Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту
A criterion for estimation of the quality of a truncated orthogonal subplan of the complete factor experiment plan is introduced, which characterizes the level of mixing effects of the factors and their interactions. A method for calculation the degree of representativeness for truncated orthogonal...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2010
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106942 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334293430206464 |
|---|---|
| author | Seraya, O. V. Domin, D. A. |
| author_facet | Seraya, O. V. Domin, D. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "O. V. Seraya",
"institution": null
},
{
"author": "D. A. Domin",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Seraya, O. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-06T12:28:40Z |
| description | A criterion for estimation of the quality of a truncated orthogonal subplan of the complete factor experiment plan is introduced, which characterizes the level of mixing effects of the factors and their interactions. A method for calculation the degree of representativeness for truncated orthogonal plans is proposed. Taking into account of the criterion makes it possible to improve the estimate accuracy for multifactor regression under the conditions of small selection. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:21:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Д.А. Демин, О.В. Серая, 2010
84 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3
УДК 519.681
ОЦЕНКА ПРЕДСТАВИТЕЛЬНОСТИ УСЕЧЕННЫХ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОДПЛАНОВ ПЛАНА ПОЛНОГО
ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
О.В. СЕРАЯ, Д.А. ДЕМИН
Введен критерий оценки качества усеченного ортогонального подплана плана
полного факторного эксперимента, характеризующий уровень смешивания
влияний факторов и их взаимодействий. Предложена методика расчета степе-
ни представительности усеченных ортогональных планов. Учет введенного
критерия позволяет повысить точность оценивания параметров многоопера-
торной регрессии в условиях малой выборки.
ВВЕДЕНИЕ
При решении большого числа разнообразных задач в технике, экономике,
социологии и т.д. традиционно возникает проблема анализа системы типа
«состав – свойство». Общепринятый и широко используемый подход к ре-
шению этой проблемы состоит в выявлении и отборе совокупности факто-
ров, предположительно влияющих на значение некоторой функции отклика,
характеризующей эффективность функционирования системы. Эта функция
отклика обычно формализуется в виде нелинейного по факторам, но линей-
ного по параметрам уравнения регрессии. Задача состоит в оценивании па-
раметров этого уравнения путем статистической обработки результатов пас-
сивного эксперимента. Характерная трудность решения практических задач
этого типа в условиях большого числа влияющих факторов состоит в недос-
таточности экспериментальных данных. Описанный в [1] подход позволяет
осуществить искусственную ортогонализацию пассивного эксперимента,
что потенциально обеспечивает возможность независимого оценивания сте-
пени влияния факторов и их взаимодействий. При этом в случае неоднород-
ности плана полного факторного эксперимента (ПФЭ) в смысле ошибок из-
мерения значений функции откликов [1] предложена методика построения
усеченного ортогонального подплана ПФЭ.
Построение усеченного представительного ортогонального плана про-
изводится следующим образом. Пусть количество факторов равно m . Разо-
бьем эту совокупность факторов на три подмножества { }CBA ,, по
3
mp =
факторов в каждом, например,
{ } { } { }ppppppp FFFCFFFBFFFA 3221222121 ,...,, ,,...,,,,...,, ++++ === .
Далее введем независимую нумерацию факторов в этих подмно-
жествах.
Оценка представительности усеченных ортогональных подпланов плана …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 85
Пусть
plFFFFFF lp
C
llp
B
ll
A
l ,...,2,1 ,,, 2 ==== ++ .
Сформируем ортогональный полный m -факторный план. Общее число
экспериментов плана равно m2 , а количество экспериментов, соответст-
вующих всем возможным комбинациям уровней для факторов, входящих в
любое из подмножеств, равно p2 . Пронумеруем эти комбинации для факто-
ров A
lF , pl ,...,2,1= индексом 1i , а для факторов подмножеств B
lF ,
pl ,...,2,1= и C
lF , pl ,...,2,1= соответственно индексами 1i и 2i . Тогда лю-
бой строке плана может быть поставлена во взаимнооднозначное соответст-
вие тройка ( 321 iii ).
Множество комбинаций индексов { 1i 2i 3i } может быть представлено в
виде трехмерной решетки с p2 узлами по каждой из трех координат. Вве-
дем параметр
⎩
⎨
⎧
=
случае.противномв0
,тэксперименввключена),,(строкаесли,1 321
321
iii
Z iii
Понятно, что набор значений { }
321 iiiZ , pi 2,...,2,11 = , pi 2,..,2,12 = ,
pi 2,...,2,13 = , однозначно определяет некоторый план эксперимента, содер-
жащий число строк, равное числу единиц в наборе. Введем теперь следую-
щую систему уравнений с булевыми переменными
1
2
13
321
=∑
=
p
i
iiiZ , pi 2,...,2,11 = , pi 2,..,2,12 = , (1)
1
2
12
321
=∑
=
p
i
iiiZ , pi 2,...,2,11 = , pi 2,..,2,12 = , (2)
1
2
11
321
=∑
=
p
i
iiiZ , pi 2,...,2,11 = , pi 2,..,2,12 = . (3)
Как доказано в [1], любое решение системы уравнений (1)–(3) опреде-
ляет симметричный ортогональный план эксперимента с числом строк, рав-
ным p22 .
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Выбранное решение системы уравнений (1)–(3) однозначно задает выде-
ляемую совокупность строк полного факторного эксперимента, которые об-
разуют ортогональный усеченный подплан ПФЭ. Отметим, что различные
подпланы, соответствующие разным решениям системы уравнений (1)–(3),
отличаются уровнем представительности, который вычисляется по
формуле:
О.В. Серая, Д.А. Демин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 86
∑ ∑ ∑
= = =
=
p p p
i i i
iiiiii ZF
2
1
2
1
2
1
2
1
1 2 3
321321
σ , (4)
или по формуле
}{max
321321
321
2
2 iiiiii
iii
ZF σ= , (5)
где 2
321 iiiσ — дисперсия оценки значения функции отклика в вершине
( 321 iii ).
При этом соотношение (4) определяет суммарную дисперсию ошибок
оценивания значений функции отклика в ортогональных точках плана, а в
соотношении (5) — максимальную дисперсию. Вместе с тем, важно учиты-
вать, что есть еще один существенный критерий, сегрегирующий разные
планы, смысл которого состоит в следующем. Как показано в [1], решение
системы (1)–(3) обеспечивает ортогональность факторов, входящих в урав-
нение регрессии (1). Однако, взаимодействия факторов в выделенном под-
плане необязательно ортогональны факторам и между собой. Понятно, что
если столбец значений какого-либо взаимодействия не ортогонален столбцу
значений какого-либо фактора или какого-либо другого взаимодействия, то
скалярное произведение этих столбцов примет значение из следующего на-
бора: }2,,2,2{ 21 ppp …+ .
При этом независимое оценивание влияния на функцию отклика каж-
дого из компонентов этого скалярного произведения невозможно, эти влия-
ния смешиваются. Отсюда следует, что степень предпочтительности под-
плана будет тем более высокой, чем меньшее число взаимодействий
факторов не ортогональны факторам и между собой.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Не снижая общности, технологию формирования представительного усе-
ченного ортогонального подплана опишем на конкретном примере. Пусть в
результате искусственной ортогонализации сформирован ПФЭ для шести
факторов, содержащий 6426 = эксперимента.
В соответствии с методикой разобьем совокупность факторов на три
группы по 2=p фактора в каждой. При этом количество экспериментов,
соответствующих всем возможным комбинациям уровней для факторов,
входящих в любое подмножество, равно 422 2 ==p . Перенумеруем эти
комбинации для факторов первого подмножества индексом 1i , второго —
индексом 2i и третьего — индексом 3i . Теперь любой строке ПФЭ можно
поставить в соответствие тройки ( 321 iii ), }4,3,2,1{1 ∈i , }4,3,2,1{2 ∈i ,
}4,3,2,1{3 ∈i
Трехмерную решетку ( 321 iii ) удобно представить в виде четырех пла-
нарных сечений следующим образом (рисунок).
Оценка представительности усеченных ортогональных подпланов плана …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 87
На рисунке набором единиц задано одно из возможных решений сис-
темы уравнений (1)–(3). Легко найти множество строк, соответствующих
какому-либо решению системы (1)–(3) и образующих подплан ПФЭ. Для
этого необходимо каждой компоненте набора }{
321 iiiZ , являющегося реше-
нием системы уравнений (1)–(3), поставить в соответствие номер строки,
вычисляемой по формуле
)1(2)1(2)1()( 32
2
1321 −+−+−= iiiiiil pp .
При этом, например компоненте 1111 =Z соответствует номер строки
0)111( =l , а компоненте 1443 =Z — номер строки 6221248)443( =++=l .
Перечислим все множество номеров строк, выделяемых решением, пред-
ставленным на рисунке.
}63;58;53;52;46;41;40;35;29;28;23;18;16;11;6;1{=L .
Теперь для этого подплана рассчитываем скалярные произведения век-
торов-столбцов, соответствующих факторам, и их взаимодействий. При
этом, в частности, оказывается, что
8,,8,,16,,8, 34512351462351 =〉〈=〉〈−=〉〈−=〉〈 FFFFFFFF .
Это означает, что влияние фактора 1F смешивается с влиянием взаи-
модействия 35F , влияние фактора 2F смешивается с влиянием взаимодей-
ствия 46F и т.д. Совокупность пар неортогональных векторов-столбцов оп-
ределяют качество выбранного подплана. Важно заметить, что выявляемые
в результате описанной процедуры свойства подплана никак не связаны с
3i 3i
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1
2i 2 1 2i 2 1
3 1 3 1
4 1 4 1
1 11 =i 4 21 =i
3i 3i
1 2 3 4 2 3 1 2 3 4
1 1 1 1
2i 2 1 2i 2 1
3 1 3 1
4 1 4 1
31 =i 41 =i
Рисунок. Одно из решений системы (1)–(3)
О.В. Серая, Д.А. Демин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 88
результатами эксперимента и поэтому для каждого возможного решения
системы могут быть проанализированы заранее.
Общее число возможных решений системы уравнений (1)–(3), очевид-
но, равно !2!)2(!)2( 1 …−= ppN . Если 2=p , то 288!2!3!4 ==N . Степень
предпочтительности плана тем выше, чем выше порядок взаимодействия
факторов, смешиваемых с основными факторами, и чем меньше общее чис-
ло пар неортогональных столбцов.
ВЫВОДЫ
Таким образом, традиционный набор критериев, используемый обычно при
выборе одного из множества возможных усеченных ортогональных под-
планов плана полного факторного эксперимента, дополнен еще одним,
существенно характеризующим качество усеченного подплана. Введенный
критерий определяет уровень смешивания влияний факторов и их взаимо-
действий на значение функции отклика.
ЛИТЕРАТУРА
1. Серая О.В., Демин Д.А. Оценивание параметров уравнения регрессии в
условиях малой выборки // Восточно-Европейский журнал передовых тех-
нологий. — 2009. — № 6/4(42). — С. 14–19.
Поступила 02.02.2010
|
| id | journaliasakpiua-article-106942 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:21:48Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/ed/15f9a447d6eff20c9cd334b1c31630ed.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1069422018-04-06T12:28:40Z Estimation of representative truncated orthogonal subplans of complete factor experiment plan Оценка представительности усеченных ортогональних подпланов плана полного факторного эксперимента Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту Seraya, O. V. Domin, D. A. A criterion for estimation of the quality of a truncated orthogonal subplan of the complete factor experiment plan is introduced, which characterizes the level of mixing effects of the factors and their interactions. A method for calculation the degree of representativeness for truncated orthogonal plans is proposed. Taking into account of the criterion makes it possible to improve the estimate accuracy for multifactor regression under the conditions of small selection. Введен критерий оценки качества усеченного ортогонального подплана плана полного факторного эксперимента, характеризующий уровень смешивания влияний факторов и их взаимодействий. Предложена методика расчета степени представительности усеченных ортогональных планов. Учет введенного критерия позволяет повысить точность оценивания параметров многооператорной регрессии в условиях малой выборки. Введено критерій оцінки якості усіченого ортогонального підплану плану повного факторного експерименту, що характеризує рівень змішування впливів факторів та їх взаємодій. Запропоновано методику розрахунку ступеня показності усічених ортогональних планів. Облік введеного критерію дозволяє підвищити точність оцінювання параметрів багатофакторної регресії в умовах малої вибірки. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2010-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106942 System research and information technologies; No. 3 (2010); 84-88 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2010); 84-88 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2010); 84-88 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106942/101939 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Seraya, O. V. Domin, D. A. Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту |
| title | Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту |
| title_alt | Estimation of representative truncated orthogonal subplans of complete factor experiment plan Оценка представительности усеченных ортогональних подпланов плана полного факторного эксперимента |
| title_full | Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту |
| title_fullStr | Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту |
| title_full_unstemmed | Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту |
| title_short | Оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту |
| title_sort | оцінка представницьких усічених ортогональних підпланів плану повного факторного експерименту |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106942 |
| work_keys_str_mv | AT serayaov estimationofrepresentativetruncatedorthogonalsubplansofcompletefactorexperimentplan AT dominda estimationofrepresentativetruncatedorthogonalsubplansofcompletefactorexperimentplan AT serayaov ocenkapredstavitelʹnostiusečennyhortogonalʹnihpodplanovplanapolnogofaktornogoéksperimenta AT dominda ocenkapredstavitelʹnostiusečennyhortogonalʹnihpodplanovplanapolnogofaktornogoéksperimenta AT serayaov ocínkapredstavnicʹkihusíčenihortogonalʹnihpídplanívplanupovnogofaktornogoeksperimentu AT dominda ocínkapredstavnicʹkihusíčenihortogonalʹnihpídplanívplanupovnogofaktornogoeksperimentu |