см. а на рис. 3). В связи с тем,
что возможный экстремум положительных аномалий температуры воздуха +15,13 ◦С еще
не реализован, то переход от наблюденного максимума +14,15 ◦С возможен как в диапазон
более высоких температур, так и в диапазон более низких температур. При этом вероят-
ность перехода в диапазон возможного температурного экстремума составляла на первые
сутки — 0,0005, на пятые — 0,0011, на десятые — 0,001, на тридцатые — 0,0006. Диапазоны
вероятных переходов январского минимума и июльского максимума хоть и зеркальные по
форме, но существенно различаются по величине: на тридцатые сутки для минимума диа-
пазон простирался от −25 до −13 ◦С, а для максимума от +15 до +6 ◦С (см. б на рис. 3), что
согласуется с известной изменчивостью температурных аномалий воздуха в январе и отно-
сительной устойчивостью их в июле.
Таким образом, климатический процесс на протяжении прошедшего века был стаби-
лен, что позволило моделирование его посредством решения уравнения Фоккера–Планка
процесса Орнштейна–Уленбека; доминирующим при этом полагался процесс “винеровских
блужданий”, которые удерживались в рамках естественных климатических изменений за
счет механизмов процесса Орнштейна–Уленбека.
1. Гихман И.И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1. – Москва, Наука, 1971. – 664 с.
2. Степанов С.С. Стохастический мир. – http://synset.com.
3. Булашев С.В. Статистика для трейдеров. – Москва: Компания Спутник+, 2003. – 245 с.
Поступило в редакцию 31.10.2013Украинский гидрометеорологический институт
ГСЧС Украины и НАН Украины, Киев
Л.А. Ковальчук
Моделювання динамiки статистичних розподiлiв температури
повiтря за допомогою процеса Орнштейна–Уленбека та рiвняння
Фоккера–Планка
На основi аналiзу щоденних аномалiй температури повiтря в Києвi за минуле столiт-
тя встановлено, що екстремальна додатна аномалiя природним шляхом може досягнути
+15,13 ◦С, перевершивши на 1◦ спостережений максимум. Клiматичний процес був ста-
бiльний i не зазнавав антропогенних деформацiй. Запропонована стохастична модель дина-
мiки аномалiй температури повiтря, в основу котрої покладено “вiнеровськi блукання”, якi
утримувалися в природних клiматичних межах процесом Орнштейна–Уленбека.
L.A. Kovalchuk
Dynamic simulation of statistical distributions of the air temperature by
using the Ornstein–Uhlenbeck process and the Fokker–Planck equation
Based on the analysis of daily air temperature anomalies in Kiev during the last century, it is
found that the extreme positive anomaly naturally can reach +15.13 ◦C, exceeding the observed
maximum by 1◦. The climate process was stable and not subjected to human-induced deformations.
We propose a stochastic model of the dynamics of air temperature anomalies, which is built on the
“Wiener walks” held under natural climatic boundaries of the Ornstein–Uhlenbeck process.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 101
|