Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами
С помощью метода параметрических представлений интегральных операторов выведены системы граничных интегральных уравнений третьих внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца, к которым приводят задачи рассеяния поляризованных электромагнитных волн на экранированной плоскопараллельной конечной си...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88135 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами / Ю.В. Гандель, В.Д. Душкин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88135 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-881352015-11-09T03:02:19Z Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами Гандель, Ю.В. Душкин, В.Д. Математика С помощью метода параметрических представлений интегральных операторов выведены системы граничных интегральных уравнений третьих внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца, к которым приводят задачи рассеяния поляризованных электромагнитных волн на экранированной плоскопараллельной конечной системе импедансных лент. За допомогою методу параметричних зображень iнтегральних операторiв виведенi системи граничних iнтегральних рiвнянь третiх зовнiшнiх крайових задач для рiвняння Гельмгольца, до яких призводять задачi розсiювання поляризованих електромагнiтних хвиль на екранованiй плоскопаралельнiй кiнцевiй системi iмпедансних стрiчок. Тhе systems of boundary integral equations of the third boundary-value problems for the Helmholtz equation have been obtained by the method of the parametric representations of integral operators. These boundary-value problems arise at the scattering of polarized electromagnetic waves on a shielded multilayer parallel finite system of impedance tapes. 2014 Article Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами / Ю.В. Гандель, В.Д. Душкин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88135 517.963.23 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Гандель, Ю.В. Душкин, В.Д. Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами Доповіді НАН України |
| description |
С помощью метода параметрических представлений интегральных операторов выведены системы граничных интегральных уравнений третьих внешних краевых задач для
уравнения Гельмгольца, к которым приводят задачи рассеяния поляризованных электромагнитных волн на экранированной плоскопараллельной конечной системе импедансных
лент. |
| format |
Article |
| author |
Гандель, Ю.В. Душкин, В.Д. |
| author_facet |
Гандель, Ю.В. Душкин, В.Д. |
| author_sort |
Гандель, Ю.В. |
| title |
Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами |
| title_short |
Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами |
| title_full |
Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами |
| title_fullStr |
Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами |
| title_full_unstemmed |
Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами |
| title_sort |
граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения гельмгольца в r²₊ с плоскопараллельными разрезами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88135 |
| citation_txt |
Граничные интегральные уравнения третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца в R²₊ с плоскопараллельными разрезами / Ю.В. Гандель, В.Д. Душкин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gandelʹûv graničnyeintegralʹnyeuravneniâtretʹejkraevojzadačidlâuravneniâgelʹmgolʹcavr2sploskoparallelʹnymirazrezami AT duškinvd graničnyeintegralʹnyeuravneniâtretʹejkraevojzadačidlâuravneniâgelʹmgolʹcavr2sploskoparallelʹnymirazrezami |
| first_indexed |
2025-07-06T15:50:40Z |
| last_indexed |
2025-07-06T15:50:40Z |
| _version_ |
1836913305698959360 |
| fulltext |
УДК 517.963.23
Ю.В. Гандель, В.Д. Душкин
Граничные интегральные уравнения третьей краевой
задачи для уравнения Гельмгольца в R2
+
с плоскопараллельными разрезами
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
С помощью метода параметрических представлений интегральных операторов выведе-
ны системы граничных интегральных уравнений третьих внешних краевых задач для
уравнения Гельмгольца, к которым приводят задачи рассеяния поляризованных электро-
магнитных волн на экранированной плоскопараллельной конечной системе импедансных
лент.
К краевым задачам для уравнений Гельмгольца с граничными условиями третьего рода
приводят задачи математической теории дифракции электромагнитных волн на многослой-
ных не идеально проводящих структурах. Одним из эффективных способов решения крае-
вых задач для стационарных уравнений Максвелла, которые в 2D случае приводят к крае-
вым задачам для уравнения Гельмгольца, является метод параметрических представлений
интегральных операторов [1–4]. В результате применения этого метода исходные краевые
задачи сводятся к системам граничных сингулярных интегральных уравнений (СИУ). Для
последующего численного решения этих уравнений используется одна из модификаций ме-
тода дискретных особенностей (МДО) [5, 6]. Применение такого подхода позволило по-
строить математические модели разнообразных электродинамических структур и провести
численный эксперимент на их основе [6–8]. Многослойные решетки, благодаря специально-
му подбору соотношений между размерами элементов структуры, позволяют получать поля
с необходимыми физическими характеристиками. Таким образом, построение математи-
ческих моделей процессов рассеяния электромагнитных волн на многослойных структурах
является актуальной задачей.
В работе предложен метод сведения краевых задач, к которым приводят задачи рас-
сеяния поляризованных волн на экранированной плоскопараллельной конечной системе не
идеально проводящих (импедансных) лент, к граничным сингулярным интегральным урав-
нениям.
Пусть декартова система координат выбрана так, что ребра лент параллельны оси OX
и электромагнитные поля не зависят от координаты x.
Пусть S =
N⋃
q=0
Sq — множество точек в R2, координаты которых соответствуют коор-
динатам y и z точек пространства, полученных при пересечении структуры плоскостью
Y OZ. Здесь
Sq =
{
(y, z) ∈ R2
+ | z = zq > 0, y ∈
Mq⋃
p=1
[αq,p, βq,p]
}
, q = 1, . . . , N, — (1)
© Ю. В. Гандель, В. Д. Душкин, 2014
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
Рис. 1. Сечение электродинамической структуры плоскостью Y OZ
система непересекающихся отрезков, лежащих на прямой z = zq, а S0 — прямая z = z0 = 0,
совпадающая с осью OY .
Пусть из бесконечности сверху на структуру наклонно падает H-поляризованная плос-
кая электромагнитная волна:
Hx(y, z) = exp(ik(y sinφ− z cosφ)), k = ωc−1. (2)
Необходимо найти полное поле u(y, z), которое возникло в результате рассеяния падаю-
щей волны на структуре. Оно является решением уравнения Гельмгольца:
∆u+ k2u = 0, (3)
в области Ω = R2
+\S, которая представляет верхнюю полуплоскость без системы отрезков S.
Решение удовлетворяет третьим граничным условиям [8]:
∂u
∂n
− hu
∣∣∣∣
(y,z)∈∂Ω
= 0, (4)
разность полного и падающего полей удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда
и условию конечности энергии в любой ограниченной области в R2
+. Отметим, что в слу-
чае E-поляризации задача для единственной отличной от нуля компоненты электрического
поля Ex(y, z) ставится аналогично.
Введем в рассмотрение функцию
u∗(y, z) = exp(ik(y sinφ− z cosφ)) + ik + h
ik − h exp(ik(y sinφ+ z cosφ)), (5)
которая удовлетворяет граничным условиям вида (4).
Определим области
Ωq = {(y, z) | zq < z < zq+1}, q = 0, . . . , N, zN+1 = +∞. (6)
Сужение полного поля u(y, z) на области Ωq ищем в виде
u(y, z) = u∗(y, z) + uq(y, z), (y, z) ∈ Ωq, q = 0, . . . , N, (7)
где
uq(y, z) =
∞∫
−∞
(C+
q (λ)eγ(λ)(zq−z) + C−
q (λ)e
γ(λ)(z−zq+1))eiλydλ, (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 15
γ(λ) =
√
λ2 − k2, Re(γ(λ)) > 0, Im(γ(λ)) 6 0, C−
N (λ) = 0, (9)
C+
0 (λ) =M(λ) exp(−γ(λ)d0,1)C−
0 (λ), M(λ) =
γ(λ)− h
γ(λ) + h
, λ ∈ R, (10)
и ds,q = |zs − zq|, s = 0, . . . , N , q = 0, . . . , N .
Также введем в рассмотрение функции
Fq(y) =
∞∫
−∞
iλΛq(λ)e
iλydλ, Gq(y) =
∞∫
−∞
γ(λ)Ψq(λ)e
iλydλ, (11)
Ψq(λ) = −C+
q (λ) + C−
q (λ)e
−γ(λ)dq,q+1 +C+
q−1(λ)e
−γ(λ)dq−1,q −C−
q−1(λ), (12)
Λq(λ) = C+
q (λ) + C−
q (λ)e−γ(λ)dq,q+1 − C+
q−1(λ)e
−γ(λ)dq−1,q − C−
q−1(λ), q = 1, . . . , N. (13)
Из непрерывности поля и его производных вне лент следуют равенства
Fq(y) = Gq(y) = 0, y /∈ Lq; (uq − uq−1)
∣∣
z=zq
=
y∫
αq,1
Fq(η) dη, y ∈ Lq, (14)
βq,s∫
αq,s
Fq(η) dη = 0, s = 1, . . . ,Mq, q = 1, . . . , N, (15)
где Lq =
Mq⋃
p=1
(αq,p, βq,p).
Применяя к функциям Fq(y) и Gq(y) преобразование Фурье, получаем интегральные
представления для функций λΛq(λ) и γ(λ)Ψq(λ):
λΛq(λ) =
−i
2π
∞∫
−∞
Fq(η)e
−iληdη, γ(λ)Ψq(λ) =
1
2π
∞∫
−∞
Gq(η)e
−iληdη, q = 1, . . . , N. (16)
Из (11) и свойств параметрического представления преобразования Гильберта [1–3] по-
лучаем
1
π
∫
Lq
Fq(y)dt
t− y = −
∞∫
−∞
|λ|Λq(λ)e
iλtdλ. (17)
Граничные условия (4) и (11)–(15) приводят к соотношениям
Gq(y)− h
y∫
−∞
Fq(η) dη − 2huq−1(y, zq) = 2hu∗q(y, zq), y ∈ Lq; (18)
(
∂uq
∂z
+
∂uq−1
∂z
)
(y, zq)− h
y∫
−∞
Fq(η) dη = −2
∂u∗q
∂z
(y, zq), y ∈ Lq, q = 1, . . . , N. (19)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
Используя (8) и (16), получаем
(
∂uq
∂z
+
∂uq−1
∂z
)
(y, zq) = −
∞∫
−∞
|λ|Λq(λ)e
iλydλ−
∞∫
−∞
(γ(λ)− |λ|)Λq(λ)e
iλydλ+
+ 2
∞∫
−∞
γ(λ)(C−
q (λ)e−γ(λ)dq,q+1 − C+
q−1(λ)e
−γ(λ)dq−1,q )eiλydλ, (20)
uq−1(y, zq) =
∞∫
−∞
(C+
q−1(λ)e
−γ(λ)dq−1,q + C−
q−1(λ))e
iλydλ, q = 1, . . . , N. (21)
Из непрерывности поля и его производных в Ω вытекает
C−
q−1(λ) = −
1
2
N∑
l=q
(Λl(λ) + Ψl(λ))e
−γ(λ)dq,l , (22)
C+
q (λ) = −
M(λ)e−γ(λ)d0,q
2
N∑
l=1
(Λl(λ) + Ψl(λ))e
−γ(λ)d0,l +
+
1
2
q∑
s=1
(Λs(λ)−Ψs(λ))e
−γ(λ)ds,q , q = 1, . . . , N. (23)
Из соотношений (16) и (22), (23) следует, что функция uq−1(y, zq) и второе и третье
слагаемое в правой части формулы (20) представимы в виде интегралов, содержащих неиз-
вестные функции Fq(y) и Gq(y). Из этого и соотношений (17)–(21), получаем, что функции
Fq(y) и Gq(y) являются решениями системы граничных интегральных уравнений:
Gq(y)− h
y∫
αq,1
Fq(η) dη +
N∑
s=1
1
π
∫
Lq
K1,q,s(η − y)Fs(η) dη +
+
N∑
s=1
1
π
∫
Lq
K2,q,s(η − y)Gs(η) dη = 2hu∗q(y, zq), y ∈ Lq; (24)
1
π
∫
Lq
Fq(η)dη
η − y − h
y∫
αq,1
Fq(η) dη +
N∑
s=1
1
π
∫
Lq
K3,q,s(η − y)Fs(η) dη +
+
N∑
s=1
1
π
∫
Lq
K4,q,s(η − y)Gs(η) dη = −2
∂u∗q
∂z
(y, zq), y ∈ Lq, q = 1, . . . , N, (25)
с дополнительными условиями
βq,s∫
αq,s
Fq(η) dη = 0, s = 1, . . . ,Mq, q = 1, . . . , N. (26)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 17
В уравнениях (24), (25)
K1,q,s(z) = h
∞∫
0
(
sign(q − s) + δq,s
eγ(λ)ds,q
+
M(λ)
eγ(λ)(d0,q+d0,s)
)
sin(λz)
λ
dλ, (27)
K2,q,s(z) = h
∞∫
0
(
1
eγ(λ)ds,q
+
M(λ)
eγ(λ)(d0,q+d0,s)
)
cos(λz)
γ(λ)
dλ, (28)
K3,q,s(z) = −δq,s
∞∫
0
(γ(λ)− λ)sin(λz)
λ
dλ+
+
∞∫
0
γ(λ)
(
δs,q − 1
eγ(λ)ds,q
+
M(λ)
eγ(λ)(d0,q+d0,s)
)
sin(λz)
λ
dλ, (29)
K4,q,s(z) =
∞∫
0
(
sign(s− q)
eγ(λ)ds,q
+
M(λ)
eγ(λ)(d0,q+d0,s)
)
cos(λz)dλ. (30)
Полученная система граничных интегральных уравнений (24), (25) с дополнительными
условиями (26) эквивалентна исходной краевой задаче. Она состоит из сингулярных интег-
ральных уравнений и интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Через ее решения
выражаются основные электродинамические характеристики рассеянных полей.
Численное решение системы интегральных уравнений (24)–(26) строится с помощью
вычислительных схем метода дискретных особенностей [4, 5].
1. Akhiezer N. I. Lectures on integral transforms. – Providence: Amer. Math. Soc., 1988. – 108 p.
2. Гандель Ю.В. Параметрические представления сингулярных интегральных преобразований и крае-
вые задачи математической физики // Нелинейные краевые задачи математической физики и их
приложения. – Киев: Институт математики НАН Украины, 1995. – С. 65–66.
3. Gandel’ Yu. V. Parametric representations of integral and pseudodifferential operators in diffraction prob-
lems // Proc. of the 10th Intern. conf. on Math. Methods in Electromagnetic Theory, Dnepropetrovsk,
Ukraine, Sept. 14–17. – Dnepropetrovsk, 2004. – P. 57–62.
4. Gandel’ Yu.V. Boundary-value problems for the Helmholtz equation and their discrete mathematical
models // J. Math. Sci. – 2010. – 171, No 1. – P. 74–88.
5. Lifanov I.K. Singular integral equations and discrete vortices. – Utrecht; Tokyo: VSP, 1996. – 475 p.
6. Гандель Ю.В., Душкин В.Д. Математические модели двумерных задач дифракции: Сингулярные
интегральные уравнения и численные методы дискретных особенностей. – Харьков: Акад. ВВ МВД
Украины, 2012. – 544 с.
7. Nesvit K.V. Discrete mathematical model of diffraction on pre-Cantor set of slits in impedance plane and
numerical experiment // Int. J. Math. Models and Meth. Appl. Sci. – 2013. – 7, No 11. – P. 897–906.
8. Гандель Ю.В., Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И. Рассеяние электромагнитных волн тонкой сверх-
проводящей лентой // Докл. АН. – 1996. – 351, № 4. – С. 57–63.
Поступило в редакцию 03.03.2014Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
Ю.В. Гандель, В.Д. Душкiн
Граничнi iнтегральнi рiвняння третьої крайової задачi для рiвняння
Гельмгольца в R2
+
з плоскопаралельними розрiзами
За допомогою методу параметричних зображень iнтегральних операторiв виведенi систе-
ми граничних iнтегральних рiвнянь третiх зовнiшнiх крайових задач для рiвняння Гельм-
гольца, до яких призводять задачi розсiювання поляризованих електромагнiтних хвиль на
екранованiй плоскопаралельнiй кiнцевiй системi iмпедансних стрiчок.
Yu.V. Gandel’, V. D. Dushkin
Boundary integral equations of the third boundary-value problem for
the Helmholtz equation in R2
+
with plane-parallel slits
Тhе systems of boundary integral equations of the third boundary-value problems for the Helmholtz
equation have been obtained by the method of the parametric representations of integral operators.
These boundary-value problems arise at the scattering of polarized electromagnetic waves on a
shielded multilayer parallel finite system of impedance tapes.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 19
|