Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач

By using a modification of a numerical-analytic method for successive approximations, the problems of the existence and construction of approximate solutions for multi-point boundary value problems are considered for the systems of ordinary nonlinear differential equations with unknown parameters.

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Author:	Korol, I. I.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2009
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107280
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866301991118962688
author	Korol, I. I.
author_facet	Korol, I. I.
author_sort	Korol, I. I.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-04-06T12:33:06Z
description	By using a modification of a numerical-analytic method for successive approximations, the problems of the existence and construction of approximate solutions for multi-point boundary value problems are considered for the systems of ordinary nonlinear differential equations with unknown parameters.
first_indexed	2025-07-17T10:22:24Z
format	Article
fulltext	© І.І. Король, 2009 Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 129 УДК 517.927.4 ІНТЕГРУВАННЯ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ БАГАТОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ І.І. КОРОЛЬ Розглядаються питання існування та наближеної побудови розв’язків багато- точкових крайових задач для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з невідомими параметрами за допомогою модифікації чисельно- аналітичного методу послідовних наближень. ВСТУП Одним з ефективних і конструктивних методів дослідження питань якісної теорії та наближеної побудови розв’язків нелінійних систем дифе- ренціальних рівнянь, підпорядкованих різного роду обмеженням, зокрема дво- та багатоточковим крайовим умовам, є чисельно-аналітичний метод послідовних наближень. Детальний огляд досліджень з цього питання мож- на знайти в роботі [2], де результати, одержані в [3] для триточкових крайо- вих задач з параметрами, узагальнюються на випадок багатоточкових край- ових умов. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Розглянемо систему диференціальних рівнянь ( )sxtf dt dx λλλ ,,,,, 21 …= , (1) підпорядкованих багатоточковим крайовим умовам ( ) ( ) ( ) dTxAtxAxA q q k kk =++ + = ∑ 1 1 0 0 , (2) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ,0 ,0 ,0 0 022 011 ss xx xx xx (3) де 1,R,, +≥∈ sndfx n , sλλλ ,,, 21 … — невідомі скалярні параметри: ];[ iiii baI =∈λ , si ,,1…= , Ttttt qq =<<<<= +1100 … , ( ) ( ,,,0 001 sxxx …= ( ) ( ))0,,01 ns xx …+ ; ,kA 1,,0 += qk … — сталі матриці, які задовольняють умову 0det 1 1 ≠∑ + = q k kA . І.І. Король ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 130 Вважаємо, що для крайової задачі (1)–(3) виконуються такі умови. 1. Функція ( )Λ,, xtf визначена і неперервна в області [ ] IDT ××=Ω ,0 , 1++⊂Ω snR , де D — замкнена обмежена область в nR , ( )∈=Λ sλλλ ,,, 21 … sIIII ×××=∈ …21 , і обмежена вектором )(tM . ( ) ( )tMxtf ≤Λ,, , ( ) ( ) ( )( )ΛΛ=Λ ,,,,,,,, 1 xtfxtfxtf n… . 2. Функція ),,( Λxtf в області Ω задовольняє умову Ліпшіца по Λ,x . ( ) ( ) Λ ′′−Λ′+′′−′≤Λ ′′′′−Λ′′ LxxKxtfxtf ,,,, , (4) де nsnn RLRK × + × + ∈∈ , . Нерівності між векторами розуміємо покомпонентно. 3. ∅≠0D , де 0D — ( )sn − -вимірна множина точок 0z така, що точки ( )00010 ,,, zxxx s…= містяться в D разом із своїм β - околом, де ( ) ( ) ( )⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Λ−Λ=′+′= Ω∈ΛΩ∈Λ ,,min,,max 2 1, 2 ),,(),,( 01 xtfxtfMzMT xtxt ββ , ( ) ( )k q k k q k k k q k k tHAP T tAHMPxAdHz 1 1 11 1 0 1 0 01 ,, αβ ∑∑∑ = −+ = + = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =′+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= , ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= T ttt 121α . 4. Власні значення ( )Qsi матриці KPETQ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 2 , де E — одинична матриця, лежать в одиничному крузі ( ) niQsi ,,1,1 …=< . (5) Під розв’язком задачі розуміємо неперервно-диференційовану на про- міжку [ ]T,0 вектор-функцію ( )txx = і такі значення параметрів =Λ=Λ ( ) 1 ,, sλλ …= , тобто сукупність ( )( ) ,Λtx , яка задовольняє як систему (1), так і крайові умови (2), (3). ОБГРУНТУВАННЯ ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНОГО МЕТОДУ Розглянемо послідовність вектор-функцій ( ){ }Λ,, 0ztxm , заданих рекурент- ним співвідношенням ( ) ( )( ) ( )( )[ ] +ΛΛ−ΛΛ+=Λ ∫ −− t mmm dzsxsfzxfxztx 0 010100 ,,,,,,,,,, τττ ( )( ) ( )( )[ ] ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ΛΛ−ΛΛ−−+ ∫∑∑ −− = + = kt mm q k k q k k dzsxsfzxfAxAdH T t 0 0101 1 0 1 0 ,,,,,,,, τττ , Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 131 ( ) ( ) ,,2,1,,,...,,, 0001000 …===Λ mzxxxztx s (6) де ( )( ) ( )( )∫ ΛΛ=ΛΛ −− T mm dszsxsf T zsxsf 0 0101 ,,,,1,,,, . Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що всі члени по- слідовності (6) задовольняють крайові умови (2), (3) при довільних значен- нях параметрів з області ( ) IDz ×∈Λ 00 , . Має місце твердження про збіжність послідовності (6). Теорема 1. Нехай крайова задача (1)–(3)задовольняє умови 1– 4 . Тоді 1) послідовність (6) рівномірно збігається при ∞→m в області ( ) [ ] 1 0000 ,,0,, +⊂Ω××=Ω∈Λ nRIDTzt до неперервної граничної функції ( )Λ,, 0 * ztx , і для збіжності справедливі оцінки ( ) ( ) ( ) ( )0 1 00 * ,,,, zQEQztxztx m m β−−≤Λ−Λ ; (7) 2) ( ) IDz ×∈Λ∀ 00 , гранична функція ( )Λ,, 0 * ztx при 0=t проходить через точку ( ) ( )000100 ,,,,,0 zxxxzx s…==Λ і є розв’язком збуреної по відно- шенню до (1)–(3) крайової задачі ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == =++ Λ∆+Λ= + = ∑ ,0,,0 ,0 ,,,, 0011 1 1 0 0 ss q q k kk xxxx dTxAtxAxA zxtf dt dx … (8) де ( ) ( )( )+ΛΛ−=Λ∆ ,,,,, 0 * 0 zsxsfz ( )( ) ( )( ) .,,,,,,,,1 0 0 * 0 * 1 1 0 0 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ΛΛ−ΛΛ−−+ ∫∑∑ = + = ktq k k q k k dzsxsfzxfAxAdH T τττ (9) Доведення. Покажемо, що в просторі неперервних вектор-функцій по- слідовність (6) є фундаментальною, а отже, і рівномірно збіжною. Спочатку доведемо, що ( ) ( ) DztxNmzt m ∈Λ∈∀Ω∈Λ∀ ,,,,,, 000 . За лемою 3 [4] ( ) ( )[ ( )] +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+Λ−Λ≤−Λ ∑∫ + = 1 0 00 0 0001 ,,,,,, q k k t xAdHdxsfxfxztx ττ ( )( ) ( )( )[ ] ( ) +′≤ΛΛ−ΛΛ+ ∑ ∫ = MtdzsxsfzxfAH q k t k k 1 1 0 0000 ,,,,,,,, ατττ І.І. Король ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 132 ( ) ( ) ( ) ( ) .00111 1 1 0 0 zzMtMtHAxAdH k q k k q k k ββαα ≤+′≤′+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ ∑∑ = + = Отже, при ( ) 00 ,, Ω∈Λzt маємо ( ) Dztx ∈Λ,, 01 . За індукцією можна лег- ко встановити, що ( ) ( ) 000 ,,,,2,1,,, Ω∈Λ∀=∀∈Λ ztmDztxm … . Оцінимо різницю функцій ( ) ( ) ≤Λ−Λ+ ,,,, 001 ztxztx mm ( )( ) ( )( )[∫ −ΛΛ−ΛΛ≤ − t mm zxfzxf 0 010 ,,,,,,,, ττττ ( )( ) ( )( )( )] +ΛΛ−ΛΛ− − τdzsxsfzsxsf mm ,,,,,,,, 010 ( )( ) ( )( )[∑ ∫ = − −ΛΛ−ΛΛ+ q k t mmk k zxfzxfAH 1 0 010 ,,,,,,,, ττττ ( )( ) ( )( )( )] ≤ΛΛ−ΛΛ− − τdzsxsfzsxsf mm ,,,,,,,, 010 ( )( ) ( )( ) +ΛΛ−ΛΛ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −≤ ∫ − t mm dzxfzxf T t 0 010 ,,,,,,,,1 τττττ ( )( ) ( )( ) +ΛΛ−ΛΛ+ ∫ − T t mm dzxfzxf T t τττττ ,,,,,,,, 010 ( )( ) ( )( )∑ ∫ = − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +ΛΛ−ΛΛ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ q k t mm k k k dzxfzxf T tHA 1 0 010 ,,,,,,,,1 τττττ ( )( ) ( )( ) .,,,,,,,, 010 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ΛΛ−ΛΛ+ ∫ − T t mm k k dzxfzxf T t τττττ Якщо позначити ( ) ( ) ( ) ,,,,,,, 00101 Λ−Λ=Λ ++ ztxztxztr mmm то, врахо- вуючи умову Ліпшіца (4), одержимо ( ) ( ) ( ) + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Λ+Λ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −≤Λ ∫ ∫+ t T t mmm dzr T tdzr T tKztr 0 0001 ,,,,1,, ττττ ( ) ( ) .,,,,1 1 0 00∑ ∫ ∫ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Λ+Λ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ q k t T t m k m k k k k dzr T t dzr T t KHA ττττ Ми вже довели, що ( ) ( ) ( ) ,,, 01101 zMtztr βα +′≤Λ а тому, враховуючи лему 2.2 [1], за методом математичної індукції отримуємо Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 133 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +′++′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −≤Λ ∫ ∫ t T t dzM T tdzM T tKztr 0 01101102 1,, τβτατβτα ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ≤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +′++′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+∑ ∫ ∫ = q k t T t kk k k k dzM T tdzM T tKHA 1 0 0110111 τβτατβτα ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]≤+′++′≤ ∑ = q k kkk ztMtKHAztMtK 1 01120112 )( βααβαα ( ) ( ) ( ) ≤⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +≤ ∑ = 01 1 11 3 zMTKtHAtE q k kk βαα ( ) ( )00132 zQzMTKPET ββ ≤⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +′⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +≤ , ( ) ( ) .,, 001 zQztr m m β≤Λ+ З урахуванням (5) одержимо оцінку різниці ( ) ( ) ( )≤Λ≤Λ−Λ ∑ = ++ j i immjm zrztxztx 1 000 ,,,,,, τ ( ) ( ) ( )0 1 1 0 0 zQEQzQ m j i im ββ − − = + −≤≤∑ . Оскільки ,0lim = →∞ m m Q то послідовність (6) у просторі неперервних век- тор-функцій є фундаментальною, а отже, за критерієм Коші вона рівномірно збігається. Перейшовши у співвідношенні (6) до границі при ∞→m от- римаємо, що гранична функція ),,( 0 * Λztx задовольняє інтегральному рівнянню ( ) ( )( ) ( )( )[ ] +Λ−Λ+= ∫ t dsxsfxfxtx 0 0 ,,,, τττ ( )( ) ( )( )[ ] ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Λ−Λ−−+ ∫∑∑ = + = ktq k k q k k dsxsfxfAxAdH T t 01 0 1 0 ,,,, τττ , з чого слідує, що ( ) ( )000100 * ,,,,,0 zxxxzx s…==Λ і ( )Λ,, 0 * ztx є розв’язком крайової задачі (8). Теорему доведено. Теорема 2. Нехай крайова задача (1)–(3)задовольняє умови 1–4 . Тоді набір ( ) ),( Λtx є розв’язком вихідної крайової задачі (1)–(3) тоді і тільки тоді, коли ( ) 0 ,Λz є розв’язком визначального рівняння ( ) .0,0 =Λ∆ z При цьому ( ) ( ) 0 ,, Λ= ztxtx і ( ) ( )* 00010 * ,,,0 zxxxx s…== . І.І. Король ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 134 Доведення проводиться за аналогією з доведенням теореми 3 [5]. На практиці розглядають наближену збурюючу функцію ( ) ( )( )+ΛΛ−=Λ∆ ,,,,, 00 zsxsfz mm ( )( ) ( )( )[ ] ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ΛΛ−ΛΛ−−+ ∫∑∑ = + = kt mm q k k q k k dzsxsfzxfAxAdH T 0 00 1 1 0 0 ,,,,,,,,1 τττ , на підставі аналізу якої можна робити висновки про існування розв’язку крайової задачі (1)–(3). Достатні умови для цього дає теорема 3. НЕОБХІДНІ ТА ДОСТАТНІ УМОВИ ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ Теорема 3. Нехай крайова задача (1)–(3) задовольняє умови 1–4, а також існує випукла замкнена область IDIDV ×⊂′×′=′ 00 така, що для деякого фіксованого 1≥m наближене визначальне рівняння ( ) 0,0 =Λ∆ zm має в V ′ єдиний розв’язок, індекс якого не дорівнює нулю і на межі S області V ′ виконується нерівність ( ) ( ) ( )0 1 0),( 1,inf 0 zQEKQP T Ez m mSz β− ∈Λ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +>Λ∆ . Тоді крайова задача (1)–(3) має єдиний розв’язок )),(( ** Λtx , початкове зна- чення якого ( ) ( )* 0001 * ,,,0 zxxx s…= , де ( ) Vz ′∈Λ** 0 , . Доведення. Враховуючи умову Ліпшіца (4) та оцінки (7), для різниці точної ( )Λ∆ ,0 * z і наближеної ( )Λ∆ ,0zm збурюючих функцій одержимо ( ) ( ) ( )( ) ( )( )∫ +ΛΛ−ΛΛ≤Λ∆−Λ∆ T mm dszsxsfzsxsf T zz 0 00 * 00 ,,,,,,,,1,, ( )( ) ( )( )[∑ ∫ = −ΛΛ−ΛΛ+ q k t mk k zxfzxfAH T 1 0 00 * ,,,,,,,,1 ττττ ( )( ) ( )( )( ) ≤⎥⎦ ⎤ΛΛ−ΛΛ− τdzsxsfzsxsf m ,,,,,,,, 00 * ( ) ( )∫ +Λ−Λ≤ T m dszsxzsxK T 0 00 * ,,,,1 ( ) ( ) +Λ−Λ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ∫∑ = kt m k q k k dzxzx T tKHA T 0 00 * 1 ,,,,11 τττ ( ) ( ) ( ) ( ) .1,,,, 0 1 00 * zQEKQP T Edzxzx T t m T t m k k βτττ −−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ Λ−Λ+ ∫ (10) Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 135 Далі доведення проводиться аналогічно доведенню теореми 4 [5]. Доведемо неперервну залежність збурюючої функції вигляду (9) від параметрів Λ,0z . Теорема 4. Нехай крайова задача (1)–(3)задовольняє умови 1–4 . Тоді вектор-функція ( )Λ∆ ,0z вигляду (9) визначена і неперервна в області ID ×0 , і для довільних точок ( ) ( ) IDzz ×∈Λ ′′′′Λ′′ 000 ,,, виконується оцінка ( ) ( )( ) ( ) ( ) +′′−′⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤Λ ′′′′∆−Λ′′∆ − 00 1 00 11,, xxREQEKP T ER T zz ( ) , 2 1 1 Λ ′′−Λ′⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − LPETQEKEP T E де ∑ + = = 1 0 q k kHAR . Доведення. Для довільної точки ( ) IDz ×∈Λ 00 , функція ( )Λ,, 0 * zsx є неперервною як границя рівномірно збіжної послідовності (6). А тоді і ( )Λ∆ ,0z є неперервною і обмеженою ( ) IDz ×∈Λ∀ 00 , . ( ) .11, 1 0 00 MP T ExAdH T z q k k ′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −≤Λ∆ ∑ + = Спочатку оцінимо близькість функцій ( )Λ′′ ,, 0zsxm і ( )Λ ′′′′ ,, 0zsxm . При 1=m для довільних ( ) ( ) IDzz ×∈Λ ′′′′Λ′′ 000 ,,, , виконуючи перетворення, по- дібні до тих, які використовували при встановленні оцінки (7), маємо ( ) ( ) +′′−′+′′−′≤Λ ′′′′−Λ′′ ∑ + = 1 0 00000101 ,,,, q k k xxAH T txxztxztx ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] +Λ ′′′′−Λ′′−Λ ′′′′−Λ′′+ ∫ t dxsfxsfxfxf 0 0000 ,,,,,,,, τττ ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ≤Λ ′′′′−Λ′′−Λ ′′′′−Λ′′+ ∑ ∫ = q k t k k dxsfxsfxfxfAH T t 1 0 0000 ,,,,,,,, τττ ( ) [ ]∫ +Λ ′′−Λ′+′′−′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+′′−′+≤ t dLxxK T txxRE 0 0000 1 τ [ ] +Λ ′′−Λ′+′′−′+ ∫ T t dLxxK T t τ00 [ ]∑ ∫ = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +Λ ′′−Λ′+′′−′⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ q k t k k k dLxxK T t HA 1 0 001 τ І.І. Король ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 136 [ ] ( )( ) +′′−′+++≤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Λ ′′−Λ′+′′−′+ ∫ 00100 xxPKKtREdLxxK T t T t k k ατ ( )( ) ( ) Λ ′′−Λ′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++′′−′++≤Λ ′′−Λ′++ LPETxxQRELPtE 2001α . При 2=m аналогічно отримаємо ( ) ( ) ( ) +′′−′+≤Λ ′′′′−Λ′′ 000202 ,,,, xxREztxztx ( ) ( )[∫ +Λ ′′′′−Λ′′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ t zxzxK T t 0 0101 ,,,,1 ττ ] ( ) ( )[ ] +Λ ′′−Λ′+Λ ′′′′−Λ′′+Λ ′′−Λ′+ ∫ ττττ dLzxzxK T tdL T t ,,,, 0101 ( ) ( )[ ]∑ ∫ = + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Λ ′′−Λ′+Λ ′′′′−Λ′′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ q k t k k k dLzxzxK T tHA 1 0 0101 ,,,,1 τττ ( ) ( )[ ] ≤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ Λ ′′−Λ′+Λ ′′′′−Λ′′+ ∫ τττ dLzxzxK T t T t k k ,,,, 0101 ( ) ( ) ( ) . 20000 2 Λ ′′−Λ′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++′′−′++′′−′++≤ LPETQExxRQExxQQE За методом математичної індукції одержимо такі оцінки: ( ) ( ) +′′−′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +′′−′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≤Λ ′′′′−Λ′′ ∑∑ − == 00 1 0 00 0 00 ,,,, xxRQxxQztxztx m i i m i i mm Λ ′′−Λ′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ∑ − = LPETQ m i i 2 1 0 . Переходячи в останній нерівності до границі при ∞→m і беручи до уваги (5), маємо ( ) ( ) ≤Λ ′′′′−Λ′′ ,,,, 0 * 0 * ztxztx ( ) ( ) ( ) Λ ′′−Λ′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+′′−′+−≤ −− LPETQExxREQE 2 1 00 1 . (11) З означення (9) збурюючої функції, враховуючи (11) та лему 2.1 [1], маємо, що при ( ) ( ) IDzz ×∈Λ ′′′′Λ′′∀ 000 ,,, справедливі оцінки ( ) ( ) ≤Λ ′′′′∆−Λ′′∆ ,, 00 zz Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 137 ( )( ) ( )( ) +′′−′+Λ ′′Λ ′′′′−Λ′Λ′′≤ ∫ 00 0 0 * 0 * 1,,,,,,,,1 xxR T dszsxsfzsxsf T T ( )( ) ( )( )∫∑ +Λ ′′Λ ′′′′−Λ′Λ′′⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ = kt k q k k dzxfzxf T t HA T 0 0 * 0 * 1 ,,,,,,,,11 τττττ ( )( ) ( )( ) ≤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ Λ ′′Λ ′′′′−Λ′Λ′′+ ∫ T t k k dzxfzxf T t τττττ ,,,,,,,, 0 * 0 * ( ) ( ) ≤′′−′+Λ ′′−Λ′++Λ ′′′′−Λ′′⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ 000 * 0 * 1)1(,,,,1 xxR T LP T EztxztxKP T E ( ) ( ) +′′−′⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ − 00 111 xxREQEKP T ER T ( ) . 2 1 1 Λ ′′−Λ′⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − LPETQEKEP T E Теорему доведено. Наступна теорема встановлює необхідні умови розв’язуваності крайо- вої задачі, тобто умови, необхідні для того, щоб існувала пара ( )** 0 ,Λz , яка визначає при 0=t початкове значення ( ) ( )* 0001 * ,,,0 zxxx s…= точного розв’язку задачі (1)–(3). Теорема 5. Нехай крайова задача (1)–(3) задовольняє умови 1–4 . Тоді для того, щоб деяка область IDV ′′×′′=′′ 0 містила точку ( )** 0 ,Λz , яка зводить при Λ=Λ крайову задачу (1)–(3) до задачі Коші ( ) ( ) ( )⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ == Λ= ,,,,0 ,,, 0001 * 0 * zxxxx xtf dt dx s… необхідно, щоб Ν∈∀m і для ( ) Vz ′′∈Λ∀ ,0 виконувалася нерівність ( ) ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤Λ∆ − ′′∈Λ 00 1 ),( 0 11sup, 0 xxREQEKP T ER T z Vz m ( ) + ⎭ ⎬ ⎫ Λ−Λ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − LPETQEKEP T E 2 1 1 ( ) ( )0 11 zQEKQP T E m β−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ . (12) Доведення. Згідно з теоремою 2 пара ( ) 0 ,Λz є розв’язком визначаль- ного рівняння ( ) 0, 0 =Λ∆ z . (13) І.І. Король ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 138 Застосуємо теорему 4 у випадку, коли ( ) ( )Λ=Λ′′ ,, 00 zz , ( ) =Λ ′′′′ ,0z ( )** 0 ,Λ= z , де ( )Λ,0z — довільна точка області V ′′ . Тоді, з урахуванням (13) маємо ( ) ( ) ( ) +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤Λ∆ − * 00 1 0 11, xxREQEKP T ER T z ( ) 1 2 1 Λ−Λ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − LPETQEKEP T E . (14) З нерівності (10) слідує, що ( ) ( ) ( ) ( )0 1 00 1,, zQEKQP T Ezz m m β−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +≤Λ∆−Λ∆ , тобто ( ) ( ) ( ) ( )0 1 00 1,, zQEKQP T Ezz m m β−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++Λ∆≤Λ∆ . (15) Об’єднуючи нерівності (14) та (15), отримаємо співвідношення (12). ( ) ( ) ( ) +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤Λ∆ − 00 1 0 11, xxREQEKP T ER T zm ( ) +Λ−Λ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − *1 2 1 LPETQEKEP T E ( ) ( )≤−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − 0 11 zQEQKP T E m β ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ − ′′∈Λ 00 1 ),( 11sup 0 xxREQEKP T ER TVz ( ) + ⎭ ⎬ ⎫ Λ−Λ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − LPETQEKEP T E 2 1 1 ( ) ( )0 11 zQEKQP T E m β−−⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ . Теорему доведено. ВИСНОВКИ Розглянуто застосування чисельно-аналітичного методу послідовних на- ближень до дослідження існування та наближеної побудови розв’язків не- лінійних систем диференціальних рівнянь з параметрами, підпорядкованих нерозділеним багатоточковим крайовим умовам. Обґрунтовано алгоритм побудови наближених розв’язків. Встановлено конструктивні необхідні та достатні умови їх існування. Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 139 ЛІТЕРАТУРА 1. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории крае- вых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1992. — 280 с. 2. Ронто Н.И., Самойленко А.М., Трофимчук С.И. Теория численно-аналити- ческого метода: достижения и новые направления развития // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 7. — С. 960–971. 3. Король І.І. Застосування чисельно-аналітичного методу до дослідження три- точкових крайових задач з параметрами // Наук. вісн. УжДУ. Сер. Ма- тематика. — Вип. 3. — 1998. — С. 124–127. 4. Ронто М., Мейсарош Й. Некоторые замечания о сходимости численно- аналитического метода последовательных приближений // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 1. —С. 90–95. 5. Ронто Н.И., Король И.И. Исследование и решение краевых задач с параметра- ми численно-аналитическим методом // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 8. — С. 1031–1042. Надійшла 14.07.2008
id	journaliasakpiua-article-107280
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:22:24Z
publishDate	2009
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/b0/d7de8fa74d6274b362c12ccdec623db0.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1072802018-04-06T12:33:06Z Integration of perametrized multi-point boundary value problems Интегрирование параметризированных многоточечных краевых задач Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач Korol, I. I. By using a modification of a numerical-analytic method for successive approximations, the problems of the existence and construction of approximate solutions for multi-point boundary value problems are considered for the systems of ordinary nonlinear differential equations with unknown parameters. Рассматриваются вопросы существования и приближенного построения решений многоточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными параметрами с помощью модификации численно-аналитического метода последовательных приближений. Розглядаються питання існування та наближеної побудови розв’язків багатоточкових крайових задач для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з невідомими параметрами за допомогою модифікації чисельно-аналітичного методу послідовних наближень. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2009-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107280 System research and information technologies; No. 4 (2009); 129-139 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2009); 129-139 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2009); 129-139 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107280/102248 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Korol, I. I. Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач
title	Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач
title_alt	Integration of perametrized multi-point boundary value problems Интегрирование параметризированных многоточечных краевых задач
title_full	Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач
title_fullStr	Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач
title_full_unstemmed	Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач
title_short	Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач
title_sort	інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107280
work_keys_str_mv	AT korolii integrationofperametrizedmultipointboundaryvalueproblems AT korolii integrirovanieparametrizirovannyhmnogotočečnyhkraevyhzadač AT korolii íntegruvannâparametrizovanihbagatoočkovihkrajovihzadač

Інтегрування параметризованих багатоочкових крайових задач

Institution

Similar Items