Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж
An approach to solution of model boundary value problems on conformal mappings in areas with uncertain segments of boundaries is systematized. Also, an algorithm for finding solutions to them is built.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2009
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107279 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866301990237110272 |
|---|---|
| author | Bomba, A. Ya. Gavrilyuk, V. I. |
| author_facet | Bomba, A. Ya. Gavrilyuk, V. I. |
| author_sort | Bomba, A. Ya. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-06T12:33:06Z |
| description | An approach to solution of model boundary value problems on conformal mappings in areas with uncertain segments of boundaries is systematized. Also, an algorithm for finding solutions to them is built. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк, 2009
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 117
УДК 519.63.4.001.57+517
СИСТЕМНА МЕТОДОЛОГІЯ МОДЕЛЮВАННЯ
ФІЛЬТРАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ У КРИВОЛІНІЙНИХ
ОБЛАСТЯХ З НЕВИЗНАЧЕНИМИ ДІЛЯНКАМИ МЕЖ
А.Я. БОМБА, В.І. ГАВРИЛЮК
Систематизовано підхід до розв’язання модельних крайових задач на конфор-
мні відображення в областях з невизначеними ділянками меж. Побудовано за-
гальний алгоритм їх чисельного розв’язання.
ВСТУП
У роботах [1 – 6] широко використовувався метод обернених крайових за-
дач (конформних і квазіконформних відображень) для побудови динамічних
сіток потенційних та квазіпотенційних полів, побудови різного роду профі-
лів та поля швидкості із паралельним розрахунком інших характеристик
(витрат, перетоків і т.ін.). Як відомо, шляхом введення функції течії
),( yxψψ = , комплексно спряженої до шуканого потенціалу (квазіпо-
тенцiалу) ),( yxϕϕ = , задачі в областях, обмежених двома лініями течії та
двома еквіпотенціальними лініями, а також у областях з вільними межами,
зводяться до конформного (квазіконформного) відображення ( ) == zωω
),(),( yxiyx ψϕ += фізичної області на прямокутник — область комплекс-
ного (квазікомплексного) потенціалу [1, 2]. Зокрема, у роботах [3–5], де
відповідна область квазікомплексного потенціалу ωG не є канонічною, од-
нією з ділянок її границі є деяка (невідома) крива. Для виконання такого ві-
дображення нами запропоновано варіант методу «фіктивних областей». Під
оберненням такого роду задач мається на увазі як перехід від прямих задач
до задач на конформне (квазіконформне) відображення відповідної області
комплексного (квазікомплексного) потенціалу на вихідну область, так і те,
що вони містять невідомі параметри (витрати) та вільні ділянки границь при
додаткових відомостях про їх розв’язки.
У цій роботі пропонується систематизований підхід до постановок та-
кого роду задач та побудови алгоритмів їх розв’язування. Серед усіх мож-
ливих варіантів формування течії виділені ті, які характеризуються певними
умовами оптимізації та керування.
ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо процесс фільтрації в однозв’язній восьмикутній криволінійній
області ),( DDCCBABBGyixzG 00zz
∗
∗=∂+= з вільними (невідомими)
кривими ,∗BB ,CB∗ AD (рис. 1, а), де })( :{= * xfyzFPBB =∈∗
∗ — лінія
течії; }0,0 :{= 1 ≤≤−= xlyzAB ; }, :{= 3200 lxlHyzDC ≤≤−= — еквіпо-
тенціальні лінії (водні резервуари). Опишемо його рівнянням руху
А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 118
ϕυ grad⋅= k (закон Дарсі) та рівнянням нерозривності 0div =υ [1–5], де
)),(),(( yxiyx yx υυυ += )),(),(( yxiyx yx υυυ += — швидкість фільтрації;
k — коефіцієнт фільтрації (для зручності викладок покладемо 1=k );
),( yxϕϕ = — потенціал у точці ( )yx, , такий що ,∗=ϕϕ AB ,∗= ϕϕ DDCC 00
,0=′=′ ∗
∗ ADnCBBBn ϕϕ ),(1 ygBB =
∗
ϕ ),(2 ygCB =∗ϕ )(3 ygAD =ϕ ; n —
зовнішня нормаль до відповідної ділянки границі даної області; ),(1 yg
),(2 yg )(3 yg , )(* xf — обмежені неперервно-диференційовані функції (зок-
рема, розглядається випадок, коли ,0=∗ϕ HH == ∗∗ )(ϕϕ ).
Відповідна задача на конформне відображення +== ),()( yxz ϕωω
),( yxiψ+ області zG , що розглядається, на відповідну область комплекс-
ного потенціалу ,:{ ∗
∗ <<= ϕϕϕωωG }0 Q<<ψ (рис. 1, б) з невідомим па-
раметром — повною витратою dxdyQ y
AB
x υυ −− = ∫ — матиме вигляд [1–5]
,yx ψϕ ′=′ xy ψϕ ′−=′ , (1)
,0=ABϕ ,HDDCC 00
=ϕ ),(1 ygBB =
∗
ϕ ),(2 ygCB =∗ϕ
),(3 ygAD =ϕ ,0)0(1 =g ,~)( *1 ∗= ϕyg ,~)( *
2
∗= ϕyg ,)(2 HHg =−
,0)0(3 =g ,)(3 HHg =− ,0=ADψ ,Q
CBBB
−=∗
∗
ψ (2)
де ∗ϕ~ і ∗ϕ~ — шукані значення потенціалу у відповідних кутових точках ∗B та ∗B .
Відповідна їй обернена крайова задача на конформне відображення
),(),()( ψϕψϕω iyxzz +== області ωG на zG (при невідомих Q , ∗ϕ~ , ∗ϕ~ )
запишеться так:
( ) ;,,, Gyxxy ∈′−=′′=′ ψϕϕψϕψ (3)
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤=−
≤≤=−−−
≤≤=−
≤≤=
−≤≤−==
∗
∗
∗
∗
.~,,
,~~,0,,
,~0,,
,0,0,
,0,),(,0,0
2
*
1
3
HQyg
QxfQy
Qyg
Hyg
QHHyy
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ψψψ
(4)
Рис. 1. Фізична область zG (а) та відповідна їй область комплексного потенціалу ωG (б)
y
x
0C0D
CD
A(0)1( )B l −
* * *,B (x y ) * * *,B (x y )
zG
,F FF(x y ) ,P PP(x y )2l 3l
H−
A( ) ∗ϕ
ψ
∗ϕ∗ϕ
Q−
0Q−
0Q−
B *B
0C
C
ϕ
*B
D( )∗ϕ
0D
0
Gω
AB A
B
2l
∗
3l
∗
a б
Системна методологія моделювання фільтраційних процесів у криволінійних областях ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 119
При цьому відповідні рівняння другого порядку для знаходження фун-
кцій ( )ψϕ,xx = та ( )ψϕ,yy = мають вигляд
0,0 =′′+′′=′′+′′ ψψϕϕψψϕϕ yyxx . (5)
Різницевий аналог рівнянь (5), крайових умов (4), приграничних умов
ортогональності та умов конформної подібності в малому відповідних чоти-
рикутників у відповідній рівномірній сітковій області ( ){ : , jiG ψϕγ
ω =
ii ϕϕ ∆= , ;1+,0= mi jj ψψ ∆= , ;1+,0= nj ( ),1/1 +=∆ mϕ ( ),1/ +=∆ nQψ
} ,,/= N∈∆∆ nmψϕγ запишемо як [1–5]
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==
=+−++−−+
++−++−+
++−−++−
=+−++−−+
++−++−+
++−−++−
−−−+−−+
−++++−−−−+
−++−+++
−−−+−−+
−++++−−−+
−++−+++
;,1,,1
,0))2()2)(21(
)2(()2(
)2)(21()2(
,0))2()2)(21(
)2(()2(
)2)(21()2(
1,1,11,11,,1,
1,1,11,1
2
1,11,1,1
,1,,11,11,1,1
1,1,11,11,,1,
1,1,11,1
2
1,1,1,1
,1,,11,11,1,1
njmi
yyxxxx
yyyyyy
yyyyyy
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
jijijijijiji
jijijijijiji
jijijijijiji
jijijijijiji
jijijijijiji
jijijijijiji
σσ
σγσ
σσ
σσ
σγσ
σσ
(6)
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
=
=
==−
=
=
=
+==
+=−==
+
++
+
+
,1,2
;~
,
,2,1,0
,1,0
,~
,
,1,0,
,1,0,,0
*
2
1,2
1,*1,
*1
1,1
0,3
,1,0
mmi
yg
mmixfy
mi
yg
miyg
njHyy
m
ini
nini
m
ini
ii
jmj
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
(7)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+==−−+
+−−
==−′−
−−′
==−−+
+−−
+==−−+
+−−
+==−=−
++−+
++−+
+++
+++
++−+
++−+
−
−
+
,1,2,0))((
))((
,2,1,0))(,(
))(,(
,1,0,0))((
))((
,1,0,0))((
))((
,1,0,0,0
1,1,11,,
1,1,11,,
1,,1,1,*
1,,1,1,*
1,1,11,,
1,1,11,,
0,0,11,0,
0,0,11,0,
,1,,0,1
mmiyyyy
xxxx
mmixxyxf
yyyxf
miyyyy
xxxx
miyyyy
xxxx
njxxxx
nininini
nininini
ninininiy
ninininix
nininini
nininini
iiii
iiii
jmjmjj
(8)
А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 120
( )( ) ;
11
1 ,
0,
,∑
=++
=
nm
ji
jinm
γγ (9)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2
,11,1
2
,11,1
2
,1,
2
,1,
2
1,1,1
2
1,1,1
2
,,1
2
,,1
,
jijijijijijijiji
jijijijijijijiji
ji
yyxxyyxx
yyxxyyxx
++++++++
++++++++
−+−+−+−
−+−+−+−
=γ ,
де ),(, jiji xx ψϕ= ; ),(, jiji yy ψϕ= ; N∈<<< 2,1,210 mmmmm ; [ ]5,0;0∈σ
— ваговий коефіцієнт.
АЛГОРИТМ ЧИСЛОВОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ
Розв’язок відповідної до (3), (4) різницевої задачі у цьому випадку побудує-
мо за такою методологією [1–6].
Задаємо кількості m та n вузлів розбиття сіткової області ωG ; параметр
ε , що характеризує точність наближення розв’язку відповідної різницевої
задачі; початкові наближення ряду величин: координат граничних вузлів
,,,, )0(
,1
)0(
,1
)0(
,0
)0(
,0 jmjmjj yxyx ++ ,, )0(
1,
)0(
1, ++ nini yx )0(
0,
)0(
0, , ii yx (так, щоб виконувались
рівності (7)); початкові наближення внутрішніх вузлів )0(
,
)0(
, , jiji yx , наприк-
лад, як середні арифметичні чотирьох координат відповідних граничних
вузлів ( ))0(
,0
)0(
,1
)0(
1,
)0(
0,
)0(
, 4
1
jjmniiji xxxxx +++= ++ , ( ))0(
,0
)0(
,1
)0(
1,
)0(
0,
)0(
, 4
1
jjmniiji yyyyy +++= ++ ,
,,1 ni = .,1 mj = Задання початкового наближення конформного інваріанта
γ проведемо за формулою (9), в якій використаємо щойно задані початкові
значення координат внутрішніх вузлів, тобто ( ))0(
,
)0(
,
)0( , jiji yxγγ = . Далі прове-
демо уточнення внутрішніх вузлів ( ))1(
,
)1(
, , ++ k
ji
k
ji yx ( …,1,0=k — номер
кроку ітерації) за допомогою ітераційного методу Зейделя [7] за формулами,
отриманими шляхом розв’язання (6) відносно jix , та jiy , (з метою приско-
рення швидкості збіжності всього процесу і економії машинного часу та на
основі ідей методу блочної ітерації [8] використаємо лише перший ітерацій-
ний крок); величини γ за формулою (9) та витрати Q за формулою
1
11
+
+
=
m
nQ
γ
; координат граничних вузлів, наприклад, шляхом розв’язання
системи нелінійних рівнянь (7), (8). Потім перевіримо виконання умов за-
кінчення обчислювального процесу
( ) ε
∂
<−−
∈
++ )(
,
)1(
,
)(
,
)1(
,
,,
,
,
max k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
zjiji
yyxx
Gyx
,
εε <−<− ++ )()1()()1( , kkkk DDQQ , (10)
Системна методологія моделювання фільтраційних процесів у криволінійних областях ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 121
де ( )( )
( ) ( )
( ) ( )∑
= ++++
++++
−+−
−+−
++
=
nm
ji jijijiji
jijijiji
yyxx
yyxx
nm
D
,
0, 2
,11,
2
,11,
2
,1,1
2
,1,1
11
1 — усереднене зна-
чення відношення довжин діагоналей криволінійних чотирикутників сіт-
кової області γ
zG .
Якщо умови (10) не справджуються, то повертаємося до уточнення ко-
ординат внутрішніх вузлів і т.д. У протилежному випадку обчислюємо
нев’язку конформності отриманої сітки за формулою D−=∗ 1ε . Її величи-
на характеризує відхилення отриманих криволінійних чотирикутників від
відповідних прямокутників (оскільки відношення довжин діагоналей у пря-
мокутнику дорівнює одиниці, а існування прямих кутів забезпечується умо-
вами ортогональності).
У випадку, якщо не виконується, наприклад, лише одна з умов (10), то
узгоджуємо співвідношення між точністю ∗ε та заданою кількістю кроків
розбиття nm, (в першу чергу, шляхом збільшення останніх). Якщо ж по-
трібно збільшити ступінь точності наближеного розв’язку (зменшити
нев’язку ∗ε ), то збільшуємо параметри розбиття m і n та розв’язуємо різ-
ницеву задачу (6)–(9) знову. Оптимальність співвідношення між m і n до-
сягається аналогічно до [3–7] шляхом оптимізації аналогів функціоналів ти-
пу Рімана.
Провівши розрахунки за описаним алгоритмом при { ,0y := =zАB
}04 ≤≤− x { },63, :=00 ≤≤−= xHyzCD { 062000/ := 4 =+− xyzFP ,
)466,10466,10 ≤≤− x , ( ) ,sg y y= − ,31…=s 0=∗ϕ , H=∗ϕ , глибині заля-
гання водозабору 1=H , розбитті 2030 ×=× nm області zG , точності на-
ближення 510−=ε , коефіцієнті провідності середовища 1=κ м/добу, за
4558=k кроків отримано гідродинамічну сітку руху (рис. 2.), знайдено по-
вну фільтраційну витрату 0,556=Q 3м добу за максимальної нев’язки
3E4,1 −=∗ε , встановлено положення вільних кривих ,∗BB ,CB∗ AD .
*B *B
PF B A
0D 0C
CD
H−
x
y
zG
Рис. 2. Динамічна сітка в області фільтрації zG
А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 122
СИСТЕМНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ТА АЛГОРИТМ ВИБОРУ
Розглянемо різні випадки формування течії в однозв’язній криволіній-
ній області ),( 00 DDCCNMBABBGyixzG zz
∗
∗=∂+= , де { , := FlxzFN −=
}0≤≤− yH g , { }0, := ≤≤−= yHlxzPM gP , { , := gHyzNM −= ≤≤− xlF
Pl≤ в залежності від параметрів, які характеризують розміри та взаємороз-
міщення об’єктів AB та 00CD (рис. 3–10), а саме: від висоти залягання во-
дозабору H при фіксованих 2l та 3l .
Рис. 3 — один із так званих «проміжних» випадків [9], коли глибина
залягання водозабору є не надто великою, а меншою деякого її критичного
(шуканого) значення 1H ( 100 HHH <=< ). Тут MN ϕϕ , — значення поте-
нціалу в кутових точках N та M; 0Q , 0Q — невідомі величини перетоків від
AA ~ до 0DD та від BB~ до CC0 відповідно. Рис. 4 — один із так званих
«ключових» випадків [9] «повного затоплення» 00CD за умов мінімальної
глибини водозабору 1HH = . Рис. 5 — один із наступних проміжних випад-
ків ( 321 HHHH <=< ), який характеризується наявністю кривої розділу
течії CCDD ~~
= ( CD ~~
= ), а рис. 6 — ключовий із них, що характеризується
умовою Pll =
~ . Початок спільної лінії розділу течії лежить на границі обла-
сті *~~ BCD == , 3HH = . Випадок, показаний на рис. 7, також ключовий, для
якого характерним є те, що 0CCD == ( 5H позначено відповідне значення
y
x
0C0D
CD
AB
* * *,B(x y )
* * *,B (x y )
zG
( , 0)FF l− ( , 0)PP l2l 3l
0H−
N M
A( ) ∗ϕ
ψ
∗ϕ∗ϕ
( Q)−
0Q−
0Q−
B *B
0C
C
ϕ
*B
D( )∗ϕ
0D
0
Gω
AB
B
A
N M
Nϕ Mϕ
gH−
а б
Рис. 3. Схема області фільтрації для випадку 100 HHH <=<
y
x
0C0D
CD
AB
*B *B
zG
F P
2l 3l
1H−
N M
A( ) ∗ϕψ ∗ϕ∗ϕ
( Q)−
0Q−
0Q−
0C
ϕ
D( )∗ϕ
0D
0
Gω
AB
B
A
B *B C*B N M
Nϕ Mϕl∗
ба
Рис. 4. Схема області фільтрації для випадку 1HH =
Системна методологія моделювання фільтраційних процесів у криволінійних областях ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 123
висоти H ). Рис. 8, 9 — проміжні випадки формування течії за умови
Hy −<* . Рис. 10 — ключовий випадок, коли водозабір лежить на границі
області zG ( gHH = ). Зауважимо, що граничний перехід від відповідного
проміжного випадку до даного ключового ( gHH → ) є нерівномірним, а
саме має місце відомий парадокс типу Герсеванова [10].
Для розрахунку фільтраційного процесу в області, зображеній на рис. 3,
внесемо в описаний вище алгоритм, а саме в формули (7) і (8), такі зміни:
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+==
==
=−=
=−=
=
==
+==
+=−==
+
+
+
+
+
+
;~
,1,4,
,4,3,
,3,2,
,2,1,
,~
,1,0,
,1,0,
,1,0,,0
*
4
1,2
1,
1,
1,
*1
1,1
0,3
,1,0
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
m
ini
Pni
gni
Fni
m
ini
ii
jmj
mmiyg
mmilx
mmiHy
mmilx
miyg
miyg
njHyy
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==−
===−
+===−−+
+−−
+==−−+−−
+==−=−
+
+
++−+
++−+
−−
+
.3,2,0
,4,3,2,1,0
,1,4,1,0,0
,1,0,0
,1,0,0,0
1,,
1,,
1,1,11,,
1,1,11,,
0,0,11,0,0,0,11,0,
,1,,0,1
mmixx
mmimmiyy
mmimiyyyy
xxxx
miyyyyxxxx
njxxxx
nini
nini
nininini
nininini
iiiiiiii
jmjmjj
Збільшуючи поступово висоту H і проводячи розрахунки за описаним
алгоритмом, доки 1,10,1 +++ = nmm xx , прийдемо до одного із ключових випад-
ків (див. рис. 4). Зафіксуємо при цьому відповідну висоту 1HH = .
Для випадку, коли 321 HHHH <=< , формули (7) і (8) матимуть
вигляд
y
x
CD
AB
*B *B
zG
F P
2l 3l
0D2H−
N M
AB
C
D
0C
D( )ϕA( ) ∗ϕψ ∗ϕ∗ϕ
( Q)−
0Q−
0Q−
0C
ϕ
D( )∗ϕ
0D
0
GωB
A
B *B C*B N M
Nϕ Mϕ
C
l
H−
ба
Рис. 5. Схема області фільтрації для випадку 321 HHHH <=<
А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 124
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+===
=
==
==
=−=
=−==
==
==
+=−==
++
+
+
+
+
+
+
;1,5,,
~
,5,4,
,4,3,
,3,2,
,2,1,,~
,1,0,
,5,0,
,1,0,,0
1,0,1,0,
*
4
1,2
1,
1,
1,*1
1,1
0,3
,1,0
mmiyyxx
mmiyg
mmilx
mmiHy
mmilx
miyg
miyg
njHyy
niinii
m
ini
Pni
gni
Fnim
ini
ii
jmj
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==−
===−
+===−−+
+−−
+==−−+
+−−
+==−=−
+
+
++−+
++−+
−
−
+
.3,2,0
,4,3,2,1,0
,1,4,1,0,0
,1,0,0
,1,0,0,0
1,,
1,,
1,1,11,,
1,1,11,,
0,0,11,0,
0,0,11,0,
,1,,0,1
mmixx
mmimmiyy
mmimiyyyy
xxxx
miyyyy
xxxx
njxxxx
nini
nini
nininini
nininini
iiii
iiii
jmjmjj
При подальшому поступовому збільшенні висоти H залягання водоза-
бору прийдемо до ключових випадків, що характеризуються відповідними
умовами ,1,50,5 Pnmm lxx == + *
1,0,
~ϕ== +nii yy , 3HH = (див. рис. 6) та
31,10,1 lxx nmm == +++ , 5H H= (див. рис. 7).
Для розрахунку фільтраційного процесу (рис. 8) замість (7) і (8) запишемо
y
x
D C=
AB
*B
*B
zG
F P
2l 3l
0D5H−
N M
A
0C
D( )∗ϕA( ) ∗ϕψ
∗ϕ
( Q)−
0Q−
ϕ
D( )∗ϕ
0D
0
Gω
A
B *B 0C*B N M
Nϕ Mϕ
D
ба
Рис. 7. Схема області фільтрації для випадку 5HH =
y
x
CD
AB
*B
*BzG
F P
2l 3l
0D3H−
N M
AB
0C
D( )∗ϕA( ) ∗ϕψ
∗ϕ
( Q)−
0Q−
0Q−
0C
ϕ
D( )∗ϕ
0D
0
GωB
A
B *B C*B N M
Nϕ Mϕ
D
ба
Рис. 6. Схема області фільтрації для випадку 3HH =
Системна методологія моделювання фільтраційних процесів у криволінійних областях ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 125
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+===
==
=−=
=−=
=
==
==
==
+=−==
++
+
+
+
+
+
;1,4,,
,4,3,
,3,2,
,2,1,
,~
,1,0,)(
,4,3,
,3,0,)(
,1,0,,0
1,0,1,0,
1,
1,
1,
*1
1,1
0,
0,3
,1,0
mmiyyxx
mmilx
mmiHy
mmilx
miyg
mmilx
miyg
njHyy
niinii
Pni
gni
Fni
m
ini
Pi
ii
jmj
ϕϕ
ϕ
ϕ
y
xAB
*B
zG
F P
2l 3l
0D C=gH−N M
0C D=
A( ) ∗ϕψ
∗ϕ
( Q)−
ϕ
C
0
Gω
B *B N
Nϕ M
*B
D( )∗ϕ*B
ба
Рис. 10. Схема області фільтрації для випадку gHH =
*B *B
y
xAB
*B
zG
F P
2l 3l
0D
gH−N M
0C
A( ) ∗ϕψ
∗ϕ
( Q)−
ϕ
0D
0
Gω
B *B N
Nϕ
D
D( )∗ϕ
C D
C
0C
D ( )MM ϕ
8H−
D
D
ба
Рис. 9. Схема області фільтрації для випадку gHHHH <=< 87
y
x
D
AB
*B
zG
F P
2l 3l
0D6H−
N
*B
A
0C
DA( ) ∗ϕψ
∗ϕ
( Q)−
0Q−
ϕ
0D
0
Gω
A
B
*( )D ϕ
*B N M
Nϕ
D
D
D
C
C
0C
M
*B
ба
Рис. 8. Схема області фільтрації для випадку 765 HHHH <=<
А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 126
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==−
===−
+===−−+
+−−
==−
+===−−+
+−−
+==−=−
+
+
++−+
++−+
−
−
+
.3,2,0
,4,3,2,1,0
,1,4,1,0,0))((
))((
,4,3,0
,1,4,3,0,0))((
))((
,1,0,0,0
1,,
1,,
1,1,11,,
1,1,11,,
0,1,
0,0,11,0,
0,0,11,0,
,1,,0,1
mmixx
mmimmiyy
mmimiyyyy
xxxx
mmiyy
mmimiyyyy
xxxx
njxxxx
nini
nini
nininini
nininini
ii
iiii
iiii
jmjmjj
При цьому серед таких випадків ключове (граничне) значення висоти
H ( 6HH = ) знаходиться з умови gnmm Hyy −== +1,40,4 .
Для випадків, які характеризуються умовами ( Hylx P −<< ** , ), за-
мість (7) і (8) матимемо
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+===
=−=
=−=
=
==
=−=
−==
−==
+=−==
++
+
+
+
+
;1,3,,
,3,2,
,2,1,
,~
,1,0,
,3,2,
,2,1,
,1,0,
,1,0,,0
1,0,1,0,
1,
1,
*1
1,1
0,
0,
0,3
,1,0
mmiyyxx
mmiHy
mmilx
miyg
mmiHy
mmilx
miyg
njHyy
niinii
gni
Fni
m
ini
gi
pi
ii
jmj
ϕϕ
ϕ
ϕ
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==−
==−
+===−−+
+−−
==−
−==−
+=−==−−+
+−−
+==−=−
+
+
++−+
++−+
−
−
+
.3,2,0
,2,1,0
,1,3,1,0,0
,3,2,0
,2,1,0
,1,3,1,0,0
,1,0,0,0
1,,
1,,
1,1,11,,
1,1,11,,
0,1,
0,1,
0,0,11,0,
0,0,11,0,
,1,,0,1
mmixx
mmiyy
mmimiyyyy
xxxx
mmixx
mmiyy
mmimiyyyy
xxxx
njxxxx
nini
nini
nininini
nininini
ii
ii
iiii
iiii
jmjmjj
Зокрема у випадку, коли водозабір лежить на границі області (рис. 10),
що має місце при gHH = , системи рівнянь (7) і (8) у алгоритмі матимуть
вигляд
Системна методологія моделювання фільтраційних процесів у криволінійних областях ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 127
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+=−=
=−=
=
==
+=−=
−==
−==
+=−==
+
+
+
+
;1,2,
,2,1,
,~
,1,0,
,1,2,
,2,1,
,1,0,
,1,0,,0
1,
1,
*1
1,1
0,
0,
0,3
,1,0
mmiHy
mmilx
miyg
mmiHy
mmilx
miyg
njHyy
gni
Fni
m
ini
gi
Pi
ii
jmj
ϕϕ
ϕ
ϕ
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+==−
==−
==−−+
+−−
+==−
−==−
−==−−+−−
+==−=−
+
+
++−+
++−+
−−
+
.1,2,0
,2,1,0
,1,0,0
,1,2,0
,2,1,0
,1,0,0
,1,0,0,0
1,,
1,,
1,1,11,,
1,1,11,,
0,1,
0,1,
0,0,11,0,0,0,11,0,
,1,,0,1
mmixx
mmiyy
miyyyy
xxxx
mmixx
mmiyy
miyyyyxxxx
njxxxx
nini
nini
nininini
nininini
ii
ii
iiiiiiii
jmjmjj
ВИСНОВКИ
Розроблено системний опис характерних випадків формування течії та уза-
гальнений алгоритм розв’язання відповідного комплексу крайових задач.
Алгоритми розв’язання задач (як проміжних, так і ключових) у конкретних
випадках формування течії ґрунтуються на ідеї почергової параметризації
граничних і внутрішніх вузлів динамічної сітки, параметрів конформності та
потенціалу керування. При цьому алгоритм вибору, на відміну від [9] (де
автори йшли від ключових задач), ґрунтується на розв’язанні конкретних
типів проміжних задач, а розв’язки ключових знаходяться шляхом відповід-
них граничних переходів.
У перспективі — узагальнення побудованого алгоритму стосовно
розв’язування відповідних крайових задач для неоднорідних анізотропних
середовищ за умов зворотного впливу характеристик процесу на характери-
стики середовища.
ЛІТЕРАТУРА
1. Бомба А.Я., Каштан С.С. Моделювання зворотного впливу градієнтів потенці-
алу на процес фільтрації // Вісн. Тернопільського держ. технічн. ун-ту. —
2004. — 9, № 1. — С. 123–129.
2. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О., Скопецький В.В. Чисельне розв’язання нелі-
нійних модельних крайових задач на квазіконформні відображення з після-
дією // Доп. НАН України. — 2004. — № 3. —С. 62–68.
А.Я. Бомба, В.І. Гаврилюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 128
3. Бомба А.Я., Гаврилюк В.І., Каштан С.С. Застосування методу «фіктивних об-
ластей» та методології квазіконформних відображень до моделювання не-
лінійних фільтраційно-суфозійних процесів в ґрунтових греблях // Волин-
ський матем. вісн.: Прикладна математика. — 2005. — Вип. 12. — № 3. —
С. 28–38.
4. Гаврилюк В.І. Чисельне розв’язання модельних крайових задач на квазіконфо-
рмні відображення в областях з вільними межами та однорідними включен-
нями // Волинський матем. вісн.: Прикладна математика. — 2007. — Вип. 4.
— № 13. — С. 65–76.
5. Бомба А.Я., Гаврилюк В.И., Скопецкий В.В. Метод «фиктивных областей» и
квазиконформных отображений решения нелинейных краевых задач со
свободными границами и включениями // Компьютерная математика. —
2007. — № 1. —С. 91–101.
6. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі
процесів геогідродинаміки. — Київ: Наук. думка, 2007. — 308 с.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. — 656 с.
8. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — Киев: Наук. думка, 1980.
— 334 с.
9. Пригорницький Д.О. Нелінійні обернення модельних крайових задач на конфо-
рмні відображення для тризв’язних областей // Волинський матем. вісн.:
Прикладна математика. — 2004. — Вип. 2. — С. 196–211.
10. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. — М.: Наука,
1977. — 664 с.
Надійшла 05.10.2008
|
| id | journaliasakpiua-article-107279 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:23Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/7f/7211ac3c9931021464977cc15b5ca27f.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1072792018-04-06T12:33:06Z System methodology for modelling of filtrational processes in curvilinear areas with uncertain segments of boundaries Системная методология моделирования фильтрационных процессов в криволинейных областях с неопределенными участками границ Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж Bomba, A. Ya. Gavrilyuk, V. I. An approach to solution of model boundary value problems on conformal mappings in areas with uncertain segments of boundaries is systematized. Also, an algorithm for finding solutions to them is built. Систематизирован подход к решению модельных задач на конформные отображения в областях с неопределенными участками границ. Построен общий алгоритм их численного решения. Систематизовано підхід до розв’язання модельних крайових задач на конформні відображення в областях з невизначеними ділянками меж. Побудовано загальний алгоритм їх чисельного розв’язання. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2009-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107279 System research and information technologies; No. 4 (2009); 117-128 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2009); 117-128 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2009); 117-128 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107279/102247 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bomba, A. Ya. Gavrilyuk, V. I. Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж |
| title | Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж |
| title_alt | System methodology for modelling of filtrational processes in curvilinear areas with uncertain segments of boundaries Системная методология моделирования фильтрационных процессов в криволинейных областях с неопределенными участками границ |
| title_full | Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж |
| title_fullStr | Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж |
| title_full_unstemmed | Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж |
| title_short | Системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж |
| title_sort | системна методологія моделювання фильтраційних процесів у криволінійних областях з невизначеними ділянками меж |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107279 |
| work_keys_str_mv | AT bombaaya systemmethodologyformodellingoffiltrationalprocessesincurvilinearareaswithuncertainsegmentsofboundaries AT gavrilyukvi systemmethodologyformodellingoffiltrationalprocessesincurvilinearareaswithuncertainsegmentsofboundaries AT bombaaya sistemnaâmetodologiâmodelirovaniâfilʹtracionnyhprocessovvkrivolinejnyhoblastâhsneopredelennymiučastkamigranic AT gavrilyukvi sistemnaâmetodologiâmodelirovaniâfilʹtracionnyhprocessovvkrivolinejnyhoblastâhsneopredelennymiučastkamigranic AT bombaaya sistemnametodologíâmodelûvannâfilʹtracíjnihprocesívukrivolíníjnihoblastâhzneviznačenimidílânkamimež AT gavrilyukvi sistemnametodologíâmodelûvannâfilʹtracíjnihprocesívukrivolíníjnihoblastâhzneviznačenimidílânkamimež |