О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными

О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными

Исследованы компактность и равномерная непрерывность разрешающего семейства операторов уравнений с дробными производными в банаховом пространстве.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2014
Hauptverfasser: Антонюк, А.В., Кочубей, А.Н., Пискарев, С.И.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:Доповіді НАН України
Schlagworte:
Математика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87806
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными / А.В. Антонюк, А.Н. Кочубей, С.И. Пискарев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-87806
record_format dspace
spelling irk-123456789-878062015-10-27T03:02:04Z О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными Антонюк, А.В. Кочубей, А.Н. Пискарев, С.И. Математика Исследованы компактность и равномерная непрерывность разрешающего семейства операторов уравнений с дробными производными в банаховом пространстве. Дослiджено компактнiсть та рiвномiрну неперервнiсть розв’язуючої сiм’ї операторiв рiвнянь в дробових похiдних в банаховому просторi. The compactness and the uniform continuity for a resolvent family of operators for fractional differential equations in a Banach space are studied. 2014 Article О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными / А.В. Антонюк, А.Н. Кочубей, С.И. Пискарев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87806 517.9;517.28;517.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Антонюк, А.В.
Кочубей, А.Н.
Пискарев, С.И.
О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными
Доповіді НАН України
description Исследованы компактность и равномерная непрерывность разрешающего семейства операторов уравнений с дробными производными в банаховом пространстве.
format Article
author Антонюк, А.В.
Кочубей, А.Н.
Пискарев, С.И.
author_facet Антонюк, А.В.
Кочубей, А.Н.
Пискарев, С.И.
author_sort Антонюк, А.В.
title О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными
title_short О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными
title_full О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными
title_fullStr О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными
title_full_unstemmed О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными
title_sort о компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2014
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/87806
citation_txt О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными / А.В. Антонюк, А.Н. Кочубей, С.И. Пискарев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT antonûkav okompaktnostiiravnomernojnepreryvnostirazrešaûŝegosemejstvadlâuravneniâsdrobnymiproizvodnymi
AT kočubejan okompaktnostiiravnomernojnepreryvnostirazrešaûŝegosemejstvadlâuravneniâsdrobnymiproizvodnymi
AT piskarevsi okompaktnostiiravnomernojnepreryvnostirazrešaûŝegosemejstvadlâuravneniâsdrobnymiproizvodnymi
first_indexed 2025-07-06T15:28:25Z
last_indexed 2025-07-06T15:28:25Z
_version_ 1836911905853145088
fulltext оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 6 • 2014 МАТЕМАТИКА УДК 517.9;517.28;517.3 А.В. Антонюк, А.Н. Кочубей, С.И. Пискарев О компактности и равномерной непрерывности разрешающего семейства для уравнения с дробными производными (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком) Исследованы компактность и равномерная непрерывность разрешающего семейства опе- раторов уравнений с дробными производными в банаховом пространстве. Известен классический результат [1] о том, что для C0-полугруппы exp(tA), непрерывной при t > 0 по норме операторов, ее компактность для всех t > 0 эквивалентна компакт- ности резольвенты (λI − A)−1 для некоторого λ ∈ ρ(A). Следует также заметить [2], что компактность генератора A эквивалентна компактности семейства exp(tA)− I для любого t > 0. Свойство непрерывности полугруппы операторов при t > 0 в равномерной опера- торной топологии и само по себе принадлежит к числу важнейших [1, 3]. С другой сто- роны, компактность разрешающего семейства для дифференциальных уравнений в бана- ховом пространстве интенсивно используется при изучении различных аспектов анализа существования решений [4] и их аппроксимации [5] для дифференциальных уравнений ви- да u′(t) = Au(t) + f(u(t)). С этой точки зрения представляет интерес исследование анало- гичных свойств для уравнений с производными дробного порядка, что и составляет цель данной работы. Отметим, что эволюционные уравнения порядка α ∈ (0, 1) используются в физике для моделирования аномальной диффузии, при которой среднеквадратичное отклонение диф- фундирующей частицы за время t ведет себя как const · tα при t → ∞. Детальное ис- следование свойств соответствующих эволюционных семейств может быть полезным для разработки приближенных и численных методов для таких уравнений. Для 0 < α < 1 скажем, что задача Коши в банаховом пространстве E (D (α) t u)(t) = Au(t), u(0) = x (1) © А.В. Антонюк, А.Н. Кочубей, С.И. Пискарев, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 7 является корректно поставленной, если уравнение Вольтерра u(t) = x+ t ∫ 0 gα(t− s)Au(s) ds (2) корректно разрешимо в смысле [6]. Соответствующее разрешающее семейство операторов x 7→ u(t) для t > 0 обозначим Tα(t, A). Выше D (α) t обозначает производную Капуто– Джрбашяна [7]: (D (α) t f)(t) = d dt (I1−α 0+ f)(t)− f(0) Γ(1− α) t−α, где (Iα0+f)(t) := (gα ∗ f)(t) — дробный интеграл, gα(t) := tα−1/Γ(α). Предполагается, что разрешающее семейство операторов Tα(t, A) задачи (2) для некоторых M , ω > 0 удовлет- воряет неравенству ‖Tα(t, A)‖ 6 Meωt, t > 0. (3) При этом {λα : Re eλ > ω} ⊂ ρ(A) и для Re eλ > ω, x ∈ E имеем Rα(λ,A) := λα−1(λαI −A)−1x = ∞ ∫ 0 e−λtTα(t, A)x dt. (4) Аксиоматические характеристики разрешающего семейства, позволяющие восстановить оператор A, найдены в [8, 9]. Заметим, что для ограниченного оператора A семейство Tα(t, A) может быть задано с помощью функции Миттаг-Лефлера: Tα(t, A) = ∞ ∑ j=0 (tαA)j Γ(αj + 1) . (5) Достаточные условия разрешимости задачи (1) с неограниченным оператором A и тео- рема единственности решения доказаны в [10, 11]. 1. Свойства Tα(t, A), когда A порождает C0-полугруппу. Если оператор A порож- дает C0-полугруппу exp(tA), то для нее выполнена оценка вида (3) с некоторыми констан- тами M1 и ω. Тогда для разрешающего семейства Tα(t, A) оценка (3) выполнена с констан- тами Mα и ωα = 1/α. Более того, для любых α, β: 0 < α < β < 1 имеет место тождество субординации [12]: Tα(t, A) = ∞ ∫ 0 ϕt,α/β(s)Tβ(s,A) ds, t > 0, (6) с ϕt,γ(s) = t−γΦγ(st −γ), где Φγ(ζ) = ∞ ∑ k=0 (−ζ)k/(k!Γ(−γk + 1 − γ)) — функция Райта. Заметим, что Φγ(t) > 0, t > 0 и ∞ ∫ 0 Φγ(t) dt = 1. 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 Утверждение 1. Если разрешающее семейство Tβ(t) для некоторого 0 < β 6 1 яв- ляется равномерно непрерывным при t > 0, то оператор-функция Tα(t) для любого 0 < < α < β обладает тем же свойством. Доказательство. Из асимптотических свойств функции Райта следует 0 6 ϕt,α/β(s) 6 Ct−α/βe−cs β β−α t − α β−α , s > 0. (7) Для t0 > 0 из некоторого интервала ∆ = (t0/2, 2t0) из (7) имеем 0 6 ϕt,α/β(s) 6 2α/βCt −α/β 0 e−2 − α β−α cs β β−α t − α β−α 0 , s > 0, т. е. 0 6 ϕt,α/β(s) 6 C1e −c1s β β−α , s > 0. (8) Из предположений следует, что Tα(t) является сильно измеримой со значениями в бана- ховом пространстве B(E) [13, следствие 1.1.2]. Используя B(E)-значную версию теоремы о мажорируемой сходимости [13, теорема 1.1.8], из (3) и (8) получаем требуемое свойство непрерывности. Заметим, что β/(β − α) > 1. 2. Свойства компактности разрешающего семейства. Пусть B0(E) — пространс- тво компактных операторов в пространстве E. Утверждение 2. 1. Если для некоторого α ∈ (0, 1) Tα(t, A) ∈ B0(E) для t > 0, то Tβ(t, A) ∈ B0(E) для любого β ∈ (0, α). 2. Если для некоторого α ∈ (0, 1) Tα(t, A)− I ∈ B0(E) для t > 0, то Tβ(t, A)− I ∈ B0(E) для любого β ∈ (0, α). Доказательство следует из свойства субординации (6), оценки (8) и теоремы 1.3 в [14]. Теорема 1. Для разрешающего семейства Tα(t), удовлетворяющего оценке (3), сле- дующие условия эквивалентны: (i) Tα(t) − I ∈ B0(E); (ii) λRα(λ) − I ∈ B0(E) для {λα : Reλ > ω} ⊂ ρ(A); (iii) A ∈ B0(E). Доказательство. (i) ⇒ (ii) следует из теоремы 1.3 в [14] и представления (λRα(λ)− I)x = λ ∞ ∫ 0 e−λt(Tα(t)− I)xdt, x ∈ E. (ii) ⇒ (i). Из аксиоматического описания Tα, доказанного в [8], выводится, что t ∫ 0 gα(t− − τ)Tα(τ)x dτ ∈ D(A) для всех x ∈ E, что дает возможность вынести оператор A из-под знака интеграла в (2). Тождество Rα(λ)(Tα(t, A)− I) = (Rα(λ)− λα−1)(Tα(t, A)− I) + λα−1(Tα(t, A)− I) приводит к представлению Tα(t, A) − I = −(λRα(λ)− I)(Tα(t, A)− I) + (λRα(λ)− I) t ∫ 0 gα(t− τ)Tα(τ,A)fdτ, из которого следует требуемая компактноcть оператора Tα(t) − I. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 9 (ii) ⇒ (iii). Из компактности оператора λα(λαI −A)−1 − I следует, что оператор (λαI − −A)−1 является фредгольмовым с нулевым индексом и замкнутой областью значений (как сумма компактного и обратимого оператора I). Следовательно, оператор A является огра- ниченным. Компактность оператора A следует из тождества λα(λαI − A)−1 − I = (λαI − − A)−1A. (ii) ⇒ (iii) следует из представления (5). Теорема 2. Для непрерывного по норме в гильбертовом пространстве H разрешаю- щего семейства Tα(t, A), удовлетворяющего оценке (3) в гильбертовом пространстве H, следующие условия эквивалентны: (i) Tα(t, A) ∈ B0(H) для t > 0; (ii) Rα(λ,A) ∈ B0(H) для λ с Re eλ > ω. Доказательство. (i) ⇒ (ii) следует из представления (4) и теоремы 1.3 в [14]. (ii) ⇒ (i). Для любого x ∈ H и ω0 := ω − µ0 < 0 из оценки (3) следует ‖Tα(t, A)e −tµ0x‖ 6 Meω0t‖x‖, (9) поэтому функция ρ(t) = χ[0,∞)(t)e −µ0tTα(t, A)x ∈ L2(R,H), где χ[0,∞)(t) — характеристичес- кая функция. Поскольку для преобразования Фурье F(ρ) = Rα(µ0 + iµ)x в гильбертовом пространстве справедлива теорема Планшереля, то, применяя обратное преобразование Фу- рье, получаем для всех t > 0 Tα(t, A)e −µ0tx = 1 2π ∞ ∫ −∞ eiµtRα(µ0 + iµ)x dµ, x ∈ H. (10) Очевидно, что компактность семейства Tα(t, A) для фиксированного t > 0 эквивалентна компактности оператора Gµ0 (t) := Tα(t, A)e −µ0t. Кроме того, представление Rα(λ)x = = 1 λ Rα(λ)Ax + 1 λ x влечет Rα(µ0 + iµ)x → 0 при |µ| → ∞ для x ∈ D(A) и µ0 > ω. Более того, непосредственным подсчетом получаем R′ α(λ)x = α− 1 λ Rα(λ)x− αR2 α(λ)x, (11) R′′ α(λ)x = (α− 1)(α − 2) λ2 Rα(λ)x− 3α(α − 1) λ R2 α(λ)x+ 2α2R3 α(λ)x, (12) что, в частности, дает lim |µ|→∞ R′ α(µ0 + iµ)x = 0. Также видно, что компактность оператора Rα(λ) эквивалентна компактности R′′ α(λ). Применяя дважды интегрирование по частям к (10), имеем Gµ0 (t)x = 1 πt2 ∞ ∫ −∞ eiµtR′′ α(µ0 + iµ)x dµ. (13) Окончательно, компактность оператора Gµ0 (t) является следствием оценки ‖Gµ0 (t)x−GN µo (t)x‖ = 1 πt2 sup ‖x∗‖61 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 〈 ∫ |µ|>N eiµtR′′ α(µ0 + iµ)x dµ, x∗ 〉 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 6 2K πt2 sup |µ|>N ‖Rα(µ0 + iµ)‖ · ‖x‖, 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 которая доказывается с использованием (12), неравенств Гельдера и Коши, свойств пре- образования Фурье, а также факта, что равномерная непрерывность семейства Tα(t, A), в силу теоремы 2.2 в [15], эквивалентна lim |µ|→∞ ‖Rα(µ0 + iµ)‖ = 0, для некоторого µ0 > ω. (14) Заметим, что операторы GN µ0 (t)x = 1/(πt2) N ∫ −N eiµtR′′ α(µ0 + iµ)x dµ компактны в силу тео- ремы 1.3 в [14]. Замечание. Также можно дать достаточные условия на компактность семейства опера- торов Tα(t, A) при t > 0 непосредственно в терминах оператора A. Действительно, предпо- ложим, что множество Σδ,α = {λ : | arg λ| < α(π/2 + δ);λ 6= 0} для некоторого δ ∈ (0, π/2] принадлежит резольвентному множеству оператора A, кроме того, резольвента операто- ра A компактна и выполнена оценка ‖(λI −A)−1‖ 6 C|λ|−1, λ ∈ Σδ,α. Тогда оператор Tα(t, A) компактен для всех t > 0. Это следует из представления (4.2) в теореме 4.1 [11], оператора Tα(t, A) контурным интегралом, сходящимся в равномерной операторной топологии. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке НАН Украины и Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-12/12-01-90 401Укр-а). 1. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations – New York: Springer, 1983. – 279 p. 2. Cuthbert J. R. On semigroups such that T (t) − I is compact for some t > 0 // Z. Wahrsch. und Verw. Geb. – 1971. – 18, No 1–2. – P. 9–16. 3. Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations – Berlin: Springer, 2000. – 587 p. 4. Bobylev N.A., Kim J.K., Korovin S.K., Piskarev S. Semidiscrete approximations of semilinear periodic problems in Banach spaces // Nonlinear Anal. – 1998. – 33, No 5. – P. 473–482. 5. Piskarev S. Convergence of difference schemes for the solution of nonlinear parabolic equations // Mat. Zam. – 1988. – 44, No 1. – P. 112–123. 6. Prüss J. Evolutionary integral equation and applications. – Basel: Birkhäuser, 1993. – 366 p. 7. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 523 p. 8. Chen Ch., Li M. On fractional resolvent operator functions // Semigroup Forum. – 2010. – 80. – P. 121–142. 9. Peng J., Li K. A novel characteristic of solution operator for the fractional abstract Cauchy problem // J. Math. Anal. Appl. – 2012. – 385. – P. 786–796. 10. Kochubei A.N. A Cauchy problem for evolution equations of fractional order // Different. Equat. – 1989. – 25. – P. 967–974. 11. Bazhlekova E. The abstract Cauchy problem for the fractional evolution equation // Fract. Calc. Appl. Anal. – 1998. – 1. – P. 255–270. 12. Bazhlekova E. Subordination principle for fractional evolution equations // Ibid. – 2000. – 3. – P. 213–230. 13. Arendt W., Batty C. J. K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy prob- lems. – Basel: Birkhäuser, 2011. – 539 p. 14. Voigt J. On the convex compactness property for the strong operator topology // Note Mat. – 1992. – 12. – P. 259–269. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 11 15. Lizama C. A characterization of uniform continuity for Volterra equations in Hilbert spaces // Proc. Amer. Math. Soc. – 1998. – 126. – P. 3581–3587. Поступило в редакцию 10.12.2013Институт математики НАН Украины, Киев Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Россия О.В. Антонюк, А. Н. Кочубей, С. I. Пiскарьов Про компактнiсть та рiвномiрну неперервнiсть розв’язуючої сiм’ї для рiвняння в дробових похiдних Дослiджено компактнiсть та рiвномiрну неперервнiсть розв’язуючої сiм’ї операторiв рiв- нянь в дробових похiдних в банаховому просторi. А.V. Antoniouk, А. N. Kochubei, S. I. Piskarev On the compactness and the uniform continuity of a resolvent family for a fractional differential equation The compactness and the uniform continuity for a resolvent family of operators for fractional differential equations in a Banach space are studied. 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6

Ähnliche Einträge