Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення

The semi-markov model of calendar maintenance of monotonous-structured system, including the minimal emergency restoration of its elements, is built. The stationary reliability characteristics and economic indicators of system functioning quality are received. The optimum period for implementation o...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Author:	Peschansky, A. I.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106492
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866301875887800320
author	Peschansky, A. I.
author_facet	Peschansky, A. I.
author_sort	Peschansky, A. I.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-03-30T15:02:44Z
description	The semi-markov model of calendar maintenance of monotonous-structured system, including the minimal emergency restoration of its elements, is built. The stationary reliability characteristics and economic indicators of system functioning quality are received. The optimum period for implementation of the maintenance of its elements is defined.
first_indexed	2025-07-17T10:21:29Z
format	Article
fulltext	© А.И. Песчанский, 2011 34 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 УДК 519.873 КАЛЕНДАРНОЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МОНОТОННОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ИХ МИНИМАЛЬНОГО АВАРИЙНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ А.И. ПЕСЧАНСКИЙ Построена полумарковская модель календарного технического обслуживания системы с монотонной структурой и учетом минимального аварийного вос- становления ее элементов. Найдены стационарные характеристики надежно- сти и экономические показатели качества функционирования системы. Опре- делены оптимальные сроки проведения технического обслуживания ее элементов. ВВЕДЕНИЕ В процессе функционирования сложной технической системы ухудшаются характеристики ее элементов. Одним из методов улучшения стационарных показателей качества функционирования является предупредительное тех- ническое обслуживание (ТО) элементов. В [1] исследовано функционирова- ние простой системы, в которой ТО проводится в определенные моменты времени, а в случае отказа системы на интервале между двумя последова- тельными ТО проводится лишь минимальное восстановление. При этом время восстановления системы предполагается мгновенным. В [2] указанная стратегия ТО простой системы рассмотрена с учетом времени на восстано- вительные работы. В данной работе результаты работы [2] переносятся на сложные системы с монотонной структурой [1]. Для построения математи- ческой модели функционирования такой системы привлекается аппарат по- лумарковских процессов с дискретно-непрерывным множеством состояний [3, 4]. В общих предположениях относительно времен безотказной работы и восстановления элементов системы определяются стационарные и экономи- ческие показатели качества функционирования системы при указанной стратегии ТО ее элементов и устанавливаются оптимальные периодичности проведения ТО. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим N -компонентную систему с монотонной структурой [1]. Мо- нотонная система однозначно определяется своей структурной функцией ),,...,( 1 Nzzϕ зависящей от булевых переменных :iz ⎩ ⎨ ⎧ = = − − .отказалэлементйесли,0 ,,1,обенработоспосэлементйесли,1 i Niizi Опишем правило проведения предупредительного ТО каждого элемен- та. В нулевой момент времени все элементы работоспособные. Время безот- Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 35 казной работы i -го элемента системы — случайная величина (СВ) iα с функцией распределения (ФР) .,1),()( NitPtF ii =≤= α Индикация отказа элемента осуществляется мгновенно и начинается его минимальное аварий- ное восстановление (МАВ), которое длится случайное время iβ с ФР ),()( tPtG ii ≤= β .,1 Ni = Минимальное восстановление означает, что на- работка восстановленного элемента, проработавшего к моменту отказа вре- мя ,is имеет ФР )( )()( )(, ii iiii si sF sFtsF tF i −+ = . (1) Таким образом, минимальное восстановление делает элемент работос- пособным, но по его окончании интенсивность отказов )( )( )( tF tf t i i i =λ такая же, как непосредственно перед отказом. После следующего отказа и мини- мального восстановления «остаточная наработка» элемента по-прежнему определяется формулой (1), в которой is — суммарная наработка элемента с момента его эксплуатации и т.д. Кроме МАВ через заранее заданный ин- тервал времени iτ после начала эксплуатации i -го элемента системы, неза- висимо от его состояния, проводится ТО элемента. Длительность ТО — СВ p iβ с ФР PtG p i =)( ( tp i ≤β ). После ТО все надежностные характеристики элементов полностью обновляются: время безотказной работы элемента снова определяется СВ iα ; проведение следующего ТО элемента планируе- тся через время iτ . Функционирование каждого элемента системы во вре- мени описывается регенерирующим случайным процессом. Точками реге- нерации служат моменты возобновления его работоспособности после ТО. Поведение элемента на промежутке времени длиною iτ после ТО описы- вается альтернирующим процессом минимального восстановления [2]. Предполагается, что СВ p iii ββα ,, — независимы, имеют абсолютно не- прерывные ФР и конечные математические ожидания ii MM βα , , p iMβ . Отключение и включение элементов в систему происходит мгновенно. Оче- реди на восстановление не возникает. Доход за единицу времени исправного функционирования, плата за единицу времени аварийного восстановления и плата за единицу времени ТО i -го элемента системы соответственно равны ii cc ,0 , p ic и Ni ,1= . Цель работы — построить полумарковскую модель функционирова- ния системы и определить оптимальные интервалы времени iτ между проведением ТО элементов. В качестве критериев эффективности функцио- нирования системы рассматриваются: стационарный коэффициент техниче- ского использования системы );,...,( 1 NuK ττ средний удельный доход ),,...,( 1 NS ττ приходящийся на единицу календарного времени; средние удельные затраты ),,...,( 1 NC ττ приходящиеся на единицу времени исправ- ного функционирования системы. А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 36 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Функционирование системы опишем полумарковским процессом )(tξ с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [3, 4]. Каждый элемент системы может находиться в четырех физических состояниях: 0 — элемент находится в состоянии АВ; 1 — элемент находится в работоспособном состоянии после МАВ; 2 — элемент находится в состоянии ТО; 3 — элемент находится в работоспособном состоянии после ТО. При кодировке состояний системы кроме указания физических состоя- ний элементов также будем указывать время, оставшееся до ближайшего изменения состояния каждого элемента; время, прошедшее с момента окон- чания последнего ТО и суммарное время МАВ после ТО. Фазовое простран- ство полумарковских состояний системы определяется следующим образом: .,1, )( ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ == NisuxdiE i Здесь компоненты вектора ( )Nddd ...,,1= указывают на физические со- стояния элементов; i — номер элемента, изменившего свое физическое сос- тояние последним. Компоненты вектора ( )Nii i xxxxx ,...,,0,,..., 111 )( +−= фик- сируют время с момента последнего изменения состояния i -го элемента до ближайших моментов изменения состояний соответственно остальных эле- ментов. При этом, если 1=kd , то kx — время до ближайшего аварийного отказа, если 0=kd , то kx — время до окончания МАВ k -го элемента. Компоненты вектора ( )Nuuu ...,,1= — времена, прошедшие с моментов окончания последних ТО элементов. Если 2=kd , то считается, что kku τ= . В момент восстановления работоспособности i -го элемента после его ТО будем полагать 0=iu . Компоненты вектора ( )Nsss ...,,1= указывают на суммарные времена МАВ элементов после ТО. Если 2=kd , то считается, что .0=ks Очевидно, что 0=ks , если .3=kd Заметим, что первому ава- рийному отказу i -го элемента в кодировке состояния будет соответствовать 0=kd и .0=ks В случае повторных аварийных отказов: 0=kd и 0>ks . Через j dΩ будем обозначать совокупность номеров компонент вектора ,d равных .j Времена пребывания системы в состояниях определяются формулами ( )kk k k ik d suisuxdi ux d i iii −ΛΛ∧= Ω∉≠ τγθ 2)( )( ,, , где Λ — знак минимума; ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = === = ,2 ,0, ,1, ,0,0,3, ,,)( ,, i p i ii isui iiii d sui d d d sud iii ii β β α α γ Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 37 ii sui ,,α — СВ с ФР, . )( )()( )(,, iii iiiiii sui suF suFtsuF tF ii − −−+− = ФР СВ )( ,, i ii d suiγ обозначим через ( ) )(,, ti ii d suiΨ , а плотность — ( ) ).(,, ti ii d suiψ Опишем вероятности (плотности вероятностей) переходов вложенной цепи Маркова (ВЦМ) { }0, ≥nnξ . Переходы физических состояний каждого элемента системы определяются графом, показанным на рис. 1. Обозначим ( ). 2 kk k kiki uxz d −Λ∧Λ= Ω∉≠ τ Из состояния ,,1, )( Nisuxdi i = возможны переходы следующих типов: а) в совокупность состояний 2, )( ≠′′′′ i i dsuxdi , с плотностью вероят- ности перехода ),()( ,, )( )( yzp i d sui suxdi suxdi i ii i i −=′′′′ ψ где ,izy < kk dd =′ , −=′ kk xx )( yzi −− , ,ik ≠ ik k kyzuu dk dik k ≠ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉−+ =′ ,, ,, 2 2 τ , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉−+ =′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉−+ =′ ,, ,, ,,0 ,, 0 0 2 2 dk dik k d dii i ks kyzus i iyzuu б) в совокупность состояний 3,1,0, )( =′′′′ i i dsuxdi ; ,2=′id с вероят- ностью перехода ( ) ),(,, )( )( ii d sui suxdi suxdi uP i ii i i −Ψ=′′′′ τ где ,),(, ikuxxdd iikkkk ≠−−=′=′ τ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∉ Ω∈−+ =′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉−+ =′ ,, ,, ,, ,, 0 0 2 2 dk diik k dk diii k ks kuss k kuuu τ τ τ 0 1 2 3 Рис. 1. Граф переходов физических состояний элемента А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 38 в) в совокупность состояний ,, )( ijsuxdj j ≠′′′′ с плотностью вероят- ности перехода ),()( ,, )( )( yzp i d sui suxdj suxdi i ii j i +=′′′′ ψ где kk ddy =′> ,0 , jk ≠ , yxi =′ , ,,, jikzxx ikk ≠−=′ jk k kzuu j dj djzu u dk dik k d jdj jdij j ≠ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉+ =′ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ =′Ω∉ ≠′Ω∉+ =′ ,, ,, ,,0 ,2,, ,2,, 2 2 2 2 2 τ τ , . ,, ,, ,,0 ,2,, ,2,, 2 2 0 0 0 jk ks kzss j dj djzs s dk dik k d jdj jdij j ≠ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∉ Ω∈+ =′ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ Ω∉ =′Ω∈ ≠′Ω∈+ =′ τ Прежде, чем находить стационарное распределение ВЦМ { }0, ≥nnξ , введем следующие характеристики альтернирующего процесса минималь- ного восстановления ( )( ) [ ]∑ ∞ = ∗ <≤− −Λ = 1 )(0 ,0),( ! )( )(, n iiiii n iii i n iiii ussuf n su sgsun ( ) ( ) [ ]∑ ∞ = − ∗ <≤− − −Λ = 1 1 )(1 ,0),( )!1( )( )(, n iiiii n iii i n iiii ussuf n su sgsun ( ) ( ) [ ]∑ ∞ = ∗ +− −Λ = 1 )(1 ),( ! )( )(,, n iiii n iii i n iiiii xsuf n su sgxsuω ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++−= )()(),,(0 iiiiiiiiii xsgsufxsuω [ ] ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ −+ −Λ +∑ ∫ ∞ = ∗∗ 1 0 )()( )()( ! )( )( n s n iiii n iii i n i i dyygyxsg n su sg , где ∫=Λ t ii dsst 0 )()( λ — накопленная интенсивность отказов i -го элемента. Введенные функции имеют следующий вероятностный смысл: iiiii dsdusun ),()0( )),(( )1( iiiii dsdusun — вероятность того, что в интервале времени ],( iii duuu + произойдет аварийный отказ (закончится АВ) i -го элемента, при этом суммарное время АВ после последнего ТО попадет в интервал ],( iii dsss + ; )),,((),,( )1()0( iiiiiiiiiiii dxdsduxsudxdsduxsu ωω — вероятность того, что в интервале времени ],( iii duuu + i -й элемент нахо- дится в состоянии )1(0 , при этом суммарное время АВ после последнего ТО попадет в интервал ],( iii dsss + , а время, оставшееся до ближайшего попа- дания в состояние 1(0), заключено в интервале ],( iii dxxx + . Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 39 Обозначим через ( ))(~)(~ )1()0( iiii HH ττ среднее число 0–(1–) восстановле- ний альтернирующего процесса минимальных восстановлений за время iτ [2]: [ ]∑ ∫ ∞ = ∗ − −Λ += 1 0 )()0( )( ! )( )()()(~ n ii n iin iiiii i dssf n s sGFH τ τ τ ττ , [ ]∑ ∫ ∞ = − ∗ − − −Λ = 1 0 1 )()1( )( )!1( )( )()(~ n i n iin iii i dssf n s sGH τ τ τ τ . Теорема. Если для ВЦМ { }0, ≥nnξ выполняются условия существова- ния и единственности стационарного распределения ),(⋅ρ тогда оно опре- деляется формулами =⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ suxdi i)( ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =Ω∈+ >Ω∈+ =Ω∈+ Ω∈+ Ω∈+ = ∏∏∏∏ ∏∏∏∏ ∏∏∏∏ ∏∏∏∏ ∏∏∏∏ ≠ Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈ Ω∈Ω∈ ≠ Ω∈Ω∈ Ω∈Ω∈ ≠ Ω∈Ω∈ Ω∈ ≠ Ω∈Ω∈Ω∈ Ω∈Ω∈Ω∈ ≠ Ω∈ ,,1,,)(),,(),,()( ,0,,)(),,(),,()(),( ,0,,)(),,(),,()()( ,,)(),,(),,()(),( ,,)(),,(),,()( 210 0100 010 1101 310 2103 2103 2103 2103 2103 NiixGxsuxsuxuf sixGxsuxsuxufsun sixGxsuxsuxufuf ixGxsuxsuxufsun ixGxsuxsuxuf d ik k k p k k kkkk k kkkk k kkk id k k p k k kkkk ik k kkkk k kkkiii id k k p k k kkkk ik k kkkk k kkkii d k k p k ik k kkkk k kkkk k kkkiii d k k p k k kkkk k kkkk ik k kkk dddd dddd dddd dddd dddd ωωρ ωωρ ωωρ ωωρ ωωρ ( ) ( )( ) ( ) 1 11 10 )(~)(~2 − ≠ == ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++= ∏∑ N ik k p kk N i iiii MHH βτττρ . (2) Доказательство. По определению стационарное распределение удов- летворяет следующей системе интегральных уравнений: ( )∑ ∫ ′Ω∉ = ′ − +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +′+=⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ N j j a ji j d stuj i d m j jj dtsutxdjtxsuxdi 3 1 0 )()()( ,, )( ρψρ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ =Ω∈⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′′′+′+ Ω∈⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′′′+′+ + ′ ′ ′ ,,0 ,,1,,)()( ,,)()( 1 0)()( 3)()( d d m m i mmm d m m i mmm m Nimsuaxdmxag msuaxdmxaf ρ ρ А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 40 );(;,;3,1,0 103 kk k k k k k mkki susuaikddd ddd −Λ∧Λ∧Λ=≠=′= ′′′ Ω∈Ω∈Ω∈ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∉ Ω∈− =′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉− =′ ′ ′ ′ ′ ,, ,, ,, ,, 0 0 2 2 dk dk k dk dk k ks kts s k ktu u τ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∉ Ω∈− =′′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉− =′′ ′ ′ ′ ′ ,, ,, ,, ,, 0 0 2 2 dk dmk k dk dmk k ks kas s k kau u τ +′⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +′ −− − =⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ − i ii a t iii iiii sdsutxdi tsF sF dtsuxdi m i )()( 0 0 )( )( )( ρ τ τ ρ τ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′′′⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +′′+′′⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′′′⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +′′+ ∫∫ ∫ − mm i a ii ii ii a t i dtsutxditGsdsutxditGdt 0 )()()()( 0 0 )()( ρρ τ ( ) ( )∑ ∫ ∫ Ω∉ ≠= ∞ ′ − ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′+′++ N j ijj a i ij j d stuj d m j jj dxsutxdjdttx 3 ,1 0 0 )()()( ,, ρψ ( ) + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′+′′+ ∫ ∫ − ∞t i j i i dxsutxdjsd τ ρ 0 0 )( ( ) ( ) +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′′′+′′′′++ ∑ ∫ ∫ ∫ Ω∉ ≠= − ∞″ − N j ijj a t i j ij d stuj d m i j jj dxsutxdjsddttx 3 ,1 0 0 0 )()( ,, τ ρψ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ′′′′′′+′′+ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +′′′+′+⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′+′+ Ω∈ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ′′′′′′+′′+ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +′′′+′+⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′+′+ =⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′+′ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − ∞ − − ∞ − ,,0 ,,)( )()()( ,,)( )()()( ,,)()( 1 0 0 )( 0 0 )()()( 3 0 )( 0 0 )()()( )()( d di a i m m a i m m im mmmm di a i m m a i m m im mmmm i i i ii m mdxsdsuaxdm sdsuaxdmsuaxdmxag mdxsdsuaxdm sdsuaxdmsuaxdmxaf imsuaxdiF mi mi mi mi τ τ τ τ ρ ρρ ρ ρρ ρτ ikdddddd kkkiii ≠=′′=′=′′=′= ,;0,1;2 ; Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 41 )( 103 kk k k k k k im susua ddd −Λ∧Λ∧Λ∧= Ω∈Ω∈Ω∈ τ ; ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =′ ≠Ω∉ Ω∈− =′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉− =′ ′ ′ ′ ′ , ,,, ,, ,, ,, 0 0 2 2 iks ikks kts s k ktu u i dk dk k dk dk k τ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠Ω∉ Ω∈− =′ ′ ′ ,,0 ,,, ,, 0 0 )( ik ikks kts s dk dk i k ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =′′ Ω∉ ≠Ω∈− =′′ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∉− =′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ., ,, ,,, ,, ,, 0 0 2 2 iks ks ikkts s k ktu u i dk dk k dk dk k τ (3) Непосредственной подстановкой убедимся, что соотношения (2) опре- деляют решение системы уравнений (3). Рассмотрим подробно случай .0,3,0 ==′= iii sdd Подставим (2) в правую часть уравнения (3) и учтем, что ( ) ( )kkk kkk kkkk kkkk stun tsuF xsuf txstu t , )( )( ,, )1()1( − −− +− −=+− ∂ ∂ ω , ( ) 0,,)1( =−+ mmmmmm suxssω , ( ) ( ) ( )tstuntxgtxtstu t kkkkkkkkk −−+−=+−− ∂ ∂ ,,, )1()0(ω , ( ) ( ) ( )mmmmmmmmmmm aufaxgaxau −+=+− ,0,)0(ω . Получим ( ) ( ) ( )∑ ∫ ∏ ′ ′Ω∈ = Ω∈ ×+− −− +− 1 30 0 1 )(),( d m i dj a x k kkkjjj jjj jjjj xufstun tsuF xsuf ρ ( ) ( ) ×+−+−−× ∏∏ ≠ Ω∈Ω∈ ′′ jk k kkkk k kkkk dd txstutxtstu 10 ),,(),,( 10 ωω ( ) ( )∑ ∫∏ ′′ Ω∈Ω∈ ×−−+++× 02 0 0 ),()( d m d j a jjjjj k k p k tstuntxgdttxG ρ ( ) ( ) ×+−+−−+× ∏∏∏ ′′′ Ω∈ ≠ Ω∈ = Ω∈ 103 ),,(),,()( 10 0 dd i d k kkkk jk k kkkk x k kkk txstutxtstuxuf ωω А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 42 ( )∑ ∫ ∏∏ ′ ′′ Ω∈ = Ω∈Ω∈ ×++++× 2 32 0 0 )()( d m i dd j a x k kkkj p j k k p k xuftxgdttxG ρ ( ) ( ) ×+−+−−× ∏∏ ′′ Ω∈Ω∈ 10 ),,(),,( 10 dd k kkkk k kkkk txstutxtstu ωω ( ) ×+−−+++× ∏∏∏ ′′′ Ω∈ = Ω∈ ≠ Ω∈ 032 ),,()()( 0 0 d i dd k mkmkmkk x k kkk jk k k p k axasauxufdttxG ωρ ( ) =++−× ∏∏ ′′ Ω∈Ω∈ 21 )(),,(1 dd k mk p k k mkkmkk axGaxsauω ( )∫ ∏ ∏ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ×+−−+ ∂ ∂ −= = ′ ′Ω∈ Ω∈ m ix d d a k k kkkkkkk txtstuxuf t0 0 0 3 0 ),,()( ωρ ( ) + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ++−× ∏∏ ′′ Ω∈Ω∈ dttxGtxstu dd k k p k k kkkk 21 )(),,(1ω ( ) ×+−−++ ∏∏ ′′ Ω∈ = Ω∈ 03 ),,()( 0 0 d i d k mkmkmkk x k kkk axasauxuf ωρ ( ) =++−× ∏∏ ′′ Ω∈Ω∈ 21 )(),,(1 dd k mk p k k mkkmkk axGaxsauω ( ) ( ) ×+= ∏∏∏ Ω∈ ≠ Ω∈Ω∈ 103 ),,(),,()()( 10 ddd k kkkk ik k kkkk k kkkii xsuxsuxufxf ωωρ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛=× ∏ Ω∈ suxdixG i k k p k d )( 2 )( ρ . Аналогично можно проверить, что формулы (2) определяют решение остальных уравнений системы. Постоянная ρ находится из условия норми- ровки. НАХОЖДЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ Разобьем фазовое пространство E состояний системы на два непересекаю- щихся подмножества +E и −E : где +E — подмножество работоспособных Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 43 состояний, −E — подмножество отказовых состояний. Система находится в работоспособном состоянии тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одна из последовательных структур минимального пути [1] работоспособна. Система считается в отказе, если, по крайней мере, одна из параллельных структур минимального сечения [1] находится в нерабочем состоянии (по причине ТО или АВ ее элементов). Предполагается, что в результате АВ или ТО какого-либо элемента не происходит отключение тех работоспособных элементов, функционально связанных с отказавшим, которые не принадле- жат более ни одному работоспособному пути. Таким образом, подмножест- ва +E и −E содержат следующие состояния: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =∈= ++ NiDduxdiE i ,1,, )( , ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =∈= −− NiDduxdiE i ,1,, )( . Здесь ( )−+ DD — множество векторов d , компоненты которых равны кодам физических состояний элементов системы, находящейся в подмножестве работоспособных (отказовых) состояний ( ).−+ EE Заметим, что элемент считается в работоспособном состоянии, если он находится в состоянии 3 или 1, и в отказовом — если в состояниях 0 или 2. Среднюю стационарную наработку на отказ +T , среднее стационарное время восстановления −T и стационарный коэффициент технического ис- пользования (КТИ) uK системы найдем по формулам [3, 4]: −+ + + − − + + ==Τ=Τ ∫ ∫ ∫ ∫ − − + + TT T K EzPdz dzzm EzPdz dzzm u E E E E , ),()( )()( , ),()( )()( ρ ρ ρ ρ , (4) где )(⋅ρ — стационарное распределение ВЦМ { }0, ≥nnξ , )(zm — средние времена пребывания в состояниях системы, ),( +ΕzP , ( )),( −EzP — вероят- ности переходов ВЦМ { }0, ≥nnξ из отказовых (работоспособных) состоя- ний в работоспособные (отказовые). Средние времена пребывания системы в состояниях определяются формулой: .)( 0 )( ,,)( ∫ Ψ= i i iii z d suisuxdi dttMθ С учетом вида стационарного распределения ВЦМ (2) формулы (4) преобразуются к виду ( ) ( )( ) ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= ∑ ∏ ∫∫∏ ∫ +∈ Ω∈Ω∈ + Dd k kkk k k d kk d k dttHtHdttFdttFT 13 0 10 00 )(~)(~)()( τττ ( ) ( )( ) ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ −× ∑ ∑∏ ∏∫ +′∈ ∈Ω∈ Ω∈ Dd dGj jj k k p kkk HMdttHtH d d k )( 1 0 10 10 2 )(~)(~)(~ / τβ τ А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 44 ( ) ( )( ) ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−× ∏ ∫∫∏ ∫ ≠ Ω∈Ω∈ jk k kkk k k d kk d k dttHtHdttFdttF 13 0 10 00 )(~)(~)()( τττ ( ) ( )( ) ∑ ∏ ∫∏∏ ∫ ∈ ≠ Ω∈Ω∈Ω∈ ×+−× )( 00 10 3 320 )()(~)(~ dGj jk k k k p k k kk d k dd k dttFMdttHtH ττ β ( ) ( )( ) ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−× ∏ ∫∫ Ω∈ 1 0 10 0 )(~)(~)( d kk k kkk dttHtHdttF ττ ( ) ( )( ) ,)(~)(~ 20 0 10 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ −× ∏∏ ∫ Ω∈Ω∈ dd k k p k k kk MdttHtH β τ ( ) ( )( ) ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= ∑ ∏ ∫∫∏ ∫ −∈ Ω∈Ω∈ − Dd k kkk k k d kk d k dttHtHdttFdttFT 13 0 10 00 )(~)(~)()( τττ ( ) ( )( ) / 20 0 10 )(~)(~ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ −× ∏∏ ∫ Ω∈Ω∈ dd k k p k k kk MdttHtH β τ ( ) ( ) ( )( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−∑ ∏ ∫∫∏ ∫∑ −′∈ Ω∈Ω∈∈Dd k kkk k k dIj jj d kk d k dttHtHdttFdttFH 130 0 10 00)( 1 )(~)(~)()()(~/ τττ τ ( ) ( )( ) ∑ ∏ ∫∏∏ ∫ ∈ Ω∈Ω∈ ≠ Ω∈ ×+−× )( 00 10 2 320 )()(~)(~ dIj k k k p k jk k kk d k dd k dttFMdttHtH ττ β ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−× ∏∏ ∫∏ ∫∫ ≠ Ω∈Ω∈Ω∈ jk k p k k kk k kkk dd k d kk MdttHtHdttHtHdttF 201 0 10 0 10 0 )(~)(~)(~)(~)( β τττ , ( ) ( )( ) ( ) → + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = ∏ ∑ ∏ ∫∫∏ ∫ = ∈ Ω∈Ω∈+ N k p kk Dd k kkk k k u M dttHtHdttFdttF K d kk d k 1 0 10 00 13 )(~)(~)()( βτ τττ ( ) ( )( ) ∏∏ ∫ Ω∈Ω∈ − → 20 0 10 )(~)(~ dd k k p k k kk MdttHtH β τ (5) Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 45 Здесь +′D — множество пограничных работоспособных физических состоя- ний системы, т.е. множество векторов ,+∈Dd таких, что изменение неко- торой одной компоненты с 1(3) на 0 или 2 переводит вектор d во множест- во −D ; ( ))()( 31 dGdG — множество номеров компонент вектора +′∈Dd , изменение значения каждой из которых с 1(3) на 0 или 2 переводит вектор d во множество −D ; −′D — множество пограничных отказовых состояний системы, т.е. множество векторов ,−∈Dd таких, что изменение некоторой одной компоненты с 0 или 2 на 1 переводит вектор d во множество +D ; ( ))()( 20 dIdI — множество номеров компонент вектора −′∈Dd , измене- ние значения каждой из которых с 0 (2) на 1 переводит вектор d во множе- ство +D . Выразим стационарные характеристики ,, −+ TT ),...,( 1 NuK ττ системы через КТИ )( iiK τ элементов, которые определяются формулами [2]: ( ) ( )( ) .,1, )(~)(~ )( 0 10 Ni M dttHtH K p ii iii ii i = + −− = ∫ βτ τ τ τ Обозначим через ωMM ,...,1 все различные множества элементов пу- тей системы [1]. Обратим внимание, что элементы, не принадлежащие множеству элементов пути, находятся в нерабочих состояниях, т.е. в состояниях 0 или 2. Введем также следующие обозначения: ω′=′ ,1, iM i — множества элементов пограничных путей; ω′=′ ,1),( iMG i — множества элементов пограничного пути iM ′ , соответствующих номерам тех элемен- тов, переход которых из работоспособного состояния в отказовое, приводит к отказу всей системы; sii ,1, =Φ — множества элементов сечений; sii ′=Φ′ ,1, — множества элементов пограничных сечений; siI i ′=Φ′ ,1),( — множества элементов пограничного сечения iΦ′ , соответствующих номе- рам тех элементов, переход которых из отказового состояния в работоспо- собное приводит к восстановлению работоспособности всей системы. Формулы (5) после преобразований приводится к виду: ( ) ( ) , )(1)( ))(~1( )(1)( 1 )( 1 )1( 1 1 ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∏∏ ′ = ′∈ ′∉ = ≠ ′∈ = ′∉ =∈ + − + + − = ω ω ττ βτ τ ττ i MGj N Mn n nn jn Mn nnp jj jj i N Mn n nn Mn nn i i i i i KK M H KK T А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 46 ( ) ( ) , )(1)( ))(~1( )(1)( 1 )( 1 )1( 1 1 ∑ ∑ ∏∏ ∑ ∏∏ ′ = Φ′∈ ≠ Φ′∈ Φ′∉ = = Φ∈ Φ′∉ = − − + + − = s i Ij jn n nn N in n nnp jj jj s i n nn N n n nn i i i i KK M H KK T ττ βτ τ ττ ( ) ( )∏∑ ∏ ∉= ∈ =−= N Mn NNnn i Mn nnNu ii KKKKK )(),...,()(1)(),...,( 11 1 1 ττϕττττ ω . (6) Здесь структурная функция системы ),...,( 1 nzzϕ задана в дизъюнктив- ной нормальной форме, однако ее можно представить многими эквивалент- ными способами, например, в линейной форме [1, 5]. Для определения среднего удельного дохода ),,...,( 1 NS ττ приходяще- гося на единицу календарного времени и средних удельных затрат ),,...,( 1 NC ττ приходящихся на единицу времени исправного функциониро- вания системы, используем формулы [6] ∫ ∫ ∫ ∫ +Ε Ε Ε Ε == )()( )()()( , )()( )()()( dzzm dzzfzm C dzzm dzzfzm S cs ρ ρ ρ ρ , (7) где )(zf s , )(zfc — функции, определяющие соответственно доход и за- траты в каждом состоянии. Функции )(zf s и )(zfc с учетом обозначений, введенных в постано- вочной части статьи, имеют вид: ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∅≠Ω∪Ω =∈−− ∅=Ω∪Ω =∈−− = ∑∑∑ ∑∑ Ω∈Ω∈Ω∪Ω∈ Ω∈Ω∈ ,если ,,1},{, ,если ,,1},{, 31 )(0 31 )( 2031 20 dd i k p k k k k k dd i k p k k k s Nisuxdizccc Nisuxdizcc zf dddd dd ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∅=ΩΩ =∈ ∅≠ΩΩ =∈+ = ∑∑ Ω∈Ω∈ .если ,,1},{,0 ,если ,,1},{, 20 )( 20 )( 20 dd i dd i k p k k k c Nisuxdiz Nisuxdizcc zf dd ∪ ∪ После преобразований формулы (7) приводятся к виду Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 47 ( )i N i iN SS τττ ∑ = = 1 1 ),...,( , (8) ( ) ( ),,..., )()( ,..., 1 1 1 ∑ = = N i Nu iiii N K KC C ττ ττ ττ (9) где ( ) ( )( ) p ii p i p iiiiiii ii M McdttHtHccc S i βτ βτ τ τ + −−+− = ∫ 0 1000 )(~)(~)( )( — средний удельный доход i -го элемента, приходящийся на единицу календарного времени, а ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫ ∫ −− −+ = i i dttHtH dttHtHcMc C iii iii p i p i ii τ τ τ β τ 0 10 0 10 )(~)(~ )(~)(~ )( — средние удельные затраты, приходящиеся на единицу времени исправно- го функционирования i -го элемента. ОПТИМИЗАЦИЯ СРОКОВ ПРОВЕДЕНИЯ ТО ЭЛЕМЕНТОВ Задача определения оптимальных показателей качества функционирования системы сводится к отысканию абсолютных экстремумов функций (6), (8) и (9) классическими методами математического программирования. Заметим, что для достижения максимальных значений КТИ ),...,( 1 NuK ττ и среднего удельного дохода ),...,( 1 NS ττ системы необходимо и достаточно оптимизи- ровать величину наработки каждого элемента системы для проведения его ТО, что нельзя утверждать относительно минимальных средних удельных затрат ),...,( 1 NC ττ системы. Для доказательства существования решений этих оптимизационных за- дач приравняем нулю частные производные функций ),,,( 1 NuK ττ … ),,( 1 NS ττ … и ).,,( 1 NC ττ … Получаем соответственно системы уравнений для определения оптимальных значений наработок c i s i k i τττ ,, , .,1 Ni = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) NiMdttHtHHHM p iiiiiiii p i i ,1,)(~)(~)(~)(~ 0 1010 ==−−−+ ∫ βτττβ τ , (10) ( ) ( ) ( )( )−−+ )(~)(~ 10 iiiii p i HHM τττβ ( ) ( )( ) Ni cc MccdttHtH ii p ii p i ii i ,1, )( )()(~)(~ 0 0 0 10 = + + =−− ∫ βτ , (11) А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 1 48 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) −−−−+ ∫ i dttHtHcHHMc iiiiiiii p ii τ τττβ 0 1010 )(~)(~)(~)(~ ( ) × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∑ = )()()(),...,(ln 1 11 jj N j jjNN i KCKK K ττττϕ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+−× ∫ i dttHtHHHMM iiiiiii p i p i τ τττββ 0 1010 )(~)(~)(~)(~ .,1, NiMc p i p i == β (12) Достаточные условия существования конечных решений уравнений (10)–(12) приводятся в работе [2]. В случае существования единственных решений систем уравнений оптимальные значения показателей качества функционирования системы определяются формулами ( ),)(),...,( 11max k NN k u KKK ττϕ= ( ) ( ) ),(~)(~1)( 10 k ii k ii k ii HHK τττ +−= ,)( 1 max ∑ = = N i s iiSS τ ( ) ( ) ( )( ))(~)(~)( 1100 s ii s iiiii s ii HHcccS τττ −++= , ( ) ( ) ( )c N c u c ii N i c ii K KC С ττ ττ ...,,1 1 min ∑ == . Если системы уравнений имеют несколько решений, то оптимальные значения показателей качества находятся подстановкой каждого из них в формулу для случая единственного решения с последующим выбором наилучшего из них. Достижение экстремума при ∞→iτ говорит о том, что проводить предупредительное ТО i -го элемента нецелесообразно, по- скольку его проведение ухудшает показатель качества функционирования системы. В заключение приведем пример применения полученных результатов. Рассмотрим систему из четырех элементов (рис. 2). Наработки на отказ элементов имеют распределения Вей- булла-Гнеденко с плотностями =)(tf i , 1 i i i t ii i et λ θ λ θθ λ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 4,1=i . Времена ава- рийного восстановления элементов рас- пределены по закону Эрланга порядка :m t m ii i ie m t tg µµµ − − − = )!1( )( )( 1 , 4,1=i . Структурная функция системы имеет вид: =),,,( 4321 zzzzϕ ( )( )43432121 zzzzzzzz −+−+= . 1 3 2 4 Рис. 2. Пример структурной схемы Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 1 49 Исходные данные и результаты расчетов приводятся в табл. 1 и 2. Т а б л и ц а 1 . Исходные данные в примере № iλ iθ iMα , ч iµ m iMβ , ч ,p iMβ ч ,0 ic грн/ч ,ic грн/ч ,p ic грн/ч 1 2,5 20 17,745 0,9 4 4,444 1 3 3 2 2 1,4 30 27,343 2,1 4 1,905 0,6 6 4 3 3 1,3 40 36,943 1 3 3 1 7 5 3 4 1,7 15 13,384 1,5 3 2 0,5 8 2 1 Т а б л и ц а 2 . Результаты расчетов k iτ , ч max uK s iτ , ч maxS , ч ,c iτ ч minC , грн/ч 10,578 9,882 9,053 24,908 22,832 19,692 41,693 35,069 25,740 8,200 0,981 7,606 20,545 5,246 1,110 Предполагаемое направление для дальнейших исследований — реше- ние задач оптимизации надежностных показателей системы при ограниче- нии на стоимостные показатели и наоборот. ЛИТЕРАТУРА 1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Матема- тический подход. — М.: Радио и связь, 1988. — 392 с. 2. Песчанский А.И. Календарное техническое обслуживание простой системы с учетом минимального аварийного восстановления // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2010. — № 2. — С. 106–117. 3. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. — Киев: Наук. думка, 1982. — 236 с. 4. Корлат А.Н., Кузнецов В.Н., Новиков М.И., Турбин А.Ф. Полумарковские моде- ли восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания. — Кишинев: Штиинца, 1991. — 209 с. 5. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. — СПб.: БХВ- Петербург, 2006. — 704 с. 6. Шуренков В.М. Эргодические процессы Маркова. — М.: Наука, 1989. — 336 с. Поступила 12.01.2009
id	journaliasakpiua-article-106492
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:21:29Z
publishDate	2017
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/2d/2fb8aa4a8670306add5e05c063dc9a2d.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1064922018-03-30T15:02:44Z The calendar maintenance for elements of monotonous system with its minimal emergency restoration Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы с учетом их минмального аварийного восстановления Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення Peschansky, A. I. The semi-markov model of calendar maintenance of monotonous-structured system, including the minimal emergency restoration of its elements, is built. The stationary reliability characteristics and economic indicators of system functioning quality are received. The optimum period for implementation of the maintenance of its elements is defined. Построена полумарковская модель календарного технического обслуживания системы с монотонной структурой и учетом минимального аварийного восстановления ее элементов. Найдены стационарные характеристики надежности и экономические показатели качества функционирования системы. Определены оптимальные сроки проведения технического обслуживания ее элементов. Побудовано напівмарківську модель календарного технічного обслуговування системи з монотонною структурою із урахуванням мінімального аварійного відновлення її елементів. Знайдено стаціонарні характеристики надійності та економічні показники якості функціонування системи. Визначено оптимальні терміни проведення технічного обслуговування її елементів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-07-07 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106492 System research and information technologies; No. 1 (2011); 34-49 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2011); 34-49 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2011); 34-49 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106492/101586 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Peschansky, A. I. Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення
title	Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення
title_alt	The calendar maintenance for elements of monotonous system with its minimal emergency restoration Календарное техническое обслуживание элементов монотонной системы с учетом их минмального аварийного восстановления
title_full	Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення
title_fullStr	Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення
title_full_unstemmed	Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення
title_short	Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення
title_sort	календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106492
work_keys_str_mv	AT peschanskyai thecalendarmaintenanceforelementsofmonotonoussystemwithitsminimalemergencyrestoration AT peschanskyai kalendarnoetehničeskoeobsluživanieélementovmonotonnojsistemysučetomihminmalʹnogoavarijnogovosstanovleniâ AT peschanskyai kalendarnetehníčneobslugovuvannâelementívmonotonnoísistemizurahuvannâmíhmínímalʹnogoavaríjnogovídnovlennâ AT peschanskyai calendarmaintenanceforelementsofmonotonoussystemwithitsminimalemergencyrestoration

Календарне технічне обслуговування елементів монотонної системи з урахуванням їх мінімального аварійного відновлення

Institution

Similar Items