Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь
Theoretical propositions are considered concerning design of one-rate and multirate systems for forecasting state and measurement vectors under one-rate discretization of all coordinates as well as under discretization of control and disturbance vectors with small sampling periods and of state and m...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2010
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107204 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866301974065971200 |
|---|---|
| author | Romanenko, V. D. Reutov, A. A. |
| author_facet | Romanenko, V. D. Reutov, A. A. |
| author_sort | Romanenko, V. D. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-06T12:30:55Z |
| description | Theoretical propositions are considered concerning design of one-rate and multirate systems for forecasting state and measurement vectors under one-rate discretization of all coordinates as well as under discretization of control and disturbance vectors with small sampling periods and of state and measurement vectors with large ones. Forecasting functions are developed by using Diophant equations in matrix polinoms. The results of experimental research of the developed forecasting functions under one-rate and multirate discretization are presented. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Д. Романенко, А.А. Реутов, 2010
110 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 62-50
СИНТЕЗ ФУНКЦИЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
СОСТОЯНИЙ НА ОСНОВЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ
В.Д. РОМАНЕНКО, А.А. РЕУТОВ
Рассмотрены теоретические положения проектирования однотемповых и раз-
нотемповых систем прогнозирования векторов состояния и измерения на ос-
нове математических моделей в пространстве состояний при однотемповой
дискретизации всех координат, а также при дискретизации векторов управле-
ния и возмущений с малыми периодами квантования, а векторов состояния и
измерения — с большими. Разработаны функции прогнозирования на базе
диофантовых уравнений в матричных полиномах.
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1–6] описаны методы прогнозирования выходных координат
процессов с использованием диофантовых уравнений на основе динамиче-
ских моделей временных рядов типа «вход–выход» с однотемповой и разно-
темповой дискретизацией. Однако в литературе практически отсутствует
описание применения диофантовых уравнений для прогнозирования на ос-
нове математических моделей в пространстве состояний.
В работе [7] рассмотрен метод синтеза разнотемповых систем прогно-
зирования динамических координат процессов на основе математических
моделей динамики процесса в пространстве состояний. При этом разработка
функции прогнозирования была выполнена на базе диофантовых уравнений
в матричных полиномах. Данный метод обеспечивал прогнозирование на
один большой период квантования h .
Постановка задачи. Выполнить обобщение метода синтеза [7] функ-
ции прогнозирования векторов состояния и измерения на произвольное чис-
ло периодов квантования вперед при однотемповой и разнотемповой дис-
кретизации координат на базе использования диофантовых уравнений в
матричных полиномах.
РАЗРАБОТКА ФУНКЦИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА d ПЕРИОДОВ КВАН-
ТОВАНИЯ 0T ПРИ ОДНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ КООРДИНАТ
Рассмотрим математическую модель состояния процесса с постоянными
параметрами при однотемповой дискретизации координат
[ ] 00000 )()()()1( akTvkTuGkTxFTkx +Φ++=+ , (1)
Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 111
где nRx∈ — вектор переменных состояния; mRu ∈ — вектор переменных
управления; lRv ∈ — вектор возмущений; F — матрица состояния ( nn× );
G — матрица управления ( mn× ); Φ — матрица возмущений )( nn × ;
0a — величина смещения.
Уравнение измерения имеет вид:
)()()( 000 kTwkTxCkTy += , (2)
где rRy∈ — вектор выходных измерений; C — матрица измерения
( rn × ). Возмущения )( 0kTv и шум измерений )( 0kTw представлены в фор-
ме дискретного белого шума.
При условии, что известно )( 0kTx , разностное уравнение (1) можно
решить на интервале d периодов квантования 0T следующим образом:
[ ] ++=+ − )()()( 0
1
00 kTuGFkTxFTdkx dd
[ ] [ ] [ ]+−++−+++++ −
000
2 )1()2(...)1( TdkuGTdkuFGTkuGF d
[ ] [ ]+−+Φ+++Φ+Φ+ −−
00
2
0
1 )2(...)1()( TdkvFTkvFkTvF dd
[ ] 0
21
0 )...()1( aIFFFTdkv dd +++++−+Φ+ −− . (3)
Выполним обратный сдвиг на 0dT :
[ ] [ ]+−+−= −
0
1
00 )()()( TdkuGFTdkxFkTx dd
[ ] [ ] [ ]+−+−+++−+ −
000
2 )1()2()1( TkuGTkuGFTdkuGF d …
[ ] [ ] [ ]+−Φ+++−Φ+−Φ+ −−
00
2
0
1 )2(...)1()( TkvFTdkvFTdkvF dd
[ ] 0
21
0 )...()1( aIFFFTkv dd +++++−Φ+ −− .
Тогда это уравнение можно представить в виде:
…++=− −−−−−− )1(21
0 {)(][ dddddd zGFzGFkTxzFI
…… +Φ+Φ+++ −−−−−−− )1(21
0
12 {)(} dddd zFzFkTuGzzFG
0
21
0
12 )()(} aIFFFkTvzzF dd +++++Φ+Φ+ −−−− …… ,
где 1−z — оператор обратного сдвига на период квантования 0T .
Разрешим предыдущее уравнение относительно )( 0kTx :
…++−= −−−−−−− )1(211
0 {[][)( dddddd zGFzGFzFIkTx
…… +Φ+Φ+++ −−−−−−− )1(21
0
12 [)(] dddd zFzFkTuzGzGF
}]...[)(] 0
21
0
12 aIFFFkTvzzF dd +++++Φ+Φ+ −−−−… .
В.Д. Романенко, А.А. Реутов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 112
Выполним сдвиг вперед на 0dT :
++++−=+ −−−−−−− )1(2211
0 ...{[][])[( ddddd zFFzzIzFIzTdkx
×++++++ −−−−−−−−− ]...[)(] 1)1(221
0
1 dddddd zFzFzFzIkTuGzF
}]...[)( 0
21
0 aIFFFkTv dd +++++Φ× −− . (4)
Введем обозначение матричных полиномов:
][)( 1 dd zFIzA −− −= ;
]...[)( 1)1(2)2(3211 dddddd zFzFzFzFzIzP −−−−−−−−−−− +++++= .
Тогда выражение (4) можно записать так:
+=+ −−− )()()]([])[( 0
111
0 kTuGzPzAzTdkx d
0
11
0
111 )1()]([)()()]([ aPzAkTvzPzAz d −−−−− +Φ+ . (5)
Составим следующее диофантово уравнение:
)()()()( 1111 −−−−− += zRzzLzAzP d , (6)
которое подставим в выражение (5). В результате, получим:
+=+ − )()(])[( 0
1
0 kTuGzLzTdkx d
+Φ+ −−−− )()()()()]([ 0
1
0
111 kTvzLzkTuGzRzA d (7)
0
11
0
111 )1()]([)()()]([ aPzAkTvzRzA −−−−− +Φ+ ,
где матричный полином )( 1−zL имеет структуру:
)1(
2
2
1
11 ...)( −−
−
−−− +++= d
d zLzLzIzL .
Значение матричного полинома )( 1−zR однозначно определяется из
диофантового уравнения (6) при
)()( 11 −− = zPzL . (8)
Тогда получим
)()( 11 −− = zPFzR d . (9)
Из выражения (7), учитывая (8) и (9), определяется прогнозируемое
значение вектора состояния на d периодов квантования 0T .
×+=+ −−−−∗ )()]([)(])([ 111
0
1
00 zPFzAkTuGFkTTdkx dd
0
11
00 )1()]([)]()([ aPzAkTvkTuG −−+Φ+× . (10)
При этом ошибка прогнозирования будет равна
)()()(]...[])[( 0
1
0
221
0 kTvzPzkTuGzFFzzTdke dddd Φ++++=+ −−−− . (11)
Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 113
Учитывая структуру )( 1−zA функцию прогнозирования (10) можно
представить в виде
+−−+=+ −−∗ ])[()()(])([ 0
12
0
1
000 TdkuGFkTuGFkTxFkTTdkx ddd
000
1 )1()]()()[( aPkTvkTuGzPF d +Φ++ − . (12)
Рассмотрим прогнозирование вектора состояния согласно выражению
(12) при неизмеряемых возмущениях )( 0kTv . Для этого определяем из ис-
ходной модели (1)
00000 )()(])1[()( akTuGkTxFTkxkTv −−−+=Φ ,
которое подставляем в (12). Тогда после преобразований получим
−+−−=+ − )()][()(2]|)[( 0
12
000
* kTuGFdkxFkTxFkTTdkx ddd
00
12 )1()1(])[( aPFTdkuGF dd −+−− − . (13)
Прогнозирование вектора измерения выходных координат производит-
ся на основе уравнения измерения (2) и функции прогнозирования (12).
]|)[(]|)[( 00
*
00
* kTTdkxCkTTdky +=+ . (14)
Определим на основе (5), (10) дисперсию ошибки прогнозирования
⋅=+−+ −− 112
00
*
0 )]([{]})([])[({ zAzMkTTdkxTdkxM d
−+Φ+⋅ −−−
0
11
00
1 )1()]([)]()()[( aPzAkTvkTuGzP
+−− −−−− )()[()]([)( 0
111
0
1 kTuGzPFzAkTuGF dd
2
0
11
0 })1()]([)]( aPzAkTv −−−Φ+ ,
где M — оператор математического ожидания. Используя уравнения (6) и
равенства (8), (9) получим:
=+−+ 2
00
*
0 ]})([])[({ kTTdkxTdkxM
2
0
2
0
1
00
1 ]})[({)}()]()()[({ TdkeMkTuGFkTvkTuGzPzM dd +=−Φ+= −− .
Таким образом, при использовании функции прогнозирования (10)
обеспечивается минимизация дисперсии ошибки прогнозирования вектора
состояния ])[( 0Tdkx + .
Пример 1. Уравнение состояния (1) с однотемповой дискретизацией
имеет вид:
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
)(
)(
)(
)(
)(
10000
01000
00100
00010
])1[(
])1[(
])1[(
])1[(
])1[(
05
04
03
02
01
0123405
04
03
02
01
kTx
kTx
kTx
kTx
kTx
fffffTkx
Tkx
Tkx
Tkx
Tkx
В.Д. Романенко, А.А. Реутов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 114
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
005
04
03
02
01
01234
0
0
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
00000
00000
00000
00000
akTv
kTv
kTv
kTv
kTv
CCCCC
,
где коэффициенты равны: 53588,00 =f ; 9539,31 =f ; 50465,12 −=f ; =3f
31682,5−= ; 3145,34 =f ; 10 =c ; 487,01 =c ; 456,32 −=c ; 0297,23 −=c ;
241,34 =c ; 188,00 −=a .
Необходимо выполнить прогнозирование выходной координаты изме-
рения y на 6=d периодов квантования 0T .
На основе (12) прогнозируемое значение вектора состояния вычисляет-
ся по следующей рекуррентной процедуре:
+Φ+=+ − )()()(])6[( 0
16
0
6
0
* kTvzPFkTxFTkX
[ ] +−Φ+−Φ+=+ ])2[()1()()1( 0
7
0
6
0
6 TkvFTkvFkTxFaP
[ ]+−Φ+−Φ+−Φ+ 0
10
0
9
0
8 )5(])4[(])3[( TkvFTkvFTkvF
[ ] 0
5
0
11 )...()6( aFFITkvF ++++−Φ+ .
Прогнозируемые значения вектора состояния [ ]0
* )6( Tkx + сравни-
ваются с вычисленными значениями согласно (3) при 6=d .
+Φ+=+ )()(])6[( 0
5
0
6
0 kTvFkTxFTkx
++Φ++Φ++Φ+ ])3[(])2[(])1[( 0
2
0
3
0
4 TkvFTkvFTkvF
0
45
00 )...(])5[(])4[( aIFFFTkvTkvF ++++++Φ++Φ+ .
Результаты сравнения вычисленной выходной координаты измерения
])6[( 0Tky + на основе уравнения (2) и ее прогнозируемого значения
]|)6[( 00
* kTTky + согласно (13), (14) приведены на рис. 1.
Рис. 1. График моделирования выходной координаты изменения y[(k+6)kT0] при
однотемповой дискретизации (—) и ее прогнозируемого значения y*[(k+6)kT0 | kT0]
(·····)
kT0
y[(k+6)kT0],
y*[(k+6)kT0| kT0]
Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 115
РАЗРАБОТКА ФУНКЦИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА d ПЕРИОДОВ
КВАНТОВАНИЯ h ПРИ РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
КООРДИНАТ
Рассмотрим математическую модель состояния процесса (1) в форме пред-
ставления с большим и малым периодами квантования:
00000 )()()(])1([ aiTrhviTrhuGiTrhxFTirhx ++Φ++++=++ . (15)
При этом увеличенный период квантования
0mTh = , (16)
где m — целое число, большее единицы, а 1...,,2,1,0 −= mi . Номер отсче-
тов r с увеличенным периодом квантования h формируется как целое чис-
ло от деления номера дискретного отсчета k с базовым периодом квантова-
ния 0T на коэффициент m , т. е. ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
k .
Уравнение измерения (2) принимает вид:
)()()( 000 iTrhwiTrhxCiTrhy +++=+ . (17)
При условии, что известно )(rhx , разностное уравнение (15) можно
решить следующим образом:
…++++=+ −− )()()()( 0
21
0 TrhuGFrhuGFrhxFiTrhx iii
+Φ+−++−++ − )(])1([])2([ 1
00 rhvFTirhuGTirhuGF i…
+−+Φ+++Φ+ − ])2([...)( 00
2 TirhvFTrhvF i
0
21
0 )...(])1([ aFFFTirhv ii Ι+++++−+Φ+ −− . (18)
Рассмотрим динамические процессы, в которых выходные координаты
и переменные состояния определяются только в дискретные моменты вре-
мени с увеличенными периодами квантования h по сравнению с малыми
периодами 0T при дискретизации входных сигналов управления и возму-
щающих воздействий. К указанным процессам можно отнести финансово- и
социально-экономические процессы, где выходные координаты измеряются
в дискретные моменты с периодами квантования, равными декаде, месяцу,
полугодию или году. Периоды квантования фиксируемых управлений и
входных возмущений соответственно равны одним суткам, неделе или ме-
сяцу. В многомерных технологических объектах управления некоторые вы-
ходные координаты, которые характеризуют состав и качество продукта,
невозможно измерить с требуемым малым периодом квантования. В таких
случаях для описания динамики этих процессов в дискретном времени не-
обходимо применять математические модели с разнотемповой дискретиза-
цией координат.
При соотношении периодов квантования (16) равенство (18) для mi =
можно представить в виде:
В.Д. Романенко, А.А. Реутов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 116
⎩
⎨
⎧
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ − h
m
kuGFh
m
kxFh
m
kx mm 11
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ −
00
2 )2(... Tmh
m
kuFGTh
m
kuGF m
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ − h
m
kvFTmh
m
kuG m 1
0)1(
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ −
00
2 )2(... Tmh
m
kvFTh
m
kvF m
( ) 0
21
0 ...)1( aIFFFTmh
m
kv mm +++++
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ −− . (19)
Это выражение предсталяет собой уравнение состояния при разнотем-
повой дискретизации координат, когда переменные состояния x определя-
ются в дискретные моменты времени h
m
k
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ , а сигналы управления и воз-
мущения фиксируются в моменты времени 0nT .
При условии, что известно ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡= h
m
kxrhx )( , уравнение (19) будет
иметь следующее решение:
⎩
⎨
⎧
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ − h
m
kuGFh
m
kxFhd
m
kx dmdm 1
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ −
0
2
0
2 )3(... Tdmh
m
kuGFTh
m
kuGF dm
+
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ 00 )1()2( Tdmh
m
kuGTdmh
m
kuFG
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ −−
0
21 Th
m
kvFh
m
kvF dmdm
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ++ 00
2 )2()3(... Tdmh
m
kvFTdmh
m
kvF
0
21
0 )...()1( aIFFFTdmh
m
kv dmdm +++++
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ −− . (20)
Выполним обратный сдвиг на dh .
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ − hd
m
kuGFhd
m
kxFh
m
kx dmdm 1
Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 117
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ −
0
2
0
2 )3(... Tdmhd
m
kuGFThd
m
kuGF dm
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ 00 )1()2( Tdmhd
m
kuGTdmhd
m
kuFG
…+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ −−
0
21 Thd
m
kvFhd
m
kvF dmdm
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ 00
2 )2()3(... Tdmhd
m
kvFGTdmhd
m
kvF
0
21
0 )...()1( aIFFFTdmhd
m
kvG dmdm +++++
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ −− . (21)
Введем оператор обратного сдвига 1
1
−z на величину h1 . Тогда при со-
отношении периодов квантования (16) получим:
mzz −− =1
1 ,
где mz − — оператор обратного сдвига на 01 mTh = .
Тогда уравнение (21) можно представить в виде
[ ] { …++=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−Ι −−−−−− )1(21 dmdmdmdmdmdm GzFGzFh
m
kxzF
} { +Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+++ −−−−− dmdm zFh
m
kuGzzFGzGF 11232…
} +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+Φ+Φ+Φ++Φ+ −−−−−−− h
m
kvzzFzFzFzF dmdm 123243)1(2 ...
{ } 0
21 )... aIFFF dmdm +++++ −− .
Разрешим это уравнение относительно ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ h
m
kx .
[ ] [{ …++−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−−−−−− )1(211 dmdmdmdmdmdm zGFzGFzFIh
m
kx
] [ +Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+++ −−−−− dmdm zFh
m
kuzGzFGzGF 11232…
] +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+Φ+Φ+Φ++Φ+ −−−−−−− h
m
kvzzFzFzFzF dmdm 123243)1(2 ...
] }0
21 ...[ aIFFF dmdm +++++ −− .
В.Д. Романенко, А.А. Реутов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 118
Выполним сдвиг вперед на 0dmTdh = .
[ ] ×−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −− 1
0
dmdmdm zFIzdmTh
m
kxhd
m
kx
[{ +++++× −−−−−− )1(23221 ... dmdm GzFGzFFGzGz
] [ +Φ+Φ+Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ −−−−− 32211 zFzFzh
m
kuGzF dmdm
] +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+Φ++Φ+ −−−−−− h
m
kvzFzFzF dmdmdmdm 1)1(243 ...
[ ] }0
21 ... aIFFF dmdm +++++ −− . (22)
Введем обозначения матричных полиномов.
][)( 1 dmdm zFIzB −− −= . (23)
]...[)( 1)1(232211 dmdmdmdm zFzFzFFzIzzD −−−−−−−−− +++++= . (24)
Тогда выражение (22) можно записать в форме:
[ ] +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−− h
m
kuGzDzBzhd
m
kx dm )()( 111
[ ] +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ −−− h
m
kvzDzBz dm )()( 111
[ ] 0
2111 ]...[)( aIFFFzB dmdm +++++ −−−− . (25)
Составим диофантово уравнение:
)()()()( 1111 −−−−− += zRzzLzBzD dm , (26)
правую часть которого подставляем в выражение (25) вместо )( 1−zD . В ре-
зультате, получим
[ ] +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−−− h
m
kuGzRzBh
m
kuGzLzhd
m
kx dm )()()( 1111
[ ] +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ −−−− h
m
kvzRzBh
m
kvzLz dm )()()( 1111
[ ] [ ] 0
2111 ...)( aIFFFzB dmdm +++++ −−−− . (27)
Значение матричного полинома )( 1−zR определяется из диофантового
уравнения (26) при )()( 11 −− = zDzL . Тогда получим
…+++== −−−−− 322111 [)()( zFzFzIFzDFzR dmdm
Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 119
]1)1(2 dmdmdmdm zFzF −−−−− ++… .
В результате уравнение (27) принимает вид
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ − h
m
kvh
m
kuGzDzhd
m
kx dm )( 1
[ ] [ ] ×+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ −−−−−− )()()()( 111111 zDFzBh
m
kuGzDFzB dmdm
[ ] [ ] 0
2111 ...)( aIFFFzBh
m
kv dmdm +++++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ× −−−− , (29)
откуда с учетом (24) прогнозируемое значение вектора состояния определя-
ется следующим образом:
[ ] ×+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−−− )()( 1111* zDFzBh
m
kuGFh
m
khd
m
kx dmdm
[ ] [ ] 0
2111 ...)( aIFFFzBh
m
kvh
m
kuG dmdm +++++
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡× −−−− . (30)
Согласно выражению (29), вектор ошибок прогнозирования будет равен:
[ ×+++Ι=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−− 211 ... mddm FzFzzhd
m
ke
] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡× −−− h
m
kvzDzh
m
kuGz dmdm )( 1)1( .
Прогнозирование вектора измеряемых выходных координат произво-
дится на основе (17), (30).
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ h
m
khd
m
kxCh
m
khd
m
ky ** . (31)
Учитывая значение матричного полинома )( 1−zB , согласно (23) функ-
цию прогнозирования (30) можно записать так:
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ − h
m
kuGFh
m
kxFh
m
khd
m
kx dmdm 1*
×+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− −− )( 112 zDFhd
m
kuGF dmdm
0
21 ]...[ aFFFh
m
kvh
m
kuG dmdm Ι+++++
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡× −− . (32)
В.Д. Романенко, А.А. Реутов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 120
Для использования функции прогнозирования (32) при неизмеряемых
возмущениях ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0Tih
m
kv , где dmi ,...,2,1= , определяем из выражения
(15) при 0=i 00 ah
m
kuGh
m
kxFTh
m
kxh
m
kv −⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ ,
которое подставляем в (32). После преобразований получим:
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ hd
m
kxFh
m
kxFh
m
khd
m
kx dmdm 2* 2
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+ −− hd
m
kuGFh
m
kuGF dmdm 121
)...)(( 122 −− +++++Ι−Ι+ dmdmdm FFFFF . (33)
Для реализации функций прогнозирования (12), (32), (33) необходима
информация о векторах состояния )( 0kTx , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ h
m
kx в данный момент вре-
мени, которые в общем случае не измеряются. Для решения этой проблемы
необходимо применять фильтр Калмана, с помощью которого производится
оценивание векторов )(ˆ
0kTx , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ h
m
kx̂ .
Пример 2. Уравнение состояния с разнотемповой дискретизацией (19)
при 4=m , 0)( =•u имеет вид:
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0
234
444
1
4
ThkvFhkvFhkxFhkx
[ ] 0
23
00 3
4
2
4
aIFFFThkvThkvF ++++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ ,
где значения матриц F , Φ и векторов x , v приведены в «Примере 1».
Необходимо выполнить прогнозирование вектора состояния ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ hkx
4
на 3=d периодов квантования h . Сравнить прогнозируемое значение вы-
ходной измеряемой координаты
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ hkhky
4
3
4
* согласно (31) с ее
вычисленным значением ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ hkxChky 3
4
3
4
.
На основе (20) можно записать
…+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0
101112
444
3
4
ThkvFhkvFhkxFhkx
Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 121
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ 000
2 11
4
10
4
9
4
ThkvThkvFThkvF…
0
21011 ]...[ aIFFFF ++++++ .
Функцию прогнозирования (32) при 4=m , 3=d представим следую-
щим образом:
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0
1212*
44
3
4
ThkvFhkxFhkx
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ 0
20
0
13 9
4
...2
4
ThkvFThkvF
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ 0
22
0
21 11
4
10
4
ThkvFThkvF
0
21011
0
23 ]...[12
4
aFFFFThkvF Ι++++++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡Φ+ .
На рис. 2 приведены результаты сравнения вычисленного значения вы-
ходной измеряемой координаты ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ hky 3
4
и ее прогнозируемого значе-
ния
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ hkhky
4
3
4
* на основе (31).
ВЫВОДЫ
1. Разработана методика прогнозирования вектора состояния и вектора
измерения динамических процессов на d периодов квантования 0T на ос-
нове представления модели динамики в пространстве состояний с однотем-
Рис. 2. График моделирования выходной координаты изменения y[([k/4]+3)h]
при разнотемповой дискретизации (—) и ее прогнозируемого значения
y*[([k/4]+3)h |[k/4]h]] (·····)
y[([k/4]+3)h],
y*[([k/4]+3)h |[k/4]h]
[k/4]h
В.Д. Романенко, А.А. Реутов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 122
повой дискретизацией путем применения диофантовых уравнений в мат-
ричных полиномах.
2. Разработана модель динамики процесса в пространстве состояний с
разнотемповой дискретизацией, в которой координаты управления и воз-
мущения представлены в дискретные моменты времени с малым периодом
квантования 0T , а координаты векторов состояния и измерения — большим
периодом квантования 0mTh = , где 1>m .
3. Разработана методика прогнозирования векторов состояния и изме-
рения на d периодов квантования h на основе модели динамики процесса в
пространстве состояний с разнотемповой дискретизацией путем применения
диофантовых уравнений в матричных полиномах при измеряемых и неизме-
ряемых возмущениях.
4. Проведено исследование точности прогнозирования, которое заклю-
чается в том, что использование разработанной функции прогнозирования
обеспечивает минимизацию дисперсии ошибки прогнозирования вектора
состояния.
ЛИТЕРАТУРА
1. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. — М.: Мир, 1973.
— 319 с.
2. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. — М.: Мир, 1987. —
480 с.
3. Романенко В.Д., Игнатенко Б.В. Адаптивное управление технологическими
процессами на базе микроЭВМ. — Киев: Вища школа, 1990. — 334 с.
4. Koivo H.M. A multivariable self-tuning controller // Automatica. — 1980. — 16. —
P. 351–366.
5. Clarke D.W., Phil M.A., Gawthrop P.J. Self-tuning controller // Proceedings of the
institution of electrical engineers: Control science. — 1975. — 122. — № 9. —
P. 929–935.
6. Goodwin G.C., Sin K.S. Adaptive filtering prediction and control. — Prentice Hall,
1984. — 539 p.
7. Романенко В.Д., Реутов А.А. Прогнозирование динамических процессов на ос-
нове математических моделей в пространстве состояний с разнотемповой
дискретизацией // Автоматика — 2008: Доповіді XV Міжнар. конф. з авто-
мат. керув., 23–26 вересня 2008 р. — Одеса: ОНМА. — С. 484–487.
Поступила 10.03.2009
|
| id | journaliasakpiua-article-107204 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:16Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/6a/1b1ae4e695298d329782bcc72c958a6a.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1072042018-04-06T12:30:55Z Synthesis of dynamic process forecasting functions for models in state space on the basis of Diophant equations Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве состояний на основе диофантовых уравнений Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь Romanenko, V. D. Reutov, A. A. Theoretical propositions are considered concerning design of one-rate and multirate systems for forecasting state and measurement vectors under one-rate discretization of all coordinates as well as under discretization of control and disturbance vectors with small sampling periods and of state and measurement vectors with large ones. Forecasting functions are developed by using Diophant equations in matrix polinoms. The results of experimental research of the developed forecasting functions under one-rate and multirate discretization are presented. Рассмотрены теоретические положения проектирования однотемповых и разнотемповых систем прогнозирования векторов состояния и измерения на основе математических моделей в пространстве состояний при однотемповой дискретизации всех координат, а также при дискретизации векторов управления и возмущений с малыми периодами квантования, а векторов состояния и измерения — с большими. Разработаны функции прогнозирования на базе диофантовых уравнений в матричных полиномах. Розглянуто теоретичні положення проектування однотемпових та різнотемпових систем прогнозування векторів стану і вимірювання при однотемповій дискретизації всіх координат, а також при дискретизації векторів керування й збурень із малими періодами квантування, а векторів стану й вимірювання — із великими. Розробку функцій прогнозування виконано на основі застосування діофантових рівнянь у матричних поліномах. Наведено результати експериментальних досліджень розроблених функцій прогнозування при однотемповій і різнотемповій дискретизації. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2010-03-29 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107204 System research and information technologies; No. 1 (2010); 110-122 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2010); 110-122 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2010); 110-122 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107204/102188 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Romanenko, V. D. Reutov, A. A. Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь |
| title | Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь |
| title_alt | Synthesis of dynamic process forecasting functions for models in state space on the basis of Diophant equations Синтез функций прогнозирования динамических процессов для моделей в пространстве состояний на основе диофантовых уравнений |
| title_full | Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь |
| title_fullStr | Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь |
| title_full_unstemmed | Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь |
| title_short | Синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь |
| title_sort | синтез функцій прогнозування динамічних процесів для моделей у просторі станів на основі діофантових рівнянь |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107204 |
| work_keys_str_mv | AT romanenkovd synthesisofdynamicprocessforecastingfunctionsformodelsinstatespaceonthebasisofdiophantequations AT reutovaa synthesisofdynamicprocessforecastingfunctionsformodelsinstatespaceonthebasisofdiophantequations AT romanenkovd sintezfunkcijprognozirovaniâdinamičeskihprocessovdlâmodelejvprostranstvesostoânijnaosnovediofantovyhuravnenij AT reutovaa sintezfunkcijprognozirovaniâdinamičeskihprocessovdlâmodelejvprostranstvesostoânijnaosnovediofantovyhuravnenij AT romanenkovd sintezfunkcíjprognozuvannâdinamíčnihprocesívdlâmodelejuprostorístanívnaosnovídíofantovihrívnânʹ AT reutovaa sintezfunkcíjprognozuvannâdinamíčnihprocesívdlâmodelejuprostorístanívnaosnovídíofantovihrívnânʹ |