Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами

Выполнен численный анализ спектра частот продольных и изгибных колебаний регулярных континуальных балок, имеющих сосредоточенные включения в виде упругих опор или шарниров. Определены зависимости параметров колебаний от количества пролетов, граничных условий, типа сосредоточенных включений и жесткос...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Распопов, А.С., Рубан, О.О., Чернышенко, С.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2008
Schriftenreihe:	Техническая механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88049
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами / А.С. Распопов, О.О. Рубан, С.А. Чернышенко // Техническая механика. — 2008. — № 1. — С. 131-139. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88049
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-880492015-11-08T03:02:08Z Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А. Выполнен численный анализ спектра частот продольных и изгибных колебаний регулярных континуальных балок, имеющих сосредоточенные включения в виде упругих опор или шарниров. Определены зависимости параметров колебаний от количества пролетов, граничных условий, типа сосредоточенных включений и жесткости упругих связей. Показана высокая эффективность применения теории конечных автоматов в расчетах свободных колебаний непрерывно-дискретных балок с повторяющимися элементами. A numerical analysis of a spectrum of frequencies of longitudinal and bending vibrations of regular continuous beams with lumped inclusions in the form of elastic supports or joint hinges is carried out. Dependences of parameters of vibrations on quantity of spans, boundary conditions, type of the lumped inclusions and stiffness of elastic elements are defined. High efficiency of application of the theory of finite state machines in computations of free vibrations of continuous-discrete beams with recurring elements is shown. 2008 Article Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами / А.С. Распопов, О.О. Рубан, С.А. Чернышенко // Техническая механика. — 2008. — № 1. — С. 131-139. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88049 624.27.7 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Выполнен численный анализ спектра частот продольных и изгибных колебаний регулярных континуальных балок, имеющих сосредоточенные включения в виде упругих опор или шарниров. Определены зависимости параметров колебаний от количества пролетов, граничных условий, типа сосредоточенных включений и жесткости упругих связей. Показана высокая эффективность применения теории конечных автоматов в расчетах свободных колебаний непрерывно-дискретных балок с повторяющимися элементами.
format	Article
author	Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А.
spellingShingle	Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А. Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами Техническая механика
author_facet	Распопов, А.С. Рубан, О.О. Чернышенко, С.А.
author_sort	Распопов, А.С.
title	Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами
title_short	Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами
title_full	Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами
title_fullStr	Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами
title_full_unstemmed	Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами
title_sort	колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88049
citation_txt	Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами / А.С. Распопов, О.О. Рубан, С.А. Чернышенко // Техническая механика. — 2008. — № 1. — С. 131-139. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT raspopovas kolebaniâregulârnyhbaločnyhkonstrukcijsnepreryvnodiskretnymiparametrami AT rubanoo kolebaniâregulârnyhbaločnyhkonstrukcijsnepreryvnodiskretnymiparametrami AT černyšenkosa kolebaniâregulârnyhbaločnyhkonstrukcijsnepreryvnodiskretnymiparametrami
first_indexed	2025-07-06T15:45:08Z
last_indexed	2025-07-06T15:45:08Z
_version_	1836912957592698880
fulltext	131 УДК 624.27.7 А.С. РАСПОПОВ, О.О. РУБАН, С.А. ЧЕРНЫШЕНКО КОЛЕБАНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Выполнен численный анализ спектра частот продольных и изгибных колебаний регулярных кон- тинуальных балок, имеющих сосредоточенные включения в виде упругих опор или шарниров. Опреде- лены зависимости параметров колебаний от количества пролетов, граничных условий, типа сосредото- ченных включений и жесткости упругих связей. Показана высокая эффективность применения теории конечных автоматов в расчетах свободных колебаний непрерывно-дискретных балок с повторяющи- мися элементами. A numerical analysis of a spectrum of frequencies of longitudinal and bending vibrations of regular contin- uous beams with lumped inclusions in the form of elastic supports or joint hinges is carried out. Dependences of parameters of vibrations on quantity of spans, boundary conditions, type of the lumped inclusions and stiffness of elastic elements are defined. High efficiency of application of the theory of finite state machines in computations of free vibrations of continuous-discrete beams with recurring elements is shown. Расчетные схемы различных механических систем содержат, как прави- ло, большое число повторяющихся элементов, а также дискретные включе- ния в распределенные параметры в виде сосредоточенных масс, упругих опор или шарниров [1]. В мостовых конструкциях такие задачи возникают при моделировании колебаний неразрезных пролетных строений балочных мостов, многопанельных рам, ферм, балок проезжей части и др. Количество вычисляемых параметров собственных колебаний может быть различным для каждой конкретной задачи и в ряде случаев охватывает как минимум первую зону сгущения [2]. Анализ спектра частот и форм колебаний необхо- дим при учете динамического воздействия подвижных нагрузок, диагностике различных повреждений, например трещин, ослабления упругих связей, предварительных напряжений, оценки степени защемления и др. Встречают- ся также почти регулярные конструкции, которые путем включения неболь- шого числа элементов могут быть преобразованы в регулярные, что упроща- ет последующие динамические расчеты. В этой связи целесообразно изучение широкого класса регулярных и ква- зирегулярных балочных конструкций для установления зависимости их ди- намических свойств от количества пролетов, граничных условий, типа сосре- доточенных включений, жесткости упругих закреплений и других факторов. Наиболее эффективное решение достигается для полностью регулярных стержневых систем, когда краевые условия допускают периодические про- должения в каждом из направлений. Это свойство использовали в своих ра- ботах многие авторы [3 – 5], применяя метод перемещений (деформаций) к динамическому расчету многократно симметричных систем. Другие направ- ления построения уравнений частот основываются на применении обобщен- ных функций к исследованию колебаний одномерных стержневых систем [1, 6] или методов начальных параметров, динамических жесткостей и податли- востей, прогонки и др. [7 – 9]. В данной статье показано применение теории конечных автоматов к ис- следованию колебаний непрерывно-дискретных балок с повторяющимися элементами. Рассмотрим сначала продольные колебания одномерной балочной кон- струкции с сосредоточенными включениями в виде дискретных упругих свя- зей с жесткостями kc и kc (рис. 1). Техн. механика. – 2008. – № 1.  А.С.Распопов, О.О.Рубан, С.А.Чернышенко, 2008 132 а) б) в) Рис. 1 На рис. 1,а, б представлены континуальные балки с сосредоточенными включениями двух типов: в жесткость упругой среды в виде дискретных упругих опор жесткостью kc и с включениями в продольную жесткость балки с участками, соединенными между собой упругими связями жестко- стью kc . Интенсивность массы k , продольная жесткость kEF приняты постоянными по длине k-го участка и в общем случае различными для каж- дого из участков. Согласно [10], а также логической схеме балки (рис. 1,в) из последова- тельно связанных конечных подавтоматов 1A , 2A , , pA , представим урав- нение частот продольных колебаний в виде произведения ассоциированных матриц 1V , 2M , , 1pM  , pV с характеристиками соответствующих участ- ков балки ( 1k  , 2 , , p ) 1 1 2 0, p k p k V M V    (1) или для случая, когда длины пролетов, продольная жесткость и интенсив- ность массы одинаковы для всех частей составной балки, 2 1 0. p pkV M V   (2) Так как рассматриваемое сечение находится слева от упругой связи, то матрица kM k -го участка балки с непрерывно-дискретными параметрами определяется соотношением k ck xuM R M , (3) 133 где ckR – матрица упругой связи; xuM – ассоциированная матрица для про- дольных колебаний обычного участка балки, не имеющего сосредоточенных включений. Для двух типов упругих связей (рис. 1,а, б) матрицы ckR и ckR будут иметь вид: 1 0 1 k ck c R  ; 1 0 . 1/ 1ck k R c    (4) В результате, для kM и kM  можно записать (5) (6) или в сокращенной форме с учетом обозначений [11] (1) 01k xu kM M c M  ; (2) 10 1 k xu k M M M c     . (7) Очевидно, что при 0kc  , kc  приходим к схеме в виде сплошной балки, а при kEF  получим дискретную схему из абсолютно твердых тел массой km , соединенных упругими связями, для которой 21 0 1 k k i k c m M    ; 2 2 1 1 1 k i k k i k k m M m c c         . (8) Например, для трехпролетной квазирегулярной балки с двумя одинако- выми включениями I и II типов (рис.1,а, б) с закрепленным левым и свобод- ным правым концами можно записать 1 1 1 sinλ cosλ αλ k k k V V   ; 3 λ sin λ cosλ cosλ k k k k k c V    ; 134 3 λ sin λ λ cosλ sin λ k k k k k k V c      ; 1 2 3λ λ λ λk   ; 1 2 kc c c  ; 1 2 kc c c    . После подставки в (1) и преобразований получим характеристические уравнения: – для включений I типа 2cos3λ sin3λ sin λ cosλ 0 λ λ k k k k k k k k c c         ; (9) – для включений II типа 2λ αλ cos3λ sin3λ sin λ cosλ 0k k k k k k k kc c          . (10) Используя предельные переходы, несложно получить частные случаи этой задачи. Так при 0kc  , kc  уравнения (9), (10) будут одинаковыми и равны cos3λ 0k  , как для однородной балки длиной 3 kl . Если 0kc  , по- лучим уравнения частот cosλ 0k  ; sinλ 0k  отдельных участков балки с кодами граничных условий 01 10 и 10 10 . Переход к дискретной системе с двумя степенями свободы осуществляется при kEF  , что приводит к следующему уравнению 2 3 1 0k    , (11) где 2 k i k k m c     . Уравнения (10), (11) в точности совпадают с решениями, приведенными в работе [1]. Условия периодичности в балочних конструкциях позволяют упростить значительную часть расчетов и получить несложные машинные алгоритмы и программы для ЭВМ. Так при возведении в n -ю степень слагаемых (7) полу- чим: cos λ λ sin λ 1 sin λ cos λ λ k k k n xu k k k n n M n n    ; (12)   1 (1) (1) 01 01 sinλ λ n n n k k k k c M c M         ;   1(2) (2) 10 10 1 1 λ sin λ ( ) n n k kn k k M M c c         . Далее, используя свойства биноминальных коэффициентов, несложно получить выражения для матриц n kM и   n kM  :  (1) 01 0 n m n m n m m k n xu k m M C M c M   ; 1n  , 2 , , 2p  ; (13) 135   (2) 10 0 m n n m n m k n xu km M M C M c              , (14) где   ! ! ! m n n C m n m   ; 0m  , 1 , 2 , , n . Решения (5), (6) и (13), (14) дают возможность в простой форме получить уравнения частот для продольных колебаний регулярной балки с сосредото- ченными включениями. В результате вычислений получены значения корней уравнения (2) для различных сочетаний однородных граничных условий и соответствующие графики зависимости значений λk от числа пролетов p , относительной жесткости упругих связей kc , kc ,  k k k kc c l EF ,  k k k kc c l EF  и номера формы колебаний i . На рис. 2 представлен график-номограмма собственных значений λk для балки с защемленными концами и первым типом сосредоточенных включе- ний (верхняя часть графика) и балки со свободными концами и вторым ти- пом сосредоточенных включений (нижняя часть графика). Линия, разделяю- щая эти две части, соответствует предельному случаю, когда 0kc  , kc   . Рис. 2 Для нахождения величины λk по графикам на рис. 2 необходимо отрезок между крайними границами спектра частот по оси абсцисс разделить на ко- личество пролетов неразрезной балки. Ординаты точек пересечения прямых линий, параллельных оси ординат, с соответствующей кривой дают значения частотного параметра λk первой зоны сгущения. Уравнения частот собственных колебаний для других граничных усло- вий имеют отличия только в матрицах концевых участков 1V и pV . Графики λk по своей конфигурации будут совершенно аналогичны графикам на рис. 2, но смещены по оси абсцисс на величину  , зависящую от типа гра- 136 ничных условий [11]. Так значения λk для однопролетных балок можно представить в виде выражения  λk i    , где 0  для балок с включени- ями I типа и защемленными концами и II типа – со свободными; 0,5   – для балок двух типов, один конец которых заделан, другой – свободен; 1   – для балок I типа со свободными и II типа – с защемленными конца- ми. При этом количество значений λk , которое можно определить по рис. 2 для p - пролетной балки составляет соответственно p , когда 0  ;  1p  , 0,5   и  2p  , 1   . Полученные результаты несложно распространить также на задачи о крутильных колебаниях балок с сосредоточенными включениями. Теперь рассмотрим свободные изгибные колебания регулярной балки, ко- торая имеет постоянные жесткость kEI и интенсивность массы k , а также сосредоточенные включения в жесткость основания в виде упругих опор и за- щемлений и в изгибную жесткость балки – упругих шарниров I и II рода [1]. Как и в предыдущем случае, исследуем закономерность изменения ча- стотного параметра λ в зависимости от граничных условий, количества про- летов, типа сосредоточенных включений, жесткости упругих связей и формы колебаний. Сосредоточенные включения рассматривались в следующих со- четаниях (рис. 3): а) б) в) Рис. 3 Структура ассоциированных матриц для участка балки, имеющего вклю- чения I типа на левом конце, будет аналогичной [11]. Второй тип включений описывается матрицей kM с учетом некоторых особенностей. Так, для включения в изгибную жесткость балки в виде упругой связи между концами двух участков (рис. 3,а) любой из подавтоматов 2A , 3A , , 1pA  определя- ется четырьмя состояниями граничных параметров и, следовательно, матри- цей 1kM второго порядка с элементами матрицы xyM [10], соответствующи- ми кодам 1100-0101, 1100-1100 и 0101-0101, 0101-1100. При этом к элемен- там второй строки прибавляются элементы первой, умноженные на величи- ну, обратную жесткости упругой связи kc . Аналогичным образом ассоциированная матрица 2kM для упругого шарнира I рода жесткостью kq (рис. 3,б) может быть получена из матрицы xyM прибавлением к элементам второй и шестой строк соответствующих элементов первой и пятой, умноженных на упругую постоянную   1 kq   . 137 Наконец, для общего случая упругого шарнира (рис. 3,в), включенного в изгибную жесткость произвольного участка балки, матрица 3kM получается из матрицы xyM последовательным прибавлением к второй, пятой и шестой строкам элементов первой строки, умноженных соответственно на произве- дение обратных жесткостей   1 k kc q    и отдельно на каждую из них. Кроме того, дополнительно к шестой строке прибавляются элементы второй и пятой строк, умноженные соответственно на величины   1 kc   и   1 kq   . В матричной форме структуру 3kM можно представить следующим об- разом:           1 1 1(2) (5) (6) 3 1100 1100 1100 1 1(6) (6) 1010 0101. k xy k k k k k k M M q M c M c q M c M q M                 (15) Предельные переходы позволяют получить все частные случаи задачи для сосредоточенных включений второго типа с различными упругими свя- зями. Векторы 1V и pV в уравнениях (1), (2) соответствуют строкам или столбцам матриц xyM , 2kM , 3kM с кодами заданных граничных условий. Рис. 4 На рис. 4 – 6 приведены графики-номограммы значений λk первой зоны сгущения для балок с сосредоточенными включениями I , II типов (рис. 3) с произвольным количеством пролетов и жесткостью упругих связей. Гранич- ные условия для балок с включениями, представленными на рис. 3,а и 3,б, принимались в виде шарнирного опирания (коды 0101 – 0101), а для балок (рис. 3,в) – в виде заделки (0011 – 0011). 138 Рис. 5 Как и в предыдущих случаях интервал по оси абсцисс между вертикаль- ными ограничивающими линиями необходимо разделить на количество про- летов p и восстановить перпендикуляры до пересечения с линией, соответ- ствующей относительной жесткости упругой связи, с последующим опреде- лением значений частотного параметра k . Рис. 6 Нетрудно заметить, что весь спектр частот многопролетных балок с упругими связями довольно плотный и заключен между линиями с предель- ными значениями жесткостей ( 0 ,  ). При значениях λk от 0 до  возможно равенство частот для различных типов сосредоточенных включений и отно- 139 сительных жесткостей kc , kc ,  3 / 2k k k kc c l EJ ,  3 / 2k k k kc c l EJ  . Номера форм колебаний i на графиках (рис. 5, 6) располагаются в порядке возраста- ния и в обратном порядке в интервале параметра k от  до 4,73 (рис. 4). Исключения составляют области кратных частот при kc в диапазоне от 50 до 65 и значениях λk , близких  (рис. 4). Таким образом, спектры частот для составных многопролетных балок с сосредоточенными включениями двух типов как при продольных (крутиль- ных), так и при изгибных (поперечных) свободных колебаниях будут до- полнять друг друга с последующим чередованием для второй и выше зон сгущения. В дальнейших исследованиях предполагается рассмотреть вынужденные колебания балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами, когда имеется внешнее и внутреннее вязкое сопротивление. 1. Лазарян В. А., Конашенко С. И. Обобщенные функции в задачах механики. – К.: Наук. думка, 1974. – 192 с. 2. Распопов А. С. Применение логических моделей к расчету колебаний неразрезных мостовых конструк- ций // 6th International Conference "Modern Bulding Materials, Structures and Techniques" (19 – 21 May 1999, Vilnius, Lithuania): Proceedings. – V.III. – 1999. – Р.223 – 228. 3. Kolousek V. Dynamics in Engineering Structures. – Prague: Czech. Acad. Sci., 1973. – 580 p. 4. Новацкий В. Динамика сооружений. – М.: Госстройиздат, 1963. – 376 с. 5. Игнатьев В. А. Расчет регулярных, статически неопределимых стержневых систем. – Изд-во Сарат. ун- та, 1979. – 296 с. 6. Jacquot R. G., Gibson J. D. The effects of discrete masses and elastic supports on continuous beam natural frequencies // J. Sound and Vibr. – 1972. – 23, N2. – P.237 – 244. 7. Ивович В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем: Справочник. – М.: Машиностроение, 1981. – 183 с. 8. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. – М.: Машиностроение, 1970. – 736 с. 9. Hobst E. Modalna analyza spojitych nosnikov metodou prenosovych na samocinnom pocitaci // Stavebn. cas. – 1975. – 23, N7. – S.454 – 478. 10. Распопов А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и бало- чных конструкций // Вестник Днепр. нац. ун-та жел. дор. тр-та. Выпуск 19. – 2007. – С.125 – 133. 11. Распопов А. С. Колебания континуальных балок с промежуточными опорами // Вестник Днепр. нац. ун-та жел. дор. тр-та. Выпуск 9. – 2005. – С.199 – 202. Днепропетровский национальный Получено 21.03.08, университет железнодорожного в окончательном варианте 28.03.08 транспорта имени академика В. Лазаряна

Колебания регулярных балочных конструкций с непрерывно-дискретными параметрами

Institution

Ähnliche Einträge