Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів
A model of dynamic intersector balance taking into account control of contamination is considered. The investigation of it has resulted in offering algorithms of calculation of the main values of capital, investments, non productive consumption, labour resources, gross output of basic products and p...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2008
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108914 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302110288576512 |
|---|---|
| author | Boichuk, М. V. Shmurygina, N. M. |
| author_facet | Boichuk, М. V. Shmurygina, N. M. |
| author_sort | Boichuk, М. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-11T11:07:52Z |
| description | A model of dynamic intersector balance taking into account control of contamination is considered. The investigation of it has resulted in offering algorithms of calculation of the main values of capital, investments, non productive consumption, labour resources, gross output of basic products and products of auxiliary production, eventual products, regional managements — values of investments, as well as points of switching of investment managements. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М.В. Бойчук, Н.М. Шмуригіна, 2008
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 119
519.863:338.3
ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ
З УРАХУВАННЯМ КОНТРОЛЮ НАД ЗАБРУДНЕННЯМ
БЕЗ ЛАГІВ
М.В. БОЙЧУК, Н.М. ШМУРИГІНА
Розглядається модель динамічного міжгалузевого балансу з урахуванням кон-
тролю над забрудненням. Проведено її дослідження, в результаті якого запро-
поновано алгоритми обчислення магістральних значень капіталу, інвестицій,
невиробничого споживання, трудових ресурсів, валового випуску основної
продукції та продукції допоміжного виробництва, кінцевої продукції, крайо-
вих керувань — значень інвестицій, а також точки перемикання керувань інве-
стиціями.
В кінці ХХ — на початку ХХІ ст. наука поступово почала переходити від
економічних та екологічних досліджень до проблем екологізації економіки.
Під цим поняттям розуміється залежність стабілізації екологічної ситуації
від ефективності впроваджуваних економічних рішень та їх адекватності
стійкому розвиткові економіки.
Проблеми екологізації економіки вимагають розробки нових методоло-
гічних засобів їх дослідження з метою створення практичного інструмента-
рію для оптимальних управлінських еколого-економічних рішень. Врахову-
ючи складність сучасної моделі природокористування, можна констатувати,
що її формальний опис, дослідження і в кінцевому результаті практичне
впровадження можливе лише при вдалому поєднанні методів системного
аналізу, синтезу і відповідної декомпозиції на конкретні еколого-економічні
моделі. Динамікою розвитку еколого-економічних систем можна керувати,
використовуючи математичні моделі та методи, що є важливим інструмен-
том економічного аналізу. Математичні моделі еколого-економічних систем
створюються для оптимального вирішення конкретних проблем і в них ма-
ють бути закладені реальні шляхи їх вирішення.
У даній роботі проводиться дослідження однієї з важливих з приклад-
ної точки зору економічних задач — моделювання оптимального розвитку
динамічної еколого-економічної системи з урахуванням контролю над
забрудненням. Процес описується моделлю економічної динаміки, в основу
якої покладено міжгалузевий динамічний баланс, а потужності галузей
описуються виробничими функціями.
Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над
забрудненням набуває вигляду [1, 2]
)1()2(
12
)1(
11
)1( YXAXAX ++= , )2()2(
22
)1(
21
)2( YXAXAX −+= ,
k
n
j
jkjk CIqY +=∑
=1
)1( ,
kkkk KIK µ−= , 0)0( kk KK = , },...,1{ nk ∈ , )2(
2
)1(
1 XBXBI += ,
М.В. Бойчук, Н.М. Шмуригіна
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 120
)1(
0
)1( )0( kk XX = , 0)1( ≥kX , },...,1{ nk ∈ ,
)2(
0
)2( )0( kk XX = , 0)2( ≥kX , },...,1{ mk∈ ,
NL
n
k
k ≤∑
=1
, ),,(0 )1(
kkkk LKtFX ≤≤ ,
0≥kI , 0≥kK , min
kk CC ≥ , },...,1{ nk ∈ , (1)
де )1(,)1( ×nX — вектор-стовпець валового випуску основної продукції;
)1(,)2( ×mX — вектор-стовпець знищених забруднювачів (продукції допо-
міжного виробництва); )(),( 11
11 nnaA kj ×= — матриця матеріальних витрат
продукції k на випуск одиниці продукції j ; )( 12
12 kjaA = , )( mn× — матриця
витрат продукції k на знищення одиниці забруднювачів j ; )( 1
1 kjbB = ,
)( nn× — матриця коефіцієнтів капіталоємності приростів основного вироб-
ництва; )( 2
2 kjbB = , )( mn× — матриця коефіцієнтів капіталоємності прирос-
тів допоміжного виробництва; )( 21
21 kjaA = , )( nm× — матриця випуску за-
бруднювачів k під час випуску одиниці продукції j ; )( 22
22 kjaA = ,
)( mm× — матриця випуску забруднювачів k під час знищення одиниці за-
бруднювачів j ; )1(Y , )1( ×n — вектор-стовпець кінцевої продукції; )2(Y ,
)1( ×m — сталий заданий вектор-стовпець об’ємів незнищених забруднюва-
чів; I , )1( ×n — вектор-стовпець інвестицій; )( kjqQ = , )( nn× — матриця
чистих капіталовкладень у основне виробництво; C — невиробниче спожи-
вання; K — основні виробничі фонди; L — трудові ресурси; µ — норми
амортизації капіталів.
Перші три рівності описують динамічний міжгалузевий баланс з ураху-
ванням контролю над забрудненням, четверта — рух капіталу. В третьому
рядку задаються початкові умови на випуск продукції та знищені забрудню-
вачі. Нерівності в четвертому рядку означають обмеженість на сумарну ро-
бочу силу галузей, валову продукцію )1(
kX , інвестиції kI , невиробниче спо-
живання kC та капітал kK . Функції kF є виробничими функціями кожної
галузі [3].
Задача полягає в тому, щоб знайти такий процес { )(),( )2()1( tXtX=π ,
}0),(),(),(),()1( ≥ttCtItKtY , який би задовольняв умови (1) і був оптималь-
ним щодо функціоналу
M
t dtCtgeR
∈
∞
− →= ∫ π
δπ max),()(
0
, (2)
де M — множина процесів, які допускають виконання умов (1); δ — нор-
ма дисконтинування.
Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 121
На функцію корисностей g накладають такі вимоги: двічі неперервно-
диференційована по C та неперервна по 0≥t , монотонно зростаюча по C ,
угнута по C , ∞=
∂
∂
→ C
g
C 0
lim , 0lim =
∂
∂
∞→ C
g
C
.
В задачі (1), (2) фазовою траєкторією виступає стан капіталів
),...,( 1 nKKK = , а керування має зміст розподілу інвестицій і робочої сили
між галузями, кінцевого випуску продукції між інвестиціями та споживан-
ням, завантаженістю галузей і робочої сили, а також експорту та імпорту в
допустимих квотах.
Матриця структури капіталовкладень Q невід’ємна, причому 0>kjq
при всіх sk > , },...,1{ nj∈ . Галузі з номерами sk ≤ такі, що для кожного
sk ≤ існує хоча б одне j , при якому 0>kjq , називаються фондоутворюю-
чими. Для кожної галузі j знайдеться фондоутворююча галузь k така, що
0>kjq , причому 1
1
=∑
=
n
k
kjq для всіх },...,1{ nj∈ .
У задачі (1), (2) роль стану відіграє вектор капіталу ),...,( 1 nKKK = , а
інші змінні CLIYXX ,,,,, )1()2()1( — компоненти вектора керування.
З другого рівняння (1) виразимо )2(X і підставимо в перше і четверте
рівняння, отримаємо
)2(
11
)1(
1
)1()1(
j
m
j
kjk
n
j
jkj
n
j
jkjk YuCXzXwX ∑∑∑
===
−++= ,
kkj
n
j
kjk KXdK µ−=∑
=
)1(
1
, },...,1{ nk∈ , (3)
де матриці 21
1
2221 )( AAEQBQBZ −−+= , 1
2212 )( −−= AEAU , 21UAR = ,
RAW += 11 , 21
1
2221 )( AAEBBD −−+= .
Згідно з достатніми умовами оптимальності [2, с. 382–385] оптимізуємо
дві функції.
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
∂
∂
=∑ ∑
= =
n
k
j
n
j
kjkk
k
XdK
K
KtXCXKtR
1
1
1
11 ),(),,,,( µϕ
max,),(),( →
∂
∂
++ −
t
KtCtge t ϕδ ),(minlim
0
Kt
Kt
ϕ
≥∞→
.
Функцію ϕ будемо шукати у вигляді
∑
=
=
n
k
kk KtKt
1
)(),( ψϕ ,
де невідомі функції kψ є кусково-диференційованими функціями при 0≥t .
За допомогою методу множників Лагранжа та враховуючи вигляд функції
ϕ маємо
М.В. Бойчук, Н.М. Шмуригіна
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 122
∑
=
+−=
n
k
kkkk KR
1
][
~
ψµψ
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+ ∑ ∑∑∑ ∑
= === =
1
1 111
1
1
k
n
k
n
j
jjkj
n
j
jk
n
k
k
n
j
jjkk XzdXw λψλλ
max}),({
11
→⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−+ ∑∑
==
−
n
k
k
n
k
kk
t LNCCtge γλδ , (4)
0)(minlim
0
=
≥∞→
kk
Kt
Kt
k
ψ , },...,1{ nk∈∀ . (5)
Умови (5) є узагальненими для достатніх умов оптимальності на ви-
падок нескінченного проміжку часу. Тут )0( ≥tkλ , )0( ≥tγ — відповідні
множники Лагранжа, які є кусково-неперервними функціями. Введемо по-
значення
∑
=
− −=
n
k
kk
t CCtgeCtG
1
),(),( λδ , ∑
=
−=
n
j
jjkkk wh
1
λλ , ∑∑
==
−=
n
j
jjkj
n
j
jkk zd
11
λψω ,
kkkkP ψµψ +−= , kkkkkk LXhKPLXKtR γ−+−= )1()1( ),,,( . (6)
Тоді
)2(
111
)1()1(
1
),(),,,(
~
j
m
j
kj
n
k
k
n
k
kkk
n
k
YuNCtGXLXKtRR ∑∑∑∑
====
++++= λγω .
Задача (4) набуває вигляду в нових позначеннях
0,0
),,,(0
)1(
)1(
max),,,(
≥≥
≤≤
→
kk
kk
LK
LKtFX
k LXKtR ,
min
max),(
kk CC
CtG
≥
→ , (7)
0max )1(
0)1(
=
≥
kk
X
Xω , tk,∀ . (8)
Пошук оптимального режиму економічного розвитку зводиться до мак-
симізації функцій ),,,( )1( LXKtRk і ),( CtG та підбору таких множників
)(),(),( ttt kk γλψ , щоб цей процес M∈π виявився допустимим. Множники
γλψ ,, kk є дисконтованими до початку моменту внутрішніх цін. Зміст по-
точних цін мають величини
t
kk ett δψψ )()( = , t
kk ett δλλ )()( = , tett δγγ )()( = .
Режим розвитку економіки, визначений (7), (8), назвемо оптимальним
при даних цінах. Він відповідає максимуму всіх видів прибутку в кожний
момент часу. Ціни Π∈= ),,( γλψζ назвемо допустимими. Оптимальний при
даних цінах план π може не задовольняти умови зв’язку моделі (1) (перші
два рядки), тобто може бути не збалансованим. Тому для виконання достат-
Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 123
ніх умов оптимальності підбір цін повинен збалансовувати оптимальний
при даних цінах план π .
Згідно із (7) споживання )0( ≥tC забезпечує максимум ),( CtG . Необ-
хідною умовою існування цього максимуму є невід’ємність вектора )(tλ
при кожному 0≥t . Якщо корисність лінійна ∑
=
=
n
k
kk Cg
1
θ , то внутрішні по-
точні ціни не нижче за зовнішні: kk θλ ≥ , },...,1{ nk∈ . Якщо min
kk CC > , то
поточна ціна даного продукту дорівнює граничній корисності
k
k C
Ctg
∂
∂
=
),(
λ .
Якщо
k
k C
Ctg
∂
∂
>
),(
λ , то min
kk CC = . У частинному випадку ∑
=
=
n
k
kk Cg
1
θ зна-
чення min
kk CC > можливі тільки при такому lk = , що 1max ==
k
k
kl
l
λ
θ
λ
θ
. Га-
лузь l є єдиною. Така лінійна залежність характерна тільки для відносно
малого регіону, випуск якого kC не впливає на міжнародні ціни.
Згідно із (7) оптимальний продукт галузі )1(
kX , капітал kK та робоча
сила kL повинні забезпечувати максимум прибутку kR . А це можливо при
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
<
>
=
.0якщовизначено,не
,0якщо,0
,0якщо),,,(
)1(
k
k
kkkk
k
h
h
hLKtF
X (9)
Позначимо
kkkkkkkk
LKtFX
k LKPLKtFhRR
kkkk
γ−−==
≤≤
),,(max
~
),,(0 )1(
. (10)
Враховуючи лінійну однорідність виробничих функцій kF , запишемо
kkkk LktrR ),(~~
= ,
де kkk LKk = — фондоозброєність; γ−−= kkkkkkk kPktfhktr ),(),(~ — ви-
робничий прибуток галузі за одиницю праці. Оскільки 0>kL для всіх k та
t , отримаємо необхідні та достатні умови максимуму kR
~
по kK та kL
),(~max)ˆ,(~
kk
k
kk ktrktr = (11)
для всіх k та t . Для існування такого kk̂ необхідно, щоб 0>kP , 0>γ для
всіх k та t . Якщо 0>kh та 0),( >kk ktf , 0>kP , 0>γ , то існує 0ˆ >kk .
Вектор ),...,( 1 nhhH = виражається через вектор ),...,( 1 nλλλ = матри-
чною формулою
λ)( TWEH −= . (12)
М.В. Бойчук, Н.М. Шмуригіна
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 124
Вимагаємо, щоб матриця )( TWE − була продуктивна і нерозкладна.
Із (9) згідно з (11) випливає повна загруженість галузей на оптималь-
ному режимі
),,()1(
kkkk LKtFX = , },...,1{ nk∈ ; 0≥t .
На основі властивості обмеженості на сумарну робочу силу маємо
)()(
1
tNtL
n
k
k =∑
=
, 0≥t . (13)
Використовуючи (10), одержуємо
γ=
∂
∂
k
kkk
k L
LKtF
h
),,(
, k
k
kkk
k P
K
LKtF
h =
∂
∂ ),,(
для всіх k та 0≥t . Це означає, що чистий граничний прибуток з одиниці
праці однаковий для всіх галузей і повинен співпадати з ціною праці, а з
одиниці фондів — з ціною їх зношення. Якщо
kk
kk
kk KF
LF
kt
∂∂
∂∂
=),(η ,
γkk PP =
~
, то 1),(
~
=kkk ktP η , тобто оптимальна фондоозброєність залежить
тільки від відношення ціни зношення фондів до ціни праці kP
~
.
Для виробничої функції Кобба–Дугласа kkk
kk
t
kk LKeaF βασ )()(= має-
мо
k
k
k
kk kkt
α
β
η =),( , 1)
~
( −= k
k
k
k Pk
β
α
. (14)
Позначивши γkk hh =
~
, γλλ kk =
~
з (12), одержимо
HWE T ~
)(
~ 1−−=λ ,
1
),,(~
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
k
kkk
k L
LKtF
h , },...,1{ nk∈ , (15)
тобто відносні ціни всіх галузей залежать від відносних цін зношення
фондів.
Максимум (8) по )1(
kX знаходиться за умови −=∑
=
j
n
j
jkk d ψω
1
0
1
≤−∑
=
n
j
jjkz λ .
Тоді
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−>
<−
=
∑∑
∑∑
==
==
.0якщо,0
,0якщо,0
11
11)1(
n
j
jjkj
n
j
jk
n
j
jjkj
n
j
jk
k
zd
zd
X
λψ
λψ
Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 125
Назвемо k -ту галузь такою, що розвивається в момент часу t , якщо
0)()1( >tX k , і такою, що не розвивається, якщо 0)()1( =tX k . У разі, коли всі
галузі розвиваються,
λλψ TTT QZD == −1)( ,
тобто ціни фондів всіх n галузей залежать від ціни фондоутворюючих про-
дуктів jλ , },...,1{ sj∈ . Ціни зношення з урахуванням (6) та фондоозброєно-
сті галузей kk в цьому випадку також залежать від цін фондів та праці.
)
~
(
~
1
jjk
n
j
jkk qP νλµ −=∑
=
,
γ
λ
ν j
j = , },...,1{ nk∈ , },...,1{ sj∈ . (16)
Перші s рівнянь (15) при заданих jλ , },...,1{ sj∈ утворюють замкнену не-
лінійну систему з s невідомими jν . Розв’язавши цю систему, для цін фон-
доутворюючих продуктів jλ , },...,1{ sj∈ , одержимо задачу Коші
),...,(~
1 γλγλνγλ sjj = , },...,1{ sj∈ , 0)0( jj λλ = ,
яку при заданих цінах праці )0( ≥tγ можна розв’язати.
Якщо відомі ціни фондоутворюючих продуктів )(tkλ , sk ≤ , ціна праці
)(tγ , 0≥t , то з (16) знаходимо ціни зношення kP
~
, },...,1{ nk∈ , з (14) —
магістральні фондоозброєності )0(mag ≥tkk , з (15) — ціни
нефондоутворюючих продуктів kλ , sk > . Таким чином, ціни всіх продуктів
і фондів )(),( tt kk ψλ , 0≥t , а також магістральні фондоозброєності
)0(mag ≥tkk залежать від ціни праці )(tγ та початкових значень цін
фондоутворюючих продуктів )0(kλ , },...,1{ sk∈ .
Говорити про конкретні особливості оптимальної траєкторії можна
тільки при достатньо конкретних припущеннях про явну залежність вхідних
змінних від часу. Будемо орієнтуватися на випадок сталих і не залежних яв-
но від часу матриць 2122211211 ,,,,,, BBQAAAA , виробничих функцій kF та
корисності g , приймаючи до уваги, що виявлені для даного випадку особ-
ливості зберігаються і при відхиленні в помірних межах від цін припущень.
Задамо t
kk e δλλ −= 0 , },...,1{ nk∈ ; te δγγ −= 0 ,
де 00 , γλk — константи, які треба визначити. Тоді
0
0~
γ
λ
λ k
k = , jk
n
j
jkk qP λδµ
~
)(
~
1
+=∑
=
,
і система (15) при },...,1{ sk∈ представляє собою нелінійну систему рівнянь
з s невідомими kλ
~
, },...,1{ sk∈ . Позначимо її розв’язок *~
λ . Тоді *~
kP , *
kk
відповідні цьому розв’язку значення з врахуванням рівності (14). Значення
змінних jλ
~
, },...,1{ nsj +∈ обчислюємо за формулою (15).
М.В. Бойчук, Н.М. Шмуригіна
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 126
Знайдено деяку допустиму систему цін ψγλ ,, , визначену з точністю
константи 0γ , якій відповідає сталий вектор оптимальної фондоозброєності k .
Із умови const=kK випливає згідно з четвертим рівнянням (1)
kkj
n
j
kjk KXdI µ==∑
=
1
1
.
Враховуючи, що kkk LkK = із (3) та (13), отримаємо
∑∑∑
===
−+=−
m
j
jkjkjjj
n
j
kjjjj
n
j
kj YuCLkqLkfWE
1
)2(
`11
)()( µ , },...,1{ nk∈ ,
NL
n
j
j =∑
=1
. (17)
Нехай k
n
k
k CCg ∑
=
=
1
)( θ . Знайдемо
** ~max~
k
k
kl
l
λ
θ
λ
θ
= і задамо
*~
l
l
λ
θ
γ = . Це
означає, що ll θλ = та kk θλ >* , lk ≠ , тобто min*
kk CC = , lk ≠ , а lC не визна-
чено. Підставляючи ці значення в (17), отримаємо систему )1( +n лінійних
рівнянь відносно )1( +n невідомих lk CL , . Вважаємо, що існує розв’язок
даної системи: 0* >kL , min*
ll CC ≥ . Внаслідок продуктивності та нерозкладу-
ваності матриці )( WE− цей розв’язок існує. Отриманий розв’язок *
kk , *
kC ,
*
kL , ***
kkk LkK = , **
kkk KI µ= , ***)1( )( kkk LkfX = , ×−= −1
22
*)2( )( AEX
}{ )2(*)1(
21 YXA −× , *1*)1( )( IDX −= , *)1(
21
1
22
*)2( )( XAAEX −−= представляє
собою шуканий план.
Якщо вхідні показники залежать від часу, то стаціонарний режим від-
сутній, але існує деякий його аналог, що представляє собою врівноважений
розвиток, обумовлений екзогенною зміною вхідної інформації. Такі показ-
ники стаціонарного режиму, як ціни та фондоозброєності галузей kk , не за-
лежать від вибору функції корисності )(Cg , що співпадає з трудовою теорі-
єю вартості.
Ліві крайові траєкторії знаходяться з таких задач Коші:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈=
−=
}.,...,1{,)0(
,
0 nkKK
KIK
kk
kkkk µ
Розв’язавши їх, отримаємо
t
k
k
k
k
k
k
ke
I
K
I
tK µ
µµ
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+= 0)( , },...,1{ nk∈ .
Перетин відповідних компонент лівої крайової траєкторії з відповідни-
ми компонентами магістралі дає точку перемикання τ . Її можна визначити
із задачі математичного програмування
Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням ...
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 3 127
τmin , *
mag
0
*
mag
1
)(
0 k
kkk I
e
eKK
k
k
≤
−
−
≤
−
−
τµ
τµµ
, 0≥τ ,
де
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
= ,,
,,
mag0mag
mag
0
mag0mag
*
mag
kkk
k
k
kkk
k KKI
K
K
KKI
I
⎩
⎨
⎧
>+
≤−
=
.),1(
,),1(
mag0mag
mag0mag*
mag
kkkk
kkkk
k KKK
KKK
K
ε
ε
Оскільки кожна компонента лівої крайової траєкторії )(tKk при пря-
муванні t до безмежності наближається знизу при mag0 kk KK ≤ або зверху
при mag0 kk KK > до відповідної компоненти магістралі magkK і їх не пере-
тинає, то введені досить малі додатні величини kε , щоб ліва крайова траєк-
торія перетинала )1(mag kkK ε− при mag0 kk KK ≤ або )1(mag kkK ε+ при
mag0 kk KK > .
Після знаходження точки перемикання τ можна знайти компоненту лі-
вого керування за формулою
τµ
τµµ
k
k
e
eKK
I kkk
kl −
−
−
−
=
1
)( 0
*
mag .
Опишемо послідовність розв’язання задачі.
1. Знаходимо стаціонарний режим ** ,πς .
2. Визначаємо ліву крайову траєкторію.
3. Знаходимо лівий момент перемикання керувань.
4. Обчислюємо ліве керування.
Проведено дослідження еколого-економічної системи при таких даних:
3=n , 2=m , 07,01 =µ , 06,02 =µ , 05,03 =µ ; 5,11 =θ , 8,02 =θ , 13 =θ ;
05,0=δ ; 1=s ; 50=N ;
2/1
1
2/1
1111 )()(10),( LKLKF = , 3/2
2
3/1
2222 )()(12),( LKLKF = ,
4/3
3
4/1
3333 )()(15),( LKLKF = ;
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
54,006,092,0
226,003,002,0
096,05,0403,0
11A ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
59,09,0
25,009,0
007,003,0
12A ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
4,08,006,0
3,009,008,0
005,004,003,0
1B ,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
6,007,0
34,01,0
01,009,0
2B ;
М.В. Бойчук, Н.М. Шмуригіна
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 3 128
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
000
000
111
Q ; ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
004,0003,0006,0
008,0007,0002,0
21A , ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
01,067,0
55,001,0
22A ; ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1)2(Y ;
26010 =K , 18020 =K , 52530 =K ; 1710 =V , 1020 =V , 2830 =V ;
10min1 =C , 15min2 =C , 20min3 =C .
У результаті розрахунку одержали оптимальний план:
• ціни зношення 025,0
~
1 =P ; 021,0
~
2 =P ; 023,0
~
3 =P ;
• ціни продуктів 618,1
~
1 =λ ; 965,0
~
2 =λ ; 974,0
~
3 =λ ;
• надлишкова галузь 3=l ;
• початкове значення ціни праці 027,10 =γ ;
• початкові значення цін продуктів 662,110 =λ ; 991,020 =λ ; 130 =λ ;
• трудові ресурси 678,61 =L ; 062,82 =L ; 26,353 =L ;
• невиробниче споживання 101 =C ; 152 =C ; 433,423 =C ;
• капітал 235,2651 =K ; 386,1862 =K ; 146,5203 =K ;
• валовий випуск основної продукції 867,420)1(
1 =X ; 734,272)1(
2 =X ;
1037)1(
3 =X ;
• знищені забруднювачі 193,21)2(
1 =X ; 888,19)2(
2 =X ;
• кінцева продукція 609,14)1(
1 =Y ; 15)1(
2 =Y ; 433,42)1(
3 =Y ;
• інвестиції 485,11 =I ; 783,02 =I ; 341,23 =I ;
• прирости валової продукції 958,43)1(
1 =X ; 859,4)1(
2 =X , 0)1(
3 =X ;
• прирости знищених забруднювачів 264,0)2(
1 =X ; 415,0)2(
2 =X ;
• лівий момент перемикання 2,2=τ ;
• ліве керування за інвестиціями 00338,01 =lI ; 394,02 =lI ; =lI3
727,1= .
Економічне обґрунтування отриманих результатів: спочатку на часово-
му проміжку )2,2;0( перша галузь виробництва вкладає 85,458% капіталу на
споживання і 14,542% на накопичення відносно кінцевої продукції, а друга і
третя галузі весь свій капітал вкладають на споживання. Накопичення капі-
талу немає. Починаючи з моменту перемикання 2,2=τ , розвиток усіх галу-
зей іде за магістральним режимом.
ЛІТЕРАТУРА
1. Ляшенко І.М. Економіко-математичні методи та моделі сталого розвитку. —
Київ: Вища шк., 1999. — 236 с.
2. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. — М.: Зна-
ние, 1990. — 430 с.
3. Колемаев В.А. Математическая экономика. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 240 с.
Надійшла 07.12.2006
|
| id | journaliasakpiua-article-108914 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:01Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/07/5002f6a07ffd81c9b1e85c47b2c15507.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1089142018-04-11T11:07:52Z Dynamic model of intersector balance taking into account control of contamination without lags Динамическая модель межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением без лагов Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів Boichuk, М. V. Shmurygina, N. M. A model of dynamic intersector balance taking into account control of contamination is considered. The investigation of it has resulted in offering algorithms of calculation of the main values of capital, investments, non productive consumption, labour resources, gross output of basic products and products of auxiliary production, eventual products, regional managements — values of investments, as well as points of switching of investment managements. Рассматривается модель динамического межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением. Проведено ее исследование, в результате которого предложены алгоритмы вычисления магистральных значений капитала, инвестиций, непроизводственного потребления, трудовых ресурсов, валового выпуска основной продукции и продукции вспомогательного производства, конечной продукции, краевых управлений — значений инвестиций, а также точки переключения управлений инвестициями. Розглядається модель динамічного міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням. Проведено її дослідження, в результаті якого запропоновано алгоритми обчислення магістральних значень капіталу, інвестицій, невиробничого споживання, трудових ресурсів, валового випуску основної продукції та продукції допоміжного виробництва, кінцевої продукції, крайових керувань — значень інвестицій, а також точки перемикання керувань інвестиціями. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2008-09-22 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108914 System research and information technologies; No. 3 (2008); 119-128 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2008); 119-128 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2008); 119-128 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108914/103830 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Boichuk, М. V. Shmurygina, N. M. Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів |
| title | Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів |
| title_alt | Dynamic model of intersector balance taking into account control of contamination without lags Динамическая модель межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением без лагов |
| title_full | Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів |
| title_fullStr | Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів |
| title_full_unstemmed | Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів |
| title_short | Динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів |
| title_sort | динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням контролю над забрудненням без лагів |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/108914 |
| work_keys_str_mv | AT boichukmv dynamicmodelofintersectorbalancetakingintoaccountcontrolofcontaminationwithoutlags AT shmuryginanm dynamicmodelofintersectorbalancetakingintoaccountcontrolofcontaminationwithoutlags AT boichukmv dinamičeskaâmodelʹmežotraslevogobalansasučetomkontrolânadzagrâzneniembezlagov AT shmuryginanm dinamičeskaâmodelʹmežotraslevogobalansasučetomkontrolânadzagrâzneniembezlagov AT boichukmv dinamíčnamodelʹmížgaluzevogobalansuzurahuvannâmkontrolûnadzabrudnennâmbezlagív AT shmuryginanm dinamíčnamodelʹmížgaluzevogobalansuzurahuvannâmkontrolûnadzabrudnennâmbezlagív |