Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною
A mathematical model for the analysis of the stress state in an orthotropic electroelastic material with a circular (penny-shaped) crack is developed. The model is based on the consideration of the coupled system of electroelasticity equations. The problem on electric and stress states in orthotropi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2017
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106880 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866301903275556864 |
|---|---|
| author | Kirilyuk, Vitaliy Levchuk, Olga Gavrilenko, Olena |
| author_facet | Kirilyuk, Vitaliy Levchuk, Olga Gavrilenko, Olena |
| author_sort | Kirilyuk, Vitaliy |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:35:21Z |
| description | A mathematical model for the analysis of the stress state in an orthotropic electroelastic material with a circular (penny-shaped) crack is developed. The model is based on the consideration of the coupled system of electroelasticity equations. The problem on electric and stress states in orthotropic piezoelectric space with an elliptical crack under the force and electric loading was considered. The solution of the problem was obtained by means of using of the triple Fourier transform and Fourier image of Green's function for an infinite orthotropic piezoelectric medium. The approach was tested in the case of the location crack in the isotropy plane of transversely isotropic piezoelectric material for which there was an exact solution of the problem. The comparison of the calculated results confirmed the high efficiency of the used approach. Numerical experiments were conducted and distributions of stress intensity factors along elliptical crack front in orthotropic piezoelectric materials and elastic orthotropic materials under uniform force loading were investigated. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.3.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:21:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко, 2017
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 117
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.3.11
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В ОРТОТРОПНОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИИЧЕСКОЙ СРЕДЕ
С КРУГОВОЙ ТРЕЩИНОЙ
В.С. КИРИЛЮК, О.И. ЛЕВЧУК, Е.В. ГАВРИЛЕНКО
Аннотация. Развита математическая модель для анализа напряженного со-
стояния в ортотропном электроупругом материале с круговой (дискообразной)
трещиной. Модель базируется на рассмотрении связанной системы уравнений
электроупругости. Рассмотрена задача об электрическом и напряженном со-
стоянии в ортотропном электроупругом пространстве с круговой трещиной
при однородных силовых и электрических нагружениях. Решение задачи по-
лучено с помощью использования тройного преобразования Фурье и Фурье-
образа функции Грина для бесконечной пьезоэлектрической среды. Тестиро-
вание подхода проводилось для случая расположения трещины в плоскости
изотропии трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала, для
которого существует точное решение задачи. Сравнение результатов вычисле-
ний подтверждает высокую эффективность использованного подхода. Прове-
дены числовые исследования, изучено распределение коэффициентов интен-
сивности напряжений вдоль фронта круговой трещины в электроупругом
ортотропном материале и упругих ортотропных материалах при однородных
нагружениях.
Ключевые слова: математическое моделирование, связанная система уравне-
ний электроупругости, ортотропный пьезоэлектрический материал, плоская
круговая трещина, однородные нагрузки, коэффициенты интенсивности на-
пряжений.
ВВЕДЕНИЕ
Использование пьезоэлектрических материалов в различных отраслях про-
мышленности при создании элементов датчиков для измерительной ап-
паратуры, преобразователей энергии вызывает интерес изучения и анализа
силовых и электрических полей в электроупругих телах, содержащих кон-
центраторы напряжений типа полостей, включений, трещин. В то же время
решение пространственных трехмерных задач электроупругости является
весьма сложной математической проблемой, поскольку исходная система
уравнений для нахождения напряженного и электрического состояний пред-
ставляет собой связанную систему дифференциальных уравнений в частных
производных [1, 3, 4]. Поэтому до настоящего времени наиболее полно ис-
следованы двумерные задачи электроупругости (с учетом связанности по-
лей) для тел с концентраторами напряжений [8, 10, 11]. Для случая транс-
версально-изотропных свойств электроупругого материала (представляют
широкий класс пьезоэлектрических материалов) в работах [20, 25] предло-
жены подходы к построению общих решений системы связанных уравнений
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 118
электроупругости, на основе которых получены решения ряда задач для
пьезоэлектрического материала с полостями, включениями, трещинами, что
специальным образом ориентированы относительно оси симметрии элек-
троупругого материала. Предполагалось, что ось симметрии материала ори-
ентирована вдоль оси вращения концентратора напряжений (для полости
или включения), а для круговой или эллиптической трещин она расположе-
на в плоскости, перпендикулярной оси симметрии материала [5, 7, 9, 12, 14,
15, 17–24, 27–29]. В случае же другой ориентации концентраторов напряже-
ний (полостей, включений, трещин) в трансверсально-изотропном пьезо-
электрическом материале упомянутые подходы не позволяют решать про-
странственные задачи элетроупругости. Отметим, что в настоящее время
рассмотрено лишь несколько пространственных задач электроупругости для
ортотропных пьезоэлектрических материалов [6, 30].
В работе на основе математического моделирования впервые изучено
распределение коэффициентов интенсивности напряжений вдоль фронта
круговой трещины, расположенной в ортотропном электроупругом матери-
але, при постоянном внутреннем давлении на поверхности круговой трещи-
ны. При исследованиях применен аналитико-численный подход, основан-
ный на преобразовании Фурье по трем пространственным переменным,
Фурье-образе функции Грина для электроупургого материала, теореме Ко-
ши о вычетах и квадратурных формулах Гаусса. Для частных случаев расс-
матриваемой проблемы получено совпадение результатов с данными других
исследований.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть электроупругое ортотропное пространство содержит дискообразную
(круговую) трещину, расположенную в плоскости xy , что является одной из
ортогональных плоскостей симметрии материала. При рассмотрении задачи
полагаем, что пьезоэлектрический материал находится под воздействием
силовых и электрических полей полиномиального вида. Наличие трещины
как концентратора напряжений приводит к появлению в электроупругой
среде возмущенного силового и электрического состояний.
Полная система уравнений электроупругости для связанных полей
принимает следующий вид:
уравнения равновесия при отсутствии объемных сил
0, jij ; (1)
уравнения вынужденной электростатики
iiii ED ,, ;0 ; (2)
соотношения Коши
)(
2
1
,, ijjiij uu ;
уравнения состояния
nnijmnijmnij eC , ; ninmnimni keD , , (3)
где ij , ij , iu , iD , iE , — компоненты напряжений, деформаций, пере-
мещений, электрических перемещений (электрической индукции), напря-
Математическое моделирование и анализ напряженного состояния в ортотропной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 119
женности электрического поля и электрический потенциал соответственно.
При записи основных уравнений использованы обозначения следующих
тензоров: ijmnC , imne , ijk — тензоры упругих модулей, пьезомодулей, ди-
электрических проницаемостей пьезоэлектрического материала. Для орто-
тропных электроупругих материалов упругие свойства материала описыва-
ются девятью независимыми постоянными ,,,, 12332211 cccc ,, 2313 cc
665544 ,, ccc ; пьезомодули — пятью независимыми величинами ,15e ,24e ,31e
,32e 33e ; диэлектрические проницаемости — тремя независимыми постоян-
ными ,11k ,22k 33k . Компоненты тензоров, входящие в выражения (3), свя-
заны с упомянутыми независимыми постоянными следующим образом:
111111 cC ; 222222 cC ; 333333 cC ; 1222111122 cCC ;
23332222331333111133 ; cCCcCC ; 443223323223322323 cCCCC ;
551313133131133131 cCCCC ; 662112212112211212 cCCCC ;
15131113 eee ; 24232223 eee ; 31311 ee ;
32322 ee ; 33333 ee ; 11k ; 22k ; 33k .
Другие компоненты этих трех тензоров равны нулю.
Отметим, что из соотношений (1)–(3) и приведенных компонентов тен-
зоров следуют уравнения статики электроупругого ортотропного тела отно-
сительно перемещений и электрического потенциала.
Для описания состояния для связанных силовых и электрических полей
воспользуемся обозначениями [9], на основе которых представим в сле-
дующем виде:
упругие перемещения и электрический потенциал:
,4,
,3,2,1,
M
Mu
U m
M (4)
упругие деформации и напряженность электрического поля
;4,
,3,2,1,
M
M
Z
n
mn
Mn (5)
напряжения и электрические перемещения
;4,
,3,2,1,
JD
J
i
ij
iJ (6)
электроупругие модули
.4,,
;3,2,1;4,
;4;3,2,1,
;3,2,1,,
MJk
MJe
MJe
MJC
E
in
imn
nij
ijmn
iJMn (7)
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 120
С помощью приведенных обозначений (4)–(7) уравнения состояния (3)
можно записать в таком виде:
MniJMniJ ZE . (8)
В граничные условия для нахождения электроупругого состояния вхо-
дят нормальные и касательные усилия, а также нормальная составляющая
вектора электрической индукции на поверхности трещины
);,( 2113 xxf );,( 2123 xxg );,( 2133 xxP
),( 213 xxDD , Sxx ),( 21 ; 0)( xUM
при || x
, (9)
где S — двусторонняя поверхность трещины. При заданном основном на-
пряженном и электрическом состояниях в пьезоэлектрическом материале и
на свободной от силовых и электрических воздействий поверхности трещи-
ны с помощью суперпозиции основного и возмущенного состояний прихо-
дим к граничным условиям для нахождения возмущенного электроупругого
состояния.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Для бесконечного ортотропного электроупругого пространства функция
Грина )( xxGIJ
(фундаментальное решение) удовлетворяет следующим
уравнениям:
0)(, xxGE JMknJMkJMn
, (10)
где )( xx
— дельта функция Дирака; JM — символ Кронекера, а запя-
тая после индекса означает дифференцирование по соответствующей пере-
менной. В дальнейшем воспользуемся интегральным выражением функции
Грина в виде
321
)(1
3
)()(
)2(
1
)(
dddeDAxxG xxi
JMJM
, (11)
где )(
JMA — соответствующие алгебраические дополнения элементов
матрицы
}{)}({ niiJMnJM EK
; (12)
)(
D — определитель упомянутой матрицы.
Обобщая случай для чисто упругого материала [26] на основе тождест-
ва Сомильяны для пьезоэлектрического материала, учитывая выражения
(8)–(12), представим возмущенное электрическое и напряженное состояния
с помощью неизвестных скачков перемещений и электрического потенциала
на двусторонней поверхности трещины:
S
xxi
M
N
N
N
IJ
N
llJM
I xdxdddexb
D
AE
xU
N
2111
)(
4
1 3
3
2
)(
/)(
)(
4
1
)(
,
Математическое моделирование и анализ напряженного состояния в ортотропной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 121
где для круговой трещины неизвестный вектор )(xb
принимает вид
2/122
2
22
12121
),( )//1()//()//()( axaxaixaxaixaxbxb qpqp
; (13)
a — значения радиуса круговой трещины; ),( qpb
— постоянные четырех-
компонентного вектора, которые в общем случае являются комплексными
числами. Суммирование проводится для M
3 — корней уравнения 0)(
D с
отрицательной мнимой частью при 03 x , а вектор
M
имеет вид
21321 ,,, M
M
. Компоненты напряжений и электрической индук-
ции, учитывая формулы (13), будем находить с помощью выражений
lKiJKliJ UEx ,)(
.)(
/)(
)(
4
2121
)(
4
1 3
3
2
dxdxddexb
D
AEEi xxi
M
N S
N
N
KQ
N
l
N
ppQMiJKl M
На основе преобразований, подобных [26] для случая чисто упругого
материала, в плоскости трещины компоненты напряжений и электрической
индукции можно представить в виде
))/,/(,/,/(
4
)0,,( 2132
2
0
4
1
1
,
),(
21 aaaaFb
i
xx N
N
iJM
qp
qp
MiJ
;)()(
)(
)1,1(),(
2
2
)(
dyKyK
y
e qpqpqpi
(14)
)(),( yK qp
;)(
4
)(1
)1(
2/)(2
2/)(
0 0
2/)( nmqp
nm
nm
nm
n
q
m
p
p
m
q
n
nm y
y
CCC
3
3321
/)(
)(
),,(
N
N
KQN
l
N
ppQMiJKliJM
D
A
EEF
, (15)
где nm — целое четное число; cos1 ; sin2 ; axy /11 ,
axy /22 ; 2/12
2
2
1 )( yyy ; m
nC — биномиальные коэффициенты. Правая
часть уравнений (14) является полиномом степени qp , когда 1y (внут-
ри круговой трещины). Приравнивая коэффициенты при подобных членах
(аналогично случаю чисто упругого материала [26]), учитывая выражения
(15) с помощью выбора неизвестных компонентов ),( qp
Mb ( M =1, 2, 3, 4),
можно удовлетворить граничные условия задачи при заданным силовой на-
грузке и нормальной компоненте электрической индукции полиномиально-
го вида.
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 122
Рассмотрим случай однородной силовой и электрической нагрузок в
ортотропном электроупругом материале. Тогда
dbaaaaF
i
x M
N
N
iJMiJ
)0,0(
2132
2
0
4
1
1 ))/,/(,/,/(
4
)(
,
где функция ),,( 321
),,(
iJMF определяется согласно формулам (15).
Из анализа асимптотических выражений компонент напряжений и
электрической индукции в плоскости трещины приходим к выражениям ко-
эффициентов интенсивности напряжений и электрической индукции iJK :
4/142
2
42
1 )//( axaxaikiJ
;))/,/(,/,/( )0,0(2
2
2
13
2
2
2
4
1
1 M
N
N
iJM baxaxaxaxF
33I kK ; 232131II nknkK ; 132231III )( nknkK ; 34IV kKK D . (16)
Компоненты вектора нормали для круговой трещины имеют вид
2/142
2
42
1
2
11 )///()/( axaxaxn , 2/142
2
42
1
2
22 )///()/( axaxaxn .
Воспользовавшись при вычислениях одномерных интегралов методом
квадратур Гаусса и удовлетворив граничные условия, находим неизвестные
значения скачков перемещений и электрического потенциала на двусторон-
ней поверхности круговой трещины.
Для апробации используемого подхода рассмотрим задачу о круговой
трещине в трансверсально-изотропной электроупругой среде, расположен-
ной в плоскости, перпендикулярной оси симметрии материала, при извест-
ных значениях основного поля 00
33 , 00
13 , 00 zD в электроупругом
пространстве. Согласно результатам [14, 15] в этом случае коэффициент ин-
тенсивности напряжения (КИН) определяются с помощью аналитических
выражений:
)(
2
0I aPK
;
cos)(
)2(
4 0
10II aK
PIEZO
;
sin)(
)2(
)1(4 0
10III aK
PIEZO
PIEZO , (17)
где значение PIEZO для пьезоэлектрических трансверсально-изотропных
материалов зависит специальным образом от электроупругих постоянных
материалов [14]. Согласно проведенным исследованиям для пьезоэлектри-
ческих материалов PZT-4, PXE-5, PZT-7A, BaTiO3, PZT-5H, свойства кото-
рых взяты из работ [1, 9, 12, 17], получаем следующие значения PIEZO :
0,48513; 0,48815; 0,47324; 0,34369; 0,7867. Для апробации развиваемого
подхода коэффициенты интенсивности напряжений вычислялись как по
формулам (16), так и по явным выражениям (17). При расчетах на основе
(16) применялись квадратурные формулы Гаусса по 24 узлам. Расчеты пока-
Математическое моделирование и анализ напряженного состояния в ортотропной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 123
зали совпадение результатов до семи значащих чисел во всем диапазоне из-
менения угла и для всех пяти различных пьезоэлектрических материалов.
Другим частным случаем рассматриваемой задачи, выбранным для ап-
робации вычислительного алгоритма, был случай расположения плоской
круговой трещины в чисто упругом ортотропном материале (в плоскости
упругой симметрии), для которого проводились сравнения с данными [16].
Для этого при вычислениях на основе развиваемого подхода значения пяти
пьезомодулей и величины трех диэлектрических проницаемостей полага-
лись близкими к нулевым значениям (при расчетах они получались умноже-
нием исходных значений этих величин на 1010 ). В результате проведенных
исследований получено совпадение результатов вычислений для КИН IK ,
IIK , IIIK до шести значащих чисел, полученных с помощью применения
функции Грина для задачи теории упругости (для чисто упругой ортотроп-
ной среды) и функции Грина для задачи электроупругости (с обнуленными
электрическими свойствами).
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Рассмотрим ортотропный пьезоэлектрический материал Ba2NaNb5O15, упру-
гие и электрические свойства которого содержат 17 независимых постоян-
ных, значения которых приведены в работе [3]. Полагаем, что круговая тре-
щина расположена в плоскости xy пьезоэлектрического материала
Ba2NaNb5O15. Также при расчетах воспользуемся упругими свойствами двух
стеклопластиков (ортогонально-армированный 2:1 и СТЭТ), которые явля-
ются ортотропными материалами; их данные приведены в монографии
[2 с. 64]. Распределение КИН IK при постоянном давлении 0P на поверхно-
сти круговой трещины показано на рис. 1, распределение КИН IIK , IIIK
вдоль фронта (границы) круговой трещины при сдвиге 0
yz в электроупру-
гом материале — на рис. 2, 3. Кривые 1, 2, 3 соответствуют материалам
Ba2NaNb5O15: ортогонально-армированному стеклопластику 2:1 и стекло-
пластику СТЭТ соответственно. Видно, что наибольшие значения коэффи-
циентов интенсивности напряжений IK достигаются на фронте круговой
трещины для ортогонально-армированного стеклопластика 2:1. При этом
наиболее опасным является направление развития статической трещины при
постоянном давлении на поверхности трещины вдоль оси 0y, в то время, как
для стеклопластика СТЭТ более опасным направлением является направле-
ние вдоль оси 0x. Максимальные значения КИН IIK достигаются на фронте
трещины вдоль оси 0y для всех расчетных случаев. При этом для наиболь-
шие значения КИН IIK имеем для ортогонально-армированного стеклопла-
стика 2:1. Максимальные значения КИН IIIK для трех расчетных случаев
при сдвиге 0
yz получаем для электроупругого ортотропного материала
Ba2NaNb5O15, которые достигаются на фронте круговой трещины в направ-
лении оси 0x. В то же время для ортогонально-армированного 2:1 и СТЭТ
стеклопластиков максимальные значения КИН IIIK , которые уступают зна-
чениям для материала Ba2NaNb5O15, достигаются в точках фронта круговой
трещины, не лежащих на координатных осях 0x или 0y.
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 124
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе на основе математической модели, учитывающей связанность си-
ловых и электрических полей в пьезоэлектрическом материале, исследовано
a
K
0
I
P
1,35
1,25
1,15
1,05
0 0,5 1,5
1
2
3
Рис. 1. Распределение КИН IK вдоль фронта круговой трещины
a
K
yz
0
II
0,5
–0,5
–1,5
0 0,5 1,5
1
2 3
Рис. 2. Распределение КИН IIK вдоль фронта круговой трещины
a
K
yz
0
III
0,5
–0,5
–1,5
0 0,5 1,5
1
2
3
Рис. 3. Распределение КИН IIIK вдоль фронта круговой трещины
Математическое моделирование и анализ напряженного состояния в ортотропной …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 3 125
напряженное состояние в ортотропной электроупругой среде с круговой
трещиной. Изучено распределение коэффициентов интенсивности напряже-
ний вдоль фронта трещины, расположенной в плоскости симметрии мате-
риала при постоянном давлении на поверхности трещины, а также в случае
сдвига в материале.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гринченко В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга.
— К.: Наук. думка, 1989. — 279 с.
2. Лехницкий С.Г. Теория упуругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. —
М.: Наука, 1977. — 415 с.
3. Партон В.З. Электроупругость пьезокерамических и электропроводных тел /
В.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. — М.: Наука, 1988. — 472 с.
4. Шульга М.О. Резонансні електромеханічні коливання п’єзоелектричних пла-
стин / М.О. Шульга, В.Л. Карлаш. — К.: Наук. думка. — 2008. — 270 с.
5. Chen W.Q. 3D point force solution for a permeable penny-shaped crack embedded in
an infinite transversely isotropic piezoelectric medium / W.Q. Chen, C.W. Lim //
Int. J. Fract. — 2005. — 131, N 3. — P. 231–246.
6. Chen W.Q. Exact three-dimensional solutions of laminated orthotropic piezoelectric
rectangular plates featuring interlaminar bonding imperfections modeled by a
general spring layer / W.Q. Chen, J.B. Cai, G.R. Ye, Y.F. Wang // International
Journal of Solids and Structures. — 2004. — 41, N 18–19. — P. 5247–5263.
7. Chiang C.R. The nature of stress and electric-displacement concentrations around a
strongly oblate cavity in a transversely isotropic piezoelectric material /
C.R. Chiang, G.J. Weng // Int. J. Fract. 2005. — 134, N 3–4. — P. 319–337.
8. Dai L. Stress concentration at an elliptic hole in transversely isotropic piezoelectric
solids / L. Dai, W. Guo, X.Wang // Int. J. Solids and Struct. — 2006. — 43, N 6.
— P. 1818–1831.
9. Dunn M.L. Electroelastic Field Concentrations In and Around Inhomogeneities In
Piezoelectric Solids / M.L. Dunn, M. Taya // J. Appl. Mech. — 1994. — 61, N 4.
— P. 474–475.
10. Kaloerov S.A. Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multiply
Connected Plates / S.A. Kaloerov, A.A. Samodurov // International Applied
Mechanics. — 2015. — 51, N 6. — P. 623–639.
11. Kaloerov S.A. Determining the intensity factors for stresses, electric-flux density,
and electric-field strength in multiply connected electroelastic anisotropic media /
S.A. Kaloerov // Int. Appl. Mech. — 2007. — 43, N 6. — P. 631–637.
12. Karnaukhov V.G. Forced Resonant Vibrations and Self-Heating of Solids of
Revolution Made of a Viscoelastic Piezoelectric Material / V.G. Karnaukhov,
V.I. Kozlov, A.V. Zavgorodnii, I.N. Umrykhin // International Applied
Mechanics. — 2015. — 51, N 6. — Р. 614–622.
13. Kirilyuk V.S. Elastic state of a transversely isotropic piezoelectric body with an
arbitrarily oriented elliptic crack / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2008. —
44, N 2. — P. 150–157.
14. Kirilyuk V.S. On the stress state of a piezoceramic body with a flat crack under
symmetric loads / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2005. — 41, N 11. —
P. 1263–1271.
15. Kirilyuk V.S. Stress state of a piezoelectric ceramic body with a plane crack under
antisymmetric loads / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2006. — 42, N 2. —
P. 152–161.
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 3 126
16. Kirilyuk V.S. Stress state of an elastic orthotropic medium with elliptical crack under
tension and shear / V.S. Kirilyuk // International Applied Mechanics. — 2005. —
41, N 4. — Р. 358–366.
17. Kirilyuk V.S. Thermostressed state of a piezoelectric body with a plane crack under
symmetric thermal load / V.S. Kirilyuk // International Applied Mechanics. —
2008. — 44, N 3. — Р. 320–330.
18. Levchenko V.V. Effect of Boundary Conditions on the Natural Frequencies and
Vibration Modes of Piezoelectric Plates with Radially Cut Electrodes /
V.V. Levchenko // International Applied Mechanics. — 2015. — 51, N 2. —
Р. 187–195.
19. Lin S. Electroelastic analysis of a penny-shaped crack in a piezoelectric ceramic
under mode I loading / S. Lin, F. Narita, Y. Shindo // Mech. Res. Com. — 2003.
— 30, N 4. — P. 371–386.
20. Podil’chuk Yu.N. Representation of the general solution of statics equations of the
electroelasticity of a transversally isotropic piezoceramic body in terms of
harmonic functions / Yu.N. Podil’chuk // International Applied Mechanics. —
1998. — 34, N 7. — Р. 623–628.
21. Podil’chuk Yu.N. Electroelastic equilibrium of transversally isotropic, piezoceramic
media containing cavities, inclusions, and cracks / Yu.N. Podil’chuk //
International Applied Mechanics. — 1998. — 34, N 10. — P. 1023–1034
22. Shang F. Theoretical investigation of an elliptical crack in thermopiezoelectric
material. Part 1: Analitical development / F. Shang, M. Kuna, T. Kitamura //
Theor. Appl. Fract. Mech. — 2003. — 40, N 3. — P. 237–246.
23. Sladek J. Crack analyses in porous piezoelectric brittle materials by the SBFEM /
J. Sladek, V. Sladek, S. Krahulec, C. Song // Engineering Fracture Mechanics. —
2016. — 160. — P. 78–94.
24. Wang Y.J. The anti-plane solution for the edge cracks originating from an arbitrary
hole in a piezoelectric material / Y.J. Wang, C.F. Gao, H.P. Song // Mechanics
Research Communications. — 2015. — 65. — P. 17–23.
25. Wang Z.K. The general solution of three-dimension problems in piezoelectric media
/ Z.K. Wang, B.L. Zheng // Int. J. Solids Structures. — 1995. — 32, N 1. —
P. 105–115.
26. Willis J.R. The stress field around an elliptical crack in an anisotropic elastic medium
/ J.R. Willis // Int.J. Eng. Sci. — 1968. — 6, N 5. — P. 253–263.
27. Zhang T.Y. Fracture behaviors of piezoelectric materials / T.Y. Zhang, C.F. Gao //
Theor. Appl. Fract. Mech. — 2004. — 41, N 1–3. — P. 339–379.
28. Zhao M.H. Singularity analysis of planar cracks in three-dimensional piezoelectric
semiconductors via extended displacement discontinuity boundary integral
equation method / M.H. Zhao, Y. Li, Y. Yan, C.Y. Fan // Engineering Analysis
with Boundary Elements. — 2016. — 67. — P. 115–125.
29. Zhao M.H. Extended displacement discontinuity method for analysis of cracks in 2D
poezoelectricsemiconductors / M.H. Zhao, Y.B. Pan, C.Y. Fan, G.T. Xu //
International Journal of Solids and Structures. — 2016. — 94–95. — P. 50–
59.
30. Zhou Y. Semi-analytical solution for orthotropic piezoelectric laminates in
cylindrical bending with interfacial imperfections / Y. Zhou, W.Q. Chen, C.F. Lu
// Composite Structures. — 2010. — 92, N 4. — P. 1009–1018.
Надійшла 27.07.2017
|
| id | journaliasakpiua-article-106880 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:21:43Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/a2/1279c48f643020589103266fa96a43a2.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1068802018-03-30T15:35:21Z Mathematical modeling and analysis of the stressed state in the orthotropic piezoelectric medium with a circle crack Математическое моделирование и анализ напряженного состояния в ортотропной пьезоэлектрической среде с круговой трещиной Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною Kirilyuk, Vitaliy Levchuk, Olga Gavrilenko, Olena mathematical modeling coupled equations systems of electroelasticity orthotropic piezoelectric materials flat circle crack uniform loading stress intensity factors математическое моделирование связанная система уравнений электроупругости ортотропный пьезоэлектрический материал плоская круговая трещина однородные нагрузки коэффициенты интенсивности напряжений математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал плоска кругова тріщина однорідні навантаження коефіцієнти інтенсивності напружень A mathematical model for the analysis of the stress state in an orthotropic electroelastic material with a circular (penny-shaped) crack is developed. The model is based on the consideration of the coupled system of electroelasticity equations. The problem on electric and stress states in orthotropic piezoelectric space with an elliptical crack under the force and electric loading was considered. The solution of the problem was obtained by means of using of the triple Fourier transform and Fourier image of Green's function for an infinite orthotropic piezoelectric medium. The approach was tested in the case of the location crack in the isotropy plane of transversely isotropic piezoelectric material for which there was an exact solution of the problem. The comparison of the calculated results confirmed the high efficiency of the used approach. Numerical experiments were conducted and distributions of stress intensity factors along elliptical crack front in orthotropic piezoelectric materials and elastic orthotropic materials under uniform force loading were investigated. Развита математическая модель для анализа напряженного состояния в ортотропном электроупругом материале с круговой (дискообразной) трещиной. Модель базируется на рассмотрении связанной системы уравнений электроупругости. Рассмотрена задача об электрическом и напряженном состоянии в ортотропном электроупругом пространстве с круговой трещиной при однородных силовых и электрических нагружениях. Решение задачи получено с помощью использования тройного преобразования Фурье и Фурье-образа функции Грина для бесконечной пьезоэлектрической среды. Тестирование подхода проводилось для случая расположения трещины в плоскости изотропии трансверсально-изотропного пьезоэлектрического материала, для которого существует точное решение задачи. Сравнение результатов вычислений подтверждает высокую эффективность использованного подхода. Проведены числовые исследования, изучено распределение коэффициентов интенсивности напряжений вдоль фронта круговой трещины в электроупругом ортотропном материале и упругих ортотропных материалах при однородных нагружениях. Развинуто математичну модель для аналізу напруженого стану в ортотропному електропружному матеріалі з круговою (дископодібною) тріщиною. Модель базується на розгляді зв’язаної системи рівнянь елек-тропружності. Розглянуто задачу про електричний та напружений стани в ортотропному електропружному просторі з круговою тріщиною за силових та електричних навантажень. Розв’язок задачі отримано за допомогою використання потрійного перетворення Фур’є та Фур’є-образу функції Гріна для нескінченного орторопного п’єзоелектричного середовища. Тестування підходу виконувалося для випадку розміщення тріщини у площині ізотропії трансверсально-ізотропного п’єзоелектричного матеріалу, для якого існує точний розв’язок задачі. Порівняння результатів обчислень підтверджує високу ефективність використаного підходу. Проведено числові дослідження, вивчено розподіл коефіцієнтів інтенсивності напружень уздовж фронту кругової тріщини в електропружному ортотропному матеріалі та пружних ортотропних матеріалах за однорідних навантажень. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-09-29 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106880 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.3.11 System research and information technologies; No. 3 (2017); 117-126 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2017); 117-126 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2017); 117-126 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106880/111349 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал плоска кругова тріщина однорідні навантаження коефіцієнти інтенсивності напружень Kirilyuk, Vitaliy Levchuk, Olga Gavrilenko, Olena Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною |
| title | Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною |
| title_alt | Mathematical modeling and analysis of the stressed state in the orthotropic piezoelectric medium with a circle crack Математическое моделирование и анализ напряженного состояния в ортотропной пьезоэлектрической среде с круговой трещиной |
| title_full | Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною |
| title_fullStr | Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною |
| title_short | Математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною |
| title_sort | математичне моделювання і аналіз напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному середовищі з круговою тріщиною |
| topic | математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал плоска кругова тріщина однорідні навантаження коефіцієнти інтенсивності напружень |
| topic_facet | mathematical modeling coupled equations systems of electroelasticity orthotropic piezoelectric materials flat circle crack uniform loading stress intensity factors математическое моделирование связанная система уравнений электроупругости ортотропный пьезоэлектрический материал плоская круговая трещина однородные нагрузки коэффициенты интенсивности напряжений математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал плоска кругова тріщина однорідні навантаження коефіцієнти інтенсивності напружень |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106880 |
| work_keys_str_mv | AT kirilyukvitaliy mathematicalmodelingandanalysisofthestressedstateintheorthotropicpiezoelectricmediumwithacirclecrack AT levchukolga mathematicalmodelingandanalysisofthestressedstateintheorthotropicpiezoelectricmediumwithacirclecrack AT gavrilenkoolena mathematicalmodelingandanalysisofthestressedstateintheorthotropicpiezoelectricmediumwithacirclecrack AT kirilyukvitaliy matematičeskoemodelirovanieianaliznaprâžennogosostoâniâvortotropnojpʹezoélektričeskojsredeskrugovojtreŝinoj AT levchukolga matematičeskoemodelirovanieianaliznaprâžennogosostoâniâvortotropnojpʹezoélektričeskojsredeskrugovojtreŝinoj AT gavrilenkoolena matematičeskoemodelirovanieianaliznaprâžennogosostoâniâvortotropnojpʹezoélektričeskojsredeskrugovojtreŝinoj AT kirilyukvitaliy matematičnemodelûvannâíanalíznapruženogostanuvortotropnomupêzoelektričnomuseredoviŝízkrugovoûtríŝinoû AT levchukolga matematičnemodelûvannâíanalíznapruženogostanuvortotropnomupêzoelektričnomuseredoviŝízkrugovoûtríŝinoû AT gavrilenkoolena matematičnemodelûvannâíanalíznapruženogostanuvortotropnomupêzoelektričnomuseredoviŝízkrugovoûtríŝinoû |