Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы
Розглянуто алгоритм розв'язку квазірегулярної нескінченної системи лінійних алгебричних рівнянь, яка відповідає крайовій задачі усталених вимушених коливань ізотропної прямокутної призми в постановці плоскої задачі лінійної теорії пружності. Алгоритм базується на використанні лімітант Кояловича...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87798 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы / С.О. Папков, В.Н. Чехов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 62-76. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-87798 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-877982015-10-26T03:02:08Z Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы Папков, С.О. Чехов, В.Н. Розглянуто алгоритм розв'язку квазірегулярної нескінченної системи лінійних алгебричних рівнянь, яка відповідає крайовій задачі усталених вимушених коливань ізотропної прямокутної призми в постановці плоскої задачі лінійної теорії пружності. Алгоритм базується на використанні лімітант Кояловича, що дозволяє обчислювати верхні й нижні оцінки для всієї нескінченної послідовності невідомих, а також власні частоти призми. Додатково в області прямокутника знайдено суми всіх функціональних рядів у представленні розв'язку крайової задачі. An algorithm is considered of solving the quasi-regular infinite system of linear algebraic equations, which corresponds to the boundary value problem of stationary forced vibrations of isotropic rectangular prism in the statement of plane deformed state of linear theory of elasticity. The algorithm is based on using the Koyalovich’s limitants, what permits to evaluate the upper and lower estimates for all the infinite sequence of unknowns as well as the natural frequencies of prism. Additionally, the sums of all the functional series from the solution representation are found in the area of rectangular. 2013 Article Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы / С.О. Папков, В.Н. Чехов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 62-76. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87798 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглянуто алгоритм розв'язку квазірегулярної нескінченної системи лінійних алгебричних рівнянь, яка відповідає крайовій задачі усталених вимушених коливань ізотропної прямокутної призми в постановці плоскої задачі лінійної теорії пружності. Алгоритм базується на використанні лімітант Кояловича, що дозволяє обчислювати верхні й нижні оцінки для всієї нескінченної послідовності невідомих, а також власні частоти призми. Додатково в області прямокутника знайдено суми всіх функціональних рядів у представленні розв'язку крайової задачі. |
| format |
Article |
| author |
Папков, С.О. Чехов, В.Н. |
| spellingShingle |
Папков, С.О. Чехов, В.Н. Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы Прикладная механика |
| author_facet |
Папков, С.О. Чехов, В.Н. |
| author_sort |
Папков, С.О. |
| title |
Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы |
| title_short |
Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы |
| title_full |
Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы |
| title_fullStr |
Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы |
| title_full_unstemmed |
Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы |
| title_sort |
предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87798 |
| citation_txt |
Предельные лимитанты в задачах динамики для прямоугольной призмы / С.О. Папков, В.Н. Чехов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 62-76. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT papkovso predelʹnyelimitantyvzadačahdinamikidlâprâmougolʹnojprizmy AT čehovvn predelʹnyelimitantyvzadačahdinamikidlâprâmougolʹnojprizmy |
| first_indexed |
2025-07-06T15:27:57Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:27:57Z |
| _version_ |
1836911877450366976 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 5
62 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 5
С .О .П а п к о в 1 , В .Н . Ч е х о в 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИМИТАНТЫ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЫ
1Севастопольский национальный технический университет,
Стрелецкая балка, Студгородок, 95053, Севастополь, Украина;
e-mail: stanislav.papkov@gmail.com;
2Таврический национальный университет им.В.И.Вернадского,
пр-т Вернадского, 4, 95007, Симферополь, Украина; e-mail: chekhov40@mail.ru
Abstract. An algorithm is considered of solving the quasi-regular infinite system of lin-
ear algebraic equations, which corresponds to the boundary value problem of stationary
forced vibrations of isotropic rectangular prism in the statement of plane deformed state of
linear theory of elasticity. The algorithm is based on using the Koyalovich’s limitants, what
permits to evaluate the upper and lower estimates for all the infinite sequence of unknowns
as well as the natural frequencies of prism. Additionally, the sums of all the functional series
from the solution representation are found in the area of rectangular.
Key words: stationary forced vibrations, quasi-regular infinite system of linear alge-
braic equations, natural frequencies of prism.
Введение.
Для построения решений задач динамики для конечной прямоугольной призмы при-
меняют два основных аналитических подхода: метод однородных решений [21 – 23] и
метод суперпозиции [1 – 3, 6]. В том и в другом используют оценки решений бесконеч-
ных систем линейных алгебраических уравнений. Для многосвязных областей к беско-
нечным системам алгебраических уравнений нормального типа приводит метод разделе-
ния переменных [4, 20]. Надежный метод вычисления верхних и нижних оценок ограни-
ченных решений существует только для линейных регулярных бесконечных систем с
неотрицательными коэффициентами. Это метод лимитант Б.М. Кояловича [2, 5, 6], кото-
рый применен в задачах статики [1, 2, 6]. Существенным его недостатком является необ-
ходимость решать большое количество конечных систем линейных алгебраических урав-
нений согласно процедуре последовательных приближений. С помощью предельного
перехода метод лимитант модифицирован [16] в метод «предельных лимитант», который
вместо последовательных приближений предполагает получать решения только двух
вспомогательных конечных систем. Эта модификация использована для кручения призмы
с крестообразным основанием [18] и для бигармонических задач в прямоугольнике [17].
Применение метода предельных лимитант для оценок напряженного состояния, возни-
кающего при установившихся вынужденных колебаниях, и для вычисления собственных
частот упругой прямоугольной призмы представлено
ниже в постановке плоской динамической задачи ли-
нейной теории упругости.
§1. Постановка краевой задачи. Бесконечная
система линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим установившиеся вынужденные ко-
лебания прямоугольной призмы (рис. 1) под дейст-
вием симметричных относительно координатных
осей нормальных напряжений.
Рис. 1
63
В безразмерных координатах / ; /x X h y Y h имеем краевую задачу для
уравнения Ламе
2
2
1
grad div ;
1 2 t
u
u u
(1.1)
1 1
1 1
( )e ; 0;
2 2
i t
xx xy
x x
f y
1 1
( ) e ; 0,
2 2
i t
yy xy
y y
g x
(1.2)
где коэффициент Пуассона: плотность материала; модуль сдвига.
В соответствии с методом суперпозиции [2] решение уравнения Ламе (1.1)
( { ( , ) ( , ) }e i tu x y i x y j u
) представляется в виде суммы общих решений для по-
лос [ 1;1]x и [ ; ]y т.е.
2
0 1 1 2
1 1
( , ) sin ( ) ch ( ) ch ( ) sin ( )m m
m m m m m
m m m
α p
u x y С x A p y B p y x
p
1 2
1
sh ( ) sh ( ) cos ( );m m m m m
m
C q x D q x y
1 2
1
( , ) sh ( ) sh( ) cos( )m m m m m
m
x y A p y B p y x
(1.3)
2
0 1 1 2
1 1
sin ( ) ch ( ) ch ( ) sin ( ) .m m
m m m m m
m m m
β q
A y C q x D q x y
q β
где m m ; /m m ; 2 2 2 2 2 2; ( 1, 2)m m m mq p ; 1 1/ ;h c
2 2/ ;h c 1
2 (1 )
(1 2 )
c
, 2 /c скорости продольной и сдвиговой волн.
Удовлетворение граничных условий относительно касательных напряжений в
(1.2) дает зависимости между неопределенными коэффициентами:
2 2
2 2
2
1
sh
;
sh 2
m m m
m m
mm
q q
C D
q
2 2
2 2
2
1
sh
.
sh 2
m m m
m m
mm
p p
A B
p
(1.4)
Граничные условия (1.2) для нормальных напряжений с учетом (1.4) приводят [2, 3] к
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
2 2
01 1 2
0 0 2 2
11 1 1 11
(1 2 )sin
;
(1 ) cos 2(1 )cos (1 )cos
n
n n n
x g
x z
q
2 2
01 1 2
0 0 2 2
11 1 1 11
(1 2 )sin
;
(1 ) cos 2(1 )cos (1 )cos
n
n n n
z f
z x
p
2
1 1 1
0* * 2 *
1 1
2 sin
;
(1 2 ) (1 2 )
m
m mn n
nm m m m
f
x a z x
q
(1.5)
2
1 1 1
02
1 1
2 sin
( 1,2, ... .),
(1 2 ) (1 2 )
m
m mn n
nm mm m
g
z b x z m
p
64
где
0 0 1 0 0 1;x A z C ; 2( 1) sh ;m
m m mx D q 2( 1) sh m
m m
m
B p
z
;
2 2
2
2 2 2 2 2
1 2
21 m
mn
n m n m n
a
q q
;
2 2
2
2 2 2 2 2
1 2
21 m
mn
n m n m n
b
p p
;
2 2 2
2
2 2 12
1
( )
cth cth
4
m m
m m m m
m m
p
p p p
p
;
2 2 2
* 2
2 2 12
1
( )
cth cth
4
m m
m m m m
m m
q
q q q
q
.
Величины fm, gm – коэффициенты разложений в ряды Фурье для функций, задающих
нагрузку на гранях призмы
0
( ) ( 1) cos ;m
m m
m
f y f y
0
( ) ( 1) cosm
m m
m
g x g x
.
Заметим, что система (1.5) совпадает (с точностью до группировки членов и обозна-
чений) с бесконечной системой, приведенной в [3].
Для придания дальнейшим выкладкам большую компактность и обеспечить неот-
рицательность элементов бесконечной матрицы, введем следующую замену для неиз-
вестных:
0 1 0 1
1 2 2 1 2 2
sin sin
; ; ;m m m m
x z
X X X x X z
L L
и для коэффициентов системы:
2 2
1 1 2 1
1,1 1,2 1,2 1 2 2
1 1
tg tg
0; ; ;
(1 ) 2(1 )n
n n
M M M
q L
1
1,2 2 2,1 2,2
1
tg
0; ; 0;
(1 )nM M M
2 2
1 2 1 1
2,2 1 2,2 2 2 1,12 2 * 2
1 1
tg 2
0; ; ;
(2 2 ) (1 2 )n n m
n n m m
L
M M M
p L q
2 1,2 2 1,2 1 2 2,1 0;m m n mM M M
2
1
2 1,2 2 *
;
(1 2 )m n mn
m
M a
(1.6)
2
1 1
2 2,2 2 2,2 1 2 2,2 22
1
2
; ; 0;
(1 2 )(1 2 )m m n mn m n
mm m
L
M M b M
p
0 1 0 1
1 2 2 1 2 2*
(1 2 ) tg (1 2 ) tg
; ; ; .
(1 2 ) (1 )
m m
m m
mm
g f f g
B B B B
L L
Здесь L – положительная константа, выбором которой можно обеспечить выполнение
условий регулярности с более раннего номера.
Бесконечная система (1.5) имеет такой канонический вид [5]:
1
( 1,2,...).m mn n m
n
X M X B m
(1.7)
65
§2. Приведение бесконечной системы к оценкам решений регулярной беско-
нечной системы и решению конечной системы.
Бесконечная система (1.7) является регулярной, если удовлетворяются условия
1
| | 1, ( 1,2,3,...).m mn
n
S M m
Если же все ряды mS сходятся, но условие 1mS выполняется только при
1Rm N , то бесконечная система (1.7) является [5] квазирегулярной.
Для сумм рядов mS бесконечной системы (1.5) получена асимптотическая оценка [19]
22
1 ( ) ,mS O m
m
(2.1)
согласно которой бесконечные системы (1.5) и (1.7) являются квазирегулярными.
С учетом асимптотического поведения коэффициентов системы (1.5) и коэффици-
енты mna и mnb , начиная с определенных номеров, не изменяют своих знаков, преоб-
разуем суммы mS (2.1) к следующему виду ( 22 / ( )h c – заданная безразмерная
частота колебаний):
1
2 2 2
1 1 2 1 1
1 2 2 2 4 3 2
11 1 1 1 1 1
tg tg ctg 1 1 1 1
(1 ) 2(1 ) | | 2 2 6
N
n n n n
S
L q q
;
1
2 2
1 1 2 1 1
2 2 2 2 4 3 2
11 1 1 1 1 1
tg tg ctg 1 1 1 1 1
(1 ) 2(1 ) | | 2 2 6
N
n n n n
S
L p p
;
22 ( )
1 1
2 1 * 2 *
11
2
| | sign
(1 2 ) (1 2 ) | | 2 2
N m
m mn mn
nm m m
L
S a m a
q
(2.2)
2 2
1 2 12
2 2 2 2 2 2
1 2 11 2 1 2 1 1
cth cth cth 1 1 1 1
sign ;
6 2 22 2
m m m m
m m mm m m m
q q q
m
q q qq q q q
32 ( )
1 1
2 2 2
11
2
| | sign sign
(1 2 ) | |(1 2 ) 2 2 2 2
N m
m mn mn
nmm m
L
S b m b m
p
2 2 2
1 2 12
2 2 2 2 2 2
1 2 11 2 1 2 1 1
cth cth cth 1 1 1
,
6 2 2
m m m m
m m mm m m m
p p p
p p pp p p p
где 1 1
1 max , 1N
;
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
( )1
( ) max 0, , 1;
2
m
m
N m
2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 2
2
( )
( ) max 0, , 1;
2
m
m
N m
[x] – целая часть действительного x.
Формулы (2.2) позволяют точно вычислять номера ( )R RN N и значения вели-
чин
1
1 | |m mn
n
M
, характеризующих регулярные части бесконечной системы
66
(1.7), в зависимости от значений заданной
относительной частоты колебаний Ω. Для
примера на рис. 2 приведена зависимость
( )R RN N при 1; 0, 248 (приня-
то L = 0,1).
Для преобразования квазирегулярной
бесконечной системы (1.7) к оценкам ре-
шений регулярной бесконечной системы,
полагаем [5], что в регулярной части сис-
темы (1.7) первые RN неизвестных
1{ , ..., }
RNX X являются параметрами. Для
оставшихся неизвестных регулярной части системы (1.7) получаем регулярную бес-
конечную систему с линейной комбинацией параметров 1{ , ..., }
RNX X в качестве сво-
бодных членов:
1 1
( )
R
R
N
m mn n m mn n
n N n
X M X B M X
( 1).Rm N (2.3)
Решение этой системы (2.3) линейно зависит от параметров в составе свободных членов:
0
1
RN
j
m m m j
j
X X
( 1).Rm N (2.4)
Из (2.3) для коэффициентов линейной формы в представлении (2.4) получаем сово-
купность регулярных бесконечных систем с одной и той же матрицей:
0 0
1
1
;
( 1, 1,2,..., ) ,R
R
m mn n m
n N
R R
j j
m mn n m j
n N
M B
m N j N
M M
(2.5)
Если свободные члены первой из систем (2.5) удовлетворяют условию Пеле –
Кояловича [1] | |m mB K ( 1;Rm N K – некоторая положительная константа), то
существуют [5] ограниченные решения каждой из регулярных бесконечных систем
(2.5) и регулярной системы (2.3). Единственность этих ограниченных решений дока-
зывается с помощью признака П.С.Бондаренко [1].
Существование ограниченного решения для квазирегулярной системы (1.7) экви-
валентно существованию решения конечной системы относительно 1{ , ..., }
RNX X ,
которую можно получить, подставив (2.4) в (1.7) при m = 1, 2, …, NR:
1
RN
m mj j m
j
X Q X P
0
1 1
;
R R
j
mj mj mn n m mn n m
n N n N
Q M M P M B
. (2.6)
Если определитель системы (2.6) не равен нулю, то существует единственное ре-
шение 1{ , ... , }
RNX X и подстановка его в (2.4) приводит к ограниченному решению
квазирегулярной бесконечной системы, которое с помощью зависимостей (1.4), (1.3)
соответствует вынужденным гармоническим колебаниям призмы при заданной отно-
сительной частоте Ω. Если же определитель система (2.6) равен нулю
det 0,mj mjQ (2.7)
то вынужденные гармонические колебания призмы не существуют в форме (1.3). Со-
ответствующая частота Ω является собственной частотой призмы * . Заметим,
что представление (2.4) – (2.6) использовано в статьях [7 – 14] авторов.
Рис. 2
67
Согласно описанному выше методу решения задачи о вынужденных колебаниях
призмы коэффициенты конечной системы (2.6) вычисляются посредством численных
оценок решений регулярных бесконечных систем (2.5) при заданной частоте Ω коле-
баний. Эта частота Ω приближенно совпадает с * , если значение определителя (2.7)
имеет достаточно малый порядок по сравнению с максимальным порядком коэффи-
циентов матрицы системы (2.6).
§3. Оценки решений бесконечной системы.
Из асимптотического анализа выражений (1.6) следует, что, увеличивая параметр
RN , можно получить неотрицательность элементов матрицы Mmn регулярных систем
(2.5). При этом свободные члены для систем (2.5) с j = 1, 2, …, NR становятся знакопо-
стоянными. Первая (j = 0) из систем (2.5) имеет свободные члены исходной системы
(1.7), которые могут оказаться знакопеременными. Однако из-за линейности исходной
задачи ее можно разделить на две вспомогательные задачи со знакопостоянными сво-
бодными членами. Далее будем полагать, что с помощью соответствующих подстано-
вок все знакопостоянные свободные члены систем (2.5) преобразованы в неотрица-
тельные.
Для регулярных бесконечных систем с неотрицательными элементами матриц и
свободных членов построен [6] итерационный метод «лимитант». Он позволяет вы-
числять верхние и нижние оценки ограниченного решения, если существует положи-
тельный предел ограниченного решения. В [2, 3] показано, что для ограниченного
решения бесконечной системы (1.5) существует ненулевой предел
lim lim .m mm m
x z G
(3.1)
Соответственно, регулярные бесконечные системы (2.3) и (2.5) имеют ненулевые пре-
делы G и 0 1{ , ,..., }
RNG G G , связанные следующей из представления (2.4) зависимостью
0
1
.
RN
j j
j
G G G X
(3.2)
При увеличении порядка вспомогательных конечных систем нижние и верхние
оценки решения образуют [6] вложенные промежутки. При этом возможно получение
совпадающих знаков в старших разрядах оценок для всех элементов решения, вклю-
чая и пределы решений 0 1{ , , ..., }
RNG G G .
Предельные значения итерационного процесса для лимитант получены в [16]; ко-
личество вспомогательных конечных систем сократилось до двух. Применительно к
системам (2.5) экономия количества вспомогательных конечных систем оказывается
еще более значительной из-за совпадения всех матриц в системах (2.5). Первая из
вспомогательных систем совпадает с конечной системой метода простой редукции. У
всех систем (2.5) она своя и имеет вид
0 0
1
1
;
( 1, 2, ..., ; 1, 2, ..., ).R
R
N
m mn n m
n N
R R RN
j j
m mn n mj
n N
M B
m N N N j N
M M
(3.3)
Вторая вспомогательная система определяется только матрицей регулярной сис-
темы, и у всех систем (2.5) она одна, т.е.
1 1R
N
m mn n mn
n N n N
M M
(m = NR +1, NR +2, …, N). (3.4)
Для оценок решений регулярных систем (2.5) достаточно [16] вычислить точные
верхние и нижние грани «предельных лимитант», которые в случае первой из систем
(2.5) имеют вид
68
0
1
0,
1 1
(1 ) | |
R
R
R
N
mn n m
n NN
m NN
mn n m mn
n N n
M B
V
M M
( 1).m N (3.5)
Предельные лимитанты для остальных систем отличаются от 0,
N
mV только числителями
1
,
1 1
(1 ) | |
R
R
R
N
j
mn n mj
n NN
j m NN
mn n m mn
n N n
M M
V
M M
( 1; 1, 2, ..., ).Rm N j N (3.6)
Обозначив , ,inf , supN N
j j m j j mm N m N
h V H V
, приходим [16] к следующим двусторонним
оценкам ограниченных решений для регулярных бесконечных систем (2.5):
j j j
m j m m m j mh H (m = NR +1, NR +2, …, N; j = 0, 1, ..., NR); (3.7)
j
j m jh H ( 1);m N ( 0, 1, ..., ).Rj N (3.8)
Через решения вспомогательных систем (3.3) – (3.4) также можно выразить реше-
ние квазирегулярной бесконечной системы (1.7) по приближенному методу улучшен-
ной редукции. Предположим [2], что достаточно точное значение предела решения
достигается, начиная с некоторого конечного значения номера неизвестных. Приме-
нительно к регулярным бесконечным системам (2.5) это приводит к конечным систе-
мам вида ( , 1;j
m jG m N 0, 1, ..., ):Rj N
0 0
0
1 1
1 1
;
( 1,..., ; 1, 2, ..., ) ,R
R
N
m mn n mn m
n N n N
R RN
j j
m mn n j mn mj
n N n N
M G M B
m N N j N
M G M M
(3.9)
где N – наименьший из номеров неизвестных, при котором достигаются предельные
значения 0 1{ , , ..., }
RNG G G неизвестных во всех системах (2.5). Поскольку свободные
члены линейных систем (3.9) являются линейными комбинациями свободных членов
вспомогательных систем (3.3) и (3.4), то решения систем (3.9) имеют вид линейных
комбинаций решений систем (3.3) и (3.4) с теми же коэффициентами ( ,j
m jG
1) :m N
j j
m j m mG ( 0, 1, ..., ;Rj N m = NR +1, NR +2, …, N). (3.10)
Формулу для вычисления предельных значений jG получим при дополнительном
предположении j
N jG . Тогда из последнего уравнения (3.10) следует
1j
j N NG ( 0, 1, ..., ).Rj N (3.11)
Подстановка зависимостей (3.10) в представление (2.4) приводит к решению регуляр-
ной бесконечной системы (2.3) методом улучшенной редукции:
0
0
1
RN
j
m m m m j m j
j
X G G X
(m = NR +1, NR + 2, …, N – 1). (3.12)
69
Другие неизвестные 1{ ,..., }
RNX X вычисляем из конечной системы вида (2.6) по-
сле подстановки представления (3.12) в первые RN уравнений (1.7).
§4. Пример оценки ограниченного решения бесконечной системы (1.7).
Рассмотрим реализацию данного алгоритма на примере возбуждения колебаний
гармонической нормальной нагрузкой 02 exp( )yy g i t на гранях y при
следующих данных: 0, 248; 1; 1,4 .
Из рис. 2 следует, что уравнения системы (1.7) начинают удовлетворять условиям ре-
гулярности, начиная с NR = 2. Таким образом, совокупность бесконечных систем (2.5)
содержит только три системы. При m > 2 для рассматриваемых граничных условий
0mB , поэтому для первой системы получаем точно 0 0m . В силу симметрии элемен-
тов бесконечной матрицы системы (1.7) при 1 следует, что 1 2
2 1 2 ;m m 1 2
2 2 1m m .
Нижняя и верхняя оценки решения системы для j = 1 на основе формул (2.4),
(3.2) приведены в табл. 1 при N = 20 и N = 200. При этом вначале для фиксированного
номера редукции N решены вспомогательные системы (3.3) – (3.4), затем дана оценка
нижней и верхней границ лимитант (3.5) – (3.6) и по формулам (3.7) – (3.8) оценены
значения неизвестных.
Таблица 1
m 3 4 5 6 7 ∞
N = 20
N = 200
N = 200
N = 20
0,110295
0,110291
0,110291
0,110288
0,082010
0,082007
0,082007
0,082003
0,077748
0,077742
0,077742
0,077736
0,077037
0,077031
0,077031
0,077025
0,074071
0,074061
0,074061
0,074050
0,073053
0,072652
0.072617
0,072409
На рис. 3 представлены значения лимитант 200
1,mV для данного примера. Зрительно зна-
чения лимитант распадаются на две последовательности – верхняя для четных номе-
ров и нижняя для нечетных, что связано с парностью исследуемой бесконечной сис-
темы. Обе последовательности строго убывающие и сближаются с горизонтальными
асимптотами, что позволяет определить точные грани, которые представлены в по-
следнем столбце табл. 1.
Перекрывающиеся верхние и нижние границы для всех неизвестных, позволяют
определить конечные количества первых цифр, которые не изменятся при увеличении
порядков конечных вспомогательных систем. Ограничиваясь только этими «точными»
Рис. 3
70
цифрами при вычислении матрицы коэффициентов конечной системы (2.6), можно
оценить порядки элементов матрицы и определить близость заданной частоты вынуж-
денных колебаний к собственной частоте призмы путем сравнения порядка определи-
теля системы (2.6) с наибольшим порядком элементов матрицы системы (2.6).
Для рассматриваемого примера система (2.6) второго порядка (NR = 2), для коэф-
фициентов которой на основе решений (2.4), представленных в табл. 1, находим оцен-
ки: при N =20 –
0,05988 0,8894
0,88938 0,05988
Q
; при N = 200 –
0,059878 0,889378
0,889378 0,059878
Q
.
Свободные члены, учитывая 0 0m , не зависят от N и равны
21,8389
0
P
.
В табл. 2 даны значения определителя матрицы Q, отнесенные к наибольшему из
его элементов, при частотах вынужденных колебаний, приближающихся к первой
собственной частоте *
1 2 1,41421...
Таблица 2
Ω 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421
maxdet / ( )ijQ Q 11,0 10 23,1 10 31,6 10 41,0 10 52,7 10
Заметим, что число верных знаков в значении собственной частоты колебаний на
единицу больше показателя порядка определителя конечной системы, что позволяет
использовать условие (2.7) для вычисления собственных частот призмы.
§5. Улучшение сходимости рядов в представлении решения.
Используя асимптотический закон (3.1), проведем улучшение сходимости рядов
для компонент перемещения и тензора напряжений. В случае установившихся коле-
баний решение (1.3) разделяется на потенциальные и вихревые составляющие
; ,u
x y y x
(5.1)
где функции , – решения [3] дифференциальных уравнений Гельмгольца
2 2
1 20; 0.
Представлению решения (1.3) соответствуют следующие функции , :
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2
1 1 11 1
ch ch
( 1) cos cos ;
sh sh 2 2
n n n n n n n
n n n n
n n nn n n n
q q x p p y
x y z x
q pq p
(5.2)
2 2
1 2 2
sh sh
( 1) sin sin .
sh sh
n n n
n n n n
n n n n n
q x p y
x y z x
β q α p
(5.3)
Асимптотический закон (3.1) приводит к плохой сходимости рядов (5.2) и (5.3) на
границе прямоугольника и в малой окрестности границы. Подстановка этих рядов в
формулы для напряжений приведет из-за дифференцирований к расходящимся рядам
на границе прямоугольника. Для корректности необходимо улучшение сходимости
рядов (5.2), (5.3), причем не только на границе, но и в ее окрестности. Для этого дос-
таточно определить суммы вспомогательных рядов, которые получаем из рядов (5.2),
(5.3) после подстановки в них ,n nx G z G :
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2
1 1 11 1
ch ch
( 1) cos cos ;
sh sh 2 2
n n n n n n n
G n n
n n nn n n n
p p y q q x
G G x y
p qp q
(5.4)
71
2 2
1 2 2
sh sh
( 1) sin sin .
sh sh
n n n
G n n
n n n n n
q x p y
G G y x
β q α p
(5.5)
В случае краевых задач статики для прямоугольной призмы аналогичные вспомо-
гательные ряды удалось [17] просуммировать аналитически. Здесь же ограничимся
аналитическими суммами остатков рядов (5.4) и (5.5), начиная с номера N+1
( 1n N ), когда для величин ,jn jnp q справедливы следующие асимптотические
формулы:
2
3
1
;
2
j
jn n
n n
p O
2
3
1
.
2
j
jn n
n n
q O
(5.6)
Они позволяют записать приближенные зависимости
2 2 2 2
2 1 2
2 3
1
1
;
2 2
n n
nn n n
p
p
2
( ) ( )1 1
1
ch ch
( ) e ( ) e ,
sh sh 2
n ny yn n
n n n
p y y
y y
p
которые после использования известной [15] суммы ряда
1
1
ln(2ch 2cos ), 1;e
2 2( 1) cos
Re ( e ), 1;
nX
n
p
X iYn
p
X
X Y p
nY
n
Li p
0,X Y
приводят к приближенному значению суммы вспомогательного ряда (5.4):
2 ch( (1 ) / ) cos( / ) ch( (1 ) / ) cos( / )
1 ln
2 ch( ( )) cos( ) ch( ( )) cos( )G
x y x y
y x y x
2 2 ( 1) ( 1)
1
2 22
Re ( 1) Li ( e ) ( 1) Li ( e )
2
iy x iy x
x x
( ) ( )
2 2(1 ) Li ( e ) (1 ) Li ( e )ix y ix yy y
(5.7)
2 2
( ) ( ) 2 ( 1) / 2 ( 1) /1 2
3 3 3 33
Li ( e ) Li ( e ) Li ( e ) Li ( e )
2
ix y ix y iy x iy x
( ( )pLi z – полилогарифм порядка p).
Сходимость ряда (5.2) улучшаем посредством замены остатка ряда (5.2) на сумму
(5.7) упрощенного вспомогательного ряда, но без первых N слагаемых. Получаем при-
ближенное значение суммы ряда (5.2), точность которого может быть улучшена по-
средством увеличения порядка N конечных систем (3.3), (3.4);
2 22 2 2 2
21 1 2 1
12
1 1 1
( 1)
(1 )ch sh ch cos
2 2 sh 22e n
nN
n n n
n n n n
n n n n n n nn
x qG
x x x q x y
q q
(5.8)
2 22 2 2 2
21 1 2 1
12
1 1
(1 )ch sh ch cos .
2 2 sh 22e n
n n n
n n n n G
n n n n nn
z pG
y y y p y x G
p p
Аналогичным образом улучшаем сходимость ряда (5.3). При этом сумму вспомо-
гательного ряда (5.5) вычисляем с помощью известной [15] формулы
72
1
sin
arctg , 1;e
cos e( 1) sin 0, ,
Im ( e ), 1;
nX
Xn
p
X iYn
p
Y
p
YnY X Y
n
Li p
которая принимает вид:
sin sin
arctg arctg
cos exp( ) cos exp( )G
x x
x y x y
sin / sin /
arctg arctg
cos / exp(1 ) / cos / exp(1 ) /
y y
y x y x
2 ( 1) / ( 1) /
2 2 2Im (1 ) Li ( e ) (1 ) Li ( e )
2
iy x iy xx x
(5.9)
( ) ( )
2 2(1 / ) Li ( e ) (1 / ) Li ( e ) .ix y ix yy y
Соответственно, улучшение сходимости приводит к приближенному выражению
2 22
2 2
1 2
sh cth( 1)
2 1 sh ch e sin
sh 2 2
n
nN
n n
n n n n
n n n n n
q x x
x G x x y
q
(5.10)
2 22
2 2
2
sh cth
2 1 sh ch e sin .
sh 2 2
nn n
n n n n G
n n n
p y y
z G y y x G
p
Приближенные выражения (5.8) и (5.10), в отличие от рядов (5.2), (5.3), можно
дифференцировать. Точность этих приближенных выражений можно повысить путем
увеличения параметра N.
Подставив выражения (5.8) и (5.10) в потенциальные представления (5.1), полу-
чим формулы улучшения сходимости для перемещений. Напряжения могут быть вы-
ражены непосредственно через потенциалы , , т.е.
1 2
( ) ;
2 xx yy
2 2 2
2 2
1
( 2 ) 2 ( ).
2 yy xx xyi i i
x yy x
Подставляя сюда (5.8) и (5.10), получаем следующие формулы:
2 2
2 2 1
1
1 1 1
ch1 2 ( 1)
( ) 2 e ch cos
2 2 sh
n
nN
n n n
xx yy n n n
n n n n n
q q x
x G x y
q q
2 2
2 1
1 1
ch ch( ) cos
2 e ch cos ln
2 sh 2 ch(1 ) / cos /
nn n n
n n n
n n n
p p y y x
z G y x G
p p x y
2
0 1 0 1
ch( ) cos
1 ln cos cos ;
2 ch(1 ) / cos /
y x
G z x x y
x y
(5.11)
2
0 1 0 1 2
1 2
ch 1 2
( ) cos cos (1 2 ) 2 ( 1) (1 2 )
2 sh
N
n n
xx yy n n
n n
q x
z x x y x q
q
73
2 2
2 21 2 1
1 1
1 1
ch
e ( sh ch ) cos e ( sh
4 sh
n nn n n n n
n n n n
n n n n
q q q x
G x x x y G y y
q q
2 2
2 21 2 1 2
2 1
1 1 2
ch ch
ch ) (1 2 ) cos 2 2
4 sh sh 2
n n n n n n
n n n n
n n n n n
p p p y p y G
y z p x
p p p
(5.12)
(1 )sh((1 ) / ) ( )sh(( ) ) (1 )sh((1 ) / ) ( )sh(( ) )
;
ch( ) cos ch( ) cosch(1 ) cos ch(1 ) cos
x x y y x x y y
y x y xx y x y
2 2
22 1 2
1
1 1 2
sh sh 1 2
( 1) (1 2 ) (sh ch )
2 2 sh sh
n
N
n n n n n
xy n n n
n n n n
q q x q x
x G e x x x
q q
2 2
22 1 2
1
1 2
sh sh
sin (1 2 ) e ( ch sh ) sin
2 sh sh
nn n n n
n n n n n
n n n
p p y p y
y z G y y y x
p p
(5.13)
2
1
(1 ) sin / ( )sin (1 ) sin / ( )sin
.
4 ch( ) cos ch( ) cosch(1 ) cos ch(1 ) cos
G x y y x x y y x
y x y xx y x y
Заметим, что логарифмические особенности при подходе к угловым точкам, за-
ключенные в полилогарифмах формул (5.7) и (5.9), сократились в формулах (5.11),
(5.12) для нормальных напряжений. Если в асимптотических формулах (5.6) удер-
живать только первые слагаемые, то особенности не сокращаются, и искажается ха-
рактер напряжений в углах прямоугольника.
В табл. 3 представлены граничные значения нормальных напряжений, вычислен-
ные по формулам (5.11) и (5.12) для рассмотренного в §4 примера, где
02 exp( )yy g i t на гранях y , а 0, 248; 1; 1, 4 ; остальные на-
пряжения на границе равны нулю) при двух значениях порядка N вспомогательных
систем метода лимитант. Данные таблицы показывают удовлетворительное с практи-
ческой точки зрения выполнение граничных условий уже при N = 20, а с увеличением
N появляется возможность добиться повышенной точности решения исходной задачи.
Таблица 3
x 0/ (2 )yy g
20N
0/ (2 )yy g
200N
y 0/ (2 )xx g
20N
0/ (2 )xx g
200N
0 0,99897 1,00001 0 0,001174 -0,000009
0,20 0,99896 1,00001 0,20 0,001187 -0,000009
0,40 0,99891 1,00001 0,40 0,001241 -0,000009
0,60 1,00114 1,00001 0,60 -0,001299 -0,000009
0,80 1,00143 1,00001 0,80 -0,001635 -0,000009
0,90 0,99855 1,00001 0,90 0,001718 -0,000009
0,95 1,00582 1,00001 0,95 -0,006325 -0,000011
1,00 0,97001 1,00229 1,00 0,031911 -0,002244
74
На рис. 4, а представлены значения касательных напряжений xy в трех сечениях
0, 25; 0,58; 0,75y призмы, которые вычислены по формулам (5.13) с улучшением
сходимости (N =200), а на рис. 4, б – без улучшения сходимости (G =0, N =200). По-
следний случай иллюстрирует явление Гиббса, которое наблюдается для напряжений
во всех сечениях призмы при подходе к границе. Заметим, что катастрофическое па-
дение точности решения происходит независимо от того, что для касательных напряже-
ний граничные условия выполнены тождественно, а ряды имеют экспоненциальный
характер сходимости всюду, кроме границы области. Аналогичная картина наблюда-
ется и для нормальных напряжений. Увеличением параметра N удается лишь сокра-
тить интервал, где наблюдается явление Гиббса. Сопоставление данных рис. 4, а, б
демонстрирует эффективность суммирования вспомогательных функциональных ря-
дов (5.4), (5.5) для преодоления явления Гиббса в окрестности границы призмы.
а
б
Рис. 4
На рис. 5, 6 представлены графики нормальных напряжений для рассмотренного
выше примера в сечениях 0; 0,5; 0,75;1,0y и в сечениях 0; 0,5; 0,75x . Наиболь-
шие по модулю напряжения достигаются в центре призмы и равны: max 0( ) 81, 424 ;yy g
max( )xx 076,535 g ; при этом касательные напряжения оказываются достаточно
75
малы и не превосходят 00,1xy g . Большие значения нормальных напряжений
можно объяснить тем, что принятая здесь частота 1, 4 вынужденных колебания
менее, чем на 0,015 отличается от первой собственной частоты *
1 2 .
а б
Рис. 5
а б
Рис. 6
Заключение.
В данной работе представлен новый алгоритм определения напряженно-деформи-
рованного состояния при установившихся колебаниях прямоугольной призмы, позво-
ляющий получить двусторонние оценки решения квазирегулярных бесконечных систем
линейных алгебраических уравнений и собственные частоты призмы. Выполнено
улучшение сходимости функциональных рядов для всей области определения решения.
Приведены числовые результаты и дан их анализ.
Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто алгоритм розв’язку квазірегулярної нескінченної системи лінійних ал-
гебраїчних рівнянь, яка відповідає крайовій задачі усталених вимушених коливань ізотропної прямо-
кутної призми в постановці плоскої задачі лінійної теорії пружності. Алгоритм базується на викори-
станні лімітант Кояловича, що дозволяє обчислювати верхні й нижні оцінки для всієї нескінченної
послідовності невідомих, а також власні частоти призми. Додатково в області прямокутника знайдені
суми всіх функціональних рядів у представленні розв’язку крайової задачі.
1. Бондаренко П.С. К вопросу о единственности для бесконечных систем линейных уравнений //
Матем. сборник. – 1951. – 29, № 2 – С. 403 – 418.
2. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. – К.:
Наук. думка, 1978. – 264 с.
76
3. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – К.: Наук. дум-
ка, 1981. – 284 с.
4. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – К.: Наук. думка,
1972. – 256 с.
5. Канторович Л.В., Крылов B.И. Приближенные методы высшего анализа. – М. –Л.: Физматгиз,
1962. – 708 с.
6. Коялович Б.М. Исследование о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв.
физ.-матем. ин-та им. В.А. Стеклова. – 1930. – 3. – С. 41 – 167.
7. Папков С.О. Динамическая задача для прямоугольной призмы // Вісник Севастопольського держ.
техн. ун-ту. Серія Механіка, енергетика, екологія. – 2005. – № 67.– С. 5 – 18.
8. Папков С.О. Установившиеся вынужденные колебания призмы при заданных на границе смещени-
ях // Акустичний вісник. – 2008. – 11, № 4. – С. 36 – 43.
9. Папков С.О., Мелешко В.В. Изгибные колебания прямоугольной пластинки со свободными краями
// Теорет. и прикл. механика. – 2009. – 46. – С. 104 – 111.
10. Папков С.О., Чехов В.Н. Регулярные бесконечные системы алгебраических уравнений в случае
длиннопериодических деформаций призмы // Ученые записки Таврического нац. ун-та. –2001. –
№ 1. – С. 81 – 86.
11. Папков С.О., Чехов В.Н. Определение резонансных частот вынужденных установившихся коле-
баний прямоугольной призмы // Вестник Севастопольского нац. техн. ун-та. Серия: Фізика и ма-
тематика, 2003. – № 43. – С. 149 – 158.
12. Папков С.О., Чехов В.Н. К исследованию установившихся вынужденных колебаний прямоуголь-
ной призмы // Збірник праць акустичного симпозіуму «Консонанс–2003» / Інститут гідромехані-
ки НАН України. – 2003. – С. 181 – 189.
13. Папков С.О., Чехов В.Н. О локализации собственных частот прямоугольной призмы посредством
исключения неизвестных в квазирегулярной бесконечной системе // Доп. НАН України. –2004.–
№ 10. – С. 57 – 62.
14. Папков С.О., Чехов В.Н. Нестационарное деформирование прямоугольной призмы // Збірник
праць акустичного симпозіуму «Консонанс–2005» / Інститут гідромеханіки НАН України. –
2005.– С. 255 – 260.
15. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.:
Наука, 1981. – 800 с.
16. Чехов В.Н., Пан А.В. Про граничні вирази лімітант Кояловича // Доп. НАН України – 2007. – № 3.
– С. 31 – 36.
17. Чехов В.Н., Пан А.В. Об улучшении сходимости рядов для бигармонической задачи в прямо-
угольнике // Динамические системы. – 2008. – № 3. – С. 135 – 144.
18. Chekhov Val. N. Stress State of a Cross-Base Prism under Torsion // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 11.
– P. 1265 – 1278.
19. Grinchenko V.T., Ulitko A.F. Dynamic Problem of Elastic Theory for a Rectangular Prism // Int. Appl.
Mech. – 1971. – 7, N 9. – P. 979 – 984.
20. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E.V. Resonant vibrations of a clamped viscoelastic rectangular plate //
Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 8. – P. 762–771.
21. Kosmodamianskii A.S. Three-Dimensional Problems of the Theory of Elasticity for Multiply Connected
Plates: Survey // Int. Appl. Mech. – 1983. – 19, N 12. – P. 1045 – 1061.
22. Shaldyrvan V.A., Bulanov G.S. Method of Homogeneous Solutions in Problems with Mixed Boundary
Conditions // Int. Appl. Mech. – 1989. – 25, N 9. – P. 57 – 61.
23. Vasil’ev T.A., Shaldyrvan V.A. Local stress singularities in mixed axisymmetric Problems of the Bending
of circular cylinders // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – P. 176 – 187.
Поступила 10.01.2011 Утверждена в печать 06.6.2013
|