Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу

Розвинуто формалізм для послідовного опису мікроструктурних перетворень і фазового розшарування у системах, що перебувають у сильно нерівноважних умовах, викликаних дією опромінення....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Харченко, Д.О., Лисенко, І.О., Харченко, В.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2012
Назва видання:	Успехи физики металлов
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98331
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу / Д.O. Харченко, І.O. Лисенко, В.О. Харченко // Успехи физики металлов. — 2012. — Т. 13, № 2. — С. 101-187. — Бібліогр.: 108 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-98331
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-983312018-05-25T14:13:44Z Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу Харченко, Д.О. Лисенко, І.О. Харченко, В.О. Розвинуто формалізм для послідовного опису мікроструктурних перетворень і фазового розшарування у системах, що перебувають у сильно нерівноважних умовах, викликаних дією опромінення. Formalism is developed for description of microstructure transformations and phase separation in systems under irradiation. Investigation is made within the scope of the crystal phase-field method. Развит формализм для последовательного описания микроструктурных превращений и фазового расслоения в системах, пребывающих в сильнонеравновесных условиях, вызванных облучением. 2012 Article Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу / Д.O. Харченко, І.O. Лисенко, В.О. Харченко // Успехи физики металлов. — 2012. — Т. 13, № 2. — С. 101-187. — Бібліогр.: 108 назв. — укр. 1608-1021 PACS numbers: 05.10.Gg, 05.40.-a,05.65.+b,61.72.Bb,61.80.Az,64.60.-i, 81.30.Mh http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98331 uk Успехи физики металлов Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розвинуто формалізм для послідовного опису мікроструктурних перетворень і фазового розшарування у системах, що перебувають у сильно нерівноважних умовах, викликаних дією опромінення.
format	Article
author	Харченко, Д.О. Лисенко, І.О. Харченко, В.О.
spellingShingle	Харченко, Д.О. Лисенко, І.О. Харченко, В.О. Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу Успехи физики металлов
author_facet	Харченко, Д.О. Лисенко, І.О. Харченко, В.О.
author_sort	Харченко, Д.О.
title	Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу
title_short	Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу
title_full	Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу
title_fullStr	Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу
title_full_unstemmed	Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу
title_sort	моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/98331
citation_txt	Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу / Д.O. Харченко, І.O. Лисенко, В.О. Харченко // Успехи физики металлов. — 2012. — Т. 13, № 2. — С. 101-187. — Бібліогр.: 108 назв. — укр.
series	Успехи физики металлов
work_keys_str_mv	AT harčenkodo modelûvannâmíkrostrukturnihperetvorenʹusistemahpíddanihradíâcíjnomuvplivu AT lisenkoío modelûvannâmíkrostrukturnihperetvorenʹusistemahpíddanihradíâcíjnomuvplivu AT harčenkovo modelûvannâmíkrostrukturnihperetvorenʹusistemahpíddanihradíâcíjnomuvplivu
first_indexed	2025-07-07T06:23:20Z
last_indexed	2025-07-07T06:23:20Z
_version_	1836968209864982528
fulltext	101 PACS numbers: 05.10.Gg, 05.40.-a,05.65.+b,61.72.Bb,61.80.Az,64.60.-i, 81.30.Mh Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу Д. O. Харченко , І. O. Лисенко , В. О. Харченко ,* Інститут прикладної фізики НАН України, вул. Петропавлівська, 58, 40030 Суми, Україна Інститут фізики, Аугсбурґський університет, вул. Університетська, 1, 86135 Аугсбурґ, Німеччина Розвинуто формалізм для послідовного опису мікроструктурних перетво- рень і фазового розшарування у системах, що перебувають у сильно нерів- новажних умовах, викликаних дією опромінення. Аналізу проведено в ра- мках методи фазового поля кристалу, що дає змогу проводити дослідження на просторових масштабах молекулярної динаміки, однак на часових інте- рвалах дифузійної динаміки. Виявлено умови перебігу мікроструктурних перетворень у періодичних однокомпонентних системах кристалічного ти- пу за наявности конкурувальних стохастичних потоків: термічно стиму- льованого та балістичного перемішування атомів. Аналізою поведінки сис- тем на більш високому ієрархічному рівні для бінарних систем еквіатомо- вого складу встановлено реверсивний характер перебігу процесу фазового розшарування. Для систем із несумірними часовими масштабами розпо- всюдження збурень, що характеризуються ефектами пам’яті, виявлено присутність процесів відбору структур за наявности флюктуацій довжин стрибків атомів, вибитих високоенергетичними частинками. Formalism is developed for description of microstructure transformations and phase separation in systems under irradiation. Investigation is made within the scope of the crystal phase-field method. This approach allows one to simu- late materials on the molecular-dynamics spatial scales but on the diffusive- dynamics temporal scales. Considering a model for a periodic one-component system driven by both competing stochastic fluxes–thermally-stimulated and external ballistic mixing flues of atoms, conditions of microstructure- transformations’ appearance are determined. Analysis of the system on a mesoscopic level for a binary equiatomic system is performed. Reentrant char- acter of phase-separation process is revealed. For systems with transient dy- namics, for instance, with incommensurable time scales of propagation of dis- turbances, which are characterized by the memory effects, at presence of fluc- Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2012, т. 13, сс. 101—187 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией © 2012 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины) Напечатано в Украине. 102 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО tuations of lengths of jumps of the atoms knocked-on by high-energy particles, occurrence of pattern-selection processes is revealed. Развит формализм для последовательного описания микроструктурных превращений и фазового расслоения в системах, пребывающих в сильно- неравновесных условиях, вызванных облучением. Анализ проведён в рам- ках метода фазового поля кристалла, который позволяет проводить иссле- дование на пространственных масштабах молекулярной динамики, но на временных интервалах диффузионной динамики. Определены условия прохождения микроструктурных превращений в периодических одноком- понентных системах кристаллического типа при наличии конкурирующих стохастических потоков: термически стимулируемого и баллистического перемешивания атомов. При анализе поведения системы на более высоком иерархическом уровне для бинарных систем эквиатомного состава уста- новлен реверсивный характер протекания процесса фазового расслоения. Для систем с несоизмеримыми временными масштабами распространения возмущений, которые характеризуются эффектами памяти, обнаружено присутствие процессов отбора структур при наличии флюктуаций длин прыжков атомов, выбитых высокоэнергетическими частицами. Ключові слова: кристалічна система, балістична дифузія, шум, спинода- льний розпад, метода фазового поля кристалу. (Отримано 24 лютого 2012 р.) 1. ВСТУП Розвиток сучасної теорії конденсованого стану вимагає всебічного дослідження процесів упорядкування в системах, значно віддале- них від рівноваги [1]. Останнім часом велику увагу в галузі теоре- тичної фізики конденсованого стану сконцентровано на досліджен- ні нерівноважних процесів мікроструктурних перетворень, що від- буваються у матеріялах, підданих опроміненню високоенергетич- ними частинками (електронами, йонами). Такі системи є об’єктом для вивчення процесів структуроутворення, упорядкування—роз- упорядкування, фазового розшарування, аморфізації, тощо. Хара- ктер їх перебігу позначається на стійкості конструкційних матері- ялів (металів та їх стопів) щодо опромінення. Тому проблема стій- кости фаз, що виникає внаслідок збудження атомової конфіґурації, особливостей їх утворення завдяки зовнішньому впливу на систему стає все більш актуальною, оскільки її розв’язання уможливлює виявити нові характеристики систем і відповідних процесів, що знаходять своє застосування не лише в реакторному матеріялознав- стві, а й при прогнозуванні властивостей матеріялів, яких піддано опроміненню [2]. Першорядною задачею при цьому є виявлення ха- рактеру й особливостей впливу зовнішніх чинників на процеси утворення когерентних станів та мікроструктурних перетворень МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 103 [3]. Важливим при такого роду дослідженнях є той факт, що розг- лядувані системи перебувають у режимі підвищених температур з великими інтенсивностями флюктуацій та опромінюються потоком частинок з певним розкидом енергій, що спонукає до стохастичного характеру перерозподілу енергій в атомовій конфіґурації. Саме це призводить до необхідности статистичного опису ефектів мікро- структурних перетворень у відповідних системах, що перебувають у сильно нерівноважних стохастичних умовах. Важливою особли- вістю процесів утворення когерентних станів у складних стохасти- чних системах є те, що флюктуаційні складові їх еволюції можуть призводити до виникнення макроскопічних фаз, що не реалізують- ся у безшумових (детерміністичних) умовах [4—6]. З’ясування механізмів, що призводять до мікроструктурних пе- ретворень у конденсованих системах, підданих опроміненню, є ва- жливою задачею сучасної теоретичної фізики. Це уможливлює по- яснити виникнення хемічного порядку при взаємодії опромінення з речовиною, встановити області керувальних параметрів, що опи- сують процеси макроскопічного фазового розшарування, індукова- ного дією високоенергетичних частинок і виявити додаткові чин- ники впливу на процеси мікроструктурних перетворень. Одержана інформація про відповідні процеси може бути використана для ана- лізи стійкости матеріялів та прогнозування їх поведінки на макро- скопічному рівні, де реалізуються процеси розпухання, утворення механічних дефектів типу тріщин, тощо. Велику кількість експе- риментальних спостережень за відповідними процесами при опро- міненні матеріялів в основному описано у рамках середньопольо- вих теорій та числового моделювання; окрім того, досліджувалися ефекти в матеріялах після зняття опромінення. Однак, важливими з теоретичної та практичної точок зору є дослідження, спрямовані на виявлення динаміки процесів утворення упорядкованих станів у таких системах при сталій дії опромінення. Цікавим питанням є встановлення впливу ефектів пам’яті, що описують зв’язок між рушійними силами і потоками в системі, з одного боку, та флюкту- аційними силами, що моделюють вплив мікроскопічних процесів при описі системи на мезоскопічному рівні, з другого. У даному огляді обговорюються способи дослідження кінетики нерівноважних фазових переходів у стохастичних системах зі збе- реженою динамікою, що викликані дією опромінення, та досліджу- ється організуюча роль флюктуацій потоку. За мету огляду ста- виться подання, обговорення та розвинення сучасних теоретичних уявлень про процеси мікроструктурних перетворень в однокомпо- нентних системах кристалічного типу та фазового розшарування у бінарних розчинах для випадку додаткового атермічного перемі- шування атомів системи, індукованого дією опромінення. Структура даної роботи є наступною. У другому розділі проведе- 104 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО но аналізу літературних даних експериментальних спостережень стосовно радіяційних ефектів та представлено основні перспективні методи дослідження мікроструктурних перетворень у кристаліч- них системах, у бінарних стопах. Проілюстровано методи щодо адекватного подання поведінки кристалічної системи на двох ієра- рхічних рівнях опису, які відносяться до релаксації пружніх на- пружень і дифузійної динаміки. Розглянуто методи аналітичного дослідження процесів упорядкування та фазового розшарування бінарних систем. Наведено способи опису впливу опромінення на поведінку конденсованих систем і зазначено області, в яких відомі теоретичні положення можуть бути узагальнені та розширені на випадок включення у розгляд внеску мікроскопічних процесів (флюктуацій або шумів). Одним із завдань представленої роботи є опис нерівноважних фа- зових переходів зі зміною мікроструктури періодичних систем кри- сталічного типу, з аналізою впливу структурного безладу, індуко- ваного дією опромінення, на характер перебігу процесів упорядку- вання в однокомпонентних системах. Тому у третьому розділі на основі методи фазового поля кристалу Ґранта—Елдера, що враховує ефекти перерозподілу напружень при організації періодичного роз- поділу поля атомової густини, обговорюється стохастичний модель впливу взаємодії високоенергетичних частинок з атомами криста- лу. Стохастичність такого процесу пов’язується з утворенням Фре- нкелевих пар і збуджень атомової конфіґурації внаслідок розкиду довжин вибитих атомів; вивчаються процеси мікроскопічних пере- творень з утворенням когерентних структур, індукованих дією опромінення. Така аналіза ґрунтується на використанні теорії се- реднього поля та числового моделювання. Також досліджуються процеси відбору структур на початкових стадіях структуроутво- рення у випадку несумірних масштабів розповсюдження збурень, викликаних дією термічно стимульованого дифузійного потоку та балістичного потоку опромінення. Досліджуються ефекти конку- ренції названих потоків і вплив їх статистичних характеристик на відповідні процеси просторової організації поля атомової густини. У четвертому розділі проводиться опис просторового упорядку- вання на вищому ієрархічному рівні, де розглядаються ефекти пе- рерозподілу композиційного поля (концентрації) бінарних систем (стопів) у процесах фазового розшарування. Із використанням при- пущення про балістичний характер радіяційно-стимульованої ди- фузії проведено узагальнення теорій Кана—Хілліярда—Кука та Ма- ртанового підходу на випадок впливу опромінення на процеси роз- паду бінарних систем еквіатомового складу. З припущенням наяв- ности стохастичної компоненти потоку опромінення, обумовленої розкидом довжин стрибків вибитих атомів у каскадах, описано процеси розпаду на ранніх стадіях та проаналізовано картину роз- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 105 паду на пізніх етапах еволюції. Показано, що, керуючи дисперсією довжин стрибків вибитих атомів, бінарну систему можна підтриму- вати у стані бінарного розчину (неупорядкованому стані) або у стані розділених фаз (упорядкованому стані), реалізуючи тим самим ре- версивні процеси упорядкування. Показано, що в області фазового розшарування реалізується закон росту розмірів зерен Ліфшиця— Сльозова; вивчаються процеси відбору структур на початкових ста- діях розпаду у системах із пам’яттю. 2. НЕРІВНОВАЖНІ ПРОЦЕСИ В МАТЕРІЯЛАХ ПІД ДІЄЮ ОПРОМІНЕННЯ ТА МЕТОДИ ЇХ ОПИСУ 2.1. Радіяційно-стимульовані ефекти в опромінюваних матеріялах Матеріяли, що знаходяться під сталою дією опромінення є нерівно- важними дисипативними системами, здатними до самоорганізації [2, 7]. Важливою задачею їх дослідження є виявлення керувальних параметрів, відповідальних за процеси самоорганізації, пов’язаних із структуроутворенням [8, 9], мікроструктурними перетвореннями [2], фазовими переходами та фазовим розшаруванням [10—12]. 2.1.1. Мікроструктурні перетворення в об’ємі матеріялів Процеси взаємодії високоенергетичних частинок (невтронів, йонів, електронів) з речовиною (атомами мішені), що відбуваються за під- вищених температур в інтервалі від 350—600 К, призводять до про- ходження каскадів – зміщень атомів зі своїх положень, наслідком чого є формування структурного безладу. Окрім того, це призво- дить до посиленого хемічного змішування при стрибках вибитих атомів на певну довжину R та утворення зон хемічного безладу. Якщо, внаслідок пружніх процесів взаємодії, атом металу одержує кінетичну енергію ET вище порогової Ed ≅ 25 еВ, то він вибивається зі свого положення, утворюючи Френкелеву пару, ансамбль яких формує структурний безлад. Було показано, що саме середня дов- жина стрибка R є основною характеристикою конкуруючих реак- цій в опромінюваних стопах, що призводить до процесів самоорга- нізації мікроструктури стопів [8]. Експериментально вплив серед- ньої довжини стрибка на утворення структур розглянуто при дослі- дженні тонких плівок Au—Cu [13] і Cu—Co [14]. У випадку опромінення електронами передана енергія не пере- вищує за порядком 100 еВ. Тому кількість вибитих атомів є малою, і Френкелеві пари формуються в ізоляції. При сталій дії опромі- нення матеріял перенасичується точковими дефектами, що сприяє збільшенню атомової рухливости. Деякі атоми при зміщенні зі сво- 106 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО їх положень можуть займати відповідні положення у кристалічній ґратниці. Це спричиняє хемічне змішування та хемічне розупоряд- кування стопів. При опроміненні швидкими невтронами або тяжкими йонами енергія передана атомам речовини перевищує порядок 1 кеВ, що сприяє утворенню Френкелевих пар, організація яких призводить до формування кластерів дефектів. Після закінчення каскаду (три- валістю 10 −13—10 −12 с) у кристалічній системі формуються ядра, зба- гачені на вакансії, та периферія, збагачена на міжвузлові атоми. При цьому велика кількість атомів (від сотень до кількох тисяч) за- мінюються іншими. Дослідження процесів утворення Френкелевих пар у Cu та Ni ме- тодами молекулярної динаміки показали, що впродовж тривалости каскаду атом одержує енергію, взаємодіє з сусідами доки енергія не стане меншою за Ed [15—17]. За цей час густина, температура та ко- реляційні функції всередині каскаду відповідають рідкій фазі ма- теріялу. Одержана кількість Френкелевих пар відповідала оціноч- ному співвідношенню NFP = ET/(2Ed) [18] та узгоджувалася з експе- риментальними даними [19]. У випадку хемічно упорядкованих стопів такі каскади призводять до утворення зон хемічного безладу. На основі результатів моделювання методами молекулярної дина- міки з’ясовано, що при енергіях первинно вибитих атомів, що пере- вищують 1 кеВ, реалізуються області, де параметер далекого по- рядку стає безмежно малим. Такі дослідження проводилися для стопів Cu3Au, Ni3Al [20]. Виявлено, що розупорядковані зони мають лінійний розмір 3,2 нм для Ni3Al та 4,4 нм для Cu3Au при енергіях поширення каскаду 5 кеВ. Розмір таких областей зростає при збі- льшенні енергії первинно вибитого атому. В останні п’ятдесят років було експериментально показано, що під впливом опромінення упорядковані стопи здатні проявляти рі- зного роду ефекти самоорганізації. Починаючи з 1949 р., було вста- новлено ефекти розупорядкування упорядкованого стопу Cu3Au, опромінюваного невтронами з енергіями 0,5 МеВ при температурі 310 К. Встановлено, що крива залежности електричного опору від потоку опромінення зростає до значень, що відповідають розупоря- дкованому стопу [21]. Аналогічні ефекти спостерігалися у стопах Ni3Mn, Nb3Al, Zr3Al [22—24]. Проведені численні дослідження пока- зали, що процеси розупорядкування відбуваються при опроміненні за низьких температур. Ще однією добре відомою особливістю опромінюваних стопів є їх упорядкування внаслідок дії опромінення за підвищених темпера- тур. Такі процеси спостерігалися для стопів Cu3Au при опроміненні невтронами та електронами [25, 26]. Крім описаних переходів типу лад—безлад, є ще ряд особливостей, які проявляють себе під впли- вом опромінення – це і виникнення аморфної фази [27], і стійке МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 107 співіснування кристалічної та аморфної фаз [28], розчин та сеґре- ґація виділень [29]. Ще одним цікавим ефектом є зміна характеру фазового переходу, як, наприклад, при опромінення стопу заліза FeAl з інтенсивністю 1 МеВ замість переходу першого роду реалізу- вався перехід другого роду [30]. При дослідженні процесів фазового розшарування бінарних сис- тем підданих радіяційному впливу було встановлено, як теоретич- но, так і експериментально, що, на відміну від звичайних (див. рис. 1, а), в опромінених матеріялах такі процеси відбуваються ре- версивним чином. Так, для бінарної системи Ga—Sb фазове розшару- вання спостерігалося у фіксованому інтервалі температур від 363 К до 49 К при електронному опроміненні з енергіями 75 кеВ (див. рис. 1, б) [31]. Було виявлено, що такий процес реалізується при енергіях до декількох десятків кеВ та пригнічується із зростанням енергії електронів. Теоретично та шляхом числового моделювання ефект фіксованого інтервалу температур для фазового розшаруван- ня було виявлено у роботах [10—12] (див. рис. 1, в). Однак, автори цих робіт здебільшого досліджували стаціонарний режим, тоді як динаміку відповідних процесів не було досліджено у повній мірі. Ві- домо, що за певних зовнішніх умов дисипативні системи здатні до процесів самоорганізації у так звані дисипативні структури [7]. Ве- лика кількість експериментальних спостережень за утворенням ди- сипативних структур у металах при опроміненні показала, що стру- ктурні дефекти організуються у кластери періодичних «стінок» де- фектів, ґратниць пустот та газонаповнених пор. Кластери «стінок» дефектів спостерігалися, наприклад, у Ni, Cu та Zr при опроміненні швидкими невтронами, протонами та тяжкими йонами [33]. Ґрат- ниці пор були виявлені у кристалах Mo та інших матеріялах при рі- а б в Рис. 1. а – фазове розшарування у системі Ni3Fe (рисунок взято з роботи [32] ); б – типовий приклад структурної зміни у наночастинках GaSb до та після опромінення електронами з енергіями 75 кеВ при температурі 49 К (двофазна суміш представляє кристалічну сурму обмежену рідким галієм; рисунок взято з роботи [31]); в – фазова діяграма обмеженої области тем- ператур фазового розшарування при опроміненні бінарного розчину в ко- ординатах концентрація—температура (рисунок взято з роботи [12]). 108 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО зних дозах опромінення [2]. Спостерігалася також надґратниця га- зонаповнених пор. Симетрія надґратниці пор має симетрію криста- лу-матриці. Було встановлено, що період надґратниці є величиною порядку сотень Онґштремів, а радіюс пор – десятків Онґштремів. Відомо також, що проявом самоорганізації в кристалах при опро- міненні є утворення періодичних структур дислокацій [2]. Виник- нення періодичних ґратниць радіяційних дефектів спостерігалося у цирконійових стопах з 10%-м вмістом Nb. Як зазначено у [3], при йонному опроміненні стопів на основі заліза, ніклю та кристалів Ti, Zr кінетичні фазові переходи виявляються лише у певній області те- мператур і лише при опроміненні. Після вимкнення опромінення без зміни температури кристал повертається до свого початкового стану. Це свідчить про те, що досліджувані структури є дисипативними. Експериментальні дані та результати числового моделювання по- казали, що при атомовому перемішуванні, індукованому йонним бомбардуванням, в дво- та багатокомпонентних матеріялах можли- а б в Рис. 2. Моделювання зміни мікроструктури при опроміненні: а – зміна мікроструктури Ni3Al (рисунок взято з роботи [9]) при збільшенні швид- кости балістичних стрибків; б – динамічна фазова діяграма в координа- тах «середня довжина зміни позицій атомів (R)—інтенсивність опромінен- ня (γ)»; в – динамічна фазова діяграма в координатах «середня довжина зміни позицій атомів—температура» (рисунок взято з роботи [35]). МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 109 ве утворення нанокомпозитів. Наприклад, такі процеси спостеріга- лися для системи Ag—Cu при опроміненні тяжкими йонами (Ne + , Ar + , Kr + ) з енергіями до 1 МеВ. Результати були підтверджені мето- дами молекулярної динаміки та Монте-Карло [8, 34]. Було встанов- лено, що основним критерієм для такої самоорганізації є величина середньої довжини стрибка вибитого атома R. Було встановлено динамічну фазову діяграму, яка ілюструє процес утворення дисипа- тивних структур: формування нанорозмірної кристалічної (упоряд- кованої) фази, зануреної у неупорядковану фазу (див. рис. 2) [9]. Виявлено, що процеси переходу від твердого розчину до фази з нано- структурами та до процесів фазового розшарування можуть бути контрольовані швидкістю балістичних стрибків, середньою довжи- ною стрибків вибитих атомів і температурою. При цьому виявлено, що як процеси фазового розшарування, так і процеси виникнення упорядкованого стану можуть перебігати реверсивним чином [35]. 2.2. Теоретичні підходи щодо опису мікроструктурних перетворень 2.2.1. Мультимасштабний підхід числового моделювання При дослідженні процесів, викликаних дією опромінення, окрім теоретичних підходів, представлених нижче, особливу увагу остан- нім часом приділяють використанню метод числового моделювання, що самоузгодженим чином мають враховувати результати дослі- дження на різних рівнях опису досліджуваної системи. Загальну схему багаторівневого моделювання представлено на рис. 3. До та- ких рівнів опису відносять розрахунки з перших принципів (ab initio), де встановлюється оптимальна атомова структура досліджу- ваного матеріялу або стопу, обчислюються густина станів, енергети- чні, фононні та оптичні спектри. Цей рівень квантово-механічних розрахунків, що відповідає часовим інтервалам ≅ 10 −15—10 −14 с та на- норозмірним об’єктам, ґрунтується на чисельному розв’язанні ста- ціонарного рівнання Шрединґера у наближенні теорії функціоналу густини та псевдопотенціялу, методі лінеаризованих приєднаних пласких хвиль та наближенні узагальненого ґрадієнту. За одержаними результатами, що відповідають низьким темпе- ратурам, у подальшому використовуються підходи молекулярної динаміки, де опис системи проводиться на часових інтервалах ≅ 10 −13—10 −10 с та просторах від нано- до мікрометрів в області кімна- тної та підвищених температур. Результати ab initio уможливлюють встановити вигляд потенці- ялу міжчастинкової взаємодії. У рамках такої методи розглядаєть- ся система з N частинок маси mi з імпульсами pi, положення яких задаються координатами ri; i = 1, …, N. Енергія такої системи зада- ється Гамільтоніяном 110 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 2 1 =1 = ( ,..., ) 2 N i N N i i p H V r r m + , (1) де V(r1,…,rN) – потенціял міжчастинкової взаємодії. Опис системи ґрунтується на числовому розв’язанні Гамільтонових рівнань. Такі обчислення уможливлюють здебільшого встановити фізику явищ, що відбуваються на мікрорівні, як-то: рух атомів, перерозподіл ва- кансій, рух дислокацій, тощо. При використанні такого підходу об- числюються просторові кореляційні функції, за якими встановлю- ється вигляд структурного фактора, положення основного піку, йо- го висота, тощо. Хоча аналіза метод комп’ютерного моделювання і показала ефективність молекулярної динаміки, досі залишаються деякі суттєві обмеження – це малі розміри досліджуваної системи (≅ 109 атомів) та малий час дослідження (≅ 108 с). Найбільш критич- ними такі обмеження є у випадку, коли час дослідження є мезоско- пічним, а відповідні довжини – атомовими. Таким чином, виникла необхідність створення метод огрубленого опису для моделювання мікроструктури матеріялу. На підґрунті результатів молекулярної динаміки на вищому іє- Рис. 3. Загальна схема мультимасштабного моделювання поведінки висо- котемпературних матеріялів. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 111 рархічному рівні використовуються методи кінетичного Монте- Карло та Метрополісові методи [36], сутність яких полягає у знахо- дженні не положення частинок, а ймовірности реалізації положень атомів чи формування атомових структур P(x). У загальній матема- тичній інтерпретації, розглядаючи систему у дифузійних просторо- во-часових масштабах, задачу зводять до розв’язання основного кі- нетичного рівнання: [ ]( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) P W P W P t ′ ∂ ′ ′ ′= − − − − ∂  x x x x x x x x x x x , (2) де W(x − x′, x) – ймовірність мікроскопічних переходів з конфіґу- рації x − x′ до стану x, що визначаються часом стрибка атома та ене- ргетичним бар’єром [36]. Безпосереднє використання такого підхо- ду для дослідження опромінюваних стопів викладено у роботі [9]. Слід зазначити, що у дифузійній границі замість кінетичного рів- нання (2) можна скористатися підходами стохастичної динаміки на основі Ланжевенового рівнання, що відповідає (2). За результатами про стійкість кристалічних структур у подаль- шому використовуються методи дислокаційної динаміки, що уможливлюють виявити перерозподіл лінійних дефектів, утворен- ня меж зерен, тощо. На вищому ієрархічному рівні дослідження розглядуваної системи проводиться методами статистичної механі- ки, де описуються статистичні ансамблі просторових утворень, ви- вчаються макроскопічні характеристики матеріялів, формулюють- ся феноменологічні підходи. Нарешті, самий верхній рівень моде- лювання уможливлює описати розвиток геометрії дефектних утво- рень на макрорівні (тріщини, тощо). Тут використовуються методи скінченних елементів. 2.2.2. Фазово-польові підходи опису мікроструктурних змін Дослідження кристалічних систем, в яких в упорядкованому стані можлива поява періодичних структур, проводиться на основі фазо- во-польового підходу [37]. У рамках узагальнення такого підходу кристалічна система описується полем атомової густини матеріялу, розподіленої періодично за структурою кристалу. Такий підхід ві- домий в літературі як метода фазового поля кристалу (ФПК) [38— 40]. В рамках цієї методи можна дослідити еволюцію атомової гус- тини системи з дисипативною динамікою за мінімізацією функціо- налу вільної енергії. Перевага ФПК перед методами молекулярної динаміки полягає у вилученні швидких ступенів вільности; тому поведінка системи описується на мезоскопічних часових інтерва- лах. Цей підхід уможливлює описати пружні та пластичні дефор- мації кристалів. Його використовують для дослідження динаміки 112 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО дефектів та дислокацій у кристалах [38], динаміки розповсюджен- ня меж зерен та ін. Модель ФПК для чистих матеріялів. Для конструювання функціо- налу вільної енергії у рамках ФПК важливими є дані про положення головного піку структурного фактора, його висоти, що досліджуєть- ся методами молекулярної динаміки або методами Монте-Карло. Далі застосовується огрублений опис результатів молекулярної динаміки, де замість положень частинок (атомів) використовується мікроскопічне поле густини 1 ( ) ( ( )) N m ii r r r t = ρ = δ − . Величиною, що описує поведінку системи, є поле густини, огрублене у часі масшта- бу молекулярної динаміки τ: 0 1 ( ) ( , )mr dt r t τ ρ = ρ τ  , яке є періодичним. Як показано в роботах [41—43], періодичність поля густини уможливлює врахувати ефекти пружности системи, орієнтацію складних кристалів, нуклеацію і рух дислокацій. У загальному ви- гляді функціонал вільної енергії є таким: ( ) ( )0 0 2 10 ( ) 1 ( ) ln ( ) ( ) ( ) ! n i n n i F d d C T n ∞ = =  ρ= ρ − ρ − ρ − ρ − ρ ρ   ∏  r r r r r r r , (3) де ρ0 – початкова густина (зазвичай відповідає точкам на лінії лік- відусу на фазовій діяграмі (ρ, T)), T – температура. У випадку бі- нарної системи кореляційну функцію Cn(r0) можна розкласти в ряд в околі k = 0: 2 4 0 2 4 = ...C C C k C k+ + +     . При розвиненні у ряд густини вільної енергії в околі ρ0 після деяких перетворів і введення замін функціонал вільної енергії з просторовою взаємодією Свіфта— Хогенберґа [44] набуває вигляду [40] [ ] 2 2 2 4 0 1 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 g F x d x q x x   α + λ + ∇ +   r r r r r , (4) де нова величина x = (ρ − ρ0)/ ρ0; обезрозмірнені параметри системи є такими: α = T(1/S(km) − a 2/4b)/ρ0, 4 0 m T kλ = Γ ρ , 3 0 3 b g k Tb= ρ ; q0 = km – період кристалічної ґратниці, що відповідає положенню піка структурного фактора S(k = km); a, b – параметри розвинення в ряд густини функціоналу (3), Γ = S(km) − S(0) задає висоту піка структур- ного фактора відносно S(k = 0) [42, 46, 47]. Для моделю чистого заліза у роботі [40] було виконано оцінку значень параметрів: T = 1833 К, κT = 1,04⋅10 −11 м 2/Н, C0 = −10,9153, C2 = 2,6 Å2, C4 = −0,1459 Å4, km = = 2,985 Å−1, 1/S(km) = 1 − C(km) = 0,332, a = 0,6917, b = 0,08540. Для періодичних (кристалічних) систем перша мода, що втрачає стійкість, характеризується ненульовим хвильовим числом km, а рівноважна конфіґурація, що визначається мінімізацією функціо- налу вільної енергії, відповідає періодичним просторовим структу- рам. Функціонал вільної енергії для методи ФПК, яка враховує всі МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 113 вищезазначені властивості, можна одержати з класичної теорії охолодження [38]. Як було показано раніше [38, 39, 42, 47], при ро- звинені функціоналу вільної енергії у ряд за ґрадієнтними членами коефіцієнт при \|∇x\|2 має бути від’ємним. Це призводить до нестій- кости, яка компенсується врахуванням наступного члену ряду (∝ \|∇2x\|2). В результаті функціонал вільної енергії набирає вигляду 22 2 { ( ) ( )}F d f x x x=  + −β ∇ + γ ∇r , де β і γ – феноменологічні конс- танти. Зазначимо, що наведений модель враховує пружні властиво- сті системи. Дійсно, якщо поле x подати у вигляді пласкої хвилі x = Asin(2πr/a) з β = 1/π2, 2 0 8 / aγ = і підставити його у F, то одержу- ємо вираз 1 2 2 2 4 2 0 0 ( ) (4 )F a a d f x A a A a−≅  − + εr , де 0 a aε ≡ − . Функ- ціонал вільної енергії набуває свого мінімального значення за умо- ви a = a0. Таким чином, a0 задає рівноважний стан періодичної сис- теми. Можна переписати вільну енергію у вигляді Гукового закону для опису пружности (третій доданок у останньому виразі для F/a); тоді малі відхили від рівноваги відбуваються пружньо [42] і при цьому сталі β і γ є об’ємним модулем кристалу та константою ґрат- ниці відповідно [38]. Таким чином, для функціоналу вільної енергії кристалу маємо вираз у вигляді [42] 2 { ( ) ( ) 2}F d f x xL x=  + ∇r , де густина вільної енергії з оператором просторової взаємодії Свіфта— Хогенберґа [44] мають наступні вирази: f(x) = αΔTx2/2 + ux4/4, L(∇2) = β( 2 0 q + ∇2)2, де ΔT – ріжниця температур, яка задає вигляд густини вільної енергії; α, u і β – феноменологічні сталі. Таким чином, маючи функціонал вільної енергії, динаміку поля атомової густини задамо рівнанням непереривности: D x t ∂ = −∇ ⋅ ∂ J , D D F x δ= −∇ + ξ δ J , (5) де дифузійний потік JD задається як реґулярною ( /F x−∇δ δ ), так і стохастичною ( Dξ ) компонентами; ∇⋅ ≡ div. Фазова діяграма для та- кої системи ілюструє, що зміна керувального параметра або почат- кової концентрації може призводити до появи різного роду струк- тур [47]: смугових та гексагональних структур, гомогенного стану, та областей співіснування. Однак вплив шумів на таку поведінку періодичних систем не досліджено в повній мірі. Варто зазначити, що рівнання (5) описує поле x лише на дифу- зійних часових інтервалах, тоді як більш швидкими («миттєвими») процесами пружніх релаксацій напружень понехтувано. Для усу- нення цієї неточности у роботі [47] запропоновано ввести складову, що враховує дану швидку динаміку включенням інерціяльної складової до рівнання непереривности. Таким чином, модифікова- 114 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО не ФПК-рівнання набуває вигляду: 2 2D D x x F t t x ∂ ∂ δ τ + = ∇ ⋅ ∇ + ξ ∂ ∂ δ  , (6) де τD задає масштаб проходження «миттєвих» процесів. Такий ви- гляд рівнання еволюції уможливлює дослідити атомарні перетво- рення на довших часових інтервалах, ніж характерні для молеку- лярної динаміки, та врахувати «миттєві» пружні взаємодії. Харак- терно, що така інерціяльна складова враховує обмеженість швид- кости розповсюдження збурень vD = lD/τD, де lD – дифузійна довжи- на. Отже, при τD = 0 швидкість розповсюдження фронту є нескін- ченною, тоді як при τD ≠ 0 вона є обмеженою, що відповідає реальній фізичній картині. Модель ФПК для бінарних стопів. У роботі [38] показано, що наве- дений формалізм може бути узагальнений на випадок бінарних сис- тем, що складаються з атомів сорту A і B з густинами ρA й ρB відпові- дно. У такому разі опис системи ґрунтується на використанні повної густини ρ = ρA + ρB і локальної концентрації c = ρA/ρ. Тоді при нехту- ванні кристалічним порядком узагальнений вираз (3) зводиться до функціоналу вільної енергії, що визначається полем концентрації: 2 ln (1 ) ln(1 ) (1 ) 2 cF d c c c c c c T  β ∇  = + − − + ω − +      r , (7) де ω – енергія упорядкування, β – параметер просторової взаємо- дії, що є другою похідною Фур’є-перетвору енергії міжатомової вза- ємодії v(k) (β = v′′(k = 0)/2) і задає масштаб кореляції концентрації. Розвиваючи в ряд густину функціоналу (7) в околі концентрації 1 2c = , одержуємо вираз: 2 4 2[ ] { 2 4 ( 2)( ) }F x d x x x d=  − ε + + β ∇r r , де x c c= − , ε – керувальний параметер, що характеризує перео- холодження стопу. Такий формалізм широко використовується при аналізі процесів фазового розшарування в теорії Кана—Хілліярда— Кука для спинодального розпаду бінарних систем. При розгляді окремо кристалічних властивостей вважається, що концентрація є сталою, і опис системи ґрунтується на вищенаведених положеннях ФПК чистих матеріялів. У загальному випадку функціонал вільної енергії залежить від полів густини та концентрації, динаміка яких є збережною. Добре відомо, що системи, яких можна вважати квазирівноваж- ними, описуються в рамках гіпотези локальної рівноваги, де прин- ципову роль відіграють процеси на дифузійних масштабах. В рам- ках цієї гіпотези вважається, що, хоча система є нерівноважною, в безмежно малих об’ємах встановлюється локальна термодинамічна рівновага [7]. Однак, при значному відхилі від рівноваги ця гіпоте- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 115 за порушується, наприклад, при швидких процесах спинодального розпаду та швидкоплинних процесах переходу від нестійкого до ме- тастабільного та стабільного станів [21]. Важливими тоді стають ефекти пам’яті, що описують зв’язок між рушійними силами та по- токами в системі. У такому разі еволюція поля концентрації зада- ється рівнанням непереривности /x t∂ ∂ = −∇ ⋅ J , де дифузійний по- тік J має певний час релаксації τD, такий, що замість звичайного Фікового закону маємо його узагальнення введенням функції пам’яті M(t, t′), тобто 0 ( , ) ( , ) t dt M t t F x t′ ′ ′= − ∇ δ δJ r . У випадку екс- поненційно спадної функції пам’яті еволюція поля концентрації описується гіперболічним рівнанням типу (6), де час релаксації по- току задає час розповсюдження фронту збурень в системі. Характе- рно, що гіперболічне рівнання (6) допускає хвильові розв’язки, що можуть описувати відбір структур при організації кристалічної структури (мікроструктурних перетвореннях) або у процесах спи- нодального розпаду бінарних систем. Дослідження останнього ви- падку наведено у роботі [48]. Модель балістичної дифузії радіяційно-стимульованого атомового перемішування. При теоретичному дослідженні бінарних стопів, підданих дії опромінення, вперше Мартаном було показано, що вплив опромінення можна описати уведенням у розгляд потоку до- даткового атермічного перемішування, викликаного лише перемі- щеннями атомів зі своїх положень (балістичною дифузією) [10]. Пі- зніше цю ідею було використано при конструюванні мікроскопічної теорії упорядкування [11, 12]. Суть запропонованого положення по- лягала у використанні рівнання непереривности для поля концент- рації бінарного розчину, де дифузійні потоки було розділено на дві складові, що описували термічно активовану (стимульовану) дифу- зію і дифузію атермічного перемішування: tot D e = +J J J , де перший член описує звичайну дифузію з коефіцієнтом th 0 exp( / ) a D D E T= − і енергією активації, яка зводиться до енергії міґрації вакансій, а другий доданок визначає переміщення атомів внаслідок впливу опромінення. Ефективний коефіцієнт дифузії задавався потоком опромінення φ, перерізом розсіяння σr, що визначає число атомів, які змінили свої позиції через одиницю дози опромінення, та серед- ньою довжиною стрибка вибитого атома R, тобто Je = −De∇x, De = φσrR2. При цьому вважалося, що вибитий атом переміщується не лише у позиції найближчих сусідів, але й у дальші сусідні пози- ції. Також вважалося, що такий потік не спричиняє температурних збурень, а призводить до радіяційно-стимульованого переміщення атомів, тобто він описує процеси зіткнень високоенергетичних час- тинок з атомами середовища і тому є балістичним, а відповідна ди- фузія – балістичною. У рамках середньопольового формалізму було встановлено, що при описі системи ефективною вільною енергією, 116 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО що враховує ефекти балістичної дифузії у рамках швидкісної теорії, яка задає еволюцію вакансій і міжвузлових атомів за наявности опромінення, ефективна температура системи зростає внаслідок дії опромінення: Tef = T(1 + De/Dth). Цей Мартанів критерій було переві- рено методами Монте-Карло [35, 49, 50]. При дослідженні процесів фазового розшарування бінарних роз- чинів ідея балістичної дифузії набула розвитку у роботах Абромай- та (див., наприклад, [12]). При цьому було застосовано статистич- ний підхід, який враховував адитивні флюктуації поля концентра- ції та поля параметра далекого порядку стопу. Але, як відомо, такі флюктуації, що моделюються білим шумом, дають лише статисти- чну картину явища. З використанням експериментальних спостережень та числового моделювання авторами робіт [8] проведено апроксимацію розподілу за довжинами стрибків вибитих атомів та запропоновано середньо- польовий модель для представлення балістичної дифузії щодо опи- су процесів фазового розшарування та структуроутворення у бінар- них системах. У роботі [51], на відміну від попередніх досліджень, на прикладі лінійного дифузійного моделю було показано, що із врахуванням збурення атомової конфіґурації при утворенні структурного безла- ду внаслідок дії опромінення коефіцієнт дифузії можна вважати таким, що складається з реґулярної та стохастичної частин: 0( , ) ( , ) e e e D D t D t→ = + ξr r . При цьому стохастична складова ξ(r, t) описує флюктуації температури та концентрації точкових дефек- тів. Якщо коефіцієнт балістичної дифузії є випадковою величиною, як у просторі, так і у часі, то автоматично враховується нелокаль- ність процесу – атоми здійснюють блукання на віддалі, які пере- вищують розміри перших декількох координаційних сфер, що принципово відрізняє такий процес дифузії від звичайного. При до- слідженні було виявлено, що реґулярна та стохастична компоненти такого потоку мають протилежні напрямленості і конкурують між собою. Останнє є наслідком кореляційних властивостей стохастич- ної компоненти потоку. Із наведеного випливає, що поведінка системи, яку піддано раді- яційному впливу, де два дифузійні потоки загалом мають стохасти- чні властивості, може бути описана Ланжевеновим рівнанням зага- льного вигляду: ( ) ( )( , ) ( , ), , ( , ), ( , )m m m x t f x t g x t t t ∂ = ∇ + ∇ ξ ∂ r r r rα , (8) де детерміністична сила f(x(r, t), α, ∇) випливає з визначення варі- яційної похідної від функціоналу вільної енергії вихідної системи і залежить від вектора (набора) керувальних параметрів α. Другий член враховує флюктуаційні сили, кожна з яких характеризується МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 117 амплітудою gm; ξm – випадковий процес/поле, що моделює події (локальні збудження), які відбуваються на мікроскопічному рівні (стохастичне атомове перемішування). У рамках стандартних положень теорії стохастичних полів зі збережною динамікою, дослідження динаміки на початкових ста- діях у лінійній аналізі на стійкість проводиться відносно структур- ного фактора S(k, t) як Фур’є-образу двоточкової кореляційної фу- нкції поля x(r, t). Він може бути зіставлений з експериментальними даними по розсіянню Рентґенових променів. Дослідження неліній- них процесів у таких складних системах проводиться з викорис- танням метод числового моделювання. Аналітичне дослідження стохастичних систем зі збережною динамікою у стаціонарному ви- падку ґрунтується на використанні положень Вейссової теорії сере- днього поля, яку було розвинуто у роботах [5, 52, 53]. Для цього спочатку система подається на дискретній ґратниці з характерним розміром комірки l так, що поле всередині i-тої комірки α α= ix s , задається сумою Ізінґових змінних sα ∈ [−1,1], які описують ймові- рності заняття комірки атомами. Далі одержується ефективне рів- нання Фоккера—Планка, що описує еволюцію функціоналу розпо- ділу поля x, яке фактично має відповідати рівнанню (2) [5, 6, 54, 55, 56]. Подальше дослідження полягає у ефективній заміні просторо- вих (дискретних) операторів введенням середнього поля η (напри- клад, Δx → (x − η), (∇x)2 → (x − η)2, тощо), що описує втрату симетрії шуканої стаціонарної функції розподілу. При описі систем, що фо- рмують структури у періодичних системах, ця теорія знайшла по- дальший розвиток у роботах [57, 58]. Однак, основні зусилля було сконцентровано на дослідженні систем із незбережною динамікою та без врахування балістичної дифузії. 3. РАДІЯЦІЙНО-СТИМУЛЬОВАНЕ ФОРМУВАННЯ ВПОРЯДКОВАНИХ СТРУКТУР В ОДНОКОМПОНЕНТНИХ СИСТЕМАХ Використовуючи теорію ФПК, запропоновану Ґрантом та Елдером [42, 46, 47], що враховує ефекти пружности у розподілі атомової густини, можна описати процеси структуроутворення (виникнення атомового порядку) у періодичних (кристалічних) системах одно- компонентного складу. Основну увагу при цьому зосередимо на конкуренції процесів термічного перемішування атомів та перемі- шування внаслідок балістичної дифузії, викликаної дією опромі- нення високоенергетичними частинками. У рамках розвинутої далі теорії ФПК для систем зі стохастичними дифузійними потоками проводиться аналіза часової та стаціонарної картини утворення ди- сипативних структур внаслідок мікроструктурних перетворень. Спочатку розглянуто використання стандартного підходу, основа- 118 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО ного на застосуванні наближення Фікової дифузії, коли дифузійні потоки вважаються стаціонарними. Аналітичне та чисельне моде- лювання для такого класу систем уможливлює пояснити картину утворення просторового порядку у кристалічних системах та про- аналізувати вплив зовнішнього потоку опромінення на характер упорядкування. Далі розглядається узагальнений модель структу- роутворення, коли часові масштаби зміни термічно стимульованого дифузійного потоку та балістичного потоку різняться. Це уможли- влює провести детальну аналізу відповідних процесів на мікроско- пічному та мезоскопічному рівнях опису системи. 3.1. Структуроутворення у періодичних системах зі стохастичними Фіковими потоками На основі представлення Фікової дифузії розглянуто процеси фор- мування просторового кристалічного порядку у періодичних систе- мах за наявности потоку атермічного перемішування. Проведено аналізу поведінки системи на початкових стадіях її еволюції та роз- винуто теорію середнього поля для аналізи стаціонарної поведінки системи [59]. 3.1.1. Фазово-польове представлення кристалічної системи Розглянемо клас періодичних (кристалічних) систем, які опису- ються скалярним полем атомової густини x(r, t), динаміка якого є збережною, тобто виконується умова  =( , ) constd x tr r . За формалі- змом фазового поля кристалу, який ґрунтується на підході функці- оналу густини, поле x визначається як відносна ріжниця між пото- чною густиною ρ(r,t) та наперед заданою початковою ρ0, тобто x ≡ (ρ − ρ0)/ρ0 [42, 46, 47]. У d-вимірному просторі динаміка поля x(r, t) задається рівнан- ням непереривности: tottx∂ = −∇ ⋅ J , (9) де Jtot – повний дифузійний потік. Оскільки кристалічна система знаходиться під зовнішнім впливом, що відіграє роль опромінення високоенергетичними частинками, далі вважатимемо, що повний потік складається з двох компонент: перша задає внутрішній (за- звичай, термічно стимульований дифузійний) потік JD, друга ви- никає в результаті зовнішнього впливу – опромінення (балістич- ний потік Je). Тому для повного потоку маємо вираз Jtot = JD + Je. Ос- новна увага далі приділяється дослідженню конкуренції внутріш- нього та зовнішнього потоків у процесах мікроструктурних перет- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 119 ворень у моделю однокомпонентної кристалічної системи. Для розгляду особливостей поведінки системи в умовах, набли- жених до реальних, припустимо, що потоки, окрім реґулярної, ма- ють стохастичну складову. З урахуванням цього, термічно підтри- муваний потік складається з реґулярної та випадкової частин, тобто d s D D D= +J J J . У загальному випадку Фікової дифузії для нерівнова- жних процесів термічно стимульований потік задається виразом ( , )D F M M t x δ= − ∇ + ξ δ J r , (10) де M – рухливість, F – функціонал вільної енергії. Стохастична складова потоку описується введенням Ланжевенового джерела ξ(r, t), яке моделює термічні флюктуації. Він задовольняє флюкту- аційно-дисипаційній теоремі [60, 61] та має Ґавсові властивості: ( , ) 0tξ =r , 2 ( , ) ( , ) 2 ( ) ( )t t t t′ ′ξ ξ = σ δ − δ −r r r r , (11) де σ2 – інтенсивність шуму, що пропорційна температурі теплової бані T, виміряної в енергетичних одиницях. У найпростішому випадку для зовнішнього потоку скористаємо- ся Фіковим законом 0 e eD x= − ∇J , де 0 eD – ефективний «коефіцієнт дифузії», який описує атермічне перемішування атомів, викликане зовнішнім впливом [10]. Таке подання зовнішнього потоку описує процеси балістичної дифузії атомів системи. Їх можна порівняти з турбулентністю (постійним підтримуванням структурного безла- ду), викликаною взаємодією енергетичних частинок з атомами. У рамках стандартного формалізму опису балістичної дифузії вели- чина 0 eD пропорційна перетину дефектоутворення σr, потоку бом- бардувальних частинок φ та квадрату середньої довжини R2 стриб- ків вибитих атомів кристалу [10, 12, 35, 49, 50]. У припущенні про стохастичність потоку бомбардувальних частинок, де високоенер- гетичні частинки мають розкид за імпульсами (енергіями), можна вважати, що ефективний коефіцієнт дифузії має як реґулярну, так і нереґулярну складові, тобто 0 ( , )e eD D t= + ζ r , де ζ(r, t) – випадко- ва компонента, яка моделює флюктуації потоку опромінення [62]. Таким чином, зовнішній потік також складається з реґулярної та випадкової компонент, ( )( , )e eD t x= − + ζ ∇J r [51]. Варто зазначити, що стохастична складова наділена наступними властивостями: ( , ) 0tζ =r , ′ ′ ′ζ ζ = σ − δ −2( , ) ( , ) 2 ( ; ) ( )e e ct t D C r t tr r r r , (12) де 2 eσ – інтенсивність зовнішнього шуму. Наявність величини De у кореляторі шуму (12) свідчить про те, що випадкова складова ви- никає лише у випадку дії зовнішнього джерела. Кореляційну фун- кцію C(r − r′) визначимо у вигляді: 120 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 2 2 ( ) ( 2 ) exp{ ( ) (2 )} d c cC r r−′ ′− = π − −r r r r , (13) де rc – радіюс кореляції зовнішніх флюктуацій (у випадку 0cr → зовнішній шум ζ(r, t) стає некорельованим). Оскільки величина De пропорційна квадрату середньої довжини стрибка вибитого атому, то інтенсивність зовнішнього шуму пов’яжемо з дисперсією довжи- ни таких стрибків, тобто 2 2 2( ) /e R Rσ =  δ    . Радіюс кореляції зов- нішніх флюктуацій має порядок середньої довжини стрибка R. У подальшому розглянемо найпростіший випадок, коли rc і 2 eσ – не- залежні величини. Для періодичних (кристалічних) систем, яких розглядатимемо нижче, функціонал вільної енергії оберемо у вигляді [38, 39, 42, 47] 21 ( ) ( ) 2 F d f x xL x  = + ∇    r , (14) де густина вільної енергії з оператором просторової взаємодії Свіф- та—Хогенберґа [44] мають такі вирази, відповідно: 2 4 ( ) 2 4 T u f x x x αΔ= + , 2 2 2 2 0 ( ) ( )L q∇ = β + ∇ , (15) де ΔT – ріжниця температур, яка задає вигляд густини вільної енергії; α, u і β – феноменологічні сталі. У загальному випадку для рухливости оберімо апроксимацію 0 2 ( ) 1 M M x x ≅ + α , (16) де M0 і α – позитивні сталі; α задає швидкість затухання флюкту- ацій при переході з розрідженого x = 0 до щільного x ≠ 0 стану. Ап- роксимація (16) забезпечує збільшення рухливости (флюктуацій) в областях з малою густиною та, відповідно, зменшення рухливости (флюктуацій), в областях з підвищеними значеннями густини [45]. В результаті на основі рівнання непереривности (9) одержимо стохастичне рівнання еволюції для збережного поля [11]: e t DF x M x M x x M δ ∂ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ∇ ⋅ ξ + ∇ ⋅ ζ∇ δ  . (17) Для подальшого розгляду доцільно перейти до безрозмірних величин: 0 q′ =r r , 4 0 x x u q′ = β , 4 0 T qε = αΔ β , 6 0 0 t M q t′ = β , 2 4 2 0 duTq −′σ = β , 4 0 u q′α = α β , 2(1 )M x′ ′ ′= + α , 0 F F F′ = , 4 0 0e eD D M q′ = β . (18) Керувальний параметер ε пов’язаний з внутрішньою інтенсивністю МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 121 шуму σ2 наступним чином, ε = θ − 1 з ( ) /c cT T T′ ′ ′θ = − , де cT′ – кри- тична температура, від якої залежить зміна модальности функції f(x); 2′σ = θ , 0 / 1duq αβ = . Диференціюючи функціонал вільної енергії і підставляючи оде- ржаний вираз у (17), приходимо до рівнання параболічного типу: 2 2( )e t xx D x M f x L x M x M   ∂ = ∇ ⋅ ∂ + ∇ + ∇ ∇ + ∇ ⋅ ξ + ∇ ⋅ ζ∇      . (19) З урахуванням позначення для перенормованої густини вільної енергії ϕ(x), з 2 2 ,e xx xx D f M ∂ ϕ = ∂ + (20) перепишемо Ланжевенове рівнання (19) у вигляді 2 2 ( )t xxx M x L x m x ∂ = ∇ ⋅ ∂ ϕ∇ + ∇ ∇ + ∇ ⋅ ξ + ∇ ⋅ ζ∇  , (21) де M ≡ m 2. Таким чином, стохастичне динамічне рівнання (21) уможливлює описати періодичні (кристалічні) системи за наявнос- ти термічно стимульованого потоку та зовнішнього (атермічного) потоку, викликаного дією опромінення, в умовах флюктуацій кож- ного з них. 3.1.2. Стійкість лінеаризованої системи параболічного типу Дослідимо стійкість неупорядкованого гомогенного стану з x = 0, що відповідає максимуму густини вільної енергії f(x). Оскільки розгля- дувана система має властивості збережної динаміки, основну інфо- рмацію про її поведінку буде нести не перший статистичний момент, а структурний фактор – Фур’є-образ двоточкової кореляційної фу- нкції. Динамічне рівнання для структурного фактора має вигляд: σαθ= − + − − π π − ω + θ   2 22 2 2 2( , ) 2 ( , ) ( ) ( , ) (2 ) (2 ) 2 ( ) ( , ) 2 . e e d d k DdS k t k d S t d C S t dt k k S k t k q q q k q q (22) При цьому закон дисперсії є таким: 2 2 2 2 2 2 0 2 0 ( ) (1 ) (0) [ ( ] , [ ( ] 0. e e e e e r r k D k D C k D C r C r = = ω = ε + + − + αθ − σ + σ ∇ ) ∇ ) < (23) Рівнання (22) задає еволюцію структурного фактора поблизу поро- га, де поле густини є малим, що уможливлює використати лінійну 122 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО апроксимацію. З одержаного закону випливає, що зовнішній потік призводить до перенормування керувального параметра так, що поведінка сис- теми тепер визначається ефективним його значенням 2 2 ef 0 (1 ) 1 [ ( ]e e e rD D C r =ε = θ + α − + + σ ∇ ) . (24) Очевидно, що при εef < 0 збурення гармонік в околі k0 = 1 зростають, результатом чого є формування періодичних структур. Як випливає з наведеного виразу, при De = 0 критичне значення температури θc0 = 1/(1 + α), нижче якого в системі проходить упорядкування, зворотно-пропорційно залежить від сталої α – швидкості спадання флюктуацій в околі неупорядкованого стану. У випадку наявности потоку опромінення De ≠ 0, причім вважається, що всі високоенер- гетичні частинки мають однакові значення енергії ( 2 0eσ = ); тоді критичне значення температури зменшується при зростанні потоку опромінення, тобто θcD = (1 − De)/(1 + α). Якщо частинки у потоці опромінення мають розкид за енергіями (імпульсами) ( 2 0eσ ≠ ), то, враховуючи, що [∇2C(\|r\|)]r = 0 < 0, стохастична складова потоку Je призводить до порушення стійкости, зменшуючи значення ефекти- вного керувального параметра. Таким чином, реґулярна і стохастична складові потоку опромі- нення Je мають протилежний вплив на динаміку системи, що узго- джується з результатами Мартанової теорії середнього поля для де- терміністичних систем [10] та аналізою поведінки систем зі стохас- тичним потоком опромінення [51]. Із закону дисперсій знаходимо критичні значення хвильових чи- сел ( ) ( )( , )c ck k k− +∈ , які обмежують область існування нестійких мод: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 1 (25) 1 (0) (0)[4 (0)] 4{ ( ) } . 2 c e e e e e e e e r k D C D C C D D C r ± = = + + σ ± σ + σ − ε + + αθ − σ ∇ При таких значеннях хвильових чисел фактор підсилення 2( ) ( )R k k k= − ω набуває нульових значень (рис. 4, a). Максимум фу- нкції R(k) досягається при ( ) mk k ±= , де ( ) (2 ( ) 22 1 (0) 3 3 m e ek D C± = + σ ± )2 2 2 2 =0 1 (0)[4 (0)] 3{ ( ) }e e e e e e e r D C D C D D C r± + σ + σ − ε + + αθ − σ ∇ , (26) ( ) m k + – значення хвильового числа для найбільш нестійкої моди. Залежності ( ) 2 ( ) c e k ± σ та 2 ( ) m e k σ зображено на рис. 4, б (суцільна та штрихова криві відповідно). Як бачимо, зі зростанням інтенсивнос- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 123 ти шуму 2 eσ , значення нестійкої моди також зростає. При високих температурах і фіксованому значенні De збільшується критичне значення 2 e σ , тоді як збільшення De спонукає до упорядкування при меншій інтенсивності шуму 2 eσ . При ( ) ( ) c ck k+ −= реалізується перша нестійка мода;, це можливе при 2 2 2 2 0 =0 (0)[4 (0)] (1 ) ( ) 1 4 e e e e e e er D C D C D C r D σ + σ θ + α = + σ ∇ − + . (27) Хвильове число для першої нестійкої моди залежить лише від інте- нсивности зовнішнього шуму та радіюса кореляцій флюктуацій, тобто 2 1 1 (0) / 2e ek D C= + σ . Значення параметрів системи, за яких можлива поява першої не- стійкої моди, зображено на рис. 5. Як бачимо, за низьких темпера- тур θ та інтенсивностей шуму 2 e σ стійкість порушується лише за малих значень кореляційного радіюса rc. При збільшенні 2 e σ не- стійкі моди починають зростати незалежно від величини радіюса кореляції rc. Таким чином, стохастичність призводить до появи в системі не- стійких мод навіть за температур θ > 1. Прослідкуємо за динамікою структуроутворення на ранніх ста- діях. Розв’язки рівнання (22) зображено на рис. 6, a для різних часо- вих зрізів. З часом єдиний пік S(k) реалізується в околі найбільш нестійкої моди km, а його висота зростає, що свідчить про прохо- дження процесів упорядкування в системі. Поведінка структурного фактора при різних значеннях температури та інтенсивности зов- а б Рис. 4. a – фактор підсилення при різних значеннях параметрів системи при α = 0,5, θ = 0,9, De = 0,8, 2 1,0eσ = , rc = 0,7; б – критичні значення хви- льового числа (суцільні лінії) та хвильові числа для найбільш нестійких мод (штрихові лінії) при α = 0,5, rc = 0,7. 124 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО нішнього шуму представлено на рис. 6, б. З нього видно, що за під- вищених температур (θ > 1) в системі можливе упорядкування (по- рівняйте суцільну та пунктирну криві). Дія зовнішнього шуму сприяє упорядкуванню на ранніх стадіях, підвищуючи максимум структурного фактора (порівняйте суцільну та штрихову лінії), тобто структури мають бути явно вираженими при більших значеннях інтенсивности зовнішнього шуму. Рис. 5. Критичні значення температури, при яких з’являється перша не- стійка мода k1 при De = 0,5, α = 0,5. а б Рис. 6. a – динаміка структурного фактора; б – поведінка структурного фактора при різних значеннях параметрів системи при t = 3. Значення па- раметрів для рисунку а: θ = 0,9, α = 0,5, De = 0,8, 2 1,0eσ = , rc = 0,7; для ри- сунку б: α = 0,5, De = 0,8, rc = 0,7, t = 3. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 125 3.1.3. Індуковані шумом мікроструктурні перетворення Розглянемо особливості поведінки системи у стаціонарному випад- ку, поклавши t → ∞. Оскільки статистичний опис у такому часовому інтервалі ґрунтується на використанні функції розподілу поля гус- тини, то основне завдання полягає у знаходженні такої функції роз- поділу та її застосуванні для опису мікроструктурних перетворень. Рівнання Фоккера—Планка системи з двома шумами. У рамках ста- ндартного підходу з метою уникнення розбіжностей, пов’язаних з використанням дельта-функцій, здійснюється перехід до дискретно- го простору, де замість континуального поля розглядається відповід- ний набір величин на просторовій ґратниці. Тоді функціонал густини розподілу поля у певний момент часу подається у вигляді [5, 54, 65] ( ) 1 [ ], ( ) ( ) dN i i P x t t t = = ρ ≡ ρ∏ , ( )( ) ( )i i i IC t x t xρ = δ − (28) згідно з лемою Ван Кампена [66], де ...IC – усереднення за початко- вими умовами, а ...  – усереднення за флюктуаціями; індекси у польових змінних нумерують точки дискретного простору. На ос- нові стохастичного Ліувіллевого рівнання визначимо рівнання ево- люції функції ρ(t): ( )t i i x x ∂∂ ρ = − ρ ∂  . (29) Підставляючи вирази для відповідних часових похідних з рівнання (22) та усереднюючи за шумом, одержуємо: ∂ =   ∂ ∂ ∂   = − ∇ ∇ + ∇ − ∇ ξ ρ + Δ ζ ρ    ∂ ∂ ∂     (30) ( ) ( ) . t L R R Le ij j jl jl l ij j j ij j j i l j i P DF M x P m t x t x x M x Корелятори у другій частині обчислюємо за теоремою Новікова [64]. При l = 1 маємо: 0 ( ) ( ) ( ) = d ( ) ( ) Lt ij jL ij j j jk k m t m t t t t t t δ∇ ρ ′ ′∇ ξ ρ θ δ δ − ′δξ , (31) 2 \| \| 0 ( ) ( ) ( ) t ij j ij j j e e j k k x x t D dt C t t t − δΔ ρ ′ ′Δ ζ ρ = σ δ − ′δζ . Враховуючи позначення gij = {(∇L)ijmj, Δijxj}, λ = {ξ, ζ}, для останнього множника маємо 126 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО ( ) ( ) ( ) ( ) ij l ij lk k k t t g t x t g t x t ′= δ ρ δ∂= − ρ ′ ′δλ ∂ δλ . (32) За формальним розв’язком Ланжевенового рівнання шукана функ- ція набуває вигляду: ( ) ( ) Ll lk k k t t x t m t ′= δ = ∇ ′δξ , ( ) ( ) l lk k k t t x t x t ′= δ = Δ ′δζ . (33) В дискретному просторі рівнання Фоккера—Планка для загальної густини ймовірности P набуває вигляду: L R e t ij j jl ij j i l i DF P M x P x x M   ∂ ∂∂ = − ∇ ∇ + Δ −   ∂ ∂   2 \| \| L R ij j ji i e e ij j kl lj k i j i l m m P D x C x P x x x x − ∂ ∂ ∂ ∂−θ ∇ ∇ + σ Δ Δ ∂ ∂ ∂ ∂ , (34) де використано зв’язок між ліво- та правостороннім ґрадієнтними операторами. Наближення середнього поля. На підґрунті одержаного рівнання Фоккера—Планка можна використати теорію середнього поля, що уможливить проаналізувати упорядкування в системі у стаціонар- ному режимі. Відомо, що стандартний Вейссів підхід для систем зі збережною динамікою не може бути застосований безпосередньо, однак його розвинення для такого класу систем, проведене у робо- тах [7, 53, 67], уможливлює адекватно перейти до стандартних ви- значень теорії молекулярного поля. Оскільки теорія середнього по- ля може бути застосована при розгляді одночастинкової густини ймовірности при інтеґруванні за рештою степенів вільности, то далі перейдемо до рівнання для одночастинкової густини. Така густина ймовірности одержується у стандартний спосіб – інтеґруванням повної густини ймовірности за всіма змінними, окрім xi: ( )i kk i P t dx P ≠  =  ∏ . Тоді приходимо до рівнання у вигляді ( ) ( )i ij j i i P t M P t t x ∂ ∂= Δ   ∂ ∂ , (35) де ( ) 2 \| \| e j j j s j j e e j mn nj njs j j j n D xf M M L x m m D x C x x M x x −  ∂ ∂ ∂= − − − − θ + σ Δ ∂ ∂ ∂   . (36) У стаціонарному випадку за відсутности потоку ймовірности се- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 127 реднє Mj задовольняє умові ( ) 0ij j s iM P xΔ   = , (37) де Ps – невідома стаціонарна функція розподілу. Для систем, де просторова взаємодія задається оператором Свіф- та—Хогенберґа [44, 57, 58, 68], модуляція поля x у точці r′, пов’язана з точкою r, задається анзацем ( ) ( ) cos[ ( )] k x A k′ ′= ⋅ −r k r r , де сума береться за хвильовими числами k , а всі моди припускаються та- кими, що мають однакову вагу A(k). Вплив оператора L на анзац описано в роботах [57, 58, 68]. Таким чином, у нашому випадку одержуємо: −  = − −     π = − + =     Γ + π      * 1 12 2 * * 1 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 1 , ( ) , (1 2) 2 d d Lx D n k A k x d d d Nk D n k dl l r r (38) де k * – хвильові числа, які для дискретних систем є максимумами закону дисперсії ω(k), l – крок дискретної ґратниці розмірністю d. Зазначимо, що ω(k) є власним значенням оператора L, тоді як його власною функцією є пласка хвиля e ik⋅r. У континуальному набли- женні найбільш нестійка мода k0 задовольняє рівнання ω(k) = 0. Для неї маємо k0 = k . Ріжниця між k0 і k при k0l ≤ 1 для дискретних систем складає близько 3% [57, 58]. Величина n(k) в (38) задає кі- лькість мод k , де N d – кількість дискретних комірок у d-вимірній системі. Поклавши для зручности l = 1, при i = j, одержимо стаціонарне середньопольове рівнання [53] 2 1 1 0 (39) [ ] 2 , 2 s e x x e e s hP D M f D x x M dD x C C x P M x x − =  θ ∂ ∂   = −∂ − η − − − ∂ + σ η −    ∂ ∂    де h – стала величина, η ≡ n(k)A(k) – середнє поле, яке задає кі- лькість мод із заданими амплітудами. Розв’язок рівнання (38) має вигляд ( ; , ) ( , , ) exp ( ; ) s x h P x h N dx x ′ Ω η′η =  ′Ξ η   , (40) де 2 1 0 ( , , ) ( ) 2 2 x e x ex h M f D x D M x M dD C x h θΩ η = − ∂ − − η − − ∂ − σ + , (41) 128 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 2 0 1 ( ; ) 2 ( )e ex M dD x C x CΞ η = θ + σ − η . Пошук невідомих величин h і η ґрунтується на припущенні, що розглядуваний середньопольовий підхід є локальним. Представимо стаціонарний розподіл Ps для однієї комірки, як функцію величин h та η. Оскільки густина вільної енергії f(x) і рухливість M(x) є симе- тричними функціями, то і розподіл Ps має бути симетричним у точ- ці η = 0. Однак стала h, що обчислюється за початковими умовами η = x0 (де x0 – початкова густина) у вигляді 0 0 ( ; , )sx P x x h dx=  , буде призводити до порушення симетрії [52, 53, 67, 69]. При значеннях параметрів системи, де h = 0, одночасно тривіяльним є середнє поле η. Тому, при вивченні характеру упорядкування розглядуваного класу систем достатньо скористатися припущенням, що h = 0, дос- ліджуючи поведінку лише середнього поля [11]. У рамках теорії середнього поля величина η визначається розв’язком рівнання самоузгодження: ( , , 0)sxP x h dxη = η = . (42) Відомо, що тривіяльний розв’язок η = 0 рівнання (42) для систем зі збережною динамікою відповідає гомогенному станові. Поява його нетривіяльних розв’язків означає виникнення n(k) мод з ампліту- дами A(k) – тобто утворення просторового порядку в системі. Як- що відомі розв’язки рівнання самоузгодження, то середньопольо- вий структурний фактор S(k) = n(k)A2(k) виступає у ролі парамет- ра порядку. З іншого боку, у наведеній апроксимації параметер по- рядку тотожній другому статистичному моменту: J ≡ S(k) = x2. Одержані залежності середнього поля зображено на рис. 7. З ньо- го видно, що зниження температури θ сприяє упорядкуванню сис- теми, про це свідчить поява нетривіяльного розв’язку рівнання са- моузгодження: η ≠ 0. З рисунку 7, а випливає, що зовнішнє пере- мішування, яке задає величина De, знижує критичні значення тем- ператури. Одержані результати можна пов’язати з Мартановою те- орією середнього поля [10], де показано, що зовнішнє перемішу- вання підвищує температуру системи, знижуючи критичне значен- ня. Зображені залежності η(rc) і S(rc) показують, що при великому значенні rc в системі структури не утворюються. Залежність η(De) зображена на рис. 7, б ілюструє, що додатковий (зовнішній) потік призводить до гомогенізації системи: збільшення De знижує зна- чення η, що добре узгоджується з теоретичними розрахунками та експериментальними даними про структуроутворення за наявности потоку опромінення [70—72]. Залежності 2( )eη σ , 2( )eS σ на рис. 7, б показують конструктивну природу флюктуацій цього потоку, що сприяє структуроутворенню. Таким чином, спостерігається конку- ренція двох компонент зовнішнього потоку Je: незважаючи на те, МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 129 що дійсна частина Je сприяє процесам гомогенізації, його випадко- ва складова посилює процеси упорядкування. Критичні значення параметрів системи зображено на рис. 8. З нього видно, що збільшення інтенсивности зовнішнього шуму під- вищує критичні значення температури та інтенсивности зовніш- нього перемішування. Таким чином, великі зовнішні флюктуації сприяють структуроутворенню за підвищених значень θ та De. Як показано на рис. 8, a, зовнішнє перемішування знижує кри- тичну температуру. Внутрішні флюктуації тісно пов’язані з пара- метром α, від якого залежить форма рухливости M(x). Тому розгля- дувані залежності побудовано для різних значень параметра α. При великих α, коли флюктуації швидко спадають, критичні значення температури, навпаки, зростають. Даний ефект відрізняється від того, що одержаний для ранніх стадій розвитку, де внутрішні флю- ктуації підтримують безлад у системі. Така ситуація є типовою, для систем з мультиплікативним шумом, який задовольняє флюктуа- ційно-дисипаційній теоремі, коли упорядкування відбувається за ентропійно-керованим механізмом, а відповідні процеси не залежать від короткочасної нестійкости [58, 67, 73]. На рисунку 8, б показано, що збільшення De зсуває критичне зна- чення інтенсивности шуму внаслідок процесів конкуренції реґуля- рної і стохастичної компонент потоку опромінення. Процеси упо- рядкування при зниженій температурі θ відбуваються при малих значеннях De. Якщо зростає інтенсивність внутрішніх флюктуацій θ, то для фіксованих значень De перехід в упорядковану фазу мож- ливий при малих інтенсивностях зовнішнього шуму 2 eσ . а б Рис. 7. Біфуркаційні діяграми для середнього поля η = n(k)A(k) і парамет- ра порядку S(k) = n(k)A2(k): a – залежності η і S від температури θ і прос- торового радіюса кореляції флюктуацій rc при De = 0,5, α = 0,5, 2 0,2 e σ = ; б – залежності η і S від реґулярної та випадкової компонент зовнішнього перемішування, De і 2 e σ при rc = 1, α = 0,5. 130 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО Аналізуючи рис. 8, в, можна стверджувати, що зростання радію- са просторових кореляцій зовнішнього шуму сприяє упорядкуван- ню при великих значеннях 2 e σ . При підвищеній температурі і фік- сованому значенні 2 e σ , упорядкування відбувається при слабкоко- рельованих флюктуаціях (малих rc). Моделювання процесу формування структур. З метою підтвер- дження результатів аналітичних розрахунків проведемо чисельне незалежне моделювання розглядуваної системи. Для числового до- слідження інтеґрується відповідне Ланжевенове рівнання (22) на двовимірній ґратниці (d = 2) розміром N = 120l, де крок ґратниці l = 1,0, з часовим кроком δt = 0,005. Крайові умови вибиралися пе- ріодичними; початкові умови задавалися такими: x(r, 0) = 0, (δx)2 = 0,01. Для моделювання білого шуму термічно стимульова- ного потоку використовувався альґоритм Бокса—Мюллера [36, 74]. Для моделювання кольорового шуму за простором застосовувався альґоритм ґенерації випадкового процесу за заданою кореляційною функцією у Фур’є-просторі [5]. Одержані числові характеристики а б в Рис. 8. Середньопольові фазові діяграми: a – на площині ( 2 e σ , θ) при rc = 0,6; б – на площині ( 2 e σ , De) при rc = 0,6; в– на площині (rc, 2 e σ )приα = 0,5. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 131 усереднювалися за 10-ма незалежними експериментами. Зосередимо увагу на дослідженні впливу двох типів шумів на процеси упорядкування. Спочатку розглянемо початкові стадії ево- люції системи. На рисунку 9 зображено поведінку параметра поряд- ку 2 2( )J t N x−=   rr на малих інтервалах часу, в теорії структуроут- ворення відомого як конвективний потік [5]. В теорії упорядкуван- ня для систем зі збережною та незбережною динамікою відомо, що його зростання з часом говорить про проходження процесів упоряд- кування. Для систем з адитивним шумом (α = 0, De = 0) параметер порядку зросте до стаціонарного значення Jst, найбільшого в порів- нянні з іншими випадками (порівняйте суцільну криву з рештою; відповідні структури зображено на знімку а). Присутність мультип- лікативного шуму (α ≠ 0, De = 0) уповільнює структуроутворення. При цьому параметер порядку набуває менших значень, а структури стають більш дифузними (див. знімок б). Включення зовнішнього перемішування (De ≠ 0) при 2 0eσ = суттєво уповільнює структуроут- ворення із розмитішими структурами (знімок в). Поява зовнішнього шуму 2 e σ прискорює процеси упорядкування. Таким чином, дані структури відповідають більшим значенням величини J, і на знімку г смугові структури є краще вираженими. Таким чином, приходимо до висновку про конструктивну роль флюктуацій зовнішнього пото- ку, що узгоджується з результатами теорії середнього поля. Оскільки величина J подає інтеґральний ефект, для встановлен- ня більшої інформації про процеси структуроутворення доцільним є дослідження поведінки структурного фактора. На рисунку 10 зо- Рис. 9. Еволюція параметра порядку J(t) на ранніх стадіях при різних інте- нсивностях впливу стохастичних джерел і зовнішнього перемішування; а, б, в, г – знімки структур при t = 40 для відповідних кривих. 132 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО бражено динаміку сферично усередненого структурного фактора 1( , ) ( ) ( )k k k k S k t N S t− ≤ ≤ +Δ =  kk , при різних інтенсивностях шуму 2 e σ та різних часових зрізах (графіки а і б відповідно). Із результатів аналітичного дослідження випливає, що під час еволюції системи пік структурного фактора зростає, а збільшення інтенсивности шуму призводить до його зсуву в бік найбільш не- стійкої моди. Зазначимо, що зміна висоти піку S(k) безпосередньо пов’язана з властивостями упорядкування системи. Така поведінка прослідковується у обчисленому структурному факторові за дани- ми числового експерименту. Для підтвердження результатів теорії середнього поля, незалеж- не комп’ютерне моделювання було проведено на великих часових інтервалах (t = 3000—8000), де статистичні характеристики ставали незалежними від часу. На цьому часовому інтервалі було проведено усереднення відповідних величин. Для контролю збережної дина- міки обчислювалися такі характеристики: 2x N x+ − +  =   rr з x + > 0 та 2x N x− − −  =   rr з x − > 0, сума яких дає нуль. Окрім того, обчис- лювалися параметер порядку J та сферично усереднений структур- ний фактор S при різних значеннях параметрів системи. На рисунку 11, а зображено поведінку параметра порядку у ста- ціонарному режимі. Як випливає з очевидних міркувань, збільшен- ня параметра α, який задає швидкість спадання флюктуацій в околі неупорядкованого стану, зменшує параметер порядку. Однак, зрос- тання інтенсивности зовнішнього шуму сприяє проходженню про- цесів упорядкування. Структурний фактор, побудований при різних інтенсивностях шуму, зображено на рис. 11, б. а б Рис. 10. Поведінка структурного фактора при різних значеннях параметрів системи, при θ = 0,4 і rc = 0,7 та різних значеннях часу: а– t = 15, б – t = 20. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 133 Розвинуті структури виникають при великих 2 eσ , оскільки саме таким значенням інтенсивности шуму відповідає чітко виражений пік. Динаміка мікроструктурних перетворень системи при різних початкових умовах зображена на рис. 11, в. З нього видно, що за- а б в Рис. 11. a – еволюція параметра порядку при різних інтенсивностях шуму та початкових умовах; б – структурний фактор одержаний при різних ін- тенсивностях шуму у момент часу t = 200; в – знімки еволюції системи для різних початкових умов: x(r, 0) = 0, 0,14, 0,3. Інші параметри: θ = 0,4, De = 0,3, 2 = 0,2eσ . 134 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО лежно від початкових умов, а саме, середньої густини x(r, 0), на початкових стадіях утворюються різні типи структур. При малих значеннях початкової густини формуються смугові структури (рух атомів вздовж атомових площин). На великих густинах утворю- ються ґратниці типу кристалічних структур (окремі фіксовані об- ласті позицій атомів системи), що моделюють гексагональну симет- рію. На проміжних значеннях початкової густини реалізується су- міш смугових структур та структур кристалічної ґратниці (наноро- змірні домени кристалічної структури з розмитими позиціями ато- мів вздовж атомових площин). Така картина реалізується у анало- гічній детерміністичній системі, однак, утворювані структури на ранніх стадіях зберігають свою морфологію на пізніх стадіях і в стаціонарному випадку. У даному випадку зовнішній шум на вели- ких часових інтервалах призводить до утворення у системі смуго- вих структур з відповідними дефектами (дислокаціями та дискли- націями), незалежно від обраних початкових умов. Таким чином, зовнішній шум принципово змінює морфологію дисипативних структур, що утворюються у системі, і здатний кардинально впли- вати на мікроструктурні перетворення при радіяційному опромі- ненні. Отже, маємо узгодження одержаних результатів з результа- тами роботи [9] (див. рис. 2, a). Порівняємо аналітичні результати, одержані у середньопольовому наближенні, з комп’ютерним експериментом. Зазвичай, у стандарт- ній теорії середнє поле η інтерпретують як усереднення поля x. З фі- зичним сенсом маємо лише розв’язки η = 0 і η > 0. Але при чисельно- му моделюванні еквівалентним критерієм для η > 0 є величина x+; аналогічно для η < 0. При заданих початкових умовах x(r, 0) = 0 ма- ємо x+ = x −. Таким чином, приходимо до ситуації, аналогічної фа- зовому розшаруванню, коли x – поле, що зберігається, і фазове роз- шарування (спинодальний розпад) призводить до утворення двох од- накових фаз, де при статистичному усередненні x+ = −x−. Величину x+, як об’ємну долю системи з x > 0, та середнє поле η зображено на рис. 12, a. Очевидно, що наведені результати не суперечать один одному і вказують на топологічно однакову поведінку системи: при малій інтенсивности De система знаходиться в упорядкованому стані, і зовнішній шум сприяє упорядкуванню. При великому De система є розупорядкованою (формується структурний безлад) внаслідок атермічного перемішування атомів системи до критичного значен- ня інтенсивности зовнішніх флюктуацій. При переході через це значення зовнішні флюктуації потоку опромінення здатні перевес- ти систему до упорядкованої фази – відбувається індуковане шу- мом упорядкування, що виражається в утворенні атомових пло- щин, вздовж яких спостерігається рух атомів (смугові структури). На рисунку 12, б зображено поведінку параметра порядку J при МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 135 зміні інтенсивности зовнішнього шуму, і проведено порівняння з результатами теорії середнього поля 2 ( ) e S σ . Можна бачити, що при великому значенні реґулярної частини атермічного перемішування De його випадкова складова сприяє збільшенню параметра порядку. Критичні значення інтенсивности зовнішнього шуму, одержані при моделюванні, підтверджують середньопольові результати. 3.2. Особливості відбору структур у кристалічних системах з пам’яттю На відміну від попереднього випадку, де приймалося припущення про еквівалентність часових інтервалів передачі збурень опромінен- ням та дифузійним перемішуванням атомів кристалу, тут зосереди- мо увагу на дослідженні процесів упорядкування із врахуванням ріжниці у наведених часових масштабах [75]. Відомо, що в реальних системах час проходження каскаду складає величину ≅ 10 −15—10 −13 с, тоді як час дифузійного перемішування (стрибка атома) співпадає з Дебайовим часом. Очевидно, така ріжниця може спричиняти нетри- віяльну поведінку системи на ранніх стадіях її еволюції. 3.2.1. Фазово-польовий модель періодичної системи з пам’яттю Ґрунтуючись на ріжниці наведених часових масштабів передачі збурень полю густини, слід очікувати, що потік опромінення є ло- кальним, тобто збурення, викликані ним, миттєво передаються си- стемі, тоді як збудження, викликані термічно стимульованим по- током, проходять за певний кінцевий час. Таким чином, розгляду- а б Рис. 12. а – стаціонарні залежності для величини x+ і середнього поля η (відповідно суцільна та штрихова криві); б – поведінка параметра поряд- ку 2 ( )eJ σ одержана при моделюванні та у середньопольовому наближенні (суцільна і штрихова криві та відповідні криві на вставці) при різних зна- ченнях De. Інші параметри: θ = 0,4, α = 0,5, rc = 0,65. 136 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО вана періодична система (кристал) є нерівноважною тому, що у ній існує часова нелокальність, тобто пам’ять. Як і раніше, еволюція поля атомової густини x описується рівнан- ням непереривности (9), де повний потік подається сумою термічно стимульованого дифузійного потоку і потоку атомового перемішу- вання, індукованого опроміненням. Для врахування ефектів нело- кальности скористаємося узагальненням Фікового закону [76, 77]: ( ) 0 ( , ) ( , ) t D M t t x t dtν ν ν ′ ′ ′= − ∇μJ r , (43) де індекс ν = {D, e} означає належність компоненти потоку до термі- чно стимульованого потоку або до зовнішнього (потоку опромінен- ня), Dν – відповідний коефіцієнт дифузії, μ – відіграє роль хеміч- ного потенціялу, Mν(t, t′) – функція пам’яті, що задає нелокаль- ність відповідної компоненти потоку. Якщо за одиницю міряння часу обрати час розповсюдження збу- рень, викликаних проходженням каскаду, далі вважатимемо, що функція пам’яті для атермічного (балістичного) потоку Je може бути апроксимована дельта-функцією Дірака: Me(t, t′) ≅ δ(t − t′), а узагаль- нений Фіків закон зводиться до стандартної форми: 0 e e D x= − ∇J . У припущенні стохастичности потоку опромінення для балістичного потоку маємо Je = −(De + ζ(r, t))∇x, де випадкове джерело ζ наділено Ґавсовими властивостями (12) з кореляційною функцією (13). Для термічно стимульованого потоку швидкість розповсюджен- ня збурень є кінцевою величиною, оскільки час передачі збурень τD є фіксованим. Найпростішим моделем функції пам’яті, що врахо- вує цей ефект, є спадна експонента 1 exp( / )D D DM t t− ′= τ − − τ . Тоді, враховуючи, що модель кристалу описується вільною енергією (14) з компонентами (15), термічно стимульований потік може бути за- писаний у вигляді 0 exp ( , ) t D D D t tM F dt x t ′ − δ ′= − − ∇  ′τ τ δ  J r , де M = const – рухливість. Диференціювання за часом потоку JD уможливлює переписати узагальнений Фіків закон у вигляді рела- ксаційного рівнання Максвелла—Катанео [76—78], яке при узагаль- ненні його на випадок присутности випадкового джерела ξ, що за- дає флюктуації потоку, зводиться до Ланжевенового рівнання: ( , ) D t D D F M t x δτ ∂ = − − ∇ + ξ δ J J r , (44) де джерело Ґавсового шуму ξ задовольняє флюктуаційно-дисипацій- ній теоремі: ξ(r, t) = 0, 2 0 ( , ) ( , ) 2 ( ) ( )t t M r r t t′ ′ ′ξ ξ  = σ δ − δ −r r ; 2 0 σ – ін- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 137 тенсивність, що зводиться до температури теплової бані T. Наявність скінченного часу релаксації τD призводить до обмеженої швидкости розповсюдження збурень /D Dv M= τ . У випадку τD → 0 дифузій- ний потік набуває звичного вигляду JD ≅ −M∇δF/δx + ξ з миттєвим відгуком і швидкістю vD → ∞. Однак, реальним дифузійним процесам притаманна обмежена швидкість Dv ; тому далі вважатимемо τD ≠ 0. Таким чином, система динамічних рівнань, яка описує поведінку системи підданої стохастичному впливу набуває вигляду [13] ( )t D ex D x x∂ = −∇ ⋅ + Δ + ∇ ⋅ ζ∇J , (45) D t D D F M x δτ ∂ = − − ∇ + ξ δ J J . Якщо розглянути граничний випадок De = 0 (тобто Je = 0), то оде- ржану систему рівнань (45) можна переписати у вигляді стандарт- ного моделю для фазового поля кристалу [38, 42, 46, 47, 80]: 2 ( ) D tt t F x x M x δτ ∂ + ∂ = ∇ ⋅ ∇ + ξ δ . Легко бачити, що гіперболічний тран- спорт (друга похідна за часом) тісно пов’язаний з релаксацією ди- фузійного потоку. Спираючись на відомі твердження [40, 47, 81], зазначимо, що одержаний модель уможливлює дослідити динаміку системи на часових і просторових проміжках характерних як для молекулярної динаміки (≅ 10 −12 с, ≅ 10 −9 м), так і на дифузійних ін- тервалах. Розглядуваний модель є узагальненим на випадок наяв- ности стохастичного зовнішнього впливу з миттєвим відгуком зов- нішніх збурень для кожної точки. Це уможливлює розширити спе- ктер дослідження, розглядаючи мікроструктурні перетворення на двох ієрархічних рівнях мультимасштабного моделювання поведі- нки матеріялів. 3.2.2. Осциляційна динаміка усереднених величин Еволюція першого статистичного моменту та структурного факто- ра. Одержимо динамічне рівнання для величини x, усереднюючи систему рівнань (45) за шумом: t D ex D x x∂   = −∇ ⋅   + Δ  + ∇ ⋅ ζ∇ J , (46) D t D D F M x δτ ∂   = −  − ∇ δ J J . Корелятори у першому рівнанні розпишемо з використанням те- ореми Новікова [64]: 138 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 2 ( , ) ( ) ( , ) e e x t x D C d t ∞ −∞ δ′ ′ζ∇  = σ − ∇ ′δζ r r r r r . (47) Функцію відгуку у правій частині рівнання (47) знайдемо з форма- льного розв’язку Ланжевенового рівнання (45) для поля x ( )( , ) ( ) ( , ) ( , ) x t x t t δ ′= ∇ δ − ∇ ′δζ r r r r r . (48) Підставляючи (48) у (47), одержимо [5, 51]: 2 3 ( )e ex D C x′=  ′ζ∇  = σ − ∇   + r r r r ( ) 2 22 ( ) ( ) ( )C x x C′ ′= = ′ ′+ ∇ − ∇   + ∇  ∇ − r r r r r r r r . (49) Зазначимо, що функція C(r − r′) сягає свого максимуму при r = r′, тобто справедливими є співвідношення: ( )C ′= ′∇ − = r r r r 0 ; 2 ( ) 0C ′= ′∇ − < r r r r . (50) Вводячи позначення 2 2 2 0 ( ) 3L xω ∇ = ε + + з M = 1, де x0 задає одно- рідний стан, одержимо систему рівнянь: 2 2 2 4 0 2 ( ) (0) , ( ) . t D e e e e e D t D D x D x D C r x D C x x = ∂   = −∇  + Δ  + σ ∇ Δ  + σ ∇    τ ∂   = −  − ∇ω ∇   r J J J (51) Подальше дослідження можливе у Фур’є-просторі. Так, вводячи Фур’є-компоненти ( ) ( , ) ix t d x t e ⋅  =    k r k r r , ( ) ( , ) it d t e ⋅  =    k r kJ r J r , перепишемо систему (51) у вигляді: 2 2 2 2 2 4 0 2 ( ) (0) , ( ) . (52) D e e e e e D D D d x i D k x D C k x D C k x dt d ik k x dt =   = −   −   − σ ∇   + σ     τ = −  − ω    k k k k kr k k k k J r J J Одержана система простих диференційних рівнань (52) має аналі- тичний розв’язок. На основі відомого динамічного рівнання для середнього xk про- ведемо аналізу стійкости однорідного стану x0. Для цього здифере- нціюємо перше рівнання системи (52) за часом t. Виражаючи з першого рівнання потік JDk та використовуючи похідну потоку з другого, одержимо: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )D D e e d x d x D k k k D k k x dt dt    τ = − + τ Ξ − Ξ + ω  k k k , (53) МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 139 де за означенням 2 2 2 2 0 ( ) 1 ( ( ) (0) )e rk C r C k=Ξ ≡ + σ ∇ − . Розв’язок одер- жаного рівнання шукатимемо у вигляді x\|k\|(t) = x\|k\|(0)exp(ϕ(k)t). Підставляючи його у рівнання (53), одержуємо вираз для фази: 2 21 ( ) ( ) 2 D e D D k k k ± + τ Ξϕ = − ± τ ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 ( ) 4 ( ) ( ) 2 D e D e D D k k k D k k± + τ Ξ − τ Ξ + ω τ . (54) Цей вираз може мати дійсну і уявну частини: ϕ(k) = ℜϕ(k) + iℑϕ(k), що свідчить про можливість появи нестійких мод лише у випадку ℜϕ(k)+ > 0. Для систем з просторовою взаємодією Свіфта—Хогенбер- ґа є певний інтервал хвильових чисел kc1 ≤ k ≤ kc2, де ℜϕ(k)+ > 0, з kc1, kc2 ≠ 0. Іншими словами, перша нестійка мода завжди матиме обмежений період, заданий хвильовим числом із цього інтервалу. Величина ℜϕ(k)+ > 0 завжди матиме єдиний пік, положення якого відповідає найбільш нестійкій моді, з хвильовим числом km. Уявна частина фази (54) з’являється за умови 2 2 2 2 2 2{1 ( )} 4 { ( ) ( )}D e D eD k k k D k k+ τ Ξ < τ Ξ + ω . Таким чином, еволюція середнього x\|k\|(t) може супроводжувати- ся наявністю осциляцій з частотою ℑϕ(k) та декрементом затухання {1 + τDDek 2Ξ(k2)}/2τD > 0. Область затухання збурень визначається з умови 1 + τDDek 2Ξ(k2) > 0. Область стійких мод обмежена значенням хвильового числа: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 02 4 (0)1 1 ( ) 1 ( ) 2 (0) e d e r e r e D e C k C r C r C D = =  σ=  + σ ∇ + + σ ∇ +   σ τ  . (55) Осциляційна поведінка x\|k\|(t) проявляється в області, яку ви- значено значенням 2 0 0 ( , , , )e e ck k D r= θ σ як розв’язком рівнання 2 2 2 2 2 2 1 2 { ( ) 2 ( )} { ( )} 0 D e D e k D k k D k k− τ Ξ + ω + τ Ξ < . (56) Динамічне рівнання для структурного фактора Sk має вигляд: 2 2 2 2 2 2 2 2 {1 2 ( )} 2 { ( ) ( )} 2k D D e e k d S dS k D k k D k k S k dtdt τ = − + τ Ξ − Ξ + ω + θ −k 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 ) e e D e e d d k D k D dS t d C S t d C dt ′ ′ σ τ σ′ ′ ′ ′− − − − π π  k kk k k k k k , (57) 140 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО де 2 0 σ = θ . Розв’язок рівнання (57) доцільно шукати у вигляді ( )( , ) k tS k t eϕ∝ . У загальному випадку фаза ϕ(k) складається з дійсної та уявної частин, ϕ(k) = ℜϕ(k) + iℑϕ(k). В теорії спинодального роз- паду, для систем з гіперболічним транспортом (τD ≠ 0) [79], в яких просторова взаємодія задається оператором \|∇x\|2, дійсна частина фази ℜϕ(k)+ відома як фактор підсилення R(k) = −ℜϕ(k)+, де ( )( , ) R k tS k t e−∝ ; уявна частина ℑϕ(k) відповідає за процеси відбору структур. Визначимо особливості поведінки системи на основі ана- лізи поведінки фази ϕ(k). Процеси відбору структур проаналізуємо спираючись на динаміку структурного фактора. Вплив зовнішнього шуму на процеси відбору структур. Розглянемо стійкість стану x0 = 0. Динаміку дійсної і уявної частин фази зобра- жено на рис. 13. У випадку відсутности зовнішнього потоку De = 0 (суцільна крива), і область нестійких мод знаходиться у фіксовано- му інтервалі хвильових чисел kc1 ≤ k ≤ kc2. Детерміністичний зовні- шній вплив (пунктирна крива) пригнічує процеси нестійкости, і об- ласть нестійких мод звужується. Однак, флюктуації зовнішнього потоку Je мають протилежний вплив, ніж його детерміністична складова: з ростом 2 eσ область нестійких мод розширюється та з’являються осциляції розв’язків при великих 2 eσ (див. рис. 13, б). Варто зазначити, що значення хвильового числа, яке відповідає найбільш нестійкій моді і, відповідно, визначає період формування структур, залежить від температури θ та інтенсивности De. Розглянемо динаміку структурного фактора, зображену на рис. 14. Легко бачити присутність часових осциляцій на залежності S(k, t) для різних значень k, що свідчить про протікання процесів відбору структур під час еволюції системи. Вигляд динамічного рі- внання структурного фактора передбачає саме таку поведінку. Найвищий пік на залежності S(k) задає головний період структур, а б Рис. 13. Дійсна (a) й уявна (б) частини фази ϕ(k) в околі стану x0 = 0 за різ- них значень параметрів De і 2 eσ . Решта параметрів: θ = 0,7, τD = 0,5, rc = 0,5. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 141 тоді як менші піки свідчать про наявність процесів відбору струк- тур з меншими періодами. Осциляції структурного фактора з часом затухають, тобто відбувається вибір єдиної найбільш нестійкої мо- ди k ≅ km, яка задає подальший процес структуроутворення. Схожі осциляції спостерігаються при розв’язку рівнання для середнього x. Із рисунку 14, a видно, що під час еволюції системи пік струк- турного фактора зсувається в бік найбільш нестійкої моди k ≅ km; ширина піку зменшується, а висота, навпаки, збільшується. Тобто можна стверджувати, що структури стають краще вираженими, з більш чіткими межами. Як видно з залежности S(k) при фіксованому t, зовнішній потік суттєво впливає на процеси відбору структур. Реґулярна складова потоку (De ≠ 0, 2 0eσ = ) уповільнює їх, тоді як випадковий чинник ( 2 0eσ ≠ ) – прискорює. Зазначимо, що конкуренція випадкової і ре- ґулярної компонент зовнішнього потоку призводить до зниження основного піку залежности S(k) при великих значеннях De, та збі- льшення його ширини. Це є ознакою того, що внаслідок впливу до- даткової (атермічної) дифузії утворювані структури стають більш розмитими, тобто, утворюється структурний безлад, внаслідок чого система гомогенізується. Випадковий характер впливу Je призво- дить до зворотнього ефекту. Зі зменшенням температури θ поло- ження головного піку структурного фактора зміщується у бік вели- ких значень k. На рисунку 15 представлено залежність головного періоду струк- тур від температури. Період 2π/kmax визначається хвильовим числом kmax, що відповідає максимуму структурного фактора Smax = S(kmax). Розрахунки проводилися на часових інтервалах, коли положення піку вже не змінюється. Як бачимо, збільшення температури та ко- а б Рис. 14. а – еволюція структурного фактора на малих проміжках часу при De = 0,1, 2 0,2eσ = ; б – поведінка структурного фактора при t = 2 для τD = 1,0, rc = 1,0, θ = 0,7. 142 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО ефіцієнта De призводять до формування структур з більшим періо- дом. Таким чином, атермічний вплив є причиною перенормування ефективної температури θef = 1 − θ + De. При великих De для заданої θ період структур зростає, але джерело зовнішнього шуму уповіль- нює його. Моделювання системи з гіперболічним транспортом. Для підтвер- дження аналітично одержаних результатів проведемо чисельне мо- делювання. Для цього представимо розглядувану систему (45) на дискретній двовимірній ґратниці N×N з розміром комірки l = 1. Сис- тема диференційних рівнань (45) у дискретному просторі має вигляд: ( ) ( ) ( )i R ij j e ij j R ik k L kl l dx J D x x dt = − ∇ + Δ + ∇ ζ ∇ , ( )i D i L ij i j dJ F J M dt x ∂τ = − − ∇ + ξ ∂ , (58) 2 ( )i ij c ij j i d r dt ζ ζτ = − δ − Δ ζ + ξ , де індекс i позначає номер комірки, i = 1,…,N2, N = 128; дискретні ліво- і правосторонні оператори подано виразами (9); ξi(t) – чисто білий Ґавсів шум з одиничною інтенсивністю. При наближенні τζ = 1 одержимо білий шум у часі з наступними властивостями Рис. 15. Період структур 2π/kmax в залежності від температури і коефіцієн- та De при різних 2 eσ з τD = 0,5, rc = 0,5. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 143 ζi(t) = 0, ζi(t)ζj(t′) ≅ C\|i − j\|δijδ(t − t′). Щоб підтвердити осциляційну поведінку першого статистичного моменту та структурного фактора розглянемо еволюцію окремо усереднених значень випадкового поля x: x + та x −. Зростання з часом величин x +, x − є однією з ознак упорядкування системи, при цьому завжди виконується закон збереження. Зростання дру- гого статистичного моменту 2 2J N x−=   rr також свідчить про ная- вність упорядкованого стану [5]. Альтернативним визначенням є ( ) ( , ) k J t S k t=  , де S(k, t) – сферично усереднений структурний фактор. Таким чином J(t) задає площу під кривою S(k, t). Очевидно, що присутність осциляцій J(t) є ознакою хвильової поведінки стру- ктурного фактора з часом; про присутність в системі процесів відбо- ру структур свідчать осциляції на залежності сферично усереднено- го структурного фактора S(k). Комп’ютерний експеримент показав, що з часом середні x(t)± та параметер порядку J(t) зростають, причому їх ріст супроводжуєть- ся осциляціями (див. рис. 16, a). Крім того, осциляції x + і x − від- буваються у протифазі, що свідчить про виконання закону збере- ження. Ріст параметра порядку J(t) є ознакою упорядкування в си- стемі, а осциляції – відповідають часовим осциляціям структурно- го фактора. На рисунку 16, б зображено залежність S(k) для нелі- нійної системи, з якої видно, що для сферично усередненого струк- турного фактора також характерна є наявність осциляцій при зміні k; із часом додаткові піки зникають. Наведені залежності одержано при τD = 1. Для випадку τD < 1 супутні піки не так чітко виражені, але є. Для збільшення висоти піку процеси релаксації дифузійного термічно стимульованого потоку мають характеризуватися τD > 1. Вочевидь, така картина властива аморфним тілам. а б Рис. 16. а – еволюція середніх x +, x −, параметра порядку J = x2, при τD = 0,5, rc = 1,0, θ = 0,5, De = 1,0, 2 1,0eσ = , б – сферично усередненого струк- турного фактора S(k) при t = 1000, τD = 1,0, rc = 1,0, θ = 0,2, De = 0,1, 2 0,2 e σ = . 144 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО Як було раніше показано, просторова взаємодія, що описується оператором Свіфта—Хогенберґа, призводить до нерівноважних про- цесів структуроутворення. Для більш детального їх вивчення вико- ристаємо стандартний підхід, який застосовується до аналізи рів- новажних фазових переходів. У випадку нерівноважних систем па- раметром порядку є величина η ≡ J. Узагальнена сприйнятливість χ = N −2(J2 − J2)/J2 характеризує присутні у системі флюктуації. Таким чином, у неупорядкованому (гомогенному) стані маємо η = x + = x − = 0, тоді як для упорядкованого стану – η, x +, x − ≠ 0. В околі критичної температури флюктуації в системі зростають і, відповідно, сприйнятливість також зростає. На рисунку 17, а зображено особливості поведінки рівноважного параметра порядку η та середнього x + при зміні температури та параметра De, для різних значень інтенсивности шуму 2 e σ . З нього видно, що з ростом температури та інтенсивности балістичного пе- ремішування De параметер порядку та середнє x + – спадають. В околі критичної точки ef cθ ≅ θ , де параметер порядку досягає нуля, на залежності сприйнятливости від температури присутній макси- мум. Очевидно, що наявність флюктуацій призводить до перенор- мування керувального параметра ε. Легко бачити, що критичне значення, одержане для індукованого шумом структуроутворення, співпадає зі своїм середньопольовим аналогом θc = 1. Однак, збіль- шення інтенсивности шуму при фіксованому De збільшує критичне значення температури ef cθ . Зсув критичної температури під впли- вом шуму зображено на рис. 17, б. При заданій інтенсивності шуму 2 eσ ріст балістичного перемішування De знижує ef cθ . Даний резуль- тат співпадає з тим, який одержано при лінійній аналізі на стій- кість. Крім того, варто зазначити, що в околі критичної температу- ри ef cθ , де флюктуації є великими, просторові структури є дифузни- а б Рис. 17. а – поведінка рівноважного параметра порядку η, середнього x + і сприйнятливости χ для De = 0,5, б – фазові діяграми для нерівноважних фазових переходів. Інші параметри є такими: τD = 0,5, rc = 1,0. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 145 ми, тоді як нижче критичних значень температури структури, на- впаки, є добре вираженими (див. вставки на фазовій діяграмі). 4. ОСОБЛИВОСТІ ФАЗОВОГО РОЗШАРУВАННЯ БІНАРНИХ СИСТЕМ ПІД ДІЄЮ ОПРОМІНЕННЯ Цікавим питанням є дослідження нерівноважних процесів фазово- го розшарування у конденсованих бінарних системах еквіатомового складу (бінарні стопи) під дією опромінення [82, 83]. Для цього, за- звичай, використовується відомий модель Кана—Хілліярда—Кука [1, 84, 85]. Нижче нами буде розглянуто модель, де ефектами коге- рентних напружень, анізотропії, які можуть виникати при фазово- му розшаруванні, понехтувано. Основним питанням розділу є опис фазового розпаду бінарних систем у випадково неоднорідному сере- довищі, що виникає в результаті опромінення, та визначення ролі індукованих зовнішнім впливом ефектів. Задача з’ясування стійкости фаз, особливостей їх утворення за- вдяки зовнішньому впливу на систему стає все більш актуальною, оскільки, її розв’язання уможливлює виявити нові характеристики систем та відповідних процесів, що знаходять своє застосування не лише в матеріялознавстві [2], в електроніці [86, 19], а й загалом, при прогнозуванні властивостей матеріялів, що піддані дії агресив- ного середовища. У першому підрозділі розглядаються процеси ро- зпаду бінарних систем (стопів) та стійкість фаз за наявности баліс- тичної дифузії. Модель, що розглядається, ґрунтується на вико- нанні гіпотези локальної рівноваги, де дифузійні потоки є Фікови- ми. У другому підрозділі увагу зосереджено на системах, в яких гі- потеза локальної рівноваги порушується внаслідок наявности ефе- ктів пам’яті. Розглянуто процеси відбору структур у класі таких систем на початкових стадіях спинодального розпаду. 4.1. Фазове розшарування в параболічному моделю бінарної системи з двома мультиплікативними шумами Метою даного підрозділу є висвітлення загального теоретичного формалізму для аналізи стохастичної системи зі збережною дина- мікою за наявности двох мультиплікативних (внутрішнього та зов- нішнього) шумів. Нами буде показано, що для таких систем важли- ву роль у процесах фазового розшарування відведено просторовим кореляціям флюктуаційних сил. 4.1.1. Узагальнений модель бінарної системи з двома шумами Розглянемо бінарну систему 1c cA B − , яка описується композиційним 146 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО полем ( ) ( )x c c= −r r , де c(r) – концентрація одного з компонентів бінарного розчину; 1 / 2c = . Еволюція збережного поля x(r,t) зада- ється рівнанням непереривности ∂tx = −∇⋅JD, де JD – дифузійний по- тік. Припускаючи потік динамічним, можна задіяти й модифікува- ти Фіків закон JD ≅ −M∇δF[x]/δx + ξ(x; r, t), де ξ – флюктуації пото- ку, що вважаються Ґавсовими і можуть загалом бути функцією поля x. У разі залежної від поля концентрації кінетичного коефіцієнта M = M(x), флюктуаційно-дисипаційна теорема дає за визначенням: ξ(x; r, t) = 0, ξ(x; r, t)ξ(x; r′, t′) = 2σ2M(x)δ(r − r′)δ(t − t′). Для функціоналу вільної енергії використовуємо модель Гінзбу- рґа—Ландау: ( )1 21[ ] ( ) ( ) 4 F x f x d x d−= + β ∇ r , (59) де f(x) – густина вільної енергії однорідного стопу, β – стала, пов’язана з радіюсом взаємодії 2 2 2 0 0 / ( ) \| xr F x ∇ =β ≡ = ∂ ∂ ∇ , інтеґру- вання проводиться за об’ємом V, d – розмірність простору. Будемо вважати, що система описується густиною вільної енергії 2 41 1( ) 2 4 f x x x= ε + , (60) де керувальний параметер і безрозмірна температура визначаються співвідношеннями ε = θ − 1, θ = T/Tc відповідно. Для залежної від поля рухливости використаємо апроксимацію банеподібною функ- цією1: 2 1 ( ) 1 M x x = + α , α ∈ [0,1]. (61) Наближення (61) уможливлює уникнути випадку, коли частинки системи перестають рухатися, потрапляючи в мінімуми потенціялу вільної енергії. Такий вибір успадковує відомі математичні моделі рухливости [87] і є апроксимацією моделю рухливости Кана— Хілліярда [74]. Характерно, що у такому моделю варіяція парамет- 1 Загалом, вигляд густини вільної енергії (60) можна одержати при розгляді стандартного моделю з використанням апроксимації Бреґґа—Вільямса для вільної енергії бінарного стопу A—B: 1( ) (1 ) [ ln( ) 2BW ABf c Zw c c T c c= − + + (1 ) ln(1 )]c c+ − − , де Z – число першої координаційної сфери, а wAB – енергія упорядкування (wAB = 0,0553 еВ для стопу Cu—Co за критичної температури Tc = 0,1335 еВ). Розвиваючи в ряд fBW в околі критичної концентрації 1 2c = , одержимо вираз (60). Енергія міжфазної взаємодії β є другою похідною Фур’є-перетвору енергії міжатомової взаємодії ν(k): β = ν′′(k = 0)/2. Рухливість (61) задає клас відповідних функцій, що за певних умов для x 2 і α описує ато- мову рухливість для Канового дифузійного моделю: M = c(1 − c) [108]. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 147 ра α уможливлює розглянути окремо вплив адитивного шуму при α = 0 та мультиплікативного при α ≠ 0. Для зручности, далі перей- демо до безрозмірних величин, вимірюючи r в одиницях дифузійної довжини lD, тобто r′ = r/lD, де параметер просторової взаємодії 2 2 0 / Dr l′β ≡ . Штрихи далі опустимо. Оскільки інтенсивність впливу середовища визначається керу- вальним параметром, то для опису реальної ситуації є справедли- вим припущення про його флюктуації: ε → ε0 + ζ(r, t). Ланжевенове джерело ζ(r, t) припустимо таким, що має Ґавсові властивості ζ(r, t) = 0, 2( , ) ( , ) ( ) ( )t t C t t′ ′ ′ ′ζ ζ  = σ − δ −r r r r із просторовою кореля- ційною функцією C(r − r′) у вигляді (13). Підстановка виразу для дифузійного потоку у рівнання непереривности призводить до сто- хастичного рівнання непереривности, яке набирає вигляду [ ] ( ) ( , ) ( ) ( , ) x F x M x x t m x t t x  ∂ δ = ∇ ⋅ ∇ + ζ + ∇ ξ  ∂ δ   r r . (62) Одержаний модель є стохастичним узагальненням відомого моделю фазового розшарування бінарних систем [88]. 3.1.2. Реверсивні процеси розпаду бінарного розчину Розглянемо принципи застосування теорії середнього поля, ґрун- туючись на стаціонарній функції розподілу, рівнання еволюції якої має врахувати відповідні особливості класів моделей. Для цього пе- рейдемо до дискретного простору, переписуючи континуальне рів- нання (62) у вигляді ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i L ij j R jl l l L ij j j l dx F M x t m t dt x  ∂= ∇ ∇ + ζ + ∇ ξ ∂  . (63) Одержання рівнання еволюції густини розподілу спирається на певні особливості оперування з дискретними ґрадієнтними операто- рами. У рамках стандартних положень повна густина ймовірности P([x], t) задовольняє рівнанню Фоккера—Планка [5, 53, 54, 89]: 2 2 \| \| , 2 , ij j jr r ij ri j j j j mn nj n m nj n P f M x t x x d m m g c g P x x −   ∂ ∂ ∂ β= Δ  − + Δ − ∂ ∂ ∂   ∂ ∂−σ + σ Δ ∂ ∂     (64) де c\|j − n\| – дискретне подання просторової кореляційної функції зо- внішнього шуму. Рівнання еволюції одноточкової густини ймовірности одержу- 148 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО ється інтеґруванням (64) за всіма змінними, окрім xi. У результаті приходимо до рівнання ( ) ( )i ij j i ji P t M P t t x ∂ ∂= Δ   ∂ ∂   , (65) де введено позначення 2 2 \| \| ,2 j j jr r j j j mn nj n r m nj j n f M M x m m g c g x d x x −  ∂ β ∂ ∂= − + Δ − σ + σ Δ ∂ ∂ ∂       . (66) Якщо стаціонарний розподіл – безпотоковий, j M   має задоволь- няти рівнанню ( ) 0 ij j s ij M P xΔ   =  . Для подальшого, звернімося до детерміністичного рівнання ево- люції поля x(r,t), яке має вигляд ∂x/∂t = ∇M∇δF/δx. Для таких сис- тем важливим є обмеження, яке накладається законом збереження 0 ( , )x d x t=  r r , де x0 – вихідне значення, задане початковими умовами. Саме остан- ні суттєво впливають на характер фазового розшарування в системі. За положеннями теорії фазового розшарування для таких систем можна ввести точку переходу εT(x0): при ε > εT(x0) однорідний стан x0 є стійким; при ε < εT(x0) система розшаровується на дві фази із x1 та x2. Точка переходу буде співпадати із критичною лише при x0 = 0, тобто εT(x0 = 0) = εc. Відомо, що у детерміністичному випадку кінетичний коефіцієнт впливає лише на динаміку фазових переходів, не зміню- ючи стаціонарні стани системи. Отже, стаціонарні стани можуть бу- ти обчисленні розв’язанням скороченого рівнання ∇δF/δx = 0. Тому, обмежений розв’язок буде таким δF/δx = h, де h – стала, що загалом подає ефективне поле, яке у рівноважних системах зводиться до рі- жниці хемічних потенціялів двох фаз. У випадку гомогенної системи поле h залежить від початкових умов x0. Вище точки переходу одно- рідний стан є нестійким і система розшаровується на дві фази із зна- ченнями поля x1 та x2, а відповідна доля u задається за правилом ux1 + (1 − u)x2 = x0. Оскільки питомий потенціял вільної енергії є си- метричним, то x1 = −x2, і тому маємо визначення h = 0, тобто дві фази мають тотожні хемічні потенціяли [53]. Наведені міркування можуть бути застосовані і до стохастичного випадку. Враховуючи визначення умовного середнього, ( ) ( ) ( , ) ( ) 2 ( ) m j j j i j i i j nn i j nn im i dx Px dx P x x t x P t d x P t ∈ ∈≠    = =          ∏  , (67) МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 149 та положення теорії середнього поля, за яких 2 ( ) ij jj x d x xΔ →   − , при j M h  = −  та i = j одержимо рівняння: [ ]( 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s x x hP x M x f x x x m x m x− = −∂ + β   − − σ ∂ + [ ])2 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x s d g x C g x C g x P x+ σ   ∂ − ∂ , (68) де внаслідок середньопольового усереднення функції g(x) по най- ближчих сусідах прийнято g(x) ≅ g(x) услід за [53]. Розв’язок цього рівнання буде таким: ( ; ; ) ( , , ) exp ( ; ) s x x h P x x h N dx x x ′Ω   ′  =  ′Θ    , (69) де [ ] 2 2 2 0 ( ; ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 x x x x x h M x f x x x M x d C g x h σΩ   = −∂ + β   − − ∂ − σ ∂ + (70) ( )2 2 0 1 ( ; ) = ( ) 2 ( ) ( ) ( )x x M x d g x C g x C g xΘ   σ + σ −   . Слід зауважити, що стаціонарний розподіл залежить тепер від двох параметрів, а саме, від середнього поля x та ефективного поля h, які, у свою чергу, самоузгодженим чином визначаються через ста- ціонарний розподіл. Для обчислення цих невідомих параметрів зазначимо, що подана теорія середнього поля є суто локальною та призводить до визна- чень функції розподілу через h та x лише в околі даного елементу просторової ґратниці. Отже, в однорідному випадку середнє поле є однаковим по всій системі та збігається із початковою умовою, тоб- то x = x0. Тоді, за рахунок підстановки заданого значення x0 за- мість x у стаціонарний розподіл (69), величина h обчислювати- меться розв’язанням рівнання ( , , ) s x xP x x h dx  =   (71) при Ps = Ps(x; x0; h). За точкою переходу, де система розділена на дві фази з x1 та x2, унаслідок симетрії питомого потенціялу f(x) ви- пливає рівність x1 = −x2. Тому тепер h є однаковим для двох фаз, і у такому упорядкованому стані можна покласти h = 0. Отже, функція розподілу стає залежною від одного параметра x, який знаходиться розв’язанням рівнання самоузгодження (71) при Ps = Ps(x; x; 0). Залежність середнього поля від інтенсивностей внутрішнього та зовнішнього шумів подано на рис. 18, а при h = 0. Із нього видно, що 150 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО зростання інтенсивности зовнішнього шуму при від’ємних значен- нях керувального параметра пригнічує реверсивне проходження фазового переходу вздовж осі інтенсивности внутрішнього шуму σ2. Перша критична точка 2 1c σ зміщується ліворуч і при відсутності внутрішнього шуму система є упорядкованою завдяки зовнішнім флюктуаціям при переході через критичне значення. Критична то- чка 2 2c σ рухається праворуч, так що зростання 2σ розширює область інтенсивности внутрішнього шуму, де у системі реалізуються дві рівноправні фази з x1 = −x2. Розглянемо вплив просторових коре- ляцій зовнішнього шуму rc на положення критичних точок. Відпо- відну фазову діяграму подано на рис. 18, б при різних значеннях параметра неоднорідности β, параметра α (криві 1, 2, 3) та різних радіюсах просторової кореляції шуму rc (для порівняння впливу rc при відповідних β та α криві із штрихованими позначками). Із ри- сунка видно, що зростання β призводить до зниження критичних інтенсивностей 2σ та реалізації реверсивного проходження фазово- го переходу (порівняйте криві 1, 2), аналогічна ситуація спостеріга- ється при зростанні параметра α (порівняйте криві 1, 3). Зростання радіюса кореляцій зовнішнього шуму призводить до зростання критичних значень його інтенсивности (порівняйте криві 1′, 2′, 3′). При цьому область реверсивного поводження середнього поля вздовж осі інтенсивности внутрішнього шуму звужується. Розгляньмо макроскопічне наближення, поклавши β → ∞, що уможливлює знехтувати кореляціями, подаючи усереднення у ви- гляді ϕ(x); ϕ(x). У такому разі стаціонарний розподіл набирає форми Ps(x, x) = δ(x − x). Це уможливлює записати стаціонарне а б Рис. 18. Залежність середнього поля від інтенсивностей шумів при α = 0,4, ε = 0,2, β = 10 (а) та фазова діяграма при різних значеннях радіюса кореля- ції rc, параметра просторової неоднорідности β та параметра α (криві 1, 2, 3 відповідають rc = 0,0, а 1′, 2′, 3′ – rc = 1,0: 1, 1′ – β = 8,3, α = 0,4; 2, 2′ – β = 10,0, α = 0,4, 3, 3′ – β = 8,3, α = 0,6) (б). МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 151 рівнання для визначення критичних значень параметрів системи у вигляді ( ) 22 2 21 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d C C h M x f x M x x M x − σσ ′′ ′=     −   +      , (72) де штрих означає диференціювання за арґументом. Наведене рів- нання одержується інтеґруванням рівнання (68). Слід враховувати вплив початкових умов, які задають величину ефективного поля h. При ε > εT поле є гомогенним, тому у рівнанні (72) слід покласти x = x0, що подає величину h, як функцію від x0. При ε < εT маємо h = 0. Тоді рівнання (72) розв’язується відносно x. Лінія переходу відповідає умові x1 = x0 і відповідним чином подає точку переходу εT; критична точка εc = εT(x0 = 0) тепер задається виразом 2 2 0 1 2 ( ) c d C Cε = −ασ + σ − . (73) Таким чином, маємо конкуренцію флюктуаційних сил: внутрішній шум призводить до пониження критичного значення керувального параметра, а зовнішній збільшує його. Маємо зміщення критичної точки із множником 2d, пов’язане не лише із інтенсивністю шуму 2 0 Cσ , але й з просторовими кореляціями (доданок C1) перших сусі- дів. Кореляційний внесок від сусідніх вузлів ґратниці для моделів зі збережною динамікою є суттєвим. Наприкінці зазначимо, що у макроскопічному наближенні маємо лише одне критичне значення керувального параметра, яке відпові- дає одній точці фазового переходу. Це пов’язане лише з тим, що ви- користовується припущення β → ∞. Дві точки фазового переходу та й реверсивність поведінки параметра порядку можливі лише при скі- нченних значеннях інтенсивности просторової взаємодії [90, 91]. 4.2. Фазове розшарування у стохастичних системах параболічного типу під дією опромінення Метою даного підрозділу є висвітлення особливостей процесів фазо- вого розшарування бінарних систем, що знаходяться під дією опромінення високоенергетичними частинками у потоці зі стохас- тичними властивостями. Розглядаються системи, що описуються Фіковими потоками: термічно стимульованим та балістичним (ате- рмічним) потоком. Їх сума призводить до повного потоку, який входячи до рівнання непереривности композиційного поля, приз- водить до параболічного рівнання Кана—Хілліярда [1, 84, 85]. За умов наявности флюктуацій дифузійних потоків проводиться опис процесів розпаду та встановлюється характер впливу стохастичних джерел на процеси фазового розшарування. 152 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 4.2.1. Статистичне представлення бінарної системи параболічного типу зі стохастичними потоками Для дослідження поведінки опромінюваної бінарної системи ско- ристаємося модельними представленнями, наведеними у підрозділі 4.1.1. Інтенсивність шуму σ2 дифузійного потоку JD зводиться до температури теплової бані у вигляді: σ2 = TΔexp(−Emv/T), де Emv – енергія міґрації вакансій (наприклад, Emv = 0,8 еВ для Cu), Δ – ста- ла (надалі для зручности Δ = 1,0). Для опису дифузії у флюктуаційному середовищі, зґенерованому дією опромінення, яке характеризується потоком 0 e e D x= − ΔJ , на- далі, як і раніше, будемо вважати, що величина 0 e D має реґулярну De та випадкову ζ складові. Тоді величину Je можна визначити як суму det st e e e = +J J J . Реґулярна частина det e J характеризується вели- чиною De = ϕσrR2, де σr – переріз розсіяння, що визначає число ва- кансій, утворених за одиницю дози опромінення. Відповідна стоха- стична частина st e J задає дисперсію довжин атомових стрибків (δR)2. Тоді стохастична компонента ζ(r, t) має Ґавсові властивості: ( , ) 0tζ  =r , 2( , ) ( , ) 2 ( ) e e c t t D C t t r  ′−′ ′ζ ζ  = σ δ −    r r r r , 2 2( ) e R Rσ =  δ    . (74) Шум ζ(r, t) є зовнішнім, оскільки він викликаний зовнішнім впли- вом на систему. Просторова кореляційна функція має вигляд (13) з радіюсом кореляції положень атомів rc, що змінили свої позиції. В подальшому розглянемо випадок, коли ϕσrτ0 = 1, де τ0 – характер- ний часовий масштаб. Таким чином, еволюція композиційного поля задається рівнан- ням непереривности ∂tx = −∇⋅Jtot, де повний потік Jtot складається з двох частин: Jtot = JD + Je. З урахуванням попередніх виразів рів- нання непереривности набуває вигляду: bal t DF x M x M x x M δ ∂ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ∇ ⋅ ξ + ∇ ⋅ ζ∇ δ  . (75) Функціонал вільної енергії запишемо у формі Гінзбурґа—Ландау (59) з густиною вільної енергії у формі (60) та рухливістю (61). Для зручности, далі скористаємося процедурою обезрозмірнення, наве- деною у підрозділі 4.1.1. Підставляючи похідну функціонала вільної енергії у вираз (75), одержимо: 2 3e t xx D x M f x x M x M   ∂ = ∇ ⋅ ∂ + ∇ − β∇ + ∇ ⋅ ξ + ∇ ⋅ ζ∇      . (76) МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 153 Вводячи позначення для перенормованої густини вільної енергії ϕ(x), де 2 2 e xx xx D f M ∂ ϕ = ∂ + , (77) Ланжевенове рівнання (76) можна переписати у вигляді: 2 3 [ ] t xx x M x x M x∂ = ∇ ⋅ ∂ ϕ∇ − β∇ + ∇ ⋅ ξ + ∇ ⋅ ζ∇ . (78) На його основі можна скористатися Мартановою теорією середнього поля [10] для встановлення особливостей стійкости фаз. 4.2.2. Ранні стадії розпаду В континуальній границі динаміка структурного фактора підкоря- ється рівнанню 2 22 2 2 2 ( , ) (79) 22 2 ( ) ( , ) 2 ( , ) ( ) ( , ) (2 ) (2 ) e e d d dS k t dt k Dk k k S k t k d S q t d C S q t = σα= − ω + σ − + − π π q q k q із законом дисперсії 2 2 2 2 2 0 ( ) (0) ( )e e e e e r k D D C k D C r =    ω = ε + + ασ + β − σ + σ ∇    . (80) З аналізи останнього виразу випливає, що однорідний стан є стій- ким при ω(k) < 0. Таким чином можна визначити ефективний керу- вальний параметер 2 2 2 ef 0 ( )e e e rD D C r =ε = ε + + ασ − σ ∇ . (81) Якщо ε набуває додатніх значень, то нульовий стан буде стійким. З приведеного випливає, що зовнішні флюктуації знаходяться в кон- куренції не тільки з реґулярною компонентою зовнішнього джере- ла, але і з внутрішнім флюктуаційним джерелом: зростання De і ασ2 збільшує критичне значення керувального параметра, стримуючи систему в однорідному стані, а зовнішні флюктуації інтенсивности 2 e σ , за рахунок їх скорельованости у просторі, сприяють втраті стійкости однорідного стану. Таким чином, втрата стійкости визна- чається температурою θT, зображеною на рис. 19, а. З нього випли- ває, що з ростом кореляційного радіюса зовнішнього шуму критич- не значення температури знижується, тобто при скорельованих флюктуаціях розвиток нестійких хвиль відбувається при темпера- 154 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО турах, нижчих, аніж за відсутности кореляційних ефектів. З виразу (80) можна визначити критичне значення хвильового числа, яке обмежує область реалізації нестійких мод: k < kc, де 2 2 2 0 2 ( ) ( ) ( ) (0) e er c e e C r D k D C =  σ ∇ − ασ θ − ε θ − = β − σ . (82) З рисунку 19, б видно, що зростання інтенсивности балістичного перемішування De призводить до зростання періоду модульованої структури при розпаді на ранніх стадіях. Аналогічна ситуація спо- стерігається при рості температури, що свідчить про еквівалентність внесків температури і балістичного перемішування та підвищення температури внаслідок балістичної дифузії. Аналізуючи одержаний закон дисперсії, приходимо до висновку, що максимальні значення а б в Рис. 19. Фазова діяграма для лінійної аналізи на стійкість (а), критичні значення хвильового вектора kc від температури θ і De (б) та структурний фактор S(k) при t = 5. Нестійкі моди з k < kc з’являються під кривою при: De = 0,1, 2 0,5eσ = (суцільна лінія), De = 1,0, 2 0,5eσ = (штрихова лінія) і De = 1,0, 2 0,01eσ = (суцільна лінія). На рисунку (в) залежності одержано при α = 0,5, β = 2,0, θ = 0,3. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 155 фактора підсилення R(k) = −k2ω(k) відповідають 2 m c k k= . Як показало дослідження поведінки структурного фактора (рис. 19, в), виникнення структурного безладу, викликане збільшенням De, гомогенізує розчин, що підтверджує зниження піку структур- ного фактора. Зниження піку S(k) на ранніх стадіях спостерігається також із ростом 2 e σ , однак збільшення радіюса кореляції rc сприяє структу- роутворенню, що підтверджує зростання піку S(k). 4.2.3. Індукований зовнішнім потоком реверсивний характер фазового розшарування Для вивчення особливостей протікання фазового розпаду в стаціо- нарному наближенні необхідно знати стаціонарну густину ймовір- ности Ps([x]). На її основі у рамках модифікованої теорії середнього поля може бути проведено аналітичне дослідження біфуркаційних та фазових діяграм, що ілюструють характер фазового розшару- вання. Як і в класичній Вейссовій теорії молекулярного поля, пове- дінка системи описується середнім полем, яке є параметром поряд- ку для таких фазових переходів [52, 53, 92]. Відповідні процеси у бінарній системі без зовнішнього потоку було висвітлено у роботі [67]. У даному підрозділі увагу зосереджено на впливі компонент балістичного потоку на процеси розпаду бінарної системи. Рівнання еволюції густини ймовірности. Для одержання рівнання Фоккера—Планка скористаємося результатами узагальненого під- ходу [7], у рамках якого розглянуто два класи стохастичних систем з двома шумами різної природи. У роботах [7, 52, 53, 89] було вияв- лено, що принципову роль у стохастичних системах зі збережною динамікою відіграють просторові кореляції флюктуаційних дже- рел. Використовуючи стандартний підхід для одержання рівнання Фоккера—Планка, розглянемо стохастичне Ліувіллеве рівнання (29) для розподілу ρ(t), яким визначається повна густина ймовірно- сті Ps([x],t) за визначенням (28). Після підстановки в нього часової похідної приходимо до рівнання: L R Re t ij j jl jl l i l j DF P M x P x x M   ∂ ∂ ∂ = − ∇ ∇ + ∇ −  ∂ ∂     ( ) ( )L ij j j ij j j i m t x t x ∂  − ∇ ξ ρ + Δ ζ ρ ∂ . (83) Для обчислення кореляторів у другій частині рівнання використа- ємо теорему Новікова [64], згідно з якою при l = 1 маємо: 156 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lt ij jL ij j j jk k m t m t t dt t t t δ∇ ρ ′ ′∇ ξ ρ = σ δ δ − ′δξ , (84) 2 \| \| 0 ( ) = d ( ) ( ) t ij j ij j j e e j k k x x t D t C t t t − δΔ ρ ′ ′Δ ζ ρ σ δ − ′δζ . Вводячи позначення gij = {(∇L)ijmj, Δijxj}, λ = {ξ, ζ}, для останнього множника одержимо: ( ) ( ) ( ) ( ) ij l ij lk k k t t g t x t g t x t ′= δ ρ δ∂= − ρ ′ ′δλ ∂ δλ . (85) Згідно з формальним розв’язком Ланжевенового рівнання, функції відгуку набувають вигляду: ( ) ( ) Ll lk k k t t x t m t ′= δ = ∇ ′δξ , ( ) ( ) l lk k k t t x t x t ′= δ = Δ ′δζ . (86) Враховуючи вирази (83)—(86), приходимо до рівнання Фоккера— Планка для повної густини ймовірности P у дискретному просторі: L R e t ij j jl ij j i l i DF P M x P x x M   ∂ ∂∂ = − ∇ ∇ + Δ −   ∂ ∂   2 2 \| \| L R ij j ji i e e ij j kl lj k i j i l m m P D x C x P x x x x − ∂ ∂ ∂ ∂−σ ∇ ∇ + σ Δ Δ ∂ ∂ ∂ ∂ , (87) де враховані вирази для ліво- і правосторонніх ґрадієнтних опера- торів. Знайдемо еволюційне рівнання для одноточкової густини ймові- рности ( ) [ ]i kk i P t dx P ≠ = ∏ . Інтеґруючи одержане рівнання (87), ма- ємо ( ) ( )i ij j i i P t M P t t x ∂ ∂= Δ   ∂ ∂ , де введено оператор 2 2 \| \| 2 e j j j jr r j j j mn nj n j j j n D xf M M x m m x C x x d M x x −  ∂ β ∂ ∂= − + Δ − − σ + σ Δ  ∂ ∂ ∂    . (88) Середньопольове представлення у стаціонарному режимі. В стаці- онарному випадку, при умові відсутності потоку, середнє jM  за- довольняє умові ( ) 0ij j s iM P xΔ   = , де Ps – стаціонарна функція роз- поділу. Приймаючи i = j та опускаючи індекси, одержимо середньо- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 157 польове стаціонарне рівнання [53]: 2 2 1 0 (89) ( ) 2 , 2 s e x x e e s hP D x M f x M dD x C C x P M x x − =  σ ∂ ∂   = −∂ + β η − − − ∂ + σ η −    ∂ ∂    де h = const – ефективне стаціонарне поле, яке для рівноважних систем є ріжницею хемічних потенціялів двох фаз. Просторова вза- ємодія, яка описується Ляплясіяном, задається введенням серед- нього поля η згідно з правилом: Δijxj → 2d(x − x), η ≡ x. Розв’язок рівнання (89) набуває квази-Ґіббсового вигляду: ( , , ) ( , , ) exp ( ; ) s x h P x h N dx x ′ Ω η′η =  ′Ξ η   , (90) де 2 2 0 ( , , ) ( ) 2 2 x e x e ex h M f D x M x M dD C x h σΩ η = − ∂ − + β η − − ∂ − σ + , (91) 2 2 0 1 ( ; ) = 2 ( )e ex M dD x C x CΞ η σ + σ − η . Для визначення невідомих величин h і η використаємо умову лока- льности розглянутого середньопольового підходу, і визначимо роз- поділ Ps для даної комірки, як функцію від h і середнього поля η су- сідніх комірок. Знайдемо точки переходу та критичні точки. Для цього скорис- таємося процедурою, описаною у підрозділі 4.1.2. Розв’язуючи рів- нання самоузгодження (71) з x ≡ η при фіксованому значенні сере- днього поля, одержуємо ефективне поле h. Нижче порогу система розпадається на дві фази з x1 = −x2, і поле h має бути однаковим в кожній з цих двох фаз і дорівнювати нулю. Отже, лише нижче по- рогу значення x визначене, як розв’язок рівнання самоузгоджен- ня з Ps(x, η, 0). Розглянемо найпростіший випадок, при фіксованому значенні початкової концентрації x0. Значення ефективного постійного поля h в залежності від 2 eσ , De і θ зображено на рис. 20. Точки переходу для вище зазначених величин визначаються з умови h = 0. З зобра- жених залежностей h(De) і h(θ), видно, що поле h приймає ненульові значення вище точок переходу, T eD і θT, відповідно. Оскільки поле h для розглядуваної системи виступає в якості хемічного потенціялу, можна стверджувати, що при фіксованому x0 величина h є скомпен- сованою, і спинодальний розпад відбувається в області параметрів, де h = 0. З аналізи наведеної залежности 2( )eh σ випливає, що упоря- дкування відбувається в інтервалі інтенсивностей шуму 2 2 1 2 ( , )T T e eσ σ . 158 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО Таким чином, проведені обчислення вказують на існування обме- женого інтервалу критичних значень інтенсивности шуму, для яких η ≠ 0. Проведемо аналізу поведінки середнього поля η від параметрів системи, як розв’язку рівнання самоузгодження при h = 0. Як пока- зано на рис. 21, a, зі зменшенням інтенсивности балістичного пере- мішування De, система потрапляє в область розпаду, де величина середнього поля приймає ненульові значення. Слід зазначити, що опромінення призводить до гомогенізації композиційного поля. При переході через критичне значення c eD система розпадається на дві еквівалентні фази x1 = −x2; відповідний фазовий перехід від- повідає спинодальному розпаду. При заданому початковому зна- ченні концентрації x = x0, точка переходу відповідає значенню T e eD D= , при цьому працює правило важеля, яке визначає частки двох компонентів розчину x1 ≠ −x2. Як бачимо, зростання інтен- сивности зовнішнього шуму 2 eσ зсуває критичне значення c eD в бік великих значень. Однак подальше зростання інтенсивности 2 eσ зно- ву понижує величину c eD . Порівнюючи криві з різним радіюсом кореляції флюктуацій rc, легко прослідкувати немонотонний характер поведінки середнього поля при великих значеннях rc. Зі зростанням rc критичне значення c eD зменшується. Крім того, присутня конкуренція детерміністич- ної та стохастичної компонент потоку опромінення. На рисунку 21, б зображено залежність 2( )eη σ при різних значеннях радіюса ко- реляцій зовнішніх флюктуацій rc та інтенсивности De. Легко бачити немонотонність поведінки параметра порядку від інтенсивности зовнішнього шуму 2 e σ . Спинодальний розпад відбувається у фіксо- Рис. 20. Постійне поле h в залежності від 2 eσ (суцільна крива), De (пункти- рна крива) і θ (точкова крива) одержане при rc = 0,65 та заданому значенні початкової концентрації x0. Решта параметрів задано на вставці. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 159 ваному інтервалі інтенсивностей шуму. Зростання значення реґу- лярної частини балістичного перемішування зменшує область роз- шарування. На рисунку 21, в показано можливість появи упорядкованого стану всередині фіксованого інтервалу значень радіюса кореляцій флюктуацій. Великі флюктуації пригнічують реверсивність пове- дінки середнього поля. Зазначені перетворення станів системи мо- жна пояснити у такий спосіб. При низьких температурах балістич- не перемішування призводить до появи лише безладу (гомогенізації бінарного розчину). Збільшення температури спонукає еволюцію системи до гомогенного стану, супроводжувану термічним шумом та випадковими перескоками атомів, що викликані незначним зов- нішнім шумом 2 e σ . Однак, великі флюктуації 2 eσ руйнують упоряд- ковані стани системи. Отже, перемішування атомів внаслідок дете- рмінованої дії потоку, коли всі високоенергетичні частинки, взає- модіючи з речовиною, призводять до вибиття атомів на середню до- а б в Рис. 21. Значення середнього поля η від: а – інтенсивности реґулярної частини балістичного перемішування De; б – інтенсивности зовнішнього шуму 2 eσ ; в – радіюса кореляцій зовнішніх флюктуацій. Решта парамет- рів: α = 0,82, β = 1,2; а – θ = 0,645; б– θ = 0,645; в– De = 0,1. 160 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО вжину, може бути пригнічено розкидом довжин таких стрибків внаслідок розкиду частинок потоку опромінення за енергіями. Ве- ликий розкид за енергіями або великий розкид за довжинами стри- бків призводять до хаосу у розподілі атомів, тобто гомогенізації при великих інтенсивностях зовнішнього шуму. Одержаний результат щодо існування упорядкованого стану системи у фіксованому інте- рвалі інтенсивностей зовнішнього шуму, з одного боку, є наслідком конкуренції реґулярної та випадкової складових потоку опромі- нення, а з іншого, – скорельованости зовнішніх флюктуацій, яка призводить до конкуренції термічно стимульованого потоку та ба- лістичного перемішування. Для більш детальної аналізи знайдених особливостей поведінки параметра порядку розглянемо відповідні фазові діяграми, які зада- ють появу нетривіяльного розв’язку рівнання самоузгодження при h = 0. Як бачимо з рис. 22, а, зростання дисперсії довжин атомових а б в Рис. 22. Середньопольові фазові діяграми з rc = 0,65: a – при різній темпе- ратурі θ та β = 1,2, з α = 0,8; б – при різній θ та De = 0,1, з α = 0,95; в – при різних De, з α = 0,95, β = 1,2. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 161 стрибків викликає безлад у системі при низьких дозах опромінення. При підвищенні дози 2 e D спочатку повністю неупорядкована система зі збільшенням 2 e σ упорядковується. Однак, великі флюктуації го- могенізують стоп. З рисунку 22 бачимо, що при низьких температу- рах спостерігається монотонне зростання критичного радіюса взає- модії 0 r ∝ β з підвищенням інтенсивности зовнішніх флюктуацій. Однак, ріст температури призводить до немонотонної залежности від 2σ і, як наслідок, до реверсивного фазового переходу. Варто зазначити, що детермінована та стохастична складові зов- нішнього потоку, незалежно один від одного, переводять систему в неупорядкований стан, але одночасно можуть і конкурувати між собою в обмеженій області інтенсивности зовнішнього шуму, інду- куючи реверсивні процеси упорядкування (рис. 22, в). Моделювання процесів розпаду. Для підтвердження результатів одержаних в теорії середнього поля проведемо їх порівняння з комп’ютерним моделюванням. Для цього чисельно проінтеґруємо Ланжевенове рівнання (78) на квадратній двовимірній ґратниці з N×Ν = 120×120 комірками та періодичними межовими умовами. При чисельному моделюванні використано Мільштейнову методу [5] з кроком по ґратниці l = 0,5 та кроком інтеґрування Δt = 0,002. При вихідній початковій конфіґурації x(r, 0) ≠ 0 та невеликим по- чатковим розкидом композиційного поля (δx)2 = 0,2 система роз- падається на дві фази за механізмом нуклеації, зображеним на рис. 23, а. Для випадку початкової конфіґурації з x(r, 0) = 0 в сис- темі утворюються модульовані структури, і розпад відбувається за механізмом спинодального розпаду (див. рис. 23, б). Для ілюстрації реверсивних фазових переходів в системі, зна- чення основних параметрів обрані таким чином, щоб реверсивність виникала лише при зміні інтенсивности зовнішнього шуму. Відпо- відні просторові структури, одержані при чисельному моделюванні на великих часових інтервалах при різних значеннях інтенсивнос- ти зовнішнього шуму, приведені на рис. 24. З нього видно, що при малих інтенсивностях зовнішнього шуму (див. рис. 24, а) поле кон- центрації мало відхиляється від 0, і модульовані структури прак- тично не утворюються, міжфазні межі є занадто розмитими. При значеннях 2 e σ , які відповідають області упорядкування (рис. 24, б), в системі відбувається спинодальний розпад з модульованими стру- ктурами, що мають чіткі міжфазні межі, що добре зіставляється з результатами теорії середнього поля. При великих 2 e σ (див. рис. 24, в) шум руйнує області упорядкування, в результаті чого спостеріга- ємо стохастичну картину локального впорядкування—розупорядку- вання без фазового розпаду. Додаткову інформацію щодо даного процесу можна одержати, якщо розглянути поведінку сферично усередненого структурного 162 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО фактора. Розглянемо ранні стадії розпаду. Поведінку структурного фактора при різних інтенсивностях шуму 2 eσ зображено на рис. 24 під відповідними структурами. З часом пік структурного фактора S(k, t) зміщується в бік малих k, що говорить про грубшання зерен виділень. Для невеликих інтенсивностей шуму 2 e σ пік структурного фактора слабко виражений і розмитий (рис. 24, а), що говорить про слабку виразність структур із сильно дифузними межами. На про- міжних 2 e σ у відповідній залежності структурного фактора присут- ній добре виражений пік (рис. 24, б), тобто межі структур стають менш дифузними і об’єднання атомів утворює модульовані структу- ри спинодального розпаду. Великі флюктуації (рис. 24, в) руйнують реґулярні структури, відсутність піка свідчить про рівноправність всіх мод – неможливість утворення упорядкованих фаз. Зростання другого статистичного моменту J(t), яке говорить про процеси упорядкування в системі при різних значеннях інтенсивно- сти шуму, зображено на рис. 25, а. З нього видно, що при 2 0,1eσ = величина J(t) зростає, і досягає свого стаціонарного значення, що говорить про реалізацію упорядкування в системі. При малих 2 e σ другий момент спочатку спадає до нуля і далі суттєво не змінюється на великих проміжках часу (для порівняння динаміки J(t) при ма- лих і середніх 2 eσ див. вставку на рис. 25, а). При великих 2 e σ нестій- кі моди відсутні, і відповідне значення J(t) не зростає, а випадковим чином змінюється в деякій заданій обмеженій області (представлена а б Рис. 23. Чисельне моделювання процесу розпаду бінарної системи на квадра- тній ґратниці за механізмом нуклеації (а) та спинодального розпаду (б) в об- ласті параметрів системи, які відповідають упорядкуванню системи. Компо- зиційне полеx змінюється від −1 (темні комірки) до1 (світлі комірки). МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 163 залежність відповідає Ґавсовому шуму). Стаціонарну поведінку па- раметра J після усереднення на великих часових інтервалах за 10- ма незалежними експериментами зображено на рис. 25, б. З нього видно, що з ростом 2 eσ характерна величина J = J(t → ∞) спочатку зростає, а потім починає спадати. Таким чином, є дві особливі точки, в яких якісно змінюється тип поведінки системи. Дійсно, на одержаній залежності узагальненої сприйнятливости χ = J2 − J2, яка вимірює зміну флюктуацій ве- личини J в залежності від інтенсивности шуму 2 eσ , маємо дві особ- ливості на малих і великих значеннях 2 e σ . Це відповідає зростанню флюктуацій параметра порядку в двох критичних точках, тобто, ре- алізації реверсивного фазового переходу при зміні інтенсивности зовнішнього шуму. Як відомо, процес фазового розпаду характеризується наявністю режиму коалесценції, з законом росту зерен R(t) ∝ t z, де z – показ- ник росту. Зміну середнього розміру доменів з часом R(t) зображено на рис. 26, а при малих, середніх і великих значеннях інтенсивнос- ти шуму 2 eσ . Як бачимо, при середніх значеннях 2 e σ на пізніх стаді- ях спостерігається альґебрична форма закону росту домен із z ≈ 0,337 (див. вставку), що задовольняє закону Ліфшиця—Сльозова а б в Рис. 24. Структури одержані з рівнання (91) при t = 1000, T = 0,65, β = 2,0, rc = 0,65, De = 0,1, Δ = 1,0, Emv = 0,9, α = 0,8 і a – 2 0,005 e σ = , б – 2 0,1 e σ = , в – 2 1,0eσ = . Поле концентрації x змінюється в межах від −1 (чорні комір- ки) до 1 (білі комірки). Відповідні залежності структурного фактора для різних часових зрізів наведено під структурами. 164 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО R(t) ∝ t 1/3 [93]. При малих 2 eσ на пізніх стадіях росту доменів R(t) не спостерігається. Це означає, що процес при малих 2 e σ неможна кла- сифікувати, як фазовий розпад, який описується механізмом дифу- зії. При великих 2 e σ спостерігається стаціонарна стохастична пове- дінка функції R(t), це свідчить про постійне утворення областей упорядкування різного розміру. Одержані результати підтверджу- ють середньопольові результати. Важливим аспектом є визначення універсальних властивостей моделю на великих часових проміжках. Для цього обчислимо масш- табований сферично усереднений структурний фактор S(kR(t)) = = [R(t)]−2S(k, t) як функцію від безрозмірного хвильового числа kR (див. рис. 26, б). Форма одержаної функції однакова для різних ча- сових зрізів. Але при малих значеннях 2 eσ пік не так явно вираже- ний і розмитий, тоді як при середніх значеннях інтенсивности шуму залежність S(kR(t)) характеризується явно вираженим піком, зсу- а б в Рис. 25. Залежності другого статистичного моменту та узагальненої сприй- нятливости від інтенсивности зовнішнього шуму (a) динаміка J при різних значеннях 2 e σ ; б і в – відповідають залежностям параметра порядку J = J(t → ∞) i узагальненої сприйнятливости χ за різних значень 2 eσ . Реш- та параметрівT = 0,65, β = 2,0, rc = 0,65, De = 0,1, Δ = 1,0, Emv = 0,9, α = 0,8. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 165 нутим у бік ненульових значень kR. При великих інтенсивностях шуму залежність S(kR(t)) має пласку форму з невизначеним піком. Таким чином, вплив зовнішнього мультиплікативного шуму суттє- во впливає на динаміку росту домен розглядуваної системи. Феноменологічне представлення розпаду бінарної системи. Розг- лянемо наближення сильної взаємодії, допускаючи β → ∞, що уможливить одержати деякі результати дослідження в аналітичній формі. Для такого випадку стаціонарний розподіл набирає вигляду Ps(x, η) = δ(x − η). Рівнання для ефективного поля h одержимо з ін- теґрування виразу (89) з урахуванням позначення x ↔ η: η η   σ= η ∂ η + η − ∂ η − σ − η η  2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 e e e D h M f M dD C C M . (92) При h = 0 одержимо розв’язок для двох фаз: 1,2 2 2 AB C A − α +η = ± α , (93) де A ≡ 2αdDe 2 eσ (C0 − C1) − 1 − αDe, B = 2A − 1 − αε, C = 1 + 8α2σ2(A − 1) − − 2αε. Лінію переходу, яка визначається з умови η1 = x0, одержимо точно з рівнання (93). При η = 0 критичні значення параметрів сис- теми визначаються з виразу 2 2 0 1 ( ) 2 ( ) 2 ( )c e e e cdD C C Dε θ = σ − − − ασ θ . (94) Відповідні критичні значення знаходяться на поверхні, зображеній на рис. 27. Область упорядкування знаходиться під поверхнею. а б Рис. 26. Залежності: (а) середнього розміру домени R при 2 0,005 e σ = , 2 0,1 e σ = і 2 1,0 e σ = ; (б) сферично усередненого структурного фактора S(kR(t)) при різних інтенсивностях шуму. Решта параметрів: T = 0,65, β = 2,0, rc = 0,65, De = 0,1, Δ = 1,0, Emv = 0,9, α = 0,8. 166 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО Одержані результати ще раз підтверджують результати, одержані при лінійній аналізі на стійкість, та показують наявність однієї критичної точки. Для аналітичного визначення конкуренції різних упорядкуваль- них механізмів розглянемо найпростіший випадок макроскопічно- го наближення, припускаючи відсутність кореляцій: A(x) ≅ A(η). Таким чином, повний усереднений потік спрощеного рівнання ∂tη = −∇⋅Jtot має вигляд det stoch stoch tot tot D eJ  =   +   +  J J J . (95) Опускаючи кутові дужки (x = x ≡ η) одержимо tot 2 22 2 2 2 3 (96) (0) ( ) . 2 e e e e r r D D C M M C r r M M M ηη ηη ′= =     σ σσ ′= − ∂ ϕ − ∂ + ∇ − ∇η − β − ∇ η           J Множник перед першою просторовою похідною в рівнанні (96) є другою похідною від ефективної вільної енергії: 22 2 2 2 2 ( ) 2 e e r r D M C r r M M ηη ηη ηη ′= σσ ′∂ ψ = ∂ ϕ − ∂ + ∇ − . (97) Рис. 27. Фазова діяграма критичних значень температури θ, коефіцієнта балістичної дифузії De та радіюса кореляції зовнішнього шуму rc. Решта параметрів: 2 1,5 e σ = , Δ = 1,0, Emv = 0,8, α = 0,8. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 167 Після інтеґрування одержуємо вираз 2 4 2 2ef 3 ( ) arctan( ) ln(1 ) 2 4 2 ε λ  ψ η = η + η − σ αη αη − + αη    , (98) де введено перенормовані керувальні параметри: 2 ef bal 42 e e c D D r σε = ε + − π ; 2 4 1 3 6 e e e c D D r α σ αλ = + − π . (99) Аналізуючи вирази (99), можна зробити висновок, що балістичні стрибки призводять до перенормування температури: зростання усередненої інтенсивности балістичних стрибків збільшує темпера- туру θ (ефект стабілізації), а дисперсія таких стрибків 2 e σ знижує θ, що в результаті дестабілізує стан η = 0. Порівняємо одержані результати з результатами, одержаними в теорії середнього поля [10, 94]. Для цього використаємо вільну ене- ргію Бреґґа—Вільямса fBW(с) = ωc(1 − с) + T[cln(с) + (1 − с)ln(1 − с)] та рухливість для моделю Кана—Хілліярда M(c) = Dchemc(1 − с)/T, де Dchem – коефіцієнт хемічної дифузії. Беручи за основу вираз (97), одержимо другу похідну густини ефективної вільної енергії у ви- гляді 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) cc cc BW e e e r rf D T D C r r M c ′=  ′∂ ψ = ∂ + + σ − σ ∇ −   . (100) Таким чином, [ ]ef ( ) (1 ) (1 ) ln( ) (1 ) ln(1 )c c c T c c c cψ = ω − + + Δ + − − . (101) Температурний зсув задається величиною 2 22 ef chem chem chem ( )( ) e e r re D C r rD T D TD D ′=′σ ∇ −σΔ = + − . (102) Для визначення вкладу внутрішнього шуму використаємо вираз (75) з урахуванням того, що Dchem ∝ exp(−Emv/T); тоді 2 chem const TD σ = . (103) Таким чином, внутрішній шум призводить до перенормування тем- ператури T. Для подальшої аналізи скористаємося швидкісною теорією, яка задає еволюцію вакансій (v) та міжвузлових атомів (i) при низькій температурі: 168 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 2 i v dc G Rc c k D c dt α α α= − − (α = i,v), (104) де G – інтенсивність утворення Френкелевих пар, R = 4πlc(Di + Dv)Nv – фактор рекомбінації (lc – радіюс рекомбінації), Dα – коефіцієнт дифузії дефектів сорту α. Для стаціонарного випадку Dici = Dvcv, і маємо cv ≅ [G/(4πlcDvNv)] 1/2 з G = φσr, де, як і раніше, φ – потік опромінення. Реґулярна складова De/Dchem величини Δef зводиться до 0 1/2 2 chem chem ( ) 4 ( , 0) e v r c v v d D c T R l D N D D T φ σ   π≅ φ = σ , (105) де σd – переріз розсіяння (визначає число вакансій, що ґенерують- ся за одиницю дози опромінення) [10]. Таким чином, з урахуванням впливу термічно стимульованої дифузії приходимо до відомого результату [10]: 2 reg chem mvE e T D e D ≅ Δ . (106) Для стохастичної компоненти балістичного перемішування має- мо 2 2( )e e rD Rσ = φσ  δ  . Якщо порівняти кореляційний радіюс з серед- ньою довжиною стрибка rc ≅ R, то одержимо: 2 2 0 1/2 2 2 2 chem chem ( ) ( ) ( ) 4 ( , 0) r r e e v r c v v d C r r D c T R l D N D D T R ′=′∇ − σ φ σ  δ  π≅ σ =   σ . (107) Тоді при термічно стимульованій хемічній дифузії з C(r − r′)r = r′ < 0 одержимо внесок /(2 ) st mvE T e−Δ . З наведених виразів для складових зсуву температури можна зробити висновок, що реґулярна складова балістичного перемішу- вання призводить до росту температури системи, тоді як стохасти- чна частина – зменшує її. Отже, одержуємо конкуренцію реґулярної та стохастичної час- тин балістичної дифузії, яка призводить до 2 ef reg st const ( ) mvE TeΔ = + Δ − Δ . (108) Незважаючи на те, що даний результат був одержаний через пере- нормовані параметри, результати в наближенні середнього поля свідчать, що картина фазових переходів в опромінюваних матерія- лах може бути керована зміною дисперсії атомових стрибків, пов’язаною з дисперсією енергії частинок опромінення і середньою довжиною стрибка, які визначені умовами опромінення. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 169 4.3. ПРОЦЕСИ ВІДБОРУ СТРУКТУР ПРИ СПИНОДАЛЬНОМУ РОЗПАДІ СИСТЕМ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ У попередньому розділі було розглянуто стійкість фаз при розпаді бі- нарних систем в умовах зовнішнього впливу в рамках гіпотези лока- льної рівноваги (у дифузійній границі). Однак, перехідні процеси, які становлять не лише теоретичний інтерес, в суттєво нерівноважних системах, наприклад, за наявности пам’яті, не досліджувалися. Ва- жливо відмітити, що часова скорельованість дифузійного потоку призводить до таких процесів, як відбір структур при спинодальному розпаді на характерних часових інтервалах, які опускаються при ро- згляді повільних (дифузійних) процесів внаслідок миттєвої релакса- ції дифузійних потоків [103]. Однак, такі процеси здебільшого дослі- джені у так званих «безшумових» умовах, де флюктуації вважаються безмежно малими. Окрім того, не вивченими залишаються процеси відбору структур, коли система піддана зовнішньому впливу, що має стохастичну природу, де інтенсивність зовнішніх флюктуацій може набувати великих значень. Тому у даному підрозділі за мету ставить- ся дослідження процесів відбору структур у системах, для яких ефек- ти пам’яті відіграють визначальну роль за наявности зовнішнього фактора, який має як реґулярну, так і флюктуаційну складові. 4.3.1. Відбір структур у моделю з флуктуаціями дифузійного потоку Розглянемо клас бінарних систем, що описуються моделем фазово- го розшарування Кана—Хілліярда—Кука з гіперболічним транспор- том (внаслідок ефектів пам’яті) [95, 96]. Для широкого кола фізич- них систем, віддалених від рівноваги, таких як неньютонові ріди- ни, швидко охолоджені кристалізовані стопи та системи, матеріяли глибоко заморожені в спинодальній області або загалом системи з пам’яттю, гіпотеза локальної рівноваги не спрацьовує [97, 98]. У таких випадках дифузійний потік задається загальним виразом (43) із функцією пам’яті MD(t − t′; τD). У разі миттєвої реакції на збурення (за часовий інтервал τD → 0) функція пам’яті зводиться до MD(t − t′) = δ(t − t′), що дає право вико- ристовувати вираз JD = −M∇δF/δx, справедливий в умовах локаль- ної рівноваги [84, 85, 99—101]. Якщо ефекти пам’яті здатні відігра- вати принципову роль у динаміці відповідних фізичних процесів, то τD ≠ 0. Найпростішим моделем, що враховує таку особливість ре- акції дифузійного потоку, є експоненційна форма для M(t − t′) у ви- гляді MD(t − t′) = (τD) −1exp(−\|t − t′\|/τD). Тоді зміна дифузійного потоку у часі буде задаватися релаксаційним рівнанням. Слід зазначити, що наявність ефектів пам’яті у нерівноважних системах призво- дить до важливого висновку про обмеженість швидкости vD = lD/τD 170 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО поширення збурень поля x, де lD – дифузійна довжина 2. Припускаючи далі, що в реальних умовах завжди існують флюк- туації потоку ξ, замість релаксаційного приходимо до стохастично- го Ланжевенового рівнання у вигляді [ ] ( ) ( ) ( , )D F x M x M x t t x ∂ δτ = − − ∇ + ξ ∂ δ J J r , (109) де проведено узагальнення на випадок мультиплікативного шуму, пов’язаного з залежною від поля рухливістю M(x) (див. (61)). Фун- кціонал вільної енергії приймемо у вигляді (59). Із узагальненого вигляду для потоку випливає, що відповідні флюктуації мають ха- рактеризуватися кореляційною функцією, що співпадає з функці- єю пам’яті. Припустімо, що Ґавсів процес ξ має просторову кореля- ційну функцію Cr(r − r′) = ( 2π λξ) −dexp(−(r − r′)2/2 2 ξλ ), де λξ – радіюс просторових кореляцій флюктуацій дифузійного потоку. У набли- женні λξ, τD → 0 шум ξ стає білим у просторі та часі. Якщо за масштаб часу обрати /1 aE T x D e−τ = ω – час переходу атома з однієї позиції до іншої, де ωD – Дебайова частота, Ea – енергія ак- тивації, T – температура, то у випадку τD′ → 0, де τD′ = τD/τx, прихо- димо до границі миттєвої релаксації дифузійного потоку з vD >> 1 (штрих далі випускаємо). Детальний опис процесів спинодального розшарування у бінарних системах з гіперболічним транспортом наведено у роботі [48]. Далі, визначимо просторовий радіюс коре- ляції флюктуацій λ′ ≡ λξ/lD. В якості величини часу візьмемо час τx необхідний для переміщення частинки з однієї позиції в іншу. За- звичай його знаходять із Арреніюсового закону 1 exp( / )x D aE T−τ = ω , де ωD – Дебайова частота, Ea – енергія активації. Для потоку і шу- му введемо величину vD = lD/τD. Отже, безрозмірні величини: J′ = J/vD, ξ′ = ζ/vD. При подальшому розгляді покладемо D/(vDlD) = 1. Стійкість системи в околі гомогенного стану. Розглянемо поведінку системи на ранніх стадіях розвитку. Для цього проведемо аналізу стійкости однорідного стану (xi(t) = 0). Динамічне рівнання для структурного фактора набирає вигляду: 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 D S t S t k k S t t t d ∂ ∂ β τ + = − −ε + − ∂ ∂   k k k ( ) ( ) ( )0 1 ( ) ( ) 1 ( , ) (2 )d dq M M C S t − + − − α π  k q q , (110) де ( ) 2 ( / !) ( ) n nM n C d= σ τ τ τ – моменти кореляційної функції C(t − t′). 2 Для розмірної величини τD, наприклад, у системі SiO2—12%Na2O, маємо оцінку τD = 10−11 с при коефіцієнті дифузії D ≅ 2,3⋅10−14 см 2/с. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 171 Аналітичне дослідження динаміки структурного фактора на ранніх стадіях можливо провести для шуму, білого у просторі і часі, тобто C(t − t′; r − r′) = Ct(\|t − t′\|/τζ)δ(r − r′). Після деяких перетворів приходимо до динамічного рівнання у формі: 2 2 2 (0) (1) 2 ( , ) 2 ( ) ( , ) 2 D S t k k M M S t t t d  ∂ ∂ β τ + = − −ε + + α + +   ∂ ∂    k k 2 (0) (1) (0) (1) 22 ( ) 2 ( ) ( , ) (2 )d d k M M M M k S t+ + − α + π q q . (111) Розв’язок рівнання (111) шукаємо у вигляді S(k, t) ∝ e −iω(k)t. Підста- вимо його у рівнання (111). Одержимо дисперсійне співвідношення 2( ) 1 1 8 ( ; , ) 2 D D D i wα  ω = − ± − τ σ τ  τ k k , (112) де wα(k; σ2, τD) = k 2\|−ε + βk2/2d + α(M(0) + M (1))\|. Очевидно, що вираз (112) є стохастичним представленням закону дисперсії, зазвичай розглядуваного для чисто детерміністичного випадку [102]. Критичне значення хвильового числа kc, що задає межу для не- стійких мод, одержується як розв’язок рівнання wα(k; σ2, τD) = 0: (0) (1)2 ( )ck d M M = ε − α + β  . У випадку локальної стійкости τD = 1, і маємо: 2 1 ( ) 1 4 ( ; , ) 2D D D D i wατ =  ω = − ± τ σ τ τ k k . (113) При k < kc уявну частину частоти (112) 21 ( ) 1 1 8 ( ; , ) 2 D D D w± α  ℑω = − ± − τ σ τ  τ k k (114) можна використати для пошуку максимальної амплітуди хвильо- вого числа km і фактора підсилення R(k), які входять у розв’язок у вигляді S(k, t) ∝ e R(k)t, R(k) = ℑω+(k). Врахування додаткової умови wα(k; σ2, τD) > 1/(8τD) уможливлює виявити осциляційну поведінку структурного фактора з експоненційним спаданням. Дійсно, з поз- наченням 2( ) 1 8 ( ; , )D Dwαω = − τ σ τk k розв’язок рівнання (111) набу- ває вигляду: ( ) ( , ) exp exp 2 2D D t i k t S t    ω∝ −   τ τ    k , (115) 172 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО де перший множник описує експоненційно спадну амплітуду, а другий відповідає за осциляції. Критичне значення k0 задає межу між модами з осциляціями та простими експоненційно спадними модами, відому як ультрафіолетова границя. Вона відсутня при ро- згляді еволюції, описуваної лінійним параболічним рівнанням. Границю визначено наступним чином: 2 2 (0) (1) (0) (1) 0 1 ( ) ( ) 2 2 D d k M M M M d  β = ε − α + + ε − α + +   β τ  . (116) В чисто детерміністичному випадку (σ2 = 0) результати аналізи рів- нання (116) опубліковано в роботі [103]. На рисунку 28 зображено діяграму з областями експоненційно спадних мод (D) та мод, які спадають з осциляціями (D + O), при рі- зних значеннях інтенсивности шуму σ2. З представленої залежности критичних kc(τD) і біфуркаційних k0(τD) значень можна визначити обраний під час еволюції системи тип нестійкої моди. Зростання τD призводить до вибору системою структур з меншими k0. Якщо збільшується інтенсивність шуму, то осциляції виникають навіть для мод з дуже малим хвильовим чис- лом. Крім того, можна стверджувати, що, якщо в системі відсутні стійкі моди (див. криву для великих σ2 = 0,5), осциляційна поведін- ка структурного фактора S(k, t) можлива для великих τD. Рис. 28. Біфуркаційна діяграма, що ілюструє області з простими спадними модами та модами з осциляціями для різних σ2. Інші параметри: ε = 1,0, β/2d = 1,0, α = 0,5. Позначки «D» і «D + O» означають області параметрів k і τD з експоненційно й осциляційно спаднимимодами відповідно. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 173 Чисельний розв’язок рівнання (110) для фіксованих значень t зо- бражено на рис. 29. З нього видно, що на ранніх стадіях розпаду структурний фактор S(k) має декілька явних піків при τD > 1. Це означає, що при корельованому потоці, структура для однієї фази має розбиття для різних k. Шум призводить до перенормування мак- симального значення хвильового числа km. З ростом інтенсивности шуму σ2 значення km зменшується. Розглянемо вплив просторово ко- рельованої складової шуму на еволюцію системи. Розв’язок рівнан- ня (110) з λ ≠ 0 для фіксованих значень τD зображено на рис. 29. З нього видно, що просторові кореляції флюктуацій потоку при збіль- шенні кореляційного радіюса λ призводять до зниження піку та зме- ншення ширини структурного фактора S(k). Більше того, амплітуда осциляцій для великих k теж зменшується. Отже, просторові коре- ляції шуму прискорюють вибір структур у процесі еволюції системи. Нормований фактор посилення розпаду. Розглянемо зміну поведі- нки фактора підсилення залежно від хвильового числа при переході від параболічного моделю до гіперболічного. Для цього скористає- мося дисперсійними співвідношеннями для обох типів моделів. Ви- значимо величину фактора підсилення ωCHC(km) для моделю Кана— а б Рис. 29. Еволюція структурного фактора (a) при λ = 0, τD = 3 для t = 2, 3, 4, 6 (зверху вниз) і структурний фактор для різних λ при τD = 3 (б). На рисунку б представлено залежності при t = 1 і t = 5. Інші параметри: ε = 1,0, β/2d = 1,0, 2 0,5σ = , α = 0,5. 174 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО Хілліярда—Кука з мультиплікативними флюктуаціями, як норму- вальний фактор з 2m ck k= . Він характеризує незворотнє зрос- тання довжини хвилі декомпозиції. Тоді нормалізований фактор підсилення гіперболічного моделю буде мати наступний вигляд: 2 2 hyp hyp ( ) [ ( ) ( )]CHC mq q q k qω = ω ω , де q = k/kc, а дисперсійне співвід- ношення ωhyp(q) задається виразом ωhyp(q) = ℑ[ω(q)]. Тоді для гіпер- болічного моделю маємо: 2 1 (0) (1) 2 2 * 22 2 (0) (1) 1 8 ( ) (1 ) 1( ) ( ) D D M M q qq q q M M −  + τ β ε − α + − −ω β  = τ  ε − α +  . (117) У такому разі для обох типів моделів виконуються умови: ω(q)/q2 = 0 при q = 1 та ω(q)/q2 = 4 при q = 0. У детермінованому випадку σ2 = 0 параболічного моделю (τD → 0) приходимо до лінійної залежности ω(q)/q2. У стохастичному випадку (σ2 ≠ 0) цей фактор включає часові кореляції шуму, тоді як просторові кореляції не дають внеску до йо- го величини на ранніх стадіях. Розглядаючи хвильові числа k < kc, слід врахувати, що нестійкі моди починають рости, якщо ε > α(M(0) + + M (1)). З виразу (117) випливає, що флюктуації потоку при τD ≠ 0 пригнічують відхил від лінійної залежности ω(q)/q2. Дійсно, зрос- тання інтенсивности шуму σ2 або α спричиняють зменшення множ- ника ε − α(M(0) + M (1)) (рис. 30), тобто залежність ω(q)/q2 у випадку мультиплікативних флюктуацій вироджуються у пряму лінію. Рис. 30. Нормований фактор підсилення при τD = 1 та різних значеннях па- раметра затухання флюктуаційα. Інші параметри: ε = 1,0, β = 1,0, 2 0,5σ = . МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 175 4.3.2. Процеси відбору структур за наявности балістичної дифузії Проаналізуємо процеси відбору структур за наявности балістичної дифузії зі стохастичним потоком Je [104], що задовольняє Фіковому закону: 0 e eD x= − ∇J . Вважаючи, що високоенергетичні бомбардува- льні частинки мають стохастичну природу (характеризуються роз- кидом швидкостей за Максвеллом [62]), очевидним є припущення про стохастичність такого перемішування, тобто можна покласти 0 ( , )e eD D t= + ζ r , де De і ζ(r, t) визначено у попередньому розділі. Таким чином, повна система рівнань, що описує еволюцію випа- дкового поля має вигляд ( ), ,t D e D t D D F x D x x M x δ∂ = −∇ ⋅ + Δ + ∇ ⋅ ζ∇ τ ∂ = − − ∇ + ξ δ J J J (118) де для спрощення розгляду покладемо далі M ≡ const = 1, а функці- онал вільної енергії має вигляд (59) з густиною вільної енергії (60). Інтенсивність шуму ξ термічно стимульованого потоку покладемо рівною безрозмірній температурі σ2 = θ ≡ T/Tc. Рівнання динаміки структурного фактора. Встановимо вигляд рів- нання динаміки Sk(t), записуючи систему (118) у Фур’є-просторі: 2 2 2, ( ) ,D D e D D dx d i k D x k x i k x dt dt = − − − ζ τ = − − ω + ξk k k k k k k k k J kJ J k (119) де ω(k2) = θ − 1 + k 2. Тоді рівнання на структурний фактор Sk = xkx−k набуває вигляду 2 2 2 ( ) D D e dS i x i x k D S k x x x x dt − − − − −= −   +   − − ζ  + ζ k k k k k k k k k k k kk J k J . (120) Відповідні корелятори потоку та поля обчислюються з рівнання 2( )D D D d x x i k S x dt − − −  τ = −  − ω + ξ k k k k k k k J J k . (121) Далі, беручи похідну за часом від рівнання (120) та виражаючи ко- релятор потоку з (120) при застосуванні (121), одержуємо рівнання другого порядку для структурного фактора у вигляді 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2 { ( )} ( ) D D e e d S dS k D dtdt k D k S k x x x x− − − τ = − + τ − − + ω − ζ  + ζ  − k k k k k k k k k 2( ) (D d i x x k x x x x dt − − − − −− ξ  + ξ  − τ ζ  + ζ k k k k k k k k k kk . (122) 176 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО Розкриваючи корелятори за теоремою Новікова, приходимо до шуканого динамічного рівнання: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2D D e e d S dS k D k k D k k S k dt dt τ = − + τ Ξ − Ξ + ω + θ −k k k 2 2 2 22 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 ) e D e d d k D k D dS t d C S t d C dt ′ ′ σ τ σ′ ′ ′ ′− − − − π π  k kk k k k k k , (123) де введено позначення 2 2 2 2 0 ( ) 1 ( ( ) (0) )e rk C r C k=Ξ ≡ + σ ∇ − . Як видно зі структури рівнання (123), воно припускає розв’язок у вигляді ( ) 0 k tS S eϕ− ∝ , де 2 21 2 ( ) ( ) 2 D e D D k k k ± + τ Ξϕ = − ± τ ( ) ( ) 1/2 2 2 2 2 2 21 1 2 ( ) 4 2 ( ) ( ) 2 D e D e D D k k k D k k ± + τ Ξ − τ Ξ + ω  τ (124) також за певних умов може мати дійсну та уявну частини, тобто ϕ(k) = ℜϕ(k) + iℑϕ(k). В теорії спинодального розпаду дійсна частина ℜϕ(k)+ відома як коефіцієнт посилення R(k) = −ℜϕ(k)+, так що ( ) 0 R k tS S e−− ∝ , a уявна частина ℑϕ(k), що виникає лише при τD ≠ 0, відповідає за процеси відбору структур. Стійкість однорідного стану. Дослідимо стійкість неупорядковано- го стану x0 = 0. Для цього розглянемо дійсну та уявну частини фази ϕ(k), яких подано на рис. 31, залежно від зовнішніх умов. У най- простішому випадку відсутности зовнішнього потоку (суцільна лі- нія на рис. 31, а) при двоямній формі вихідної густини вільної енер- а б Рис. 31. Дійсна (а) та уявна (б) частини фази ϕ(k) при зміні параметрів зов- нішнього потоку De та σ2 в околі стану x0 = 0. Криві одержано при: θ = 0,4, τD = 0,5, rc = 0,5. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 177 гії (θ < 1) маємо стандартну картину нестійкости, коли одна з гілок дійсної частини фази (ℜϕ(k)+) стає позитивною в інтервалі 0 ≤ k ≤ kc, де kc обмежує область нестійких мод. Найбільш нестійка мода від- повідає значенню km. При досяганні хвильовим числом значення k = k0 дві гілки дійсної частини фази вироджуються, так що дійсна частина має єдине значення, не залежне від хвильового числа, і ви- значає декремент затухання розв’язків рівнання еволюції структу- рного фактора. При k > k0 виникає уявна частина фази ℑϕ(k) – про- являється хвильова поведінка структурного фактора (рис. 31, б). При включенні детермінованого зовнішнього впливу з De ≠ 0 при σ2 = 0 (штрихова крива) область нестійкости звужується (зменшу- ється значення kc). При цьому також спостерігається зменшення значення хвильового числа k0, вище якого реалізується осциляцій- ний режим. Важливим при цьому є втрата нестійкости, що індуку- ється додатковим перемішуванням. Як видно із виразу для ϕ(k), ко- ефіцієнт De призводить до зростання ефективної температури сис- теми на величину De [10]. Зазначимо, що зовнішні флюктуації (σ2 ≠ 0 при De ≠ 0) (пунктирна крива) призводять до виникнення не- стійкостей, розширення простору нестійких мод та підвищення значення k0. Слід зазначити, що за наявности зовнішнього потоку уявна части- на фази поводиться аналогічно до випадку відсутности потоку (порі- вняйте криві на рис. 31, б). Однак, дійсна частина фази змінює свій характер при виникненні нестійких мод: у разі реалізації лише стій- ких мод (штрихова крива на рис. 31, а) маємо спадаючу криву дійс- ної частини фази при k > k0, тоді як при виникненні нестійкостей на малих k величина ℜϕ(k) зростає. При цьому, значення ℜϕ(k) = 0 реа- лізується при k = kd. Тому у аналітичному розгляді ми обмежуємося вибором значень параметрів системи, задовольняючи умову kd ≤ π. Нормований фактор посилення розпаду. На основі виразу для фази ϕ(k) (або закону дисперсії ω(k) = iϕ(k)) можна встановити характер поведінки нормованого фактора посилення розпаду ℜω(k)/k2. У Ка- новій теорії така залежність є суттєво лінійною. Однак, при спино- дальному розпаді у стеклах, наприклад, Na2OSiO2, спостерігається відхил від Канового лінійного закону [48, 85]. Для пояснення таких нелінійних ефектів було запропоновано провести узагальнення мо- делю Кана—Хілліярда—Кука введенням у розгляд додаткової релак- саційної змінної з незбережною динамікою [105—107], роль якої може відігравати дифузійний потік [78]. У рамках використання гіперболічного моделю такий відхил пояснюється наявністю ефек- тів пам’яті у рамках гіпотези локальної нерівноважности [48]. У даному параграфі встановимо, яким чином зовнішній потік може впливати на такий відхил. Для одержання нормованого фактора посилення необхідно про- вести порівняння дисперсійних співвідношень для параболічного 178 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО моделю Кана—Хілліярда—Кука та запропонованого моделю. Скори- ставшись формалізмом, наведеним у попередньому підрозділі, нор- мованому фактору посилення надамо вигляду ω(q)/q2 = = ω(q)/ωCHC(km)/q2, де дисперсійне співвідношення ω(q) обчислюєть- ся із зв’язку ω(q) = ℜϕ(q)+. Таким чином, для нашого моделю маємо ω(q)/q2 = 4/q2ℜϕ+(q)/ε2. Залежність нормованого фактора посилення на ранніх стадіях наведено на рис. 32. У випадку De = 0 для парабо- лічного та гіперболічного моделів маємо такі граничні значення: ω(q)/q2 = 0 при q = 1 та ω(q)/q2 = 4 при q = 0. У границі τD → 0 (мо- дель Кана—Хілліярда—Кука) приходимо до лінійного закону ω(q)/q2 від q 2 (тонка штрих-пунктирна лінія). При τD = 0,1 прослід- ковується відхил від лінійного закону (суцільна лінія). У випадку τD = 0,1, De ≠ 0, σ2 = 0 атермічне перемішування призводить до лінеа- ризації залежности фактора посилення, внаслідок перенормування ефективної температури (штрихова лінія). Однак, за наявности стохастичного зовнішнього впливу, який призводить до ефектів де- стабілізації, нелінійність на залежности фактора посилення відно- влюється (пунктирна лінія). Таким чином, відхил від лінійного Ка- нового закону можуть бути пригнічені детермінованою компонен- тою атермічного перемішуванням, тоді як його стохастична скла- дова відновлює нерівноважність. Еволюція структурного фактора в околі гомогенного стану. Еволю- цію структурного фактора в околі стану x0 = 0 наведено на рис. 33. З нього видно, що осциляційна поведінка S(k, t) спостерігається як з часом, так і при зміні хвильового числа. Тоді як осциляційна пове- дінка у часі пояснюється видом рівнання для середнього та струк- турного фактора, важливим при цьому є наявність коливань у про- сторі значень хвильового числа. Відомо, що у звичайному параболі- Рис. 32. Нормований фактор посилення на ранніх стадіях при τD = 1,0, rc = 0,5, θ = 0,2. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 179 чному моделю Кана—Хілліярда—Кука (τD = 0) в системі на ранніх стадіях реалізуються нестійкі моди, що у подальшому дають по- штовх розвитку концентраційних хвиль, так що структурний фак- тор має лише один пік залежно від k, який відповідає найбільш не- стійкій моді km. Однак, у гіперболічному моделю (τD ≠ 0), що врахо- вує релаксацію дифузійного потоку, окрім осциляційної поведінки з часом та головного піку на залежності структурного фактора від k можлива присутність супутніх піків, які відповідають за реаліза- цію структур із іншими значеннями хвильового числа. Оскільки амплітуда таких осциляцій за k спадає з часом, то це говорить про відбір структур протягом еволюції фізичної системи, коли реалізу- ються структури з єдиним значенням k = km. Характерно, що в розг- лянутому випадку такі згасні просторово-часові осциляції спостері- гаються при дослідженні системи як в термінах середнього значен- ня стохастичного поля, так і структурного фактора. Загальна часо- ва поведінка відповідного структурного фактора є стандартною: на ранніх стадіях основний пік структурного фактора зміщується в область малих k, тобто відбувається грубшання зерен, його ширина звужується – міжфазні межі стають більш чіткими. Із залежностей структурного фактора від хвильового числа (вста- вки праворуч на рис. 33, б) видно, що на характер відбору структур принципово впливає зовнішня дія. При цьому реґулярна компоне- нта атермічного потоку (De ≠ 0, σ2 = 0) пригнічує процес відбору структур, тоді як стохастична складова σ2 ≠ 0 призводить до поси- лення значень структурного фактора на супутніх піках, сприяючи процесам відбору. Слід зазначити, що конкуренція реґулярної та а б Рис. 33. Динаміка структурного фактора на ранніх стадіях при τD = 1,0, rc = 1,0, θ = 0,9. Параметри системи на графіку S(k, t): а – De = 0,1, σ2 = 0,22; б – залежність S(k) побудовано при t = 2. 180 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО стохастичної складових зовнішнього (атермічного) потоку призво- дить до того, що при великих De основний пік S(k) зменшується, а його ширина збільшується. Це говорить про те, що міжфазні межі стають більш дифузними, що є очевидним, оскільки реґулярна компонента зовнішнього потоку призводить до додаткової дифузії, наслідком якої є розмивання міжфазних меж. Слід також зазначи- ти, що з пониженням θ головний пік структурного фактора зміщу- ється в область великих k, тобто відбувається подрібнення зерен при низьких температурах. Моделювання осциляційної поведінки. Аналітичні розрахунки що- до осциляційної поведінки першого статистичного моменту та стру- ктурного фактора можуть бути підтверджені незалежним чисель- ним моделюванням. Моделювання проводилося з кроком інтеґру- вання δ = 10 −3 при l = 1,0 на ґратниці розміром 128×128. Для підтвер- дження осциляційної поведінки першого статистичного моменту та структурного фактора з часом нами було обчислено еволюцію усере- днених величин. Оскільки розглянута система відноситься до класу систем зі збережною динамікою ( ( , ) constd x t = r r , де в нашому ви- падку const = 0), то вимірюваними в чисельному експерименті були вибрані середні, що відповідають окремо позитивним та негативним значенням поля x, тобто x + та x −. Якщо в системі виникають ос- циляції першого моменту при відхиленні від певного стаціонарного значення, то вони мають бути зображені на залежностях x(t)±. При чисельному моделюванні встановлено, що компоненти x(t)± повного середнього дійсно зростають до свого стаціонарного зна- чення та мають осциляційну поведінку (див. рис. 34, а). При цьому коливання x + та x − відбуваються у протифазі, що призводить до виконання закону збереження. Зображена на рис. 34, а зростаюча часова залежність параметра порядку J(t) (другого статистичного моменту) свідчить про проходження упорядкування в системі, а ві- дповідні осциляції на ній є віддзеркаленням відповідної поведінки структурного фактора у часі. Залежності структурного фактора від хвильового числа представлено на рис. 34, б. З нього видно, що у випадку відсутности додаткового атермічного перемішування атомів (De = 0), яке викликане зовнішнім впливом, залежність S(k) характеризується чітко вираженим основним пі- ком, який відповідає найбільш нестійкій моді (k = km), та коливаль- ним характером спадання при k > km, що свідчить про те, що в сис- темі відбувається процес відбору структур. У випадку існування зо- внішнього потоку (De ≠ 0) стохастичного характеру (σ2 ≠ 0) основний пік структурного фактора зменшується, що говорить про дифуз- ність міжфазних меж, а додаткові коливання структурного фактора відбуваються з меншою амплітудою – процеси відбору структур пригнічуються. Характерно, що з пониженням температури відбу- МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 181 вається подрібнення зерен (зміщення положення основного піку S(k) в область великих k). Одержані при комп’ютерному моделю- ванні залежності структурного фактора якісно підтверджують оде- ржані залежності в аналізі на стійкість. Для встановлення характеру зміни критичних значень основних параметрів системи при зовнішньому впливі у рамках загально ві- домих положень розглядається поведінка вимірюваних статистич- них величин у стаціонарному випадку t → ∞. При цьому інформа- тивними будуть величини ( )limtm x t + →∞+ ≡   та limt J→∞η ≡   , дода- тково усереднені за великим часовим інтервалом (позначка ... ) при t → ∞, коли релаксаційні процеси вже закінчилися. Оскільки η є параметром порядку, усередненим за часом (у припущенні вико- нання ергодичної гіпотези), то доцільно визначити узагальнену сприйнятливість χ у стандартний спосіб 2 2 2 2 ( ) /N J J J−χ =   −     . При цьому в неупорядкованій фазі маємо η = 0, а в упорядкованій η ≠ 0. В околі точки переходу (наприклад при θ; cθ ) зростання флю- ктуацій має призводити до зростання узагальненої сприйнятливос- а б Рис. 34. Еволюція середніх значень поля x +, x − та другого статистичного моменту (параметра порядку) J = x2 при τD = 0,5, rc = 1,0, θ = 0,5, De = 0,5, σ2 = 1,0 (а) та залежності структурного фактора від хвильового числа при τD = 1,0, rc = 1,0 (б). 182 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО ти 2Jχ ∝ δ  , де cθ – критична температура переходу індукованого дією зовнішнього шуму. На рисунку 35, а подано діяграму температурної залежности се- редніх m−, m+ у границі t → ∞. Із неї видно, що при фіксованому зна- ченні інтенсивности шуму σ2 зростання детермінованої частини по- току призводить до пониження критичного значення температури θc. Вставки на рис. 35, а ілюструють типові картини упорядкування при різних значеннях температури. На рисунку 35, б наведено тем- пературні залежності величини m+, параметра порядку η та сприй- нятливости χ при De = 0,5 та σ2 = 0,1. Із них випливає, що зі зростан- ням температури до критичного значення cθ величина m+ та пара- метер порядку η спадають до нуля, де при cθ ≅ θ узагальнена сприйнятливість суттєво зростає. Окрім того видно, що при фіксо- а б в Рис. 35. Типові залежності середнього m−, m+ від температури θ при De = = 0,5, 0,7 (кільця та квадрати) (a), величини m+, параметра порядку η та узагальненої сприйнятливости χ при De = 0,5, σ2 = 0,1 (б), та діяграма упо- рядкування (в) (вставки наведено при De = 0,5, σ2 = 0,1 та θ = 0,3, 0,4); реш- та параметрів: τD = 0,5, rc = 1,0. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 183 ваному De зі зростанням інтенсивности шуму σ2 значення cθ на- ближається до свого середньопольового θс = 1, що визначає зміну модальности густини вільної енергії f(x). Фазову діяграму, що ілю- струє характер впливу двох складових зовнішнього потоку на кар- тину упорядкування, наведено на рис. 35, в. З неї видно, що De при- зводить до пониження критичного значення θс, яке лежить на від- повідних лініях, а зростання σ2 призводить до нестійкости неупо- рядкованого стану на підвищених температурах (збільшення θс). Цей висновок добре узгоджується з аналізою системи на ранніх ста- діях. Також слід зазначити, що в області, близькій до критичної, флюктуації поля x стають великими, а тому структури є розмити- ми, тоді як при відхиленні від θс просторові структури стають чітко вираженими (див. вставки на фазовій діяграмі при De = 0,5, θ = 0,3, 0,4). 5. ВИСНОВКИ Проведено аналізу процесів мікроструктурних перетворень у кон- денсованих системах зі збережною динамікою за наявности терміч- но стимульованого JD та балістичного Je потоків, що мають стохас- тичну природу. Розглянуто розвиток теорії нерівноважних фазових переходів та мікроструктурних перетворень у стохастичних систе- мах, підданих радіяційному впливу. Основуючись на методі фазового поля кристалу Ґранта—Елдера, побудований модель для дослідження поведінки однокомпонент- них систем кристалічного типу в умовах опромінення. При цьому окремо розглянуто випадок, коли швидкість розповсюдження збу- рень є кінцевою величиною, тобто швидкості розповсюдження збу- рень викликаних термічно стимульованим та атермічним потоками різняться. Встановлено конкурентний вплив на процеси структуро- утворення реґулярної та стохастичної компонент потоку опромі- нення, а саме, що реґулярна складова потоку перешкоджає упоря- дкуванню, тоді як стохастична компонента сприяє проходженню атомового упорядкування. Для однокомпонентної кристалічної си- стеми з сумірними та несумірними масштабами розповсюдження збурень, внаслідок сумісної дії опромінення та термічно стимульо- ваного перемішування, флюктуації довжини стрибка вибитих ато- мів призводять до мікроструктурних перетворень з формуванням дисипативних структур з розподілом атомової густини вздовж ато- мових площин. Якщо швидкість розповсюдження збурень є кінце- вою, та різною для кожного з потоків, то, на ранніх стадіях упоряд- кування при опроміненні, у системі відбувається відбір структур. Про це свідчить наявність декількох піків на залежності сферично усередненого структурного фактора. З часом, в системі формуються структури з єдиним періодом, залежним від потоку опромінення, 184 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО середньої довжини стрибка вибитого атома та дисперсії довжин та- ких стрибків. Встановлено, що флюктуації довжин стрибків виби- тих атомів сприяють проходженню процесів відбору структур на ранніх стадіях структуроутворення. Узагальнюючи теорію Кана—Хілліярда—Кука та Мартанів підхід, на випадок впливу опромінення, зроблено опис просторового упо- рядкування на вищому ієрархічному рівні для процесів фазового розшарування бінарних стопів еквіатомового складу. Показано, що в системі реалізується реверсивна картина упорядкування, що є на- слідком конкуренції термічно стимульованої дифузії та балістич- ного перемішування. Показано конкуренцію реґулярної та стохас- тичної компонент балістичного потоку. При розгляді бінарних сис- тем з гіперболічним транспортом, що зазнають спинодального роз- паду, виявлено, що мікроструктурні перетворення таких систем суттєво залежать від часу релаксації термічно стимульованого ди- фузійного потоку і можуть бути контрольовані кореляційними вла- стивостями його флюктуацій та реґулярною і стохастичною компо- нентами потоку опромінення. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. A. Onuki, Phase Transition Dynamics (Cambridge: Cambridge University Press: 2004). 2. В. Н. Воеводин, И. М. Неклюдов, Эволюция структурно-фазового состоя- ния и радиационная стойкость конструкционных материалов (Киев: На- укова думка: 2006). 3. В. Й. Сугаков, Основи синерґетики (Київ: Обереги: 2001). 4. W. Horsthemke and R. Lefever, Noise-Induced Transitions (Berlin: Springer- Verlag: 1984). 5. J. Garcia-Ojalvo and J. M. Sancho, Noise in Spatially Extended Systems (New York: Springer-Verlag: 1999). 6. А. И. Олемской, Д. О. Харченко, Самоорганизация самоподобных стоха- стических систем (Ижевск—Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая ди- намика»: 2007). 7. Дж. Николис, И. Пригожин, Самоорганизация в неравновесных системах (Москва : Мир: 1979). 8. R. Enrique and P. Bellon, Phys. Rev. B, 60: 14649 (1999). 9. J. Ye and P. Bellon, Phys. Rev. B, 70: 094104 (2004). 10. G. Martin, Phys. Rev. B, 30: 1424 (1984). 11. V. G. Vaks and V. V. Kamyshenko, Phys. Lett. A, 177: 269 (1993). 12. S. Matsumara, Y. Tanaka, S. Miller, and C. Abromeit, J. Nucl. Instrum., 239: 42 (1996). 13. R. Enrique and P. Bellon, Appl. Phys. Lett., 78: 4178 (2001). 14. P. Krasnochtchekov, R.S. Averback, and P. Bellon, Phys. Rev. B, 72: 174102 (2005). 15. T. Diaz de la Rubia, R. S. Averback, and H. Hsieh, J. Mater. Res., 4: 579 (1989). 16. T. Diaz de la Rubia, R. S. Averback, R. Benedek, and W. E. King, Phys. Rev. МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 185 Lett., 59: 1930 (1987). 17. R. S. Averback, T. Diaz de la Rubia, and R. Benedek, Nucl. Instrum. Methods, B33: 693 (1988). 18. G. H. Kinchin and R. S. Pease, Rep. Prog. Phys., 18: 1 (1955). 19. R. S. Averback, R. Benedek, K. L. Merkle et al., J. Nucl. Mater., 113: 211 (1983). 20. T. Diaz de la Rubia, A. Caro, and M. Spaczer, Phys. Rev. B, 47: 11483 (1993). 21. S. Siegel, Phys. Rev., 75: 1823 (1949). 22. A. R. Sweedler and D. E. Cox, Phys. Rev. B, 12: 147 (1975). 23. L. R. Aronin, J. Appl. Phys., 25: 344 (1954). 24. G. J. C. Carpenter and E. M. Shulson, J. Num. Mat., 73: 180 (1978). 25. H. L. Glick, F. C. Brooks, W. F. Witzig, and W. E. Johnson, Phys. Rev., 87: 1074 (1952). 26. J. Gilbert, Radiat. Eff., 20: 37 (1973). 27. A. Ali, Phil. Mag. B, 37: 353 (1978); G. Thomas, Scr. Metall., 16: 589 (1982). 28. J. Koike, P. R. Okamoto, and M. Meshii, J. Non-Cryst. Solids, 106: 90 (1988). 29. K. C. Russel, Prog. Mater. Sci., 28, No. 3—4: 229 (1984). 30. F. Foisson and D. Duibisson, Met. Mat. Soc., 981 (1994). 31. H. Yasuda, H. Mori, and J. G. Lee, Phys. Rev. B, 70: 214105 (2004). 32. D. G. Morris, G. T. Brown, R. C. Piller, and R. E. Smallman, Acta Metall., 24: 21 (2008). 33. M. Griffiths, J. Nucl. Mater., 159: 190 (1988). 34. R. A. Enrique, K. Nordlund, R. S. Averback, and P. Bellon, J. Appl. Phys., 93: 2917 (2003). 35. R. A. Enrique and P. Bellon, Phys. Rev. E, 63: 134111(12) (2001). 36. P. K. MacKeown, Stochastic Simulation in Physics (Singapore: Springer- Verlag: 1997). 37. J. S. Langer, Directions in Condensed Matter Physics (Singapore: World Scien- tific: 1986). 38. K. R. Elder, N. Provatas, J. Berry et al., Phys. Rev. B, 75: 064107(14) (2007). 39. J. Berry, K. R. Elder, and M. Grant, Phys. Rev. E, 77: 061506 (2008). 40. A. Jaatinen, C. V. Achim, K. R. Elder, and T. Ala-Nissila, Phys. Rev. E, 80: 031602(10) (2009). 41. K. R. Elder, M. Katakowski, M. Haataja, and M. Grant, Phys. Rev. Lett., 88: 245701 (2002). 42. K. R. Elder and M. Grant, Phys. Rev. E, 70: 051605 (2004). 43. J. Berry, M. Garnt, and K. R. Elder, Phys. Rev. E, 73: 031609 (2006). 44. J. Swift and P. C. Hohenberg, Phys. Rev. A, 15: 319 (1977). 45. B. von Haeften, G. Izús, S. Mangioni et al., arXiv:nlin, 0309029. 46. K. R. Elder, M. Katakowski, M. Haataja, and M. Grant, Phys. Rev. Lett., 88: 245701 (2002). 47. P. Stefanovich, M. Haataja, and N. Provatas, Phys. Rev. Lett., 96: 225504(4) (2006). 48. D. Kharchenko, P. Galenko, and V. Lebedev, Usp. Fiz. Met., 10: 27 (2009). 49. R. A. Enrique and P. Bellon, Phys. Rev. B, 63: 134111 (2001). 50. J. Ye and P. Bellon, Phys. Rev. B, 70: 094104 (2004). 51. V. I. Dubinko, A. V. Tur, and V. V. Yanovsky, Radiat. Eff., 112: 233 (1990). 52. J. Garcia-Ojalvo, A. M. Lacasta, J. M. Sancho, and R. Toral, Europhys. Lett., 42: 125 (1998). 186 Д. O. ХАРЧЕНКО, І. O. ЛИСЕНКО, В. О. ХАРЧЕНКО 53. M. Ibanes, J. Garcia-Ojalvo, R. Toral, and J. M. Sancho, Phys. Rev. E, 60: 3597 (1999). 54. H. Risken, The Fokker—Planck Equation (Berlin: Springer-Verlag: 1984). 55. C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods (Berlin—Heidelberg—New- York—Tokyo: Springer-Verlag: 1985). 56. D. O. Kharchenko, A. V. Dvornichenko, and I. O. Lysenko, Ukr. Phys. Journ., 53: 917 (2008). 57. J. Buceta, M. Ibanes, J. M. Sancho, and K. Lindenberg, Phys. Rev. E, 67: 021113 (2003). 58. K. Wood, J. Buceta, and K. Lindenberg, Phys. Rev. E, 73: 022101 (2006). 59. D. Kharchenko, I. Lysenko, and V. Kharchenko, Physica A, 389: 3356 (2010). 60. U. M. Marconi, A. Puglisi, L. Rondoni, and A. Vulpiani, Phys. Rep., 461: 111 (2008). 61. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика. Том V (Москва: Наука: 1976). 62. A. A. Ponomarov, V. I. Miroshnichenko, and A. G. Ponomarev, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B, 267, Iss. 12—13: 2041 (2009). 63. M. Ibanes, J. Garcia-Ojalvo, R. Toral, and J. M. Sancho, Lecture Notes in Phys- ics, 557: 247 (Eds. J. A. Freund and T. Poschel) (Berlin: Springer-Verlag: 2000). 64. E. A. Новиков, ЖЭТФ, 20: 1290 (1965). 65. К. В. Гардинер, Стохастические методы в естественных науках (Москва: Мир: 1986). 66. Н. Г. Ван Кампен, Стохастические процессы в физике и химии (Москва: Высшая школа: 1990). 67. D. O. Kharchenko and A. V. Dvornichenko, Physica A, 387: 5342 (2008). 68. J. M. R. Parrondo, C. Van der Broeck, J. Buceta, and F. J. de la Rubia, Physica A, 224: 153 (1996). 69. J. D. Gunton, M. San Miguel, and P. S. Sahni, In: Phase Transtions and Critical Phenomena (Eds. C. Domb and J. L. Lebowitz) (New York: Academic Press: 1983). 70. G. Schmitz, J. C. Ewert, F. Harbsmeier et al., Phys. Rev. B, 63: 224113 (2001). 71. J. Ye and P. Bellon, Phys. Rev. B, 70: 094104 (2004). 72. J. Ye and P. Bellon, Phys. Rev. B, 70: 094105 (2004). 73. D. O. Kharchenko and A. V. Dvornichenko, Eur. Phys. J. B, 61: 95 (2008). 74. G. E. P. Box and M. E. Müller, Ann. Math. Stat., 29: 610 (1958). 75. D. O. Kharchenko, V. O. Kharchenko, and I. O. Lysenko, Cent. Eur. J. Phys., 9: 698 (2011). 76. D. D. Joseph and L. Preziosi, Rev. Mod. Phys., 61: 41 (1989). 77. Г. Репке, Неравновесная статистическая механика (Москва: Мир: 1990). 78. D. Jou, J. Casas Vazquez, and G. Lebon, Extended Irreversible Thermodynam- ics (Berlin: Springer-Verlag: 2001). 79. P. Galenko, D. Danilov, and V. Lebedev, Phys. Rev. E, 79: 051110 (2009). 80. J. A. P. Ramos, E. Granato, S. C. Ying et al., Phys. Rev. E, 81: 011121(7) (2010). 81. K.-A. Wu, A. Adland, and A. Karma, Phys. Rev. E, 81: 061601(15) (2010). 82. D. O. Kharchenko, I. O. Lysenko, and S. V. Kokhan, Eur. Phys. J. B, 76: 37 (2010). 83. Д. О. Харченко, І. О. Лисенко, В. О. Харченко, Металлофиз. новейшие МОДЕЛЮВАННЯ МІКРОСТРУКТУРНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ 187 технол., 32, № 6: 783 (2010). 84. A. G. Khachaturyan, Theory of Structural Transformations in Solids (New York: Wiley: 1983). 85. В. П. Скрипов, А. В. Скрипов, УФН, 128: 193 (1979). 86. W. J. Moberly Chan, D. P. Adams, M. J. Aziz et al., MRS Bulletin, 32: 424 (2007). 87. C. L. Emmott and A. J. Bray, Phys. Rev. E, 59: 213 (1999). 88. J. W. Cahn and J. E. Hilliard, J. Chem. Phys., 28: 258 (1958). 89. C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods (Berlin—Heidelberg—New York: Springer-Verlag: 1985). 90. D. O. Kharchenko and I. A. Knyaz’, Eur. Phys. J. B, 32: 375 (2003). 91. A. I. Olemskoi, D. O. Kharchenko, and I. A. Knyaz’, Phys. Rev. E, 71: 041101 (2005). 92. M. Ibanes, J. Garcia-Ojalvo, R. Toral, and J. M. Sancho, Phys. Rev. Lett., 87: 020601 (2001). 93. I. M. Lifshitz and V. V. Slyozov, J. Phys. Chem. Solids, 19: 35 (1961). 94. G. Martin and P. Bellon, Solid State Phys., 50: 189 (1996). 95. P. K. Galenko, D. O. Kharchenko, and I. O. Lysenko, Physica A, 389: 3443 (2010). 96. P. Galenko and D. Jou, Physica A, 388: 3113 (2009). 97. D. Jou, J. Casas-Vazquez, and G. Lebon, Rep. Prog. Phys., 51: 1005 (1988). 98. D. Joseph and L. Preziosi, Rev. Mod. Phys., 61: 41 (1989). 99. J. W. Cahn and J. E. Hilliard, J. Chem. Phys., 28: 258 (1958). 100. J. W. Cahn, Acta Metall., 9: 795 (1961). 101. H. E. Cook, Acta Metall., 18: 297 (1970). 102. P. Galenko and V. Lebedev, Phys. Lett. A, 372: 985 (2008). 103. N. Lecoq, H. Zapolsky, and P. Galenko, Eur. Phys. J. Spec. Top., 177: 165 (2009). 104. Д. О. Харченко, І. О. Лисенко, В. О. Харченко, Укр. фіз. ж., 55: 1226 (2010). 105. K. Binder and P. Fratzl, Phase Transformations in Materials (Eds. G. Kostorz) (Weinheim—New York—Chichester—Brisbane—Singapore—Tokyo: Wiley-VCH: 2001). 106. Y. Yackle and M. Piesoth, Z. Phys. B, 72: 25 (1988). 107. K. Binder, Festkörperprobleme–Advances in Solid State Physics (Eds. P. Gros- se) (Braunschweig: Vieweg: 1986). 108. G. Martin, Phys. Rev. B, 41: 2279 (1990).

Моделювання мікроструктурних перетворень у системах, підданих радіяційному впливу

Репозитарії

Схожі ресурси