Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів
A new method for estimation on default risks and real options is proposed: an investor, as a source of financing, has certain information about functioning the company and estimates its probability of default.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2009
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107837 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866301997720797184 |
|---|---|
| author | Honchar, N. S. Terentyeva, L. S. |
| author_facet | Honchar, N. S. Terentyeva, L. S. |
| author_sort | Honchar, N. S. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-06T12:33:14Z |
| description | A new method for estimation on default risks and real options is proposed: an investor, as a source of financing, has certain information about functioning the company and estimates its probability of default. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М.С. Гончар, Л.С. Терент’єва, 2009
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 3 43
УДК 519.86
ОЦІНЮВАННЯ РИЗИКІВ ДЕФОЛТУ ТА РЕАЛЬНИХ
ОПЦІОНІВ
М.С. ГОНЧАР, Л.С. ТЕРЕНТ’ЄВА
Запропоновано новий метод оцінювання ризиків дефолту та реальних опціо-
нів, який полягає в тому, що інвестор як джерело фінансування за наявності
певної інформації про роботу фірми оцінює можливість її дефолту.
ВСТУП
Проблема оцінювання ризиків дефолту фірми є актуальною для будь-якого
інвестора. Важливим є питання побудови адекватної реальності математич-
ної моделі еволюції ринкової вартості фірми, яка б не давала міжчасових
арбітражних можливостей, тобто можливостей набути додатного капіталу,
починаючи з нульового.
Перша модель еволюції вартості ризикових активів була запропонована
Л. Башельє у 1900р. Її очевидним недоліком є можливість ціни ризикового
активу набувати від’ємних значень. Потім П. Самуельсон запропонував мо-
дель еволюції вартості ризикового активу, яку названо геометричним броу-
нівським рухом
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= tt WtSS σσµ
2
exp
2
0 ,
де µ — коефіцієнт росту; σ — коефіцієнт мінливості або волатильність;
tW — стандартний процес Вінера. Д. Кокс, Р. Росс і М. Рубінштейн [6] за-
пропонували дискретну модель еволюції ціни ризикового активу та довели
теорему про повноту ринку цінних паперів у такій моделі. Модель еволюції
ризикового активу Самуельсона є граничним випадком моделі Кокса–
Росса–Рубінштейна. Для введених моделей характерна відсутність міжчасо-
вих арбітражних можливостей, що важливо для практичних застосувань.
Д. Гаррісон і С. Пліска [7] сформулювали теорему про умови відсутності
міжчасових арбітражних можливостей.
Всі моделі еволюції вартості ризикових активів мають задовольняти
умови відсутності арбітражних можливостей. У згаданих вище моделях
процес еволюції ризикового активу породжує єдину ризик-нейтральну ймо-
вірнісну міру, що дозволяє теоретично оцінити можливість фірми збанкру-
тувати за наявності зовнішнього фінансування. Параметри процесів у цих
моделях, оцінені за історичними даними, не ґарантують правильної еволюції
ризикових активів у майбутньому. Такі процеси еволюції вартості активів є
основою найбільш популярних і розвинених концепцій оцінювання ризиків
дефолту (наприклад, Р. Мертона [1], Т. Білецького і М. Рутковського [2]). В
них також не враховано роль інвестора як джерела фінансування та можливі
стратегії розвитку фірми.
М.С. Гончар, Л.С. Терент’єва
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 3 44
Ця робота започатковує нову концепцію опису еволюції вартості фір-
ми, у якій не використовуються історичні дані і враховується факт можливої
оцінки кредитором стабільності роботи фірми через поняття внутрішньої
доходності та (оцінювані кредитором) фінансові потоки від майбутньої дія-
льності фірми. Концепція спирається на розроблену М.С. Гончаром [3] тео-
рію певного класу випадкових процесів. Засадничою позицією створювано-
го методу оцінювання ризиків дефолту є ефективність еволюції вартості
фірми, що полягає у відсутності міжчасового арбітражу. На описаний нижче
клас випадкових процесів для еволюції вартості фірми накладено умови, за
яких вартість фірми еволюціонує ефективно [3,с.746].
Означення 1. Нехай NAA ,,0 … — фінансові надходження від діяльно-
сті фірми, які відбуваються через певні рівні проміжки часу τ (наприклад,
місяці або роки), який ми вибираємо за одиницю вимірювання часу; 0≥iA ,
Ni ,0= , N — кількість періодів τ . Якщо r — ставка відсотку на депозит
за неперервного нарахування відсотків, яка відповідає періоду τ , то під
внутрішньою доходністю фірми в момент часу t розуміємо невід’ємний ви-
падковий процес )(ωtx такий, що з ймовірністю 1 справедлива рівність
∑
=
−
+
=
N
i
i
i
t
rt
tx
A
Ve
0 )](1[
)(ω , (1)
де )(ωtV — ринкова вартість фірми в момент часу t. З (1) випливає, що для
моделювання ринкової вартості фірми достатньо задати випадковий процес
внутрішньої доходності )(tx .
Будемо вважати, що оцінку внутрішньої доходності фірми здійснює ін-
вестор, який оцінює її кредитоспроможність, тобто спроможність повернути
кредит у майбутньому.
Означення 2. Нехай еволюція внутрішньої доходності фірми задана на
деякому ймовірнісному просторі { }P,,FΩ . Інформація інвестора про внут-
рішню доходність фірми є повною у випадку, коли процес, який описує ево-
люцію внутрішньої доходності, такий, що відповідна йому еволюція вартос-
ті фірми ефективна.
Повнота інформації про внутрішню доходність фірми дає можливість
оцінювати ризики та реальні опціони відносно ризик-нейтрального середо-
вища.
Концептуально реальний опціон є тактичним або стратегічним рішен-
ням, яке може бути прийнято в певний час у майбутньому відповідно до ри-
нкових змін. Базовими активами за реальними опціонами є реальні активи:
заводи, машини, виробничі інвестиції і т.ін. Трудність оцінювання реальних
опціонів та ризиків дефолту полягає в тому, що еволюція базових активів
невідома на відміну від фінансових опціонів. Оцінка реального опціону є
оцінкою реальних можливостей фірми, а отже, може бути здійснена за наяв-
ності інформації про такі можливості, наприклад, про введення у майбут-
ньому додаткових потужностей (скасування збиткового виробництва). У мо-
делі, яка створюється в даній роботі, можливі надходження від задіяння
певних активів у майбутньому безпосередньо описуються коефіцієнтами iA .
Отже, маючи інформацію про основні параметри роботи фірми, оцінювання
Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 3 45
конкретного реального опціону дозволяє максимально убезпечити інвестора
від втрати капіталу.
МОДЕЛЮВАННЯ ЕВОЛЮЦІЇ ВНУТРІШНЬОЇ ДОХОДНОСТІ
Внутрішня доходність є основним критерієм оцінки інвестором ризиковано-
сті роботи фірми. Виходячи з того, що збільшення часового горизонту при-
зводить до збільшення невизначеності, природньо припускати, що )(ωtx —
зростаючий процес обмеженої варіації. Нижче будуємо ймовірнісний прос-
тір, в якому відбувається випадкова еволюція tx таким чином, що інформа-
ція інвестора про внутрішню доходність фірми є повною.
Побудова ймовірнісного простору для еволюції внутрішньої доходності
ґрунтується на припущенні, що проміжок часу [ )ba, , на якому спостеріга-
ється еволюція ціни фірми, можна розбити на деякі проміжки [ )αα
1, +ii aa ,
)(,1 αki = , монотонно зростаючою послідовністю точок 1)(
1}{ +
=
αα k
iia , яка не
має точок згущення ( [ ) [ )∪
)(
1
1 ,,
α
αα
k
i
ii baaa
=
+ = ) так, що у кожному із проміжків з
ймовірністю 1 відбувається зміна внутрішньої доходності. Такому розбиттю
приписується сім’я функцій розподілу, які і є ймовірнісними характеристи-
ками вартості фірми.
Розглянемо детальніше підхід до побудови процесу, що описує еволю-
цію внутрішньої доходності. Вважаємо цікавим для інвестора проміжок часу
функціонування фірми, в якому можливі зміни у структурі виробництва, і
складається він з N періодів (наприклад, місяців або років). Припускаємо,
що зміни внутрішньої доходності фірми відбуваються у кожному періоді, а
отже, наше розбиття має вигляд [ )1, +ii , 1,0 −= Ni .
Якщо вартість фірми на проміжку часу [ )1, +ii може набувати значень
у множині ),0[ ic , ∞<ic , то умовна функція розподілу )}{( 1
0
)1,[ −+ iiii ppF —
ймовірність того, що вартість фірми не перевищуватиме ),0[ ii cp ∈ за умо-
ви, що в проміжках часу [ )1, +kk , 1,0 −= ik , вона була рівною ),0[ kk сp ∈ ,
де введено позначення { } },...,{ 101 −− = ii ppp . Пов’язуємо можливі реалізації
вартості фірми з проміжком часу, в якому ці реалізації відбуваються. По-
кладемо )()( kkkkk kcp ωτω =−= , ik ,0= , [ )1, +∈ kkkω , 1,0 −= Nk , та
введемо ототожнення
{ }( ) ikpiiiiiii kkk
ppFF ,0),(1
0
)1,[1 )}{(| ==−+− = ωτωω .
Кожний можливий набір функцій розподілу називатимемо сценарієм
реалізації вартості фірми.
Ймовірнісний простір, в якому відбувається випадкова еволюція tx ,
будуємо таким чином.
Для розбиття )1,[ +ii , 1,0 −= Ni розглянемо сім’ю просторів елемен-
тарних подій ),0[ Ni =Ω , 1,0 −= Ni .
М.С. Гончар, Л.С. Терент’єва
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 3 46
На кожному просторі iΩ задамо σ -алгебру подій 0
iF — множину
підмножин множини [ )Ni ,0=Ω , яка породжується інтервалами ( )⊂dc,
[ )1, +⊂ ii . Потік σ -алгебр t
i
,0F , [ )Nt ,0∈ , 0,0
i
t
i FF ⊆ , запишемо
[ ){ }
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤+=
+<<
≤≤∅
=
+∈
,1,]),([
,1]),,([
,0,,0,
)1,[
0
,0
NtitiB
ititiB
itN
iit
i
t
i
∪ F
F
де ]),([ tiB — σ -алгебра підмножин множини [ )N,0 , які породжені під-
множинами ( ) [ ]tidc ,, ⊂ , а ∪
)1,[
]),([
+∈ iit
tiB — мінімальна σ -алгебра, що містить
об’єднання σ -алгебр ]),([ tiB ; },{ 0FΩ — прямий добуток вимірних прос-
торів },{ 0
ii FΩ , 1,0 −= Ni ; ∏
−
=
=
1
0
,00
N
i
t
ii FF — потік σ -алгебр на { }0F,Ω .
На кожному вимірному просторі },{ 0
ii FΩ визначаємо сім’ю умовних
функцій розподілу }}{|{ 1
0
−iiiF ωω , яка за кожного фіксованого =Ω∈ −
−
1
1}{ i
iω
∏
−
=
Ω=
1
0
i
s
s є неперервною справа неспадною функцією змінної ),0[ Ni ∈ω .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<≤+
+<<
≤≤
= −−
,1,1
,1),}{|(
,0,0
)}{|( 11
Ni
ii
i
F
i
iiii
i
iii
ω
ωωωφ
ω
ωω 1
1}{ −
− Ω∈ i
iω ,
де },...,{}{ 101 −− = ii ωωω .
Функція )}{|( 1−iii ωωφ задовольняє умови 10 <≤ iφ , 0)}{|( 1 =−ii i ωφ ,
1,0 −= Ni і є неперервною справа неспадною функцією змінної iω на
[ )1, +ii за кожного фіксованого 1
1}{ −
− Ω∈ i
iω та вимірною з вимірного прос-
тору
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ Ω −
− 0
1
1, i
i F у вимірний простір ( ){ }]1,0[],1,0[ B за кожного фіксовано-
го iω , де ∏
−
=
− =
1
1
00
1
i
s
si FF .
Нехай )}{|( 1−iii dF ωω — міра, побудована за функцією розподілу
)}{|( 1−iiiF ωω на σ -алгебрі 0
iF за кожного фіксованого 1
1}{ −
− Ω∈ i
iω .
)}{|( 1−iii dF ωω зосереджена на підмножині iii Ω⊂+ )1,[ .
Задамо міру на вимірному просторі { }0F,Ω , визначивши її на множи-
нах виду 10 ... −×× NAA , 0
iiA F∈ , формулою
( ) ∫ ∫
−
−−−− ××=××
0 1
)}{|(...)}{|()(...... 2110110010
A A
NNNN
N
dFdFdFAAP ωωωωω .
Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 3 47
Так означена функція множин може бути продовжена до деякої міри P
на 0F завдяки теоремі Іонеску–Тулча [4].
Отже, розглядатимемо ймовірнісний простір { }P,, 0FΩ і потік σ -
алгебр 00 FF ⊆t на ньому, ймовірнісний простір { }P,, FΩ і потік σ -алгебр
FF ⊆t , де F і tF — поповнення відповідно 0F і 0
tF множинами нульо-
вої міри відносно міри P .
ЗАДАЧА ОЦІНЮВАННЯ РИЗИКУ ДЕФОЛТУ
Спираючись на теорію, розроблену М.С. Гончаром [3], розгянемо широкий
клас випадкових процесів, що описують еволюцію внутрішньої доходності
фірми, і таких, в яких інформація інвестора про внутрішню доходність є
повною.
Дефолт — це неможливість боржника сплатити за зобов’язаннями. Та-
ка ситуація виникає, коли вартість фірми падає нижче деякого рівня, який
визначається типом та обсягами зовнішнього фінансування. Оцінку ризику
дефолту фірми будуватимемо, використовуючи підхід Мертона. В рамках
цього підходу вважаємо, що дефолт може відбутися лише у момент по-
гашення боргового зобов’язання T . Нижче будуємо оцінку дефолту у
ризик-нейтральному середовищі. Ця величина є усередненням за ризик-
нейтральною мірою функції ризику, тобто відхиленням вартості фірми від
боргового зобов’язання.
Для оцінки ризику дефолту використовуємо функцію ризику )(xα ,
запропоновану Р. Мертоном.
+−−== )(),(min)( 000 xUUUxxα , (2)
де 0U — зовнішнє інвестування; )0,(max yy =+ Ry∈∀ .
За даної концепції реальний опціон можемо розглядати як угоду, у від-
повідності з якою у разі задіяння додаткових можливостей власник опціону
дістане частину доходів від діяльності фірми. Це буде тоді, коли вартість
фірми підніметься вище деякого значення 0U . Платіжна функція такого ре-
ального опціону є частиною вартості фірми і має вигляд
( )0)( Uxfxf −= ,
де 0)0( =f , 1)( ≤xf 0≥∀ x .
Основним об’єктом нашого дослідження є ринкова вартість фірми, яка
в момент часу t задається формулою
[ ]∑
= +
=
N
n
n
nrt
t
tx
A
eV
0 )(1
, (3)
де nA , Nn ,0= — фінансовий потік від діяльності фірми; tx — внутрішня
доходність фірми, представлена випадковим процесом на { }P,, FΩ , що є
узгодженим з потоком 0
tF локальним несинґулярним мартинґалом
М.С. Гончар, Л.С. Терент’єва
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 3 48
∑
−
=
+=
1
0
)1,[ )()(
N
i
i
i
tiit xtx ωχ ,
)(),}({)()}({)( )1,(1),[ iitiiitiiii
i
t tgx ωχωψωχωω +−+= ,
∫
+
−
−
− −
=
)1,(
1
1
1 )}{|()}({
)}{|(1
1),}({
it
iiiii
ii
ii dFg
tF
t ωωω
ω
ωψ ,
де )}({ iig ω — вимірне відображення { } { })(,, 110 RBRi
i →Ω F ; ),}({ 1 tii −ωψ
— вимірне відображення { } { })(,, 110
1
1 RBRi
i →Ω −
− F за кожного фіксованого
)1,[ +∈ iit , 1,1 −= Ni .
Також вважаємо, що випадковий процес tx , який описує еволюцію
внутрішньої доходності фірми, належить класу 0K [3, c. 708].
Еволюція неризикового активу задається формулою
rteBtB 0)( = , (4)
де 10 << r ; 0B — початковий вклад на банківський рахунок. Нехай діяль-
ність фірми фінансується ззовні до моменту часу 0>T , )1,[ +∈ llT ,
1−≤ Nl шляхом випуску в момент часу 0=t боргового зобов’язання —
облігації з нульовим купоном номіналом вартістю 00 >U )( 00
rTeUV −> .
Функція ризику (2) матиме вигляд
+−
= =
+ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−= ∑ ∑
1
0 0
)1,[00
))}({1(
)()(
N
i
N
n
n
i
i
T
n
ii
rT
T
x
A
TeUUV
ω
χα . (5)
ФОРМУЛА ОЦІНКИ РИЗИКУ ДЕФОЛТУ
Зважаючи на специфіку процесу, що описує внутрішню доходність, для оці-
нювання дефолту та побудови геджувального динамічного портфелю скори-
стаємося результатами роботи [3, гл.12], зокрема теоремами 12.6.1 та 12.6.2.
Теорема. Припустимо, що
∑
−
=
+=
1
0
)1,[ )()(
N
i
i
i
tiit xtx ωχ ,
∫
+
−
−−
+=
)1,(
1
1
),[ )}{|()}({
)}{|(1
1)()}({)(
it
iiiii
ii
itiiii
i
t dFg
tF
gx ωωω
ω
ωχωω
— локальний несинґулярний мартинґал на { }P,, FΩ , який задовольняє
умови
Mxt ≤≤0 , ∞<< M0 ,
0)}({ ≥iig ω , { } i
i Ω∈ω , 1,0 −= Ni ,
Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 3 49
( )∫
+ −−
−
− ∞<
−)1,[ 1
1
1
0
)}{|(1
)}{|(
}{|
ii ii
ii
ii sF
dsF
s
ω
ω
ωρ ,
де
( ) ∫
+
−
−
−− −
−=
)1,(
1
1
11
0 )}{|()}({
)}{|(1
1),}({}{|
is
iiiii
ii
iiii dFg
sF
sgs ωωω
ω
ωωρ .
Для випадкового процесу
∑
−
=
+=
1
1
)1,[ ))}({()(
N
i
i
i
tiit xftV ωχ , (6)
що описує еволюцію вартості фірми, де функція 0)( ≥xf , Mx ≤≤0 є стро-
го монотонною і така, що
∞<=′
≤≤
1
0
)(sup fxf
Mx
, 0)(inf 20
>=′
≤≤
fxf
Mx
,
1
2
1
1
)1,[}{ )}{|(1
)}{|(
supsupsup
1
1
f
f
sF
sF
ii
ii
iisi i
i
<
−
∆
−−
−
+∈Ω∈ −
−
ω
ω
ω
,
∫
+
−−−− ∞<−
)1,[
111 ),}({)},}({exp{)),}({(
ii
i
i
i
i
ii dtttgf ωγωγω ,
{ } 1
1
−
− Ω∈ i
iω , 1,0 −= Ni ,
∫
−−−
−−
− −
=
],[ 11
11
'
1 )]}{|(1)[,}({
)}{|())}{|((
),}({
ti iiii
iiii
i
i
FU
dFTf
t
ωττω
ωτωτ
ωγ ,
( )∫ −−−− −+′=
1
0
1111 )],}({)}{|([),}({),}({ dzgTzgfU iiiiiiii τωωττωτω ,
∫
+
−
−
− −
=
)1,(
1
1
1 )}{|()}({
)}{|(1
1)}{|(
it
iiiii
ii
ii dFg
tF
tT ωωω
ω
ω ,
існує мартинґальна міра 1P на { }0, FΩ , породжена сім’єю функцій розподі-
лу )}{|( 1
1
−iiiF ωω , 1,0 −= Ni , і модифікація tV процесу tV така, що tV —
локальний несинґулярний мартинґал на ймовірнісному просторі { }11,, PFΩ
відносно потоку σ -алгебр 1
tF , де σ -алгебри 1F і 1
tF — поповнення σ -
алгебр відповідно 0F і 0
tF відносно міри 1P .
Далі, нехай ( )1}{ −NN ω — невід’ємна випадкова величина на { }P,, FΩ ,
яка задовольняє такі умови:
1) ∞<)}({ iiN ω , i
i Ω∈}{ω , 1,0 −= Ni ;
2) справедливі нерівності
∫
+ −−
−
− ∞<
−)1,[ 1
1
1
1
1
)}{|(1
)}{|(
)}{|(
ii ii
ii
ii
sF
dsF
s
ω
ω
ωζ ,
М.С. Гончар, Л.С. Терент’єва
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 3 50
1
1}{ −
− Ω∈ i
iω , 1,0 −= Ni ,
∫
+
−
−
−−
−
−=
)1,(
1
1
1
111 )}{|()}({
)}{|(1
1),}({)}{|(
is
iiiii
ii
iiii dFN
sF
sNs ωωω
ω
ωωζ ,
∫ ∫
+ −Ω Ω
++−+ ×=
1 1
)}{|())}{,}({(...)}({ 1
1
1]1,1[
i N
iiiNiiTii dFVN …ωωωωαω
)}{|( 21
1
1 −−−× NNN dF ωω… .
За цих умов для реґулярного мартинґала { }1
1
1 |)}({ tNNE F−ω на ймові-
рнісному просторі { }11,, PFΩ справедливе подання
∫+= −−
],0[
1
11
1
1 )|()}({}|)}({{
t
sNtN VdsNENE ωξωω F , ),0[ Nt ∈ , (7)
де
∑
−
= −
−
+=
1
1 1
0
1
)1,[
)}{|(
)}{|(
)()|(
N
i ii
ii
ii
s
s
ss
ωζ
ωζ
χωξ ,
−= −− )),}({()}{|( 11
0 sgfs iiii ωωζ
∫
+
−
−−
−
)1,(
1
1
1
1 )}{|())}({(
)}{|(1
1
is
iiiii
ii
dFgf
sF
ωωω
ω
.
Доведення. Теорема є модифікацією теореми 12.6.1 [3,с.728] на випа-
док, коли несинґулярний мартинґал tx є рівномірно обмеженим з ймовірні-
стю 1 за реалізації з ймовірністю 1 сценарію, що визначається розбиттям
[ )1, +ii , 1,0 −= Ni , і побудованим вище відносно такого розбиття повним
ймовірнісним простором },,{ PFΩ . Тоді за виконання умов теореми існує
мартинґальна міра 1P на },{ 0FΩ , породжена сім’єю функцій розподілу
)}{|( 1
1
−iiiF ωω , 1,0 −= Ni , і модифікація tV процесу tV така, що є локаль-
ним несинґулярним мартинґалом на ймовірнісному просторі { }11,, PFΩ від-
носно потоку σ -алгебр 1
tF , де σ -алгебри 1F і 1
tF — поповнення
σ -алгебр відповідно 0F і 0
tF відносно міри 1P . Якщо невід’ємна випадко-
ва величина )}({ 1−NN ω на { }P,, FΩ задовольняє умови теореми, то для ре-
ґулярного мартинґала }|)}({{ 1
1
1
tNNE F−ω на },,{ 11 PFΩ справедливий роз-
клад (7). Відмінність теореми від 12.6.1 [3,с.728] лише в тому, що ми
розглядаємо вужчий клас рівномірно обмежених процесів tx , для яких ана-
логічні умови теореми 12.6.1 виконуються. Таким чином, доведення теоре-
ми є аналогічним доведенню теореми 12.6.1 [3, с.728].
Для випадкового процесу tV , який описує еволюцію вартості фірми,
функція ∑
= +
=
N
n
n
n
rt
x
Ae
xf
0 )1(
)( задовольняє умови теореми.
Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 3 51
Таким чином, на },{ 0FΩ можна побудувати ризик-нейтральну міру 1P
і модифікацію tV , що є локальним несинґулярним мартинґалом на
},,{ 11 PFΩ .
Функція ризику )(xα , яка задається формулою (5), задовольняє умови
теореми 12.6.2 [3, с.752], еволюція вартості фірми описується формулою (6),
еволюція ціни неризикового активу — формулою (4), а тому оцінкою
дефолту у відповідності до підходу Мертона є величина
)(1*
0 T
rT VEeX α−= .
Динамічний портфель для повернення боргу в обсязі 0U задається
формулою
{ }11)(* |)( tT
Ttr
t VEeX Fα−= .
ВИСНОВКИ
У роботі закладено основи нового методу оцінки ризиків дефолту та реаль-
них опціонів. На перший план виноситься роль інвестора як джерела фінан-
сування. Інвестор за наявності певної інформації про стабільність фірми та
можливість уведення в дію додаткових потужностей у майбутньому оцінює
можливість дефолту фірми. Побудовано ймовірнісний простір та описано
широкий клас процесів для еволюції внутрішньої доходності фірми таких,
що інформація інвестора про внутрішню доходність є повною. Знайдено
оцінку дефолту фірми, що фінансується ззовні до деякого часу Т шляхом
випуску в нульовий момент часу облігації з нульовим купоном. Оцінку
зроблено з використанням підходу Мертона за припущення, що дефолт
може відбутися лише у термінальний момент часу Т . Також побудовано
геджувальний динамічний портфель у ризик-нейтральному середовищі.
ЛІТЕРАТУРА
1. Merton R. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and man-
agement Science. — 1973. — 4. — P. 141–183.
2. Bielecki T., Rutkowski M. Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging. —
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002. — 500 p.
3. Гончар М.С. Фондовий ринок і економічний ріст. — Київ: Обереги, 2001. —
826 с.
4. Халмош П. Теория меры. — М.: Изд. иностр. лит., 1953. — 350 с.
5. Guo X. Information and option pricings // Quantative finance. — Springer, 2001. —
1. — P. 12–15.
6. Cox J., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // Journal of
Financial Economics. — 1976 — 7. — P. 229–263.
7. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales, stochastic integrals and continuous trading //
Stoch. Processes and Appl. — 1981. — 11, № 3. — P. 215–260.
Надійшла 10.10.2007
|
| id | journaliasakpiua-article-107837 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:27Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/e9/3fb01039a002a33847a5d354e29d83e9.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1078372018-04-06T12:33:14Z Estimation of default risks and real options Оценивание рисков дефолта и реальных опционов Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів Honchar, N. S. Terentyeva, L. S. A new method for estimation on default risks and real options is proposed: an investor, as a source of financing, has certain information about functioning the company and estimates its probability of default. Предложен новый метод оценивания рисков дефолта и реальных опционов, состоящий в том, что инвестор как источник финансирования, имея некоторую информацию о работе фирмы, оценивает возможность ее дефолта. Запропоновано новий метод оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів, який полягає в тому, що інвестор як джерело фінансування за наявності певної інформації про роботу фірми оцінює можливість її дефолту. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2009-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107837 System research and information technologies; No. 3 (2009); 43-51 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2009); 43-51 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2009); 43-51 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107837/102784 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Honchar, N. S. Terentyeva, L. S. Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів |
| title | Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів |
| title_alt | Estimation of default risks and real options Оценивание рисков дефолта и реальных опционов |
| title_full | Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів |
| title_fullStr | Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів |
| title_full_unstemmed | Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів |
| title_short | Оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів |
| title_sort | оцінювання ризиків дефолту та реальних опціонів |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/107837 |
| work_keys_str_mv | AT honcharns estimationofdefaultrisksandrealoptions AT terentyevals estimationofdefaultrisksandrealoptions AT honcharns ocenivanieriskovdefoltairealʹnyhopcionov AT terentyevals ocenivanieriskovdefoltairealʹnyhopcionov AT honcharns ocínûvannârizikívdefoltutarealʹnihopcíonív AT terentyevals ocínûvannârizikívdefoltutarealʹnihopcíonív |