Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
The approach to the determination of the periodic solutions of the quasilinear differential equation of second order is proposed. The approach is based on the determination of the influence for function for the differential operator, defined on the functions, which satisfy the periodic boundary cond...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2011
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106419 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334285383434240 |
|---|---|
| author | Bokhonov, Ju. Е. |
| author_facet | Bokhonov, Ju. Е. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ju. Е. Bokhonov",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bokhonov, Ju. Е. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:06:23Z |
| description | The approach to the determination of the periodic solutions of the quasilinear differential equation of second order is proposed. The approach is based on the determination of the influence for function for the differential operator, defined on the functions, which satisfy the periodic boundary conditions. The necessary and sufficient conditions of the existence of the periodic equation solutions are given. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:21:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.Є. Бохонов, 2011
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 133
TIДC
НОВІ МЕТОДИ
В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ
ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 517.94
ПРО ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ КВАЗІЛІНІЙНОГО
ЗВИЧАЙНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ
ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Ю.Є. БОХОНОВ
Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків квазілінійного
диференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові
функції Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях,
які задовольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та
достатні умови існування періодичних розв’язків рівняння.
ВСТУП
Для знаходження періодичних розв’язків нелінійного диференціального рів-
няння другого порядку і взагалі систем диференціальних рівнянь широко
застосовують чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка, який викладе-
но в роботах [1]–[4]. При цьому рівняння другого порядку зводилось до сис-
теми рівнянь першого порядку. Автором цієї статті було розроблено влас-
ний підхід, який не потребує зведення нелінійного рівняння другого
порядку до системи першого порядку [5]. У цій роботі зазначений метод за-
стосовується до квазілінійних рівнянь. Будується функція Гріна періодичної
крайової задачі, яка в цьому випадку має більш зручний вигляд, ніж у [5].
Наводяться оцінки для констант Ліпшиця та необхідні і достатні умови для
початкового наближення в методі послідовних наближень, що забезпечують
існування періодичного розв’язку.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай функція ),,( yxtf неперервна на ],[],[),( bbaaD −×−×∞−∞= , періо-
дична по t з періодом .T Позначимо
),,(max yxtfM
D
= . (1)
Від функції ),,( yxtf будемо вимагати, щоб вона по yx, задовольняла
умові Ліпшиця
2112102211 ),,(),,( yyKxxKyxtfyxtf −+−≤− . (2)
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 134
Знаходження періодичних розв’язків диференціального рівняння
),,(2 xxtfxx =+ω , (3)
де Z2
∉
Tω
π еквівалентне розв’язанню крайової задачі
)()0(),()0( TxxTxx == (4)
для рівняння (3).
ПОБУДОВА ФУНКЦІЇ ГРІНА
Розглянемо диференціальний оператор )()()()( 2
2
2
tx
dt
txdtLx ω+= у гільберто-
вому просторі ),0(2 TLH = , область визначення якого — це функції, що
мають абсолютно неперервну першу похідну та задовольняють крайовим
умовам (4). Як відомо, такий оператор є самоспряженим. Задача знаходжен-
ня періодичних розв’язків зводиться до задачі обернення оператора L . Лег-
ко бачити, що цей оператор має обернений, оскільки 0=λ не є його влас-
ним числом.
Нехай x — розв’язок задачі (3)–(4). Інтегруючи обидві частини (3),
враховуючи умови (4), будемо мати
∫∫
TT
dxxfdx
00
2 ))(),(,()( ττττττω
або
( ) 0)())(),(,(
0
2 =−∫
T
dxxxf ττωτττ . (5)
Побудуємо оператор, обернений до L у просторі 2 (0, )H L T= .
Для побудови вказаного оберненого оператора будемо використовува-
ти модифікацію методики з [6].
Візьмемо фундаментальну систему
ω
ωω ttxttx sin)(,cos)( 21 ≡≡ розв’яз-
ків рівняння 0=x , які задовольняють умові ji
j
ix ,
)1( )0( δ=− )2,1;2,1( == ji ,
де ji,δ — функція Кронекера. Нехай Hh∈ , яка задовольняє умові (5). Роз-
глянувши рівняння ),()()( thtxL = знайдемо обернений оператор .1−L Тоді
функція )()()( 1 thLtx −= буде задовольняти цьому рівнянню та крайовим
умовам (4). Покажемо, що оператор 1−L інтегральний і знайдемо його ядро
),( τtG — функцію Гріна цього оператора. Застосовуючи метод варіації до-
вільних сталих, після стандартних дій знаходимо: ∫=
T
dhtGtx
0
)(),()( τττ , де
функція Гріна:
⎢
⎣
⎡
≤≤≤
≤≤≤
=
.0,sincos
;0,cossin1),(
Ttt
Ttt
tG
τωτω
τωτω
ω
τ (6)
Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 135
Звідси знаходимо: ,)(),()(
0
∫ ′=′
T
t dhtGtx τττ де
⎢
⎣
⎡
≤≤≤−
≤≤≤
=′
.0,sinsin
;0,coscos
),(
Ttt
Ttt
tGt τωτω
τωτω
τ (7)
Отже, розв’язок крайової задачі для рівняння (3) та його похідну можна
подати у вигляді:
,))(),(,(),()(
0
∫=
T
dxxftGtx τττττ (8)
.))(),(,(),()(
0
∫ ′=
T
t dxxftGtx τττττ (9)
Система (8)–(9) розв’язується методом послідовних наближень. Якщо
процес збігається, одержуємо розв’язок ),,( 0xtx ϕ= де 0x — початкове на-
ближення, який при підстановці в (8)–(9) перетворює його в тотожність. Для
того, щоб цей розв’язок був також розв’язком (3), очевидно, що необхідно і
разом із виконанням умов (4) достатньо, щоб виконувалась умова
( )2
0 0 0
0
( , ( , ), ( , )) ( , ) 0,
T
f x x x dξ ϕ ξ ϕ ξ ω ϕ ξ ξ− =∫ (10)
тобто, щоб число 0x було коренем цього рівняння.
Перепишемо систему (8)–(9) згідно з (6)–(7) та знайдемо умову збіж-
ності ітераційного процесу під час її розв’язання:
⎜
⎜
⎝
⎛
+= ∫ ττττωτω
ω
dxxfttx
t
))(),(,(cossin1)(
0
⎟
⎟
⎠
⎞
+ ∫ ττττωτω dxxft
T
t
))(),(,(sincos , (11)
−=′ ∫ ττττωτω dxxfttx
t
))(),(,(coscos)(
0
.))(),(,(sinsin ττττωτω dxxft
T
t
∫− (12)
Введемо в просторі 2R «псевдонорму»: ( )2121 ,),( xxxx = , а та-
кож для вектор-функції ))(),(( 21 txtx : ( )
⎜
⎜
⎝
⎛
==
∈
,)(max,),(
],0[
12121
Tt
txxxxx
⎟
⎟
⎠
⎞
∈ ],0[
2 )(max
Tt
tx . Простір із такою «псевдонормою» буде частково впорядкова-
ним, і для векторів ),(),,( ηξyx за виконання умов ηξ ≤≤ yx , будемо ви-
користовувати позначення ).,(),( ηξ≤yx
Ю.Є. Бохонов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 136
Розглянемо оператор S , що діє в просторі вектор-функцій зі значення-
ми в 2R за формулою (нас цікавитиме його дія на вектори вигляду
:))(),((col txtx
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
)(
)(
tx
tx
S
.
))(),(,(sinsin))(),(,(coscos
))(),(,(sincos))(),(,(cossin1
0
0
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∫∫
∫∫
ττττωτωττττωτω
ττττωτωττττωτω
ω
dxxftdxxft
dxxftdxxft
T
t
t
T
t
t
(13)
Враховуючи (2), (3), дослідимо, за яких умов цей оператор буде
стискаючим. Тоді завдяки (3) для двох вектор-функцій ,))(,(col )1()1( txx
))(),((col )2()2( txtx маємо:
( )( ) ≤− 1
21 )()( txtxS
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
+≤ ∫∫ τωτωτωτω
ω
dtdt
t
t 1
0
sincoscossin1 ( )21
1
21
0 xxKxxK −+− ≤
)( ttTtt ωω
ω
cos)(sin1
−+≤ ( )≤−+− 21
1
21
0 xxKxxK
( )21
1
21
0 xxKxxKT
−+−≤
ω
.
Аналогічно ( )( ) ( )21
1
21
02
21 )()( xxKxxKTtxtxS −+−≤− T .
Отже,
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
≤
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
)2()1(
)2()1(
10
10
)2()1(
)2()1(
xx
xx
KK
KK
T
xx
xx
S ωω . (14)
Позначимо через K матрицю в правій частині нерівності (14). Її норма
дорівнює квадратному кореню з найбільшого власного числа матриці
KK * (менше дорівнює нулю). Після нескладних перетворень отримаємо:
( ) )(11 2
1
2
02 KKK ++= ω
ω
. Введемо позначення: KTq = . Тоді S буде
стискаючим оператором, якщо 1<q , або при умові, яким мають задоволь-
няти константи Ліпшиця
22
2
2
1
2
0
)1( T
KK
ω
ω
+
<+ . (15)
Аналогічно доводиться, що константа M з (1) має задовольняти
вимозі:
Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 137
),(min1 ba
T
M ω≤ . (16)
Сформулюємо остаточний результат.
Теорема 1. Нехай функція ),,( yxtf неперервна на ×−×∞−∞ ],[),( aa
],[ bb−× , періодична по t із періодом ,T задовольняє умовам (1) і (2), при-
чому константи Ліпшиця та стала M з (1) задовольняють умовам (15)–(16).
Тоді для існування періодичного з періодом T розв’язку ),( 0xtx ϕ= рівнян-
ня (3) необхідно і достатньо існування такого значення 0x , яке задовольняє
рівнянню (10). При цьому ),( 0xtϕ знаходиться методом послідовних на-
ближень.
Використовуючи техніку доведення теореми Банаха про стискаючі ві-
дображення, одержимо оцінку похибки між розв’язком задачі (3)–(4) і її на-
ближенням. Для цього необхідно тільки помітити, що .),( 001 MTxxtx ≤−
Теорема 2. Похибка між розв’язком задачі (3)–(4) і її n-м наближенням
визначається з умови:
.
1
),(),( 00
n
n q
q
MTxtxxt
−
≤−ϕ (17)
ВИСНОВКИ
Зведення задачі про періодичні розв’язки квазілінійного диференціального
рівняння до крайової задачі з умовами періодичного типу є ефективним
прийомом, що дає змогу прямого дослідження цієї проблеми. Методику мо-
же бути поширено на більш загальний клас нелінійних рівнянь.
ЛІТЕРАТУРА
1. Самійленко А.М. О периодических решениях нелинейных уравнений второго
порядка // Дифференциальные уравнения. — 1967. — 3, № 11. — С. 1903–
1912.
2. Ронто Н.И., Самойленко А.М., Трофимчук С.И. Теория численно-аналити-
ческого метода, достижения и новые направления развития. II // Українсь-
кий математичний журнал. — 1998. — 50, № 2. — С. 225–243.
3. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории крае-
вых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. — Киев: Наук.
думка, 1992. — 280 с.
4. Чорный В.З. Исследование периодических решений некоторых классов диффе-
ренциальных уравнений второго порядка: дис. … канд. физ.-мат. наук. —
Киев, 1992. — 10 с.
5. Бохонов Ю.Є. Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелі-
нійного звичайного диференціального рівняння другого порядку // Неліній-
ні коливання. — 2000. — 3, № 3. — С. 308–314.
6. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. —
526 с.
Надійшла 25.05.2010
|
| id | journaliasakpiua-article-106419 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:21:12Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/cf/5170d9e37402768f48fe7a63403c13cf.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1064192018-03-30T15:06:23Z On the periodic solutions of the quasilinear ordinary differential equations of second order О переодических решениях квазилинейного обычного дифференциального уравнения второго порядка Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку Bokhonov, Ju. Е. The approach to the determination of the periodic solutions of the quasilinear differential equation of second order is proposed. The approach is based on the determination of the influence for function for the differential operator, defined on the functions, which satisfy the periodic boundary conditions. The necessary and sufficient conditions of the existence of the periodic equation solutions are given. Предложен подход к нахождению периодических решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка, который основывается на нахождении функции Грина для дифференциального оператора, определенного на функциях, удовлетворяющих периодическим краевым условиям. Приводятся необходимые и достаточные условия существования периодических решений уравнения. Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків квазілінійного диференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові функції Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях, які задовольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та достатні умови існування періодичних розв’язків рівняння. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2011-09-16 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106419 System research and information technologies; No. 3 (2011); 133-137 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2011); 133-137 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2011); 133-137 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106419/101530 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bokhonov, Ju. Е. Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку |
| title | Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку |
| title_alt | On the periodic solutions of the quasilinear ordinary differential equations of second order О переодических решениях квазилинейного обычного дифференциального уравнения второго порядка |
| title_full | Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку |
| title_fullStr | Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку |
| title_full_unstemmed | Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку |
| title_short | Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку |
| title_sort | про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106419 |
| work_keys_str_mv | AT bokhonovjue ontheperiodicsolutionsofthequasilinearordinarydifferentialequationsofsecondorder AT bokhonovjue opereodičeskihrešeniâhkvazilinejnogoobyčnogodifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdka AT bokhonovjue properíodičnírozvâzkikvazílíníjnogozvičajnogodiferencíalʹnogorívnânnâdrugogoporâdku |