Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации

Построена математическая модель функционирования научно-производственной кооперации, которая достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность. Модель может быть принята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления взаимодействием науки и...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Шамаева, Н.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут економіки промисловості НАН України 2014
Schriftenreihe:	Економічний вісник Донбасу
Schlagworte:	Наукові повідомлення
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88685
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации / Н.П. Шамаева // Економічний вісник Донбасу. — 2014. — № 1(35). — С. 213-217. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-88685
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-886852015-11-21T03:01:38Z Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации Шамаева, Н.П. Наукові повідомлення Построена математическая модель функционирования научно-производственной кооперации, которая достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность. Модель может быть принята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления взаимодействием науки и производства. Побудована математична модель функціонування науково-виробничої кооперації, яка досить адекватно описує динаміку змінних, що характеризують цю діяльність. Модель може бути прийнята за основу під час постановки і вирішення завдань теорії оптимального управління взаємодією науки і виробництва. A mathematical model of the scientific-production cooperation, which adequately describes the dynamics of the variables characterizing the activity, is given. The model can be the basis for the formulation and solution of problems of the theory of optimal control of the interaction of science and industry. 2014 Article Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации / Н.П. Шамаева // Економічний вісник Донбасу. — 2014. — № 1(35). — С. 213-217. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1817-3772 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88685 ru Економічний вісник Донбасу Інститут економіки промисловості НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Наукові повідомлення Наукові повідомлення
spellingShingle	Наукові повідомлення Наукові повідомлення Шамаева, Н.П. Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации Економічний вісник Донбасу
description	Построена математическая модель функционирования научно-производственной кооперации, которая достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность. Модель может быть принята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления взаимодействием науки и производства.
format	Article
author	Шамаева, Н.П.
author_facet	Шамаева, Н.П.
author_sort	Шамаева, Н.П.
title	Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации
title_short	Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации
title_full	Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации
title_fullStr	Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации
title_full_unstemmed	Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации
title_sort	математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации
publisher	Інститут економіки промисловості НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Наукові повідомлення
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88685
citation_txt	Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации / Н.П. Шамаева // Економічний вісник Донбасу. — 2014. — № 1(35). — С. 213-217. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series	Економічний вісник Донбасу
work_keys_str_mv	AT šamaevanp matematičeskaâmodelʹdinamikikakosnovapostanovkiirešeniâzadačonaučnoproizvodstvennojkooperacii
first_indexed	2025-07-06T16:33:58Z
last_indexed	2025-07-06T16:33:58Z
_version_	1836916030127996928
fulltext	213 Економічний вісник Донбасу № 1 (35), 2014 Н. П. Шамаева Н. П. Шамаева, кандидат экономических наук, Камский институт гуманитарных и инженерных технологий МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ КАК ОСНОВА ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ КООПЕРАЦИИ Научно-производственная кооперация является одним из определяющих факторов развития эконо- мики [1]. К числу переменных, характеризующих процесс взаимодействия науки с производством (на корпоративном, региональном или национальном уровнях), относятся: n – число используемых патентов на новые на- укоемкие технологии; w – средства, на НИОКР (относительное количе- ство: , где w1 – финансовые средства, на- правляемыена НИОКР, w2 – общая сумма финансовых средств, используемых для производства продукции); s – доля технологически продвинутого про дукта, связанного с наукоемким производством ( , где s1 – количество изделий, произ- веденных по новым технологиям и/или коли- чество технологически продвинутых изделий, s2 – общее количество произведенных изделий); γ – степень технологического развития, γ – харак- теризует технологическое отставание): , где γ 1 – число используемых новых передовых наукоемких технологий, γ2 – общее число использу- емых технологий; μ – относительная численность персонала, за- нятого НИОКР: , где μ 1 – численность персонала занятого НИОКР, μ 2 – общая численность персонала. Математическая модель динамики этих пере- менных представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой описывает зависимость от времени этих переменных. Она имеет вид: (1)           γ⋅δ+µ=µ −⋅γ= +γ−⋅σ=γ µ⋅∆+⋅−−+⋅⋅⋅= α )t())t((f)t( dt d )))t(s(f))t(s(f()t(s dt d ))t(w(f))t((f)t(n)t( dt d )t(nd))t(n kw dn()t(nwk)t(n dt d 5 43 21 0 Здесь d – время, за которое число используемых патентов уменьшается в е – раз, при условии k=Δ=0, число патентов на изобретения в области опреде- ленной наукоемкой технологии хорошо описывается логистической кривой, являющейся решением урав- нения для n(t) системы (1). n0 n t Когда научное открытие или экспериментальная установка превращается в промышленное изделие, количество используемых патентов экспоненциально растет: d dt n(t) ≈ k·w·n0·n(t) или n(t) ~ е -k·w(t)·no·t, этот рост становится все менее заметным при больших t, когда уже „все” запатентовано, при t → ∞ n → n0. Начальный экспоненциальный рост ко- личества патентов и определяет коэффициент k. Δ – коэффициент пропорциональности между коли- чеством исследовательских групп, работающих над определенным проектом и ростом числа патентов, α – среднее число членов в такой группе. Динамику технологического отставания описы- вает второе сверху уравнение системы (1). Входящие в него функции f1(γ(t)) и f2(w(t)) описывают рост техно- логического отставания при отсутствии финансирова- ния НИОКР и скорость уменьшения технологического отставания, зависящую от степени финансирования 2 1 w ww = 2 1 s ss = 2 1 γ γ =γ 2 1 µ µ =µ 214 Економічний вісник Донбасу № 1 (35), 2014 НИОКР, соответственно σ – коэффициент пропорци- ональности между уменьшением технологического отставания и числом действующих патентов. Третье сверху уравнение описывает динамику относительного количества технологически про- двинутых изделий s в зависимости от потребности в данном продукте (спрос) f3(s(t)) и наличия на рынке данной продукции (предложение) f4(s(t)). Динамику относительной численности персо- нала, занятого НИОКР описывает самое нижнее из уравнений системы (1). Оно отражает зависимость скорости увеличения (уменьшения) относительной численности персонала занятого НИОКРом от от- носительного количества этого персонала f5(μ(t)) и технологического отставания (δ – коэффициент этой зависимости). Линеаризуем систему уравнений (1) в окрест- ности ее стационарного решения, определяемого мно- жеством условий: {ñ = n0; µ~ =0; w~ =0; δn0= f1(γ0)=0; γ~ = γ0; s~ = s0; f3(s0)= f4(s0); µ~ =μ0; f5(μ0)+ δ·γ0=0}. В результате получим систему уравнений:           −⋅−⋅γ= γ−γ⋅δ+µ−µ⋅µ=µ ⋅+γ−γ⋅γ−−⋅σ=γ µ⋅∆+−⋅⋅⋅−= α )ss())s(f dt d)s(f dt d()t(s dt d )()()(f dt d)t( dt d w)0(f dt d)()(f dt d)nn()t( dt d )nn(nwk)t(n dt d 004030 0005 20010 000 (2) Введем новые переменные: n-n0 = x1, γ-γ0 = x2, μ-μ0 = x3, тогда первые три уравнения системы (2) примут вид:         ⋅δ+⋅µ= ⋅+⋅γ−⋅σ= µ⋅∆+⋅⋅⋅−= α 23 05 3 2 2 01 12 0 1 0 1 xx)(f dt dx dt d w)0(f dt dx)(f dt dxx dt d xnwkx dt d (3) Рассмотрим теперь переменные x1, x2 и x3, как компоненты вектора x = x1· 1e + x2· 2e + x3· 3e . С помощью оператора А, который в базисе 1e , ..., 3e имеет матрицу: А 1e = k iα ke k iα =                 µδ γ−σ − )(f dt d0 0)(f dt d 00kwn 05 01 0 (4) и вектора 2210 ew)0(f dt deu  ⋅⋅+⋅µ⋅∆= α , систему урав нений (3) можно записать в виде: )uAx(AuxAx dt d 1 −+=+= (5), или yAy dt d  = , где y = uAx 1 −+ (6). Решение уравнения (6) имеет вид: y = uAx 1 −+ = 0 At ye  или x  = 0 At ye  - uA 1− (7), где постоянный вектор 0y определяется началь- ными условиями: 2 1 21 1 03 3 2 2 1 11 0 ewA)0(f dt deAe)0(xe)0(xe)0(xuA)0(xy  −−α− +µ∆+++=+= . Здесь х1(0)=n(0)- n0; х 2(0)=γ(0)- γ0; х 3(0)=μ(0)- μ0 начальные отклонения системы от положения равно- весия (стационарной точки). А-1 оператор обратный к оператору А. Его матрица находится из соотношения: АА-1=1 (8), что соответствует матричному уравнению:                 µδ γ−σ − )(f dt d0 0)(f dt d 00kwn 05 01 0 х x                 µ+δµ+δµ+δ γ−δγ−δγ−δ −−− =           330523320522310521 230113220112210111 130120110 333231 232221 131211 b)(f dt dbb)(f dt dbb)(f dt db b)(f dt dbb)(f dt dbb)(f dt db bkwnbkwnbkwn bbb bbb bbb = =           100 010 001 , из которого и следует система уравнений для нахождения элементов матрицы оператора А-1: b11= - 0kwn 1 ; b12=0; b13=0; 001 212101 0 kwn)(f dt db0b)(f dt d kwn γ δ −=⇒=γ− δ − ; )(f dt d 1b1b)(f dt db 01 22220112 γ −=⇒=γ−δ ; 0b0b)(f dt db 23230113 =⇒=γ−δ ; 00105 21 05 31310521 kwn)(f dt d)(f dt db )(f dt db0b)(f dt db γµ δσ = µ δ −=⇒=µ+δ ; )(f dt d)(f dt db )(f dt db0b)(f dt db 0105 22 05 32320522 γµ δ = µ δ −=⇒=µ+δ ; )(f dt d 1b1b)(f dt db 05 33330523 µ =⇒=µ+δ . Таким образом, матрица оператора А-1 имеет вид:                           µγµ δ γµ δσ γ − γ δ −=− )(f dt d 1 )(f dt d)(f dt dkwn)(f dt d)(f dt d 0 )(f dt d 1 kwn)(f dt d 00 kwn 1- A 05010500105 01001 0 1 (9). Найдем теперь собственные значения и соб- ственные вектора оператора А. Уравнение для их нахождения имеет вид: Н. П. Шамаева 215 Економічний вісник Донбасу № 1 (35), 2014 (10) ξλ=ξ  A , или i i e)1A(0)1A(   λ−ξ==ξλ− , что означает линейную зависимость векторов ie)1A(  λ− , а значит равенство 0 их детерминанта: =λ−λ−λ−= )e)1A(,e)1A(,e)1A((Det0 321  = λ−µδ λ−γ−δ λ+− = )(f dt d0 0)(f dt d 00)kwn( 05 01 0 = λ−µδ λ−γ− ⋅λ+−= )(f dt d 0)(f dt d )kwn( 05 01 0 ))(f dt d())(f dt d()kwn( 05010 λ−µ⋅λ+γ⋅λ+= , что и дает 3 собственных значения оператора А: λ1=- 0kwn ; λ2= )(f dt d 01 γ− ; λ3= )(f dt d 05 µ . Вычислим собственные вектора, соответствующие этим собственным значениям. Для собственного значения λ1 уравнение (10) примет вид: 0)1A( 11 =ξλ−  или                           +µδ γ−δ= z y x kwn)(f dt d0 0)(f dt dkwn 000 0 005 010  , что и дает систему уравнений для определения компонент вектора           =ξ z y x 1  : (11)      =+µ+δ =γ−+δ 0z]kwn)(f dt d[y 0y)](f dt dkwn[x 005 010 . Решение этой системы уравнений имеет вид: y = 1, ]kwn)(f dt d[1x 001 −γ σ = , 005 kwn)(f dt dz +µ δ− = . И, таким образом, собственный вектор 1ξ  имеет вид:                   +µ δ− −γ σ =ξ 005 001 1 kwn)(f dt d 1 ]kwn)(f dt d[1  . Аналогично вычисляются компоненты собствен- ных векторов 2ξ  и 3ξ  :уравнение:           ⋅               γ+µδ σ −γ =ξλ−= 1 1 1 0105 001 22 z y x ))(f dt d)(f dt d(0 00 00kwn)(f dt d )1A(0  , отсюда 0x)kwn)(f dt d( 1001 =⋅−γ ; 0x1 =⋅σ ; 0z))(f dt d)(f dt d(y 101051 =⋅γ+µ+⋅δ , что дает: 0x1 = ; δ γ+µ− = ))(f dt d)(f dt d( y 0105 1 ; 1z1 = . И вектор 2ξ  имеет вид:               δ γ+µ− =ξ 1 ))(f dt d)(f dt d( 0 0105 2  . Уравнение:           ⋅                 δ µ+γ−σ µ+− =ξλ−= 2 2 2 0501 050 33 z y x 00 0))(f dt d)(f dt d( 00))(f dt dkwn( )1A(0  дает условия для определения компонент вектора 3ξ  : 0x0x))(f dt dkwn( 22050 =⇒=⋅µ+− 0y0y))(f dt d)(f dt d(x 2205012 =⇒=⋅µ+γ−⋅σ , 0y0y 22 =⇒=δ . Отсюда           =ξ 1 0 0 3  . Теперь, вернувшись к решению (7), мы можем разложить вектор 0y по собственным векторам оператора А: 1ξ  , 2ξ  и 3ξ  : 101 kwnA ξ−=ξ  ; 2012 )(f dt dA ξγ−=ξ  ; 3053 )(f dt dA ξµ=ξ  ; =ξ+ξ+ξ= 3322110 cccy   2 1 21 1 0302010 ewA)0(f dt deAe))0((e))0((e)n)0(n(  −−α +µ∆+µ−µ+γ−γ+−= . (12) Из этого равенства (12) определяются коэффи- циенты разложения 0y по собственным векторам 1ξ  , 2ξ  , 3ξ  оператора А: с1, с2 и с3. Подставляя это разложение в решение (7) уравнения (5), получим:             µ∆ −ξ+ξ+ξ=−= α −− 0 w)0(f dt dA)ccc(euAyeX 2 0 1 332211 At1 0 At    = = 3 t)(f dt d 32 t)(f dt d 21 tkwn 1 0501 0 ececec ξ+ξ+ξ µγ−−  + =             µ∆                           µγµ δ− γµ δσ− γγ σ + α 0 w)0(f dt d )(f dt d 1 )(f dt d)(f dt dkwn)(f dt d)(f dt d 0 )(f dt d 1 kwn)(f dt d 00 kwn 1 5 0 05010500105 01001 0 Н. П. Шамаева               δ γ+µ− =ξ 1 ))(f dt d)(f dt d( 0 0105 2  216 Економічний вісник Донбасу № 1 (35), 2014 = +           +               δ µ+γ −+                   +µ δ− −γ σ µγ−− 1 0 0 ec 1 )(f dt d)(f dt d 0 ec kwn)(f dt d 1 ]kwn)(f dt d[1 ec t)(f dt d 3 0501t)(f dt d 2 005 001 tkwn 1 0501 0 =                               γµ δ+µ∆δσ − γ + γ µ∆σ µ∆ + α α α 00105 0 2 20 01 2 001 0 0 0 kwn)(f dt d)(f dt d nkw)0(f dt d )(f dt d )0(f dt d kwn)(f dt d kwn                                 γµ δ+µ∆δσ −++ +µ δ− γ +µ∆σ + δ µ+γ − µ∆ +−γ σ = α µγ−− α γ−− α− 00105 0 2 20t)(f dt d 3 t)(f dt d 2 005 tkwn 1 001 0 2 200501t)(f dt d 2 tkwn 1 0 0 001 tkwn 1 kwn)(f dt d)(f dt d knw)0(f dt d ecec kwn)(f dt d ec kwn)(f dt d knw)0(f dt d)(f dt d)(f dt d ecec kwn ]kwn)(f dt d[ec 0501 0 01 0 0 . Компоненты этого вектора позволяют показать зависимость от времени динамических переменных n, γ, μ и s, характеризующих нашу систему: ]kwn)(f dt d[ec kwn nxnn 001 tkwn1 0 0 010 0 −γ σ + µ∆ +=+= − α . При t → ∞ 0 0 0 kwn nn αµ∆ +→ стационарному состо- янию очевидным становится тот факт, что обильное финансирование w>>1 снижает стационарное коли- чество используемых патентов, поскольку теряется стимул. ))(f dt d)(f dt d(ecec kwn)(f dt d w)0(f dt dkn x 0501 t)(f dt d 2tkwn 1 001 2 200 020 01 0 µ+γ δ −+ γ +µ∆σ +γ=+γ=γ γ−− α Для технологического отставания γ следует раз- личать два варианта поведения: если 0)(f dt d)(f dt d 0501 =µ+γ , то при t → ∞ γ≡ γ +µ∆σ +γ→γ α ~ kwn)(f dt d w)0(f dt dkn 001 2 200 0 , и при хорошем финансировании (w>>1) стационарная точка γ~ , к которой стремится технологическое отставание при t → ∞ будет прямо пропорционально финансирова- нию (с коэффициентом )(f dt d )0(f dt d 01 2 γ ): w )(f dt d )0(f dt d ~ 01 2 0 γ +γ≈γ , а при плохом финансировании (w<<1) wkn)(f dt d ~ 001 0 0 γ µ∆σ +γ≈γ α и уменьшение степени техноло- гического отставания может быть получено за счет увеличения относительной численности персонала, занятого НИОКР μ0. Если же 0)(f dt d)(f dt d 0501 ≠µ+γ , то, поскольку )(f dt d 01 γ <0, происходит бифуркация (т. е. изменение динамического поведения) системы к новому поло- жению равновесия: t → ∞ ))(f dt d)(f dt d(Ac kwn)(f dt d w)0(f dt dkn 0501 2 001 2 200 0 µ+γ δ − γ +µ∆σ +γ→γ α , здесь А, характеризующая отклонение системы от старого положения равновесия при переходе к ново- му, определяется разложением в ряд Тейлора правых частей системы уравнений (1) с точностью до более высоких степеней, чем первая. Зависимость от времени относительной чис- ленности персонала, занятого НИОКР описывается функцией μ(t): 00105 2 020)( 3 )( 2 005 1 0 3 0 )()( )0( )( 0501 0 kwnf dt df dt d wknf dt d ecec kwnf dt d ecx tf dt dtf dt dtkwn γµ δµδσ µ µµµ α µγ +∆ −+− + −=+= −− так как 1fdt d <0, 5f dt d >0, то в условиях экономи- ческого кризиса с2=0 и с3=0, w<<1, t → ∞ 1 kwn)(f dt d)(f dt d 00105 0 0 〈〈 γµ µ∆δσ −µ→µ α . В условиях эконо- мического роста с2≠0 и с3≠0 и μ растет: t)(f dt d 3 t)(f dt d 2 0501 ecec µγ− +≈µ , т. е. происходит бифуркация к новому положению равновесия. Доля технологически продвинутого продукта s определяется балансом спроса и предложения. Дей- ствительно линеаризованное уравнение динамики для s легко решается и дает зависимость s от времени t:       −γ+= t))s(f dt d)s(f dt d(expcss 0403040 , если спрос и предложение сбалансированы )s(f dt d)s(f dt d 0403 = , то s=s0+с4 система не является асимптотически устой- чивой, с4 может быть случайной величиной и s флук- Н. П. Шамаева 217 Економічний вісник Донбасу № 1 (35), 2014 туирует вокруг положения равновесия s0 – среднего количества выпуска наукоемкой продукции. Если же )s(f dt d)s(f dt d 0403 〈 предложение наукоем- кой продукции больше чем спрос на нее (например, в случае страны живущей за счет экспорта своих природных ресурсов), то s→ s0 и s0 асимптотически устойчивое положение равновесия (которое в случае технологически отсталой страны может быть равно 0). Если, напротив, )s(f dt d)s(f dt d 0403 〉 , т. е. спрос на технологически развитую продукцию растет опере- жая предложение, то производство высокотехнологи- ческой продукции s экспоненциально растет. Таким образом, построенная математическая модель деятельности научно-производственной коо- перации достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность. Поэтому она может быть взята за основу при поста- новке и решении задач теории оптимального управ- ления функционирования научно-производственной кооперацией. Другое возможное использование этой моде- ли – это изучение функционирования научно-про- изводственной кооперации в любых [2] формах ее проявления во всех возможных точках этой модели. Для этого необходимо найти все стационарные точки (1) и изучить динамику переходов из одной стацио- нарной точки в другую при изменении параметров, входящих в уравнение (1), что и является основной за- дачей синергетики. Чтобы это сделать надо разложить правые части уравнений входящих в (1) с точностью до членов более высокого порядка малости, чем в случае линеаризации. Литература 1. Шамаева Н. П. Оценка современного состоя - ния и возможных перспектив развития научно-про - из водственной кооперации в Удмуртской республике / Н. П. Шамаева // Вестник Удмуртского университе- та. – 2012. – № 2 – 3. – С. 80 – 85. 2. Шамаева Н. П. Интеграция образования, науки и бизнеса в регионе в условиях модернизации экономики / Н. П. Шамаева, К. С. Мохначев // Экономика образования. – 2012. – № 5. – С. 46 – 53. Шамаєва Н. П. Математична модель дина- міки як основа постановки і рішення завдань науково-виробничої кооперації Побудована математична модель функціонуван- ня науково-виробничої кооперації, яка досить аде- кватно описує динаміку змінних, що характеризують цю діяльність. Модель може бути прийнята за основу під час постановки і вирішення завдань теорії опти- мального управління взаємодією науки і виробництва. Ключові слова: взаємодія науки і виробництва, математична модель динаміки, лінеаризоване рівнян- ня динаміки, логістична крива. Шамаева Н. П. Математическая модель ди- намики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации Построена математическая модель функцио- нирования научно-производственной кооперации, которая достаточно адекватно описывает динамику переменных, характеризующих эту деятельность. Мо- дель может быть принята за основу при постановке и решении задач теории оптимального управления взаимодействием науки и производства. Ключевые слова: взаимодействие науки и произ- водства, математическая модель динамики, линеари- зованное уравнение динамики, логистическая кривая. Shamayeva N. P. Dynamics Mathematical Model as the Basis of Formulating and Solving of Tasks of Scientific-production Cooperation A mathematical model of the scientific-production cooperation, which adequately describes the dynamics of the variables characterizing the activity, is given. The model can be the basis for the formulation and solution of problems of the theory of optimal control of the interaction of science and industry. Key words: science and industry cooperation, dynamics mathematical model, the linearized dynamic equation, the logistic curve. Стаття надійшла до редакції 22.11.2013 Прийнято до друку 12.03.2014 Н. П. Шамаева

Математическая модель динамики как основа постановки и решения задач о научно-производственной кооперации

Institution

Ähnliche Einträge