Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом

In this paper, the systematic approach to the effective application of mathematical and computer modeling of dynamic systems is proposed for solving the problems of deterministic chaos research in complex nonlinear systems and related inverse problems. The scientific and technical task of enhancing...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Authors:	Danylov, Valery Ya., Zinchenko, Artem Yu., Danilov, V. Ya.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017
Subjects:	детермінований хаос нелінійна систем Ю.-Ш. Чена біфуркація реконструкція математичної моделі
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108571
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866302071953686528
author	Danylov, Valery Ya. Zinchenko, Artem Yu. Danilov, V. Ya.
author_facet	Danylov, Valery Ya. Zinchenko, Artem Yu. Danilov, V. Ya.
author_sort	Danylov, Valery Ya.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-03-30T15:35:30Z
description	In this paper, the systematic approach to the effective application of mathematical and computer modeling of dynamic systems is proposed for solving the problems of deterministic chaos research in complex nonlinear systems and related inverse problems. The scientific and technical task of enhancing mathematical modeling by improving existing methodologies of investigation of the deterministic chaos and by developing new mathematical models, based on the specialization of existing ones, is solved. To solve the problem, we suggested investigation schemes of direct (research modes of behavior depending on the bifurcation parameters) and inverse (reconstruction of mathematical models) tasks of the deterministic chaos in complex non-linear systems. Experimental studies are presented for scalar implementations of YU.-SH. Chen and Roessler nonlinear systems. For the last one, the equivalent model was constructed.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2017.2.01
first_indexed	2025-07-17T10:22:52Z
format	Article
fulltext	 В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко, В.Я. Данілов, 2017 Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 7 TIДC ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ І МЕТОДИ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ УДК 517.938 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.2.01 СИСТЕМНИЙ ПІДХІД ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ПРЯМИХ І ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ У СИСТЕМАХ З ХАОСОМ В.Я. ДАНИЛОВ, А.Ю. ЗІНЧЕНКО, В.Я. ДАНІЛОВ Анотація. Запропоновано системний підхід до ефективного застосування за- собів математичного та комп’ютерного моделювання динамічних систем для вирішення проблем дослідження детермінованого хаосу в складних нелінійних системах та пов’язаних з ними обернених задачах. Розв’язано науково- технічну задачу удосконалення математичного моделювання через поліпшен- ня наявних методологій дослідження детермінованого хаосу та розроблення нових математичних моделей на основі спеціалізації існуючих. Запропоновано схеми дослідження прямих (дослідження динамічних режимів поведінки нелі- нійних систем залежно від біфуркаційних параметрів) і обернених (реконструк- ції математичних моделей) задач детермінованого хаосу у складних неліній- них системах. Експериментальні дослідження наведено для скалярних реалізацій нелінійних систем Ю.-Ш. Чена та Ресслера. Для останньої знайдено еквівалентну модель. Ключові слова: детермінований хаос, нелінійна система Ю.-Ш. Чена, біфур- кація, реконструкція математичної моделі. ВСТУП Однією з основних проблем дослідження нелінійних динамічних систем під час аналізу складної динаміки є експоненціальна чутливість системи до ма- лих збурень, яка виявляє наявний в системі детермінований хаос. При цьому мала зміна біфуркаційного параметра призводить до якісної зміни поведінки фазових траєкторій системи, тобто до нерегулярної хаотичної динаміки. Проте, на відміну від випадкового процесу, такий експеримент можна від- творити, тобто хаотична траєкторія детермінованої нелінійної системи повні- стю відтворюється, якщо покласти такі ж початкові умови та точність обчи- слення. Основним напрямом такого дослідження є проведення експериментів на основі математичного та комп’ютерного моделювання з використанням спеціальних обчислювальних методів, які мають високу то- чність обчислення і в яких враховуються особливості типів зв’язків нелі- нійної системи. Для складання ефективних математичних описів досліджуваних об’єктів важливою задачею є розроблення нових чи еквівалентних видів ма- В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко, В.Я. Данілов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 8 тематичних моделей, а також параметричної і структурної ідентифікації нелінійних систем у хаотичному режимі за точними і неповними спостере- женнями лише однієї фазової координати системи. Ця задача є складною і потребує створення ефективних програмних засобів комп’ютерної реалізації. У вітчизняній та світовій науковій літературі є ґрунтовні праці [1, 2], присвячені розробленню підходів та обчислювальних методів дослідження детермінованого хаосу у прямих і обернених задачах. Утім проблематика ефективного застосування комп’ютерних систем моделювання, включаючи структурну та алгоритмічну організацію їх використання з урахуванням різ- них типів нелінійності, залишається недостатньо висвітленою. Мета роботи — розроблення системного підходу (структурно- функціональних схем) дослідження детермінованого хаосу в нелінійних сис- темах та пов’язаних з ними обернених задачах. РОЗРОБЛЕННЯ СХЕМ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРЯМИХ І ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ Розглянемо автономну систему звичайних диференціальних рівнянь ),,...,,( 21 ni i xxxf dt dx  ,,...,2,1 ni  (1) що є математичною моделлю деякої динамічної системи. У фазовому прос- торі цієї системи правими частинами рівнянь (1) породжується векторне по- ле швидкостей, яке зіставляє кожній зображувальній точці 0X вектор )},,...,,(),...,,...,,({)( 21211 nnni xxxXxxxXxX  ,,...,1 ni  модуль якого чисе- льно дорівнює швидкості руху фазової точки по траєкторії. Сам вектор у кожній точці ix напрямлений по дотичній до фазової траєкторії. Таким чи- ном, динамічну систему (1) можна записати у векторній формі )(xXX  , де ),,( 1 nxxX   — відповідні вектори. Надалі вважатимемо, що праві части- ни системи рівнянь (1) є аналітичними функціями. Система задовольняє умови теореми Коші–Пікара: через кожну точку фазового простору прохо- дить одна і тільки одна траєкторія. Тоді основною задачею дослідження не- лінійних динамічних систем різної природи, які, як правило, не мають точ- них аналітичних розв’язків, є задача виявлення областей хаотичних, регулярних і перехідних режимів, а також закономірностей переходу від од- ного режиму до іншого через відповідну послідовність біфуркацій [3]. Структурно-функціональний підхід до розв’язання поставленої задачі дослідження запропоновано у вигляді рис. 1. Етапи схеми дослідження складаються зі спеціальних числових методів з локальною точністю число- вого розв’язання системи (1) до )10( 12O – )10( 16O . Поставимо задачу реконструкції. Нехай маємо скалярну реалізацію ди- намічної системи (1), отриману за точними вимірами: ],,..,1),([ Nitixxi  де x — значення реалізації в момент часу ti ; t — інтервал дискретиза- ції; N — довжина реалізації. Потрібно реконструювати атрактори і матема- Системний підхід розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 9 тичну модель системи (1), а для часової послідовності — підтвердити на- явність чи відсутність хаосу. Для розв’язання поставленої задачі на рис. 2 показано структурно- функціональну схему з етапами дослідження. Задача реконструкції операто- ра еволюції системи (1) ускладнюється, якщо інформація про об’єкт дослі- дження обмежена однією скалярною реалізацією або одновимірною реаліза- цією функції від фазових координат системи. Для коректного підбору моделі динамічної системи на рис. 3 зображено функціональну схему про- цесу реконструкції. При цьому вибір структури моделі і виду модельного оператора еволюції ґрунтуються на апріорній інформації про систему та на аналізі динаміки вихідного ряду системи. CХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ Побудова фазопараметричних характеристик для встановлення основних типів сценаріїв переходу від регулярних режимів до хаотичних Побудова у просторах параме- трів динамічних режимів, які визначають області існування і типи регулярних або хаотичних коливань Визначення та аналіз комплексу якісних та кількіс- них характеристик регулярних та хаотичних коливань ЕТАП 1 ЕТАП 2 ЕТАП 3 ЕТАПИ ДОСЛІДЖЕННЯ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРИЗНАЧЕННЯ МЕТОДІВ Числове моделювання фазових траєкторій динамічних систем Побудова розподілу природної інваріантної міри Побудова спектра ляпунівських характеристич- них показників Побудова паререзів та зображень Пуанкаре Рунге–Кутти з постійним та змінним кроком числового інтегрування Алгоритм Бенеттіна, Гальяна та ін. Кодування відтінками сірого кольору Побудова спектрів Фур’є- коливань Ено Філона Рис. 1. Структурно-функціональна схема дослідження динамічних систем В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко, В.Я. Данілов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 10 ЕТАП 1 Виявлення та дослідження хаотичної динаміки вихідного сигналу ЕТАП 2 Псевдофазова реконструкція атракторів ЕТАП 3 Реконструкція математичної моделі скалярної реалізації за точними вимірами Частинний випадок; відома структура, параметрична ідентифікація Показник Херста та оцінювання кореля- ційної розмірності від перемішаних даних випадковим чином Указує на незалежність ряду (не містить жодної нелінійної структури і породжується випадковим процесом) ЕТАПИ ДОСЛІДЖЕННЯ Методи дослідження на першому етапі Призначення методів Аналіз хаотичної динаміки Періодична та квазіперіодична реалізація Указує на детермінований хаос Указує на персистентний (антиперсистентний) або випадковий ряд Візуалізація ряду виділення тренду, виявлення перехідного ре- жиму, процесу нагромадження даних, сталого процесу хаотичних коливань Автокореляційна функція Тест залишків Брока Показник Херста СХЕМА ВИЯВЛЕННЯ ХАОСУ, РЕКОНСТРУКЦІЇ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ТААТРАКТОРІВ ЇХ РЕАЛІЗАЦІЙ Визначення нестійких періодичних орбіт, уміщених в атракрорі; лабільність областей перемежовування, «вікна періодичності», частотний спектр циклів та варіації типів джокерів Відрізняє випадкові системи від детермінованого хаосу чи від нелінійних стохастичних систем Знаходження кореляційної розмірності скалярних реалізацій Визначає локальний регулярно стійкий (періодичний чи квазіперіодичний) рух та локально нестійкий рух (хаотичний) Визначає детермінований хаос, випадковість системи та регулярний рух Метод параметричної ідентифікації на основі хаотичної синхронізації та адаптивного контролю Методи дослідження на другому і третьому етапах Ідентифікація невідомих парамет- рів системи за відомої структури Призначення методів Знаходження розмір- ності простору вкладень Призначення методів Реконструкція оператора еволюції породжувальної системи Метод часової затримки Призначення методів Методи дослідження на першому етапі Ентропія Колмогорова Старший показник Ляпунова Методи дослідження на другому етапі Метод взаємної інформації Алгоритм Грассберга–Прокачія Визначення часової затримки Метод кореляційної розмірності Тест Гілмора BDS-статистика Рис. 2. Структурно-функціональна схема реконструкції атракторів та динамічних систем за їх скалярними реалізаціями Системний підхід розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 11 Для оцінювання невідомих параметрів реконструйованої системи ско- ристаємося методом глобальної реконструкції [4]. Задамо структуру динаміч- ної системи звичайними диференціальними рівняннями першого порядку ),( jj xFx  nj ,,,1  із заздалегідь обчисленою за методом кореляційної розмірності розмірністю системи (розмірністю простору вкладення атракто- рів). Тоді для отримання конкретного виду еволюційного оператора функ- цію jF подамо у вигляді розкладання за деяким базисом, обмежуючись скінченною кількістю членів розкладання. У простішому випадку задавати jF можна поліномом деякого степеня :v ,)( 0,...,, 1 ,,...,,, 21 21     v lll n s l isllljij n k n xCxF де ,,..,1 nj  , 1    n s s vl де nllljC ,...,,, 21 — невідомі коефіцієнти, які потрібно знайти. Для знаходження цих коефіцієнтів необхідно розв’язати систему N лінійних алгебричних рівнянь , 0,...,, 1 ,,...,,, 1, 21 21     v lll n s l islllj i j n k n xCx ,,..,1 Ni  nj ,..,1 з невідомими ,,...,,, 21 nllljC у якій N — кількість точок псевдофазо- вої реконструкції скалярного часового ряду )(txi , що використовуються для апроксимації правих частин;  — степінь полінома. Для апроксимації мож- на застосовувати поліноми Лежандра, Фур’є або інший базис розкладання функцій jF . Тоді невідомі коефіцієнти при поліномах обчислюються за ре- курентним методом найменших квадратів (РМНК). При цьому діагностична Реалізація та аналіз вихідної ревлізації Діагностична перевірка моделі «вибір критеріїв» Вибір структури моделі Побудова моделі та розрахунок параметрів Апріорна інформація про систему Модель придатна Зв’язок змінних з вихідною ревлізації Модель не придатна Тип рівнянь Вид функції Рис. 3. Функціональна схема реконструкції систем за скалярною реалізацією В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко, В.Я. Данілов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 12 перевірка моделі являє собою повне дослідження отриманої математичної моделі згідно зі структурно-функціональною схемою (1). Установлення об- ластей регулярної і хаотичної динаміки сконструйованої математичної мо- делі, а також побудова відповідних атракторів відповідно до вже дослідже- ної динаміки скалярної реалізації і є основними критеріями адекватності вибору математичної моделі. ПРИКЛАДИ ПСЕВДОФАЗОВОЇ РЕКОНСТРУКЦІЇ АТРАКТОРІВ Як приклад розглянемо малодосліджену нелінійну систему Ю.-Ш. Чена [5]: , ,1 ,)( 2 czxz xbyy xayzx       (2) де параметри 0a — збереження суми відсоткової ставки; 0b — вар- тість інвестицій; 0c — еластичність попиту на комерційних ринках. Перше рівняння цієї системи описує зміну в часі відсоткової ставки, дру- ге — зміну інвестиційного попиту, а третє — зміну індексу цін. Детальний опис моделі подано у праці [5]. Результати дослідження отрмано для скалярних реалізацій за першою та другою координатами для системи (2), отриманої числовим розв’язком системи з використанням алгоритму Дорманда–Принса [6]. Було проведено два комп’ютерні експерименти дослідження детермінованого хаосу: за хао- тичним та регулярним режимами динаміки системи. Вибірки рядів як для хаотичних, так і для регулярних режимів вибрано по 100000 значень даних. Початковими умовами для експериментів oбрано 2)( 0 tx , ,3)( 0 ty ,2)( 0 tz а параметри — 3a ; 1,0b ; 1c — для хаотичного режиму і 3a , 24,0b ; 1c та 2,475a ; 1,0b ; 1,8c — для регулярного. При цьому крок дискретизації методу Рунге–Кутти становив .10 3 Для уникнення помилок під час дослідження детермінованого хаосу, зокрема обчислення розмірності вкладення, кореляційної розмірності 2D , тесту Брока, ентропії Колмогорова, BDS-тесту, пов’язаних зі скінченністю ряду, було застосовано критерій А. Цоніса, що визначає мінімально необ- τ t а б Рис. 4. Динаміка скалярної реалізації хаотичного режиму (а) та її статистичні дані (б) Системний підхід розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 13 хідну довжину ряду вигляду .10 24,02 DN  А оскільки оцінка кореляційної розмірності реконструйованого атрактора системи (2) становила 2,21 (табл. 1), то мінімально необхідна довжина ряду повинна перевищувати 76610 21,24,02  значень. Результати дослідження для часових реалізацій регулярного і хаотич- ного режимів нелінійної системи (2) проілюстровано на рис. 5–10. Характе- ристики кількісних та якісних ознак зведено у табл. 1. Із кількісних та якісних характеристик, наведених у табл. 1, можна зро- бити висновок, що досліджуваний ряд є антиперсистентним (ергодичним, що складаються із частих реверсів зростання–спадання), має нелінійну структуру (підтверджену тестом Брока і випадковим перемішуванням да- них) і характеризується ефектом турбулентності. Автокореляційна функція на великих проміжках часу прямує до нуля, що свідчить про відсутність кореляції між сусідніми значеннями (під впливом нестійкості за Ляпуно- вим), а додатні показники Ляпунова і Колмогорова вказують на наявність у ряду хаосу (локально нестійкого руху двох точок псевдореконструйованого атрактора). Рис. 6. Тест Гілмора: інтервальний джокер і русла (а) та автокореляційна функ- ція (б) першої скалярної реалізації хаотичного режиму системи (2) Номер спостереження Н ом ер с по ст ер еж ен ня а б R (τ ) τ Рис. 5. Лінійна регресія оцінки показника Херста (а) та графік функції взаємної кореляції (б) першої скалярної реалізації хаотичного режиму a 1 2 3 4 L n (R /S ) Ln (R/S)=H(τ)+b 4 3 2 1 0 -1 τ τ H(τ) б В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко, В.Я. Данілов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 14 Т а б л и ц я 1 . Кількісні та якісні характеристики ідентифікації хаосу та реконструкції його математичної моделі для скалярної реалізації хаотичного режиму Назва характеристики Опис характеристики (числове значення) Назва характеристики Опис характерстики (числове значення) Показник Херста 0,4791552279363 Автокореляція Прямує до нуля Показник Херста після перемішування (10 раз) 0,4957591621218764 Старший показник Ляпунова 0,243 Тест Брока 2D : 2,211 і 2,213 1 : 0,243 і 0,241 Розмірність Мінковського 2,52 Ентропія Колмогорова 0,243 Візуалізація ряду Хаотичний режим Кореляційна розмірність і BDS-статистика 2,211 87,91 Розмірність укладення 3 Тест Гілмора та  Інтервальний джокер, 0247,0 Часова затримка 139 с Оскільки BDC-статистика значно більша від 3, то гіпотезу про випад- ковий ряд можна відхилити з імовірністю 99% [7]. Графік «тісного повер- нення» хаотичного режиму — графічний тест Гілмора — показано на рис. 6. Тут бачимо «порожні» області, що не містять точок, і області із суцільними лініями. Наявність «порожніх» областей вказує на розриви у відображенні, а суцільних ліній — на «шумові» цикли, тобто ця картина свідчить про наяв- ність у скалярній реалізації інтервальних джокерів (областей випадкових фазових стрибків) з наявними руслами складного частотного спектра (обла- сті детермінованої поведінки). Візуалізація ряду також свідчить про наяв- ність хаосу та відсутність тренду. Реконструйований атрактор на рис. 7 під- тверджує припущення про наявність хаосу. Рис. 7. Псевдофазова реконструкція першої реалізації хаотичного режиму систе- ми (2). Часова затримка — 139 с, розмірність укладення — 3 x(t) x( t+ τ) Системний підхід розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 15 Із кількісних та якісних характеристик, наведених у табл. 2 для регуляр- ного режиму, можна зробити висновок, що досліджуваний ряд є антиперси- стентним, не породжується випадковими процесами (підтверджується тес- том Брока і випадковим перемішуванням даних) і характеризується ефектом турбулентності. Автокореляційна функція квазіперіодична (періодична), що свідчить про квазіперіодичність (періодичність) відповідної скалярної реалі- зації, а нульові показники Ляпунова і Колмогорова вказують на відсутність у ряді хаосу (локально нестійкого руху двох точок псевдореконструйовано- го атрактора). Оскільки BDS-статистика значно перевищує 3, то гіпотезу про випадковий ряд можна відхилити з імовірністю 99% [7]. Графіки «тісного повернення» — графічний тест регулярного режиму Гілмора — показано на рис. 9. Тут зображено суцільні чорні лінії, які про- ходять горизонтально та вертикально вздовж усього графіка через однакові інтервали, визначені квазіперіодичністю (періодичністю) вимірювань в оди- ницях часу спостережень. Наявність квазіперіодичних (періодичних) орбіт на графіку свідчить про квазіперіодичність (періодичність) скалярної реалізації та про наявність русел складного частотного спектра (областей детермінованої поведінки). τ τ a L n (R /S ) Ln (R/S)=H(τ)–b τ 0 1 2 3 4 б Рис. 8. Функція взаємної кореляції (а) та оцінка показника Херста (б) скалярної реалізації регулярного режиму системи (2) Рис. 9. Тест Гілмора: періодичні орбіти скалярної реалізації регулярного режиму Н ом ер с по ст ер еж ен ня Номер спостереження В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко, В.Я. Данілов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 16 Візуалізація відповідного ряду також свідчить про відсутність хаосу та про періодичність (квазіперіодичність). Реконструйований атрактор на рис. 10 підтверджує припущення про наявність періодичної (квазіперіодичної) по- ведінки одновимірної реалізації. Т а б л и ц я 2 . Кількісні та якісні характеристики ідентифікації хаосу та реконструкції його математичної моделі скалярної реалізації регулярного режиму Назва характеристики Опис характеристики (числове значення) Назва характеристики Опис характеристики (числове значення) Показник Херста 0,24449230462814917 Автокореляція Періодична Показник Херста після перемішу- вання (10 раз) 0,5236470025920382 Старший показ- ник Ляпунова 0 Тест Брока 2D : 2,417 і 2,332 1 : 0,0 і 0,27 Розмірність Мінковського 2,755 Ентропія Колмогорова 0 Візуалізація ряду Періодичний рух Кореляційна розмірність і BDS-статистика 2,417 17,19 Розмірність укладення 3 Тест Гілмора та ε Періодичні орбіти, ε = 0,04097 Часова затримка 44 с ПРИКЛАД РЕКОНСТРУКЦІЇ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ Розглянемо класичну нелінійну систему-осцилятор Ресслера, математична модель якої має такий вигляд: Рис. 10. Псевдофазова реконструкція скалярної реалізації регулярного ре- жиму системи (2). Часова затримка — 44 с, розмірність вкладення — 3 x(t) x( t+ τ) Системний підхід розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом … Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 17 ),( , , cxzbz ayxy zyx       (3) де  — параметр зворотного зв’язку;  — параметр адаптації;  — пара- метр, що визначає основну власну частоту коливань (було вибрано значення 93,0 ); інші стандартні параметри вибрано такими: ;15,0a ;2,0b .10c Вибірка скалярної реалізації по першій фазовій координаті хаотичного режиму на атракторі системи становила 100000 значень. Під час досліджен- ня точність оцінювання з використанням методу Рунге–Кутти п’ятого по- рядку з коригувальною процедурою Дорманда–Прінса для змінного кроку числового інтегрування становила 710 . Початкові умови обрано такими: .001,0)()()( 000  tztytx Згідно з методом послідовного диференціюван- ня [7] за РМНК оцінено невідомі коефіцієнти системи (3). Отримано реконс- труйовану математичну модель системи Ресслера:            .015,015,015,0 0225,185,95,0102,0 , , 222 zxyxz yzxyzyxz zy yx    (4) Атрактор системи (4) зображено на рис. 11. Усі основні топологічні властивості і динаміка реконструйованого атрактора цілком відповідають оригінальному атрактору Ресслера (3). ВИСНОВКИ У роботі досліджено детермінований хаос для нелінійних динамічних сис- тем, заданих диференціальними рівняннями, та розглянуто задачу реконст- Рис. 11. Атрактор реконструйованої системи Ресслера z y x В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко, В.Я. Данілов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 18 рукції виявлених атракторів та математичної моделі самої системи за точ- ними і неповними спостереженнями. Для розв’язання поставлених прямих і обернених задач запропоновано системний підхід, описаний структурно- функціональними схемами досліджень. На прикладі нелінійної системи Ю.-Ш. Чена продемонстровано псевдофазову реконструкцію атракторів за спостереженнями скалярних реалізацій фазових координат хаотичного і ре- гулярного режимів. При цьому експериментальні дослідження реалізації цієї системи за хаотичного режиму підтвердили неможливість прогнозування експериментальних даних за виявленого хаосу на проміжках часу, що пере- вищують деякий часовий масштаб, логарифмічно залежний від неточності задання початкових умов. Це зумовлюється експоненціальною чутливістю вихідної системи до малих збурень. На прикладі системи Ресслера продемон- стровано реконструкцію математичної моделі за спостереженнями першої скалярної реалізації фазової координати за хаотичного режиму. ЛІТЕРАТУРА 1. Krasnopol'skaya T.S. Regular and chaotic surface waves in a liquid in a cylindrical tank / T.S Krasnopol'skaya, A.Yu. Shvets // Soviet Applied Mechanics, 1990. — Vol. 26. — № 8. — P. 787–794. 2. Shvets A.Yu. Chaotic Oscillations of Nonideal Plane Pendulum Systems / A.Yu. Shvets, A.M. Makaseyev // Chaotic Modeling and Simulation (CMSIM) Journal, 2012. — N 1. — P. 195–204. 3. Зинченко А.Ю. Исследование регулярной и хаотической динамики одной фи- нансовой системы / А.Ю. Зинченко // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2013. — Т. 21, № 2. — С. 173–187. 4. Crutchfield J.P. Equations of motion from a data series / J.P. Crutchfield, B.S. McNamara // Complex Systems. — 1987. — N 1. — P. 417–452. 5. Ma J.H. Study for the bifurcation topological structure and the global complicated character of a kind of nonlinear finance system. I / J. H. Ma, Y.S. Chen // Applied Mathematics and Mechanics. — 2001. — Vol. 22, N 11. — P. 1240–1251. 6. Dormand J.R. A family of embedded Runge-Kutta formulae / J.R. Dormand, P.J. Prince // J. Comp. Appl. Math. — 1980. — Vol. 6. — P. 19–26. 7. Данилов В.Я. Синергетичні методи аналізу: навч. посіб. / В.Я. Данилов, А.Ю. Зінченко. — К.: НТУУ «КПІ» ВПІ ВПК «Політехніка», 2011. — 340 с. Надійшла 19.04.2017
id	journaliasakpiua-article-108571
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:22:52Z
publishDate	2017
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/1c/9875bfb74a671f50684cbf0584c97c1c.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1085712018-03-30T15:35:30Z System approach of solving direct and reverse tasks in systems with chaos Системный подход к решению прямых и обратных задач в системах с хаосом Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом Danylov, Valery Ya. Zinchenko, Artem Yu. Danilov, V. Ya. deterministic chaos YU.-SH. Chen nonlinear system bifurcation reconstruction of mathematical model детерминированный хаос нелинейная систем Ю.-Ш. Чена бифуркация реконструкция математической модели детермінований хаос нелінійна систем Ю.-Ш. Чена біфуркація реконструкція математичної моделі In this paper, the systematic approach to the effective application of mathematical and computer modeling of dynamic systems is proposed for solving the problems of deterministic chaos research in complex nonlinear systems and related inverse problems. The scientific and technical task of enhancing mathematical modeling by improving existing methodologies of investigation of the deterministic chaos and by developing new mathematical models, based on the specialization of existing ones, is solved. To solve the problem, we suggested investigation schemes of direct (research modes of behavior depending on the bifurcation parameters) and inverse (reconstruction of mathematical models) tasks of the deterministic chaos in complex non-linear systems. Experimental studies are presented for scalar implementations of YU.-SH. Chen and Roessler nonlinear systems. For the last one, the equivalent model was constructed. Предложен системный подход к эффективному применению средств математического и компьютерного моделирования динамических систем для решения проблем исследования детерминированного хаоса в сложных нелинейных системах и связанных с ними обратных задачах. Решена научно-техническая задача усовершенствования математического моделирования путем улучшения существующих методологий исследования детерминированного хаоса и разработки новых математических моделей на основе специализации существующих. Предложены схемы исследования прямых (исследование динамических режимов поведения нелинейных систем в зависимости от бифуркационных параметров) и обратных (реконструкции математических моделей) задач детерминированного хаоса в сложных нелинейных системах. Экспериментальные исследования приведены для скалярных реализаций нелинейных систем Ю.-Ш. Чена и Ресслера. Для последней найдена эквивалентная модель. Запропоновано системний підхід до ефективного застосування засобів математичного та комп’ютерного моделювання динамічних систем для вирішення проблем дослідження детермінованого хаосу в складних нелінійних системах та пов’язаних з ними обернених задачах. Розв’язано науково-технічну задачу удосконалення математичного моделювання через поліпшення наявних методологій дослідження детермінованого хаосу та розроблення нових математичних моделей на основі спеціалізації існуючих. Запропоновано схеми дослідження прямих (дослідження динамічних режимів поведінки нелінійних систем залежно від біфуркаційних параметрів) і обернених (реконструкції математичних моделей) задач детермінованого хаосу у складних нелінійних системах. Експериментальні дослідження наведено для скалярних реалізацій нелінійних систем Ю.-Ш. Чена та Ресслера. Для останньої знайдено еквівалентну модель. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-06-26 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108571 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.2.01 System research and information technologies; No. 2 (2017); 7-18 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2017); 7-18 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2017); 7-18 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108571/103511 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	детермінований хаос нелінійна систем Ю.-Ш. Чена біфуркація реконструкція математичної моделі Danylov, Valery Ya. Zinchenko, Artem Yu. Danilov, V. Ya. Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом
title	Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом
title_alt	System approach of solving direct and reverse tasks in systems with chaos Системный подход к решению прямых и обратных задач в системах с хаосом
title_full	Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом
title_fullStr	Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом
title_full_unstemmed	Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом
title_short	Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом
title_sort	системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом
topic	детермінований хаос нелінійна систем Ю.-Ш. Чена біфуркація реконструкція математичної моделі
topic_facet	deterministic chaos YU.-SH. Chen nonlinear system bifurcation reconstruction of mathematical model детерминированный хаос нелинейная систем Ю.-Ш. Чена бифуркация реконструкция математической модели детермінований хаос нелінійна систем Ю.-Ш. Чена біфуркація реконструкція математичної моделі
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108571
work_keys_str_mv	AT danylovvaleryya systemapproachofsolvingdirectandreversetasksinsystemswithchaos AT zinchenkoartemyu systemapproachofsolvingdirectandreversetasksinsystemswithchaos AT danilovvya systemapproachofsolvingdirectandreversetasksinsystemswithchaos AT danylovvaleryya sistemnyjpodhodkrešeniûprâmyhiobratnyhzadačvsistemahshaosom AT zinchenkoartemyu sistemnyjpodhodkrešeniûprâmyhiobratnyhzadačvsistemahshaosom AT danilovvya sistemnyjpodhodkrešeniûprâmyhiobratnyhzadačvsistemahshaosom AT danylovvaleryya sistemnijpídhíddorozvâzannâprâmihíobernenihzadačusistemahzhaosom AT zinchenkoartemyu sistemnijpídhíddorozvâzannâprâmihíobernenihzadačusistemahzhaosom AT danilovvya sistemnijpídhíddorozvâzannâprâmihíobernenihzadačusistemahzhaosom

Системний підхід до розв’язання прямих і обернених задач у системах з хаосом

Institution

Similar Items