Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу
The problem of finding of approximate optimal feedback control was considered for an evolutional inclusion of the subdifferential type, perturbed by εF(y), where ε>0 is a small parameter and F is a multivalued mapping. On condition that for ε=0 the problem has unique solution u[t,y] in th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2009
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107277 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334304255705088 |
|---|---|
| author | Yasinsky, V. V. Kapustian, O. A. |
| author_facet | Yasinsky, V. V. Kapustian, O. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. V. Yasinsky",
"institution": null
},
{
"author": "O. A. Kapustian",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Yasinsky, V. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-06T12:33:06Z |
| description | The problem of finding of approximate optimal feedback control was considered for an evolutional inclusion of the subdifferential type, perturbed by εF(y), where ε>0 is a small parameter and F is a multivalued mapping. On condition that for ε=0 the problem has unique solution u[t,y] in the feedback form, it was proved that the formula u[t,y] provides an approximate synthesis for the initial problem for small ε>0. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. Ясінський, О.А. Капустян, 2009
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 109
УДК 517.9
НАБЛИЖЕНІ ЕКСТРЕМАЛЬНІ РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ
ЕВОЛЮЦІЙНИХ ВКЛЮЧЕНЬ СУБДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
ТИПУ
В.В. ЯСІНСЬКИЙ, О.А. КАПУСТЯН
Розглядається задача знаходження наближеного оптимального керування у
формі оберненого зв’язку для еволюційного включення субдиференціального
типу, яке зазнає збурень виду )(yFε , де 0>ε — малий параметр, F —
многозначне відображення. За умови, що при 0=ε задача допускає синтез
],[ ytu , доведено: формула ],[ ytu реалізує наближений синтез вихідної зада-
чі при малих 0>ε .
ВСТУП
Розглядається задача оптимального керування для одного класу еволюцій-
них включень субдиференціального типу. Теорія екстремальних розв’язків
еволюційних включень у нескінченновимірних просторах є сучасним на-
прямом у теорії оптимізації, яка активно розвивається завдяки системному
підходу, розробленому в роботах [1–3]. Використовуючи [1–3], загальні ре-
зультати про розв’язність та властивості розв’язків нескінченновимірних
еволюційних включень з [4–6], а також конструктивні методи точного та
наближеного синтезу в лінійно-квадратичних нескінченновимірних задачах
[7, 8], в статті розв’язана задача наближеного синтезу для еволюційного
включення з правою многозначною частиною виду )(yFε при малих 0>ε
за умови, що при 0=ε має місце точний синтез. Отримані результати за-
стосовано до оптимізаційної моделі збереження колективних знань, запро-
понованої в [9].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТА ОСНОВНІ УМОВИ
Нехай H — сепарабельний гільбертів простір, . і ( )⋅⋅, — норма і скаля-
рний добуток в H , ],(: +∞−∞→Hϕ — власна, опукла, напівнеперервна
знизу функція, HDclH =))(( ϕ , ϕ∂ — її субдиференціал, HHF 2: → —
многозначне відображення, 0>ε — малий параметр.
Для заданих HgHTLp ∈∈ ),;,0(1 розглядається задача оптимального
керування
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈=
∈⋅+++−∂∈
,)0(
),,0(),()()()(
0 Hyy
TttugtpyFy
dt
dy εϕ
(1)
В.В. Ясінський, О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 110
),0()( 2 TLUu ⊂∈⋅ — замкнена, опукла, (2)
inf),( →uyJ . (3)
Нехай { }εε uy ˆ,ˆ — оптимальний процес в (1)–(3), )ˆ,ˆ(ˆ
εεε uyJJ = —
значення задачі. Нехай при 0=ε задача (1)–(3) допускає синтез ],[ ytuu = ,
на якому реалізується значення 0Ĵ цієї задачі.
Основною метою роботи є доведення твердження, що формула ],[ ytu
дає наближений синтез вихідної задачі (1)–(3) при малих 0>ε , тобто для
будь-якого розв’язку )(~ ⋅εy
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∈⋅+++−∂∈
0)0(
),,0(],,[)()()(
yy
TtytugtpyFy
dt
dy εϕ
(4)
справедлива гранична рівність
0,0ˆ])~,[,~( →→− εεεε JytuyJ .
Сформулюємо основні умови, накладені на параметри задачі.
1) 0>∀R множина { }RuRuHuM R ≤≤∈= )(, ϕ — компакт в H ;
2) )(: HCHF v→ , де )(HCv — сукупність всіх непорожніх, обмеже-
них, замкнених, опуклих підмножин H ;
3) F — напівнеперервна зверху в тому сенсі, що 0>∀ε , Hu ∈∀ 0 ,
0>∃δ :
)( 0uOu ε∈∀ , ))(()( 0uFOuF ε⊂ ,
де }inf{)( εε <−∈=
∈
zuHuAO
Az
— ε -окіл множини HA⊂ ;
4) HuCC ∈∀≥∃ ,0, 21 ϕ21
)(
sup:)( CCzuF
uFz
+≤=
∈
+ ;
5) функціонал J — напівнеперервний знизу на [ ]( ) ),0(;,0 2 TLHTC w× ;
6) функціонал J — неперервний на [ ]( ) ),0(;,0 2 TLHTC × ;
7) [ ]( )HTCyC ;,0,0,0 3 ∈∀≥∃>∃ γ , Uu∈∀ :
∫+−≥
T
dttuCuyJ
0
2)(),( γ ;
8) задача (1)–(3) при 0=ε має єдиний розв’язок }ˆ,ˆ{ uy , причому
û — це форма оберненого зв’язку, тобто )](ˆ,[)(ˆ tytutu = , де функція
RHTu →×],0[: вимірна по першій змінній і неперервна;
9) ( ) ( ) yttytuTLTtHy )()(],[),0(,,],0[, 2 βαβα +≤∈⋅⋅∃∈∀∈∀ .
Умови 1) – 4) потрібні для розв’язності (1) при кожному фіксованому
]6[Uu∈ , умови 5) – 7) — для розв’язності (1)–(3), а 8), 9) продиктовані, з
одного боку, виглядом і властивостями синтезованого керування в лінійно-
Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 111
квадратичних задачах за наявності обмежень на керування [7, 8], а з іншо-
го — необхідністю доводити розв’язність задачі (4) [6].
ОСНОВНИЙ РЕЗУЛЬТАТ
Доведення основного твердження розіб’ємо на декілька кроків, кожен з яких
представляє самостійний інтерес.
Лема 1. За умов 1)–7) 0>∀ε задача (1)–(3) має, принаймні, один роз-
в’язок.
Доведення. Оскільки ( ) ( ) );,0(),;,0(, 12 HTLpHTLugUu ∈⋅∈⋅∈⋅∀ , то
з роботи [5] маємо, що 0>∀ε , ( ) Uu ∈⋅∀ існує ( ) [ ]( )HTCy ;,0∈⋅ — інтегра-
льний розв’язок (1).
Нехай { }nn uy , — мінімізуюча послідовність в (1)–(3) при фіксовано-
му ε . Тоді ( )nnn
uyJJ ,limˆ
∞→
=ε , а з оцінки 7) випливає, що { }nu — обмежена
в ),0(2 TL . Тому по деякій підпослідовності uun
~→ слабо в ),0(2 TL , при-
чому Uu ∈~ .
Нехай ( )⋅ny — інтегральний розв’язок (1) з керуванням ( )⋅nu . Тоді
);,0(1 HTLfn ∈∃ , ( ))()( tyFtf nn ∈ майже скрізь така, що ( )⋅ny — інтеграль-
ний розв’язок задачі
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⋅+++−∂∈
.)0(
),()()())((
0yy
tugtptfty
dt
dy
nnn
n εϕ
(5)
Покладемо );,0(: 1 HTLugpfl nnn ∈⋅++= ε , а для розв’язку ( )⋅ny за-
дачі (5) введемо позначення ( ) ( )⋅=⋅ nn lyIy )( 0 . Тоді з роботи [4] маємо, що
],0[ Tt∈∀ справедлива оцінка
∫+≤
t
nn dsslCty
0
)()( , (6)
де константа 0≥C не залежить від u і ε . Отже, з умови 4) отримаємо
( ) ,)()()(
)()()()(
000
21
000
∫∫∫
∫∫∫
++++≤
≤+++≤
t
n
tt
n
t
n
tt
nn
dssugdsspdssyCCC
dssugdsspdssfCty
ε
ε
(7)
і за лемою Гронуолла одержимо, що ( ){ }⋅ny — обмежена в [ ]( )HTC ;,0 .
Для подальшого доведення скористаємося відомим результатом.
Лема 2 [5]. Якщо ( ){ } );,0(1 HTLln ⊂⋅ — рівномірно інтегрована, тобто
0,0 >∃>∀ δε , ),0( T⊂Ω∀ , ( ) δµ <Ω , 1≥∀n , ε<∫
Ω
dttf n )( , то по деякій
В.В. Ясінський, О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 112
підпослідовності ( ) ( )⋅→⋅ ylyI n)( 0 в [ ]( )HTC ;,0 , і якщо lln → слабо в
);,0(1 HTL , то ( ) ( )⋅=⋅ lyIy )( 0 .
Продовжимо доведення леми 1. Оскільки з 4) маємо +≤ 1)( Ctfn
)(2 tyC n+ , то легко бачити, що { }nl рівномірно інтегрована, причому по
підпослідовності ugpflln
~~~
⋅++=→ ε слабо в );,0(1 HTL . Тоді по підпо-
слідовності ( ) ( )⋅→⋅ yyn
~ в [ ]( )HTC ;,0 , де ( ) ( )⋅=⋅ lyIy ~)(~
0 і ( ))(~)(~ tyFtf ∈
майже скрізь. Отже, ( ) ( ){ }⋅⋅ uy ~,~ — допустимий процес у задачі (1)–(3) і з
умови 5) отримаємо ( ) )~,~(,limˆ uyJuyJJ nnn
≥=
∞→
ε , тобто { }uy ~,~ — розв’язок
(1)–(3). Лему доведено.
Лема 3. За умов 1)–7) для будь-якого розв’язку { }εε uy ˆ,ˆ задачі (1)–(3)
маємо
0,ˆˆ
0 →→ εε JJ , (8)
[ ]( ) ),0(вслабоˆˆ,;,0вˆˆ 2 TLuuHTCyy →→ εε , (9)
де { }uy ˆ,ˆ — єдиний оптимальний процес в (1)–(3) при 0=ε ; )ˆ,ˆ(ˆ
0 uyJJ = —
відповідне значення задачі.
Доведення. Нехай { }εε uy ˆ,ˆ — оптимальний процес в (1)–(3). Тоді
( ) ∫+−≥=
T
dttuCuyJJ
0
2)(ˆˆ,ˆˆ
εεεε γ ,
і для фіксованого Uu∈ відповідного допустимого процесу { }uy ,ε маємо
( )uyJJ ,ˆ
εε ≤ .
Отже,
( ) CuyJdttu
T
+≤∫ ,)(ˆ
0
2
εεγ .
З оцінки (7) і за лемою Гронуолла отримаємо, що ( ){ } 0>⋅ εεy — обмеже-
на в [ ]( )HTC ;,0 . Тоді в силу умови 6) числа ( )uyJ ,ε обмежені рівномірно
по 0>ε , а, отже, ( ){ } 0ˆ ≠⋅ εεu — обмежена в ),0(2 TL .
Розглянемо довільну послідовність 0→nε . По підпослідовності
( ) ( )⋅→⋅ uu
n
ˆˆε слабо в ),0(2 TL , причому Uu∈ˆ . Тоді аналогічно до міркувань
леми 1, оскільки послідовність ( ){ }⋅
n
yεˆ задовольняє оцінку (7), маємо, що
nn
ugpfl nn εε ε ˆˆˆ ⋅++= , ( ))(ˆ)(ˆ tyFtf
nn ε∈ є рівномірно інтегрованою, при-
чому по підпослідовності ugpll
n
ˆˆˆ ⋅+=→ε слабо в );,0(1 HTL . Отже,
( ) ( )⋅→⋅ yy
n
ˆˆε в [ ]( )HTC ;,0 , де ( ) ( )⋅=⋅ lyIy ˆ)(ˆ 0 . Тоді в силу 5)
( ) )ˆ,ˆ(ˆ,ˆˆlimˆlim uyJuyJJ
nnn
nn
≥=
∞→∞→
εεε .
Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 113
З іншого боку, Uu∈∀ для відповідного допустимого процесу { }uy ,ε
запишемо
),(ˆ uyJJ
nn εε ≤ .
Для послідовності }{
n
yε застосовано попередні міркування, згідно
з якими ( ) ( )⋅→⋅ yy
nε в [ ]( )HTC ;,0 , де ( ) ( )⋅=⋅ lyIy )( 0 , ( ) gupl +=⋅ . Тоді в
силу 6)
),(),(lim uyJuyJ
nn
=
∞→
ε .
Відомо [4], що при 0=ε і фіксованому Uu∈ задача (1) має єдиний
інтегральний розв’язок ( ) ( )⋅=⋅ lyIy )( 0 . Тоді з нерівності
),(),(limˆlimˆlim)ˆ,ˆ( uyJuyJJJuyJ
nnn nnn
=≤≤≤
∞→∞→∞→
εεε (10)
і довільності Uu∈ одержимо, що { }uy ˆ,ˆ — оптимальний процес в (1)–(3)
при 0=ε . З (10) при uuyy ˆ,ˆ == запишемо
n
JuyJJ
n ε
ˆlim)ˆ,ˆ(ˆ
0
∞→
== ,
і по 0→nε мають місце граничні рівності (9).
Нехай тепер, від супротивного, 0>∃δ таке, що для деякої послідовно-
сті 0→nε виконується нерівність
δε ≥−≥∀ 0
ˆˆ1 JJn
n
.
Тоді, повторюючи попередні міркування, можемо виділити підпослідо-
вність 0→
knε таку, що 0
ˆˆ JJ
kn
→ε . Це і доводить: (8), (9) мають місце при
0→ε . Лему доведено.
Теорема. Нехай виконуються умови 1) – 9). Тоді формула ],[ ytu реалі-
зує наближений синтез вихідної задачі (1)–(3) при малих 0>ε .
Доведення. Нехай ],[ ytu — формула оптимального керування задачі
(1) – (3) при 0=ε у формі оберненого зв’язку. Розглянемо задачу (4). По-
кладемо ],[)(),(1 ytgutpytF += . Тоді ),(1 ⋅tF — неперервне; Hy∈∀ :
),(1 yF ⋅ — вимірне; yttygtgttpytF )()()()()(),( 111 βαβα +=++≤ , де
( ) ( ) ),0(, 1
11 TL∈⋅⋅ βα .
Тепер легко показати [6], що 0>∀ε відображення 1FF +ε задоволь-
няє умови глобальної розв’язності з роботи [5], тобто 0>∀ε існує
( ) [ ]( )HTCy ;,0~ ∈⋅ε — інтегральний розв’язок (4). Позначимо =)(~ tuε
)](~,[ tytu ε= . Оскільки за лемою 3 0,ˆˆ
0 →→ εε JJ , то теорему буде доведе-
но, якщо показати, що
( ) 0,ˆ~,~
0 →→ εεε JuyJ .
В.В. Ясінський, О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 114
Нехай послідовність 0→nε довільна. Позначимо ( )⋅=
n
yyn ε
~~ , =nu~
( )⋅=
n
uε~ . Тоді );,0(~ 1 HTLfn ∈∃ , ( ))(~)(~ tyFtf nn ∈ майже скрізь така, що
( ) ( )⋅=⋅ nn lyIy ~)(~
0 , де nnnn ugpfl ~~~
⋅++= ε .
З оцінки (7), нерівності )(~)()()(~ tytttu nn βα +≤ і за лемою Гронуолла
отримаємо, що ( ){ }⋅ny~ обмежена в [ ]( )HTC ;,0 . Тоді ( ) ),0(2 TLC ∈⋅∃ : 0>∀n
)()(~ tCtun ≤ майже скрізь. Це означає, що по підпослідовності ( ) ( )⋅→⋅ uun
~~
слабо в ),0(2 TL , { }nl
~ рівномірно інтегрована. Отже, по підпослідовності
( ) ( )⋅→⋅ yyn
~~ в [ ]( )HTC ;,0 , де ( ) ( )⋅=⋅ lyIy ~)(~
0 , ( ) ugpl ~~
+=⋅ .
Оскільки в силу 8) )](~,[)](~,[)(~ tytutytutu nn →= майже скрізь, то
)](~,[)(~ tytutu = і за теоремою Лебега ( ) ( )⋅→⋅ uun
~~ в ),0(2 TL . Таким чином,
( )⋅y~ — розв’язок задачі
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⋅++−∂∈
.)0(
],,[)()(
0yy
ytugtpy
dt
dy ϕ
(11)
Проте за умовою 8) задача (11) має єдиний розв’язок ( )⋅ŷ , де
{ }]ˆ,[,ˆ ytuy — оптимальний процес в задачі (1)–(3) при 0=ε . Таким чином,
]ˆ,[ˆ~,ˆ~ ytuuuyy =≡≡ і )ˆ,ˆ(ˆ
0 uyJJ = . Тоді в силу умови 6)
∞→=→ nuyJJuyJ nn ),ˆ,ˆ(ˆ)~,~( 0 .
В силу єдиності розв’язку задачі (11) аналогічно лемі 3 показується, що
має місце гранична рівність
0,ˆ)~,~( 0 →→ εεε JuyJ .
Отже, для процесу { }εε uy ~,~ і оптимального процесу { }εε uy ˆ,ˆ задачі (1)–
(3) мають місце граничні рівності
0,0)ˆ,ˆ()~,~( →→− εεεεε uyJuyJ ,
0,0ˆ~ →→− εεε yy в [ ]( )HTC ;,0 ,
0,0ˆ~ →→− εεε uu слабо в ),0(2 TL .
Теорему доведено.
ЗАСТОСУВАННЯ
Грунтуючись на загальній схемі роботи [9], для спостережуваного рівня
знань ),( txy деякої освітньої системи ставиться задача про мінімальне
відхилення від еталонного рівня z за рахунок керуючого параметра u ,
вважаючи, що реакція системи визначається в межах інтервалу
[ ])()(),()( xpyxpy ++ θεχε .
Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 115
Тоді одержуємо задачу оптимального керування
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∂
∂
=
∂
∂
×∈⋅+++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−∈
∂
∂
==
),()0,(
,0
),,0(),0(),(),()(),()),(()(
0
0
xyxy
x
y
x
y
TltxtuxgtxptxyF
x
yx
xt
y
lxx
εµ
(12)
де )](),([)( yyyF θχ= ;
{ }скрізьмайже)(),0()( 2 ξ≤∈=∈⋅ tvTLvUu ;
( ) inf)()(),()(),(
0
2
2
0
→+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∫∫
Tl
dttudxxzTxyxquyJ γ .
Легко показати, що задача (12) при 0)(),,0( 0 >≥∈ ∞ µµµ xlL м. с.,
( )⋅χ напівнеперервна знизу; ( )⋅θ — напівнеперервна зверху; ≤+ )()( yy θχ
yCC 21 +≤ ; ),0(,,, 2 lLzqgp ∈ , є частинним випадком задачі (1)–(3) з
),0(2 lLH = , і виконуються умови 1)–7).
При 0=ε задача (12) редукується до одномірної задачі відносно змін-
ної ∑
∞
=
−=
0
)( )()(
2
i
i
Tt
i tyeqta iλ , де { }∞=0iiλ — власні числа відповідної спектра-
льної задачі; iy — коефіцієнти Фур’є розв’язку ),( txy за власними функці-
ями )(xX i цієї задачі [7, 8]. Тоді за умови, що функція
∑
∞
=
−=
0
)(2
)(
i
ii
Tt gqetb iλ
є додатною і монотонно зростаючою на ],0[ T , методом динамічного про-
грамування Беллмана можна показати, що формула
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
∈
+
++−
−
=
∫
∫∫
],,[,
],,0[),(
)(
)()()(),(
],[ 2
Tt
ttb
dssb
dssbdssptytR
ytu T
t
TT
t
τξ
τ
γ
ξβ
τ
(13)
де ∑
∞
=
−=
0
)( )()(
2
i
i
Tt
i tXeqtR iλ , ∑
∞
=
=
0i
ii zqβ , ∑
∞
=
−=
0
)(2
)(
i
ii
Tt pqetp iλ , а τ — єди-
ний розв’язок рівняння
В.В. Ясінський, О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 116
( )
( )
],0[,)(
)(
)()()(),(
2
τξ
γ
ξβ
τ ∈−=
+
++−
∫
∫∫
ttb
dssb
dssbdssptytR
T
t
TT
t ,
визначає синтез задачі (12) при 0=ε .
Легко бачити, що формула (13) задовольняє умови 8), 9), отже, згідно з
теоремою, вона реалізує наближений синтез в задачі (12) при малих 0>ε .
ВИСНОВКИ
На основі формули точного синтезу для незбуреної ( 0=ε ) задачі оптималь-
ного керування для еволюційного включення субдиференціального типу
обґрунтовано наближений синтез вихідної задачі, яка збурюється мно-
гозначним доданком виду )(yFε .
ЛІТЕРАТУРА
1. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для
систем с распределенными параметрами. — Киев: Наук. думка, 1988. —
287 с.
2. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечно-
мерными системами. — Киев: Наук. думка, 1999. — 630 с.
3. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и
управления нелинейными процессами и полями. — Киев: Наук. думка,
2004. — 588 с.
4. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. — Ley-
den: Noordhoff, 1976. — 360 p.
5. Толстоногов А.А. О решениях эволюционных включений // Сибирский матем.
журн. — 1992. — 33, № 3. — С. 165–175.
6. Global attractors of multi-valued dynamical systems and evolution equations without
uniqueness / O.V. Kapustyan, V.S. Mel’nik, J. Valero, V.V. Yasinsky. — Kyiv:
Nauk. dumka, 2008. — 215 p.
7. Капустян В.Е. Оптимальная стабилизация ограниченным сосредоточенным
управлением решений параболической краевой задачи // Проблемы управ-
ления и информатики. — 1999. — № 6. — С. 58–67.
8. Сукретна А.В., Капустян О.А. Наближений усереднений синтез задачі оптима-
льного керування для параболічного рівняння // Укр. матем. журн. — 2004.
— 56, № 10. — С. 1384–1394.
9. Математична модель процесу формування та збереження колективних знань /
В.В. Ясінський, О.В. Капустян, Х. Валеро // Системні дослідження та інфо-
рмаційні технології. — 2009. — № 2. — С. 67–77.
Надійшла 10.09.2009
|
| id | journaliasakpiua-article-107277 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:23Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/35/01de8e020fa497706660416c8c80bf35.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1072772018-04-06T12:33:06Z Approximate extreme solutions for evolutional inclusions of subdifferential type Приближенные экстремальные решения для эволюционных включений субдифференциального типа Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу Yasinsky, V. V. Kapustian, O. A. The problem of finding of approximate optimal feedback control was considered for an evolutional inclusion of the subdifferential type, perturbed by εF(y), where ε&gt;0 is a small parameter and F is a multivalued mapping. On condition that for ε=0 the problem has unique solution u[t,y] in the feedback form, it was proved that the formula u[t,y] provides an approximate synthesis for the initial problem for small ε&gt;0. Рассматривается задача нахождения приближенного оптимального управления в форме обратной связи для эволюционного включения субдифференциального типа, которое подвергается возмущениям вида εF(y), где ε&gt;0 — малый параметр; F — многозначное отображение. При условии, что при ε=0 задача допускает синтез u[t,y], доказано: формула u[t,y] реализует приближенный синтез исходной задачи при малых ε&gt;0. Розглядається задача знаходження наближеного оптимального керування у формі оберненого зв’язку для еволюційного включення субдиференціального типу, яке зазнає збурень виду εF(y), де ε&gt;0 — малий параметр, F — многозначне відображення. За умови, що при ε=0 задача допускає синтез u[t,y], доведено: формула u[t,y] реалізує наближений синтез вихідної задачі при малих ε&gt;0. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2009-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107277 System research and information technologies; No. 4 (2009); 109-116 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2009); 109-116 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2009); 109-116 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107277/102245 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Yasinsky, V. V. Kapustian, O. A. Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу |
| title | Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу |
| title_alt | Approximate extreme solutions for evolutional inclusions of subdifferential type Приближенные экстремальные решения для эволюционных включений субдифференциального типа |
| title_full | Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу |
| title_fullStr | Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу |
| title_full_unstemmed | Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу |
| title_short | Наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу |
| title_sort | наближені екстремальні розв’язки для еволюційних включень субдиференціального типу |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107277 |
| work_keys_str_mv | AT yasinskyvv approximateextremesolutionsforevolutionalinclusionsofsubdifferentialtype AT kapustianoa approximateextremesolutionsforevolutionalinclusionsofsubdifferentialtype AT yasinskyvv približennyeékstremalʹnyerešeniâdlâévolûcionnyhvklûčenijsubdifferencialʹnogotipa AT kapustianoa približennyeékstremalʹnyerešeniâdlâévolûcionnyhvklûčenijsubdifferencialʹnogotipa AT yasinskyvv nabliženíekstremalʹnírozvâzkidlâevolûcíjnihvklûčenʹsubdiferencíalʹnogotipu AT kapustianoa nabliženíekstremalʹnírozvâzkidlâevolûcíjnihvklûčenʹsubdiferencíalʹnogotipu |