Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї
Наведено повний опис галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї у випадку, коли коренi характеристичного рiвняння матрицi дифузiї є дiйсними числами....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96930 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї / Т.А. Баранник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 7. — С. 7-12. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-96930 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-969302016-03-23T03:02:34Z Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї Баранник, Т.А. Математика Наведено повний опис галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї у випадку, коли коренi характеристичного рiвняння матрицi дифузiї є дiйсними числами. Приведено полное описание галилеево-инвариантных систем нелинейных уравнений реакции-диффузии в случае, когда корни характеристического уравнения матрицы диффузии являются действительными числами. The full description of the Galilei-invariant systems of nonlinear reaction-diffusion equations is presented in the case where the roots of the characteristic equation of the diffusion matrix are real numbers. 2015 Article Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї / Т.А. Баранник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 7. — С. 7-12. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96930 517.9:519.46 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Баранник, Т.А. Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї Доповіді НАН України |
| description |
Наведено повний опис галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї
у випадку, коли коренi характеристичного рiвняння матрицi дифузiї є дiйсними числами. |
| format |
Article |
| author |
Баранник, Т.А. |
| author_facet |
Баранник, Т.А. |
| author_sort |
Баранник, Т.А. |
| title |
Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї |
| title_short |
Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї |
| title_full |
Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї |
| title_fullStr |
Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї |
| title_full_unstemmed |
Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї |
| title_sort |
класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/96930 |
| citation_txt |
Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї / Т.А. Баранник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 7. — С. 7-12. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT barannikta klasifikaciâgalileêvoinvariantnihsistemnelinijnihrivnânʹreakciídifuzií |
| first_indexed |
2025-07-07T04:15:09Z |
| last_indexed |
2025-07-07T04:15:09Z |
| _version_ |
1836960144658792448 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2015
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9:519.46
Т.А. Баранник
Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних
рiвнянь реакцiї-дифузiї
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Наведено повний опис галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї
у випадку, коли коренi характеристичного рiвняння матрицi дифузiї є дiйсними чис-
лами.
Ключовi слова: рiвняння реакцiї-дифузiї, перетворення Галiлея, симетрiя.
1. Принцип вiдносностi Галiлея є одним iз фундаментальних постулатiв, який повиннi задо-
вольняти фiзичнi, хiмiчнi, бiологiчнi та iншi системи. Математичною мовою це означає, що
математичнi моделi цих систем повиннi бути iнварiантними вiдносно груп Галiлея. У данiй
роботi пропонується опис систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї, iнварiантних вiдносно
груп Галiлея, якi мають вигляд
∂u
∂t
−A
m∑
i=1
∂2u
∂x2i
= f(u), (1)
де u = стовпець(u1, u2, . . . , un) є вектор-функцiєю вiд t, x1, . . . , xm, f(u) = стовпець
(f1, f2, . . . , fn) є вектор-функцiєю вiд u, A — невироджена квадратна матриця порядку n.
Такi системи знаходять широке застосування в теорiї тепломасоперенесення, а також в ма-
тематичнiй бiологiї та хiмiї. Тому симетрiйний аналiз системи рiвнянь (1) має прикладне
значення i може бути використаний, наприклад, для побудови точних розв’язкiв широкого
класу фiзичних i бiологiчних систем. Перша спроба класифiкувати систему (1) у випадку
n = 2 належить Ю.А. Данiлову [1], який обмежився випадком дiагональної матрицi A.
Дослiдження лiївських симетрiй системи (1) для n = 2 з дiагональною матрицею A було
проведено в роботах [2–4], а з матрицею дифузiї A загального вигляду — у роботах [5, 6].
Завершеного вигляду ця класифiкацiя досягла в роботi [7]. А. Г. Нiкiтiн i Р. Вiльтшире [5, 6]
запропонували ефективний пiдхiд до дослiдження класичної i умовної симетрiй, який може
бути застосований до рiвняння (1) з довiльними n i m.
© Т.А. Баранник, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №7 7
2. За допомогою методу С. Лi неважко переконатися, що система рiвнянь (1) iнварiантна
вiдносно операторiв Галiлея
Ga = t
∂
∂xa
+ xa
n∑
i,j=1
biju
j ∂
∂ui
(2)
тодi i тiльки тодi, коли B = (bij) = −1/2A−1, а функцiя f(u) задовольняє систему рiвнянь
(A−1)kbf b = (A−1)abub
∂fk
∂ua
. (3)
Отже, класифiкацiя систем (1), iнварiантних вiдносно перетворень Галiлея, зводиться до
знаходження розв’язкiв системи рiвнянь (3). Характер розв’язкiв системи (3) суттєво зале-
жить вiд типу матрицi A−1. З точнiстю до перетворень подiбностi матриця A−1 може бути
зведена до однiєї з трьох канонiчних форм залежно вiд значень коренiв характеристичного
рiвняння [8, c. 171–178].
a) Коренi характеристичного рiвняння матрицi A−1 дiйснi. Матриця A−1 в цьому ви-
падку подiбна до матрицi
Jm1,λ1 +̇ · · · +̇ Jms,λs =
Jm1,λ1 0
. . .
0 Jms,λs
, (4)
де Jmi,λi є клiткою Жордана порядку mi для i = 1, 2, . . . , s:
Jmi,λi =
λi 0 . . . . . .
1 λi 0 . . .
. . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 λi
.
b) Коренi характеристичного рiвняння матрицi A−1 комплекснi. Матриця A−1 в цьому
випадку подiбна до матрицi
Jm1
b1,d1
+̇ · · · +̇ Jmkbk ,dk
, di 6= 0 для i = 1, 2, . . . , k,
де Jmb,d — узагальнена клiтка Жордана, тобто матриця порядку 2m такого вигляду:
Jmb,d =
b −d
d b
1 0
0 1
b −d
d b
1 0
0 1
O
. . .
O
b −d
d b
.
У випадку mi = 1 для i = 1, 2, . . . , k матриця A−1 подiбна до матрицi
J1
b1,d1 +̇ · · · +̇ J1
bk ,dk
. (5)
8 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №7
c) Характеристичне рiвняння матрицi A−1 має s дiйсних коренiв i t комплексних коренiв
з врахуванням їх кратностi. Матриця A−1 в даному випадку подiбна до матрицi
Jm1,λ1 +̇ · · · +̇ Jmk ,λk +̇ Jn1
b1,d1
+̇ · · · +̇ Jnlbl,dl ,
де m1 + · · · +mk = s, 2n1 + · · ·+ 2nl = t. Зокрема, якщо n1 = · · · = nl = 1, то матриця A−1
подiбна до матрицi
Jm1,λ1 +̇ · · · +̇ Jmk ,λk +̇ J1
b1,d1 +̇ · · · +̇ J1
bl,dl
. (6)
3. Опис систем рiвнянь (1), якi допускають перетворення Галiлея, зводиться до iнте-
грування системи звичайних диференцiальних рiвнянь (3). Далi наведено розв’язки цiєї
системи для випадкiв, коли матриця A−1 має вигляд (4), (5), (6).
Нехай матриця A−1 є клiткою Жордана Jn,λ. Для визначення всiх можливих нелiнiйних
форм компонент вектор-функцiї f(u) введемо нову змiнну τ , яка визначається iз спiввiд-
ношення
∂ua
∂τ
= (A−1)abub. (7)
Лема. Першими iнтегралами системи (7) є функцiї
Ck =
k∑
p=0
(−1)p
1
λpp!
uk+1−p
u1
lnp u1, k = 1, . . . , n− 1. (8)
Теорема 1. Якщо матриця A−1 є клiткою Жордана Jn,λ, то загальний розв’язок сис-
теми (3) утворюють функцiї
fk = u1
k−1∑
p=0
1
λpp!
ϕk−p ln
p u1, k = 1, . . . , n, (9)
де ϕ1, . . . , ϕn є довiльними функцiями вiд перших iнтегралiв (8) системи рiвнянь (7).
Доведення. Введемо нову змiнну τ , яка визначається системою (7). Використовуючи
змiнну τ , рiвняння (3) запишемо у виглядi
∂fa
∂τ
= (A−1)abfb. (10)
Проiнтегрувавши ситему (10), знаходимо її загальний розв’язок
fk = eλτ
k−1∑
p=0
C̃k−p
τp
p!
, k = 1, . . . , n,
де C̃1, . . . , C̃n — довiльнi сталi. Враховуючи, що u1 = eλτ , отримуємо на пiдставi леми загаль-
ний розв’язок системи рiвнянь (3), який визначається формулами (9). Теорема доведена.
У теоремах, що сформульованi нижче, для компактного запису компонент вектор-функ-
цiї f = стовпець (f1, f2, . . . , fn) i u = стовпець (u1, u2, . . . , un) використано такi позначення:
f
(1)
k = fk для k = 1, . . . ,m1;
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №7 9
f
(i)
k = fm1+···+mi−1+k для k = 1, . . . ,mi, якщо i > 1;
u
(1)
k = uk для k = 1, . . . ,m1;
u
(i)
k = um1+···+mi−1+k для k = 1, . . . ,mi, якщо i > 1.
Теорема 2. Нехай обернена матриця дифузiї A−1 має вигляд (4). Вiдповiдна система
рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi
f1, f2, . . . , fn мають такий вигляд:
f
(i)
k = u
(i)
1
k−1∑
p=0
1
λpi p!
ϕ
(i)
k−p ln
p u
(i)
1 , k = 1, . . . ,mi, i = 1, . . . , s, (11)
де ϕ(i)
1 , . . . , ϕ(i)
mi є довiльними функцiями вiд
k∑
p=0
(−1)p
1
λpi p!
u
(i)
k+1−p
u
(i)
1
lnp u
(i)
1 , k = 1, . . . ,mi − 1, i = 1, . . . , s;
[u
(j)
1 ]λ1 [u
(1)
1 ]−λj , j = 2, . . . , s.
Теорема 3. Нехай обернена матриця дифузiї A−1 має вигляд (5). Вiдповiдна система
рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi
f1, f2, . . . , fn мають такий вигляд:
f
(i)
1 = ϕ
(i)
1 u
(i)
2 + ϕ
(i)
2 u
(i)
1 ,
f
(i)
2 = −ϕ(i)
1 u
(i)
1 + ϕ
(i)
2 u
(i)
2 , i = 1, . . . , k,
де ϕ(i)
1 i ϕ(i)
2 є довiльними функцiями вiд
Ri exp
(
− bi
di
arctan
u
(i)
2
u
(i)
1
)
, R
bj
1 R
−b1
j , j = 2, . . . , k, де R2
i = [u
(i)
1 ]2 + [u
(i)
2 ]2.
Теорема 4. Нехай обернена матриця дифузiї A−1 має вигляд (6). Вiдповiдна система
рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi
f1, f2, . . . , fn мають такий вигляд:
f
(i)
k = u
(i)
1
k−1∑
p=0
1
λpi p!
ϕ
(i)
k−p ln
p u
(i)
1 , k = 1, . . . ,mi; i = 1, . . . , r;
f
(j)
1 = ϕ
(j)
1 u
(j)
2 + ϕ
(j)
2 u
(j)
1 ,
f
(j)
2 = −ϕ(j)
1 u
(j)
1 + ϕ
(j)
2 u
(j)
2 , j = r + 1, . . . , r + l,
де ϕ(i)
1 , . . . , ϕ(i)
mi , ϕ
(j)
1 , ϕ(j)
2 є довiльними функцiями вiд
k∑
p=0
(−1)p
1
λpi p!
u
(i)
k+1−p
u
(i)
1
lnp u
(i)
1 , k = 1, . . . ,mi; i = 1, . . . , r;
10 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №7
Rj exp
(
− bj−r
dj−r
arctan
u
(j)
2
u
(j)
1
)
, Rb1r+1R
−bj′−r
j′ , j′ = r + 2, . . . , r + l,
[u
(r+1)
1 ]2 + [u
(r+1)
2 ]2
[u
(1)
1 ]
2b1
λ1
, R2
j = [u
(j)
1 ]2 + [u
(j)
2 ]2.
Цитована лiтература
1. Данилов Ю.А. Групповой анализ системы Тьюринга и ее аналогов. – Москва, 1980. – 11 с. – (Препр. /
АН СССР. Ин-т атомной энергии им. И.В. Курчатова; 3287/1).
2. Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I //
J. Phys. A: Math. Gen. – 2000. – 33. – P. 267–282.
3. Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I. Adden-
dum // J. Phys. A: Math. Gen. – 2000. – 33. – P. 7839–7841.
4. Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II //
J. Phys. A: Math. Gen. – 2002. – 36. – P. 405–425.
5. Nikitin A.G., Wiltshire R. J. Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Proc.
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine. – 2000. – 30, Pt. 1. – P. 47–59.
6. Nikitin A.G., Wiltshire R. J. Systems of reaction-diffusion equations and their symmetry properties //
J. Math. Phys. – 2001. – 42, No 4. – P. 1667–1688.
7. Nikitin A.G. Group classification of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Укр. мат. вiсник. –
2005. – 2, No 1. – P. 149–200.
8. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – Москва: Наука, 1970. – 402 с.
References
1. Danilov Yu.A. Group analysis of the Turing systems and of its analogues. Preprint, Kurchatov Institute
of Atomic Energy, IAE–3287/1, Moscow, 1980 (in Russian).
2. Cherniha R., King J. R. J. Phys. A: Math. Gen., 2000, 33: 267–282.
3. Cherniha R., King J. R. J. Phys. A: Math. Gen., 2000, 33: 7839–7841.
4. Cherniha R., King J. R. J. Phys. A: Math. Gen., 2002, 36: 405–425.
5. Nikitin A.G., Wiltshire R. Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2000, 30, Pt. 1:
47–59.
6. Nikitin A.G., Wiltshire R. J. J. Math. Phys., 2001, 42, No 4: 1667–1688.
7. Nikitin A.G. Ukr. math. visnyk, 2005, 2, No 1: 149–200.
8. Malcev A. I. Foundations of linear algebra, Moscow: Nauka, 1970 (in Russian).
Надiйшло до редакцiї 23.02.2015Полтавський нацiональний педагогiчний
унiверситет iм. В. Г. Короленка
Т. А. Баранник
Классификация галилеево-инвариантных систем нелинейных
уравнений реакции-диффузии
Полтавский национальный педагогический университет им. В. Г. Короленко
Приведено полное описание галилеево-инвариантных систем нелинейных уравнений реак-
ции-диффузии в случае, когда корни характеристического уравнения матрицы диффузии
являются действительными числами.
Ключевые слова: уравнение реакции-диффузии, преобразование Галилея, симметрия.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №7 11
T.A. Barannyk
The classification of the Galilei-invariant systems of nonlinear
reaction-diffusion equations
V.G. Korolenko Poltava National Pedagogical University
The full description of the Galilei-invariant systems of nonlinear reaction-diffusion equations is
presented in the case where the roots of the characteristic equation of the diffusion matrix are real
numbers.
Keywords: reaction-diffusion equation, Galilei transformation, symmetry.
12 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №7
|