Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв

На прикладi квазiдвовимiрних електронiв показано, що для повного опису спiнового ступеня вiльностi необхiдно враховувати релятивiстськi закони збереження, якi в нерелятивiстськiй теорiї виконуються лише наближено....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
1. Verfasser:	Єремко, О.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2015
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Фізика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96226
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв / О.О. Єремко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 64-69. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-96226
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-962262017-11-06T20:28:56Z Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв Єремко, О.О. Фізика На прикладi квазiдвовимiрних електронiв показано, що для повного опису спiнового ступеня вiльностi необхiдно враховувати релятивiстськi закони збереження, якi в нерелятивiстськiй теорiї виконуються лише наближено. На примере квазидвумерных электронов показано, что для полного описания их спиновой степени свободы необходимо принимать во внимание релятивистские законы сохранения, которые в нерелятивистской теории выполняются лишь приближенно. Using the example of quasi-two-dimensional electrons, it is shown that the full description of the electron spin degree of freedom requires one to consider relativistic conservation laws, which are fulfilled only approximately in a non-relativistic theory. 2015 Article Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв / О.О. Єремко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 64-69. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96226 530.145 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Фізика Фізика
spellingShingle	Фізика Фізика Єремко, О.О. Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв Доповіді НАН України
description	На прикладi квазiдвовимiрних електронiв показано, що для повного опису спiнового ступеня вiльностi необхiдно враховувати релятивiстськi закони збереження, якi в нерелятивiстськiй теорiї виконуються лише наближено.
format	Article
author	Єремко, О.О.
author_facet	Єремко, О.О.
author_sort	Єремко, О.О.
title	Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв
title_short	Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв
title_full	Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв
title_fullStr	Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв
title_full_unstemmed	Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв
title_sort	спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Фізика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96226
citation_txt	Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв / О.О. Єремко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 4. — С. 64-69. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT êremkooo spinovistanikvazidvovimirnihelektroniv
first_indexed	2025-07-07T03:25:55Z
last_indexed	2025-07-07T03:25:55Z
_version_	1836957047282728960
fulltext	УДК 530.145 О.О. Єремко Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв (Представлено академiком НАН України В.М. Локтєвим) На прикладi квазiдвовимiрних електронiв показано, що для повного опису спiнового сту- пеня вiльностi необхiдно враховувати релятивiстськi закони збереження, якi в нереля- тивiстськiй теорiї виконуються лише наближено. У недавнiй роботi [1] на основi розв’язкiв рiвняння Дiрака (РД) для моделi пласкої квантової ями (КЯ) дослiджувалися спiновi стани квазiдвовимiрних (2D) електронiв i було зроблено висновок, що рiвняння Шредiнгера (РШ), в якому врахована спiн-орбiтальна взаємодiя (СОВ), не повною мiрою охоплює можливi спiновi стани 2D електронiв. У данiй роботi з’ясовується причина втрати певних спiнових станiв та показано, що вiдповiднi розв’язки присутнi в РШ з тiєю ж точнiстю наближення, з якою саме РШ є наближенням до РД. Дослiдження спiнових станiв 2D електронного газу останнiм часом набули значного розвитку, що пов’язано з перспективами спiнтронiки, яка має за мету використати нарiвнi з зарядом носiя його спiн [2]. В теоретичних роботах при дослiдженнi властивостей 2D електронiв, наприклад в шаруватих напiвпровiдникових гетероструктурах, спираються на розв’язки рiвняння Шредiнгера, в якому враховується СОВ: HΨ(r) = EΨ(r), H = p2 2m + V (z) + ~V ′ 4m2c2 (σ̂ypx − σ̂xpy). (1) Тут m — маса частинки; p = −i~∇ — оператор iмпульсу; V (z) — потенцiал зовнiшнього поля, що має вигляд одновимiрної КЯ; c — швидкiсть свiтла; σ̂j — матрицi Паулi. В гамiль- тонiанi останнiй доданок вiдомий як поправка Томаса i має назву СОВ. В (1) враховано, що потенцiал залежить лише вiд однiєї змiнної z i тому ∇V = V ′ez, V ′ = dV (z)/dz. Але РШ є нерелятивiстським наближенням до рiвняння Дiрака, а сама СОВ в га- мiльтонiанi є релятивiстською поправкою [3, 4]. Тому розв’язок РШ є, по сутi, наближе- ним розв’язком, особливо по вiдношенню до спiнового ступеня вiльностi. Адже наявнiсть у електрона спiна випливає саме з РД. З цiєї точки зору доцiльно порiвняти результати, одержанi з наближених рiвнянь, з тими, якi дає бiльш точна теорiя з подальшим розкладом одержаних розв’язкiв за малим параметром, що i було мотивацiєю роботи [1]. Розглянемо спочатку перехiд РД HDΨ = EΨ, HD = cα̂p+ V (r) + ρ̂3mc 2 (2) до нерелятивiстського наближення. В (2) Ψ — чотирикомпонентна (бiспiнор) хвильова функ- цiя координат, HD — гамiльтонiан Дiрака, в якому α̂ = ∑ j ejα̂j , де α̂j (j = x, y, z) та ρ̂3 — 4 × 4 матрицi Дiрака (в позначеннях Дiрака ρ̂3 = β̂). Шiстнадцять матриць Дiрака (включаючи одиничну Î) утворюють групу в тому сенсi, що добуток будь-яких двох матриць з цiєї множини дає з точнiстю до постiйного коефiцiєн- та, що дорiвнює ±1 або ±i, одну iз цих матриць. Довiльна чотиривимiрна матриця може © О.О. Єремко, 2015 64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4 бути однозначно подана у виглядi лiнiйної комбiнацiї матриць Дiрака. Для подальшого наведемо усi ермiтовi матрицi Дiрака в блочному (2 × 2 блоки) запису: ρ̂1 = ( 0 Î2 Î2 0 ) , ρ̂2 = ( 0 −iÎ2 iÎ2 0 ) , ρ̂3 = ( Î2 0 0 −Î2 ) , α̂ = ( 0 σ̂ σ̂ 0 ) , Σ̂ = ( σ̂ 0 0 σ̂ ) , Γ̂ = ( 0 −iσ̂ iσ̂ 0 ) , Ω̂ = ( σ̂ 0 0 −σ̂ ) . (3) Тут Î2 — одинична 2 × 2 матриця; σ̂ = ∑ j ejσ̂j (j = x, y, z) i використано стандартне представлення матриць Дiрака. Перехiд в РД до нерелятивiстського наближення, залишаючись в рамках задачi на власнi значення, спирається на перетворення Фолдi–Вотхойзена (ФВ), мета якого навести гамiль- тонiан Дiрака в блочно-дiагональному виглядi H̃D = UFWHDU † FW = ( Hprtcl 0 0 −Hanti ) , де UFW — унiтарний оператор ФВ перетворення. В ФВ представленнi рiвняння (2) для бiспiнорної хвильової функцiї роздiляється на окремi рiвняння для спiнорних хвильових функцiй частинки Hprtclψ = Eψ (верхнiй спiнор бiспiнора) i античастики Hantiϕ = Eϕ (нижнiй спiнор). У випадку вiльної частинки ФВ перетворення можна провести точно. В присутностi ж зовнiшнього поля, взагалi кажучи, не iснує представлення, в якому гамiльтонiан був би точно блочно-дiагональним. Але можна одержати наближене “представлення” з точнiст- тю до деякого степеня (1/c)n, в якому недiагональна частина має бiльш високий ступiнь малостi [4]. Для цього запишемо гамiльтонiан Дiрака (2) у виглядi HD = mc2H, де H = H0 + εH1, H0 = ρ̂3, H1 = α̂p mc + V mc2 . (4) Тут множник ε визначає ступiнь малостi (величини з εn пропорцiйнi (mc)−n), який в кiнцi буде покладений одиницi. Зображуючи оператор ФВ перетворення у виглядi UFW = exp(iεS), маємо H̃ = H + + iε[S,H] + (i2/2)ε2[S, [S,H]] + (i3/3!)ε3[S, [S, [S,H]] + · · · . Сам оператор S шукається також у виглядi розкладу за малим параметром S = S1+εS2+ε 2S3+ε 3S4+· · · . Кожен оператор Sn знаходиться з умови блочно-дiагонального вигляду H̃, який повинен бути лiнiйною комбiна- цiєю лише блочно-дiагональних матриць Дiрака Î, ρ̂3, Σ̂ та Ω̂. Послiдовно визначаючи Sn, можна зобразити H̃ в блочно-дiагональному виглядi з точнiстю до бажаного порядку за ε (1/mc). Якщо обмежитися порядком ε4, то достатньо визначити S1, S2 i S3: S1 = 1 2mc Γ̂ · p; S2 = − ~ 4m2c3 α̂ ·∇V ; S3 = − 1 6m3c3 Γ̂ · pp2. (5) Використавши алгебру матриць Дiрака, одержуємо H̃ = ρ̂3 + ε V mc2 Î + ε2 1 2m2c2 ρ̂3p 2 + ε3 1 m3c3 [ ~ 4c Σ̂ · (∇V × p) + ~2 8c Î △ V ] − − ε4 1 8m4c4 ρ̂3p 4 +O(ε5). (6) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 65 Тут збережено множник ε = 1 щоб пiдкреслити ступiнь наближення кожного з доданкiв. З цього виразу випливає, що в даному наближеннi з точнiстю до ε4 ФВ перетворення зво- дить гамiльтонiан H̃ до блочно-дiагонального вигляду, в якому гамiльтонiан для спiнорної хвильової функцiї частинки має добре вiдомий вигляд [3–5] H = mc2 + V (r) + p2 2m + ~ 4m2c2 σ̂ · (∇V × p) + ~2 8m2c2 △V − p4 8m3c2 +O(ε5). (7) Якщо знехтувати поправкою ε4 i вiдрахувати енергiю вiд енергiї спокою частинки, Eprtcl = mc2+εE, прийдемо до РШ з гамiльтонiаном, в якому СОВ має вiдносний порядок малостi ε2. У випадку, коли потенцiал залежить лише вiд однiєї змiнної, V (r) = V (z), га- мiльтонiан набуває вигляду (1). При цьому стан електрона з певним значенням 2D iмпульсу k = (kx, ky) в площинi КЯ описується хвильовою функцiєю Ψk(r) = exp[i(kxx+kyy)]Ψ(z), де Ψ(z) — бiспiнор для РД (2), або спiнор для РШ (1). Тобто, РД є системою чотирьох рiвнянь для компонент бiспiнора, а РШ — системою двох рiвнянь для компонент спiнора. Зображуючи спiнор у виглядi Ψ(z) = (ψ1ψ2) T , пiсля пiдстановки Ψk(r) в РШ (1) одер- жуємо систему рiвнянь − ~2 2m d2ψ1 dz2 + ( V + ~2k2 2m − E ) ψ1 − i ~2V ′ 4m2c2 (kx − iky)ψ2 = 0, − ~2 2m d2ψ2 dz2 + ( V + ~2k2 2m − E ) ψ2 + i ~2V ′ 4m2c2 (kx + iky)ψ1 = 0, (8) де k2 = k2x + k2y . Пiдкреслимо, що останнi доданки в лiвих частинах рiвнянь (8) обумов- ленi СОВ i мають порядок малостi ε2, а бiльш високими релятивiстськими поправками знехтувано. У роботi [1] враховано той факт, що в присутностi зовнiшнього поля V (r) = V (z) iз всiх спiнових операторiв, якi комутують з гамiльтонiаном у вiльному просторi [6], iнварiантами залишаються z-компоненти операторiв електричної спiнової ǫ̂z = Ω̂xpy − Ω̂ypx (9) i магнiтної спiнової µ̂z = Σ̂z + 1 mc (Γ̂xpy − Γ̂ypx) (10) поляризацiй та x- i y-компоненти просторової частини чотиривимiрного псевдовектора спi- нової поляризацiї Ŝx = Ω̂x + ρ̂1 px mc , Ŝy = Ω̂y + ρ̂1 py mc . (11) Кожен з цих операторiв, комутуючи з гамiльтонiаном, має з ним спiльну систему власних функцiй. Але всi вони не комутують один з одним i мають рiзнi власнi функцiї. Тому РД має три типи власних функцiй, що вiдповiдають трьом рiзним спiновим станам залежно вiд того, який з операторiв (9)–(11) має певне значення. 66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4 Запишемо оператори (9)–(11) в ФВ зображеннi, беручи до уваги конфiгурацiю зов- нiшнього поля, V (r) = V (z). Оператор ǫ̂z, комутуючи з оператором ФВ перетворення, [S, ǫ̂z] = 0, не змiнює свiй блочно-дiагональний вигляд (9), а для iнших знаходимо UFWµ̂zU † FW = Σ̂z + ε2 1 2m2c2 (Σ̂zp 2 − Σ̂ · ppz) +O(ε4), UFWŜjU † FW = Ω̂j + ε2 1 2m2c2 Ω̂ · ppj +O(ε4), j = x, y. (12) Таким чином, вiдповiднi електронному спiнору блоки цих операторiв матимуть вигляд ǫ̂2z = σ̂ypx − σ̂xpy, (13) µ̂2z = σ̂z + 1 2m2c2 (σ̂zp 2 − σ̂ · ppz), (14) Ŝ2x = σ̂x + 1 2m2c2 σ̂ · ppx, Ŝ2y = σ̂y + 1 2m2c2 σ̂ · ppy. (15) Тут, як i в гамiльтонiанi (1), знехтувано поправками ε4. Оператор (13) комутує з гамiльтонiаном, оскiльки в (1) СОВ визначається саме цим оператором. Для операторiв (14) i (15) матимемо [µ̂2z,H] = O(ε4), [Ŝ2x,H] = O(ε4). Оскiльки вони, як i сам гамiльтонiан, визначенi з точнiстю до ε2, то комутацiя виконується наближено. Зрозумiло, що врахування подальших поправок буде зсувати некомутативнiсть до бiльш високого степеня за ε. Розглянемо рiвняння (8), зображуючи компоненти 2D хвильового вектора k у виглядi kx = k cosφ, ky = k sinφ, де k = √ k2x + k2y i tan φ = ky/kx. 1. Розв’язок системи рiвнянь (8) шукаємо у виглядi ψ1 = e−i(φ+π/2)/2f(z), ψ2 = = σei(φ+π/2)/2f(z), де σ = ±1 вiдповiдає двом варiантам розв’язання. Тодi система рiв- нянь (8) зводиться до одного рiвняння на власнi значення − ~2 2m d2f dz2 + ( V + ~2k2 2m − E ) f + σ ~2V ′ 4m2c2 kf = 0, (16) яке у випадку прямокутної КЯ допускає точний розв’язок з законом дисперсiї Рашби [6, 7] для 2D електронiв Enσ(k) = En + ~2k2 2m∗ n + σαnk. (17) Тут En (n = 1, . . . , nmax) — енергiя зв’язаних станiв в одновимiрнiй КЯ [3, 4], а пара- метр αn, вiдомий як параметр Бичкова–Рашби [2], вiдмiнний вiд нуля для iнверсно аси- метричної КЯ. Якщо розглядати СОВ як збурення, то в першому порядку теорiї збурень маємо αn = ~2〈fn\|V ′\|fn〉/(4m2c2), де fn — розв’язки незбуреного рiвняння, що визначає енергiї зв’язаних станiв. Саме цей розв’язок широко застосовується при аналiзi спiнових станiв 2D електронного газу [2]. Вiн одразу напрошується як пропорцiйний власному спiнору матрицi ~(σ̂ykx−σ̂xky), ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 67 яка, по сутi, i є оператором (13) з власними значеннями ǫ = −σ~k. Але це не єдиний розв’язок системи (8). 2. Кожне рiвняння в (8) можна записати як неоднорiдне рiвняння, де права частина ∼ ε2 i визначається iншою функцiєю. Розв’язок неоднорiдного рiвняння при заданiй правiй частинi має порядок ε2. Маємо два варiанти розв’язкiв, поклавши ψ1 = f(z), ψ2 = ε2ϕ, або ψ1 = ε2ϕ, ψ2 = f(z). Шукаючи розв’язки в такому виглядi i нехтуючи величинами ∼ ε4 як перевищенням точностi самих рiвнянь, знаходимо, що f(z) задовольняє рiвняння на власнi значення − ~2 2m d2f dz2 + ( V + ~2k2 2m − E ) f = 0. (18) З iншого рiвняння з тiєю ж точнiсттю можна одержати ϕ = ±i ~2k 4m2c2 e±iφf ′, де f ′ = df/dz, а знаки “+” i “−” вiдповiдають розв’язкам ψ2 ∼ ε2 i ψ1 ∼ ε2 вiдповiдно. Цi два розв’язки дають два спiнори, якi, як легко переконатись, є наближено, з точнiстю до ε2 включно, власними спiнорами оператора (14) з власними значеннями µ = ±(1 + +~2k2/(2m2c2)). Таким чином, розв’язкам можна приписати спiнове квантове число σ = ±1, змiст якого вiдрiзняється вiд попереднього. Iз рiвняння (18) випливає, що в цьому спiновому станi 2D електроннi зони виродженi по спiну, маючи закони дисперсiї (17) з αn ≡ 0. 3. В системi (8) два рiвняння можна, наприклад, скласти та вiдняти одне iз одного. Тодi прийдемо до нової системи рiвнянь, в якiй, поклавши ψ1 + ψ2 = ψ̃1 та ψ1 − ψ2 = ψ̃2, будемо мати − ~2 2m d2 dz2 ψ̃1 + ( V + ~2k2 2m − E ) ψ̃1 − ~2ky 4m2c2 V ′ψ̃1 = −i ~2kx 4m2c2 V ′ψ̃2, − ~2 2m d2 dz2 ψ̃2 + ( V + ~2k2 2m − E ) ψ̃2 + ~2ky 4m2c2 V ′ψ̃2 = i ~2kx 4m2c2 V ′ψ̃1. (19) Тут знову кожна функцiя визначається неоднорiдним рiвнянням з правою частиною ∼ ε2, в якiй присутня iнша функцiя. Тодi, вiдповiдно до умов ψ̃1 = f(z), ψ̃2 = ε2ϕ або ψ̃1 = ε2ϕ, ψ̃2 = f(z), знехтувавши величинами ∼ ε4, одержуємо два розв’язки. При цьому функцiя f(z) задовольняє рiвняння, подiбне рiвнянню (16), в якому СОВ пропорцiйна не модулю хвильового вектора, а лише однiй його компонентi ky, що призводить до спiн-розщепленого закону дисперсiї 2D електронних зон Enσ(k) = En + ~2k2 2m + σαnky (20) з анiзотропним в k-просторi характером дисперсiї, на вiдмiну вiд iзотропного в спiновому станi (17). Для малої функцiї ϕ(z) знаходимо ϕ = −iσ ~2kx 2m2c2 (f ′ + σkyf). Тут σ = 1 для розв’язку, в якому ψ̃2 ∼ ε2, i σ = −1, коли ψ̃1 ∼ ε2. 68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2015, №4 Двом розв’язкам вiдповiдають два спiнори, в яких ψ1 = (ψ̃1 + ψ̃2)/2 i ψ2 = (ψ̃1 − ψ̃2)/2. Можна пересвiдчитися, що, з точнiстю до ε2, цi два спiнори будуть власними спiнорами оператора Ŝ2x з власними значеннями sx = σ(1 + ~2k2x/(2m 2c2)). Три типи вказаних розв’язкiв вiдповiдають трьом рiзним спiновим станам 2D електро- нiв, захоплених КЯ. Цi розв’язки повнiстю збiгаються з одержаними в [1] точними розв’яз- ками РД. Таким чином, вивчаючи в нерелятивiстському наближеннi спiновий ступiнь вiль- ностi 2D електронiв, необхiдно мати на увазi релятивiстськi закони збереження. Автор вдячний Е. I. Рашбi, В.М. Локтєву та Л.С. Брижик за кориснi обговорення. Дана робота виконана за пiдтримки цiльової програми фундаментальних дослiджень Вiддi- лення фiзики i астрономiї НАН України. 1. Eremko A.A., Brizhik L. S., Loktev V.M. Spin states of Dirac equation and Rashba spin-orbit interaction // Preprint arXiv – 2014. – 1408.6078v1. – 25 p. 2. Fabian J., Matos-Abiague A., Ertler C., Stano P., Žutić I. Semiconductor spintronics // Acta Physica Slovaca. – 2007. – 57. – P. 565–907. 3. Давидов О.С. Квантова механiка. – Київ: ВД “Академперiодика”, 2012. – 707 с. 4. Мессиа А. Квантовая механика. Т. 2. – Москва: Наука, 1979. – 583 с. 5. Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон. – Москва: Наука, 1974. – 391 с. 6. Рашба Э.И. Свойства полупроводников с петлей экстремумов. I. Циклотронный и комбинированный резонанс в магнитном поле, перпендикулярном плоскости петли // Физика тв. тела. – 1960. – 2, вып. 6. – С. 1224–1238. 7. Бычков Ю.А., Рашба Э.И. Свойства двумерного электронного газа со снятым вырождением спект- ра // Письма ЖЭТФ. – 1984. – 39, вып. 2. – С. 66–69. Надiйшло до редакцiї 30.10.2014Iнститут теоретичної фiзики iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ А.А. Еремко Спиновые состояния квазидвумерных электронов На примере квазидвумерных электронов показано, что для полного описания их спиновой степени свободы необходимо принимать во внимание релятивистские законы сохранения, которые в нерелятивистской теории выполняются лишь приближенно. A.A. Eremko Spin states of quasi-two-dimensional electrons Using the example of quasi-two-dimensional electrons, it is shown that the full description of the electron spin degree of freedom requires one to consider relativistic conservation laws, which are fulfilled only approximately in a non-relativistic theory. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2015, №4 69

Спiновi стани квазiдвовимiрних електронiв

Institution

Ähnliche Einträge