Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями
Розглянуто хвильовi розв’язки математичної моделi релаксуючого середовища. При вiдсутностi флуктуацiй параметрiв моделi хвильовi розв’язки описуються нелiнiйною двовимiрною динамiчною системою, структура фазового простору якої встановлена методами якiсного аналiзу. Мета даної роботи врахування заш...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88639 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями / В.А. Даниленко, С.I. Скуратiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 91-98. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-88639 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-886392015-11-19T03:02:15Z Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. Науки про Землю Розглянуто хвильовi розв’язки математичної моделi релаксуючого середовища. При вiдсутностi флуктуацiй параметрiв моделi хвильовi розв’язки описуються нелiнiйною двовимiрною динамiчною системою, структура фазового простору якої встановлена методами якiсного аналiзу. Мета даної роботи врахування зашумлених параметрiв моделi та вивчення впливу флуктуацiй на стацiонарнi та перiодичнi режими динамiчної системи. Зокрема, напрям змiщення бiфуркацiї Андронова–Хопфа стацiонарного розв’язку динамiчної системи оцiнювався за допомогою старшого ляпуновського показника, який обчислювався числовим й аналiтичним способами. Зашумлений граничний цикл вивчався за допомогою функцiї чутливостi, яка визначалась з детермiнованого диференцiального рiвняння числовим методом стрiльби та характеризує дисперсiю траєкторiй поблизу детермiнованого циклу. Показано, що траєкторiї циклу зазнають найбiльшої дисперсiї в околi сiдлової стацiонарної точки. Рассмотрены волновые решения математической модели релаксирующей среды. В отсутствии флуктуаций параметров среды волновые решения удовлетворяют нелинейной двумерной динамической системе, структура фазового пространства которой изучалась методами качественного анализа. Цель работы учет зашумленных параметров модели и изучение влияния флуктуаций на стационарные и периодические режимы системы. В частности, с помощью старшего ляпуновского показателя, который вычислялся численно и аналитически, оценивалось направление смещения бифуркации Андронова–Хопфа стационарного решения. Для изучения зашумленного предельного цикла привлекалась функция чувствительности, которая определялась из детерминированного диференциального уравнения численным методом стрельбы и связана с дисперсией траекторий в окрестности детерминированного цикла. Показано, что траектория цикла подвергается наибольшей дисперсии в окрестности седловой стационарной точки. The article deals with the wave solutions of a mathematical model for relaxing media. When the fluctuations of the model parameters are absent, the wave solutions satisfy the nonlinear planar dynamical system, which is studied by means of qualitative analysis methods. The aim of the article is the incorporation of parameters with noise and investigations of the influence of fluctuations on the steady and periodic modes of the dynamical system. In particular, the direction of a displacement of the Andronov-Hopf bifurcation for the steady solutions is estimated with the help of the top Lyapunov exponent, which is derived analytically and numerically. Stochastic limit cycles are considered by means of the sensitivity function. This function is evaluated from a deterministic differential equation by the shooting method and characterizes the dispersion of trajectories in a vicinity of the deterministic limit cycle. It is shown that the trajectories of a stochastic cycle undergo the most dispersion near the saddle fixed point. 2014 Article Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями / В.А. Даниленко, С.I. Скуратiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 91-98. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88639 539.182+518.5+517.986.69 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Науки про Землю Науки про Землю |
| spellingShingle |
Науки про Землю Науки про Землю Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто хвильовi розв’язки математичної моделi релаксуючого середовища. При вiдсутностi флуктуацiй параметрiв моделi хвильовi розв’язки описуються нелiнiйною двовимiрною динамiчною системою, структура фазового простору якої встановлена методами якiсного аналiзу. Мета даної роботи врахування зашумлених параметрiв моделi
та вивчення впливу флуктуацiй на стацiонарнi та перiодичнi режими динамiчної системи. Зокрема, напрям змiщення бiфуркацiї Андронова–Хопфа стацiонарного розв’язку
динамiчної системи оцiнювався за допомогою старшого ляпуновського показника, який
обчислювався числовим й аналiтичним способами. Зашумлений граничний цикл вивчався за допомогою функцiї чутливостi, яка визначалась з детермiнованого диференцiального рiвняння числовим методом стрiльби та характеризує дисперсiю траєкторiй поблизу детермiнованого циклу. Показано, що траєкторiї циклу зазнають найбiльшої дисперсiї в околi сiдлової стацiонарної точки. |
| format |
Article |
| author |
Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| author_facet |
Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| author_sort |
Даниленко, В.А. |
| title |
Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями |
| title_short |
Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями |
| title_full |
Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями |
| title_fullStr |
Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями |
| title_full_unstemmed |
Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями |
| title_sort |
хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88639 |
| citation_txt |
Хвильові локалізовані структури в релаксуючих середовищах з флуктуаціями / В.А. Даниленко, С.I. Скуратiвський // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 12. — С. 91-98. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT danilenkova hvilʹovílokalízovanístrukturivrelaksuûčihseredoviŝahzfluktuacíâmi AT skuratívsʹkijsí hvilʹovílokalízovanístrukturivrelaksuûčihseredoviŝahzfluktuacíâmi |
| first_indexed |
2025-07-06T16:29:12Z |
| last_indexed |
2025-07-06T16:29:12Z |
| _version_ |
1836915754237165568 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2014
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 539.182+518.5+517.986.69
Член-кореспондент НАН України В. А. Даниленко,
С. I. Скуратiвський
Хвильовi локалiзованi структури в релаксуючих
середовищах з флуктуацiями
Розглянуто хвильовi розв’язки математичної моделi релаксуючого середовища. При вiд-
сутностi флуктуацiй параметрiв моделi хвильовi розв’язки описуються нелiнiйною дво-
вимiрною динамiчною системою, структура фазового простору якої встановлена мето-
дами якiсного аналiзу. Мета даної роботи — врахування зашумлених параметрiв моделi
та вивчення впливу флуктуацiй на стацiонарнi та перiодичнi режими динамiчної сис-
теми. Зокрема, напрям змiщення бiфуркацiї Андронова–Хопфа стацiонарного розв’язку
динамiчної системи оцiнювався за допомогою старшого ляпуновського показника, який
обчислювався числовим й аналiтичним способами. Зашумлений граничний цикл вивчав-
ся за допомогою функцiї чутливостi, яка визначалась з детермiнованого диференцiаль-
ного рiвняння числовим методом стрiльби та характеризує дисперсiю траєкторiй по-
близу детермiнованого циклу. Показано, що траєкторiї циклу зазнають найбiльшої дис-
персiї в околi сiдлової стацiонарної точки.
Нерiвноважнi природнi середовища характеризуються складними формами реакцiї на зов-
нiшнє навантаження, що пов’язують з проявами внутрiшньої будови середовища та взаємо-
дiї його структурних елементiв [1, 2]. Для таких середовищ у довгохвильовому наближеннi
виконуються закони збереження маси та iмпульсу. Замикання цих законiв динамiчними рiв-
няннями стану з описом внутрiшнiх релаксацiйних процесiв середовища приводить до такої
математичної моделi [2–4]
dρ
dt
+ ρ
∂u
∂x
= 0, ρ
du
dt
+
∂p
∂x
= γρ,
τ
(
dp
dt
− χ
dρ
dt
)
= κρ− p,
(1)
де ρ — густина; u — швидкiсть; p — тиск; γρ — масова сила; τ — час релаксацiї; κ й χ —
параметри, якi пропорцiйнi квадратам рiвноважної i замороженої швидкостi звуку.
Однак суто детермiнований пiдхiд до вивчення явищ самоорганiзацiї є неповним. Еволю-
цiя вiдкритих термодинамiчних систем значною мiрою визначається розвитком флуктуацiй,
© В. А. Даниленко, С. I. Скуратiвський, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 91
особливо поблизу бiфуркацiйних точок. Це потребує безпосереднього включення до моделi
випадкових процесiв [5]. Врахування внутрiшнiх флуктуацiй як результату (нелокальної)
взаємодiї структурних елементiв можливе в рамках феноменологiчного пiдходу з введенням
внутрiшнiх змiнних, що приводить до побудови флуктуацiйної гiдродинамiки [6, 7].
Iнший напрям опису флуктуацiй пов’язаний з введенням у модель зашумлених парамет-
рiв. Часто цей пiдхiд дозволяє звести задачу до динамiчних систем невисокої розмiрностi
з адитивним або мультиплiкативним шумом, для яких адаптовано математичнi методи ви-
вчення детермiнованих моделей [8].
У даному повiдомленнi розглядається динамiчна система, яка описує хвильовi розв’яз-
ки моделi (1) та мiстить параметр з шумом. Мета дослiдження — проаналiзувати вплив
зовнiшнiх флуктуацiй на стiйкiсть хвильових розв’язкiв моделi (1).
При вiдсутностi флуктуацiй, як показано в публiкацiї [3], хвильовi розв’язки моделi (1)
мають такий вигляд:
u = U(ω) +D, ρ = ρ0 exp(ξt+ S(ω)), p = ρZ(ω), ω = x−Dt, (2)
де D — стала швидкiсть хвильового фронту; ξ — стала, змiст якої обговорюється нижче.
Пiдставляючи вирази (2) у рiвняння (1), отримаємо функцiю S(ω), яка задовольняє
рiвняння
U
dS
dω
+ ξ +
dU
dω
= 0, (3)
a функцiї U й Z описуються динамiчною системою
dU
ds
= U(−κ+ τ(γU + ξZ) + Z),
dZ
ds
= −χτ(γU + ξZ) + κ(U2 − Z) + γτUZ − U2Z + Z2(1 + ξτ),
(4)
де d/ds = τU(U2 − χ)d/dω.
Система (4) за додаткової умови γ = κξD−1 має нетривiальнi стацiонарнi точки з ко-
ординатами
O1(−D;κ), O2,3
(
±√
χ;κ
D ±√
χξτ
D(1 + ξτ)
)
.
Аналiз стацiонарного режиму, який вiдповiдає точцi O1, дозволяє глибше з’ясувати змiст
параметра ξ. Для стацiонарної точки O1 з рiвняння (3) — S(ω) = ξωD−1. Тодi стацiонарний
розв’язок моделi (1) має вигляд u = 0, ρ = ρ0 exp (ξxD
−1), p = κρ, для якого параметр ξ
вiдiграє роль мiри неоднорiдностi.
Перенесемо початок координат у стацiонарну точку O1, виконавши в системi (4) замiну
змiнних:
U = −D + x1, Z = κ+ x2.
Отримаємо динамiчну систему
dx1
ds
= (x1 −D)D−1(κξτx1 +D(1 + ξτ)x2) ≡ f1(x1, x2),
dx2
ds
= D−1(κ2ξτx1 + κx2(D(1 + ξτ) + ξτx1)− χξτ(κx1 +Dx2) +
+Dx2(x2(1 + ξτ)− (x1 +D)2)) ≡ f2(x1, x2),
(5)
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
структуру фазового простору якої детально викладено в статтях [2, 3], де показано, що
змiна якiсної поведiнки траєкторiй в околi точки O1 вiдбувається
при D0 =
√
κ− χτξ (бiфуркацiя Андронова–Хопфа);
при D1 =
√
κ− χξτ + 2κξτ + 2
√
κ(κ− χ)ξτ(1 + ξτ) (власнi значення матрицi лiнеари-
зацiї A кратнi);
при D2 =
√
χ (матриця лiнеаризацiї A вироджена).
У даному повiдомленнi розглядається випадок, коли D0 < D1 < D2. Тодi при D > D2
точка O1 є сiдловою, при D1 < D < D2 — стiйким вузлом, при D0 < D < D1 — стiйким
фокусом, при D < D0 — нестiйким фокусом. В останньому випадку в околi точки O1
формується граничний цикл, амплiтуда якого зростає iз зменшенням D.
Дослiдимо поведiнку розв’язкiв динамiчної системи (5) в умовах врахування зашумле-
ного параметра ξ. Для цього в (5) виконаємо замiну ξ → ξ + DσW , де W є випадковим
вiнерiвим процесом з iнтенсивнiстю σ. У цьому випадку систему (5) можна записати у ви-
глядi стохастичної системи у формi Iто:
dx1 = f1(x1, x2)ds + στ(x1 −D)(κx1 +Dx2)dW,
dx2 = f2(x1, x2)ds + στ(κ− χ+ x2)(κx1 +Dx2)dW.
(6)
Дослiдимо стiйкiсть стацiонарного розв’язку системи (6), який вiдповiдає точцi O1 при
σ 6= 0, а також перiодичного розв’язку в околi точки O1 при змiнному D при фiксованих
параметрах κ = 2, χ = 4, τ = 0,33, ξ = −0,5.
Стiйкiсть стацiонарної точки O1 оцiнимо шляхом аналiзу поведiнки лiнеаризованої
в околi нуля стохастичної системи (6), яку можна записати у виглядi
d
(
x1
x2
)
= A
(
x1
x2
)
ds + σB
(
x1
x2
)
dW, (7)
де
A =
(
−κξτ −D(1 + ξτ)
κξτ(κ− χ)D−1 κ−D2 + (κ− χ)ξτ
)
, B =
(
−Dκτ −D2τ
κτ(κ− χ) Dτ(κ− χ)
)
.
У випадку лiнiйної системи (7) вивчення стiйкостi тривiального розв’язку зводиться до
аналiзу поведiнки старшого ляпуновського показника (СЛП) [9] λ залежно вiд параметрiв D
i σ. СЛП λ для траєкторiї y = (x1;x2) системи (7) обчислюється за формулою
λ = lim sup
s→∞
1
s
ln
|y(s)|
|y(0)| .
Дискретний аналог цiєї формули має вигляд
λ =
1
nh
n−2∑
j=0
ln
|y〈j+1〉|
|y〈j〉| , (8)
де h — крок розбиття змiнної s, y〈j〉 = y(jh).
При моделюваннi стохастичної системи (7) було вибрано числову схему order 1.5 strong
Taylor scheme [10]. Додатково для числової схеми обчислювались двi послiдовностi незалеж-
них нормально розподiлених випадкових величин, якi конструювали полярним методом
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 93
Рис. 1. Динамiка старшого показника Ляпунова λ (a) стацiонарної точки O1 та його залежнiсть (б ) вiд
змiни параметра D при κ = 2, ξ = −0,5, χ = 4, τ = 0,33, σ = 0,4: 1 — СЛП при вiдсутностi шуму, 2 — СЛП
при iнтенсивностi шуму σ = 0,4; 3 — СЛП при σ = 0,8
Марсалья [10] з використанням рiвномiрно розподiлених на (0; 1) випадкових величин θ,
розрахованих за схемою, описаною в роботi [10]
ψi+1 = aψi + b mod c, θi =
ψi
c
, (9)
де a = 134775813; b = 1; c = 231.
Також зафiксуємо крок для числової схеми h = 2−6, кiлькiсть точок подiлу n = 4 · 104,
початкову умову для системи (7) y(0) = (x1;x2) = (1; 0) та початковi умови для числової
послiдовностi (9) у виглядi ψ0 = 0,7 i ψ0 = 0,4. Як видно з аналiзу рис. 1, a, СЛП λ
стабiлiзується за достатньо довгий промiжок часу, що певною мiрою обгрунтовує iснування
граничного значення λ. Таким чином, отримаємо λ = 0,36363.
Для лiнiйної системи (7) СЛП можна обчислити аналiтичним способом [8]. Запишемо
систему (7) у полярних координатах
r =
1
2
ln(x21 + x22), ϕ = arctan
(
x2
x1
)
. (10)
Застосовуючи формулу Iто [8] до функцiй (10), отримаємо систему
dr = Q1ds+Q2dW, dϕ = H1ds +H2dW, (11)
де
Q1 = B0 +B1 sin 2ϕ+B2 cos 2ϕ+B3 cos 4ϕ,
Q2 = −στ(Dκ+ (D2 + κ2) cosϕ sinϕ),
H1 =
4∑
i=0
Ai sin
i ϕ cos4−i ϕ, H2 = στ(D2 sin2 ϕ− κ2 cos2 ϕ) при χ = 2κ.
Параметри Ai i Bi є функцiями параметрiв моделi, але вирази для них не наведенi
через їх громiздкiсть.
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
Рис. 2. Щiльнiсть функцiї розподiлу p(ϕ)
З другого рiвняння системи (11) можна знайти стацiонарну функцiю розподiлу p(ϕ) =
= Cq(ϕ), яка задовольняє рiвняння Фокера–Планка:
(
H1 −H2
dH2
dϕ
)
q − 1
2
H2
2
dq
dϕ
= 1, q(0) = q(π), C
∫
qdϕ = 1. (12)
Хоча рiвняння (12) — лiнiйне, але його аналiтичний розв’язок класичними методами
можна обчислити для випадкiв, коли функцiя H2 неперервна або має нулi на кiнцях iн-
тервалу ϕ ∈ [0;T ] [11].
Тому використаємо альтернативний пiдхiд, шукаючи розв’язок рiвняння (12) у виглядi
ряду Фур’є:
q =
k∑
i=0
(ci cos(2iϕ) + si sin(2iϕ)),
де кiлькiсть мод k вибиралась за умов, що k+1 мода дає малу поправку до попереднiх мод.
Згiдно з умовою нормування, запишемо, що
Cπc0 = 1.
Обмежимо кiлькiсть мод числом k = 8 та отримаємо щiльнiсть розподiлу p(ϕ), графiк якої
зображено на рис. 2.
За вiдомою функцiєю p(ϕ) обчислимо СЛП за формулою [8]:
λ =
T∫
0
Q1p(ϕ) dϕ = 0,3640.
Вiдзначимо, що числове значення достатньо добре збiгається з теоретичним.
Граничний цикл. Розглянемо поведiнку граничного циклу, який iснує в фазовому
просторi динамiчної системи (5) при D = 1,6 < D0 =
√
κ− χτξ, додаючи в систему флук-
туацiї.
Iнтегруючи нелiнiйну стохастичну систему (6), використаємо ту саму числову схему, що
й для системи (7), з такими параметрами h = 2−6, n = 1,5·104. Приєднаємо початковi умови
(x1;x2) = (0,086; 0,117) до системи (6) та виберемо ψ0 = 0,7 й ψ0 = 0,4 для послiдовностi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 95
Рис. 3. Фазовий портрет зашумленого граничного циклу (a) стохастичної динамiчної системи (6) та профiль
x2-координати (б )
випадкових величин (9). За цих умов фазовий портрет зашумленого граничного циклу iлю-
струє рис. 3, a. З’ясовуючи властивостi зашумленого граничного циклу, можна використати
пiдхiд, що грунтується на аналiзi функцiї стохастичної чутливостi. У статтi [13] показано,
що дисперсiю точок у перерiзi Пуанкаре траєкторiй в околi граничного циклу (при неве-
ликiй iнтенсивностi шуму) можна описати деякою коварiацiйною матрицею — функцiєю
чутливостi µ(s). Ця функцiя, у випадку динамiчної системи на площинi
d
(
x1
x2
)
=
(
f1
f2
)
ds+
(
σ1
σ2
)
dW,
описується диференцiальним рiвнянням з перiодичними коефiцiєнтами у виглядi
dµ
ds
= a(s)µ+ b(s) ≡ f3(x1, x2, µ), (13)
де
a(s) = pT(FT + F )p, Fij =
∂fi
∂xj
, b(s) = pTSp,
S = σσT =
(
σ21 σ1σ2
σ1σ2 σ22
)
, p =
(
−f2
f1
)
1√
f21 + f22
, s ∈ [0;T ]
(тут T — перiод граничного циклу). Зазначимо, що диференцiальне рiвняння (13) не мiстить
випадкових функцiй i розв’язується одночасно з детермiнованою динамiчною системою.
Тому для обчислення функцiї µ(s) необхiдно розв’язати систему, складену з рiвнянь (5)
й (13), яку найбiльш зручно вивчати методом стрiльби [14, 15].
Виконуючи замiну часової змiнної z = sT , перейдемо вiд задачi Кошi для системи рiв-
нянь (5) й (13) до крайової задачi:
dxj
dz
= Tfj(x1, x2, x3), x3 = µ, j = 1, 2, 3, (14)
з крайовими умовами xj(0) = xj(1).
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
Рис. 4. Функцiя чутливостi (a) µ(z) перiодичного розв’язку динамiчної системи (5), якому в фазовому
просторi вiдповiдає граничний цикл (б : кружком позначенo початковi умови)
У результатi застосування до системи (14) методу стрiльби отримано координа-
ти точки циклу (0,086; 0,11668; 0,42853), його перiод T = 11,35516 та мультиплiкатори
(1,001; 0,157; 0,025). Графiк функцiї чутливостi µ(z) для зашумленого циклу, демонструє
рис. 4. Аналiз рисунка показує, як траєкторiї циклу зазнають найбiльшої дисперсiї (най-
бiльш чутливi) в околi максимуму функцiї µ(z). Зiставляючи графiк а з фазовим портретом
граничного циклу (б ), можна зробити висновок, що максимум функцiї вiдповiдає загострен-
ню на фазовому портретi циклу, тобто зони, яка розташована найближче до сiдлової точки.
Таким чином, аналiз стохастичної системи (6) показав, що врахування флуктуацiй змi-
щує момент бiфуркацiї Андронова–Хопфа в бiк бiльших значень параметра D — швидкостi
хвильового фронту. До того ж iснує критичне значення iнтенсивностi шуму, при якому
стацiонарний режим стає нестiйким при всiх D з дослiджуваного iнтервалу, а наявнiсть по-
зитивного ляпуновського показника вказує на змiну способу перемiшування потоку в околi
траєкторiї з дифузiйного на експоненцiйний.
Як показав аналiз функцiї чутливостi, окiл граничного циклу при додаваннi випадкових
збурень дiлиться на зони з iстотно вiдмiнною дисперсiєю траєкторiй. Особливо помiтною
дефрагментацiя коливань є в областях фазового простору, прилеглих до сiдлової стацiо-
нарної точки.
1. Садовский М.А. Автомодельность геодинамических процессов // Вест. АН СССР. – 1986. – № 8. –
С. 3–11.
2. Danylenko V.A., Danevych T. B., Makarenko O. S., Skurativskyi S. I., Vladimirov V.A. Self-organization
in nonlocal non-equilibrium media. – Kyiv: Subbotin Inst. of Geophys. NAS of Ukraine, 2011. – 333 p.
3. Danylenko V.A., Sorokina V.V., Vladimirov V.A. On the governing equations in relaxing media models
and self-similar quasiperiodic solutions // J. Phys. A: Math. Gen. – 1993. – 26. – P. 7125–7135.
4. Vladimirov V.A., Kutafina E.V., Zorychta B. On the non-local hydrodynamic-type system and its soliton-
like solutions // J. Phys. A: Math. Theor. – 2012. – 45. – P. 085210.
5. Advances in applied self-organizing systems / Ed. M. Prokopenko. – London: Springer, 2008. – 375 p.
6. Kharchenko D., Kharchenko V., Lysenko I. Pattern selection processes and noise induced pattern-forming
transitions in periodic systems with transient dynamics // Cent. Eur. J. Phys. – 2011. – 9, No 3. –
P. 698–709.
7. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. – Москва: Наука, 1979. – 528 с.
8. Arnold L. Random dynamical system. – Series: Springer Monographs in Mathematics. – New York; Berlin:
Springer, 1998. – 586 p.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №12 97
9. Хасьминский Р. З. Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости линейных
стохастических систем // Теория вероятн. и ее применение. – 1967. – 12, вып. 1. – С. 167–172.
10. Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. – Berlin:
Springer, 2003. – 292 p.
11. Wedig W. Lyapunov exponents and invariant measures of equilibria and limit cycles // Lyapunov Expo-
nents. – Lect. Notes Math., No 1486. – Berlin: Springer, 1991. – P. 309–321.
12. Wedig W. Pitchfork and Hopf bifurcations in stochastic systems – effective methods to calculate Lyapunov
exponents // Probabilistic methods in applied physics / Eds. P. Kree, W. Wedig. – Lecture Notes in
Physics, No 451. – Berlin: Springer, 1995. – P. 120–148.
13. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Math. and Comp. in Simulation. –
2004. – 66, No 1. – P. 55–67.
14. Сидорець В.Н., Пентегов И.В. Детерминированный хаос в нелинейных цепях с электрической ду-
гой. – Киев: Междунар. ассоц. “Сварка”, 2013. – 272 c.
15. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. –
Москва: Мир, 1991. – 366 с.
Надiйшло до редакцiї 30.05.2014Вiддiлення геодинамiки вибуху Iнституту геофiзики
iм. С. I. Субботiна НАН України, Київ
Член-корреспондент НАН Украины В.А. Даниленко, С.И. Скуратовский
Волновые локализированные структуры в релаксирующих средах
с флуктуациями
Рассмотрены волновые решения математической модели релаксирующей среды. В отсут-
ствии флуктуаций параметров среды волновые решения удовлетворяют нелинейной дву-
мерной динамической системе, структура фазового пространства которой изучалась мето-
дами качественного анализа. Цель работы — учет зашумленных параметров модели и изу-
чение влияния флуктуаций на стационарные и периодические режимы системы. В частнос-
ти, с помощью старшего ляпуновского показателя, который вычислялся численно и анали-
тически, оценивалось направление смещения бифуркации Андронова–Хопфа стационарного
решения. Для изучения зашумленного предельного цикла привлекалась функция чувстви-
тельности, которая определялась из детерминированного диференциального уравнения чи-
сленным методом стрельбы и связана с дисперсией траекторий в окрестности детерми-
нированного цикла. Показано, что траектория цикла подвергается наибольшей дисперсии
в окрестности седловой стационарной точки.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.A. Danylenko, S. I. Skurativskyi
Wave localized structures in relaxing media with fluctuations
The article deals with the wave solutions of a mathematical model for relaxing media. When the
fluctuations of the model parameters are absent, the wave solutions satisfy the nonlinear planar
dynamical system, which is studied by means of qualitative analysis methods. The aim of the artic-
le is the incorporation of parameters with noise and investigations of the influence of fluctuations
on the steady and periodic modes of the dynamical system. In particular, the direction of a di-
splacement of the Andronov-Hopf bifurcation for the steady solutions is estimated with the help of
the top Lyapunov exponent, which is derived analytically and numerically. Stochastic limit cycles
are considered by means of the sensitivity function. This function is evaluated from a deterministic
differential equation by the shooting method and characterizes the dispersion of trajectories in a vi-
cinity of the deterministic limit cycle. It is shown that the trajectories of a stochastic cycle undergo
the most dispersion near the saddle fixed point.
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №12
|