О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии
The principle of skew-symmetry is formulated. It describes the closed orbits of limiting cycles and the quasi-periodic trajectories of stable vibrations. The conditions of attraction of synchronized limiting cycle in the whole are listed. A bifurcational phase picture of synchronized limiting cyc...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95457 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 124-132. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-95457 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-954572016-02-27T03:01:38Z О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии Никитина, Н.В. The principle of skew-symmetry is formulated. It describes the closed orbits of limiting cycles and the quasi-periodic trajectories of stable vibrations. The conditions of attraction of synchronized limiting cycle in the whole are listed. A bifurcational phase picture of synchronized limiting cycle is considered. It is shown that the subharmonic capture of limiting cycle with the multiple increasing the period includes the skew loss and saving the attraction. Наведено принцип кососиметрії, внаслідок якого утворюються замкнуті орбіти граничних циклів і квазіперіодичні траєкторії стійких коливань. Наведено умови притягання синхронізованного граничного циклу в цілому. Розглянуто біфуркаційну фазову картину синхронізованного граничного циклу. Субгармонічне захоплення граничного циклу з кратним збільшенням періоду включає втрату симетрії та збереження притягання. 2010 Article О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 124-132. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95457 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The principle of skew-symmetry is formulated. It describes the
closed orbits of limiting cycles and the quasi-periodic trajectories of stable vibrations. The
conditions of attraction of synchronized limiting cycle in the whole are listed. A bifurcational
phase picture of synchronized limiting cycle is considered. It is shown that the subharmonic
capture of limiting cycle with the multiple increasing the period includes the skew
loss and saving the attraction. |
| format |
Article |
| author |
Никитина, Н.В. |
| spellingShingle |
Никитина, Н.В. О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии Прикладная механика |
| author_facet |
Никитина, Н.В. |
| author_sort |
Никитина, Н.В. |
| title |
О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии |
| title_short |
О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии |
| title_full |
О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии |
| title_fullStr |
О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии |
| title_full_unstemmed |
О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии |
| title_sort |
о сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/95457 |
| citation_txt |
О сложных колебаниях в системах при периодическом воздействии / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2010. — Т. 46, № 11. — С. 124-132. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT nikitinanv osložnyhkolebaniâhvsistemahpriperiodičeskomvozdejstvii |
| first_indexed |
2025-07-07T02:15:25Z |
| last_indexed |
2025-07-07T02:15:25Z |
| _version_ |
1836952611901669376 |
| fulltext |
2010 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 46, № 11
124 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2010, 46, № 11
Н .В .Н и к и т и н а
О СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЯХ В СИСТЕМАХ ПРИ
ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail:center@inmech.kiiev.ua
Abstract. Abstract. The principle of skew-symmetry is formulated. It describes the
closed orbits of limiting cycles and the quasi-periodic trajectories of stable vibrations. The
conditions of attraction of synchronized limiting cycle in the whole are listed. A bifurca-
tional phase picture of synchronized limiting cycle is considered. It is shown that the sub-
harmonic capture of limiting cycle with the multiple increasing the period includes the skew
loss and saving the attraction.
Key words: skew-symmetry, limiting cycle, subharmonic capture, bifurcation.
Введение.
Известный осциллятор Ван дер Поля в широкой области параметров приведен в
[4] в качестве генератора шума. Открытие стохастических автоколебаний является
наиболее ярким достояним современной теории.
В работе обсуждается описание сложных колебаний предельных циклов, которое
не имеет общего с описанием хаоса. Обращение к задаче о колебаниях в системе при
сильной нелинейности связано с определением границы, отделяющей на фазовой
плоскости области апериодических точек от периодических.
1. О замыкании траектории в диссипативной системе.
Установление существования замкнутых плоских кривых можно осуществить с
помощью принципа симметрии, включая кососимметрию [3, 10]. Смысл принципа
состоит в обнаружении оси симметрии (кососимметрии). Бифуркационные процессы,
происходящие в определенной окрестности нуля, могут нарушить симметрию, но при
этом сохраняется замыкание траектории. Такой случай относится, например, к процессу
синхронизации предельного цикла на частоте возмущающей периодической силы.
Аналитическим критерием замыкания является притяжение. Для плоской кривой
1 2
2 1 2= ; = ( , )
dx dx
x f x x
dt dt
(1)
составим уравнение в вариациях
1 2
1 2 1 22 1 2= ; = ( , ) ( , ) .
d x d x
x a x x x b x x x
dt dt
δ δ
δ δ δ+ (2)
Здесь jxδ – малое отклонение от некоторого частного решения jx системы (1),
= ,jj jx x xδ − 1 2 1 2( , ), ( , )a x x b x x – коэффициенты зависящие от частного решения .jx
Корни квазихарактеристического уравнения системы (2) 2
1 2 1 2( , ) ( , ) = 0b x x a x xλ λ− −
имеют вид
2
1 2 1 2 1 2 1 21,2 ( , ) = ( , ) / 2 ( ( , ) / 2) ( , ).x x b x x b x x a x xλ ± + (3)
125
Уравнения в вариациях (2) в общем виде / = ( ) ,d x dt A x xδ δ где x − частное
решение, устойчивость которого cледует исследовать, можно представить линейной
системой с периодическими коэффициентами
/ = ( )dy dt A t y (4)
с непрерывной (или кусочно непрерывной) на ( )+∞ − ∞ периодической матрицей
( ):A t ( ) ( ),A t T A t+ ≡ где T − период решений. Притяжение замкнутой траектории
имеет место, если [5, 8]
0
1
( ) < 0.
T
Sp A t dt
T ∫
(5)
Здесь сумма диагональных элементов матрицы равна сумме всех корней квазихарак-
теристического уравнения системы (2). Условие (5) соответствует определенному
физическому качеству процесса, а именно, притяжению к траектории предельного
цикла в целом. Периодическое воздействие может синхронизировать частоту предель-
ного цикла на частоте возмущения, либо на кратных частотах. Неполный захват
частоты происходит, вследствие неравномерного движения изображающей точки по
траектории и бифуркационных процессов. Сложные движения можно определить как
определенный этап развития движения в процессе самоорганизации системы. Колеба-
ния системы с периодическим воздействием можно представить в виде системы чет-
вертого порядка
231 2 4
2 1 2 3 4 3= ; = ( , ) ; = ; = ,
dxdx dx dx
x f x x x x x
dt dt dt dt
ω+ − (6)
принимая во внимание, что начальные возмущения второго осциллятора системы (6)
имеют вид при = 0t 3 30=x x , 4 = 0.x Система в вариациях, соответствующая системе
(6), примет вид
1 2
1 2 1 22 1 2 3= ; = ( , ) ( , ) ;
d x d x
x a x x x b x x x x
dt dt
δ δ
δ δ δ δ+ +
23 4
4 3= ; = .
d x d x
x x
dt dt
δ δ
δ ω δ− (7)
Корни 1 21,2 ( , )x xλ квазихарактеристического уравнения системы (7) 2 2( )λ ω+ ×
2
1 2 1 2( ( , ) ( , )) = 0b x x a x xλ λ× − − определяются выражением (3), вторая пара корней −
3,4 = .iλ ω± Корни 1 21,2 ( , )x xλ квазихарактеристического уравненя зависят от частного
решения 1 2,x x . Для возмущенного предельнго цикла сложные движения возникают
вследствие бифуркаций в фазовом пространстве.
Наиболее полно теория синхронизации развита в слабо нелинейных системах.
Исследование возмущенного уравнения предельного цикла продолжается более 50 лет.
Затруднения возникали в системе с сильной нелинейностью. С развитием вычисли-
тельной техники усилия исследователей перенеслись в область получения результа-
тов в виде диаграмм численного эксперимента. В этом случае можно присоединиться
к мнению, что понимание динамического поведения не совсем полно [6, 7, 11 – 14] и
предложить свой план исследования.
Увеличение положительного параметра µ в уравнении Ван-дер-Поля
2 2 2/ = (1 ) /d x dt x x dx dtµ+ − (8)
связано с увеличением периода автономного осциллятора, порождающего предель-
ный цикл. Эта особенность предельного цикла Ван-дер-Поля получила название
126
«медленного дрейфа» либо «релаксационных колеба-
ний». Объяснение природы дрейфа дано в статье [9].
Дрейф является физическим явлением. Объяснить
его природу можно с помощью качественного ана-
лиза. Суть дрейфа состоит в том, что при большом
значении параметра предельный цикл включает
апериодическую кривую, на которой угловая час-
тота нелинейного осциллятора равна нулю. Дви-
жение сильно замедляется на этом участке, что
приводит к увеличению периода. Увеличение пери-
ода T связано с параметром в виде диаграммы
(рис. 1), построенной на основе численного экспери-
мента.
Что касается замыкания интегральной кривой, то «как известно, уравнение Ван-
дер-Поля при любом > 0µ имеет на фазовой плоскости ( , /x dx dt ) единственный
предельный цикл, который является устойчивым. Этот математический факт адеква-
тен экспериментально наблюдаемому физическому феномену ... .» [2] Проблеме
существования замкнутой траектории в диссипативной системе посвящены теоремы и
принципы. Для большого значения параметра µ можно применить принцип кососим-
метрии траектории. Уравнение (8) в виде системы второго порядка имеет вид
1 1 1 2 2 2 1 2/ = ( , ); / = ( , ),dx dt F x x dx dt F x x (9)
где 1 2,x x R∈ и 2 2
1 2( , ), ( , )F C R R F C R R∈ ∈ , и (0,0) = 0( = 1, 2).iF i
Принцип симметрии приведен как критерий существования периодических и
квазипериодических движений в [15, 10, 11, 16]. Смысл принципа состоит в том, что
если обнаружить ось симметрии, то всякая интегральная кривая слева (снизу) от оси
является зеркальным отображением кривой справа (сверху) от оси. Принцип кососим-
метрии, который связан с кососимметрией векторного поля, определяемого системой
(9), формулируется так [3]:
в системе (9) существует замкнутая траектория, если функции, стоящие в
правой части системы (9) связаны следующими условиями:
1 1 2 1 1 2( , ) = ( , );F x x F x x− − − 2 1 2 2 1 2( , ) = ( , ).F x x F x x− − − (10)
Если, например, ось кососимметрии 1,Ox то область в первом квадранте U
равна области в третьем квадранте. Область во втором квадранте V равна области в
четвертом квадранте. Это означает, что кососимметрия связана с двумя осями коорди-
нат. То есть, если ось 1Ox является осью кососимметрии, то ось 2Ox также является
осью кососимметрии и тогда в системе (9) существует замкнутая траектория, если
функции, стоящие в правой части системы (9) связаны следующими условиями:
1 1 2 1 1 2( , ) = ( , );F x x F x x− − − 2 1 2 2 1 2( , ) = ( , ).F x x F x x− − − (11)
Уравнение (8) приведено к системе
2
1 2 2 1 1 2/ = ; / = (1 ) ,dx dt x dx dt x x xµ− + − (12)
которая удовлетворяет условиям (10), (11). Таким образом, траектория уравнений (12)
замкнута и имеет две оси кососимметрии.
Пусть складываются два движения. Каждое движение образовывает замкнутые
траектории. Суммарное движение может описываться квазипериодической, либо пе-
риодической траекторией. Если движение осуществляется в малой окрестности нуля,
то отсутствуют бифуркационные процессы. При сложении двух периодических дви-
жений, одно из которых имеет симметрию, другое − кососимметрию траектории тре-
буется выполнение определенных условий.
Рис. 1
127
Существование в системе
= ( ),
dx
F x
dt
(13)
где 4( )x t R∈ − вектор состояния системы в момент
4 4, :t R F R R∈ → , квазипери-
одических движений определяется следующими условиями:
1 1 2 3 4 1 1 2 3 4( , , , ) = ( , , , );F x x x x F x x x x− − − −
2 1 2 3 4 2 1 2 3 4( , , , ) = ( , , , );F x x x x F x x x x− − − −
3 1 2 3 4 3 1 2 3 4( , , , ) = ( , , , );F x x x x F x x x x−
4 1 2 3 4 4 1 2 3 4( , , , ) = ( , , , ).F x x x x F x x x x− − (14)
Уравнение Ван-дер Поля при периодическом воздействии
2
1 2 2 1 1 2 30/ = ; / = (1 ) cosdx dt x dx dt x x x x tµ ω− + − + (15)
можно представить в виде системы
2
1 2 2 1 1 2 3/ = ; / = (1 ) ;dx dt x dx dt x x x xµ− + − +
2
3 4 4 3/ = ; / = ,dx dt x dx dt xω− (16)
принимая во внимание, что начальные возмущения второго осциллятора системы (8)
имеют вид при = 0t 3 30=x x , 4 = 0.x Уравнения системы (16) удовлетворяют усло-
виям (14). Это указывает на существование в системе (16) квазипериодических
движений.
Заметим, что в системах (12), (16) особая точка претерпевает бифуркацию в
зависимости от значения параметра. Матрица линейных систем (12) (16) при большом
µ ( 2)µ ≥ имеет действительные собственные значения
2
1,2 = / 2 1/ 2 4.µ µΛ ± −
Устойчивость периодической траектории определяется исследованием системы в
вариациях. Для системы вида (12) составляется система уравнений в вариациях (4).
Синхронизированная траектория системы (16) приобретает вид предельного цикла.
Условие (5) будет также соответствовать притяжению синхронизированных траекторий.
2. Бифуркации предельного цикла.
Введем малое отклонение jxδ от частного решения ( = 1, 2, 3, 4)jx j систем (16).
Уравнения в вариациях системы (16) имеют вид
2
1 2 11 2 2 1 2 3/ = ; / = (1 2 ) (1 ) ;d x dt x d x dt x x x x x xδ δ δ µ δ µ δ δ− + + − +
2
3 4 4 3/ = , / = .d x dt x d x dt xδ δ δ ω δ− (17)
Квазихарактеристическое уравнение системы (17)
22 2 2
1 1 2( )( (1 ) (1 2 )) = 0x x xλ ω λ λµ µ+ − − + +
имеет корни
2 22 2
1 1
1 21,2
(1 ) (1 )
( ) = 2 1.
2 4
x x
x x x
µ µ
λ µ
− −
± − − (18)
Корни 3,4 = iλ ω± соответствуют подсистеме
2
3 4 4 3/ = , / = .d x dt x d x dt xδ δ δ ω δ−
128
Корни (18) совпадают с корнями системы в вариациях (12). Для малых значений
параметра µ корни 1,2 ( )xλ будут комплексно-сопряженные на всей оси t . При
большом значении параметра µ появляются действительные корни 1,2 ( )xλ . Построим
кривые, отделяющую на фазовой плоскости области с апериодическими точками на
траектории системы (12), (16). Граница области находится из условия обращения в
нуль подкоренного выражения в формуле 1,2 ( )xλ . Области периодических точек
(первый, третий квадранты) определятся неравенствами
22 2
1
2 1 2
1
4 (1 )
> , > 0, > 0;
8
x
x x x
x
µ
µ
− + −
22 2
1
2 1 2
1
4 (1 )
< , < 0, < 0
8
x
x x x
x
µ
µ
− + −
и строятся в соответствии с комплексно-сопряженными корнями 1,2 ( )xλ .
На рис. 2 приведены границы областей (пара-
метр = 3µ ).
Система (12) не допускает разделения перемен-
ных. Выражение 1 2= /dt dx x , найденное из первого
уравнения системы (12), подставим во второе урав-
нение 2
1 1 1 2 1 2 2(1 ) = .x dx x x dx x dxµ− − − Будем двигать-
ся вдоль оси 1,Ox изменяя 1x от *
1x до *
1 ,x− где
*
1x± − координаты точек пересечения замкнутой
кривой с осью 1Ox . Получим известное равенство
*2 * 2
1 1= ( )x x− и то, что при 2 = 0x значение
*
1x не
зависит от параметра µ . Величину *
1x можно определить при помощи усреднения
для 1.µ << Заметим, что опыт подобных вычислений известен из [13].
Прямые
1 1= 1; = 1x x− (19)
разделяют точки фазового пространства. В области периодических точек для 2
1 < 1x
корни (18) с положительной действительной частью; для 2
1 > 1x − с отрицательной
действительной частью. Выражение 2
1| (1 ) |x− для области корней (18) с положительной
действительной частью будет меньше единицы, для области корней (18) с отрицательной
действительной частью будет больше единицы, т.е. при суммировании вдоль траек-
тории предельного цикла корней (18) в области периодических точек знак суммы будет
минус. Прямые (19) делят фазовый портрет на равные части по оси 1x независимо от
величины µ . Также и в области апериодических точек − сумма корней (18) будет
иметь знак минус. Таким образом, знак в формуле (5) для рассматриваемого примера
будет < 0 независимо от величины µ и бифуркаций векторного поля. Последнее
показывает притягивающий характер траектории предельного цикла.
Покажем, что предельный цикл уравнений (12) включает траекторию, на которой
угловая скорость движения равна нулю. Составим уравнения (12) в полярных коорди-
натах ,ρ θ . Уравнения движения в переменных ,ρ θ запишутся так:
3 22 2 2 3/ = ; / = 1 sin cos sin ,sin sin cos cosd dt d dtρ µρ θ µρ θ θ θ µ θ θ µρ θ θ− + − (20)
где 1 2= cos , = sinx xρ θ ρ θ− (здесь ρ – модуль комплексной переменной [9, 16]).
Уравнения (20) будут иметь место в области периодических и апериодических решений
Рис. 2
129
уравнения в вариациях. Кривая * ( ),tρ построенная из условия / ( , ) = 0d dtθ ρ θ ,
является геометрическим местом точек, для которых круговая частота движения
равна нулю. Если траектория предельного цикла попадает на кривую * ( ),tρ то кривая
на некотором интервале времени может быть включена в траекторию предельного
цикла. По этому участку кривой изображающая точка медленно дрейфует, так как
круговая частота движения равна нулю.
Построим кривые, на которых угловая скорость периодического движения равна
нулю ( / = 0).d dtθ Фазовая траектория может притягиваться к этим кривым. Из
уравнения 2 31 sin cos sin = 0cosµ θ θ µρ θ θ+ − находим
*
2 3
1 1
= .
sincos cos
ρ
θ µ θ θ
+ (21)
Кривые в параметрическом виде
* *
1 2= cos ; = sinx xρ θ ρ θ− (22)
строятся на интервалах, где имеет место действи-
тельное положительное *ρ из равенст-ва (21). Рис. 3
содержит разделение фазовой плоскости на области
периодических и апериодических решений и кривые
(22). Кривые (22) во втором и четвертом квадранте
разделяют поле апериодических решений и притя-
гивают траектории предельного цикла. Покажем,
что в некоторой области частное решение * ( )ρ θ
притягивающее. Составим уравнения в вариациях
относительно частного решения ( )ρ θ системы (12)
2
2 2/ = (1 3 ( ) ) .sin cosd dtδρ µ θ ρ θ θ δρ− (23)
Если
2
2( ) > 1/ 3,cosρ θ θ то в силу уравнения (23) решение ( )ρ θ притягивающее.
Если *( ) = ( ),ρ θ ρ θ то траектории, притягиваясь, сольются с * ( )ρ θ на некотором
интервале, т.к. на * ( )ρ θ угловая скорость движения равна нулю. Приведем примеры
включения кривых (22) в орбиту предельного цикла (рис. 4, а, б, в при = 3, 7, 15,µ
соответственно).
Рис. 3
а б в
Рис. 4
130
3. Периодическое возмущение предельного цикла.
Захватывание частоты (синхронизация) порождает в фазовом пространстве
устойчивый предельный цикл. При слабом воздействии цикл расположен на торе.
Если установлено замыкание траектории предельного цикла, включая
синхронизованного, то для системы имеет место условие
0
1
( ) 0.
T
Sp A t dt
T
≤∫
Если выявлен притягивающий характер замкнутой траектории, то имеет место
условие (5). Этому соответствует появление в сигнатуре спектра характеристических
показателей Ляпунова (ХПЛ) знака минус. Автономный предельный цикл системы
(12) со значением = 3µ имеет период колебаний = 9aT (рис. 1) и неравномерное
перемещение изображающей точки по орбите. Периодическое воздействие (период
= 5,23bT , амплитуда 30 = 1,7,x частота = 1, 2ω ) синхронизирует предельный цикл.
Неполный захват частоты происходит, вследствие бифуркационных процессов.
Образуется замкнутая траектория с частотой / 3.ω Выход системы на синхронное
колебание происходит за счет кратного увеличения периода (рис. 5, а, б). Аналогич-
ная картина происходит при следующих значениях параметров:
30= 3, = 1,8; = 1,2,xµ ω замыкание цикла с частотой / 7ω (рис. 6, а, б).
30= 3, = 1,9, = 1,2,xµ ω замыкание цикла с частотой / 4ω (рис. 7, а, б, = 4 bT T ).
Кратность периода отсчитывается по приведенной временной реализации. При
дальнейшем увеличении амплитуды периодического воздействия ( 30= 3, = 2,xµ
= 1, 2ω ) цикл существует на торе (рис. 8 ,а б ).
а б
Рис. 5
а б
Рис. 6
131
Полная синхронизация предельного цикла
осуществляется при 30 2,2x ≥ (рис. 9). Отметим
характер притяжения траектории синхронизирован-
ного предельного цикла. На фазовой плоскости
(рис. 3) проведем прямые (19) в области периоди-
ческих точек. Совместим полученную картину с
синхронизированным предельным циклом (рис. 9).
Прямые (19) разделяют множество периодических
точек синхронизированного предельного цикла на
точки притягивающие ( 1,2Re ( ) 0xλ < ) и не притяги-
вающие ( 1,2Re ( ) 0xλ > ). Разделение происходит так-
же в апериодической области. Как было указано выше, сумма всех корней квазиха-
рактеристического уравнения системы в вариацях за период будет иметь знак < 0 .
Явление синхронизации обнаруживается по численному решению. Разделение
корней системы в вариациях (17) позволяет выписать частично сигнатуру при располо-
жении цикла на торе (0, 0, ...). Учитывая притягивающий характер траектории в
целом, цикл, расположенный на торе, имеет сигнатуру ХПЛ (0,0,0, )− (здесь рассмат-
ривается форма записи уравнений движения (16)). Синхронизированный предельный
цикл системы (16) имеет сигнатуру ХПЛ (0, ).− Прикладные результаты качествен-
ного анализа концентрировано отражены на рис. 9.
Попытка применить метод построения функции V для установления асимптоти-
ческой устойчивости траектории цикла привела к теореме Красовского [1]. Однако,
применить этот подход без дополнительных сведений численного характера не
удалось.
а б
Рис. 7
а б
Рис. 8
Рис. 9
132
Заключение.
Ранее можно было лишь предполагать, что стохастические колебания генератора
шума совершаются за счет бифуркационных процессов. В данной работе установлено,
что траектория периодически возмущенного предельного цикла, при существовании
на торе и при синхронизации, не теряет устойчивости орбиты и, притягиваясь в целом
(независимо от величины µ ), совершает стохастические колебания за счет бифур-
кационных процессов.
Р Е З ЮМ Е . Наведено принцип кососиметрії, внаслідок якого утворюються замкнуті орбіти
граничних циклів і квазіперіодичні траєкторії стійких коливань. Наведено умови притягання
синхронізованного граничного циклу в цілому. Розглянуто біфуркаційну фазову картину синхро-
нізованного граничного циклу. Субгармонічне захоплення граничного циклу з кратним збільшенням
періоду включає втрату симетрії та збереження притягання.
1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз, 1959.
– 211 с.
2. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов Ф.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифурка-
ционные процессы в сингулярно возмущенных системах. – М.: Физматгиз, 1995. – 336 c.
3. Никитина Н.В. О принципе кососимметрии // Доп. НАН України. – 2008. – № 2. – C. 69 – 72.
4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2000. – 560 с.
5. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillations. – Oxford: Pergamon Press, 1966. – 568 p.
6. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B., Vadivasova T.E., Schimansky-Geier L. Nonlinear
Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. – Berlin, Heidelberg: Springer, 2007. – 356 p.
7. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, Bifurcations of Vector Fields. –
Berlin: Springer, 1996. – 560 p.
8. Leonov G.A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. – St. Peterburg: Univ. Press, 2008. – 160 p.
9. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On an Approximate Solution of the Van Der Pol Equations with a Large
Parameter // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 8. – P. 1017 – 1023.
10. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Complex Oscillations Revisited // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 2. –
P. 179 – 186.
11. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Complex Behavior of a Trajectory in Single-and Double-Frequency
Systems // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 3. – P. 315 – 323.
12. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Oscillations of Conservative Systems with the Complex Trajectories // Int.
Appl. Mech. – 2008. – 44, N 7. – P. 721 – 738.
13. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On Chaotic Motions of Systems with Dry Friction // Int. Appl. Mech. –
2008. – 44, N 9. – P. 1056 – 1064.
14. Mettin R., Palitz U., Lauterborn W. Bifurcation structure of the driven vcan der Pol oscillator // Int. J.
Bifurcation and Chaos. – 1993. – 3. – P. 1529 – 1538.
15. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative Theory of Differential Equations. – Princeton: Univ. Press,
1960. – 550 p.
16. Nikitina N.V. Bifurcations of a Limit Cycle in Nonlinear Dynamic Systems // Int. Appl. Mech. – 2009. –
45, N 9. – P. 1023 – 1032.
Поступила 11.06.2009 Утверждена в печать 21.10.2010
|