Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса
Сформулирована комплексная задача совместной оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя (ТРН) сверхлегкого класса как задача теории оптимального управления. Приведены элементы математической модели ТРН, позволившие свести задачу теории оптимального управле...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2012
|
| Назва видання: | Техническая механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88306 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса / В.С. Сенькин // Техническая механика. — 2012. — № 2. — С. 106-121. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88306 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-883062015-11-12T03:02:42Z Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса Сенькин, В.С. Сформулирована комплексная задача совместной оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя (ТРН) сверхлегкого класса как задача теории оптимального управления. Приведены элементы математической модели ТРН, позволившие свести задачу теории оптимального управления к задаче нелинейного математического программирования с ограничениями в виде равенств, неравенств и дифференциальных связей. В состав оптимизируемых параметров ТРН введены геометрические параметры, характеризующие начальные конфигурации зарядов маршевых РДТТ, что позволило в результате решения задачи внутренней баллистики сформировать программы изменения во времени тяговых и расходных характеристик маршевых РДТТ и осуществлять их оптимизацию при выборе проектных параметров ТРН на начальном этапе проектирования Сформульовано комплексну задачу спільної оптимізації проектних параметрів і програм управління твердопаливної ракети-носія (ТРН) надлегкого класу як задачу теорії оптимального управління. Приведені елементи математичної моделі ТРН, які дозволили звести задачу теорії оптимального управління до задачі нелінійного математичного програмування з обмеженнями у вигляді рівнянь, нерівностей і диференціаль-них зв'язків. До складу параметрів ТРН, що оптимізуються, введені геометричні параметри, які характеризують початкові конфігурації зарядів маршових РДТП, що дозволило в результаті розв’язання задачі внутрішньої балістики сформувати програми зміни в часі тягових і витратних характеристик маршових РДТП і здійснювати їхню оптимізацію при виборі проектних параметрів ТРН на початковому етапі проектування. The complex problem of the simultaneous optimization of the design parameters and control programs of the superlight solid launch vehicle is formulated as an optimal control theory problem. The components of the mathematical model of the solid launch vehicle are reported enabling the optimal control theory problem to be reduced to the nonlinear mathematical programming problem with constraints in the form of equalities, inequalities and differential constraints. The optimized parameters of the solid launch vehicle include the geometrical parameters characterizing the initial configurations of the cruise solid-propellant rocket engine charges with the resulting compliance and optimization of programs of time variations in the thrust and flow-rate characteristics of the cruise solid-propellant rocket engine when solving the internal ballistics problem and choosing the design parameters at the initial design stage. 2012 Article Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса / В.С. Сенькин // Техническая механика. — 2012. — № 2. — С. 106-121. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88306 629.13 ru Техническая механика Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Сформулирована комплексная задача совместной оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя (ТРН) сверхлегкого класса как задача теории оптимального управления. Приведены элементы математической модели ТРН, позволившие свести задачу теории оптимального управления к задаче нелинейного математического программирования с ограничениями в виде равенств, неравенств и дифференциальных связей. В состав оптимизируемых параметров ТРН введены геометрические параметры, характеризующие начальные конфигурации зарядов маршевых РДТТ, что позволило в результате решения задачи внутренней баллистики сформировать программы изменения во времени тяговых и расходных характеристик маршевых РДТТ и осуществлять их оптимизацию при выборе проектных параметров ТРН на начальном этапе проектирования |
| format |
Article |
| author |
Сенькин, В.С. |
| spellingShingle |
Сенькин, В.С. Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса Техническая механика |
| author_facet |
Сенькин, В.С. |
| author_sort |
Сенькин, В.С. |
| title |
Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса |
| title_short |
Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса |
| title_full |
Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса |
| title_fullStr |
Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса |
| title_full_unstemmed |
Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса |
| title_sort |
комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88306 |
| citation_txt |
Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердотопливной ракеты-носителя сверхлегкого класса / В.С. Сенькин // Техническая механика. — 2012. — № 2. — С. 106-121. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Техническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT senʹkinvs kompleksnaâzadačaoptimizaciiproektnyhparametroviprogrammupravleniâtverdotoplivnojraketynositelâsverhlegkogoklassa |
| first_indexed |
2025-07-06T16:04:01Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:04:01Z |
| _version_ |
1836914145560100864 |
| fulltext |
УДК 629.13
В.С. СЕНЬКИН
КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ И
ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ ТВЕРДОТОПЛИВНОЙ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ
СВЕРХЛЕГКОГО КЛАССА
Сформулирована комплексная задача совместной оптимизации проектных параметров и программ
управления твердотопливной ракеты-носителя (ТРН) сверхлегкого класса как задача теории оптимального
управления. Приведены элементы математической модели ТРН, позволившие свести задачу теории опти-
мального управления к задаче нелинейного математического программирования с ограничениями в виде
равенств, неравенств и дифференциальных связей. В состав оптимизируемых параметров ТРН введены
геометрические параметры, характеризующие начальные конфигурации зарядов маршевых РДТТ, что
позволило в результате решения задачи внутренней баллистики сформировать программы изменения во
времени тяговых и расходных характеристик маршевых РДТТ и осуществлять их оптимизацию при выборе
проектных параметров ТРН на начальном этапе проектирования
Сформульовано комплексну задачу спільної оптимізації проектних параметрів і програм управління
твердопаливної ракети-носія (ТРН) надлегкого класу як задачу теорії оптимального управління. Приведені
елементи математичної моделі ТРН, які дозволили звести задачу теорії оптимального управління до задачі
нелінійного математичного програмування з обмеженнями у вигляді рівнянь, нерівностей і диференціаль-
них зв'язків. До складу параметрів ТРН, що оптимізуються, введені геометричні параметри, які характери-
зують початкові конфігурації зарядів маршових РДТП, що дозволило в результаті розв’язання задачі внут-
рішньої балістики сформувати програми зміни в часі тягових і витратних характеристик маршових РДТП і
здійснювати їхню оптимізацію при виборі проектних параметрів ТРН на початковому етапі проектування.
The complex problem of the simultaneous optimization of the design parameters and control programs of the
superlight solid launch vehicle is formulated as an optimal control theory problem. The components of the
mathematical model of the solid launch vehicle are reported enabling the optimal control theory problem to be
reduced to the nonlinear mathematical programming problem with constraints in the form of equalities, inequalities
and differential constraints. The optimized parameters of the solid launch vehicle include the geometrical
parameters characterizing the initial configurations of the cruise solid-propellant rocket engine charges with the
resulting compliance and optimization of programs of time variations in the thrust and flow-rate characteristics of
the cruise solid-propellant rocket engine when solving the internal ballistics problem and choosing the design
parameters at the initial design stage.
Введение. Разработка и создание ракет-носителей сверхлегкого класса
является одной из актуальных задач современной космонавтики. Это обу-
словлено необходимостью оперативного выведения в околоземное простран-
ство малоразмерных космических аппаратов (МКА) массой от 1 кг до 50 кг [1
– 3] как коммерческого, так и двойного назначения. Для выполнения такого
рода транспортных операций может быть целесообразным использование
твердотопливных ракет-носителей (ТРН) сверхлегкого класса, время подго-
товки которых к пуску существенно меньше ракет-носителей (РН), работаю-
щих на жидких компонентах ракетного топлива (КРТ).
Постановка задачи. Формализация задачи оптимизации проектных па-
раметров и программ управления ТРН имеет ряд отличий от формализации
аналогичной задачи [4] для жидкостных РН. Основное из них заключается в
том, что для жидкостных РН требуемая программа изменения тяги маршевых
двигателей в полете может быть обеспечена соответствующей регулировкой
секундного расхода продуктов сгорания КРТ. Регулировка же тяги маршевых
ракетных двигателей твердого топлива (РДТТ) технически трудно реализуе-
ма, а программа изменения тяги и секундного расхода продуктов сгорания во
времени в этом случае определяется начальной конфигурацией заряда и ха-
рактеристиками твердого ракетного топлива (ТРТ). Это приводит к необхо-
димости осуществлять оптимизацию проектных параметров и программ
управления движением ТРН совместно с геометрическими параметрами, ха-
В.С. Сенькин, 2012
Техн. механика. – 2012. – № 2.
106
рактеризующими начальные конфигурации зарядов (далее – геометрически-
ми параметрами зарядов) маршевых РДТТ.
Комплексная задача совместной оптимизации проектных параметров
ТРН, программ управления и геометрических параметров зарядов маршевых
РДТТ сформулирована как задача теории оптимального управления с ограни-
чениями в виде равенств, неравенств и дифференциальных связей.
В качестве исходной информации (вектор x ) предполагаются известны-
ми: данные, определяющие целевую задачу; ограничения на траекторию по-
лета, габаритно-массовые характеристики ТРН в целом, отдельных подсистем
и элементов; коэффициенты безопасности, используемые при проведении
прочностных расчетов; физико-механические и химические характеристики
используемых материалов и ТРТ; неучтенные массы элементов, подсистем
ТРН и др.
В качестве оптимизируемых параметров и программ управления далее
рассматриваются:
– структурные параметры (вектор c ), определяющие облик, конструк-
тивно-компоновочную и аэродинамическую схемы ТРН;
– основные проектные параметры (вектор p ), определяющие основные
габаритно-массовые и энергетические характеристики ТРН;
– геометрические параметры, характеризующие начальные конфигура-
ции зарядов маршевых РДТТ (вектор a );
– вектор управления u , компонентами которого в рассматриваемой за-
даче являются программы изменения во времени угла тангажа )(tnp ,
тяговых ) и расходных ) характеристик маршевых РДТТ
-х ступеней ТРН.
(tP inp (tm ic
i
Компонентами вектора структурных параметров c являются: параметры,
определяющие типы зарядов маршевых РДТТ; типы ТРТ; типы материалов,
используемых в элементах конструкции ТРН; параметры, задающие аэроди-
намическую, конструктивно-компоновочную схемы ТРН и т.п.
Компонентами вектора основных проектных параметров p являются:
коэффициенты начальных тяговооруженностей ступеней РН cpi ni ,, 1 , где
– количество ступеней ТРН; относительные конечные массы ступеней РН cn
)(,, 11 ki cni ; давления в камерах сгорания маршевых РДТТ
ckip ni ,, 1 ; диаметры срезов сопел cai niD ,, 1 ; углы полураствора на
срезах сопел cai ni ,, 1 ; степени утопленности сопловых блоков в камеры
сгорания ci ni ,, 1 . Проектный параметр (относительная конечная масса
последней ступени ТРН
cnk
) определяется из условия обеспечения задан-
ных значений кинематических параметров движения в конце активного уча-
стка траектории (АУТ).
Коэффициенты начальных тяговооруженностей ступеней РН pi и отно-
сительные конечные массы ступеней РН ki определяются известными соот-
ношениями [4]:
i
ki
ki
i
i
pi m
m
P
gm
00
00
; ,
107
где – соответственно стартовая и конечная массы -й ступени ТРН;
– ускорение свободного падения у поверхности Земли; – начальное
значение тяги в пустоте маршевого РДТТ после выхода последнего на основ-
ной режим работы.
kii mm ,0 i
0g iP0
Компонентами вектора a , как уже было отмечено выше, являются гео-
метрические параметры зарядов маршевых РДТТ.
Значения оптимизируемых параметров ТРН (векторов c , p , a ) и про-
граммы управления u выбираются из условия обеспечения максимального
значения целевого функционала, в качестве которого рассматривается масса
полезного груза (как один из наиболее емких критериев, характеризую-
щих ТРН) при соблюдении ограничений, которые накладываются на области
изменения векторов
Cгm
c , p , a , u конструктивно-технологическими требова-
ниями, условиями полета, условиями прочности, габаритными размерами,
условиями работоспособности и эксплуатации маршевых РДТТ. Связь векто-
ров c , p , a , u с целевым функционалом осуществляется с помощью мате-
матической модели ТРН.
Комплексная задача совместной оптимизации программ управления,
проектных параметров ТРН и геометрических параметров зарядов маршевых
РДТТ формулируется следующим образом. Необходимо определить значения
векторов c , p , a , u , обеспечивающих максимальное значение целевого
функционала
uap“
Cг xuapcmxuapcI
,,,
),,,,(max),,,,(
при ограничениях:
- на области изменения оптимизируемых параметров и исходных данных
kkssmmnn XXxAAaPPpCCc
~
,
~
,
~
,
~
;
- на траекторию полета ТРН
2!
!=ƒд!=ƒд
mp2!
"е!2"е!2 QQQQHH ,, maxmax ,
),,,,,( apcxuyf
dt
yd
,
bb YYy
~
, rr UUu
~
,
- на внутрибаллистические характеристики маршевых РДТТ
xapcwg
dt
wd
,,,, ,
hh WWw
~
,
- на габаритные размеры ТРН
д%C
pp lapcxl ),,,( , c
д%C
ppi niDapcxD ,,),,,( 1 .
Здесь nicc i ,, 1 – вектор структурных параметров, являющийся
элементом дискретного векторного пространства ; nC kixx i ,,)( 1 ,
mipp i ,,)( 1 , sjaa j ,,)( 1 – векторы исходных данных, основных
проектных параметров ТРН и геометрических параметров зарядов маршевых
РДТТ, являющиеся элементами векторных пространств ,kX mP , sA , соот-
108
ветственно; smn APC
~
,
~
,
~
, – замкнутые области в векторных пространствах
, ,
kX
~
nC mP sA , , в которых могут принимать значения векторы kX c , p , a ,
x ; biyy ( i ), ,1 , rjuj(u ,), 1 – соответственно вектор фазовых коор-
динат, определяющий положение ТРН в пространстве, и вектор управления,
являющиеся элементами векторных пространств и ; , – замкну-
тые области в векторных пространствах , , в которых могут принимать
значения векторы
bY rU bY
~ rU
~
bY rU
y , u ; w – вектор, изменение во времени которого опреде-
ляет внутрибаллистические характеристики маршевых РДТТ (давления в ка-
мерах сгорания p xactik ,,,,p , свободные объемы в камерах сгорания
xc“" ,,, ap ,tiV , поверхности горения xapcti ,,,,S , cni ,1 );
– замкнутая область в векторном пространстве , в которой может
принимать значения вектор
hW
~ hW
w ; д%
pl), C
p apcx ,,,(l – расчетная и максимально
допустимая длины ТРН, соответственно; c
д%
p nDapcx ,),,,,( 1
)
C i,piD –
расчетные и максимально допустимые диаметры ТРН по ступеням.
Математическая модель ТРН представляется в виде оператора
(
~
ZRF
с областью определения на множестве и
областью значений на множестве , сопоставляющего каждому элементу
множества
hmn WAPCZ
~~~~
rs U
~
kX
~
F
Zwuapz ),,,( cx ,, множество выходных характеристик ТРН
FF
~
.
Структура математической модели, последовательность расчета целевого
функционала при оптимизации проектных параметров и программ управле-
ния ТРН приведена на рис. 1, где использована следующая аббревиатура: СБ
– сопловой блок; ПО, ХО – соответственно переходный и хвостовой отсеки;
ГО головной обтекатель; ГМХ – габаритно-массовые характеристики.
Метод решения. Как отмечалось выше, оптимизируемые параметры в
комплексной задаче совместной оптимизации могут принимать как дискрет-
ные (вектор c ), так и непрерывные (векторы ap, ) значения, поэтому осно-
вой для разработки метода решения комплексной задачи, является декомпо-
зиция последней на две частные задачи:
– выбор вектора структурных параметров c , характеризующего облик
ТРН, ее аэродинамическую и конструктивно-компоновочную схемы
(задача 1);
– совместная оптимизация векторов p , a и программ управления дви-
жением t для выбранного облика ТРН (задача 2). u
Решение комплексной задачи может быть получено на основе взаимоувя-
занного решения двух частных задач, когда результаты решения одной из за-
дач являются исходными данными для решения другой задачи.
При таком подходе, в том случае, когда рассматриваемое количество аль-
тернативных вариантов ТРН невелико, для решения первой частной задачи
целесообразно использование метода полного перебора из ограниченного
множества альтернативных вариантов.
109
Исходная информация
Для решения второй частной задачи могут быть применены методы тео-
рии оптимального управления [5 – 8]. Однако следует отметить, что их ис-
пользование наталкивается на трудности, связанные с формулировкой усло-
вий применения, наличием ограничений, сложностью математической моде-
ли, а также с проблемой решения краевой задачи для каждого из рассматри-
ваемых альтернативных вариантов ТРН. Перечисленные факторы затрудняют
внедрение этих методов в практику оптимального проектирования ракет-
носителей. Для преодоления этих трудностей предлагается подход, позво-
ляющий свести задачу теории оптимального управления к задаче нелинейно-
го математического программирования с ограничениями в виде равенств, не-
равенств и дифференциальных связей [4, 9 – 12]. В этом случае программа
управления движением ТРН (программа изменения угла тангажа ) за-
дается в заданном классе функций, в частности в виде полиномов, часть ко-
эффициентов которых определяется с использованием исходных данных, те-
кущих значений основных проектных параметров и фазовых координат, а
остальные коэффициенты оптимизируются совместно с основными проект-
ными параметрами ТРН [4, 12]. Программы же изменения величин вектора
тяги маршевых РДТТ
)(tnp
),()( atPtP inpinp и массового секундного расхода
продуктов сгорания ТРТ atmm cc , определяются, как указывалось ранее,
начальной конфигурацией заряда ТРТ (вектором a ), который в рассматри-
ваемой задаче оптимизируются совместно с проектными параметрами ТБР.
При этом программы ),()( atPtP inpinp и atmm cc , для текущего зна-
Вектор c Вектор p Векторa Вектор x
Подготовка данных для расчетов
Геометрия и энергетика СБ
маршевого РДТТ
Тяга маршевого РДТТ Стартовая масса
i-й ступени ТРН i-й ступени ТРН
Полный запас топлива
i-й ступени ТРН
Геометрия заряда и корпуса
маршевого РДТТ
Распределение топлива в
корпусе РДТТ
Диаграммы тяги и расхода
маршевого РДТТ
Прочность корпуса маршево-
го РДТТ
Массовые характеристики
маршевого РДТТ
Геометрия и прочность
ПО и ХО
Массовые характеристики
ПО и ХО
Масса i-й ступени
ТРН
Масса (i+1)-й ступени
ТРН
Геометрические и массовые
характеристики ГО
Аэродинамические характе-
ристики ТРН
Баллистические характери-
стики ТРН
ГМХ последней ступени
ТРН
Масса
полезного груза
Рис. 1
110
чения вектора a определяются перед задачей расчета баллистических харак-
теристик ТРН, что дает возможность для каждого альтернативного варианта
ТБР и типовых форм зарядов маршевых РДТТ оптимальным образом подби-
рать тяги маршевых РДТТ, решая менее трудоемкую задачу нелинейного ма-
тематического программирования, в отличие от задачи теории оптимального
управления.
При таком подходе задача нелинейного математического программиро-
вания может быть успешно решена методами детерминированного или слу-
чайного поиска [13]. Следует также отметить, что в процессе оптимизации в
области, подозрительной на экстремум, целесообразно использование пара-
болической аппроксимации сечения функциональной поверхности в направ-
лении поиска и определение оптимальных на данном шаге оптимизации зна-
чений проектных параметров из условия максимума (минимума) аппрокси-
мирующей функции [4].
Элементы математической модели. Задача совместной оптимизации
векторов p , a и программ управления движением tu (задача 2) рассмат-
ривается для выбранного облика ТРН (одного из возможных альтернативных
вариантов), когда заданы:
– состав и значения структурных параметров (вектор c ), определяющих
облик ТРН, ее аэродинамическую и конструктивно-компоновочную схемы, а
также множество элементов и подсистем, из которых сформирован альтерна-
тивный вариант ТРН;
– перечень основных проектных параметров (вектор p ), позволяющих
для текущего значения вектора p с использованием математической модели
определять значение целевого функционала и основные характеристики ТРН;
– перечень параметров (вектор a ), характеризующих начальные конфи-
гурации зарядов ТРТ и определяющих для текущего значения вектора a за-
коны изменения во времени поверхности горения ТРТ, тяговых и расходных
характеристик маршевых РДТТ;
– исходные данные (вектор x ), включающие информацию о выполняе-
мой целевой задаче, ограничения на траекторию полета, характеристики ис-
пользуемых ТРТ, конструкционных, эрозионно-стойких, теплозащитных и
других материалов, условия применения и т.п.
В процессе решения задачи необходимо для различных значений векто-
ров p , a сформировать программы управления движением ТРН, которые
включают программу изменения угла тангажа )(tnp и программы измене-
ния тяговых atP , и расходных atmc , характеристик маршевых РДТТ во
времени.
Используемые при проектировании математические модели объектов ра-
кетно-космической техники с двигательными установками на ТРТ достаточно
широко освещены в технической литературе [9, 10, 15 – 17]. Далее рассмот-
рены элементы математической модели ТРН, которые дали возможность све-
сти задачу теории оптимального управления к задаче нелинейного математи-
ческого программирования.
Выбор программы управления углом тангажа. Система уравнений
движения центра масс РН различного назначения, которая используется при
решении совместной оптимизации векторов p a и программ управления
движением tu , приведена в [4,14]. При этом программа управления углом
111
тангажа ) (одна из компонент вектора управления (tnp u ) определяется с
учетом следующих условий и ограничений.
Траектория движения (схема полета ТРН) на АУТ по виду программы
управления ) разделена на несколько участков: (np t
– участок вертикального движения;
– участок разворота;
– участок интенсивного аэродинамического и теплового воздействия, на
котором осуществляется движение ТРН с нулевым углом атаки ;
– участок движения с фиксированным углом тангажа ; f
– участок движения с линейным изменением во времени угла тангажа;
– пассивный участок движения по переходной орбите, если он преду-
смотрен схемой выведения МКА;
– участок доразгона МКА в апогее переходной орбиты при выведении на
круговую орбиту.
На участке вертикального движения )(tnp имеет следующий вид
)(tnp const
2
.
На участке разворота )(tnp задается кубической параболой
,
3
0i
i
inp tAt)(
коэффициенты которой определяются в результате решения системы линей-
ных (относительно коэффициентов 31,, iAi ) уравнений [4]
,
)cos()(
;
;
V
Hg
tAi
AtA
AtA
i
i
pi
i
i
pi
i
i
"i
3
1
1
00
3
1
0
3
1 2
(1)
где и – соответственно времена окончания вертикального участка дви-
жения и участка разворота; – ускорение свободного падения на высо-
те в конце участка разворота ТРН;
"t
H
pt
)(Hg
– угол наклона вектора скорости к
местному горизонту; – скорость движения ТРН в конце участка разворота. V
Коэффициент , входящий в правые части системы (1), определяется
из условия обеспечения нулевого угла атаки в конце участка разворота при
скорости движения ТРН , близкой к скорости звука. Значение угла тангажа
находится из условия обеспечения требуемой высоты круговой орбиты
или высоты перигея переходной орбиты, если она предусмотрена
условиями выведения МКА.
0A
V
0
*!H neH
112
Значения параметров движения и HV , определяются в результате
численного интегрирования уравнений движения.
После участка разворота, в зоне интенсивного аэродинамического и теп-
лового воздействия, осуществляется движение ТРН с нулевым углом атаки и
программа изменения угла тангажа ) имеет вид [4,12] (tnp
).()( ttnp
Предполагается, что зона интенсивного аэродинамического воздействия
заканчивается, когда текущее значение скоростного напора
2
2VH
q
)(
становится равным %% 105 от значения максимального, скоростного на-
пора, действующего на ТРН при движении по заданной траектории.
После участка интенсивного аэродинамического и теплового воздействия
осуществляется движение с фиксированным углом тангажа f до окончания
работы РДТТ первой ступени ТРН
fnp t)( const.
Последующее движение ТРН после отделения первой ступени осуществ-
ляется по следующей программе
tt fnp )( ,
где параметр программы (угловая скорость разворота ТРН) подбирается
исходя из условия выполнения конкретной целевой задачи: выведения ТРН
на круговую орбиту или, если предусмотрен пассивный участок выведения
МКА, на перигей переходной орбиты. В последнем варианте в апогее пере-
ходной орбиты осуществляется включение апогейного двигателя, а ориента-
ция и управление МКА осуществляются таким образом, чтобы радиальная
составляющая ускорения МКА равнялась нулю [11]
DU
KA
np P
m
r
V
r
t
2
arcsin)( ,
где – угол между направлением вектора тяги апогейного двигателя и
трансверсальной составляющей вектора скорости ; – значение тяги
апогейного двигателя; – радиус-вектор, соединяющий центр притяжения
Земли с центром масс МКА; – гравитационная постоянная Земли; –
текущая масса МКА.
np
V DUP
r
KAm
Выбор программы изменения тяговых и расходных характеристик
маршевых РДТТ. Как указывалось выше, тяговые atP , и расходные
atmc , характеристики маршевых РДТТ зависят от значений геометриче-
ских параметров, характеризующих начальную конфигурацию заряда ТРТ.
Именно эти параметры определяют характер изменения геометрических ха-
рактеристик заряда и, соответственно, тяговых и расходных характеристик
маршевого РДТТ во времени. Под геометрическими характеристиками заряда
113
далее понимаются законы изменения поверхности горения твердого топлива
ateSS , и внутреннего, свободного объема ateVV “"“" , камеры
сгорания в зависимости от толщины сгоревшего свода e .
Сила тяги маршевого РДТТ atP , и удельный импульс тяги в
пустоте, а также массовый секундный расход продуктов сгорания
C3“2
3дI
atmc ,
рассчитываются по известным соотношениям [16, 17]:
atmIatP c
C3“2
3д ,, ;
a
1
aг
C3“2
3д TR
k
k
I
1
2
2
1
; (2)
г
krk
nc
TR
Ftp
Aatm
, ,
где – показатель изоэнтропы расширения продуктов сгорания ТРТ в со-
пловом блоке; – соответственно газовая постоянная продуктов сгора-
ния и температура горения ТРТ;
k
гTR,
– коэффициент теплопотерь в камере сго-
рания; – приведенная скорость в выходном сечении сопла. – давле-
ние торможения на входе в сопло; – площадь критического сечения со-
пла.
a tpk
krF
Коэффициент , входящий в (2), определяется по зависимости nA
1
1
1
2
k
k
n k
kA .
Как видно из (2), изменение силы тяги маршевого РДТТ во времени
atP , определяется характером изменения давления в камере сгора-
ния, которое может быть получено в результате решения задачи внутренней
баллистики РДТТ. Согласно работам [16,17], при функционировании РДТТ
наблюдаются четыре явно выраженных периода: автономное горение вос-
пламенителя; совместное горение воспламенителя и ТРТ; стабилизация дав-
ления в камере РДТТ; период «последействия» после сгорания ТРТ. Продол-
жительность периода «последействия» равна времени истечения продуктов
сгорания ТРТ из камеры сгорания в окружающую среду.
tkp
На начальном этапе проектирования ТБР с достаточной для проектных
исследований точностью задача внутренней баллистики может быть решена в
нульмерной постановке [17] при использовании гипотезы осреднения пара-
метров состояния продуктов сгорания в камере двигателя. При этом первые
два периода функционирования РДТТ могут быть исключены из рассмотре-
ния в силу их малой продолжительности по сравнению с полным временем
работы двигателя и слабого влияния на энергетические характеристики ТРН в
целом. В этом случае предполагается, что воспламенитель при полном сгора-
нии обеспечивает необходимый уровень давления в камере, требуемое коли-
чество подведенного тепла к поверхности горения и надежное воспламенение
заряда ТРТ.
114
При этих предположениях уравнение изменения во времени давления
в камере сгорания РДТТ может быть получено из уравнения баланса
газа в камере сгорания [17]
tpk
atmatem
TR
tp
ateV
dt
d
cг
г
k
“" ,,,
. (3)
В левой части уравнения представлено изменение массы газа (продуктов
сгорания) в свободном объеме ateV“" , камеры сгорания в единицу време-
ни, в правой части – разность прихода газа вследствие горения ТРТ
atemг , и расхода газа через сопло atmc , . Здесь te – зависимость
толщины сгоревшего свода заряда от времени . t
Приход газа atemг , в камеру сгорания вследствие горения ТРТ опре-
деляется соотношением
mг uateSatem ,, ,
где ateS , – изменение поверхности горения заряда ТРТ во времени; mu ,
– соответственно скорость горения и плотность ТРТ.
После подстановки atemг , и atmc , в (3) в предположении, что
произведение const, получим систему дифференциальных уравне-
ний для расчета внутрибаллистических характеристик РДТТ:
гTR
dt
atedV
TR
p
TR
Ftp
AuateS
dt
dp
TR
ateV “"
г
k
г
krk
nm
k
г
“" ,
,
,
;
uateS
dt
atedV“" ,
,
;
u
dt
de
.
Полученная система уравнений может быть проинтегрирована числен-
ным методом, если заданы начальные условия при 0
0
0 eVp “"k ,, 0tt , а также
известны скорость горения ТРТ и зависимость изменения площади горения
заряда
u
ateSS , от толщины сгоревшего свода . e
Конструктивно типовые формы зарядов РДТТ в большинстве случаев
представляют собой набор геометрических тел: цилиндров, конусов, торов,
сфер и т.п. Эта совокупность в различных сочетаниях со взаимным пересече-
нием составляет разнообразие конфигураций зарядов.
В процессе работы РДТТ изменение геометрических характеристик заря-
да зависит от характера перемещения поверхности горения ТРТ, т.е. от поля
скоростей горения zyxuu ,, , которое определяется в свою очередь на-
чальным физико-механическим состоянием заряда, технологической неодно-
родностью состава ТРТ, его начальной и текущей температурой, давлением и
скоростью потока вблизи поверхности горения и ряда других факторов. Точ-
ки поверхности горения движутся в процессе работы РДТТ внутрь заряда по
нормалям к поверхности с местной скоростью горения u , при этом количест-
115
во поверхностей горения может измениться за счет выгорания некоторых из
них и появления новых.
Составление алгоритмов расчетов поверхностей горения и внутренних
свободных объемов зарядов для неравномерного поля скоростей горения
ТРТ представляет собой сложную задачу, трудоемкость реше-
ния которой, с одной стороны, определяется громоздкостью и сложностью
алгоритмов, с другой стороны – недостатком имеющейся на начальном этапе
проектирования ТРН исходной информации, необходимой для проведения
расчетов.
zyxuu ,,
т
свода
В связи с этим, на начальном этапе проектирования ТРН при расчете
геометрических характеристик зарядов маршевых РДТТ предполагается, что
поле скоростей горения равномерно, то есть не зависит от координа z,
В этом случае задачу расчета поверхности горения и внутреннего объема за-
ряда ТРТ можно решать отдельно от задачи внутренней баллистики и опре-
делять поверхность горения и внутренний объем как функции от толщины
сгоревшего
yx, .
e .
Следует отметить, что скорость горения является одной из основных
характеристик ТРТ, используемых в расчетах внутрикамерных процессов
РДТТ. Экспериментальные данные [16, 17] показывают, что факторы,
влияющие на скорость горения ТРТ, практически не зависят друг от друга.
Это позволяет представить зависимость скорости горения ТРТ в виде произ-
ведения функций от каждого из факторов [17]
u
…ƒk nvTpuu ,
где …ƒk nvTpu ,,, – независимые функции соответственно: давления
; начальной температуры заряда ТРТ ; скорости движения продуктов
сгорания вдоль поверхности горения заряда ; ускорения , действующего
по нормали к поверхности горения.
kp ƒT
v …n
На начальном этапе проектирования ТРН основными функциями, кото-
рые наиболее целесообразно использовать при расчетах внутрикамерных
процессов в РДТТ, являются зависимость скорости горения от давления
kpu , а также функция ƒT , характеризующая влияние начальной темпе-
ратуры на скорость горения ТРТ. ƒT
В диапазоне давлений от 20 МПа до 30 МПа функция обычно ап-
проксимируется степенной зависимостью вида ; в диапазоне
давлений от 50 МРа до 60 МРа приемлема линейная зависимость
kpu
kp
uu 1
kpBAu ; при бóльших значениях используется линейная зависи-
мость [17]. Аппроксимация функции
kp
kpBu ƒT в диапазоне температур
заряда ТРТ осуществляется зависимостью [17] C060
…ƒm
m
ƒ TTB
B
T
,
где – термохимическая константа, свойственная конкретному типу ТРТ;
– номинальная температура заряда ТРТ, равная .
mB
…T C020
116
Термохимическая константа в первом приближении может быть оп-
ределена по соотношению
mB
m
m k
B
1
,
где температурный градиент скорости горения для известных (по литера-
туре) топлив находится в пределах
mk
00500010 ,, [17].
Для типовых форм зарядов поверхность горения может быть составлена
из плоскостей, сферических, тороидальных, цилиндрических и конических
поверхностей. При этом оси поверхностей вращения располагаются в плоско-
стях, проходящих через продольную ось заряда . z
Для упрощения построения алгоритма расчета aeS , заряд ТРТ вдоль
продольной оси разделяется на зон, при этом последний рассекается
рядом плоскостей, проходящих через ось канала . Линии (следы поверхно-
стей горения), получающиеся в результате таких сечений, будут состоять для
типовых форм зарядов из взаимно пересекающихся прямых и окружностей.
Границы зон определяются плоскостями, перпендикулярными оси и про-
ходящими через точки пересечения двух соседних элементов, образующих
указанные выше линии. В число зон должны быть включены также зоны,
возникающие в результате появления так называемых неявных поверхностей
горения, которые могут получаться, например, при разгорании двухгранных
углов, вершин конусов и т.п.
z N
N
z
z
Площадь поверхности горения заряда ),( aeS и внутренний объем каме-
ры сгорания ),( aeV“" для текущей толщины сгоревшего свода определя-
ются следующими соотношениями:
e
N
i
i aeSaeS
1
),(),( ; (4)
N
i
i“"“" aeVaeV
1
),(),( . (5)
Значение внутреннего объема ),( aeV i“" в -й зоне заряда определяется
по зависимостям:
i
)(
)(
),,(),(
ez
ez
ii“"
Bi
Hi
dzaezFaeV ; (6)
i Bj
Hj
n
j
ezx
ezx
iji dxaezxyaezF
1
),(
),(
),,,(),,( , (7)
где ),,( aezFi – закон изменения площади проходного сечения канала заряда
вдоль продольной оси в i -й зоне заряда; – нижняя и верхняя
граница -й зоны; – число элементов, формирующих контур проходного
сечения канала заряда в плоскости, перпендикулярной продольной оси ;
z )(),( ezez BiHi
i in
z
117
),,,( aezxyy ijij – уравнение -го элемента, формирующего контур про-
ходного сечения канала заряда в i -й зоне.
j
Нижние и верхние пределы интегрирования для каж-
дого элемента являются абсциссами точек пересечения -го элемента с
),(),,( ezxezx BjHj
jijy
1j и соответственно. 1j
Среднее значение поверхности горени cp на интервале изменения
толщины сгоревшего свода заря ]1j определяется по соотношени
я
ю
S
да ,[ j ee
jj
j“"j“"
cp ee
VV
S
1
1 . (8)
iЕсли поверхность горения в -й зоне заряда представляет собой поверх-
ность вращения относительно продольной оси заряда , то ее площадь опре-
деляется по соотношениям:
z
)
)(
)(
),,(,(
ez
ez
ii
Bi
Hi
dsaezyaeS 2 ; (9)
dz
dz
aezdy
ds i
2
1
),,(
, (10)
а свободный объем, ограниченный этой поверхностью вращения, вычисляет-
ся по зависимости
)(
)(
),,(,(
ez
ez
i“"
Bi
Hi
dzaezyeV 2)a , (11)
где ),,( aezyy ii – уравнение образующей поверхности вращения;
В том случае, когда образующая описывается прямой вида iii bzky ,
поверхность горения и внутренний объем определяются по формулам:
iHiBi
i
HiBizii bzz
k
zkS )()(
2
12 2 ; (12)
)()(
(
HiBiiiii“" zzbzzbk
zzk
V
HiBi
HiBii 222
332
3
)
. (13)
Если образующая поверхности вращения описывается окружностью вида
, поверхность горения и внутренний объем в -й зоне
заряда определяются по соотношениям:
222
iii Rbyaz )()( i
Bi
Hi
z
z
i
ib
ii z
az
RS
2
2 arcsin ; (14)
118
.
arcsin
Bi
Hi
z
z
iii
i
ii
ii
i
iii“"
zaza
z
zR
R
azR
azR
az
bzbV
22
3
2
2
222
3
22
2
(15)
Знак «+» в (14), (15) берется в том случае, когда поверхность горения и
внутренний объем образуются вращением верхней части дуги окружности,
знак «» – в противоположном случае.
Значения параметров прямой и радиуса окружности в зависимости
от толщины сгоревшего свода e определяются по формулам:
ib iR
)](arctgcos[ i
ii k
e
bb 0 ; (16)
eRR ii 0 , (17)
где – значения соответствующих параметров для нулевой толщины
сгоревшего свода .
ii Rb 00 ,
e
Знак «+» в (16), (17) берется в том случае, если соответствующий пара-
метр увеличивается при увеличении толщины сгоревшего свода, знак «» – в
противоположном случае.
Входящие в (14), (15) значения нижних и верхних границ -й зоны
определяются как координаты точек пересечения линии,
формирующей след поверхности горения в -й зоне, с линиями, формирую-
щими следы поверхностей горения в зонах (
i
)(),( ezez BiHi z
i
)1i и )( 1i соответственно.
Обобщенный алгоритм определения геометрических характеристик
заряда РДТТ В алгоритме расчета поверхности горения и внутреннего объе-
ма для заданного диапазона изменения толщины сгоревшего свода
с требуемым шагом можно выделить три основные части:
][ KH ee
e e
– определение границ зон для заданного значения толщины сгоревшего
свода (алгоритм А); e
– определение по соотношениям (6) – (7) площади проходного сечения
канала заряда в плоскости, перпендикулярной оси , и свободного объема
для текущего значения толщины сгоревшего свода в i -й зоне (алгоритм Б);
z
e
– определение поверхностей горения и внутренних объемов по соотно-
шениям (9) – (15) (алгоритм В).
Обобщенный алгоритм расчета поверхности горения и внутреннего объ-
ема можно представить в следующем виде.
1. Задаются начальные и конечные значения толщин сгоревшего свода
и , а также число расчетных точек по толщине сгоревшего свода .
He
Ke n
2. Определяется шаг изменения толщины сгоревшего свода
1
n
ee
e HK .
3. Задается начальное значение . Hee
119
4. Для заданного значения толщины сгоревшего свода по алгоритму А
вычисляются значения границ зон .
e
)(),( ezez BiHi
5. Если поверхность горения заряда состоит из поверхностей вращения, то
расчет продолжается с п. 6, в противном случае – с п. 7.
6. По соотношениям (9) – (15), в зависимости от типа образующих поверх-
ностей вращения, определяются внутренние объемы и поверхности горе-
ния во всех зонах заряда и производится их суммирование, далее расчеты
продолжаются с п.9.
7. По соотношениям (6) – (7), с использованием алгоритма Б, определяют-
ся значения площади проходного сечения канала заряда и свободного объ-
ема в каждой зоне заряда и в камере сгорания в целом.
8. Производится сравнение текущего значения толщины сгоревшего свода
с начальным значением . e He
Если , то по (8) определяются средние значения площади поверхно-
стей горения во всех зонах заряда и далее расчеты продолжаются с п.9.
Hee
Если , то величине толщины сгоревшего свода присваивается
значение
Hee
e
e
e и расчеты продолжаются с п. 4.
9. Производится сравнение текущего значения толщины сгоревшего свода
с конечным значением . e Ke
Если , то значение увеличивается на Kee e e и расчеты повторяются
с п.4.
В противном случае Kee и вычисления заканчиваются.
Выводы. Сформулирована комплексная задача выбора облика и оптими-
зации проектных параметров и программ управления движением ТРН сверх-
легкого класса. Разработана структура математической модели ТРН, приве-
дены элементы математической модели, позволившие свести задачу теории
оптимального управления к задаче нелинейного математического програм-
мирования с ограничениями в виде равенств, неравенств и дифференциаль-
ных связей. Приведенные элементы математической модели и алгоритм мо-
гут быть использованы проектными организациями на начальном этапе про-
ектирования объектов ракетно-космической техники различного назначения.
1. Алпатов А. П. Методология системных исследований конкурентоспособности транспортных космичес-
ких систем / А. П. Алпатов, В. К. Дорошкевич, В. И. Кузнецов // Информационные технологии в управле-
нии сложными системами : международная научно-практическая конференция, май, 2008 г., Днепропет-
ровск: сборник докладов и тезисов. – Днепропетровск : ИТМ НАНУ и НКАУ, 2008. – С. 64 – 67.
2. Алпатов А. П. Исследования конкурентоспособных обликов транспортных космических систем.
/ А. П. Алпатов, В. К. Дорошкевич, В. И. Кузнецов, И. Ф. Мостипан // Информационные технологии в
управлении сложными системами : международная научно-практическая конференция, май, 2008 г.,
Днепропетровск : сборник докладов и тезисов.– Днепропетровск : ИТМ НАНУ и НКАУ, 2008. – С. 68 –
71.
3. Афанасьев И. Наноракета для наноспутников? / И. Афанасьев, Д. Воронцов // Новости космонавтики. –
2007. – Т.17,№ 7 (294). – С. 39 – 41.
4 Алпатов А. П. Комплексная задача оптимизации основных проектных параметров и программ управле-
ния движением ракет космического назначения / А. П. Алпатов, В. С. Сенькин // Техническая механика.
– 2011. – № 4. – С. 98 – 113.
5 Кротов В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. – М. : Наука,
1973. – 446 с.
120
121
6. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский,
Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – М. : Наука. 1969. – 385 с.
7. Брайсон А. Прикладная теория оптимального управления / А. Брайсон, Хо Ю-Ши. – М. : Мир, 1972. – 544
с.
8 Тарасов Е. В. Алгоритм оптимального проектирования летательного аппарата / Е. В. Тарасов. – М. :
Машиностроение, 1970. – 364 с.
9 Аппазов Р. Ф. Баллистика управляемых ракет дальнего действия / Р. Ф. Аппазов, С. С. Лавров,
В. П. Мишин. – М. : Наука, 1966. – 307 с.
10 Лебедев А. А. Баллистика ракет / А. А. Лебедев, Н. Ф. Герасюта. – М. : Машиностроение, 1970. – 244 с.
11 Сенькин В. С. Выбор программы управления движением космического аппарата при переходе с
начальной круговой орбиты на заданную конечную круговую орбиту / В. С. Сенькин // Техническая
механика. – 2003. – № 2. – С. 79 – 87.
12 Сенькин В. С. Оптимизация проектных параметров ракеты-носителя сверхлегкого класса / В. С. Сенькин
// Техническая механика. – 2009. – № 1. – С. 80 – 88.
13 Батищев Д. И. Поисковые методы оптимального проектирования / Д. И. Батищев – М. : Сов. радио,
1975. – 216 с.
14 Шкадов М. Л. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в
атмосфере / М. Л. Шкадов, Р. С. Буханова, В. Ф. Илларионов, В. П. Плохих. – М. : Машиностроение,
1972. – 240 с.
15 Разумеев В. Ф. Основы проектирования баллистических ракет на твердом топливе / В. Ф. Разумеев,
Б. К. Ковалев. – М. : Машиностроение, 1976. – 356 с.
16 Орлов Б. В. Термодинамические и баллистические основы проектирования ракетных двигателей на
твердом топливе / Б. В. Орлов, Г. Ю. Мазинг. – М. : Машиностроение, 1968. – 535 с.
17 Абугов Д. И. Теория и расчет ракетных двигателей твердого топлива / Д. И. Абугов, В. М. Бобылев. – М. :
Машиностроение, 1987. – 272 с.
Институт технической механики Получено 03.04.12,
НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 26.04.12.
Днепропетровск
|