Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів
A mathematic model for calculation of thermostressed state of shell constructs is proposed as an improved theory of anisotropic shells which is built using the method of hypotheses. The thermostressed state of a shell construct is investigated taking into account the experimental data obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2010
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106950 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334293578055680 |
|---|---|
| author | Moskaleva, E. V. |
| author_facet | Moskaleva, E. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "E. V. Moskaleva",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Moskaleva, E. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-06T12:28:40Z |
| description | A mathematic model for calculation of thermostressed state of shell constructs is proposed as an improved theory of anisotropic shells which is built using the method of hypotheses. The thermostressed state of a shell construct is investigated taking into account the experimental data obtained. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:21:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Е.В. Москалева, 2010
108 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3
УДК 678.067.5:539.377
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА
ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕЧНЫХ
КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Е.В. МОСКАЛЕВА
Предложена математическая модель расчета термонапряженного состояния
оболочечных конструктивных элементов в виде уточненной теории анизо-
тропных оболочек, построенной методом гипотез. Исследуется термонапря-
женное состояние конструктивного оболочечного элемента с учетом получен-
ных экспериментальных данных.
В работе приводится математическая модель расчета термонапряженного
состояния оболочечных конструктивных элементов в виде уточненной тео-
рии анизотропных оболочек, построенной методом гипотез. Эту теорию
можно рассматривать как второе приближение при решении краевой задачи
пространственной теории упругости методом взвешенных невязок [1].
Цель работы — предложить математическую модель оценивания тер-
монапряженного состояния конструктивного элемента спукаемого аппарата
(СА) в виде цилиндрической оболочки из реального теплозащитного мате-
риала. С учетом фактического распределения температуры в слое теплоза-
щитного покрытия в процессе спуска аппарата с орбиты в плотных слоях
атмосферы.
Теплозащитный материал (ТЗМ) представляет собой стеклотекстолит
из кремнеземных тканей на основе фенолформальдегидного связующего
(ФФС) со стандартным соотношением объемов наполнителя и матрицы: 67
и 33 % [2].
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ
АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
Оболочка рассматривается как анизотропное упругое тело, имеющее в каж-
дой точке плоскость упругой симметрии, касательную к поверхности
const=z . Со срединной поверхностью оболочки связана система ортого-
нальных криволинейных координат 21,αα и z , причем координатная линия
z направлена перпендикулярно к серединной поверхности. Предполагается
отсутствие объемных сил и не учитываются члены порядка hki по сравне-
нию с единицей.
На лицевых поверхностях оболочки заданы статистические граничные
условия
3,1,3 == ±± iqiiσ при 2/hz ±= , (1)
где ),( 21 ααii qq = .
Математическая модель расчета термонапряженного состояния …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 109
Для приведения краевой задачи трехмерной теории упругости к двух-
мерной введем следующие гипотезы:
• статистические: поперечные касательные 13σ и 23σ , и нормальное
33σ напряжения распределены по толщине оболочки по закону полинома
соответственно четвертой и пятой степени от координаты z , т.е.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++= 2
2
2
2
3
41
h
z
h
z
h
z
h
zq
h
m
iii
ii
i χψϕσ , 2,1=i ;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++= 2
2
3
3
2
2
33
33
41
h
z
h
z
h
z
h
z
h
zq
h
m
δχψϕσ ;
• кинематические: тангенциальные 1u и 2u , и нормальная 3u состав-
ляющие вектора перемещения являются полиномами соответственно пятой
и четвертой степени от координаты z .
Представим напряжения и перемещения в виде линейных комбинаций
полиномов Лежандра, т.е.
∑ ∑
= =
==
4
0
5
0
)()(
33 ,
k k
k
k
iik
k
ii PuuPσσ , 2,1=i ;
∑ ∑
= =
==
4
0
5
0
)(
33
)(
3333 ,
k k
k
k
k
k PuuPσσ .
В принятых выражениях )(,,,,,,, k
iiii uδχψϕχψϕ — функции коорди-
нат 1α и ;2α h — толщина пластины; )(ζkP — полиномы Лежандра;
2/)(;;/2 hqqmqqqhz iiiiii
−+−+ −=−==ζ .
С учетом введенных гипотез примем для потенциальной энергии де-
формации:
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎢⎣
⎡ +++= ∫∫ ∑
=S ji
ijijijijijijijij eeeehV
3
1,
)3()3()2()2()1()1()0()0(
7
1
5
1
3
1
2
σσσσ
2121
3
1
)4()4(
5
1
9
1 αασ ddAAe
i
ijij
⎥
⎥
⎦
⎤
+ ∑
=
(2)
(по каждой паре индексов суммирование производится только один раз),
где )0(
ijσ и )1(
ijσ — не самоуравновешенные по толщине оболочки состав-
ляющие напряжений в их разложениях в ряды полиномам Лежандра:
∑
∞
=
=
0
)(
33 )(
k
k
k
ij P ζσσ , где hz /2=ζ ; )2()( ≥kk
ijσ — самоуравновешенные со-
ставляющие напряжений.
Введем в рассмотрение интегральные величины напряжений
∫
−
=
2/
2/
32111111 ),,,1()~,~,,(
h
h
dzPPzMTMT σ ,
Е.В. Москалева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 110
∫
−
=
2/
2/
32222222 ),,,1()~,~,,(
h
h
dzPPzMTMT σ ,
∫
−
=
2/
2/
3212 ),,,1()~,~,,(
h
h
dzPPzHSHS σ ,
∫
−
=
2/
2/
213111 ),,1()~,,(
h
h
dzPzQRQ σ ,
∫
−
=
2/
2/
223222 ),,1()~,,(
h
h
dzPzQRQ σ ,
∫∫
−−
==
2/
2/
330
2/
2/
330 ,
h
h
h
h
dzzMdzT σσ .
Здесь и всюду далее не учитываются члены порядка hki по сравнению
с единицей.
Очевидны следующие равенства:
h
Ti
ii =)0(σ , 2
)1( 6
h
M i
ii =σ ,
h
Ti
ii
~5)2( =σ ,
h
M i
ii
~7)3( =σ , 2,1=i ,
h
S
=)0(
12σ , 2
)1(
12
6
h
H
=σ ,
h
S~5)2(
12 =σ ,
h
H~7)3(
12 =σ ,
h
Qi
i =)0(
3σ ,
h
Ri
i
6)0(
3 =σ ,
h
Qi
i
5)2(
3 =σ , 2,1=i ,
h
T0)0(
33 =σ , 2
0)1(
33
6
h
M
=σ . (3)
Используя полученные формулы и граничные условия (1), находим
)~5(1,
6
2
)4(
32
)3(
3 iiii
ii
i QQm
hh
Rq
−−=−= σσ , 2,1=i .
Аналогично получаем
)3(
332
03)5(
332
)2(
33
03)4(
3
6
2
,
6
, σσσσ −−=−
−
=
h
Mq
h
R
h
Tm i
i .
Представляя компоненты деформации также в виде разложений в ряды
по полиномам Лежандра ∑
∞
=
=
0
)( )(
k
k
k
ijij Pee ζ непосредственным вычислением
находим
)(
31
)(
2
2
1
211
)(
1
1
)(
11
11 kk
k
k uku
A
AA
u
A
e +
∂
∂
+
∂
∂
=
αα
,
Математическая модель расчета термонапряженного состояния …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 111
)(
32
)(
1
1
2
212
)(
2
2
)(
22
11 kk
k
k uku
A
AA
u
A
e +
∂
∂
+
∂
∂
=
αα
,
)(
1
2
1
211
)(
2
1
)(
1
11 k
k
k
z u
A
AA
u
A
w
αα ∂
∂
+
∂
∂
= , )(
2
1
2
212
)(
1
2
)(
2
11 k
k
k
z u
A
AA
u
A
w
αα ∂
∂
+
∂
∂
= ,
)5,0()(
2
)(
1
)(
12 =+= kwwe k
z
k
z
k .
Используя зависимости
z
u
uk
u
A
e
∂
∂
+−
∂
∂
= 1
11
1
3
1
13
1
α
,
z
u
uk
u
A
e
∂
∂
+−
∂
∂
= 2
22
2
3
2
23
1
α
,
z
u
e
∂
∂
= 3
33 ,
а также формулу
dz
dP
Pk
hdz
dP k
k
k 2
1)12(2 −
− +−= , получаем следующие выра-
жения для компонент деформации )(
13
ke и )(
33
ke :
)(2 )5(
1
)3(
1
*
13
)0(
13 uu
h
e ++= ε , )1(
1
1
)0(
3
1
)*(
13
21 u
h
u
A
e +
∂
∂
=
α
,
)(61 )4(
1
)2(
1
1
)1(
3
1
)1(
13 uu
h
u
A
e ++
∂
∂
=
α
, )(101 )5(
1
)3(
1
1
)2(
3
1
)2(
13 uu
h
u
A
e ++
∂
∂
=
α
,
)4(
1
1
)3(
3
1
)3(
13
141 u
h
u
A
e +
∂
∂
=
α
, )5(
1
1
)4(
3
1
)4(
13
181 u
h
u
A
e +
∂
∂
=
α
( )(
23
ke — аналогично),
)(2 )3(
3
)1(
3
)0(
33 uu
h
e += , )(6 )4(
3
)2(
3
)1(
33 uu
h
e += ,
)3(
3
)2(
33
10u
h
e = , )4(
3
)3(
33
14u
h
e = . (4)
Соотношения упругости в уточненной теории анизотропных оболочек
несложно найти непосредственным вычислением, интегрируя соотношения
(2) и (3) с весами, равными 3210 ,,, PPPP :
)(
3313
)(
1216
)(
2212
)(
1111
)(
11
kkkkk eCeCeCeC −++=σ ,
)(
3323
)(
1226
)(
2222
)(
1112
)(
22
kkkkk eCeCeCeC −++=σ ,
)(
3336
)(
1266
)(
2226
)(
1116
)(
12
kkkkk eCeCeCeC −++=σ ,
Е.В. Москалева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 112
)(
2312
)(
1311
)(
13
kkk eKeK −=σ , )(
2322
)(
1312
)(
23
kkk eKeK +−=σ . (5)
Аналогично, используя равенство (4), получаем
)(
1236
)(
2223
)(
1113
)(
33
)(
33
~ kkkkk eCeCeCae +++= σ .
Уравнения равновесия и граничные условия получаем интегрирова-
нием с весами 3210 ,,, PPPP уравнений равновесия и граничных условий на
боковой поверхности упругого тела.
Температурное поле для i-того слоя оболочки определяется из уравне-
ния теплопроводности, которое в цилиндрической системе координат выра-
жается в виде [4]
02
2
0
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
θ
iii
i
z
i
i
r
T
r
K
z
TrK
r
T
r
K , (6)
где )(rKK i
r
i
r = , )(rKK i
z
i
z = , )(rKK ii
θθ = — коэффициенты теплопроводно-
сти, действующей в направлениях r, z, θ. Предполагается, что выполняются
условия тепловой непрерывности по всей поверхности контакта слоев:
1+= ii TT ;
r
TK
r
TK
i
i
r
i
i
r ∂
∂
=
∂
∂ +
+
1
1 .
В рассматриваемом случае торцы цилиндра 0=z , 1=z не смещаются в
своих плоскостях и не подвержены воздействию нормальной нагрузки. При
построении разрешающей системы уравнений мы полагали, что входящие в
нее неизвестные функции должны удовлетворять условиям сопряжения
смежных слоев и условиям на ограничивающих поверхностях 0rr = , Nrr = .
После совместного преобразования уравнений обобщенного закона Гу-
ка (1) и теплопроводности (6) с последующим применением метода разде-
ления переменных для каждой пары значений k и n для i-го слоя получаем
разрешающую систему уравнений.
ОЦЕНКА ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКТИВНОГО
ОБОЛОЧЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
Исследуется термонапряженное состояние конструктивного оболочечного
элемента с учетом полученных эксперементальных данных. Оценка термо-
напряженного состояния конструктивного оболочечного элемента в виде
цилиндрической оболочки из стеклотекстолита на полимерной матрице для
условий, моделирующих реальные при спуске СА с орбиты, выполнена в
соответствии с фактическим распределением температуры в слое теплоза-
щиты в процессе спуска аппарата в плотных слоях атмосферы [2].
Физико-механические характеристики для расчета температурных на-
пряжений определены экспериментально. Коэффициенты температурного
расширения α соответствовали условиям, моделирующие реальные; модули
упругости E при растяжении и сжатии и сдвига γθγθ GGG zz == получены в
Математическая модель расчета термонапряженного состояния …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 3 113
интервале температур 20...1000 °С при нагреве со скоростью 100 град/мин в
нейтральной газовой cреде [3].
Расчет выполнен для нагреваемой внешним температурным воздейст-
вием полой цилиндрической оболочки из стеклотекстолита на основе фе-
нол-формальдегидной смолы длиной 340=L мм, радиусом срединной по-
верхности 90=R мм и толщиной стенки 5=δ мм. Некоторые результаты
решения задачи в виде распределения максимальных величин перемещений
ru и тангенциальных напряжений θτ z и θτ r по длине и толщине теплоза-
щитного покрытия приведены соответственно на рис. 1 и рис. 2.
Тангенциальные напряжения θτ r и rzτ изменяются как по толщине,
так и вдоль длины цилиндра по нелинейному закону. Наибольшими являют-
ся растягивающие тангенциальные напряжения, действующие на глубине
2–2,5 мм от наружной поверхности цилиндра в диапазоне температур
300...700 °С.
В соответствии с полученными данными, наибольшие термические на-
пряжения для теплозащитной оболочки с толщиной 5=δ мм получены в
наружных слоях нагреваемой поверхности; 36,115−=θτ z МПа.
Рис. 1. Распределение радиальных перемещений ru по длине и толщине теплоза-
щитного покрытия из стеклотекстолита на основе ФФС
θτ r
θτ z
Рис. 2. Распределение величин тангенциальных напряжений θτ z и θτ r по длине и
толщине теплозащитного покрытия из стеклотекстолита на основе ФФС
Е.В. Москалева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 3 114
В рассмотренном случае тангенциальные термические напряжения в
цилиндрической оболочке из стеклотекстолита на основе ФФС развиваются
вследствие анизотропии температурного расширения композита: при нагре-
ве в результате термодеструкции в плоскости армирования теплозащитного
материала в одной точке одновременно могут происходить расширение и
усадка, что неизбежно приводит к деформациям сдвига, которые, наклады-
ваясь на термические напряжения в материале вследствие температурных
градиентов, являются причиной возникновения трещин без приложения ка-
ких-либо внешних сил.
ВЫВОДЫ
Проведенные исследования и сопоставление полученных результатов с рас-
четами, выполненными на основании уравнений теории упругости [5] пока-
зали, что привлечение предлагаемой здесь уточненной теории анизотропных
оболочек, построенной методом гипотез, позволяет получать результаты
исследований, совпадающих до 5–7% с расчетами в трехмерной постановке.
Использование уточненной теории анизотропных оболочек, построен-
ной методом гипотез, позволит проводить расчеты конструктивных оболо-
чечных элементов с различными вариантами граничных условий и в
широком диапазоне изменения физико-механических харктеристик компо-
зиционного материала.
Проведение вычислительного эксперимента позволит выбирать мате-
риалы с оптимальными физико-механическими характеристиками, обеспе-
чивающими прочность и надежность функционирования СА.
ЛИТЕРАТУРА
1. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных
оболочек. — Спб.: Изд-во С-Петербургского университета, 1996. — 278 с.
2. Грачева Л.И. Термическое деформирование и работоспособность материалов
тепловой защиты. — Киев: Наукова думка, 2006. — 294 с.
3. Gracheva L.I. Experimental Modeling of Actual Thermal Loading in the Investiga-
tion into Deformation of Decomposing Coatings on the Descent Trajectory /
Modeling, Simulation and Optimization (MSO 2004): Proc. of the IASTEZ Int.
Conference (August 17–19 2004, Kauai, USA). — Canada: IASTED, 2004. —
P. 281–286.
4. Pankratova N.D. Thermo-stressed State of Anisotropic Non-homogeneous Construc-
tiv Elements // Recent Advances in Solids/Structures and Application of Metalic
Materials-1997-ASME International Mechani-Engineering Congress, Dallas,
Texas. Pvp-vol. 369, New York, 1997. — P. 203–210.
5. Pankratova N.D. Deformation of the Anisotropic Non-homogeneous Cylinder //
Journal of Theoretical and Applied Mechanics. —1996. — 34. — № 4. —
P. 733–748.
Поступила 14.01.2010
|
| id | journaliasakpiua-article-106950 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:21:49Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/0d/af3b92caa6d00250d8f685e7a3cf9c0d.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1069502018-04-06T12:28:40Z Mathematic model for calculation of thermostressed state of shell constructs Математическая модель расчета термонапряженного состояния оболочечных конструктивных элементов Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів Moskaleva, E. V. A mathematic model for calculation of thermostressed state of shell constructs is proposed as an improved theory of anisotropic shells which is built using the method of hypotheses. The thermostressed state of a shell construct is investigated taking into account the experimental data obtained. Предложена математическая модель расчета термонапряженного состояния оболочечных конструктивных элементов в виде уточненной теории анизотропных оболочек, построенной методом гипотез. Исследуется термонапряженное состояние конструктивного оболочечного элемента с учетом полученных экспериментальных данных. Запропоновано математичну модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів у вигляді уточненої теорії анізотропних оболонок, побудованої методом гіпотез. Досліджено термонапружений стан конструктивного оболонкового елементу з урахуванням отриманих експериментальних даних. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2010-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106950 System research and information technologies; No. 3 (2010); 108-114 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2010); 108-114 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2010); 108-114 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106950/101949 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Moskaleva, E. V. Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів |
| title | Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів |
| title_alt | Mathematic model for calculation of thermostressed state of shell constructs Математическая модель расчета термонапряженного состояния оболочечных конструктивных элементов |
| title_full | Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів |
| title_fullStr | Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів |
| title_full_unstemmed | Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів |
| title_short | Математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів |
| title_sort | математична модель розрахунку термонапруженого стану оболонкових конструктивних елементів |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/106950 |
| work_keys_str_mv | AT moskalevaev mathematicmodelforcalculationofthermostressedstateofshellconstructs AT moskalevaev matematičeskaâmodelʹrasčetatermonaprâžennogosostoâniâoboločečnyhkonstruktivnyhélementov AT moskalevaev matematičnamodelʹrozrahunkutermonapruženogostanuobolonkovihkonstruktivnihelementív |