Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень
The question related to the existence of the Cauchy problem solution in the class of nonlinear diffusion stochastic partial differential-difference equations of a neutral type with random external disturbances which are independent from the Wiener process is considered. Sufficient conditions are obt...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2017
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108824 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866391906697609216 |
|---|---|
| author | Yasynskyy, V. K. Yurchenko, I. V. |
| author_facet | Yasynskyy, V. K. Yurchenko, I. V. |
| author_sort | Yasynskyy, V. K. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-03-30T15:35:30Z |
| description | The question related to the existence of the Cauchy problem solution in the class of nonlinear diffusion stochastic partial differential-difference equations of a neutral type with random external disturbances which are independent from the Wiener process is considered. Sufficient conditions are obtained for the diffusion coefficients of nonlinear stochastic differential-difference equations of a neutral type (NDSDRRNT) that guarantee the existence of the solution with the probability of 1. The method of the proof is based on the results of O.M. Stanzhitsky and A.O. Tsukanova on the existence and uniqueness of the Cauchy problem solution for the stochastic differential reaction-diffusion equation of a neutral type. In this paper, we prove the existence of a "mild solution" of NDSDRRNT. In some cases, such equations are mathematical models of real processes, the consideration of which is planned in the future work. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.2.10 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:22:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.К. Ясинський, І.В. Юрченко, 2017
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 103
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 519.21
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.2.10
ПРО ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧІ КОШІ
ДЛЯ НЕЛІНІЙНОГО ДИФУЗІЙНОГО СТОХАСТИЧНОГО
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-РІЗНИЦЕВОГО РІВНЯННЯ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ
З УРАХУВАННЯМ ВИПАДКОВИХ ЗОВНІШНИХ ЗБУРЕНЬ
В.К. ЯСИНСЬКИЙ, І.В. ЮРЧЕНКО
Анотація. Розглянуто питання існування розв’язку задачі Коші в класі нелі-
нійних дифузійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь
нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішніх
збурень, незалежних від вінерівського процесу. Отримано достатні умови
на коефіцієнти нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-
різницевого рівняння нейтрального типу (НДСДРРНТ), які гарантують існу-
вання з імовірністю одиниця його розв’язку. Методика доведення грунтується
на результатах О.М. Станжицького та А.О. Цуканової щодо існування та єди-
ності розв’язку задачі Коші для стохастичного диференціального рівняння
реакції-дифузії нейтрального типу. Доведено існування «м’якого розв’язку»
НДСДРРНТ. В окремих випадках подібні рівняння є математичними моделями
реальних процесів, які передбачається розглядати в подальших роботах.
Ключові слова: задача Коші, стохастичне диференціальне рівняння в частин-
них похідних, існування розв’язку, випадкові збурення.
ВСТУП
Питання існування та єдиності розв’язку стохастичних диференцальних рів-
нянь з деякими початковими та граничними умовами в різних функціональ-
них просторах, зокрема і рівнянь у частинних похідних, досліджувалося ба-
гатьма авторами [3, 4, 6, 7, 8, 11, 12]. У працях [9, 10] О.М. Станжицький та
А.О. Цуканова отримали теорему існування та єдиності розв’язку задачі
Коші для стохастичного диференціального рівняння реакції-дифузії нейтра-
льного типу. У цій роботі розглядається питання існування розв’язку задачі
Коші в класі нелінійних дифузійних стохастичних диференціально-різницевих
рівнянь нейтрального типу ( НДСДРРНТ) в частинних похідних з урахуван-
ням випадкових зовнішних збурень, незалежних від вінерівського процесу.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай на ймовірнісному базисі )},0,,{,,( 0 PttFF t задано НДСДРРНТ
у частинних похідних під дією випадкових зовнішних збурень, незалежних
від вінерівського процесу,
В.К. Ясинський, І.В. Юрченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 104
dyytuyxtbxtud
rR
),(),,(),(
,),()),(,()(
),(
)( 112
2
1
xtdwxtutdt
x
xtu
rr
j
r
j
jj
(1)
для ,],0( Tt rx R за початковими даними
],0,[),,(),( txtxtu (2)
де ,)( 1R jj ,1,1 rj незалежні попарно та незалежні від вінерів-
ського процесу xtw , випадкові величини; зовнішні збурення ),( jj
1,1 rj — берівські функції, додатні, попарно незалежні та незалежні від
вінерівського процесу і початкової функції; ),0( T — фіксований дійс-
ний час, ,0 випадковий r -вимірний оператор Лапласа [1, 4]:
r
j j
jjx
x
xtu
x
1
2
2 ),(
)()( , (3)
де ),( xtw — )(2
rL R -вимірний Q -вінерівський процес [2]; ],0[: T
11 RRR r і 1],0[: RRR rrTb — деякі конкретні функції, які бу-
дуть визначені під час дослідження; 1]0,[: RR r — функція почат-
кових даних.
ОБГОВОРЕННЯ ПОПЕРЕДНІХ РЕЗУЛЬТАТІВ ТА ОЗНАЧЕННЯ
Наведемо декілька тверджень із праць [9, 10, 11, 12].
Лема 1. [12, c.188]. Оператор
)()(:(t) 22
rr LLS RR
генерує розв’язок однорідної задачі Коші для рівняння тепла (лема 1 [9]) за
початковими даними (2) з імовірністю 1
r
dzztuzxtbxtud
R
),(),,()),((
,),( dtxtux
за правилом
r
dygyxtKxgtsxtu
R
)(),())()((),(
та утворює 0C напівгрупу операторів, інфінітезимальним оператором якої
є випадковий лапласіан )( x (3). А ця напівгрупа )(tS є стискальною,
тобто
.)()()()(
2
)(
2
)( 22
rr LL
xgxgtS
RR
(4)
Про існування розв’язку задачі коші для нелінійного дифузійного стохастичного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 105
Уведемо потік (фільтрацію) -алгебр },0,{ 0 ttFt який породжений
)(2
rL R -значним Q -вінерівським процесом
1
,)()(),(
n
nnn txextw
де 1}),()({ R tt nn — незалежні стандартні одновимірні вінерівські
(броунівські) процеси, а
1
.
n
n
При цьому система векторів )()( xexe nn утворює ортонормований ба-
зис у )(2
rL R такий, що
.1)(supesssup
,...2,1
xen
xn rR
Уведемо простір Банаха T,2B усіх )(2
rL R -значних tF -вимірних та
неперервних з імовірністю одиниця випадкових процесів )(
)(],0[:),( 2
rLTt R з нормою
2
)(
0 2,2
),(sup)( r
T L
Tt
B
t
R
E
.
Означення 1. Неперервну випадкову функцію ],[:),,( Txtuu
1RR r назвемо м’яким розв’язком задачі (1), (2), якщо виконуються
умови:
1) u є TF -вимірною для майже всіх ],[ Tt та фіксованих rx R ,
;
2) u задовольняє умову (інтегральне рівняння)
dydzzzybyxtKxtu
rr RR
),(),,(00),(),,(
r
dyytuyxb
R
),(),,(0
t r
j
xjj dsdydzzuzybyxtK
r r0 1
),(s),,(s),s()()(
R R
t
n
nnrrn sddyyeysusyxstK
r0 1
11 )()(),)(,()(),(
R
для ],0[ Tt , rx R за початковою умовою (2);
3) існує норма
.),,(
T
0
2
)(2
dtxtuE rL R
(5)
В.К. Ясинський, І.В. Юрченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 106
Лема 2 [10]. Вираз (5) для випадкової функції ),,( xtu є нормою.
Основний результат
Будемо надалі вважати, що ймовірнісний базис P},,{,, 0ttFF t побудо-
ваний [1–5] для задачі (1), (2), яка є предметом дослідження цієї роботи.
Основне твердження. Нехай для задачі (1), (2) виконано умови:
1) коефіцієнт ),,( yut є:
вимірним за всіма аргументами;
задовольняє умову Ліпшиця за другим аргументом ),,( xut
vuLxvt ),,( для ],0[ Tt , 1, Rvu , rx R ;
2) початкова функція ),,( xt є:
0F -вимірною відносно аргумента ],0[ Tt ;
незалежною від вінерівського процесу 1),()( R twtw для
],0[ Tt ;
незалежною від зовнішних збурень )( jj , 1,1 rj ;
має норму
2
)(
0 2
),,(sup rL
t
xt
R
E ; (6)
3) функція ),,( yxtbb задовольняє умови:
r r
Kdxdyyxtb
Tt R R
1
2
0
),,(sup ; 2
2
0
),,(sup Kdydxyxtb
r rTt
R R
;
для кожної точки rx R існують частинні похідні b
ix , b
ji xx , де
},...,2,1{},{ rji ;
матриця Гессе bDx
2 задовольняє умову
),,(),,(),,( 2 yxtZyxtbDyxtb xx (7)
для ),0[],0[ Tt , ryx R},{ , де функція ),0[],0[: rrTZ RR
задовольняє умову обмеженості подвійного просторового інтеграла
;),,(sup 3
0
KdxdyyxtZ
r rTt R R
(8)
4) для функції ),,( yxtZ виконується аналог умови Ліпшиця за другим
аргументом
,),,,(),,(),,( 000 xxxztzxtZzxtZ (9)
де для кожної точки rx R0 існує її окіл )( 0xB та невід’ємна функція
),,,( 0 xzt для ],0[ Tt , 0xx ; rz R , де
,)(),,,(sup 20
0
r
Tt
Lxt R
R ; (10)
Про існування розв’язку задачі коші для нелінійного дифузійного стохастичного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 107
5) зовнішні збурення ,)( jj 1,1 rj ,
попарно незалежні;
незалежні від вінерівського процесу та від початкової функції
1),,(),( R xtxt ;
виконується умова обмеженості математичних сподівань квадратів
зовнішних збурень 4
2
1}{ KrE .
Тоді задача (1), (2) для НДСДРРНТ має єдиний м’який розв’язок
Txtuu ,2),,( B з імовірністю одиниця для ],0[ Tt , якщо
.
4
1
),,(sup 5
2
0
Kdxdyyxtb
r rTt R R
(11)
Доведення основного твердження
Доведення розіб’ємо на етапи, що містяться в теоремі Банаха [1, 2], яка за-
стосована для встановлення з імовірністю одиниця єдиного розв’язку задачі
(1), (2) (задачі Коші). Будемо використовувати методику, викладену в працях
[9, 10].
Розглянемо оператор TTS ,2,2: BB , який діє за правилом для
],0[ Tt , ,, ryx R
r r
dydzzzybyxtKSu
R R
),(),,0((0)),()(t)(
r
dyytuzytb
R
),(),,(
t
x
r
j
jj dsdydzzszsuzysbyxstK
r r0 1
),)(,(),,(),()()(
R R
t
n
nnnrr sddyyeysusysstK
r0 1
11 )()(),)(,(),()(
R
3
0
)(
j
j tI (12)
за початковими даними (2).
Доведемо, що цей оператор є стискальними.
Спочатку треба довести, що TSu ,2B для Tu ,2B . Для цього
потрібно оцінити чотири норми
2
)(
2
2,2
)(sup)( r
T Ljj sIsI
R
E
B
, .3,2,1,0j
Використаємо нерівність (4) леми 1, нерівність Коші–Шварца [4] та
умови (6), (11) і отримаємо оцінку для супремуму математичного сподівання
)(0 sI з оператора ))(( tSu (див. рівняння (12)), а саме:
В.К. Ясинський, І.В. Юрченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 108
2
)(0
0
2
0
2,2
)(sup)( d
t L
ts
sIsI
R
E
B
2
)(
0 2
)),(), , 0()0()(, (sup r
rr
L
ts
dydzzzybyxsK
R
RR
E ‖‖
2
)(
2
)( 22
),(),, 0(2)0(2 r
r
r LL
dzzzxb
R
R
R
EE ‖‖‖‖
dxdzzzxb
r r
rL
R R
R
EE
2
2
)(
), (), , 0(2)0(2
2
‖‖
dzzdzdxzxb
rrr
rL
,, , 0202 222
)(2
RRR
R
EE ‖‖
2
)(
22
)( 22
)0(2,)0(2 r
r
r LL
dzz
R
R
R
EEE ‖‖‖‖
.)(, , 02 2
)(
2
2
Cdzdxzxb r
rr
L R
RR
E ‖‖
Застосуємо нерівність Коші–Шварца [4] та припущення (6), (11), оці-
нюючи супремум математичного сподівання sI1 , а саме:
2
)(1
0
2
1
2,2
)( sup )( rt L
ts
sIsI
R
E ‖‖‖‖ B
dxdyysuyxsb
rrts
2
0
), (),, (sup
RR
E
dyysudydxyxsb
rrrts
), (), , ( sup 22
0 RRR
E
2
)(
2
0 2
)(), , (sup r
rr
L
ts
sudydxyxsb
R
RR
E ‖‖
.), , ( sup )(sup 2
0
2
)(
0 2
dydxyxsbsu
rr
r
ts
L
ts
RR
R
E ‖‖
Далі спрацьовує очевидна нерівність на першому кроці відрізка ],0[
для розв’язку tu рівняння (1) для ],0[ Tt :
2
)(
2
)(
0
2
)( 222
)(sup )(sup )( rrr L
ts
L
s
L
sususu
RRR
EEE ‖‖‖‖‖‖
2
)(
0
2
)(
0 22
)(sup )(sup rr L
ts
L
s
susu
RR
EE ‖‖‖‖
. (13)
Про існування розв’язку задачі коші для нелінійного дифузійного стохастичного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 109
З урахуванням рівняння (13) попередня нерівність дасть оцінку
2
)(
0
2
0
2
1
2,2
)(sup (), , (sup )( r
rr
t L
sts
sudydxyxsbsI
R
RR
E ‖‖‖‖ B
))( sup 2
)(
0 2
rL
ts
su
R
E ‖‖
2
)(
0
2
0 2
)(sup ( ), , ( sup r
rr
L
sts
sdydxyxsb
R
RR
E ‖‖
))(sup 2
)(
0 2
rL
ts
su
R
E ‖‖
2
)(
0
2
0 2
)( sup (), , ( sup r
rr
L
sts
sdydxyxsb
R
RR
E ‖‖
.))(sup 1
2
)(
0 2
Csu rL
ts
R
E ‖‖
Аналогічно слід оцінити супремум математичного сподівання квадрата
інтеграла )(2 sI у просторі T,2B з відповідними нормами
2
)(2
0
2
2
2,2
)( sup)( rt L
ts
sIsI
R
E ‖‖‖‖ B
2
)(
100 2
),(), ,(),()(sup r
rr
L
r
j
j
s
ts
ddldzzluzylbyxsK
R
RR
E ‖‖
),()(
2
1
st
r
j
jj
}{E
де
dxdldydzzluzylbyxsKs
rrr
x
s
ts
2
00
),(),,(), ( sup
RRR
E . (14)
Змінюючи порядок інтегрування у s (див. рівняння (14)), матимемо
оцінку для sI2 у просторі T,2B :
2
2 ,2
)(
t
sI B‖‖ )()(
2
1
st
r
j
jj
}{E
2
1
)(=
r
j
jjt }{E
dldxdydzzluzylbyxsK
rrr
x
s
ts
2
00
),(),,(), ( sup
RRR
E
dxdldzzluzxlbDCt
rr
x
t
2
2
0
),(),,(
RR
E . (15)
В.К. Ясинський, І.В. Юрченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 110
У попередній оцінці
;)...(
1
T
xxx r
22
22
2
...
.........
...
1
11
rr
r
xxx
xxx
xD ;
— відповідна матрична норма.
Далі слід використати лему 1 [9, лема 4]. Якщо умови цієї леми для
,),(),,(), (),( dydzzluzylbyxlsKxlu
rr
RR
dzzluzylbxlg
r
),(),,(),(
R
(16)
виконуються, то оператор )(S є стискальним (див. рівняння (4)).
Перевіримо умови леми 1, тобто доведемо, що з імовірністю одиниця
для кожного ],0[ tl
)(),(),,( 1
rLdzzluzlb
r
R
R
(17)
і
)(|| 2
r
x Lg R , )(2
2 r
x LgD R‖‖ . (18)
Перевіримо умову 1). Доведення (17) випливає з використання умов
Коші–Шварца та умов 2 основного твердження і (11) зі сталою 5K :
dxdzzluzxlb
rr
r
j
jj ), (), , (
1
2
RR
EE
2
0
2
01
2
2
)(sup),,(sup r
rr
L
ltl
r
j
jj ldxdzzxlb
R
RR
EE
2
1
2
0 2
)(sup
rL
tl
lu
R
E ,
звідки з імовірністю одиниця умова 1 виконується
.), (), , ( 1 Сdxdzzluzxlb
rr RR
Перевіримо умову 2) леми 1. Умову (18) доведемо для gx . Для
‖‖ gDx
2 міркуватимемо аналогічно. Спочатку доведемо диференційовність
xlg , (див. умову (16)) у точці rxx R 0 .
Про існування розв’язку задачі коші для нелінійного дифузійного стохастичного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 111
Нехай )( 0xB є околом точки rx R0 . Використовуючи умови (17) та
(9), (10), матимемо
), (), , (), (), , ( ztuzxtztuzxtbx
|), (|)), , (), , (),, (( 00 ztuzxtzxtzxt
.|),(|)), , (), , , (( 00 ztuzxtxzt
Перевіримо включення
)(|), (|)), , (), , , (( 100
rLtuxtxt R .
Використовуючи нерівність Коші–Шварца та умови (7), (8), (11), оче-
видно матимемо
dzztuzxtxzt
r
|), (|)), , (), , , (( 10101
R
E
dzztuzxtdzztuxzt
rr
|), (|), , (|), (|), , , ( 101101
RR
EE
2
)(1
0
01
2
01
2
2
1
)( sup(),,(),,,( r
rr
L
t
tdzzxtdzxzt
R
RR
E ‖‖
.))( sup 2
1
2
)(1
0 2
1
rL
tt
tu
R
E ‖‖
Звідси з імовірністю одиниця отримаємо
.|), (|)), , (), , , (( 10101 dzztuxtxzt
rR
Згідно з локальною теоремою про диференційовність інтеграла за
параметром для функції (16) існує градієнт gx [4] та
.), (), , (), (), , ( dzztuzxtbdzztuzxtb xx
rr
RR
(19)
Залишилось довести, що
)(), (), , ( 2
r
x Ldzztuztb
r
R
R
. (20)
З урахуванням (19), (7), нерівності Коші–Шварца, умов (8) і (6) вико-
нуються співвідношення
dxdzztuzxtb
rr
x
2|), (), , (|
RR
E
dxdzztuzxtbx
rr
2
, , ,
RR
E
В.К. Ясинський, І.В. Юрченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 112
dxdzztuzxtbx
rr
2
|), (), , (|
RR
E
dzdxzxtZ
rrtt
), , (sup 1
2
0 1 RR
2
)(1
0
2
)(1
0 2
1
2
1
)(sup )( sup rr L
tt
L
t
tuEtE
RR
‖‖‖‖ ,
звідки
.), (), , (
2
11 dxdzztuzxtb
rr
x
RR
Остаточно з рівняння (15) матимемо оцінку
1
2
11
2
0
2
2 ), (), , ()(
,2
dxdtdzztuzxtbDCtsI
rr
t x
t
‖‖‖‖
RR
EB
2
)(1
0
1
2
0
2
2
11
)( sup ), , ( sup r
rr
L
ttt
tdzdxzxtZCt
R
RR
E ‖‖
.))( sup 2
2
)(1
0 2
1
Ctu rL
tt
R
E ‖‖ (21)
Отримаємо оцінку для (s)3I . Надалі під будемо розуміти
2
)(2
rL R
. З
урахуванням нерівності Коші–Шварца, теореми Фубіні [4] та умов (4), (6)
отримуємо для норми (s)3I у просторі T,2B оцінку
2
3
0
2
3 )( sup )(
,2
‖‖‖‖ sIEsI
ts
TB
2
11
100
)()()),(, ()(), ( sup sddyyeysusyxstK nnrr
n
n
t
ts rR
E
.)()(sup 2 3
2
0
2
01
2
CdyyuytL
t
yn
n EE (22)
Об’єднавши чотири оцінки )()( 30 sIsI , отримаємо для Tu ,2B
нерівність
3
0
2
2
)(
3
00
2
,2
2
,2
)(4)( sup))((
j
j
Lj
j
ts
T
r
T
tItItu BB ‖‖‖‖
R
E . (23)
Оскільки tF -вимірність ))(( tu очевидна, робимо висновок, що за-
дано.
Доведемо, що оператор має єдину стискальну фіксовану точку.
Дійсно, слід взяти до уваги (25), (33), (34), (35) та властивість лінійності
r -вимірного інтеграла. У результаті для різниці ))(())(( 11 vsIusI
у просторі `,2 TB маємо оцінку
Про існування розв’язку задачі коші для нелінійного дифузійного стохастичного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 2 113
2
11
0
2
11
2,2
)()()()( sup))(()()( rt L
ts
vsusvsus
R
E II‖II‖ B
.),,( sup
22
0 ,2 t
r r
vudydxyxsb
ts
B
R R
(24)
Аналогічно дістаємо оцінку для різниці ))(())(( 22 vsIusI у просторі
T,2B , а саме:
2
22 ,2
))(()()(
t
vsus B‖II‖
.)()(sup),,( sup
2
0
2
0
2
2
r
r r
L
tt
vudydxyxZCt
R
R R
E
Попередні міркування слід провести для оцінки різниці ))(())(( 33 vsIusI
у просторі T,2B , тоді
.)()()()(
2
1
22
33
,2,2 TT
vutCLvsus
n
n BB
‖II‖ (25)
Урахувавши оцінки (23) і (25), матимемо
2
)(
3
00
2
2,2
)))(())((( sup rT Ljj
jts
vsIusIvu
R
E ‖‖‖‖ B
dydxyxZCtdydxyxsb
rrrr tts
), , (sup), , (sup4 2
0
22
0 RRRR
;)( 22
1
222
,2,2 TT
vutvutcLctL n
n
BB ‖‖‖‖
dydxyxZCtdydxyxsbt
rrrr tts
), , (sup), , (sup4)( 2
0
22
0 RRRR
tcLctL n
n 1
222 (26)
для .}, { ,2 Tvu B
ВИСНОВКИ
Згідно з оцінкою (11)
4
1
5 K , тобто перший доданок у t у рівнянні (26)
менший за 1. Щодо наступних трьох доданків можна зауважити таке: за ра-
хунок вибору ],0[1 Tt їх сума може дорівнювати
16
3
. Отже, )1,0()( 1 t .
В.К. Ясинський, І.В. Юрченко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 2 114
Це означає, що оператор , визначений у просторі Банаха
1,2 tB , є стис-
кальним. А отже, згідно з теоремою Банаха [4] про стискальне відображення,
оператор має єдину фіксовану точку — м’який розв’язок
1,2 tu B задачі
(1), (2) на відрізку ],0[ 1t . Цю процедуру повторимо скінченну кількість разів
на додатних малих інтервалах ],[ 21 tt , ],[ 32 tt , …, ],[ 12 nn tt , ],[ 1 Ttn , які
в сумі дають відрізок ],0[ T , на якому розв’язується задача (1), (2).
У результаті розв’язок отримується як об’єднання розв’язків на цих малих
інтервалах. Отже, основне твердження доведено.
Ця робота має теоретичне значення, оскільки вона доводить існування
м’якого розв’язку НДСДРРНТ. В окремих випадках подібні рівняння є ма-
тематичними моделями реальних процесів, розгляд яких передбачається у
подальших роботах.
ЛІТЕРАТУРА
1. Андреева Е.А. Управление системами с последействием / Е.А. Андреева,
В.Б. Колмановский, Л.Е. Шайхет. — М.: Наука, 1992. — 333 с.
2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. — М.: Наука,
1977. — 352 с.
3. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их применение /
И.И. Гихман, А.В. Скороход. — К.: Наук. думка, 1980. — 612 с.
4. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения с частными произ-
водными: сб. науч. тр. / И.И. Гихман, А.В.Скороход. — К.: Ин-т математи-
ки АН УССР. — 1981. — С. 25–59.
5. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа /
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 541 с.
6. Перун Г.М. О стабилизации решений задачи Дирихле с разрывными траекто-
риями и оператором Бесселя / Г.М. Перун, В.К. Ясинский // Кибернетика и
вычислительная математика. — 1991. — № 83. — C.19–25.
7. Перун Г.М. Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в част-
ных производных / Г.М. Перун, В.К. Ясинский // Укр. мат. журн. — 1993.
— Т. 45, № 9. — C. 1773–1781.
8. Свердан М.Л. Стабилизация решений стохастических линейных уравнений в
частных производных при наличии пуассоновских возмущений /
М.Л. Свердан, Л.И. Ясинская, В.К. Ясинский // Кибернетика и вычисли-
тельная техника. — 1988. — №81. — С. 7–12.
9. Станжицкий А.Н. Существование и единственность решения задачи Коши для
стохастического дифференциального уравнения реакции-диффузии ней-
трального типа / А.Н. Станжицкий, А.О. Цуканова // Нелiнiйнi коливання.
— 2016. — Т. 19, № 3. — С. 408–430.
10. Tsukanova A.O. On existence and uniqueness of mild solution to the Cauchy prob-
lem for one neutral stochastic differential equation of reaction-diffusion type in
hilbert space / A.O. Tsukanova // Буковинський математичний журнал. —
2016. — Т. 4, № 3–4. — C. 179–189.
11. Tessitore G. Invariant Measures for Stochastic Heat Equations / G. Tessitore, J. Zabczyk
// Probability and Mathematical Statistics. — 1998. — 18. — P. 271–287.
12. Zabczyk J. Ergodicity for Infinite Dimensional Systems / J. Zabczyk, G. Da Prato //
Dynamic Systems and Applications. — Cambridge University Press. — 1996. —
449 p.
Надійшла 21.04.2017
|
| id | journaliasakpiua-article-108824 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:22:55Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/65/a9b82a05004d5c2aa01a2a1086a2ef65.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1088242018-03-30T15:35:30Z On existence of solution of the Cauchy problem for nonlinear diffusion stochastic partial differential-difference equations of neutral type with random external perturbations О существовании решения задачи Коши для нелинейного диффузионного стохастического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа в частных производных с учетом случайных внешних возмущений Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень Yasynskyy, V. K. Yurchenko, I. V. Cauchy problem stochastic partial differential equation existence of the solution random perturbations задача Коши стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных существование решения случайные возмущения задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення The question related to the existence of the Cauchy problem solution in the class of nonlinear diffusion stochastic partial differential-difference equations of a neutral type with random external disturbances which are independent from the Wiener process is considered. Sufficient conditions are obtained for the diffusion coefficients of nonlinear stochastic differential-difference equations of a neutral type (NDSDRRNT) that guarantee the existence of the solution with the probability of 1. The method of the proof is based on the results of O.M. Stanzhitsky and A.O. Tsukanova on the existence and uniqueness of the Cauchy problem solution for the stochastic differential reaction-diffusion equation of a neutral type. In this paper, we prove the existence of a "mild solution" of NDSDRRNT. In some cases, such equations are mathematical models of real processes, the consideration of which is planned in the future work. Рассмотрены вопросы существования решения задачи Коши в классе нелинейных диффузных стохастических дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа в частных производных с учетом случайных внешних возмущений, независимых от винеровского процесса. Получены достаточные условия на коэффициенты нелинейного диффузионного стохастического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа (НДСДРУНТ), которые гарантируют существование с вероятностью единица его решения. Методика доказательства базируется на результатах А.Н. Станжицкого и А.А. Цукановой о существовании и единственности решения задачи Коши для стохастического дифференциального уравнения реакции-диффузии нейтрального типа. Доказано существование "мягкого решения" НДСДРУНТ. В отдельных случаях подобные уравнения являются математическими моделями реальных процессов, которые предполагается рассматривать в дальнейших работах. Анотація. Розглянуто питання існування розв’язку задачі Коші в класі нелінійних дифузійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішніх збурень, незалежних від вінерівського процесу. Отримано достатні умови на коефіцієнти нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу (НДСДРРНТ), які гарантують існування з імовірністю одиниця його розв’язку. Методика доведення грунтується на результатах О.М. Станжицького та А.О. Цуканової щодо існування та єдиності розв’язку задачі Коші для стохастичного диференціального рівняння реакції-дифузії нейтрального типу. Доведено існування "м’якого розв’язку" НДСДРРНТ. В окремих випадках подібні рівняння є математичними моделями реальних процесів, які передбачається розглядати в подальших роботах. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-06-26 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108824 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.2.10 System research and information technologies; No. 2 (2017); 103-114 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2017); 103-114 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2017); 103-114 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108824/103735 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення Yasynskyy, V. K. Yurchenko, I. V. Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень |
| title | Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень |
| title_alt | On existence of solution of the Cauchy problem for nonlinear diffusion stochastic partial differential-difference equations of neutral type with random external perturbations О существовании решения задачи Коши для нелинейного диффузионного стохастического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа в частных производных с учетом случайных внешних возмущений |
| title_full | Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень |
| title_fullStr | Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень |
| title_full_unstemmed | Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень |
| title_short | Про існування розв’язку задачі Коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень |
| title_sort | про існування розв’язку задачі коші для нелінійного дифузійного стохастичного диференціально-різницевого рівняння нейтрального типу в частинних похідних з урахуванням випадкових зовнішних збурень |
| topic | задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення |
| topic_facet | Cauchy problem stochastic partial differential equation existence of the solution random perturbations задача Коши стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных существование решения случайные возмущения задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108824 |
| work_keys_str_mv | AT yasynskyyvk onexistenceofsolutionofthecauchyproblemfornonlineardiffusionstochasticpartialdifferentialdifferenceequationsofneutraltypewithrandomexternalperturbations AT yurchenkoiv onexistenceofsolutionofthecauchyproblemfornonlineardiffusionstochasticpartialdifferentialdifferenceequationsofneutraltypewithrandomexternalperturbations AT yasynskyyvk osuŝestvovaniirešeniâzadačikošidlânelinejnogodiffuzionnogostohastičeskogodifferencialʹnoraznostnogouravneniânejtralʹnogotipavčastnyhproizvodnyhsučetomslučajnyhvnešnihvozmuŝenij AT yurchenkoiv osuŝestvovaniirešeniâzadačikošidlânelinejnogodiffuzionnogostohastičeskogodifferencialʹnoraznostnogouravneniânejtralʹnogotipavčastnyhproizvodnyhsučetomslučajnyhvnešnihvozmuŝenij AT yasynskyyvk proísnuvannârozvâzkuzadačíkošídlânelíníjnogodifuzíjnogostohastičnogodiferencíalʹnoríznicevogorívnânnânejtralʹnogotipuvčastinnihpohídnihzurahuvannâmvipadkovihzovníšnihzburenʹ AT yurchenkoiv proísnuvannârozvâzkuzadačíkošídlânelíníjnogodifuzíjnogostohastičnogodiferencíalʹnoríznicevogorívnânnânejtralʹnogotipuvčastinnihpohídnihzurahuvannâmvipadkovihzovníšnihzburenʹ |