Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса

Изложена методология оценивания погрешностей (часть I) и планирования (часть II) параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Она заключается в использовании таких метрологических показателей, как совместные доверительные области и (или) интервалы оценок искомых параметров. Эт...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Authors:	Симбирский, Д.Ф., Епифанов, С.В., Симбирский, Г.Д.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України 2012
Series:	Проблемы машиностроения
Subjects:	Теплопередача в машиностроительных конструкциях
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99041
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса / Д.Ф. Симбирский, С.В. Епифанов, Г.Д. Симбирский // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 14-22. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-99041
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-990412016-04-23T03:01:43Z Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса Симбирский, Д.Ф. Епифанов, С.В. Симбирский, Г.Д. Теплопередача в машиностроительных конструкциях Изложена методология оценивания погрешностей (часть I) и планирования (часть II) параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Она заключается в использовании таких метрологических показателей, как совместные доверительные области и (или) интервалы оценок искомых параметров. Эти показатели зависят от особенностей вектора измеряемых температур объекта и функций их чувствительности к изменению искомых параметров. Викладено методологію оцінювання похибок (частина I) і планування (частина II) параметричної ідентифікації теплопереносу в технічних об'єктах. Вона полягає у використанні таких метрологічних показників, як сумісні довірчі області та (або) інтервали оцінок шуканих параметрів. Ці показники залежать від особливостей вектора вимірюваних температур об'єкта та функцій їх чутливості до змін шуканих параметрів. The article analyses the problem of the heat propagation task solution using parametric identification. Method of errors estimation is considered which is based on determination of the common confidence areas or confidence intervals using sensitivity functions of measured object’s temperatures to estimated parameters. 2012 Article Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса / Д.Ф. Симбирский, С.В. Епифанов, Г.Д. Симбирский // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 14-22. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0131-2928 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99041 536.5.08 ru Проблемы машиностроения Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теплопередача в машиностроительных конструкциях Теплопередача в машиностроительных конструкциях
spellingShingle	Теплопередача в машиностроительных конструкциях Теплопередача в машиностроительных конструкциях Симбирский, Д.Ф. Епифанов, С.В. Симбирский, Г.Д. Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса Проблемы машиностроения
description	Изложена методология оценивания погрешностей (часть I) и планирования (часть II) параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Она заключается в использовании таких метрологических показателей, как совместные доверительные области и (или) интервалы оценок искомых параметров. Эти показатели зависят от особенностей вектора измеряемых температур объекта и функций их чувствительности к изменению искомых параметров.
format	Article
author	Симбирский, Д.Ф. Епифанов, С.В. Симбирский, Г.Д.
author_facet	Симбирский, Д.Ф. Епифанов, С.В. Симбирский, Г.Д.
author_sort	Симбирский, Д.Ф.
title	Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса
title_short	Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса
title_full	Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса
title_fullStr	Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса
title_full_unstemmed	Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса
title_sort	точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. часть 1. точность параметрической идентификации теплопереноса
publisher	Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Теплопередача в машиностроительных конструкциях
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/99041
citation_txt	Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса / Д.Ф. Симбирский, С.В. Епифанов, Г.Д. Симбирский // Проблемы машиностроения. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 14-22. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Проблемы машиностроения
work_keys_str_mv	AT simbirskijdf točnostʹiplanirovanieparametričeskojidentifikaciiteploperenosavtehničeskihobʺektahčastʹ1točnostʹparametričeskojidentifikaciiteploperenosa AT epifanovsv točnostʹiplanirovanieparametričeskojidentifikaciiteploperenosavtehničeskihobʺektahčastʹ1točnostʹparametričeskojidentifikaciiteploperenosa AT simbirskijgd točnostʹiplanirovanieparametričeskojidentifikaciiteploperenosavtehničeskihobʺektahčastʹ1točnostʹparametričeskojidentifikaciiteploperenosa
first_indexed	2025-07-07T07:25:19Z
last_indexed	2025-07-07T07:25:19Z
_version_	1836972108902563840
fulltext	ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 2 14 УДК 536.5.08 Д. Ф. Симбирский, д-р техн. наук С. В. Епифанов, д-р техн. наук Г. Д. Симбирский*, канд. техн. наук Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» (Украина, г. Харьков, e-mail: aedlab@gmail.com) Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет (Украина, г. Харьков, e-mail: simgn27@ukr.net) ТОЧНОСТЬ И ПЛАНИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТАХ Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса Изложена методология оценивания погрешностей (часть I) и планирования (часть II) параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Она заклю- чается в использовании таких метрологических показателей, как совместные довери- тельные области и (или) интервалы оценок искомых параметров. Эти показатели зави- сят от особенностей вектора измеряемых температур объекта и функций их чувст- вительности к изменению искомых параметров. Викладено методологію оцінювання похибок (частина I) і планування (частина II) пара- метричної ідентифікації теплопереносу в технічних об'єктах. Вона полягає у викорис- танні таких метрологічних показників, як сумісні довірчі області та (або) інтервали оцінок шуканих параметрів. Ці показники залежать від особливостей вектора вимірю- ваних температур об'єкта та функцій їх чутливості до змін шуканих параметрів. Введение Обратные задачи теплопроводности (ОЗТ) составляют основу современных инфор- мационных технологий экспериментально-расчетных исследований процессов теплоперено- са в технических объектах (ТО), определяющих их температурное состояние. Интерес к ОЗТ постоянно возрастает, что вызывается как потребностью практики, так и активным развитием методов и средств вычислительной техники. В частности, в теп- лоэнергетике, включая тепловые двигатели, широко применяются методы ОЗТ как при экс- периментальных исследованиях температурного состояния рабочих тел и элементов конст- рукции (ОЗТ диагностики), так и при оптимальном проектировании последних (ОЗТ опти- мизации). При диагностике наиболее распространены граничные ОЗТ, целью которых являет- ся определение локальных тепловых потоков и сопротивлений, коэффициентов теплоотдачи и др. на поверхности ТО. К отдельным классам ОЗТ относятся коэффициентные, целью которых является определение теплофизических характеристик материала, геометрические, а также комбинированные или комплексные, в которых одновременно определяются разно- родные тепловые величины. Необходимо подчеркнуть, что задачи построения (идентифика- ции) математических моделей, адекватно описывающих теплоперенос в ТО, также относятся к ОЗТ. Как указано в фундаментальной монографии [1], наиболее практически эффектив- ным является экстремальный подход к решению ОЗТ, состоящий в минимизации квадратич- ных целевых функционалов. Подход может быть реализован в форме метода параметри- ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 15 ческой идентификации теплопереноса в ТО, который заключается в получении на основе экспериментальных данных оптимальных оценок Θ̂ некоторого вектора Θ искомых пара- метров теплопереноса, входящего в его математическую модель. Одни из первых случаев успешного применения этого метода для решений различных ОЗТ приведены в работах [2–7], а информацию о характере и перспективах его использования в различных отраслях науки и техники можно найти в представительном обзоре [8]. Известно, что ОЗТ относятся к некорректно поставленным задачам математиче- ской физики, которым свойственна возможность неустойчивости решений. Поэтому вопро- сы достоверности и точности получаемых решений, в частности, методом параметрической идентификации имеют первостепенное значение. В технической литературе [6, 7, 9–11] подчеркивается, что параметрическая иденти- фикация теплопереноса является наиболее сложной разновидностью косвенных измерений, в которых в качестве уравнений измерения выступают математические модели теплоперено- са в ТО. Это обстоятельство в соответствии с требованиями к средствам и методам измере- ний также приводит к необходимости установления количественных показателей точно- сти решений ОЗТ. 1. Постановка задачи Проблемы точности результатов параметрической идентификации различных дина- мических объектов в отдаленной от специфики ОЗТ общей постановке традиционно рас- сматриваются в работах по теории чувствительности динамических систем, например в мо- нографии [12]. Известны исследования, посвященные вопросам оптимального планирования па- раметрической идентификации как экстремального метода решения ОЗТ. Методология такого планирования в завершенном виде изложена, в частности, в монографии [1]. В ее ос- нову положены исследования особенностей информационной матрицы Фишера Φ, состав- ленной из функций чувствительности измеряемых температур ТО к идентифицируемым па- раметрам, которые отражают значимые факторы постановки ОЗТ. Добиваясь априори жела- тельных свойств матрицы Φ путем выбора этих факторов, можно осуществить оптимальное планирование процедуры, включая организацию обычно сложного многопланового экспе- римента. При этом используются различные показатели уровня обусловленности матрицы Φ, в частности: степень ее обусловленности, выраженная через собственные числа Φ, норма \|\|Φ–1\|\|, детерминант или след матрицы Φ и т. п. К сожалению, этот метод не всегда пригоден, например, для ОЗТ диагностики, в которых ставится задача определения одного или не- скольких особо интересуемых параметров из общего числа искомых. Для случая сплайн-идентификации тепловых потоков в [7] был предложен, а за- тем развит в [13] оригинальный подход к планированию, который основан на исследованиях показателя степени некорректности постановки ОЗТ, связанного с формой квадратич- ной функции качества (невязки) вблизи решения задачи. Он заслуживает, на наш взгляд, дальнейшего практического развития. В работах [6, 7, 9–11] предложен подход к оцениванию точности результатов и пла- нирования параметрической идентификации, основанный на анализе особенностей матрицы Грама функций чувствительности, которая является аналогом Φ. При этом имеется возмож- ность рассмотрения вопросов точности по каждому искомому параметру раздельно. В дальнейшем представителями научных школ Национального аэрокосмического университета им. Н. Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт» в области ОЗТ и обратных задач (ОЗ) диагностики газовоздушного тракта авиационных ГТД на основе изло- женного в [14], а также в других фундаментальных монографиях по анализу процессов ста- тистическими методами было предложено в качестве показателей точности параметриче- ской идентификации использовать совместные доверительные области (СДО) получае- мых решений [9, 15–17]. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 2 16 Кроме того, в работах [15–17] был предложен, а в [16] использован для ОЗТ прибли- женный показатель точности – совместные доверительные интервалы (СДИ) оценок пара- метров, определяемый как проекции СДО на оси многомерного пространства оцениваемых параметров. При этом было показано, что СДИ являются доступными для практики показа- телями, особенно эффективными для случаев со значительным количеством искомых пара- метров. Однако до настоящего времени указанная методология, по нашему мнению, недоста- точно используется при постановках и решениях ОЗТ, что, возможно, связано с ограничен- ностью ее представления в технической литературе. Задачи настоящей публикации: 1. Последовательно изложить методологию оценивания точности результатов и пла- нирования параметрической идентификации, использующую СДО или СДИ оценок иско- мых параметров; 2. В качестве иллюстрации особенностей применения указанной методологии вы- полнить планирование параметрической идентификации теплопереноса в одномерных гра- диентных приемниках (датчиках) плотности тепловых потоков. 2. СДО и СДИ при оценивании точности результатов параметрической идентификации теплопереноса в ТО 2.1. Экстремальная постановка ОЗТ и метод наименьших квадратов Рассмотрим основные положения метода параметрической идентификации теплопе- реноса в ТО с целью получения указанных выше показателей точности. 2.1.1. Будем предполагать, что имеется адекватная математическая модель теп- лопереноса в ТО (далее – модель), позволяющая для моментов времени τk = k·Δτ (k = 1, 2, …, n) рассчитывать значения температур tzk в z = 1, 2, …, l точках, составляющие (l×1)-вектор [ ]lzzkk t 1==T температурного состояния ТО. Будем также предполагать, что в модели теплопереноса можно выделить (r×1)- вектор r jj 1]θ[ ==Θ искомых параметров теплопереноса. Его составляющие θj должны быть либо постоянными, либо допускать аппроксимацию на основе известных функций времени с постоянными неизвестными (искомыми) коэффициентами, т. е. с соблюдением условия Θ = const. Процедуру выделения Θ в модели теплопереноса будем называть параметри- зацией ОЗТ. 2.1.2. Принимаем, что в эксперименте измеряются температуры в m ≤ l точках ТО или их линейные комбинации, составляющие (m×1)-вектор измерения [ ]miikk y 1==Y , связь ко- торого с вектором Tk описывается моделью измерений Yk = С Tk + εk. (1) Здесь С – (l×m)-матрица измерений, а [ ]miikk 1=ε=ε – (m×1)-вектор случайных погрешностей или шумов в измерениях. Известно, что шум в измерениях является одним из факторов, способных вызывать неустойчивость решения ОЗТ. Поэтому учет его влияния на этапах постановки и решений ОЗТ представляется обязательным. При этом будем использовать общепринятое для темпе- ратурных измерений допущение, что составляющие εik вектора εk в модели (1) являются нормально распределенными случайными величинами с нулевыми математическими ожи- даниями, одинаковой дисперсией σ2 и некоррелированными между собой. Такое допущение представляется вполне оправданным при однородных измерениях температур, выполняемых с помощью одних и тех же первичных и регистрирующих преобразователей. Это позволя- ет представить основную характеристику случайного вектора εk – его ковариационную (m×m)-матрицу R – в виде R = σ2 I, (2) ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 17 где I – единичная (m× m)-матрица. Будем также полагать, что по модели теплопереноса в ТО можно рассчитывать прогнозы (аналоги) [ ]mikik y 1)()(ˆ == ΘΘY вектора измерений Yk в зависимости от вектора ис- комых параметров Θ при ε = 0. 2.1.3. В таком случае параметрическая идентификация заключается в определе- нии оптимальных оценок Θ̂ вектора Θ по n значениям вектора измерений Yk в модели (1) и модели теплопереноса в ТО. Для этих целей наиболее распространенным методом является минимизация по Θ следующей квадратичной функции невязки [1, 14]: [ ] [ ])(ˆ)(ˆ)( 1 1 T ΘYYRΘYYΘФ kk n k kk −−= − = ∑ . (3) Таким образом, параметрическая идентификация теплопереноса в ТО может быть сведена к хорошо изученному в математической и технической литературе обобщенному методу наименьших квадратов (МНК) [14]. Его достоинством является то, что он не тре- бует априорных знаний о статистических свойствах начальных оценок 0Θ̂ , дает несмещен- ные оценки Θ̂ и обеспечивает минимальную дисперсию оценок в случае, если модель ли- нейна, а шум измерений распределен по нормальному закону. В [1] показано, что при минимизации функции невязки (3) не исключена возмож- ность получения неустойчивых решений. Эта проблема является одной из основных в тео- рии ОЗТ и выходит за пределы настоящего исследования. Поэтому будем предполагать, что с помощью минимизирующих процедур могут быть получены устойчивые оптимальные или близкие к ним оценки Θ̂ , погрешности которых могут быть оценены в рамках теории МНК. 2.2. Решение линейных ОЗТ на основе МНК В случае, когда имеет место линейная зависимость )(ˆ ΘYk от вектора искомых пара- метров Θ, можно воспользоваться следующим известным решением линейного МНК для оценок Θ̂ и ковариационной (m×m)-матрицы P ошибок этих оценок [2]: k n k kY YR Θ PΘ Θ 1 ˆ1 T ˆ − = ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = r ; (4) 1 ˆ 1 ˆ1 1 T − − = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ == ∑ ΘΘ Θ YR Θ YAP rk n k k . (5) Если ковариационная матрица шума R удовлетворяет условию (2), то решение (4)– (5) преобразуется к виду k n k k YHPΘ ∑ =σ = 1 2 Т1 ˆ ; (6) 1 1 212 T − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ σ=σ= ∑ k n k k HHAP , (7) где ΘΘ YH ˆ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ = k k – (m×r)-матрица функций чувствительности j ik ijk yu θ∂ ∂ = составляющих yik вектора измерений к искомым параметрам θj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, r; k = 1, 2, …, n), рассчитанная для значений Θ̂ в k-й момент времени; ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑ = k n k k HHA 1 T – (r×r)-матрица Гра- ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 2 18 ма функций чувствительности ui1k, ui2k, uirk (она же – информационная матрица Фишера). Матрицу функций чувствительности Hk можно записать в форме Θ H ˆ21 22221 11211 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = mrkkmkm rkkk rkkk k uuu uuu uuu K KKKK K K . (8) Тогда матрица Грама A в соответствии с (6)–(8) может быть представлена в виде ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ = == = = == = rrr r n k m i irk n k m i kiirk n k m i irkki n k m i ki aa aa uuu uuu ... ......... ... ... ......... ... 1 111 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 A . (9) В теории линейного МНК показано [14], что при принятых допущениях (2) о векторе шума εk оценки Θ̂ являются оптимальными – несмещенными, эффективными, достаточ- ными и состоятельными. Обратную матрицу Грама A–1, которую можно получить из (9) с помощью стандарт- ной вычислительной процедуры, будем использовать в виде ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 1 * 1 * 11 1 ... ......... ... rrr r aa aa A . (10) Прямая A и обратная A–1 матрицы Грама являются основой для построения СДО и СДИ. 2.3. СДО оценок искомых параметров Под СДО принято понимать [14] квадратичную форму B)ˆ()ˆ( 2 00 T σ=−− ΘΘAΘΘ (11) в пространстве искомых параметров Θ, описывающую в окрестности полученных оце- нок Θ̂ r-мерный эллипсоид, который с доверительной вероятностью ν содержит ис- тинные значения Θ0 вектора Θ. В (11) B = rFν(r, n – r), где Fν(r, n – r) – табличные значения квантиля распределения Фишера для r параметров и n измерений на участке оценивания. 2.3.1. Рассмотрим несколько возможных случаев построения СДО по известным матрице Грама A и значениям σ2B для проведенного эксперимента. В наиболее наглядном случае двух оцениваемых параметров (r = 2), обозначив ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ=− 2 1 0 θ̂ θ̂Θ̂Θ , где 11,01 θ̂θθ̂Δ −= и 22,02 θ̂θθ̂Δ −= , получим из (11) следующее уравнение, которое описыва- ет эллипс СДО в пространстве погрешностей 1θ̂Δ и 2θ̂Δ с центром в точке 0θ̂Δθ̂Δ 21 == : 22 2222112 2 111 Bσ)θ̂(θ̂θ̂2)θ̂( =Δ+ΔΔ+Δ aaa . (12) Для построения эллипса можно воспользоваться одним из двух уравнений, которые следуют из (12): ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 19 11 22 22211 2 212212 2,11 ]Bσ)θ̂([)θ̂(θ̂ )θ̂( a aaaa −Δ−Δ±Δ− =Δ ; (13) 22 22 11122 2 112112 2,12 ]Bσ)θ̂([)θ̂(θ̂ )θ̂( a aaaa −Δ−Δ±Δ− =Δ . (14) Например, подставляя в уравнение (14) одну координату 1θ̂Δ , получаем по две коор- динаты 2,12 )θ̂(Δ для двух точек эллипса и так далее. Вид СДО для случая r = 2 приведен на рис. 1. В случае одного (r = 1) оцениваемого параметра θ1, если ввести обозначение 10,11 θ̂θθ̂ −=Δ , то СДО вырождается до отрезка прямой линии, ограниченного значениями 1θ̂Δ± . Последние определяются из уравнения )1,1(Fσ)θ̂( 2 1 1 2 1 2 1 −=Δ ν = = ∑∑ nu n k m i ki , которое следует из (11) с учетом (9). В случае трех и более оцениваемых параметров (r ≥ 3) для исследования свойств СДО, имеющих форму многомерного эллипсоида, необходимо прибегнуть к достаточно сложному каноническому анализу квадратичной формы (12). Так как оцениваемые параметры θj могут быть разнородными и существенно разно- великими физическими величинами, то для удобного представления СДО желательно ис- пользовать относительные значения параметров j j θ̂ θ θ = и погрешностей j j j θ̂ θ θ Δ =δ (за ис- ключением случаев 0θ̂ →j ). 2.4. СДИ оценок искомых параметров Для случая большой размерности вектора Θ (r > 2) использование СДО в форме (11) сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Поэтому в [15, 17] в качестве показателя погрешности решений ОЗТ были для каждого j-го искомого параметра θj (j = 1, 2, …, r) введены СДИ - проекции СДО на соответ- ствующие j-е координатные оси r- мерного пространства θj, что экви- валентно замене эллиптической СДО (11) на описанный вокруг нее парал- лелепипед. 2.4.1. Вначале остановимся на рассмотренном выше случае двух искомых параметров (r = 2), для которого на рис. 1 показано взаимное расположение СДО и СДИ оценок. Из рисунка следует, что СДИ сравни- тельно с СДО является приближен- ным и более консервативным показа- телем погрешности решения ОЗТ – с большей площадью (в случае r ≥ 2 – объемом) рассеивания оценок. 1 2 3 1' 2' 3' 0 2θ̂Δ 1θ̂Δ 2θ̂Δ− 1θ̂ 1θ 2θ̂ ,%ˆ 1θΔ− 2θ Рис. 1. Эллиптические СДО (1-3) и описанные вокруг них прямоугольные области (1′-3′) оценок, образо- ваннные двумя парами граничных значений СДИ для трех вариантов решения ОЗТ различной точности ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 2 20 При этом для построения прямоугольной области СДИ, например 1', описанной во- круг эллипса 1, использовались две пары вертикальных и горизонтальных СДИ с гранич- ными значениями ±Δθ* 1 и ±Δθ* 2 соответственно, которые определяются из уравнений (13) и (14) при равенстве нулю корней квадратных в их правых частях. Тогда путем приравнивания нулю соответствующих подкоренных выражений можно получить для указанных граничных значений СДИ следующие формулы: A Ba det θ 22* 1 σ±=Δ (15) и A Ba det θ 11* 2 σ±=Δ , (16) где 2 122211Adet aaa −= . Как указано в п. 2.3, полученные результаты целесообразно представлять в виде от- носительных границ СДИ, а именно j * j* j θ̂ θ θ Δ ±=δ , (j = 1, 2). (17) 2.4.2. В [15–17] было предложено несколько способов определения граничных зна- чений θ jΔ СДИ для оценок искомых параметров jθ (j = 1, 2, …, r). Из них, по нашему опы- ту, следует рекомендовать полученную в [16] для ОЗТ следующую зависимость, исполь- зующую диагональные элементы jja обратной матрицы Грамма (10): ),(FσBσθ ** rnrraa νjjjj * j −±=±=Δ , (18) Заметим, что формулы (15) и (16) на основе известных соотношений * 2211 Adet/ aa = и * 1122 Adet/ aa = между элементами прямой и обратной матрицы Грама второго порядка при- водятся к виду (18). Зависимость (18) также целесообразно использовать применительно к относитель- ным границам СДИ, а именно ( )r,n-rra νjj j F θ̂ σ θ̂ θ θ * j * j* j ⋅±= Δ ±=δ . (19) 2.5. Приближенный метод оценивания точности результатов параметрической идентификации для нелинейных ОЗ В монографии [14] предложен подход к построению приближенных СДО для нели- нейных относительно искомых параметров квадратичных функций невязки типа (3). В его основе лежит допущение, что имеется метод минимизации (3) с целью получения оценок Θ̂ , близких «истинному» значению Θ0. Это допущение требует подтверждения путем ими- тационного моделирования решений контрольных ОЗ или ОЗТ указанным методом для ре- альных условий. При подтвержденной близости Θ̂ к Θ0 приближенные СДО и СДИ оценок Θ̂ могут быть получены путем линеаризации вблизи Θ̂ прогноза вектора измерений Yk(Θ), входяще- го в функцию (3) невязки МНК. Тогда в линеаризованной области ковариационная матрица Р определяется по формуле (7) для значений Θ̂ , а приближенные СДО и СДИ – по приве- денным выше формулам (12)-(19) для линейных задач. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2012, Т. 15, № 2 21 Отметим, что справедливость и эффективность этого подхода подтверждены на практике в работах [15–17], где во многих случаях рассматривались нелинейные ОЗТ и ОЗ диагностики. Выводы 1. Изложена методология оценивания погрешностей параметрической идентифика- ции теплопереноса в ТО на основе таких метрологических показателей точности, как СДО и (или) СДИ. 2. В формулах (18) и (19) для СДИ можно выделить две мультипликативные состав- ляющие погрешности. Одна из них – * jja – пропорциональна соответствующим диаго- нальным элементам обратной матрицы Грама и связана со степенью устойчивости решений ОЗТ. Вторая составляющая – jθ̂ σ – определяется уровнем шума в измерениях σ, а третья – ( )rr,nr ν −F – зависит от количества искомых параметров r и измерений n, используемых при решениях ОЗТ, а также от уровня достоверности ν решения. В следующей части публикации будут рассмотрены вопросы планирования парамет- рической идентификации теплопереноса в ТО как метода постановки и решения соответст- вующих ОЗТ. Литература 1. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем: Учеб. пособие / О. М. Алифанов, П. Н. Вабищевич, В. В. Михайлов и др. – М.: Логос, 2001. – 400 с. 2. Приложение теории оптимальной фильтрации к задачам оценки состояния и идентификации гра- ничных условий одномерных тепловых систем / Д. Ф. Симбирский, Э. Г. Чайка, А. В. Дабагян, Л. И. Жильцова // Экспериментальные методы термопрочности газотурбинных двигателей: Сб. науч. тр. Авиац. ин-та. – Вып. 1. – Харьков, 1973. – С. 86–105. 3. Симбирский Д. Ф. Оптимальные оценки в тепловых измерениях / Д. Ф. Симбирский // Инж.-физ. журн. – 1975. – Т. 28, № 2. – С. 240–248. 4. Симбирский Д. Ф. Идентификация нестационарного нелинейного теплового объекта с применени- ем фильтра Калмана / Д. Ф. Симбирский, С. В. Гольцов // Автометрия. – 1975. – № 1. – С. 36–42. 5. Симбирский Д. Ф. Измерение тепловых потоков одномерными термоприемниками с применением фильтра Калмана и сплайн-аппроксимации / Д. Ф. Симбирский, Е. Н. Бут // Экспериментальные методы термопрочности газотурбинных двигателей: Сб. науч. тр. Авиац. ин-та. – Вып. 2. – Харь- ков, 1975. – С. 33–43. 6. Симбирский Д. Ф. Температурная диагностика двигателей (пленочная термометрия и оптимальные оценки) / Д. Ф. Симбирский. – Киев: Техника, 1976. – 208 с. 7. Бут Е. Н. Сплайн–идентификация тепловых потоков: Автореф. дис. … канд. техн. наук. – Л., 1979. – 20 с. 8. Параметрическая и функциональная идентификация тепловых процессов / Ю. М. Мацевитый, Н. В. Гайшун, В. Т. Борухов, А. О. Костиков // Пробл. машиностроения. – 2011. – Т. 14, № 3. – С. 40–47. 9. Симбирский Д. Ф. Метрология косвенных измерений / Д. Ф. Симбирский // Измерит. техника. – 1983. – № 1. – С. 12–14. 10. Симбирский Д. Ф. Оптимальный синтез измерительных систем, использующих алгоритмы обрат- ных задач / Д. Ф. Симбирский, А. В. Олейник, С. В. Епифанов// Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии.: Тез. докл. 5-го всесоюз. симп. – Новосибирск, 1989. – С. 136–137. 11. Симбирский Д. Ф. Оптимальное планирование экспериментально-расчетного определения тепло- проводности твердых тел / Д. Ф. Симбирский, А. Б. Гулей // Инж.-физ. журн. – 1980. – Т. 46, № 5. – С. 733–737. 12. Розенвассер Е. Н. Чувствительность систем управления / Е. Н. Розенвассер, Р. М. Юсупов. – М.: Наука, 1981. – 464 с. 13. Мацевитый Ю. М. Сплайн-идентификация теплофизических процес-сов / Ю. М. Мацевитый, Е. Н. Бут. – Киев: Наук. думка, 2010. – 240 с. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2015, Т. 15, № 2 22 14. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами / Д. Химмельблау. – М.: Мир, 1973. – 957 с. 15. Епифанов С. В. Оптимальный выбор измеряемых параметров при идентификации ГТД / С. В. Епифанов, Д. Ф. Симбирский, С. А. Каплун / Изв. вузов. Авиац. техника. – 1989. – № 4. – С. 39–43; 1990. – № 1. – С. 57–62; 1990. – № 2. – С. 72–78. 16. Макаренко Г. В. Оптимизация систем параметрической идентификации теплопереноса в элемен- тах теплоэнергетических установок: Автореф. дис. … канд. техн. наук. – Харьков, 1992. – 16 с. 17. Синтез систем управления и диагностирования газотурбинных двигателей / С. В. Епифанов, Б. И. Кузнецов, И. М. Богаенко и др. – Киев: Техника, 1998. – 312 с. Поступила в редакцию 01.06.12

Точность и планирование параметрической идентификации теплопереноса в технических объектах. Часть 1. Точность параметрической идентификации теплопереноса

Institution

Similar Items