О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов

Розглянуто нелінійні моделі моніторингу, які побудовано на основі суперпозиції осциляторів з вільними параметрами, даними спостережень, як задачі нелінійної регресії. Для вибраних нелінійних математичних моделей з’ясовано питання, пов’язані з існуванням розв’язку, його єдиністю і стійкістю залежно в...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Мостовой, В.С., Мостовой, С.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2012
Schriftenreihe:	Геофизический журнал
Schlagworte:	Научные сообщения
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97386
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов / В.С. Мостовой, С.В. Мостовой // Геофизический журнал. — 2012. — Т. 34, № 2. — С. 140-143. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-97386
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-973862016-03-28T03:02:41Z О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов Мостовой, В.С. Мостовой, С.В. Научные сообщения Розглянуто нелінійні моделі моніторингу, які побудовано на основі суперпозиції осциляторів з вільними параметрами, даними спостережень, як задачі нелінійної регресії. Для вибраних нелінійних математичних моделей з’ясовано питання, пов’язані з існуванням розв’язку, його єдиністю і стійкістю залежно від початкових даних. Остання обставина особливо важлива, оскільки алгоритми, побудовані на підставі цих моделей, орієнтовані на безпосередню обробку польових спостережень, що означає залежність від характеристик вимірювальної апаратури, помилок виміру і супутнього фону перешкод. Для побудови оптимальних оцінок параметрів моделі запропоновано відокремлення лінійних і нелінійних параметрів з метою оптимізації процесу обчислення. Під час пошуку квазіоптимальних розв’язків такий розподіл дає змогу використовувати тільки нелінійні вільні параметри для симуляції в методі Монте-Карло. Параметри, що входять лінійно, визначають розв’язком системи лінійних рівнянь. Таким чином, розмірність завдання пошуку оптимальних оцінок зменшується на розмірність вектора лінійних параметрів. Under consideration there is a compliance with observed data and nonlinear models of monitoring. These models are based on superposition of oscillators with free parameters. Optimal estimation of free parameters of model which enter into model both linearly and nonlinearly, we shall consider as a problem of nonlinear regression. The optimality is understood in sense of a global minimum of an objective functional. The point in space of possible values of free parameters of model in which criterion has a global minimum is accepted as the optimal solution of a problem. For the chosen nonlinear mathematical models it is necessary to find out the questions connected with existence of the solution, its uniqueness, and stability of the solution depending on initial data. The last circumstance is especially important, as the algorithms constructed on the basis of these models, are concentrated on direct processing of field supervision. It means dependence on characteristics of the measuring equipment, errors of measurement and to accompanying by background noises. Separation of linear and nonlinear parameters with the purpose of calculation process optimization is offered for construction of optimal estimations model parameters. By search quasi-optimal solutions such division allows to use for the Monte-Carlo technique simulation only nonlinear parameters. Linearly entering parameters are defined by the solution of system of the linear equations. Thus, dimension of a search problem of optimal estimations is decreased on a size of a linear parameters vector dimension. Рассмотрены нелинейные модели мониторинга, построенные на основе суперпозиции осцилляторов со свободными параметрами, наблюденными данными как задачи нелинейной регрессии. Для выбранных нелинейных математических моделей выясняются вопросы, связанные с существованием решения, его единственностью и устойчивостью в зависимости от начальных данных. Последнее обстоятельство особенно важно, поскольку алгоритмы, построенные на основании этих моделей, ориентированы на непосредственную обработку полевых наблюдений, что означает зависимость от характеристик измерительной аппаратуры, ошибок измерения и сопутствующего фона помех. Для построения оптимальных оценок параметров модели предлагается разделение линейных и нелинейных параметров c целью оптимизации процесса вычисления. При поиске квазиоптимальных решений такое разделение позволяет использовать только нелинейные свободные параметры для симулирования в методе Монте-Карло. Линейно входящие параметры определяются решением системы линейных уравнений. Таким образом, размерность задачи поиска оптимальных оценок уменьшается на размерность вектора линейных параметров. 2012 Article О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов / В.С. Мостовой, С.В. Мостовой // Геофизический журнал. — 2012. — Т. 34, № 2. — С. 140-143. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0203-3100 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97386 550.834 ru Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научные сообщения Научные сообщения
spellingShingle	Научные сообщения Научные сообщения Мостовой, В.С. Мостовой, С.В. О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов Геофизический журнал
description	Розглянуто нелінійні моделі моніторингу, які побудовано на основі суперпозиції осциляторів з вільними параметрами, даними спостережень, як задачі нелінійної регресії. Для вибраних нелінійних математичних моделей з’ясовано питання, пов’язані з існуванням розв’язку, його єдиністю і стійкістю залежно від початкових даних. Остання обставина особливо важлива, оскільки алгоритми, побудовані на підставі цих моделей, орієнтовані на безпосередню обробку польових спостережень, що означає залежність від характеристик вимірювальної апаратури, помилок виміру і супутнього фону перешкод. Для побудови оптимальних оцінок параметрів моделі запропоновано відокремлення лінійних і нелінійних параметрів з метою оптимізації процесу обчислення. Під час пошуку квазіоптимальних розв’язків такий розподіл дає змогу використовувати тільки нелінійні вільні параметри для симуляції в методі Монте-Карло. Параметри, що входять лінійно, визначають розв’язком системи лінійних рівнянь. Таким чином, розмірність завдання пошуку оптимальних оцінок зменшується на розмірність вектора лінійних параметрів.
format	Article
author	Мостовой, В.С. Мостовой, С.В.
author_facet	Мостовой, В.С. Мостовой, С.В.
author_sort	Мостовой, В.С.
title	О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов
title_short	О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов
title_full	О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов
title_fullStr	О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов
title_full_unstemmed	О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов
title_sort	о корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Научные сообщения
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/97386
citation_txt	О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов / В.С. Мостовой, С.В. Мостовой // Геофизический журнал. — 2012. — Т. 34, № 2. — С. 140-143. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Геофизический журнал
work_keys_str_mv	AT mostovojvs okorrektnostizadačinelinejnojregressiipriprirodnyhirukotvornyhobʺektov AT mostovojsv okorrektnostizadačinelinejnojregressiipriprirodnyhirukotvornyhobʺektov
first_indexed	2025-07-07T04:52:36Z
last_indexed	2025-07-07T04:52:36Z
_version_	1836962500711546880
fulltext	В. С. МОСТОВОЙ, С. В. МОСТОВОЙ 140 Геофизический журнал № 2, Т. 34, 2012 Вступление. Согласие нелинейных моделей мониторинга, основанных на суперпозиции осцилляторов со свободными параметрами, ко- торые предложены в работах [Мостовой, 2008 а, б; Мостовой В. С., Мостовой С. В., 2008; 2011 а, б; Мостовой и др., 2011], с наблюденными данными, будем рассматривать как задачу не- линейной регрессии [Виноградов, 1977; Bethea et al., 1985]. Для выбранных нелинейных ма- тематических моделей необходимо выяснить вопросы, связанные с существованием реше- ния, его единственностью и устойчивостью в зависимости от начальных данных. Последнее обстоятельство особенно важно, поскольку УДК 550.834 О корректности задачи нелинейной регрессии при мониторинге природных и рукотворных объектов © В. С. Мостовой, С. В. Мостовой, 2012 Институт геофизики НАН Украины, Киев, Украина Поступила 1 ноября 2011 г. Представлено членом редколлегии В. Н. Шуманом Розглянуто нелінійні моделі моніторингу, які побудовано на основі суперпозиції осцилято- рів з вільними параметрами, даними спостережень, як задачі нелінійної регресії. Для вибраних нелінійних математичних моделей з’ясовано питання, пов’язані з існуванням розв’язку, його єдиністю і стійкістю залежно від початкових даних. Остання обставина особливо важлива, оскільки алгоритми, побудовані на підставі цих моделей, орієнтовані на безпосередню об- робку польових спостережень, що означає залежність від характеристик вимірювальної апаратури, помилок виміру і супутнього фону перешкод. Для побудови оптимальних оцінок параметрів моделі запропоновано відокремлення лінійних і нелінійних параметрів з метою оптимізації процесу обчислення. Під час пошуку квазіоптимальних розв’язків такий розподіл дає змогу використовувати тільки нелінійні вільні параметри для симуляції в методі Монте- Карло. Параметри, що входять лінійно, визначають розв’язком системи лінійних рівнянь. Таким чином, розмірність завдання пошуку оптимальних оцінок зменшується на розмірність вектора лінійних параметрів. Under consideration there is a compliance with observed data and nonlinear models of monito- ring. These models are based on superposition of oscillators with free parameters. Optimal estimation of free parameters of model which enter into model both linearly and nonlinearly, we shall consider as a problem of nonlinear regression. The optimality is understood in sense of a global minimum of an objective functional. The point in space of possible values of free parameters of model in which criterion has a global minimum is accepted as the optimal solution of a problem. For the chosen nonlinear mathematical models it is necessary to find out the questions connected with existence of the solution, its uniqueness, and stability of the solution depending on initial data. The last circumstance is especially important, as the algorithms constructed on the basis of these models, are concentrated on direct processing of field supervision. It means dependence on characteristics of the measuring equipment, errors of measurement and to accompanying by background noises. Separation of linear and nonlinear parameters with the purpose of calculation process optimization is offered for construction of optimal estimations model parameters. By search quasi-optimal solutions such division allows to use for the Monte-Carlo technique simulation only nonlinear parameters. Linearly entering parameters are defined by the solution of system of the linear equations. Thus, dimension of a search problem of optimal estimations is decreased on a size of a linear parameters vector dimension. алгоритмы, построенные на основании этих моделей, ориентированы на непосредствен- ную обработку полевых наблюдений, а это означает зависимость от характеристик из- мерительной аппаратуры, ошибок измерения и сопутствующего фона помех. Для построения оптимальных оценок пара- метров модели предлагается разделение линей- ных и нелинейных параметров c целью опти- мизации процесса вычисления. При поиске квазиоптимальных решений такое разделение позволяет использовать только нелинейные свободные параметры для симулирования в методе Монте-Карло. Линейно входящие па- О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ МОНИТОРИНГЕ ... Геофизический журнал № 2, Т. 34, 2012 141 раметры определяются решением системы линейных уравнений. Таким образом, раз- мерность задачи поиска оптимальных оценок уменьшается на размерность вектора линей- ных параметров. Существование решения задачи регрес- сии. Предположим, что — компактное мно- жество в €n, — произвольное множество в €m, где n и m — натуральные числа; F(·,·) — не- прерывная функция A BE€ , где A×B — прямое произведение множеств A и B. Для произволь- ного y₂B рассмотрим следующую оптимиза- ционную задачу: min ( , ) x A F x y . (1) Лемма 1. Для произвольного y₂B существу- ет точка $( )x y , минимизирующая F(·,y) на мно- жестве A. Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме о поведе- нии непрерывной функции, заданной на ком- пактном множестве, функция F(·,y) достигает точной нижней грани на множестве A. Следо- вательно, существует точка $( )x y , минимизи- рующая F(·,y) на множестве A. Единственность решения задачи (1). При дополнительных условиях на функцию F(·,·) можно показать, что множество точек y₂B, таких что решение задачи (1) не единственно, имеет меру Лебега ноль. Физическая или, скорее, вероятностная интерпретация данного утверж- дения следующая: если предположить, что ре- зультаты экспериментов — случайные вели- чины с любым непрерывным распределением, например гауссовым или равномерным (на подмножестве €m ), то вероятность того, что ре- шение задачи (1) не единственно, равна нулю. Таким дополнительным условием на функ- ции вида F(·,·) может быть представление F(·,·) в виде композиции непрерывной (но не рав- ной константе) функции и функции, задан- ной суперпозицией осцилляторов, а также представление функции F(·,·) в виде полинома, отличного от константы. Заметим, что един- ственность решения оптимизационных задач вида (1), рассмотренных в настоящей статье, подтверждена практическими их исследова- ниями в численном эксперименте и обработке полевых наблюдений. Непрерывная зависимость от начальных данных. Лемма 2. Пусть { :C y B решение задачи (1) не единственно}. Если дополнение , Cc=B\C — открытое множество в B, то на множестве Cc решение задачи (1), $ $( )x x y= , непрерывно зависит от второй компоненты функции F(·,·). Д о к а з а т е л ь с т в о . Из открытости Cc и не- прерывности F(·,·) следует, что для любого y₂Cc существует некоторый шар (в евклидовом про- странстве) δ такой, что для любой точки $y B (т. е. при $y y ) получим решение задачи (1), $( )x y , удовлетворяющее $ ( ) $ $( )x y x y для не- которого 0. Следовательно, для любого y₂Cc при 0 существует такое δ 0, при котором $ ( ) $ $( )x y x y для любого $ $:y y y . Таким образом, решение задачи (1) – непрерывная функция от второй компоненты функции F(·,·) на множестве Cc. Отметим, что открытость множества Cc вы- полняется для функций, используемых в по- становке задачи регрессии (1), на практике. Как было указано, для практических задач, рассмотренных в данной статье, L(C)=0, где L(C) — мера Лебега множества C. С вероятностной точки зрения лемма 2 показывает, что (при некоторых условиях на F(·,·)) решение задачи регрессии непрерывно зависит от начальных данных с вероятностью 1. Таким образом, задачи вида (1) для функ- ций F(·,·), рассмотренных в настоящей статье, являются корректными [Evans, 1998] c практи- ческой точки зрения. При этом строго можно показать лишь первое условие корректности — существование решения. Остальные два условия — единственность и непрерывная зависимость от начальных данных — выполня- ются при дополнительных условиях на функ- цию F(·,·) и подтверждаются практическими исследованиями функций вида F(·,·). О сходимости алгоритма решения задачи регрессии. Предположим, что A — компактное подмножество €d, где d — натуральное число; F(·) — непрерывная функция AE€. Рассмот- рим следующую оптимизационную задачу: min ( ) x A F x . (2) Исследуем следующий алгоритм поиска приближенного решения задачи (2): на мно- жестве A выберем некоторую вероятностную меру P такую, что для любого множества C₁A с положительной мерой Лебега (L(C)>0) будет выполняться условие P(C)>0. Выбросим N случайных точек xn₂A, 1,n N= , каждая из которых имеет распределение, удо- влетворяющее условиям, описанным в пред- ыдущем пункте, так что xn, 1,n N= , — незави- симые одинаково распределенные случайные величины на A. Для каждого 1,n N= , используя алгоритм Левенберга—Маркварда [Levenberg, 1944; Mar- В. С. МОСТОВОЙ, С. В. МОСТОВОЙ 142 Геофизический журнал № 2, Т. 34, 2012 quardt, 1963] с начальной точкой xn, находим точку локального минимума $nx . Приближенным решением задачи (2) на - зовем такую точку $ ${ }1, , NNy x xK , что yN= $ 1, min ( ).n n N F x = = Предположим, что δ-критерий остановки в алгоритме Левенберга—Маркварда, т. е. алго- ритм Левенберга—Маркварда, выполняется (и утверждаем, что локальный минимум найден), если уменьшение значения функции F(·) при двух последовательных итерациях алгоритма не превосходит δ. Лемма 3. Алгоритм поиска глобального ми- нимума функции F(·) сходится к решению за- дачи (2) с точностью δ, т. е. lim ( ) min ( ) 0NN x A P F y F x . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть z — точка, ми- нимизирующая функцию F(·) на множестве A, т. е. ( ) min ( ) x A F z F x= . Заметим, что существо- вание z следует из леммы 1. Так как функция F(·) непрерывна, найдем такое число (z)>0, что { }( ) ( ) : ( )zB z y A y z z , шар радиуса (z) с центром в точке z, пересеченный с A, содержит- ся в A, и для любого z1₂B (z) имеем F(z1)≥F(z). Из условия (1) в описании алгоритма следует, что при выбросе случайной точки x выполняется следующее условие: ( ) ( ) 0zP x B z . Следо- вательно, используя независимость случайных величин xn, 1,n N= , получаем, что при выбросе N точек (и соответственных N запусках алгорит- ма Левенберга—Макварда) приближенное ре- шение задачи (2) yN удовлетворяет следующему условию: ( )( )[ ( ) ( ) ] 1 ( ) N N zP F y F z P x B z . Так как ( ) ( ) 0zP x B z , заключаем, что lim [ ( ) ( ) ] 1NN P F y F z . Так как лемма 3 выполняется для любого критерия остановки δ>0, то в частности из леммы 3 следует, что алгоритм поиска решения задачи (2) сходится по вероятности. Также сле- дует отметить, что для задач, рассмотренных в настоящей статье, описанный алгоритм по- зволяет эффективно решать задачи вида (2). В частности, для этих задач скорость сходимости не является принципиальным вопросом, так как время поиска решения составляет считан- ные секунды. Тем не менее, скорость сходимо- сти может быть определена при дополнитель- ных условиях на функцию F(·) и множество A в задаче (2). Выбор модели регрессии. В качестве моде- лей в мониторинге объектов, отражающих их динамику, выберем суперпозицию осциллято- ров. Зарегистрированные колебания объекта y(t) представим в виде ( ) ( , , ) ( )y t M t n th= + , (3) где M(t, h, ) — модель регрессии, h — вектор линейно входящих в модель параметров, — матрица нелинейно входящих параметров, h и — свободные параметры модели, n(t) — ад- дитивный шум; ( ) ( )( ),1 ,2 ,1 1 exp( , , ) N N k k k k k h t tM t = =h ( )( ),2 ,1sin k kt . (4) В уравнении (4) матрица нелинейных пара- метров ={ k,s}, 1,k N= ; 1,3s= ; (t) — единичная функция Хэвисайда, N — количество осцил- ляторов (параметр, также подлежащий опти- мизации и фиксирующий модель). В рамках модели с номером N ищется оптимальное ре- шение (1). Для множества моделей MN, 1,N M (M — множество моделей данного класса), ищется модель NM , где N — номер модели, для которого (1) имеет глобальный экстремум. Задача заключается в оптимальном выбо- ре параметров h и для каждой модели MN и переборе по N моделей MN. Для простоты рас- смотрим в качестве критерия оптимальности минимум расстояния между моделью M(t,h, ) и y(t) в метрике [ ]2 0,L T , где [ ]0,t T — область регистрации данных во времени. Такой выбор критерия эквивалентен максимуму правдопо- добия при гипотезе о том, что n(t) —белый шум. Из выбора критерия следует, что для фикси- рованной матрицы , полученной в результате симуляции методом Монте-Карло, для поиска вектора h, оптимального для модели с нели- нейными параметрами , можно построить матрицу Ψ для системы линейных уравнений, решением которой будет h: { },k s и { }kII= , (5) ( ) ( )( ), ,1 ,2 ,10 exp T k q k k kt t ( )( ) ( ) ( )( ),2 ,1 ,1 ,2 ,1sin expk k q q qt t t ( )( ),2 ,1sin q qt dt ; , 1,k q N= , (6) ( ) ( )( ),1 ,2 ,10 exp T k k k kI t t ( )( ),2 ,1sin ( )k kt y t dt ; 1,k N= . (7) Методом Монте-Карло генерируем псев- дослучайную матрицу по априорным распре- делениям. Источником гипотез о параметрах О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ МОНИТОРИНГЕ ... Геофизический журнал № 2, Т. 34, 2012 143 распределения свободных параметров hk, k,s служит априорный анализ преобразований Фурье и вейвлет. Для каждой матрицы , решая систему ли- нейных уравнений, находим вектор h, который является оптимальным для модели с матрицей нелинейных параметров . Далее, используя эту точку (h, ) (линейные и нелинейные па- Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. Т. 4. — Москва: Сов. энциклопедия, 1977. — 742 с. Мостовой В. С. Математическая модель накопления сейсмических сигналов при активном монито- ринге // Докл. НАН Украины. — 2008а. — № 4. — С. 132—136. Мостовой В. С. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне микросейсмического шума // Доп. НАН Украины. — 2008б. — № 1. — С. 106—110. Мостовой В. С., Мостовой С. В. Вариационный подход к решению обратной задачи при нако- плении сейсмических сигналов в активном мо- ниторинге // Докл. НАН Украины. — 2008. — № 8. — С. 113—116. Мостовой В. С., Мостовой С. В. Математическое моделирование оценки старения природных и техногенных объектов в системах мониторин- га // Докл. НАН Украины. — 2011а. — № 7. — С. 114—118. Мостовой В. С., Мостовой С. В. Оптимальные оцен- Список литературы ки нелинейных параметров в моделях сейсмо- акустического мониторинга // Докл. НАН Украи- ны. — 2011б. — № 8. — С. 103—107. Мостовой В. С, Мостовой С. В., Кондра С. М., Страшко Ж. С. Оценка информативных пара- метров состояния строительных конструкций в режиме мониторинга // Промышленное строи- тельство и инженерные сооружения. — 2011. — № 1. — С. 7—13. Bethea R. M., Duran B. S., Boullion T. L. Statistical Me- thods for Engineers and Scientists. — New York: Marcel Dekker, 1985. — 447 p. Evans L. C. Partial Differential Equations // Amer. Math. Soc. — 1998. — 19. — 662 p. Levenberg K. A. Method for the Solution of Certain Non- Linear Problems in Least Squares // Quart. Appl. Math. — 1944. — № 2. — Р. 164—168. Marquardt D. An Algorithm for Least-Squares Estima- tion of Nonlinear Parameters // SIAM J. Appl. Math. — 1963. — 11. — Р. 431—441. раметры) в пространстве параметров методом Левенберга—Маркварда, находим ближайший локальный минимум. Процедура повторяется Q раз. На множестве Q экспериментов нахо- дятся оптимальные значения h α. Как сле- дует из леммы 3, с ростом Q обеспечивается сходимость по вероятности к оптимальному решению. ( ),$ $

О корректности задачи нелинейной регрессии при природных и рукотворных объектов

Institution

Ähnliche Einträge