Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці
The transition from a problem of construction of both mean-square and minimax approximate multidimensional spline-functions on a chaotic net to a problem of finding the solution for overdefined systems of algebraic linear equations is offered. The transition is carried out by means of reduction of t...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2008
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108562 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302065198759936 |
|---|---|
| author | Kutsenko, I. A. |
| author_facet | Kutsenko, I. A. |
| author_sort | Kutsenko, I. A. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-11T11:14:25Z |
| description | The transition from a problem of construction of both mean-square and minimax approximate multidimensional spline-functions on a chaotic net to a problem of finding the solution for overdefined systems of algebraic linear equations is offered. The transition is carried out by means of reduction of the results of the variation theory on construction of multidimensional spline-functions on a chaotic net to the simple algebraic conditions. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
© І.А. Куценко, 2008
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 121
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 519.6
ПОБУДОВА АПРОКСИМАЦІЙНОЇ
СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНОЇ ТА МІНІМАКСНОЇ
БАГАТОВИМІРНОЇ СПЛАЙН-ФУНКЦІЇ
НА ХАОТИЧНІЙ СІТЦІ
І.А. КУЦЕНКО
Запропоновано перехід від задачі побудови як середньоквадратичної, так і мі-
німаксної апроксимаційної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці
до задачі знаходження розв’язку перевизначених систем лінійних рівнянь. Пе-
рехід здійснено шляхом зведення результатів варіаційної теорії побудови бага-
товимірних сплайн-функцій на хаотичній сітці до простих алгебраїчних умов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Дано: ))()2()1( ,...,,( NPPPP = -система розташованих в nR точок =)(kP
),...,( )()(
1
k
n
k PP= , Nk ,1= (задана випадкова сітка) та
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
M
M
n
n
M b
b
a
a
a
a
X
1
)(
)1(
)(
1
)1(
1
— масив з M значень ),...,( 1 Mbb деякої невідомої функції в M n -
вимірних точках Miaaa i
n
ii ,1)*,,...,( )()(
1
)( == . Тут M значно більше n .
Визначимо на сітці P інтерполяційну сплайн-функцію );;( PP λσ , яка в
точках сітки приймає значення [1,2,3]
NirPP i
i ,1,);;( )( ==λσ (1)
і має вигляд
∑+∑=
−≤=
−
1
)(
1
, )();;(
m
i
N
i
nmi PPPGPP
α
α
ανλλσ , (2)
де ),...,(,... 1
*2
2
1
1 n
n
n PPPPPPP == αααα ; k
kPα — k-а координата в kα –й сте-
пені; ∑
−≤ 1mα
— сума всіх можливих комбінацій: при 0=α — це вільний
І.А. Куценко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 122
коефіцієнт, при 1=α — вільний коефіцієнт плюс складові при лінійній фо-
рмі k
n
k
k P∑
=
+
1
0 νν , при 2=α — сума при 1=α плюс складові при квадра-
тичній формі ∑∑
= =
n
k
lk
n
l
kl PP
1 1
ν і т.д. (всього
)!1(!
)!1(
−
−+
mn
mn складових);
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=−−
=− −
−
,12,
,2,ln
)( 2
2
,
knPx
knPxPx
PxG nm
nm
nm
2
1
2
1
)(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=− ∑
=
n
i
ii PxPx , *
21 ),...,,( nPPPP = , *
21 ),...,,( nxxxx = .
Для неперервності функцій Гріна )(, PxG nm − необхідно виконання
умови 2/nm > . Зведення висновків варіаційної теорії побудови багатовимі-
рних сплайн-функцій на хаотичній сітці до простих алгебраїчних умов до-
зволяє розглядати знаходження коефіцієнтів такого сплайну як розв’язок
деякої системи лінійних рівнянь. Для цього введемо для коефіцієнтів ν з
формули (2) суцільну лінійну індексацію. Тоді коефіцієнти Nii ,1, =λ та
ϑν ,1, =ll , де
)!1(!
)!1(
−
−+
==
mn
mnC m
nϑ , визначаються з двох алгебраїчних умов:
співпадіння значень сплайн-функції у заданих точках P та ортогональності
функцій поліноміального ядра між собою на цих же точках. У матричній
формі це має такий вигляд:
rC =λ , (3)
де матриця C розмірністю )(N)(N ϑ+×ϑ+ для 2=n і відповідно 2=m
запишеться як
000
000
000111
10)()(
1)(0)(
1)()(0
21
21
)2()(
,
)1()(
,
22
)()2(
,
)1()2(
,
11
)()1(
,
)2()1(
,
N
N
NN
N
nm
N
nm
N
nmnm
N
nmnm
Yyy
xxx
yxPPGPPG
yxPPGPPG
yxPPGPPG
−−
−−
−−
,
де ∗= ),...,,,,...,,( 2121 ϑνννλλλλ N , ∗= )0,...,0,0,,...,,( 21 Nrrrr — вектори роз-
мірністю ϑ+N кожний; ∗ — знак транспонування; ),()(
ii
i yxP = , Ni ,1= .
Щоб система мала розв’язок, необхідно виконати умову ϑ≥N .
Знайдемо на сітці P таку сплайн-функцію );;( PP λσ вигляду (1) з ко-
ефіцієнтами ∗= ),...,,,,...,,( 2121 ϑνννλλλλ N , щоб на масиві X для неї вико-
нувались умови
Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 4 123
ϑλλλ +=∈∀≤
≤≤≤≤
NNRrr p
N
i
Mi
i
Mi
p ,|,)(|max|)(|max
11
, (4)
∑∑
==
=
M
i
i
M
i
i rr
1
2
1
2
)]([min)]([ λλ
λ
, (5)
де MibPar i
i
i ,1);;()( ,)( =−= λσλ .
ЗАГАЛЬНА СХЕМА РОЗВ’ЯЗКУ
Сплайн-функцію );;( PP λσ виду (1) при фіксованих значеннях P , m та n
можна записати так:
))(,()();;(
1
PgPgPP
pN
i
ii λλλσ == ∑
=
, (6)
де NiPPGPg i
nmi ,1),()( )(
, =−= , p
m
i NNiPPg ,1,)(
1
+== ∑
−≤α
α
αν .
Для її повного визначення необхідно знайти значення вектора кое-
фіцієнтів λ , яке виразимо на основі формули (3) через ,,,( 2,1 Nr...rrr =
∗)0,,0,0 ... — вектор значень сплайн-функції на сітці P розмірністю pN
rC 1−=λ .
Тепер можемо переписати формулу (6).
))),(())(,();;( 11 rCPgPgrCPP −− ==λσ .
У результаті конкретний вигляд сплайн-функції );;( PP λσ на масиві
точок X буде таким:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
−
−
−
,
...
,
,
,
...
,
,
*)(
2
*)2(
1
*)1(
1*)(
2
1*)2(
1
1*)1(
M
M
M
M brf
brf
brf
Z
brCg
brCg
brCg
, (7)
де )( )()( jj agg = , 1*)()()(
1
*)( ),...,( −== Cgfff jj
n
jj .
Таким чином, маємо лінійну перевизначену систему рівнянь відносно
вектора r у просторі розмірності N , а не pN , тому що останні ϑ коорди-
нат у векторі r нульові. Застосувавши алгоритм Ремеза [4,5] для знахо-
дження мінімаксного розв’язку системи (7) по ненульових елементах r і
відтворивши значення вектора коефіцієнтів λ на основі формули (3), знахо-
димо розв’язок задачі (2), (4). Це і є апроксимуюча мінімаксна сплайн-
функція на заданій сітці.
І.А. Куценко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 4 124
Для побудови апроксимуючої середньоквадратичної сплайн-функції на
заданій сітці необхідно знайти розв’язок задачі (2), (5) на системі (7). З цією
метою, як і для мінімаксного критерію, спочатку знаходимо оптимальне
значення r , але з системи hrR = , яка має вигляд [6, с. 25]
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
),(
),(
),(),(),(
),(),(),(
)(
)1(
1
)()()2()()1()(
)1()()1()2()1()1(
N
N
NNNN
N
b
b
r
r
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
,
де ∑
=
=
M
i
i
l
i
k
lk ff
1
)()()()( ),( ϕϕ , Nlk ,1, = , *
1 ),...,( Mbbb = .
Далі, відтворивши значення вектора коефіцієнтів λ на основі формули
(3), знаходимо розв’язок задачі (2), (5). Це і є апроксимуюча середньоквад-
ратична сплайн-функція на заданій сітці.
ЛІТЕРАТУРА
1. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. — Но-
восибирск: Наука, 1983. — 214 с.
2. Bezhaev A.Y., Vasilenko V.A. Variational spline theory // Bull. Novosibirsk comput-
ing center. Ser.: Numerical Analysis, special issue. — Novosibirsk, 1993. —
№ 3. — 258 p.
3. Куценко И.А. Особенности численной интерполяции функций с помощью мно-
гомерных сплайнов на хаотичной сетке // Кибернетика и вычислительная
техника. — 2001. — Вып. 133. — С. 40–45.
4. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. — Киев:
Наук. думка, 1969. — 623 с.
5. Bartels R.H. and Golub G.H. Stable Numerical Methods for Obtaining the Cheby-
shev Solution to an Overdetermined System of Equations // Communications of
the ACM. — 1968. — № 6. — Р. 401–406.
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. — М.:
Наука, 1967. — 368 с.
Надійшла 09.06.2006
|
| id | journaliasakpiua-article-108562 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:51Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/45/9a1061897d940375fc1c73420088a245.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1085622018-04-11T11:14:25Z Construction of approximate mean-square and minimax multidimensional spline-function on chaotic net Построение аппроксимационной среднеквадратичной и минимаксной многомерной сплайн-функции на хаотической сетке Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці Kutsenko, I. A. The transition from a problem of construction of both mean-square and minimax approximate multidimensional spline-functions on a chaotic net to a problem of finding the solution for overdefined systems of algebraic linear equations is offered. The transition is carried out by means of reduction of the results of the variation theory on construction of multidimensional spline-functions on a chaotic net to the simple algebraic conditions. Предложен переход от задачи построения как среднеквадратичной, так и минимаксной аппроксимационной многомерной сплайн-функции на хаотической сетке к задаче нахождения решения переопределенных систем линейных уравнений. Запропоновано перехід від задачі побудови як середньоквадратичної, так і мінімаксної апроксимаційної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці до задачі знаходження розв’язку перевизначених систем лінійних рівнянь. Перехід здійснено шляхом зведення результатів варіаційної теорії побудови багатовимірних сплайн-функцій на хаотичній сітці до простих алгебраїчних умов. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2008-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108562 System research and information technologies; No. 4 (2008); 121-124 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2008); 121-124 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2008); 121-124 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108562/103506 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Kutsenko, I. A. Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці |
| title | Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці |
| title_alt | Construction of approximate mean-square and minimax multidimensional spline-function on chaotic net Построение аппроксимационной среднеквадратичной и минимаксной многомерной сплайн-функции на хаотической сетке |
| title_full | Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці |
| title_fullStr | Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці |
| title_full_unstemmed | Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці |
| title_short | Побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці |
| title_sort | побудова апроксимаційної середньоквадратичної та мінімаксної багатовимірної сплайн-функції на хаотичній сітці |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108562 |
| work_keys_str_mv | AT kutsenkoia constructionofapproximatemeansquareandminimaxmultidimensionalsplinefunctiononchaoticnet AT kutsenkoia postroenieapproksimacionnojsrednekvadratičnojiminimaksnojmnogomernojsplajnfunkciinahaotičeskojsetke AT kutsenkoia pobudovaaproksimacíjnoíserednʹokvadratičnoítamínímaksnoíbagatovimírnoísplajnfunkcíínahaotičníjsítcí |