Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв
Вивчається дискретний за часом потiк частинок у випадковому середовищi. Дослiджуються властивостi потоку за просторовою змiнною у фiксований момент часу. Отримано результати про його стацiонарнiсть та ергодичнiсть....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97276 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв / К.В. Глиняна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 13-20. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-97276 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-972762016-03-27T04:03:26Z Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв Глиняна, К.В. Математика Вивчається дискретний за часом потiк частинок у випадковому середовищi. Дослiджуються властивостi потоку за просторовою змiнною у фiксований момент часу. Отримано результати про його стацiонарнiсть та ергодичнiсть. Изучается дискретный по времени поток частиц в случайной среде. Исследуются свойства потока по пространственной переменной в фиксированный момент времени. Получены результаты о его стационарности и эргодичности. We consider a discrete-time flow of particles in the random environment and investigate spatial properties for such flow at a fixed moment of time. Results about the stationarity and ergodicity of the flow are obtained. 2015 Article Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв / К.В. Глиняна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 13-20. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97276 519.21 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Глиняна, К.В. Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв Доповіді НАН України |
| description |
Вивчається дискретний за часом потiк частинок у випадковому середовищi. Дослiджуються властивостi потоку за просторовою змiнною у фiксований момент часу. Отримано результати про його стацiонарнiсть та ергодичнiсть. |
| format |
Article |
| author |
Глиняна, К.В. |
| author_facet |
Глиняна, К.В. |
| author_sort |
Глиняна, К.В. |
| title |
Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв |
| title_short |
Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв |
| title_full |
Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв |
| title_fullStr |
Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв |
| title_full_unstemmed |
Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв |
| title_sort |
ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97276 |
| citation_txt |
Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних за часом стохастичних потокiв / К.В. Глиняна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2015. — № 8. — С. 13-20. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT glinânakv ergodičnistʹvidnosnoprostorovoízminnoídiskretnihzačasomstohastičnihpotokiv |
| first_indexed |
2025-07-07T04:43:55Z |
| last_indexed |
2025-07-07T04:43:55Z |
| _version_ |
1836961954290204672 |
| fulltext |
УДК 519.21
К.В. Глиняна
Ергодичнiсть вiдносно просторової змiнної дискретних
за часом стохастичних потокiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М. I. Портенком)
Вивчається дискретний за часом потiк частинок у випадковому середовищi. Дослiджу-
ються властивостi потоку за просторовою змiнною у фiксований момент часу. Отри-
мано результати про його стацiонарнiсть та ергодичнiсть.
Ключовi слова: стохастичнi потоки з дискретним часом, стацiонарнi процеси, ергоди-
чнiсть.
Стохастичнi потоки описують рух частинок у випадковому середовищi [1–9]. У таких пото-
ках, як правило, рух окремої частинки задається дифузiйним процесом. Складнiсть будови
та властивостей потоку обумовлена взаємним зв’язком цих процесiв для рiзних частинок.
Низка питань, що виникає при цьому, пов’язана з властивостями потокiв за просторовою
змiнною у фiксований момент часу [6, 10]. Також дуже складною є структура шуму, що
керує системою [5, 11].
Одним з прикладiв стохастичних потокiв є потiк розв’язкiв стохастичних диференцiаль-
них рiвнянь, що керуються гладким за просторовою змiнною семiмартингалом {F (x, t), x ∈
∈ R, t > 0} [6]
dx(u, t) = F (x(u, t), dt),
x(u, 0) = u.
(1)
Можна довести, що, якщо локальнi характеристики семiмартингала {F (x, t), x ∈ R, t > 0}
задовольняють умови Лiпшица та лiнiйного збiльшення, процес {x(u, t), u ∈ R, t ∈ [0, T ]}
має такi властивостi: для кожного ε > 0
lim
|u|→∞
sup
06t6T
|x(u, t)|
(1 + |u|)1+ε
= 0 м.н. (2)
lim
|u|→∞
sup
06t6T
(1 + |u|)1−ε
1 + |x(u, t)| = 0 м.н. (3)
Зауважимо, що спiввiдношення (2), (3) вiдрiзняються вiд характеру збiльшення за про-
сторовою змiнною розв’язку детермiнованої задачi Кошi з коефiцiєнтом, що задовольняє
умову Лiпшица,
dy(u, t) = a(y(u, t), t) dt,
y(u, 0) = u,
© К.В. Глиняна, 2015
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 13
для якого вiдомо, що
lim
|u|→∞
y(u, t)
u
= 1. (4)
Ця вiдмiннiсть стохастичного потоку вiд детермiнованого є суттєвою. У роботi [10] по-
будовано приклад стохастичного диференцiального рiвняння з лiпшицевими коефiцiєнтами
такий, що вiдповiдний стохастичний потiк задовольняє
lim
|u|→∞
sup
06t61
|x(u, t)|
|u|h(u) = 1 м.н., (5)
де h(u) = exp
√
log log |u|.
Але деякi стохастичнi потоки, що не можуть бути описанi за допомогою стохастичних
диференцiальних рiвнянь з гладкими коефiцiєнтами, мають властивостi, аналогiчнi вла-
стивостi (4) детермiнованого потоку. Так, наприклад, для потоку, що складається з бро-
унiвських частинок, виконується спiввiдношення (4). Це вiдбувається за рахунок леми
Бореля–Кантелi. На додачу до цього, iнколи має мiсце ергодичнiсть за просторовою змiн-
ною стохастичного потоку у фiксований момент часу. Прикладом таких потокiв можуть
бути потоки дифузiйних частинок iз сингулярною взаємодiєю. Потоки зi склеюванням було
побудовано в роботах [3, 4] та вивчено в роботах [5, 8, 9, 10]. Саме властивiсть ергодичностi
вивчається у данiй роботi.
При дослiдженнi розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь використовується
дискретна апроксимацiя Ейлера–Маруями [12]. Цей пiдхiд дає можливiсть звести дослiд-
ження до аналiзу випадкових блукань. Аналогiчно можна побудувати дискретну за часом
апроксимацiю стохастичного потоку [13]. У ролi шуму, що керує системою частинок, висту-
пає послiдовнiсть стацiонарних незалежних гауссових процесiв {ξn(u), u ∈ R}n>1. У роботi
ми доводимо, що зi стацiонарностi та ергодичностi за просторовою змiнною шуму випливає
стацiонарнiсть та ергодичнiсть стохастичного потоку з дискретним часом.
1. Стохастичнi потоки з дискретним часом та їх ергодичнiсть. Система взає-
модiючих гауссових блукань на прямiй {x(u, n), u ∈ R, n ∈ N ∪ {0}}, яка наближує потоки
броунiвських частинок, була побудована та дослiджена у роботi I. I. Нiщенко [13]. Нехай
{ξn(u), u ∈ R}n>1 — незалежнi стацiонарнi гауссовi процеси з нульовим середнiм та непе-
рервною коварiацiйною функцiєю Γ, Γ(0) = 1. Визначимо {x(u, n), u ∈ R, n ∈ N
⋃{0}} за
допомогою рекурентного спiввiдношення
x(u, n + 1) = x(u, n) + ξn+1(x(u, n)),
x(u, 0) = u, u ∈ R.
(6)
Неперервнiсть функцiї Γ та незалежнiсть процесiв {ξn}n>1 гарантують коректнiсть озна-
чення. Основною вiдмiннiстю потоку з дискретним часом вiд потокiв з неперервним ча-
сом є те, що частинки можуть змiнювати початкову впорядкованiсть, тобто вiдображення
x(·, N) може бути не монотонним. У цiй роботi дослiдження властивостей вiдображення
x(·, N) базується на ергодичнiй теорiї стацiонарних процесiв.
Перш за все вiдзначимо, що процес {x(u, n) − u, u ∈ R} при кожному n > 1 є стацiо-
нарним, а саме має мiсце така лема.
14 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
Лема 1. Процес, що набуває значень в R
∞
{(ξ1(u), x(u, 1) − u, ξ2(u), x(u, 2) − u, . . . , ξn(u), x(u, n) − u, . . .), u ∈ R}
є стацiонарним у вузькому сенсi.
Доведення. Позначимо κn(u) = (ξ1(u), x(u, 1)−u, . . . , ξn(u), x(u, n)−u). Оскiльки σ-ал-
гебра B(R∞) породжується алгеброю A = {B1 × B2 × . . . × Bn, Bi ∈ B(R), n > 1}, то
достатньо перевiрити, що виконується рiвнiсть
P
(
k⋂
i=1
{κn(ui + h) ∈ Bi
1 × . . .×Bi
2n}
)
= P
(
k⋂
i=1
{κn(ui) ∈ Bi
1 × . . .×Bi
2n}
)
. (7)
Доведення проведемо за методом математичної iндукцiї за n. При n = 1 маємо x(u, 1)−u =
= ξ1(u) та рiвнiсть (7) виконується внаслiдок стацiонарностi процесу ξ1. Нехай рiвнiсть (7)
є вiрною при n. Тодi при n + 1
P(
k⋂
i=1
{κn+1(ui + h) ∈ Bi
1 × . . .×Bi
2n+2}) = E
[
k∏
i=1
1I{κn(ui + h) ∈ Bi
1 × . . .×Bi
2n} ×
× P
(
k⋂
i=1
{(ξn+1(ui + h), x(ui + h, n)− (ui + h) + ξn+1(x(ui + h, n))) ∈
∈ Bi
2n+1 ×Bi
2n+2}|ξ1, . . . , ξn
)]
= E
[
k∏
i=1
1I{κn(ui + h) ∈ Bi
1 × . . . ×Bi
2n} ×
× ϕ(x(u1 + h, n)− (u1 + h), . . . , x(uk + h, n)− (uk + h))
]
,
де
ϕ(y1, . . . , yk) = P
(
k⋂
i=1
{(ξn+1(ui + h), yi + ξn+1(yi + (ui + h)) ∈ Bi
2n+1 ×Bi
2n+2}
)
.
Використовуючи припущення iндукцiї та стацiонарнiсть процесiв {ξn}, робимо висновок,
що отриманий вираз не залежить вiд h. Лему доведено.
Наведемо основнi означення та результати, пов’язанi з ергодичнiстю стацiонарного про-
цесу [15]. Нехай {X(u), u ∈ R} — стацiонарний у вузькому сенсi процес в R. Позначимо
через M(R) множину всiх функцiй на R з σ-алгеброю S, що породжується цилiндричними
множинами. Визначимо мiру µX на S, що пов’язана з процесом X:
µX{f ∈M(R) : f(u1) ∈ ∆1, . . . , f(uk) ∈ ∆k} = P{X(u1) ∈ ∆1, . . . ,X(uk) ∈ ∆k},
k > 1, ∆i ∈ B(R).
Означення 1. (i) Вимiрна функцiя F на M(R) називається iнварiантною, якщо при
всiх f ∈ M
F (f(·+ x)) = F (f(·)), x ∈ R.
(ii) Множина A ∈ S називається iнварiантною, якщо 1IA є iнварiантною функцiєю.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 15
Означення 2. Стацiонарний у вузькому сенсi процес {X(u), u ∈ R} називаємо ергоди-
чним, якщо для кожної iнварiантної множини A
µX(A) ∈ {0, 1}.
Для ергодичних процесiв має мiсце така теорема.
Теорема 1 (Бiркгофа–Хiнчина). Нехай X — ергодичний процес. Тодi для F ∈
∈ L1(M,S, µX ) iснують границi
lim
U→∞
1
U
U∫
0
F (X(· + u)) du = lim
U→∞
1
2U
U∫
−U
F (X(·+ u)) du =
∫
M
FdµX . (8)
Для перевiрки ергодичностi процесу бiльш зручно користуватися такою властивiстю.
Означення 3. Процес X задовольняє властивiсть перемiшування, якщо для двох до-
вiльних функцiй F,G ∈ L2(M,S, µX )
lim
u→∞
∫
M
F (f(·+ u))G(f(·))µX (df) =
∫
M
F (f)µX(df)
∫
M
G(f)µX(df). (9)
Вiдомо [15], що стацiонарний гауссiв процес задовольняє властивiсть перемiшування,
якщо його коварiацiйна функцiя r(h) = EX(u)X(u + h) прямує до нуля при h→∞.
Зауважимо, що властивiсть перемiшування достатньо перевiряти на класi функцiй
E = {F : F (X) = exp{i(~λ,X(~u))}, ~λ ∈ R
m,X(~u) = (X(u1), . . . ,X(um)), ~u ∈ R
m,m > 1}.
Дiйсно, з теореми Банаха–Штейнгауза випливає, що для обмеженої бiлiнiйної форми∫
M
F (f(· + u))G(f(·))µX (df) збiжнiсть (9) для F,G ∈ L2(M,S, µX ) випливає з виконання
цiєї властивостi на всюди щiльнiй пiдмножинi.
Основним результатом роботи є таке твердження про ергодичнiсть процесу {x(u,N) −
− u, u ∈ R}.
Теорема 2. Нехай потiк {x(u, n), u ∈ R, n ∈ N} побудовано за послiдовнiстю гауссових
процесiв {ξn(u), u ∈ R}n>1 з коварiацiйною функцiєю Γ такою, що Γ(u) → 0, u → ∞. Тодi
процес {x(u,N) − u, u ∈ R} є ергодичним для кожного N > 1.
Доведення. Перевiримо, що процес {x(u,N)−u, u ∈ R} задовольняє умову перемiшува-
ння, використовуючи метод математичної iндукцiї. При N = 1 маємо x(u, 1)−u = ξ1(u). Як
було зауважено, гауссiв процес задовольняє умову перемiшуваня, якщо Γ(u) → 0, u → ∞.
Припустимо, що для процесу {x(u,N) − u, u ∈ R} виконується (8) при N = n. Тодi для
N = n + 1 i функцiй F , G ∈ E
∫
M
F (f(·+ h))G(f(·))µ(x(u,n+1)−u)(df) = E exp{i(~α, x(~u + ~h, n + 1)− (~u+ ~h))} ×
× exp{i(~β, x(~v, n + 1)− ~v)},
де x(~v, n) = (x(v1, n), . . . , x(vm, n)), ~α, ~β ∈ R
m, ~h = (h, . . . , h) ∈ R
m, та
F (f) = exp{i(~α, f(~u))}, G(f) = exp{i(~β, f(~v))}.
16 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
Використовуючи рекурентне спiввiдношення для xn, маємо
E exp{i(~α, x((~u + ~h), n + 1)− (~u+ ~h))} exp{i(β, ~x(~v, n + 1)− ~v)} =
= E[exp{i(~α, x(~u + ~h, n)− (~u+ ~h))} exp{i(~β, x(~v, n) − ~v)} ×
× exp{−1
2
(K(x(~u+ h, n), x(~v, n))αβ, αβ)}],
де через K(~u,~v) позначено коварiацiйну матрицю гауссового вектора (ξn(u1), . . . , ξn(um),
ξn(v1), . . . , ξn(vm)) в R
2m та αβ = (α1, . . . , αm, β1, . . . , βm). Продовжуючи рiвнiсть, отри-
муємо
E
[
exp{i(~α, x(~u + ~h, n)− (~u+ ~h))} exp{i(~β, x(~v, n) − ~v)} ×
× exp
{
−1
2
m∑
i,j=1
Γ(x(ui + h, n)− x(uj + h, n))αiαj
}
×
× exp
{
−1
2
m∑
i,j=1
Γ(x(vi, n)− x(vj, n))βiβj
}
×
× exp
{
−
m∑
i,j=1
Γ(x(ui + h, n)− x(vj , n))αiβj
}]
.
Вiдзначимо, що |x(ui +h, n)−x(vj , n)| P→∞ при h→∞, отже, Γ(x(ui +h, n)− x(vj , n))
P→ 0
при h→∞. За припущенням iндукцiї {x(u, n)−u, u ∈ R} задовольняє умову перемiшування,
тому отриманий вираз має границю при h → ∞, яка дорiвнює
E exp
{
i(~α, x(~u, n) − ~u)− 1
2
m∑
i,j=1
Γ(x(ui, n)− x(uj, n))αiαj
}
×
× E exp
{
i(~β, x(~v, n) − ~v)− 1
2
m∑
i,j=1
Γ(x(vi, n)− x(vj , n))βiβj
}
=
= E exp{i(~α, x(~u, n + 1)− ~u)}E exp{i(~β, x(~v, n + 1)− ~v)}.
Таким чином, процес {x(u,N) − u, u ∈ R} задовольняє умову перемiшування. Зауважимо,
що ергодичнiсть процесу випливає з доведеної властивостi. Для цього достатньо в (9) як F
та G взяти iндикатори iнварiантних множин. Теорему доведено.
Наслiдок 1. Нехай λ — мiра Лебега на B(R). Тодi для довiльного ∆ ∈ B(R)
λ{u ∈ [−U,U ] : x(u,N)− u ∈ ∆}
2U
→ P{x(0, N) ∈ ∆}
при U → ∞.
Доведення. Ця властивiсть отримана застосуванням теореми Бiркгофа–Хiнчина до
функцiї F (X) = 1I{X(0)∈∆}.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 17
При умовi гладкостi коварiацiйної функцiї процесiв {ξn(u), u ∈ R} Γ ∈ C2+ε(R) процес
{x(u,N), u ∈ R} є диференцiйовним. Використовуючи ергодичнiсть за просторовою змiнною
процесу {x′(u,N), u ∈ R}, зробимо висновок про те, наскiльки порушується монотоннiсть
вiдображення x(·, n)
Наслiдок 2.
lim
U→∞
− 1
U
U∫
0
x′(u, n)1I{x′(u,n)<0}du = C, C > 0.
Доведення. З ергодичної теореми випливає
lim
U→∞
1
U
U∫
0
x′(u, n)du = lim
U→∞
x(U, n)− x(0, n)
U
= 1. (10)
З iншого боку,
lim
U→∞
1
U
U∫
0
|x′(u, n)|du = E|(x′(u, n))|. (11)
Зауважимо, що {|x′(u, n)|}n>1 є супермартингалом, |x′(u, 0)| = 1. Тому E|(x′(u, n))| > 1,
оскiльки супермартингал |x′(u, n)| не є детермiнованим. Порiвнюючи (10) та (11), отримуємо
− 1
U
U∫
0
x′(u, n)1I{x′(u,n)<0}du→ C, C > 0.
Таким чином, мiра тих точок прямої, якi змiнили б порядок при вiдображеннi x(·, n), є не-
скiнченною.
Роботу виконано за часткової пiдтримки гранту Нацiональної академiї наук України та Ро-
сiйского фонду фундаментальних дослiджень, проект № 09-01-14.
Цитована лiтература
1. Norris J. R. Smoluchowski’s coagulation equation: uniqueness, nonuniqueness and a hydrodynamic limit
for the stochastic coalescent // Ann. Appl. Probab. – 1999. – 9. – P. 78–109.
2. Zirbel C. L., Cinlar E. Dispersion of particle systems in Brownian flows // Adv. Appl. Prob. – 1996. – 28,
No 1. – P. 53–74.
3. Arratia R. Coalescing Brownian motions on the line. – Madison: University of Wisconsin-Madison, 1979. –
256 p.
4. Harris T.E. Coalescing and noncoalescing stochastic flows in R1 // Stochastic Processes and their Appli-
cations. – 1984. – 17, No 2. – P. 187–210.
5. Le Jan Y., Raimond O. Flows, coalescence and noise // Ann. Probab. – 2004. – 32, No 2. – P. 1247–1315.
6. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge: Cambridge University Press,
1997. – 346 p. – (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 24).
7. Kraichnan R. Dynamical stochastic modeling of turbulence // Turbulence in Fluid flows. – New York:
Springer, 1993. – P. 73–86. – (IMA Volumes in Mathematics and its Applications; Vol. 55).
8. Дороговцев А.A. Мерозначные процессы и стохастические потоки. – Киев: Ин-т математики НАН
Украины, 2007. – 289 с.
18 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
9. Конаровський В.В. Система взаємодiючих частинок зi змiнною масою: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук /
Iнститут математики НАН України. – Київ, 2011. – 126 с.
10. Mohammed S.-E. A., Scheutzow M.K.R. Spatial estimates for stochastic flows in Euclidean space // Ann.
Probab. – 1998. – 26, No 1. – P. 56–77.
11. Warren J., Watanabe S. On spectra of noises associated with Harris flows // arXiv: math/0307287. – 2003.
12. Кузнецов Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного реше-
ния. – Ст.-Петербург: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 786 с.
13. Nishenko I. I. Discrete time approximation of coalescing stochastic flows on the real line // Theory Stoch.
Process. – 2011. – 17, No 1. – P. 70–78.
14. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. – Москва: Наука, 1980. – 384 с.
15. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. – Москва: Наука, 1990. – 272 с.
References
1. Norris J. R. Ann. Appl. Probab., 1999, 9: 78–109.
2. Zirbel C. L., Cinlar E. Adv. Appl. Prob., 1996, 28, No 1: 53–74.
3. Arratia R. Coalescing Brownian motions on the line, Madison: University of Wisconsin–Madison, 1979.
4. Harris T.E. Stochastic Processes and their Applications, 1984, 17, No 2: 187–210.
5. Le Jan Y., Raimond O. Ann. Probab., 2004, 32, No 2: 1247–1315.
6. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations, Cambridge Studies in Advanced Mathema-
tics, Vol. 24, Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
7. Kraichnan R. Turbulence in Fluid flows, IMA Volumes in Mathematics and its Applications, Vol. 55, New
York: Springer, 1993: 73–86.
8. Dorogovtsev A.A. Measure-Valued Processes and Stochastic Flows, Institute of Mathematics of the NAS
of Ukraine, 2007 (in Russian).
9. Konarovskii V. V. System of interaction particles with changeable mass, PhD dissertation, Institute of
Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev, 2011 (in Ukrainian).
10. Mohammed S.-E.A., Scheutzow M.K.R. Ann. Probab, 1998, 26, No 1: 56–77.
11. Warren J., Watanabe S. On spectra of noises associated with Harris flows, arXiv: math/0307287, 2003.
12. Kuznetsov D. F. Stochastic Differential Equations: Theory and Practice of Numerical Analysis, Saint-
Petersburg: Polytechnic Univ., 2010 (in Russian).
13. Nishenko I. I. Theory Stoch.Process, 2011, 17, No 1: 70–78.
14. Kornfeld I. P., Sinai Ya.G., Fomin S. V. Ergodic Theory, Moscow: Nauka, 1980 (in Russian).
15. Rozanov Yu.A. Stationary Random Processes, Moscow: Nauka, 1990 (in Russian).
Надiйшло до редакцiї 11.03.2015Iнститут математики НАН України, Київ
Е.В. Глиняная
Эргодичность относительно пространственной переменной
дискретных по времени стохастических потоков
Институт математики НАН Украины, Киев
Изучается дискретный по времени поток частиц в случайной среде. Исследуются свойства
потока по пространственной переменной в фиксированный момент времени. Получены ре-
зультаты о его стационарности и эргодичности.
Ключевые слова: стохастические потоки с дискретным временем, стационарные процессы,
эргодичность.
ISSN 1025-6415 Доповiдi НАН України, 2015, №8 19
E.V. Glinyanaya
Ergodicity with respect to the spatial variable of discrete-time
stochastic flows
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
We consider a discrete-time flow of particles in the random environment and investigate spatial
properties for such flow at a fixed moment of time. Results about the stationarity and ergodicity
of the flow are obtained.
Keywords: discrete-time stochastic flows, stationary processes, ergodicity.
20 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, №8
|