Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації
Algorithms are presented for solving the problems of the fuzzy regression analysis under the conditions when the input and output variables are represented by Fuzzy-sets defined up to unknown parameters and the regression coefficients are real numbers. We proposed several new approximations of crite...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2017
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/101833 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334280872460288 |
|---|---|
| author | Zack, Yuriy A. |
| author_facet | Zack, Yuriy A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Yuriy A. Zack",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Zack, Yuriy A. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:25:34Z |
| description | Algorithms are presented for solving the problems of the fuzzy regression analysis under the conditions when the input and output variables are represented by Fuzzy-sets defined up to unknown parameters and the regression coefficients are real numbers. We proposed several new approximations of criteria based on the comparison of the convolution of the cross sections lengths and the center of gravity coordinates of membership functions of the Fuzzy-sets, which can be used for the fuzzy set variables of the problem of a general form. The algorithms convert a variable represented by linguistic terms of variable parameters or numerical scales into fuzzy sets and use these data in the problems of the Fuzzy-regression analysis. The results will allow to solve many practical problems in economics, logistics, sociology, and marketing. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.07 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:20:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.А. Зак, 2017
88 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1
УДК 519.24
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.07
FUZZY-РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ В УСЛОВИЯХ
НАЛИЧИЯ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ВЫБОРКЕ
НЕЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ
Ю.А. ЗАК
Аннотация. Рассмотрены алгоритмы решения задач нечеткого регрессионного
анализа в условиях, когда входные и выходная переменные представлены
Fuzzy-множествами, определенными с точностью до неизвестных параметров,
а коэффициенты регрессии — действительные числа. Предложены некоторые
новые критерии аппроксимации, основанные на сравнении свертки длин сече-
ний и координат центров тяжести функций принадлежности Fuzzy-множеств,
которые могут быть использованы для нечетких множеств переменных задачи
общего вида. Описаны алгоритмы преобразования переменных, представ-
ленных термами лингвистической переменной или параметрами числовых
шкал, в нечеткие множества и использования этих данных в задачах Fuzzy-
регрессионного анализа. Полученные результаты позволят решать многие
прикладные проблемы в экономике, логистике, социологии и маркетинге.
Ключевые слова: Fuzzy-регрессионного анализ, нечисловая статистика, лин-
гвистические переменные, параметры числовых шкал, Fuzzy-множества, кри-
терии аппроксимации, метод наименьших квадратов.
ВВЕДЕНИЕ
В эконометрике, маркетинговых и социалогических исследованиях при по-
строении математических моделей широко используется аппарат мате-
матической статистики и построения регрессионных моделей [1]. Широкое
распространение здесь получили методы нечисловой статистики. В эко-
номике доля нечисловых данных существенно больше, чем в технике и тех-
нологии, и неопределенность приходится описывать в терминах теории не-
четкости или математики и статистики интервальных данных.
В ситуациях, когда многие входные факторы модели могут быть пред-
ставлены лишь булевыми, лингвистическими или нечеткими данными, ли-
бо некорыми градациями числовых шкал, в качестве альтернативных под-
ходов могут использоваться методы Fuzzy-регрессионного анализа. Ре-
зультатом расчета на основе математических моделей Fuzzy-регрессион-
ного анализа является некоторое нечеткое множество с функцией при-
надлежности непрерывного вида, которое определяет диапазон возможных
значений выходной переменной и оценку (некоторый аналог вероятности)
получения этого значения в пределах данного диапазона.
СОСТОЯНИЕ РАЗРАБОТОК В ОБЛАСТИ FUZZY-РЕГРЕССИОННОГО
АНАЛИЗА
Математическим моделям и алгоритмам решения задач Fuzzy-регрессион-
ного анализа посвящено большое количество пубикаций. Функции регрес-
Fuzzy-регрессионные модели в условиях наличия в статистической выборке …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 89
сии в общем случае, когда входные, выходная переменные и коэффициенты
модели — нечеткие множества, рассмотрены в работах Ю.П. Зайченко [2, 3,
5, 20], где предложены методы решения таких задач алгоритмами нечеткого
МГУА. В работах С.Д. Штовбы [8] , Х. Танака (1982 г.) [10, 11], как и
в статьях [13–15] и многих других публикациях, также рассмотрена модель
линейной регрессии с нечетким коэффициентами. В работах [10, 11] для оп-
ределения значений этих коэффициентов, минимизирующих суммарную
средневзвешенную размытость параметров функции принадлежности и рас-
сматриваемую в различных метриках, предложены методы линейного про-
граммирования. В 1987 г. A. Cелминс и П. Даймонд [14], а также Янг и Лиу
в 2003 г. [19] предложили методику построения моделей нечеткой регрес-
сии, основанной на методе наименьших квадратов [13–15, 18, 19]. Для по-
строения критериев аппроксимации (целевой функции нечеткой идентифи-
кации) использовались различные метрики, среди которых наибольшее
распространение получили показатели α -сечений нечетких множеств.
В ряде случаев сформулированная оптимизационная задача становится не-
линейной и многоэкстремальной. Для решения ее применялись градиент-
ные, поисковые методы и генетические алгоритмы (см., например, [15]). Ро-
бастые регрессионные модели представлены в работах [9, 17, 18]. Решения
для частных случаев функции принадлежности треугольного типа рассмот-
рены в работах [4, 10–15, 17–19]. Формулирование и решение задачи нечет-
кого регрессионного анализа в виде многокритериальной задачи линейного
программирования описаны в статье [4]. Решение задачи нечеткого регрес-
сионного анализа представлено в условиях, когда входные и выходная пе-
ременные — Fuzzy-множества, а коэффициенты регрессии — действитель-
ные числа. Свободный член уравнения регрессии — нечеткое множество.
Рассмотрены некоторые новые критерии аппроксимации, основанные на
сравнении свертки длин сечений и координат центров тяжести функций
принадлежности Fuzzy-множеств. Разработаны детерминированные эквива-
ленты сформулированных задач и алгоритмы расчета параметров критериев
аппроксимации, т.е. детерминированных значений коэффициентов уравне-
ния регрессии и свободного члена, представленного Fuzzy-множеством, оп-
ределенным с точностью до неизвестных параметров. Предложены крите-
рии адекватности Fuzzy-регрессионных моделей. Хотя рассматриваемая
постановка является частным случаем моделей [2, 3, 5, 20], полученные
в работе и перечисленные результаты имеют большое прикладное значение
и позволят решить многие прикладные проблемы в экономике, логистике,
социологии и маркетинге.
ПОСТАНОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается следующая постановка задачи Fuzzy-регрессионного ана-
лиза. Пусть матрица наблюдений (XY) , каждая строка которой — комплект
входной и выходной информации, представлена нечеткими множествами.
Таблица исходных данных содержит N комплектов экспериментаьных
данных (строк). Необходимо найти нечеткую линейную регрессиионную
модель вида
02211 ...... aXaXaXaXaY nnjj +⊗++⊗++⊗+⊗= , (1)
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 90
где nj XXXX ...,,...,,, 21
v
; 0a — некоторые нечеткие множества с заданными
функциями принадлежности (в частном случае некоторые из них — дейст-
вительные числа), а коэффициенты модели nj aaaa ...,,...,,, 21 — некоторые
действительные числа.
Отрицательное влияние некоторых входных факторов на выходную пе-
ременную можно представить также в виде соотношения (1), заменив их
сопряженными Fuzzy-числами. Причем в Fuzzy-регрессионных моделях
знаки этих коэффициентов в результате расчетов не поменяются.
Ограничимся рассмотрением треугольных и трапецевидных функций
принадлежности LR -представления, где ),,( iii m μλ и ),,,( 21
iiii mm μλ — со-
ответственно параметры этой функции принадлежности. Рассмотрим мате-
матические модели этой задачи в случае, когда Fuzzy-множества входных и
выходных переменных представлены треугольными функциями принад-
лежности. Центральные точки функций принадлежности )( ijXμ и )( iYμ соот-
ветственно входных ijX и выходных переменных iY этих Fuzzy-множеств
обозначим соответственно ijm и im , левые крайние точки — ijλ , iλ , а пра-
вые крайние точки — ijγ и iγ , где nj ,...,1= , Ni ,...,1= .
Критерий качества аппроксимации — минимум средневзвешенной
суммы квадратов отклонений расчетных параметров выходной переменной
по Fuzzy-регрессионной модели от их фактических значений:
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+λ−λη+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−η=Φ ∑ ∑∑ ∑
= == =
N
i
n
j
ijji
N
i
n
j
ijji aaamam
1
2
1
02
1
2
1
011
.min
1
2
1
03 →
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+γ−γη+ ∑ ∑
= =
N
i
n
j
ijji aa (2)
В случае трапецевидных функций принадлежности входных ijX и вы-
ходных переменных iY обозначим соответственно 1
ijm , 2
ijm и 1
im , 2
im , ле-
вые крайние точки — ijλ , iλ , а правые крайние точки — ijγ и iγ , где
nj ,...,1= , Ni ,...,1= . Критерий аппроксимации в этом случае имеет вид
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−η+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−η=Φ ∑ ∑∑ ∑
= == =
N
i
n
j
ijji
N
i
n
j
ijji amamamam
1
2
1
0
22
2
1
2
1
0
11
12
.min
1
2
1
04
1
2
1
03 →
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+γ−γη+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+λ−λη+ ∑ ∑∑ ∑
= == =
N
i
n
j
ijji
N
i
n
j
ijji aaaa (3)
В уравнениях (2), (3) 321 ,, ηηη или 4321 ,,, ηηηη , где 10 ≤η< r ,
4,3,2,1=r — весовые коэффициенты, определяющие важность значения
каждого из параметров, причем в выражении (2) 1321 =η+η+η , а в выра-
жении (3) — 14321 =η+η+η+η .
Fuzzy-регрессионные модели в условиях наличия в статистической выборке …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 91
Координата абсцисс центра тяжести нечеткого множества вычисляется
по формуле
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
μ
μ
=
ijiji
ijijiij
ij
XdX
XdXX
XG
)(
)(
)( ;
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
μ
μ
=
ii
iii
i
YdY
YdYY
YG
)(
)(
)( ,
nj ,...,1= ; Ni ,...,1= ,
которая для функций принадлежности треугольного типа имеет вид
)(
3
1)( ijijijij mXG γ++λ= ; )(
3
1)( iiiij mYG γ++λ= , nj ,...,1= ; Ni ,...,1= ;
∑ ∑
= =
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅−=Φ
N
i
ij
n
j
ji aXGaYG
1
2
0
1
3 )()(
min)()(
1
2
0
1
→=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+γ++λ−γ++λ=∑ ∑
= =
N
i
ijijij
n
j
jiii amam . (4)
Выражение (4) представим в виде ∑ ∑
= =
→
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−=Φ
N
i
ij
n
j
ji azaY
1
2
0
1
4 min ,
где для треугольных и трапецевидных функций принадлежности значения
ijz nj ,...,1= ; Ni ,...,1= , вычисляются соответственно по формулам:
∑
=
β−−γ++β−λ−−ω=
P
p
pijijijpijijijpij mmmmz
1
)]}1()([)]1()({[5,0 ,
∑
=
β−−γ++β−λ−−ω=
P
p
pijijijpijijijpij mmmmz
1
2211 )]}1()([)]1()({[5,0 ,
где 10 ≤ω≤ p , Pp ,...,1= — весовые коэффициенты, удовлетворяющие со-
отношению 1
1
=ω∑
=
P
p
p ; 0,10 ≤β≤ p , Pp ,...,1= — значения функции принад-
лежности в различных сечениях.
Критерий аппроксимации (4) является частным случаем критерия ап-
проксимации (2).
АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ FUZZY-РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Необходимыми и достаточными условиями достижения локального мини-
мума значения критериев 1Φ и 2Φ является система линейных уравнений
вида
0
0
=
Φ
da
d p , 0=
Φ
j
p
da
d
, 4,3,2,1=p ; nj ,...,1= . (5)
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 92
Вычислив частные производные по каждому из оптимизируемых пара-
метров, после некоторых алгебраических преобразований получаем, напри-
мер, для критерия (3) следующую систему линейных алгебраических урав-
нений для определения значений коэффициентов nj aaaa ,...,,...,, 21 —
k
n
j
jkj Baa =+β∑
=
0
1
, nk ,...,1= .
Как и в классических методах регрессионного анализа, перейдем к
нормированным показателям. Вычислим
∑
=
=
N
i
ijj z
N
zM
1
1)( , ∑ ∑
= =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=σ
N
i
N
i
jijj zMz
N
z
1
2
1
2 )(
1
1)( , nj ,...,1= ; (6)
∑
=
=
N
i
iY
N
YM
1
1)( , ∑ ∑
= =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=σ
N
i
N
i
ii YMY
N
Y
1
2
1
2 )(
1
1)( ; (7)
⋅
σσ
−−
=ρ
∑
=
)()(
)]([)]([1
1
jk
N
i
jjkk
kj zz
zMzzMz
N , nkj ,...,1, = , jk ≠ ;
1=ρkk ;
)()(
)]([)]([1
),( 1
Yz
YMYzMz
Nzy
k
N
i
ikki
k σ⋅σ
−−
=ρ
∑
= , nk ,...,1= ,
и перейдем к решению следующей системы n линейных алгебраических
уравнений относительно переменных jδ , nj ,...,1= :
),(
1
k
n
j
jkj zyρ=δρ∑
=
, nk ,...,1= .
Вычислив значения коэффициентов jδ , nj ,...,1= , определим значения
коэффициентов ja , nj ,...,1= , в нормальном масштабе измерения по фор-
мулам
)(
)(
j
jj z
Ya
σ
σ
⋅δ= , nj ,...,1= .
Значение свободного члена уравнения нечеткой регрессии 0a в виде
нечеткого множества 0A , определенного с точностью до неизвестных пара-
метров, который для критериев 1Φ – 3Φ не обязательно должен совпадать с
видом нечетких множеств выходной переменной, вычисляется по приведен-
ным ниже формулам.
Рассмотрим в качестве примеров следующий случай.
Параметры нечеткого множества треугольного вида
)( 00 Aλ=λ , )( 00 Aγ=γ и )( 0Amm = (или )( 0
1
0
1
0 Amm = и )( 0
2
0
2
0 Amm = )
определяются в результате мнимизации одного из следующих критериев:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−η= ∑ ∑
= =γλ
N
i
n
j
ijjim
mmamF
1
2
1
01),,(1
000
min
Fuzzy-регрессионные модели в условиях наличия в статистической выборке …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 93
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ+γ−γη+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ+λ−λη+ ∑ ∑∑ ∑
= == =
N
i
n
j
ijji
N
i
n
j
ijji aa
1
2
1
03
1
2
1
02 ;
=2F
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ+γ−γ⋅η+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ+λ−λη+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−⋅η+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−η
=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
= == =
= == =
γλ N
i
n
j
ijji
N
i
n
j
ijji
N
i
n
j
ijjij
N
i
n
j
ijjij
mm
aa
mmammmam
1
2
1
04
1
2
1
03
1
2
1
2
0
22
2
1
2
1
1
0
11
1
),,,( 0
2
0
1
00
min ;
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
γλ+−= ∑ ∑
= =γλ
N
i
ij
n
j
jim
mzzaYF
1
2
0000
1),,(3 ),,(min
000
,
где значения ijz и iY вычисляются соответственно по формулам соответст-
венно (5) или (6) и (7), а ),,( 0000 γλ mz или ),,,( 0
2
0
1
000 γλ mmz определяется
в виде
=γλ ),,( 0000 mz
∑
=
β−−γ++β−λ−+ω=
P
p
ppp mmmm
1
000000 )]}1()([)]1()({[5,0 (8)
или
=γλ ),,,( 0
2
0
1
000 mmz
∑
=
β−−γ++β−λ−+ω=
P
p
ppp mmmm
1
2
00
2
00
1
0
1
0 )]}1()([)]1()({[5,0 . (9)
Кроме того, могут использоваться критерии аппроксимации
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
γ++λ+γ++λ−γ++λ= ∑ ∑
= =γλ
N
i
ijijij
n
j
jiii
m
mmamF
1
2
000
1),,(
4 )()()(min
000
(10)
или
×=
γλ ),,,(
4
0
2
0
1
00
min
mm
F
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
γ+++λ+γ++λ−γ++λ× ∑ ∑
= =
N
i
ijijij
n
j
jiii mmmam
1
2
0
2
0
1
00
1
)()()( . (11)
Решение каждой из оптимизационных задач (8)–(11) может быть полу-
чено решением системы линейных алгебраических уравнений, полученной
аналогично (5).
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 94
ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ FUZZY-РЕГРЕССИОНОЙ МОДЕЛИ
Результат расчета выходных показателей на основе нечеткой регрессионной
модели — Fuzzy-множество треугольного или трапецевидного типа. В каче-
стве детерминированного эквивалента прогнозируемой величины может
быть принята координата абсцисс центра тяжести нечеткого множества, по-
лученного в результате расчета по Fuzzy-регрессионой модели.
Как оценки качества прогнозирования на основе нечеткой регрессион-
ной модели могут рассматриваться следующие два показателя:
• среднеквадратическое значение суммы отклонений фактической ко-
ординаты абсцисс центра тяжести нечеткого множества выходной перемен-
ной )( ф
iYG от соответствующего значения, расчитанного по Fuzzy-
регрессионной математической модели нечеткого множества )( р
iYG :
2
1
)]()([
1
1 ∑
=
Φ−
−
=σ
N
i
i
р
i YGYG
N
;
• среднеквадратическое значение суммы отклонений расчетного и
фактического значений функций принадлежности одних и тех же значений
выходной переменной:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
β=μ−β=μ+
+β=μ−β=μ
−
=Δ
∑∑
∑∑
= =
Φ−
= =
Φ−
N
i
T
t
t
i
t
i
tp
i
t
i
t
i
t
i
t
N
i
T
t
t
i
t
i
tp
i
t
i
t
i
t
i
t
YYYYw
YYYYw
N
1 1
2,,,
1 1
2,,,
}])(|{})(|[{
}])(|{})(|[{
1
1 .
Здесь
})(|{ ,, t
i
t
i
t
i YY β=μ−Φ и })(|{ ,, t
i
t
i
t
i YY β=μ+Φ — соответственно t -е факти-
ческое минимальное и максимальное значение выходной величины в i -м
комплекте контрольной выборки статистических данных, соответствующие
значению t
i
t
i Y β=μ )( ;
})(|{ ,, t
i
t
i
tp
i YY β=μ− и })(|{ ,, t
i
t
i
tp
i YY β=μ+ — соответственно t -е мни-
мальное и максимальное значение выходной величины в i -м комплекте
контрольной выборки статистических данных, соответствующие значению
t
i
t
i Y β=μ )( и рассчитанные по уравнению Fuzzy-регрессионного анализа;
10 , << −tw , и 10 , << +tw , Tt ,...,1= — значения весовых коэффициен-
тов, определяющих степень важности учета каждого из значений отклоне-
ний, причем 1)(
1
,, =+∑
=
+−
T
t
tt ww .
Значения })(|{ , t
i
t
i
t
i YY β=μ− и })(|{ , t
i
t
i
t
i YY β=μ+ определяются по фор-
мулам:
• для треугольных функций принадлежности
=β=μ −− })(|{ ,, tt
ii
t
i YY
Fuzzy-регрессионные модели в условиях наличия в статистической выборке …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 1 95
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>λ−λ−β+λ
γ+≥λ−≤
=
−−
−−−−−
−−−−−−
,)(и
,)()(если,)]()([)(
,)()(или)()(если,0
,,
,,,,,
,,,,,,
t
ii
t
i
t
i
t
ii
t
ii
t
ii
t
ii
tt
ii
i
t
i
t
ii
t
ii
t
i
t
ii
t
i
YmY
YYYmYYmY
YYmYYYmY
• для трапецевидных функций принадлежности
=β=μ −+ })(|{ ,, tt
ii
t
i YY
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>−−+
+≥−≤
=
−−
−++−−−
++−−++
.)(и
,)()(если,)]()([)(
,),()(или)()(если,0
,,
,,,,,,
,,,,,,
t
ii
t
i
t
i
t
ii
t
ii
t
ii
t
ii
tt
ii
t
i
t
ii
t
ii
t
i
t
ii
t
i
YmY
YYYmYmYY
YYmYYYmY
γγβγ
γλ
С достаточной для практических приложений точностью в большин-
стве случаев могут использоваться построенные Fuzzy-регрессионные мо-
дели для прогнозирования значения переменной составляющей затрат, если
справедливы следующие показатели их адекватности:
∑
=
ΦΦ −
−
ϑ≤σ
N
i
ii YGMYG
N 1
2)}]({)([
1
1 ,
где )(1)}({
1
∑
=
ΦΦ =
N
i
ii YG
N
YGM , а 1,0≤ϑ , либо Δ≤Ψϑ , где
∑∑
= =
+Φ+Φ+−Φ−Φ− −+−
−
=Ψ
N
i
T
t
t
ii
tt
ii
t YYMwYYMw
N 1 1
2,,,,2,,,, }])([])([{
1
1 ,
∑
=
−Φ−Φ =
N
i
t
i
t
i Y
N
YM
1
,,,, 1)( , ∑
=
+Φ+Φ =
N
i
t
i
t
i Y
N
YM
1
,,,, 1)( .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В условиях, когда в статистической выборке некоторые или все входные и
выходная переменные представлены нечисловой информацией (булевы,
лингвистические переменные, данные числовых шкал, нечеткие множества
и т.п.), использование Fuzzy-регрессионных моделей является эффектив-
ной альтернативой получения количественных зависимостей, установлен-
ных экспертами качественных закономерностей изучаемых явлений.
В отличие от традиционных регрессионных зависимостей в Fuzzy-
регрессионных моделях рассчитанное значение выходной переменной пред-
ставлено в виде некоторого диапазона возможных значений с оценкой веса
каждого из этих значений в пределах этого диапазона. Это позволит в ряде
случаев более объективно оценить риск принимаемых решений на основе
полученных результатов расчета.
Предложенные в работе ранее не описанные в литературе критерии ап-
проксимации, алгоритмы построения нечетких регрессионных моделей и
методов преобразования многих видов нечисловой информации в действи-
тельное число или нечеткое множество, а также использование этой инфор-
мации в вычислительных схемах расчета детерминированных коэффициен-
Ю.А. Зак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 1 96
тов уравнения регрессии расширят область применения полученных резуль-
татов в экономике, социологии, маркетинге и других приложениях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Расин Дж. Непараметрическая эконометрика: вводный курс / Расин Дж. //
Квантиль. — 2008. — № 4. — С. 7–56.
2. Зайченко Ю.П. Нечеткий метод групового учета аргументов при неопределен-
ных входных данных / Ю.П. Зайченко // Системні дослідження та
інформаційні технології. — 2007. — № 3. — С. 100–112.
3. Зайченко Ю.П. Нечеткие модели и методы в интеллектуальных системах /
Ю.П. Зайченко. — К.: Изд. Дом « Слово», 2008. — 354 с.
4. Зак Ю.А. Математические модели прогнозирования затрат времени и стоимо-
сти перевозки грузов / Ю.А. Зак // Логистика сегодня, Grebennikov. — 2015.
— № 1. — С. 162–172.
5. Згуровский М. Модели и методы принятия решений в нечетких условиях /
М. Згуровский, Ю. Зайченко. — К.: Наук. думка, 2013. — 275 с.
6. Зак Ю.А. Принятие решений в условиях размытых и нечетких данных /
Ю.А. Зак // URSS, М., 2013. — 352 c.
7. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем / Н.Г. Ярушкина.
— М.: Финансы и статистика, 2004. — 320 с.
8. Штовба С.Д. Нечеткая идентифификация на основе регрессионных моделей
параметрической функции принадлежности / С.Д. Штовба // Проблемы
управления и информатики. — 2006. — № 6. — С.1–8.
9. Грицюк В.И. Нечеткий робастный регрессионный анализ для нечетких входных
и выходных данных / В.И. Грицюк // Технологический аудит и резервы
производства. — 2015. — № 6. — С. 4–8.
10. Tanaka H. Linear regression analysis with fuzzy model / H. Tanaka, S. Uejima,
K. Asai // IEEE Trans. Systems Man Cybernet. — 1982. — 12, N 6. —
P. 903–907.
11. Tanaka H. Possibilistic linear system and their application to the linear regression
model / H. Tanaka, J. Warada // Fuzzy Sets and Systems. — 1988. —N 27. —
P. 275–289.
12. Diamond P. Fuzzy least squares / P. Diamond // Information Sciences. — 1988. —
N 46. — P. 141–157.
13. Celmins A. Least Squares model fitting to fuzzy vector data / A. Celmins // Fuzzy
Sets and System. — 1987. — Vol. 22. — P. 260–269.
14. Diamond P. Least squares fitting of several Fuzzy variables / P. Diamond // Proceed-
ings of Second IFSA Congress. — Tokyo, 1987. — P. 20–25.
15. Aliev R. Genetic algorithms-based fuzzy regression analysis / R. Aliev, B. Fazlol-
lahi, R. Vahidov // Soft Computing. — 2002. — N 6. — P. 470–475.
16. Papadopoulos B. Similarities and distances in fuzzy regression modeling / B. Papa-
dopoulos, M. Sirpi // Soft Computing. — 2004. — № 8. — P. 556–561.
17. D-Urso P. Robust fuzzy regression analysis / P. D-Urso, R. Massan, A. Santoro //
Informations Sciences. — 2011. — Vol. 181. — P. 1154–1174.
18. Rousseeuw P. Applying robust regression to insurance / P. Rousseeuw // Insurance:
Mathematics and Economics. — 1984. — Vol. 3, N 1. — P. 67–72.
19. Yang M-S. Fuzzy Least Squares algorithms for Interactive fuzzy linear regression
models / M-S. Yang, H.H. Liu // Fuzzy Sets and Systems. — 2003. — Vol. 135,
N 2. — Р. 305–316.
20. Zaychenko Yu. The Fuzzy group method of data handling and Its Application for
Economical Processes forecasting / Yu. Zaychenko // Scientific Inquiry. — 2006.
— Vol. 7, N 1. — Р. 83–98.
Поступила 16.06.2016
|
| id | journaliasakpiua-article-101833 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:20:58Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/86/82fdf70f5875d418e3bb33713e90a386.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1018332018-03-30T15:25:34Z Fuzzy-regression models under conditions of the presence of non-numeric data in the statistical sample Fuzzy-регрессионные модели в условиях наличия в статистической виборке нечисловой информации Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації Zack, Yuriy A. Fuzzy-regression analysis non-numeric statistics linguistic variable parameters numerical scales Fuzzy-sets approximation criteria method of least squares Fuzzy-регрессионный анализ нечисловая статистика лингвистические переменные параметры числовых шкал Fuzzy-множества критерии аппроксимации метод наименьших квадратов Fuzzy-регресійний аналіз нечислова статистика лінгвістичні змінні параметри числових шкал Fuzzy-безлічі критерії апроксимації метод найменших квадратів Algorithms are presented for solving the problems of the fuzzy regression analysis under the conditions when the input and output variables are represented by Fuzzy-sets defined up to unknown parameters and the regression coefficients are real numbers. We proposed several new approximations of criteria based on the comparison of the convolution of the cross sections lengths and the center of gravity coordinates of membership functions of the Fuzzy-sets, which can be used for the fuzzy set variables of the problem of a general form. The algorithms convert a variable represented by linguistic terms of variable parameters or numerical scales into fuzzy sets and use these data in the problems of the Fuzzy-regression analysis. The results will allow to solve many practical problems in economics, logistics, sociology, and marketing. Рассмотрены алгоритмы решения задач нечеткого регрессионного анализа в условиях, когда входные и выходная переменные представлены Fuzzy-множествами, определенными с точностью до неизвестных параметров, а коэффициенты регрессии — действительные числа. Предложены некоторые новые критерии аппроксимации, основанные на сравнении свертки длин сечений и координат центров тяжести функций принадлежности Fuzzy-множеств, которые могут быть использованы для нечетких множеств переменных задачи общего вида. Описаны алгоритмы преобразования переменных, представленных термами лингвистической переменной или параметрами числовых шкал, в нечеткие множества и использования этих данных в задачах Fuzzy-регрессионного анализа. Полученные результаты позволят решать многие прикладные проблемы в экономике, логистике, социологии и маркетинге. Розглянуто алгоритми розв’язання задач нечіткого регресійного аналізу в умовах, коли вхідні і вихідна змінні величини подані Fuzzy-множинами, визначеними з точністю до невідомих параметрів, а коефіцієнти регресії — дійсні числа. Запропоновано деякі нові критерії апроксимації, засновані на порівнянні згортки довжин перетинів і координат центрів тяжіння функцій належності Fuzzy-множин, які можуть бути використані для нечітких множин змінних задач загального вигляду. Описано алгоритми перетворення змінних, поданих термами лінгвістичної змінної або параметрами числових шкал, у нечіткі множини і використання цих даних в задачах Fuzzy-регресійного аналізу. Отримані результати дозволять вирішувати багато прикладних проблем в економіці, логістиці, соціології та маркетингу. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-03-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/101833 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.1.07 System research and information technologies; No. 1 (2017); 88-96 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2017); 88-96 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2017); 88-96 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/101833/97036 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Fuzzy-регресійний аналіз нечислова статистика лінгвістичні змінні параметри числових шкал Fuzzy-безлічі критерії апроксимації метод найменших квадратів Zack, Yuriy A. Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації |
| title | Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації |
| title_alt | Fuzzy-regression models under conditions of the presence of non-numeric data in the statistical sample Fuzzy-регрессионные модели в условиях наличия в статистической виборке нечисловой информации |
| title_full | Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації |
| title_fullStr | Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації |
| title_full_unstemmed | Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації |
| title_short | Fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації |
| title_sort | fuzzy-регресійні моделі в умовах наявності в статистичній вибірці нечислової інформації |
| topic | Fuzzy-регресійний аналіз нечислова статистика лінгвістичні змінні параметри числових шкал Fuzzy-безлічі критерії апроксимації метод найменших квадратів |
| topic_facet | Fuzzy-regression analysis non-numeric statistics linguistic variable parameters numerical scales Fuzzy-sets approximation criteria method of least squares Fuzzy-регрессионный анализ нечисловая статистика лингвистические переменные параметры числовых шкал Fuzzy-множества критерии аппроксимации метод наименьших квадратов Fuzzy-регресійний аналіз нечислова статистика лінгвістичні змінні параметри числових шкал Fuzzy-безлічі критерії апроксимації метод найменших квадратів |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/101833 |
| work_keys_str_mv | AT zackyuriya fuzzyregressionmodelsunderconditionsofthepresenceofnonnumericdatainthestatisticalsample AT zackyuriya fuzzyregressionnyemodelivusloviâhnaličiâvstatističeskojviborkenečislovojinformacii AT zackyuriya fuzzyregresíjnímodelívumovahnaâvnostívstatističníjvibírcínečislovoíínformacíí |