Распространение и отражение волн в системах податливых трубок
Исследовано осесимметричное волновое течение вязкой несжимаемой жидкости в системе, состоящей из длинной тонкой упругодеформируемой трубки и терминального элемента с комплексной проводимостью. Получено выражение для проводимости системы с учетом отражения волн на конце трубки. Исследована зависимост...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/951 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Распространение и отражение волн в системах податливых трубок / Н.Н. Кизилова // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 50-57. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-951 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-9512008-10-15T18:47:44Z Распространение и отражение волн в системах податливых трубок Кизилова, Н.Н. Исследовано осесимметричное волновое течение вязкой несжимаемой жидкости в системе, состоящей из длинной тонкой упругодеформируемой трубки и терминального элемента с комплексной проводимостью. Получено выражение для проводимости системы с учетом отражения волн на конце трубки. Исследована зависимость проводимости от геометрических и механических параметров системы. Получено уравнение для определения гармоник, на которых проводимость имеет экстремумы. Показано, что эти гармоники являются резонансными в том смысле, что любые изменения параметров терминального элемента вызывают значительные изменения амплитуд резонансных гармоник. В широком диапазоне, соответствующем артериальным руслам, проведено исследование влияния изменения параметров модели на амплитуду и фазу входной проводимости системы. Обсуждена возможность использования предложенной модели для интерпретации данных пульсовой диагностики. Досліджено осесиметричну хвильову течію в'язкої нестисливої рідини в системі, яка складається з довгої тонкої пружнодеформівної трубки й термінального елемента з комплексною провідністю. Отримані вирази для провідності системи з урахуванням відбиття хвиль на кінці трубки. Досліджено залежність провідності від геометричних і механічних параметрів системи. Отримано рівняння для визначення гармонік, на яких провідність має екстремуми. Показано, що ці гармоніки є резонансними, тобто будь-які зміни параметрів термінального елемента викликають значні зміни амплітуд резонансних гармонік. У широкому діапазоні, який відповідає артеріальним руслам людини, проведено дослідження впливу зміни параметрів моделі на амплітуду й фазу вхідної провідності системи. Обговорено можливість використання запропонованої моделі для інтерпретації даних пульсової діагностики. Axisymmetric wave motion of a viscous incompressible liquid in the system consisting of a long thin elastic tube and a terminal element with a complex conductivity is investigated. The expression for the input conductivity of the system taking into account wave reflection at the end of the tube is obtained. The dependence of conductivity on the geometrical and mechanical parameters of the system is investigated. The equation for calculation of the harmonics for which the conductivity reaches the extreme is obtained. These harmonics are shown to be the resonant ones, i.\,e., any changes in the terminal conductivity cause significant changes of their amplitudes. The influence of variations of the model's parameters on the amplitude and the phase of the input conductivity is investigated. Possible application of the proposed model for interpretation of data of the pulse diagnosis is discussed. 2003 Article Распространение и отражение волн в системах податливых трубок / Н.Н. Кизилова // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 50-57. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/951 532.595 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследовано осесимметричное волновое течение вязкой несжимаемой жидкости в системе, состоящей из длинной тонкой упругодеформируемой трубки и терминального элемента с комплексной проводимостью. Получено выражение для проводимости системы с учетом отражения волн на конце трубки. Исследована зависимость проводимости от геометрических и механических параметров системы. Получено уравнение для определения гармоник, на которых проводимость имеет экстремумы. Показано, что эти гармоники являются резонансными в том смысле, что любые изменения параметров терминального элемента вызывают значительные изменения амплитуд резонансных гармоник. В широком диапазоне, соответствующем артериальным руслам, проведено исследование влияния изменения параметров модели на амплитуду и фазу входной проводимости системы. Обсуждена возможность использования предложенной модели для интерпретации данных пульсовой диагностики. |
| format |
Article |
| author |
Кизилова, Н.Н. |
| spellingShingle |
Кизилова, Н.Н. Распространение и отражение волн в системах податливых трубок |
| author_facet |
Кизилова, Н.Н. |
| author_sort |
Кизилова, Н.Н. |
| title |
Распространение и отражение волн в системах податливых трубок |
| title_short |
Распространение и отражение волн в системах податливых трубок |
| title_full |
Распространение и отражение волн в системах податливых трубок |
| title_fullStr |
Распространение и отражение волн в системах податливых трубок |
| title_full_unstemmed |
Распространение и отражение волн в системах податливых трубок |
| title_sort |
распространение и отражение волн в системах податливых трубок |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/951 |
| citation_txt |
Распространение и отражение волн в системах податливых трубок / Н.Н. Кизилова // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 2. — С. 50-57. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kizilovann rasprostranenieiotraženievolnvsistemahpodatlivyhtrubok |
| first_indexed |
2025-07-02T05:11:53Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:11:53Z |
| _version_ |
1836510729145942016 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
УДК 532.595
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН
В СИСТЕМАХ ПОДАТЛИВЫХ ТРУБОК
Н. Н. К ИЗ И Л ОВ А
Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина
Получено 2.06.2002 � Пересмотрено 20.09.2003
Исследовано осесимметричное волновое течение вязкой несжимаемой жидкости в системе, состоящей из длинной
тонкой упругодеформируемой трубки и терминального элемента с комплексной проводимостью. Получено выраже-
ние для проводимости системы с учетом отражения волн на конце трубки. Исследована зависимость проводимости
от геометрических и механических параметров системы. Получено уравнение для определения гармоник, на которых
проводимость имеет экстремумы. Показано, что эти гармоники являются резонансными в том смысле, что любые
изменения параметров терминального элемента вызывают значительные изменения амплитуд резонансных гармо-
ник. В широком диапазоне, соответствующем артериальным руслам, проведено исследование влияния изменения
параметров модели на амплитуду и фазу входной проводимости системы. Обсуждена возможность использования
предложенной модели для интерпретации данных пульсовой диагностики.
Дослiджено осесиметричну хвильову течiю в’язкої нестисливої рiдини в системi, яка складається з довгої тонкої
пружнодеформiвної трубки й термiнального елемента з комплексною провiднiстю. Отриманi вирази для провiдно-
стi системи з урахуванням вiдбиття хвиль на кiнцi трубки. Дослiджено залежнiсть провiдностi вiд геометричних i
механiчних параметрiв системи. Отримано рiвняння для визначення гармонiк, на яких провiднiсть має екстремуми.
Показано, що цi гармонiки є резонансними, тобто будь-якi змiни параметрiв термiнального елемента викликають
значнi змiни амплiтуд резонансних гармонiк. У широкому дiапазонi, який вiдповiдає артерiальним руслам людини,
проведено дослiдження впливу змiни параметрiв моделi на амплiтуду й фазу вхiдної провiдностi системи. Обгово-
рено можливiсть використання запропонованої моделi для iнтерпретацiї даних пульсової дiагностики.
Axisymmetric wave motion of a viscous incompressible liquid in the system consisting of a long thin elastic tube and a
terminal element with a complex conductivity is investigated. The expression for the input conductivity of the system
taking into account wave reflection at the end of the tube is obtained. The dependence of conductivity on the geometrical
and mechanical parameters of the system is investigated. The equation for calculation of the harmonics for which the
conductivity reaches the extreme is obtained. These harmonics are shown to be the resonant ones, i. e., any changes in the
terminal conductivity cause significant changes of their amplitudes. The influence of variations of the model’s parameters
on the amplitude and the phase of the input conductivity is investigated. Possible application of the proposed model for
interpretation of data of the pulse diagnosis is discussed.
ВВЕДЕНИЕ
Закономерности распространения и отражения
волн в заполненных жидкостью трубках из упру-
гих и вязкоупругих материалов широко исследо-
вались в гидромеханике [1 – 11]. Помимо техниче-
ских систем, возможные приложения такого рода
задач связаны с методиками пульсовой диагности-
ки, имеющими своей целью определение состояния
ряда внутренних органов и систем организма по
характеристикам пульса некоторых артерий при
их специальном поджатии. Существующие мето-
дики пульсовой диагностики основаны на эмпири-
ческих данных, а их рациональная интерпретация
с точки зрения современной гидромеханики крово-
обращения отсутствует. Особенности распростра-
нения и отражения волн в артериях и системах ар-
терий, а также в модельных системах латексных
трубок неоднократно исследовались теоретически
и экспериментально [1, 3 – 5,7].
На обширном эмпирическом материале показа-
но, что линеаризованные модели осесимметрично-
го волнового движения вязкой жидкости в пода-
тливых трубках адекватно описывают большин-
ство обнаруженных экспериментально закономер-
ностей [1 – 7]. Материал стенки трубки обычно
считается линейным вязкоупругим, однородным и
изотропным, а трубка – прикрепленной к окружа-
ющим тканям, которые допускают ее перемещения
в радиальном направлении. Для трубок, у кото-
рых h/R≤0.1 (h – толщина стенки, R – ее внутрен-
ний радиус) использование моделей тонкостенных
и толстостенных трубок приводит к одинаковым
выражениям для величин, характеризующих рас-
пространение и отражение волн [1, 2].
Локальные расширения или сужения сосудов,
а также любые неоднородности механических
свойств их стенок являются источником дополни-
тельных отраженных волн в артериальных систе-
мах [1, 3, 7,8,10,11]. Сосудистое русло в целом или
русла отдельных внутренних органов часто рас-
сматриваются как упругая трубка с некоторой эф-
фективной длиной и единственным местом отра-
жения пульсовых волн на ее конце [1, 5]. Учет
многократных ветвлений сосудов, и следователь-
но, дополнительных источников отраженных волн
50 c© Н. Н. Кизилова, 2003
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
позволяет исследовать особенности распростране-
ния пульсовых волн по артериальным руслам с
определенной геометрией [3, 4, 10, 11]. Исследован
ряд особенностей распространения волн в ветвя-
щихся системах податливых трубок [3, 4, 7, 10, 11],
соответствующих строению различных артериаль-
ных русел внутренних органов [11, 12].
Спектральные характеристики пульсовой вол-
ны могут быть использованы в целях медицин-
ской диагностики [9 – 11, 13 – 16]. При исследова-
нии параметров пульса должны учитываться осо-
бенности геометрии системы и ее механические
свойства [10, 11, 13 – 16]. Один из методов анали-
за пульса базируется на наличии у артериальных
систем внутренних органов собственных резонанс-
ных частот. Это позволяет проводить диагности-
ку, используя только спектральные характеристи-
ки пульса периферических артерий [13 –15]. Хара-
ктеристики набора упомянутых частот связаны с
характером распространения и отражения волн в
сосудистом русле данного органа и определяются
геометрией русла [11, 12, 14 –16]. Эксперименты и
клинические наблюдения показали, что изменения
состояния органа вызывают существенное измене-
ние амплитуды одной резонансной частоты при не-
значительном изменении амплитуд других частот.
Например, спектр входного импеданса артериаль-
ной системы почек Z, вычисляемый как отноше-
ние амплитуд давления P и расхода Q на входе
в основную артерию Z=P/Q, имеет максимум и
минимум для второй и третьей гармоник пульсо-
вой волны соответственно [14]. Аналогичный эф-
фект удается воспроизвести на модели системы
кровообращения как эластичной трубки с присо-
единенными упругими камерами, собственная ча-
стота колебаний которых подбиралась в соответ-
ствии с резонансными частотами имитируемых ор-
ганов [13]. Экспериментально обнаружена зависи-
мость амплитудного и фазового спектра отражен-
ной волны от длины основной артерии [15]. На-
личие у артериальных русел резонансных свойств
отмечалось и ранее, но только в последние годы
стала широко обсуждаться возможность примене-
ния этих свойств для диагностики.
В данной работе на основе модели волнового
течения вязкой жидкости исследуются резонанс-
ные свойства модели сосудистого русла, состоя-
щей из деформируемой трубки с терминальным
сопротивлением, определяющим условия отраже-
ния волн на ее конце. Полученные результаты об-
суждаются с точки зрения возможности их пра-
ктического применения в медицинской диагности-
ке.
0 x
P(t,x)
Yt
Рис. 1. Модель сосудистого русла
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим систему, состоящую из длинной
тонкой трубки кругового сечения, имеющей дли-
ну L и радиус R�L, соединенной последова-
тельно с терминальным элементом с проводимо-
стью Yt (рис. 1). Система рассматривается как мо-
дель артериального русла органа, который вклю-
чен в общую систему кровообращения. При этом
на входе в трубку задается давление p(t, 0)=P eiωt
(ω=2πf , f – частота), а во входном ее сечении мо-
гут быть измерены давление и объемный расход
жидкости Q, а также вычислена входная прово-
димость Y =(Z)−1. Проводимость Yt определяется
строением и состоянием сосудистого русла, лежа-
щего вниз по течению, и считается заданной вели-
чиной, в общем случае, комплексной. Величина Yt
для терминального сосудистого русла конкретного
органа может быть вычислена непосредственно по
результатам прямых измерений давления и крово-
тока.
Исследуем волновое осесимметричное течение
однородной несжимаемой жидкости с плотностью
ρ и вязкостью µ в трубке, используя линеаризи-
рованные уравнения Навье – Стокса в связанной с
трубкой цилиндрической системе координат:
∂vr
∂r
+
vr
r
+
∂vx
∂x
= 0,
∂vr
∂t
=−1
ρ
∂p
∂r
+
+ν
(
∂2vr
∂r2
+
1
r
∂vr
∂r
− vr
r2
+
∂2vr
∂x2
)
,
∂vx
∂t
=−1
ρ
∂p
∂ x
+ ν
(
∂2vx
∂r2
+
1
r
∂vx
∂r
+
∂2vx
∂x2
)
.
(1)
Н. Н. Кизилова 51
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
Здесь p – давление; ~v=(vr, 0, vx) – скорость тече-
ния; ν=µ/ρ – кинематическая вязкость. Материал
трубки будем считать однородным и изотропным,
а для тонкостенной трубки используем уравнения
линейной теории осесимметричных оболочек [1,2]:
ρwh
∂2ur
∂t2
=
(
p− 2µ
∂ur
∂r
)
∣
∣
∣
∣
r=R
−
− Eh
1 − σ2
(
ur
R2
+
σ
R
∂ux
∂x
)
,
ρwh
∂2ux
∂t2
= −µ
(
∂ux
∂r
+
∂ur
∂x
)
∣
∣
∣
∣
r=R
+
+
Eh
1 − σ2
(
∂2ux
∂x2
+
σ
R
∂ur
∂x
)
,
(2)
где ρw , E, σ – плотность, модуль Юнга и коэффи-
циент Пуассона материала стенки соответствен-
но; R – внутренний радиус трубки; ~u=(ur , 0, ux) –
перемещение стенки. Приближение тонкостенной
трубки может быть использовано для артерий вну-
тренних органов, для которых выполняется усло-
вие h/R≤0.1 [1]. Граничные условия на стенке
трубки записываются в виде
vr =
∂ur
∂t
, vx =
∂ux
∂t
при r = R,
vr = 0,
∂ux
∂r
= 0 при r = 0.
(3)
На конце трубки зададим условия непрерывно-
сти давления и расхода:
p =
q(t)
Yt
, Q = q(t) при x = L, (4)
где q(t) – объемный расход во входном сечении
терминального русла.
Вводя характерные значения неизвестных зада-
чи (1) – (3) p∗, v∗r , v
∗
x, u
∗
r , u
∗
x и соответствующие
безразмерные величины p◦, v◦r , v
◦
x, u
◦
r , u
◦
x, а так-
же безразмерные переменные t◦= t/t∗, r◦=r/R,
x◦=x/L, из первого уравнения системы (1) по-
лучим v∗r/v
∗
x∼R/L�1. Следовательно, вторыми
производными по x в системе (1) можно прене-
бречь. Теперь оставшиеся два ее уравнения запи-
шем в виде
1
St
R
L
∂v◦r
∂t◦
= − 1
Eu
∂p◦
∂r◦
+
+
1
Re
R
L
(
∂2v◦r
∂r◦ 2
+
1
r◦
∂v◦r
∂r◦
− v◦r
r◦ 2
)
,
1
St
∂v◦x
∂t◦
= − 1
Eu
R
L
∂p◦
∂x◦
+
+
1
Re
(
∂2v◦x
∂r◦ 2
+
1
r◦
∂v◦x
∂r◦
)
.
(5)
Здесь St, Eu, Re – числа Струхаля, Эйлера и Рей-
нольдса соответственно.
В первом уравнении системы (5) коэффициенты
при производных v◦r имеют порядок R2/L2 и ими
можно пренебречь по сравнению с производной от
давления. Поэтому уравнение сводится к соотно-
шению ∂p◦/∂r◦=0.
Решение задачи будем искать в виде
fj =Fj(r)e
iω(t−x/c), где fj ={p, vr, vx, ur, ux} –
вектор неизвестных; Fj={P, Vr, Vx, Ur, Ux} –
амплитуды неизвестных; c – скорость рас-
пространения пульсовой волны. Подставляя
соответствующие выражения для неизвестных, из
второго уравнения (5) получим уравнение Бесселя
для амплитуды V ◦
x :
d2V ◦
x
dr◦ 2
+
1
r◦
dV ◦
x
dr◦
− iω
Re
St
V ◦
x =
Re
Eu
R
L
∂p◦
∂x◦
.
Его решение, удовлетворяющее условиям (3), в
размерном виде записывается как
Vx(r) =
1
ρc
dp
dx
(
1 − J0(i
3/2αr/R)
J0(i3/2α)
)
. (6)
Здесь J0 – функция Бесселя первого рода нулевого
порядка; W =R
√
ων – число Уомерсли. Объемный
расход Q через сечение трубки с учетом уравне-
ний (5) имеет вид
Q = 2π
R
∫
0
uxrdr = Re
(
dp
dx
eiωtπR2
iωρ
(1 − F01)
)
,
где F01=2J1(z)/(zJ0(z)) – функция Уомерсли;
z=Wi3/2; J1 – функция Бесселя первого поряд-
ка. Подставляя уравнение (6) в систему (1), (2),
можно обычным способом получить дисперсион-
ное уравнение, решения которого исследовались
ранее для моделей тонко- и толстостенных тру-
бок с разными условиями закрепления наружной
стенки трубки [1, 2]. При этом было обнаруже-
но существование двух типов волн: волн давле-
52 Н. Н. Кизилова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
ния, распространяющихся в жидкости, и волн Ла-
ме, распространяющихся в стенке трубки. Рассмо-
трим распространение волн первого типа, которые
имеют скорость [1, 2]:
c = c0
√
1 − F10
1 − σ2
, c0 =
√
Eh
2ρR
. (7)
В общем случае c – комплексная величина, ко-
торая может быть определена из формулы (7) и
записана в виде c= iω/(α+iβ), где β=2π/λ; α –
коэффициент затухания волны, связанный с де-
формируемостью стенки трубки [1]. При α=0,
β=ω/c0, выражение (7) переходит в формулу
Моэнса – Кортевега: c=c0. В силу зависимости
F01(ω) имеет место дисперсия скорости c=c(ω) и
зависимость проводимости системы от частоты:
Y =Y (ω). Последнее свойство известно из резуль-
татов измерений давления и расхода в артериаль-
ных системах.
При наличии терминального элемента с прово-
димостью Yt 6=Y0, где Y0 =S/(ρc), на конце трубки
возникает отраженная волна. Здесь Y0 – характе-
ристическая проводимость трубки, т. е. проводи-
мость при отсутствии отраженной волны. Систе-
ма (1) – (3) описывает распространение волн дав-
ления p=P eiω(t−x/c) и расхода Q=Y0P e
iω(t−x/c)
вверх и вниз по течению. Исходя из этого, ее об-
щее решение можно записать в виде суперпозиции
проходящей и отраженной волн с амплитудами p0
и p1 соответственно:
p(t, x) = p0e
iω(t−x/c) + p1e
iω(t+(x−2L)/c),
Q(t, x) = Y0(p0e
iω(t−x/c) − p1e
iω(t+(x−2L)/c).
(8)
Теперь входную проводимость системы
Y =Q(t, 0)/p(t, 0) можно определить из выра-
жений (8) и условий (4). Учитывая, что
Yt=q(t)/p(t, L), получим
Y = Y0
1 − Γe−2iωL/c
1 + Γe−2iωL/c
, (9)
где Γ=p1/p0 =(1−Y ◦
t )/(1+Y ◦
t ) – коэффициент
отражения волны на конце трубки; Y ◦
t =Yt/Y0 –
безразмерная проводимость терминального эле-
мента.
В общем случае терминальная проводимость
имеет вид Y ◦
t =Y1+iY2 , где Y1 и Y2 связаны с ре-
зистивным сопротивлением и податливостью тер-
минального элемента соответственно. Представив
безразмерную проводимость системы Y ◦=Y/Y0 в
виде Y ◦=y eiψ , из уравнения (9) получим выраже-
ния для амплитуды y и фазы ψ:
y =
((ζ2 − Γ3)
2τ2
1 + 16ζ2B2)1/2
(ζ2 + Γ3)τ1 + 2ζ((1 − τ2)Γ1 − 4τΓ2)
, (10)
ψ = arctg
(
4ζ
(
Γ1τ + Γ2(1 − τ2)
)
(ζ2 − Γ3)τ1
)
, (11)
где
Γ1 =
(
1 − Y 2
1 − Y 2
2
)
/δ; Γ2 = 2Y2/δ;
Γ3 =
(
(1 − Y1)
2 + Y 2
2
)
/δ;
α = ωIm (c)/|c|2; β = ωRe (c)/|c|2;
|c| =
√
Re
2(c) + Im
2(c) ;
δ = (1 + Y1)
2 + Y 2
2 ; B = τΓ1 + (1 − τ2)Γ2;
τ = tg (βL); τ1 = 1 + τ2; ζ = e2αL.
Величина Y ◦ определяет параметры пульсовой
волны, которая отражается сосудистым руслом ор-
гана, распространяется по всей системе кровообра-
щения и содержит информацию о состоянии дан-
ного органа. В рамках предложенной модели это
состояние выражается через параметры Y1,2, α, β,
E, σ, h, R и L, характеризующие свойства терми-
нального сосудистого русла, геометрию и механи-
ческие свойства трубки (основной артерии орга-
на).
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ВХО-
ДНОЙ ПРОВОДИМОСТИ ОТ ПАРАМЕ-
ТРОВ СИСТЕМЫ
Для трубки с закрытым концом (Y1 =0, Y2 =0)
из выражений (10), (11) получаем
y =
(
(ζ2 − 1)2τ2
1 + 16τζ2
)1/2
(ζ2 + 1)τ1 + 2ζ(1 − τ2)
,
ψ = arctg
(
4τζ
(ζ2 − 1)τ1
)
.
(12)
При Im (c)=0 из формулы (12) следует, что y=τ ,
ψ=±π/2. Это соответствует результатам [1]. Соот-
ношение (12) позволяет исследовать зависимость
амплитуды входной проводимости y от коэффи-
циента затухания пульсовой волны α. При α→∞
имеем y(α)→1, причем при α>2 справедливо
0.95<y(α)<1 – амплитуда близка к единице. Если
|τ |<1, то 0<y<1 и наоборот, если |τ |>1, то y>1.
Таким образом, соотношение между проводимо-
стью системы и характеристической проводимо-
стью трубки определяется параметром τ , что так-
же согласуется с результатами предыдущих иссле-
дований [1].
Н. Н. Кизилова 53
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
0 0.1 0.2 0.3 0.4
y
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1
2
3
4
5
6
Рис. 2. Зависимости y(α) при Y2 =0.5:
1–6 – Y1=0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1
В случае чисто резистивного терминального со-
противления и согласования проводимостей труб-
ки и терминального элемента (приближение длин-
ной трубки, Y1 =1, Y2 =0) из формул (10), (11) по-
лучаем y=1, ψ=±π/2. Таким образом, при дан-
ных условиях проводимость системы совпадает с
характеристической при любых значениях пара-
метра α.
В случае достаточно короткой трубки с длиной
L≤|c|2/(ωRe (c)) из формул (10), (11) имеем
y =
(
(ζ2 − Γ3)
2 + 16ζ2Γ2
2
)1/2
ζ2 + Γ3 + 2ζΓ1
,
ψ = arctg
(
4ζΓ2
ζ2 − Γ3
)
.
(13)
При α→0 выражения (13) переходят в известные
соотношения [1]:
y = (Y 2
1 + Y 2
2 )1/2, ψ = arctg (Y2/Y1).
При заданных значениях Y1,2 с ростом α для
амплитуды справедлива тенденция y(α)→1. Вид
зависимостей y(α) для ряда значений парамет-
ра Y1 при фиксированном Y2 приведен на рис. 2.
Соответствующие характеристики y(α) при фи-
ксированном значении Y1 и вариациях Y2 имеют
сходный вид. При фиксированных значениях τ
функция y(α) аналогична кривым, приведенным
на рис. 2. При этом, в зависимости от соотноше-
ния между величинами Y1,2 и значений τ , ампли-
туда проводимости системы может стать как мень-
ше, так и больше характеристической проводимо-
сти трубки. Используя выражение (10), получаем,
что y>1, если выполняются следующие условия:
Γ1 < 0, βL ∈ [πn, π/2 + πn]
или
Γ1 > 0, βL ∈ [π/2 + πn, π(n + 1)],
где n∈Z. Для чисто резистивного (Y2 =0) терми-
нального элемента и Y1 =0 формулы (10), (11) пе-
реходят при α=0 в соотношения, рассматривав-
шиеся ранее (см. [1]).
Исследуем зависимость входящих в форму-
лы (10), (11) величин α и β от параметров сис-
темы, которые входят в соотношения (7). Для
E, σ, µ, R и h выберем диапазоны, соответ-
ствующие их физиологическим вариациям в со-
судистой системе человека: E=5·(105÷107) Па,
σ=0.2÷0.4, µ=(3÷10)·10−3 Па·с, R=0.1÷5 мм,
h=0.01÷0.5 мм, принимая во внимание первона-
чальное допущение модели h/R≤0.1. Результаты
исследования показали, что при фиксированной
частоте ω значения α монотонно увеличиваются
с ростом µ и монотонно убывают с ростом осталь-
ных параметров. Наиболее значительное влияние
на коэффициент затухания пульсовой волны α
оказывают изменения диаметра и толщины труб-
ки (при этом в диапазоне частот f=0÷512 Гц
величина α увеличивается в 8.2 и 3.4 раза со-
ответственно) и изменение модуля упругости стен-
ки трубки (α увеличивается в 1.9 раза). При этом
α(ω)∼√
ω, а β(ω)∼ω.
Частотные зависимости α(ω) и β(ω) приведены
на рис. 3. В исследованном диапазоне частот при
вариации геометрических и механических параме-
тров трубки и вязкости крови коэффициент за-
тухания пульсовой волны составляет α≤9.27 м−1.
Стоит заметить, что при различных патологиях
изменения параметров сосудистой стенки часто
происходят согласованно. Это обстоятельство дол-
жно быть учтено для более детальных оценок воз-
можных диапазонов значений параметра α. Так,
следует ожидать значительного роста α при па-
тологиях, связанных с увеличением податливости
сосудистой стенки, при аневризмах сосудов и оте-
ке тканей. В норме влияние параметра α на ампли-
туду и фазу проводимости системы связано также
с длиной трубки. По данным [13, 15] величина L
сильно влияет на резонансные свойства входной
проводимости сосудистого русла.
3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ
СВОЙСТВ ВХОДНОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Поскольку предложенная в [13 –15] новая ме-
тодика пульсовой диагностики связана с нали-
чием у входной проводимости резонансных ча-
стот, исследуем зависимости y(ω)=y(α(ω)L, τ(ω)),
54 Н. Н. Кизилова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
f (Hz)
0 100 200 300 400 500
0
2
4
6
8
10
1
2
3
4
5
f (Hz)
0 100 200 300 400 500
0
200
400
600
800
1000
1200
1
2
3
4
5
а б
Рис. 3. Частотные зависимости при фиксированных значениях σ, µ, R, h:
а – для α(ω), б – для β(ω);
1–5 – E=5·105, 106, 5·106, 107, 5·107 Па
f (Hz)
0 10 20 30 40 50 60
y
0
5
10
15
20
25
1
2
3
4
5 6
f (Hz)
0 10 20 30 40 50 60
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
2
3
4
5
6
а б
Рис. 4. Частотные зависимости при Y2 =0.5, L=20 см, R=0.5 см, h=0.5 мм,
E =106 Па, σ=0.3, µ=4.5·10−3 Па·с, ρ=1.05 г/см3:
а – для y(f), б – для ψ(f);
1–6 – Y1 =0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1
ψ(ω)=ψ(α(ω)L, τ(ω)), используя базовые выраже-
ния (10), (11). Из условия y′ω=0 можно получить
трансцендентное уравнение для определения резо-
нансных частот вида
y′αα
′
ω + y′ββ
′
ω = 0, (14)
которое не приводится здесь полностью в силу сво-
ей громоздкости. Исследование корней уравнения
(14) при различных параметрах модели показало,
что значения ω, на которых y(ω) достигает экстре-
мума, зависят от длины трубки, а амплитуды про-
водимости в точках экстремума определяются па-
раметрами терминального русла Y1,2. С ростом ча-
стоты амплитуда проводимости в точках максиму-
ма монотонно убывает (рис. 4, а), что связано с на-
блюдающимся при этом увеличением коэффици-
ента затухания волн (рис. 3, а). С ростом резистив-
ной части терминальной проводимости Y1 и сни-
жением ее податливости Y2 максимальные ампли-
туды входной проводимости снижаются (рис. 4, а).
В точках, соответствующих максимумам ампли-
туды проводимости, фаза проводимости меняет
знак. Эта особенность была исследована нами ра-
нее для ветвящихся артериальных русел с ана-
стомозами [16]. Именно это свойство входной про-
водимости делает возможным анализ пульсовых
кривых в тех случаях, когда за счет патологиче-
ского повышения значений Y1 или уменьшения Y2
Н. Н. Кизилова 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
выделение отдельных максимумов на кривых y(f)
становится затруднительным (см., например, кри-
вые 5, 6 на рис. 4, а).
Особый интерес представляет исследование
свойств входной проводимости при вариации тех
параметров модели, которые соответствуют пато-
логическим изменениям кровообращения в рас-
сматриваемом органе. Эти изменения могут быть
разнообразными, но в рамках данной модели они
определяются только двумя параметрами – Y1,2.
Большая степень детализации может быть достиг-
нута при моделировании терминального элемен-
та Yt системой податливых трубок (артерий) с
определенной геометрией ветвлений [3, 7, 11]. На
рис. 5 представлены результаты исследования вли-
яния параметров Y1,2 на амплитуду входной про-
водимости y(n), где n – номер гармоники в ее
Фурье-спектре. В качестве основной выбрана ча-
стота f0 =1 Гц, соответствующая средней частоте
сердечных сокращений взрослого здорового субъе-
кта в состоянии покоя. Для приведенных на рис. 5
кривых длина основной артерии L=10 см опре-
деляет набор резонансных гармоник модели, соо-
тветствующих n=6, 8, 10. Изменения величины Y1
ведут к значительному изменению входной прово-
димости системы на n=6 при разных значениях
Y2. В то же время, вариации податливости тер-
минального элемента заметно изменяют амплиту-
ду второй резонансной гармоники n=8. Деталь-
ные расчеты показали, что изменения механиче-
ских свойств трубки E и σ существенно изменяют
амплитуду резонансной третьей гармоники n=10,
практически не вызывая изменений проводимо-
сти в области других резонансных частот. Фазо-
вый спектр входной проводимости во всех случа-
ях обладает свойством, отмеченным выше: в обла-
сти резонансных гармоник происходит изменение
знака фазы ψ(n). Это свойство способствует то-
чному определению набора резонансных гармоник
даже в тех случаях, когда вследствие патологиче-
ских изменений параметров системы амплитуды
входной проводимости выражены слабо [16].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследование модели артериального русла вну-
треннего органа показало, что входная проводи-
мость, которая может быть рассчитана по резуль-
татам измерений колебаний давления и расхода во
входном сечении основной артерии органа, облада-
ет набором резонансных частот. На резонансных
частотах амплитуда входной проводимости дости-
гает максимальных значений. Набор резонансных
частот определяется геометрией модели, причем
в большей степени длиной основной артерии ор-
гана. Учитывая, что “калибр” артерии определя-
ет размеры лежащего вниз по течению артери-
ального русла, которое в модели рассматривается
как терминальный элемент с комплексной прово-
димостью, можно считать, что резонансные часто-
ты определяются геометрией артериального ру-
сла в целом [11]. При этом изменения состояния
терминального русла, связанные с его резистив-
ными свойствами и податливостью стенок, приво-
дят к значительным изменениям амплитуды резо-
нансных гармоник и незначительным изменениям
амплитуд остальных гармоник.
Так как все внутренние органы включены в об-
щую систему кровообращения, то отражение пуль-
совой волны во входном сечении основной артерии
соответствующего органа должно привести к появ-
лению в магистральных периферических артери-
ях отраженной пульсовой волны, параметры ко-
торой будут определяться состоянием кровообра-
щения в данном органе. Эти параметры в наи-
большей степени сказываются на амплитудах со-
ответствующих резонансных частот, которые в си-
лу различия длин и механических свойств арте-
рий разных органов будут различными. Это дела-
ет возможным проведение неинвазивной диагно-
стики состояния внутренних органов по параме-
трам пульса произвольной периферической арте-
рии. При этом, если проводимость русла внутрен-
него органа патологически повышена (понижена),
то в спектре кривых давления амплитуда соответ-
ствующих органу резонансных гармоник будет со-
ответственно ниже (выше) нормы. Следователь-
но, регистрация пульсовых кривых на перифери-
ческой артерии и анализ их спектра могут выя-
вить изменения, связанные с патологией отдель-
ных внутренних органов.
Следует отметить, что резонансные свойства ве-
твящихся артериальных русел изучались ранее эк-
спериментально и теоретически [1, 3], однако по-
сле появления результатов клинических исследо-
ваний [13 – 15] детальная разработка соответству-
ющих диагностических методик и теоретических
моделей стали особенно актуальны.
1. Milnor W. R. Hemodynamics.– Baltimore: Williams–
Wilkins, 1989.– 419 p.
2. Cox R. H. Comparison of linearized wave propagati-
on models for arterial blood flow analysis //
J. Biomech.– 1969.– 2, N 3.– P. 251–265.
3. Taylor M. G. The input impedance of an assembly
of randomly branching elastic tubes // Biophys. J.–
1966.– 6, N 1.– P. 29–51.
4. Avolio A. P. Multi-branched model of the human
arterial system // Med. Biol. Engng Comput.– 1980.–
18, N 6.– P. 709–718.
56 Н. Н. Кизилова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 2. С. 50 – 57
n
0 2 4 6 8 10
y
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
n
0 2 4 6 8 10
y
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
а б
Рис. 5. Зависимости y(n):
а – для Y2 = 0.5, б – для Y2 = 0.1;
1–6 – Y1 =0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1
5. Campbell K. B., Lee L. C., Frasch H. F.,
Noordergraaf A. Pulse reflection sites and effective
length of the arterial system // Amer. J. Physiol.–
1989.– 256, N 6.– P. H1684–H1689.
6. Reuderink P. J., Hoogstraten H. W., Sipkema P. et al
Linear and nonlinear one-dimentional models of pulse
wave transmission at high Womersley numbers //
J. Biomech.– 1989.– 22, N 8/9.– P. 819–827.
7. Brown D. J. Input impedance and reflection coeffici-
ent in fractal-like models of asymmetrically branchi-
ng compliant tubes // IEEE Trans. Biomed. Engng.–
1996.– 43, N 7.– P. 715–722.
8. Селезов И. Т., Каплун Ю. М. Влияние сужения
кровеносного сосуда на распространение пульсово-
го давления крови // Бионика.– 1991.– 24.– С. 50–
54.
9. Моисеева И. Н., Регирер С. А. Некоторые особен-
ности отражения пульсовых волн в артериях //
Изв. АН СССР. МЖГ.– 1983.– N 4.– С. 134–139.
10. Бойчук И. П., Кизилова Н. Н. Отражение волн и
анализ пульса лучевой артерии // Тез. докл. V
Всерос. конф. по биомеханике.– Нижний Новго-
род, 2000.– С. 10.
11. Bondarenko M. Ye., Kizilova N. N. Pulse wave reflec-
tions in asymmetrically branching arterial
networks // Russian J. Biomech.– 2002.– 6,
N 4.– P. 52–62.
12. Dawson Ch. A., Krenz G. S., Karau K. L. et al
Structure-function relationships in the pulmonary
arterial tree // J. Appl. Physiol.– 1999.– 86, N 2.–
P. 569–583.
13. Wang Y. Y., Chang S. L., Wu Y. E. et al Resonance.
The missing phenomenon in hemodynamics // Circ.
Resch.– 1991.– 69, N 1.– P. 246–249.
14. Yu G. L., Wang Y. L., Wang W. K. Resonance in the
kidney system of rats // Amer. J. Physiol.– 1994.–
267, N 4 Pt 2.– P. H1544–H1548.
15. Wang Y. Y., Lia W. C., Hsiu H., Jan M. Y.,
Wang W. K. Effect of length on the fundamental
resonance frequency of arterial models having radial
dilatation // IEEE Trans. Biomed. Engng.– 2000.–
47, N 3.– P. 313–318.
16. Кизилова Н. Н. Отражение пульсовых волн и
резонансные свойства артериальных систем //
Тез. докл. IV междунар. конф. по неравновесным
процессам в соплах и струях.– Санкт-Петербург,
2002.– С. 257–259.
Н. Н. Кизилова 57
|