Математична модель процесу формування та збереження колективних знань
Based on the introduced system of axioms, a mathematical model for forming and process of preserving collective knowledge in large educational systems is constructed and investigated. The conditions for preserving a guarateed level of collective knowledge are defined.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2009
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108430 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302020364795904 |
|---|---|
| author | Yasinsky, V. V. Kapustian, O. V. Valero, J. |
| author_facet | Yasinsky, V. V. Kapustian, O. V. Valero, J. |
| author_sort | Yasinsky, V. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-06T12:34:45Z |
| description | Based on the introduced system of axioms, a mathematical model for forming and process of preserving collective knowledge in large educational systems is constructed and investigated. The conditions for preserving a guarateed level of collective knowledge are defined. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. Ясінський , О.В. Капустян , Х. Валеро, 2009
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 67
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 517.9
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ ФОРМУВАННЯ ТА
ЗБЕРЕЖЕННЯ КОЛЕКТИВНИХ ЗНАНЬ
В.В. ЯСІНСЬКИЙ , О.В. КАПУСТЯН , Х. ВАЛЕРО
На основі запропонованої системи аксіом побудовано та досліджено матема-
тичну модель процесу формування та збереження знань у великих освітніх си-
стемах. Знайдено умови збереження на деякому часовому проміжку заданого
гарантованого рівня колективних знань.
ВСТУП
Використовуючи системний підхід [1, 6], досліджується модель, яка описує
динаміку взаємодії між ключовими компонентами великої освітньої системи
при синхронному вивченні у її підрозділах деякої навчальної дисциплі-
ни D .
Актуальність такого дослідження зумовлена, в першу чергу, необ-
хідністю створення обґрунтованих науково методологічних засад незалеж-
ного моніторингу якості знань як учнів середніх шкіл, так і студентів вищих
навчальних закладів України.
При побудові загальної моделі будемо розглядати (для зручності
сприйняття) процес вивчення математики в системі середньої освіти України.
Такий вибір об’єкта моделювання зумовлено низкою очевидних причин.
По-перше, місцем і роллю, яку займає математика в загальній структурі
знань. По-друге, саме при вивченні математики особливо рельєфно прояв-
ляються зв’язки між різними компонентами освітньої системи. По-третє,
вивчення математики має досить усталені традиції і канони. І, нарешті, про-
цес вивчення математики добре формалізується, є достатньо спостережним і
керованим.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Запропонована модель складається з трьох основних блоків, взаємодія між
якими і є основою подальшого моделювання: 1) учнівське і 2) викладацьке
середовища, 3) соціальне оточення (рисунок).
1. Учнівське середовище складається з усіх учнів старших класів всіх
середніх шкіл України. Нехай загальна кількість учнів дорівнює N , і всі
В.В. Ясінський , О.В. Капустян , Х. Валеро
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 68
вони впорядковані (умовно) за якоюсь очевидною ознакою, скажімо, назва
міста, номер школи, номер класу і певне місце в класі, що, з одного боку,
дозволяє приписувати кожному учневі номер ];0[ Ni∈ , а з іншого — зали-
шає учнів у межах звичного для них шкільного середовища. Будемо вважа-
ти, що кожен учень ];0[ Ni∈ в кожен момент часу 0≥t володіє певним рів-
нем знань 0),( ≥= tiuu з математичних дисциплін, тобто певним об’ємом
інформації, яка надається йому згідно із уніфікованими навчальними про-
грамами, а також відповідними навичками та вміннями використовувати цю
інформацію на практиці.
Під рівнем знань тут і надалі будемо розуміти (і це суттєво) не реаль-
ний рівень знань учня (що, по-перше, в силу психології учня, особистих
якостей, розвитку пам’яті та складу характеру не може бути навіть реально
оцінений, і, по-друге, зміна реального рівня знань — процес індивідуальний,
досить повільний і слабо залежить від учнівського середовища), а рівень
знань, який спостерігається (C-знання), тобто проявляється учнем під час
різноманітного педагогічного контролю (самостійні та контрольні роботи,
опитування, тестування, тощо) відповідно до загальноприйнятих державних
освітніх стандартів. Саме цей рівень знань може бути реально оцінений, він
є досить динамічним і суттєво залежить від учнівського середовища. Крім
того, саме ця залежність забезпечує той більш-менш рівний розподіл підсу-
мкових оцінок учнів,що складає основу для подальшого комплексного ана-
лізу якості знань з математики та вироблення відповідних стратегій управ-
ління цими знаннями.
2. Викладацьке середовище — це всі викладачі, які згідно з усталеними
освітніми стандартами та уніфікованим методичним забезпеченням здійс-
нюють викладання математичних дисциплін у відповідних освітніх підроз-
ділах із кількістю учнів ],1[ Ni∈ . Будемо вважати, що саме функціонування
викладацького середовища є джерелом знань для учнів.
3. Соціальне оточення — частина суспільства, яка безпосередньо не
бере участі в навчальному процесі, проте в тій чи іншій мірі зацікавлена в
його результаті (батьки та близьке оточення учнів, шкільні вчителі з інших
дисциплін, ВНЗ і т.п.). Вважаємо, що оточення безпосередньо не володіє
знаннями, проте може реагувати (позитивно, негативно, байдуже) на їх рі-
вень, впливаючи і безпосередньо на учня (шляхом збільшення або зменшен-
ня стимулів до навчання) і на викладацьке середовище (за допомогою всієї
інфраструктури сучасного суспільства: ЗМІ, «гарячі» телефонні лінії, соціо-
логічні дослідження і т.п.).
У моделі також використовуються поняття реакції оточення, реакції
системи, потік знань, які розглянемо пізніше.
З точки зору реального навчального процесу важливими є поняття мі-
німального та максимального рівнів знань. На відміну від невідомої шуканої
величини реального рівня C-знань, мінімальний та максимальний рівні
знань є відомими величинами, які встановлюються державними освітніми
стандартами. Очевидно, що мінімальний та максимальний рівні знань зале-
жать від часу, проте не залежать від конкретного учня. Таким чином, вважа-
Математична модель процесу формування та збереження колективних знань
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 69
ємо, що в моделі відомі невід’ємні функції )(1 tu — мінімальний та )(2 tu —
максимальний рівні знань у момент часу t .
Аксіома 1. У системі, яка розглядається, всі викладачі забезпечують
однаковий рівень викладання математики, що забезпечує однакові умови
накопичення знань для кожного учня.
Така умова здається доволі жорсткою, проте вона виправдана як з точ-
ки зору подальшого аналізу моделі, так і з огляду на те, що всі учні корис-
туються однаковими підручниками, що базуються на одній шкільній про-
грамі, а здійснюють підготовку викладачів математики всього декілька
педагогічних університетів за уніфікованими учбовими програмами.
Опишемо взаємодію між компонентами моделі (рисунок).
1. Оточення впливає (стрілка 1) на викладацьке середовище, виступаю-
чи як «замовник» знань.
2. Викладачі і підручники є джерелом знань для учнів (стрілка 2). Про-
те насправді наявний і обернений зв’язок (стрілка 3) полягає в тому, що ви-
кладач, керуючись власною педагогічною майстерністю, повинен в межах
програми варіювати об’єм матеріалу, який пропонує на уроці, в залежності
від наявного рівня C-знань учнів.
3. В учнівському середовищі іде постійний перерозподіл рівня знань
(стрілка 4). Суттєвим є те, що ми маємо на увазі не рівень реальних знаннь,
а фактично рівень C-знань. Якщо процес обміну реальними знаннями між
учнями явище, не характерне для середньої школи, то швидкий загально-
прийнятий неявний обмін інформацією суттєво впливає на поточну підсум-
кову успішність для багатьох учнів, тобто на рівень C-знань.
4. Соціальне оточення, не надаючи реальних (математичних) знань, ре-
агує на їх формування шляхом збільшення або зменшення (стрілка 5) сти-
мулів до його підвищення.
Одне з ключових моментів при описі взаємодії між компонентами мо-
делі є визначення поняття реакції системи.
Схема взаємодії компонентів моделі (великої освітньої системи)
15
24
3
В.В. Ясінський , О.В. Капустян , Х. Валеро
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 70
Аксіома 2. Знак і величина обміну знаннями між учнівським і виклада-
цьким середовищами визначаються реакцією системи, тобто сумарною
реакцією учнів і соціального оточення на наявний розподіл рівня знань
( , )u i t .
Реакція учня характеризує міру його прагнення до навчання, точніше
до зміни рівня власних C -знань. Кількісно величина (міра) такого прагнен-
ня цілком може бути визначена, наприклад, шляхом анкетування з викорис-
танням певної порівняльної шкали і залежати від різних обставин. Проте
основними складовими тут є сам учень, момент часу, шкільні вимоги в цей
момент часу і наявний рівень C -знань.
Отже, реакцію учня i визначає деяка функція ),,,,( 211 tiuuuf . Цілком
природно вважати, що викладач, побачивши прагнення учня i покращити
свою успішність ( 0),,,,( 211 >tiuuuf ), приділяє йому більше уваги і в той же
час починає при оцінці знань виходити з дещо завищеної суб’єктивної шка-
ли, що призводить до збільшення рівня C-знань цього учня. І, навпаки, якщо
викладач не бачить бажання учня i вчитися ( 0),,,,( 211 <tiuuuf , то обмежу-
ється, здебільшого, формальним поданням матеріалу в межах навчального
плану, а при оцінці знань виходить з дещо заниженої суб’єктивної шкали,
що зменшує рівень C-знань учня i .
Аналогічно визначимо величину реакції соціального оточення на учня
i , тобто на його наявний рівень C-знань ),( tiu , що виражається функціона-
льною залежністю ),,,,( 212 tiuuuf . При цьому, якщо соціальне оточення
задоволене наявним рівнем C -знань учня i ( 0),,,,( 212 >tiuuuf ), то це зме-
ншує контроль (стимулювання) учня i , і водночас надає підстави для схва-
лення роботи викладацького середовища. Викладачі, керуючись схвальною
оцінкою їх діяльності, дають якісно вищий обсяг знань, що без належного
контролю з боку соціального оточення зменшує рівень C -знань учня i .
І, навпаки, якщо соціальне оточення не задоволене наявним рівнем C -знань
учня i ( 0),,,,( 212 <tiuuuf ), то контроль (стимулювання) за учнем i зрос-
тає, а негативна реакція змушує викладача знову ж суб’єктивно «понизити
планку» при поданні нового матеріалу, що збільшує рівень C-знань учня i .
Таким чином, реакція системи визначається функцією
),),(),(,(),),(),(,(=),,( 212211 titutuuftitutuuftiuf − .
Перейдемо до опису механізмів перерозподілу знань в учнівському се-
редовищі.
Аксіома 3. В учнівському середовищі існує неявний механізм перероз-
поділу рівня C-знань, причому знання можуть передаватися лише від учня з
більшим рівнем знань до учня з меншим рівнем.
Нехай під час певного педагогічного контролю учень i неявно допоміг
учневі 1+i . Тоді рівень C-знань учня 1+i збільшується, в той час як учня i
зменшується. Вважаючи, що контроль здійснюється в кожний момент часу
(в тій чи іншій формі), визначимо потік знань ),( tiW як кількість знань, що
одержує учень 1+i від учня i в момент часу t. У відповідності до аксіоми 3
Математична модель процесу формування та збереження колективних знань
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 71
величина ),( tiW додатна при ),1(),( tiutiu +> , від’ємна при <),( tiu
),1( tiu +< і дорівнює нулю при ),1(),( tiutiu += . Очевидно, що швидкість
зміни рівня C-знань має відбуватися тим швидше, чим більше різниця між
рівнями знань учнів.
Аксіома 4. Неявний взаємообмін знаннями пари учнів i та 1+i зале-
жить від самих учнів і взагалі не залежить від інших учасників системи
(принцип ближньої взаємодії).
Один з найбільш загальних законів для величини ),( tiW такий:
)),()1,((1),(=),( tiutiuiitiW −++−µ ,
де функція µ додатна при всіх значеннях своїх аргументів.
Для виводу рівняння балансу нам знадобиться
Аксіома 5. Швидкість зміни величини C-знань визначається потоками
знань та реакцію системи.
У наведеному загальному описі об’єкт моделювання представляється
замкненою, узгодженою і самоорганізуючою системою з різними прямими
та оберненими зв’язками між компонентами.
Підрахуємо зміну рівня С-знань u∆ учня i за проміжок часу t∆ між
моментами t і tt ∆+ . Ця кількість формується:
1) потоком знань, що отримується від учня 1−i за вказаним ме-
ханізмом
ttiWu ∆−∆ − )1,(= ;
2) потоком знань, що передається учню 1+i за тим же механізмом
ttiWu ∆−∆ + ),(= ;
3) знаннями, що визначаються реакцією системи
ttitiufu ∆∆ ),),,((=0 .
Додаючи ці величини, одержуємо сумарну зміну
tftiWtiWtiuttiuu ∆+−−−∆+∆ )),()1,((=),(),(= .
Таким чином, маємо рівняння
ftiWtiW
t
tiu
+−−−
∆
∆ ))1,(),((=),( .
Дане рівняння записане для довільного номера (0, )i N∈ . Для номерів
= 0i та =i N будемо вважати значення потоку знань, рівним нулю, тобто
0=),(=)1,( tNWtW − .
Крім того, в початковий момент часу 0=t наявний певний розподіл
рівня C -знань
Niiuiu ≤≤≥= 00,)(,0)( 0 .
Отже, маємо замкнену дискретну модель розподілу рівня C-знань
( , )u i t у даній системі. Стандартно переходячи до неперервної моделі,
одержуємо крайову задачу
В.В. Ясінський , О.В. Капустян , Х. Валеро
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 72
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∈∈+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==
),(=|
0,==
,)(0,),(0,),,,()(=
00=
0
xuu
x
u
x
u
Ttlxtxuf
x
ux
xt
u
t
lxx
µ
(1)
де нашим основним завданням буде з’ясування умов, за яких з часом
зберігається деякий гарантований рівень знань 0>)(tq .
АНАЛІЗ УМОВ І ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ
Визначимо основні умови, яким мають задовольняти параметри моделі (1).
По-перше, функція µ , що характеризує інтенсивність потоку, має лише
одне природне обмеження — додатність на )(0,l . Тому будемо вважати, що
).(0,нам.с.0>)(),(0, 0 lxlL µµµ ≥∈ ∞ (2)
По-друге, за побудовою і проведеним аналізом функція :),,(= txuff
),(][0,][0,)[0, +∞−∞××+∞ Tl , що характеризує реакцію системи, має не-
перервний характер при фіксованому (0, )x l∈ , тобто задовольняє умови
),,(),(нявідображен txufut — )(0,.м.вдлянеперервне lx∈ , (3)
відображення ),,( txufx — вимірне для всіх ][0,)[0,),( Ttu ×+∞∈ . (4)
Крім того, природно вважати, що реакція системи мажорується деяким
ступенем рівня знань, при цьому не маючи характеру монотонності, а її зна-
кові властивості забезпечують дисипативність процесу. Тому вважаємо, що
для всіх ][0,][0,)[0,),,( Tltxu ××+∞∈ виконуються оцінки
1
1| ( , , ) | (1 | | ),pf u x t C u −≤ + (5)
2( , , ) | | ,pf u x t u u C≤ −α + (6)
де 2≥p , 0>,, 21 CCα .
Для коректної математичної постановки задачі продовжимо f на
( , ) [0, ] [0, ]l T−∞ +∞ × × , покладаючи для 0u ≤
1( , , ) := (0, , ) 2 | | .pf u x t f x t u −+ α
Тоді ),,(= txuff визначена і задовольняє умови (3) – (6) на множині
][0,][0,),( Tl ××+∞−∞ .
Введемо простори )(0,=: 2 lLH з нормою . та )(0,:= 1 lHV з нормою
V. .
Математична модель процесу формування та збереження колективних знань
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 73
Умови (2)–(6) дозволяють з незначними змінами повторити
міркування з роботи [2, теорема 3.9] і довести розв’язність задачі (1)
для довільних початкових даних 0u H∈ в класі ∩))(0,;(0, lLTL pp
)];([0,);(0,2 HTCVTL ∩∩ . При цьому єдиність відповідного розв’язку не
гарантується, що є наслідком недиференційовного і немонотонного характе-
ру залежності f від u [2].
З’ясуємо, за яких умов для рівня С-знань на часовому проміжку ][0,T
зберігається деякий гарантований рівень 0>)(tq , де ])([0,)( 1 TCq ∈⋅ —
фіксована функція. Виявляється, що для цього достатньо вимоги, щоб рівень
C-знань у початковий момент часу = 0t був не нижче показника (0)q і
щоб у кожний момент часу [0, ]t T∈ швидкість зміни рівня ( )q t визначала-
ся реакцією системи на цей рівень. Точніше, справедлива теорема, яка мі-
стить основний результат роботи.
Теорема. Нехай для задачі (1) виконані умови (2) – (6) і, крім того,
),(0,м.в.для(0))(0 lxqxu ∈≥ (7)
][0,всіхта)(0,м.в.для)(>),),(( Ttlxtqtxtqf ∈∈′ . (8)
Тоді існує розв’язок ),(= txuu задачі (1), для якого
][0,всіхта)(0,м.в.для)(),( Ttlxtqtxu ∈∈≥ . (9)
Доведення. Перейдемо в задачі (1) до нової шуканої функції =),( txv
)(),( tqtxu −= . Одержимо
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
∂
∂
∂
∂
∈∈+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==
(0),)(:=)(=|
0,==
),(0,),(0,),,,()(=
000=
0
qxuxvv
x
v
x
v
TtlxtxvF
x
vx
xt
v
t
lxx
µ
(10)
де )(),),((=),,( tqtxtqvftxvF ′−+ . Легко показати, що функція F задо-
вольняє умови (3),(4). Оскільки
)|)(|(1|)(||),,(| 1
1
−+++′≤ ptqvCtqtxvF ,
|,||)(|)|)(|(1|)(||)(|),,( 1
1 vtqtqvCtqtqvvtxvF pp ′+++++−≤ −α
а функції qq ′, є обмеженими на інтервалі ][0,T , то існують константи
0>)(= 11 TCC , 0)(22 >= TCC , 0>)(= Tαα такі, що для довільних
][0,][0,),(),,( Tltxv ××+∞−∞∈ виконуються оцінки (5),(6) для функції F .
Це дозволяє стверджувати розв’язність задачі (10) на проміжку [0, ]T
для довільних початкових даних Hv ∈0 в класі ∩))(0,;(0, lLTL pp
)];([0,);(0,2 HTCVTL ∩∩ .
В.В. Ясінський , О.В. Капустян , Х. Валеро
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 74
Крім того, в силу умови (8) 0>),(0, txF для м.в. )(0, lx∈ та для всіх
][0,Tt ∈ .
Теорему буде доведено, якщо ми покажемо, що для початкових даних
0v з класу
)}(0,м.в.для0)(|{= lxxHH ∈≥∈+ ξξ
існує, принаймні, один розв’язок ),( txvv = задачі (10), для якого вико-
нується включення
][0,)( TtHtv ∈∀∈ + . (11)
Розглянемо послідовність гладких функцій [0,1])[0,: +∞nψ
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+≥
+≤≤≤≤
≤≤
,10,
1,1,0
,01,
=
ns
nsns
ns
s nn ψψ (12)
і для кожного 1n ≥ покладемо
( ) ( ) ( )( ) ( ),,,1,,=),,( txugutxuFutxuF nnn ψψ −+
де ( ) ( )txFuutxug p ,0,=,, 2 +− − .
Тоді nF задовольняє умови (3), (4) і для довільного 0>A
∞→→−
≤∈∈
ntxuFtxuFn
AuTtlx
0,|),,(),,(|supsupsupess
||][0,)(0,
.
Зокрема, функції nF задовольняють умови (5),(6) з константами, що не
залежать від n і 0),(0,=),(0, ≥txFtxFn .
Крім того, якщо > 1u n + , то
01)(=),,(=),,( 2 ≤−−′′ −p
unu uptxugtxuF . (13)
Для кожного 1≥n , 1>k розглянемо послідовність
dstxsuFstxuF nk
k
n ),,()(=),,( −∫
+∞
∞−
ρ ,
де ),(0 +∞−∞∈ ∞Ckρ , ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⊂
kkk
1,1supp ρ , 1=)( dsskρ∫
+∞
∞−
, 0≥kρ .
Тоді функції k
nF задовольняють (3), (4) і є гладкими по першій змінній
при фіксованих інших. Крім того, легко показати, що функції k
nF задоволь-
няють умови (5),(6) з константами, що не залежать від kn, [3, лема 2].
Далі, для 2|>| +nu в силу оцінки (13)
0.
),,(
)(=
),,(
≤
∂
−∂
∂
∂
∫
+∞
∞−
ds
u
txsuF
s
u
txuF n
k
k
n ρ (14)
Математична модель процесу формування та збереження колективних знань
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 75
Для 2|| +≤nu в силу оцінки (5)
).,(|),,(||)(|
),,(
nkDdstxsFsu
u
txuF
nk
k
n ≤−′≤
∂
∂
∫
+∞
∞−
ρ (15)
Тепер при фіксованих 1≥n , 1>k розглянемо задачу
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∈∈+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.)(=|
,0==
,)(0,),(0,),,,()(=
00=
=0=
xvv
x
v
x
v
TtlxtxvF
x
vx
xt
v
t
k
n
lxx
µ
(16)
Оскільки виконуються умови (2) – (6), а також оцінки (14),(15), то зада-
ча (16) має єдиний розв’язок ),( txvk
n у класі ∩∩ );(0,))(0,;(0, 2 VTLlLTL pp
)];([0, HTC∩ . Крім того, оскільки константи в умовах (2) – (6) не залежать
від kn, , то, використовуючи стандартні апріорні оцінки [1] і лему про ком-
пактність, маємо, що для кожного 1≥n існує функція ),( txvn з класу
);(0,))(0,;(0, 2 VTLlLTL pp ∩ така, що по підпослідовності справедливі гра-
ничні рівності при k →∞
).(0,)(0,),(.м.вдля),(),(
),(0,.м.вдля)()(
),;(0,в 2
Tltxtxvtxv
TtHвtvtv
HTLvv
n
k
n
n
k
n
n
k
n
×∈→
∈→
→
(17)
Звідси ),),,((),),,(( txtxvFtxtxvF nn
k
n
k
n → , ∞→k для м.в. ∈),( tx
)(0,)(0, Tl ×∈ і оскільки послідовність )},,({ txvF k
n
k
n обмежена в
))(0,;(0, lLtL qq , 1=1/1/ pq + , то з леми Ліонса виводимо, що →),,( txvF k
n
k
n
),,( txvF nn→ , ∞→k слабо в ))(0,;(0, lLtL qq . Це дозволяє здійснити гра-
ничний перехід в (16) при k →∞ і одержати, що функція ),(= txvv nn
належить класу )];([0,);(0,))(0,;(0, 2 HTCVTLlLTL pp ∩∩ і є розв’язком
задачі
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∈∈+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
).(=|
0,==
,)(0,),(0,),,,())((=
00=
0 =
xvv
x
v
x
v
TtlxtxvF
x
vx
xt
v
t
x
n
lx
µ
(18)
Доведемо, що 1≥∀ n 0),( ≥txvn для м.в. )(0,)(0,),( Tltx ×∈ . Для цьо-
го домножимо (16) на зрізану функцію +− )( k
nv , де 0},{max= uu + . Викори-
стовуючи стандартну техніку [3, 5], одержимо нерівність
В.В. Ясінський , О.В. Капустян , Х. Валеро
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 76
dxtxvtxtxvFtv
dt
d k
n
k
n
k
n
l
k
n ),())(,),,(()()(
0
2 ++ −−≤− ∫ . (19)
При фіксованих n , k розіб’ємо (0, )l на неперетинні вимірні множини
1Ω i 2Ω так, що ( , ) 0k
nv x t ≥ на 1Ω і ( , ) < 0k
nv x t на 2Ω . Тоді, використо-
вуючи рівність ( )u u u+ +− = − − , з нерівностей (14),(15) одержуємо
≥− +∫ dxtxvtxtxvF k
n
k
n
k
n
l
),())(,),,((
0
( ) ∫∫
Ω
++ −+−−≥
2
),())(,(0,),()(),(
0
2
dxtxvtxFdxtxvknD k
n
k
n
l
k
n .
Зауважимо, що в силу теореми Лебега функція dxtxvtxsFs n
l
),()(),,(
0
+−∫
є неперервною. При строгій оцінці (8) існують такі 0,0 >> δε , що для всіх
s , δ<s виконується нерівність
ε>− +∫ dxtxvtxsF n
l
),()(),,(
0
.
Оскільки легко показати, що ( ) ( ) ,k
n nv v k+ +− → − →∞ в H , то для
всіх δ<kk 1, і для всіх s , ks 1< , виконується нерівність
0),()(),,(
0
>− +∫ dxtxvtxsF k
n
l
.
З наведених оцінок для достатньо великих k одержимо нерівність
.)()(),()()(
22
tvknDtv
dt
d k
n
k
n
++ −≤− (20)
Тоді з леми Гронуолла та умови +∈ Hv0 одержимо, що для всіх 1≥n і
для достатньо великих k 0),( ≥txvk
n для м.в. )(0,)(0,),( Tltx ×∈ .
З (17) маємо також ту саму нерівність для функції ),( txvn .
Тепер для задачі (18), застосовучи попередні міркування, одержуємо,
що існує функція ),( txv з класу );(0,))(0,;(0, 2 VTLlLTL pp ∩ така, що по
підпослідовності справедливі граничні рівності (17) при ∞→n . Звідси
),,(),,( txvFtxvF nn → , ∞→n слабо в ))(0,;(0, lLtL qq . Це дозволяє
здійснити граничний перехід у (18) при ∞→n і стверджувати, що функція
),( txvv = належить классу
2(0, ; (0, )) (0, ; ) ([0, ]; )p pL T L l L T V C T H∩ ∩ ,
Математична модель процесу формування та збереження колективних знань
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 77
є розв’язком задачі (10), і виконується нерівність 0),( ≥txv для м.в.
)(0,)(0,),( Tltx ×∈ . Користуючись неперервністю ),( txv по змінній t в но-
рмі простору H , легко отримуємо включення +∈Htv )( для всіх ][0,Tt ∈ .
Теорему доведено.
ВИСНОВКИ
1. У роботі досліджено загальну математичну модель процесу форму-
вання і збереження колективних знань у великих освітніх системах. Доведе-
но теорему про збереження на деякому часовому проміжку заданого гаран-
тованого рівня знань.
2. Отримані результати можуть бути використані при розробці квалі-
метричних технологій науково-методичних засад незалежного моніторингу
якості знань як учнів середніх шкіл, так і студентів вищих навчальних за-
кладів України.
ЛІТЕРАТУРА
1. Згуровський М. З., Панкратова Н. Д. Основи системного аналізу. — Київ: Ви-
давнича група BHV, 2007. — 544 с.
2. Global attractors of multi-valued dynamical systems and evolution equations without
uniqueness / O.V. Kapustyan, V.S. Mel’nik, J. Valero, V.V. Yasinsky. — Kyiv:
Nauk. dumka, 2008. — 215 p.
3. Kapustyan O.V., Valero J. On the Kneser property for the Ginzburg-Landau equation
and the Lotka-Volterra system with diffusion // J. Math. Anal. Appl. — 2009. —
325, № 10. — P. 201–229.
4. Temam R. Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics. —
N.Y.: Springer, 1998. — 520 p.
5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. — М.: Физ-
матгиз, 2005. — 320 с.
6. Ясінський В.В. Системне моделювання процесів накопичення і дисипації знань
// Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 3. —
С. 111–121.
Надійшла 16.12.2008
|
| id | journaliasakpiua-article-108430 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:37Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/1b/7780b4a2c0a74b714414c6136fcd351b.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1084302018-04-06T12:34:45Z Mathematical model for process of forming and preserving of collective knowledge Математическая модель процесса формирования и сохранения коллективных знаний Математична модель процесу формування та збереження колективних знань Yasinsky, V. V. Kapustian, O. V. Valero, J. Based on the introduced system of axioms, a mathematical model for forming and process of preserving collective knowledge in large educational systems is constructed and investigated. The conditions for preserving a guarateed level of collective knowledge are defined. На основе предложенной системы аксиом построена и исследована математическая модель процесса формирования и сохранения знаний в больших образовательных системах. Определены условия на некотором временном промежутке заданного гарантированного уровня коллективных знаний. На основі запропонованої системи аксіом побудовано та досліджено математичну модель процесу формування та збереження знань у великих освітніх системах. Знайдено умови збереження на деякому часовому проміжку заданого гарантованого рівня колективних знань. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2009-06-19 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108430 System research and information technologies; No. 2 (2009); 67-77 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2009); 67-77 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2009); 67-77 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108430/103380 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Yasinsky, V. V. Kapustian, O. V. Valero, J. Математична модель процесу формування та збереження колективних знань |
| title | Математична модель процесу формування та збереження колективних знань |
| title_alt | Mathematical model for process of forming and preserving of collective knowledge Математическая модель процесса формирования и сохранения коллективных знаний |
| title_full | Математична модель процесу формування та збереження колективних знань |
| title_fullStr | Математична модель процесу формування та збереження колективних знань |
| title_full_unstemmed | Математична модель процесу формування та збереження колективних знань |
| title_short | Математична модель процесу формування та збереження колективних знань |
| title_sort | математична модель процесу формування та збереження колективних знань |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108430 |
| work_keys_str_mv | AT yasinskyvv mathematicalmodelforprocessofformingandpreservingofcollectiveknowledge AT kapustianov mathematicalmodelforprocessofformingandpreservingofcollectiveknowledge AT valeroj mathematicalmodelforprocessofformingandpreservingofcollectiveknowledge AT yasinskyvv matematičeskaâmodelʹprocessaformirovaniâisohraneniâkollektivnyhznanij AT kapustianov matematičeskaâmodelʹprocessaformirovaniâisohraneniâkollektivnyhznanij AT valeroj matematičeskaâmodelʹprocessaformirovaniâisohraneniâkollektivnyhznanij AT yasinskyvv matematičnamodelʹprocesuformuvannâtazberežennâkolektivnihznanʹ AT kapustianov matematičnamodelʹprocesuformuvannâtazberežennâkolektivnihznanʹ AT valeroj matematičnamodelʹprocesuformuvannâtazberežennâkolektivnihznanʹ |