Системи з передісторією та функціональна живучість
Systems with prehistory are investigated and their most general description in the form of functional-differential inclusions is presented. The optimization problems with functional-differential inclusions and their applications to modeling viability properties are considered.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2017
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109777 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302130969640960 |
|---|---|
| author | Yakovleva, A. P. |
| author_facet | Yakovleva, A. P. |
| author_sort | Yakovleva, A. P. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-11T11:06:06Z |
| description | Systems with prehistory are investigated and their most general description in the form of functional-differential inclusions is presented. The optimization problems with functional-differential inclusions and their applications to modeling viability properties are considered. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.П. Яковлева, 2008
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 93
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 518.9
СИСТЕМЫ С ПРЕДЫСТОРИЕЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ
ЖИВУЧЕСТЬ
А.П. ЯКОВЛЕВА
Исследуются системы с предысторией. Дано их наиболее общее описание в
виде функционально-дифференциальных включений. Рассматриваются опти-
мизационные задачи на основе таких включений и применение этих систем
при моделировании свойств живучести.
ВВЕДЕНИЕ
Отметим три направления исследований проблемы живучести для систем,
динамика которых описывается функционально-дифференциальными вклю-
чениями.
1. Распространение теории необходимых условий оптимальности на
сложные объекты, представляющие собой системы с предысторией. В этих
объектах будущее определяется не только состоянием системы в настоящий
момент времени, но и историей ее развития в прошлом — предысторией,
что улучшает качество управления и тем самым повышает надежность
функционирования динамических систем.
2. Изучение систем, динамика которых описывается дифференциаль-
ными, а также функционально-дифференциальными включениями. К диф-
ференциальным включениям (или дифференциальным уравнениям с много-
значной правой частью) сводятся различные задачи управления: с обратной
связью, дифференциальных игр, дифференциальных уравнений с разрывной
правой частью, а также задачи исследования динамических систем в усло-
виях неопределенности и т.д. Дифференциальное включение обобщает за-
дачу управления.
3. Выяснение условий относительно многозначных отображений, ха-
рактеризующих динамику системы и трубку живучести, при которых для
любого начального состояния системы существует хотя бы одна живучая
траектория. Техника, разработанная для обычных задач живучести, приме-
няется к задачам функциональной живучести для дифференциальных вклю-
чений с памятью. Указанное свойство системы моделируется на основе тео-
рии функционально-дифференциальных включений.
А.П. Яковлева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 94
СИСТЕМЫ С ПРЕДЫСТОРИЕЙ
При изучении систем с предысторией во многих случаях возникает оптими-
зационная задача, в которой одним из ограничений является дифференци-
альное включение с последствием. Это задачи планирования в экономике,
эволюционные задачи в биологии, задачи теории управления, где правая
часть — множество возможных скоростей системы, зависящее от прошлой
истории, представленной некоторой функцией, и от управления из множест-
ва управлений.
Системы с предысторией достаточно детально изучены. Наблюдая яв-
ления некоторый период времени, важно определить, что произойдет с раз-
вивающейся системой в дальнейшем. Для этого нужно принимать во внима-
ние тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит не
только от их состояния в настоящий момент, но и от их предыстории. Нуж-
но также рационально воздействовать на те процессы и явления, которыми
мы можем в определенных пределах управлять. Системы с предысторией
описываются дифференциальными включениями с последствием или, при
более общем подходе, функционально-дифференциальными включениями.
ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВКЛЮЧЕНИЙ С ПОСЛЕДСТВИЕМ
Рассмотрим следующее дифференциальное включение с последствием:
[ ] .const,2:,,
,))(),(,()(
10 =→××∈
−∈
τ
τ
nRnn RRRFttt
txtxtF
dt
tdx
(1)
Решением включения (1) с непрерывной начальной функцией
[ ] nRtt →− 00 ,: τϕ является такая непрерывная функция [ ] nRttx →− 10 ,: τ ,
что
1) x абсолютно непрерывна на [ ]10,tt и почти всюду выполняется
включение (1);
2) ],[),()( 00 tttttx τϕ −∈= .
Обозначим ),( τCFR множество решений включения (1) с начальной
функцией ϕ , если )()( tCt τϕ ∈ при всех ],[ 00 ttt τ−∈ , где
nRRtC 2:)( →τ —
некоторое многозначное отображение.
А теперь рассмотрим оптимизационную задачу
)},(:))((min{ 1 τCFRxtxf ∈ . (2)
В дальнейшем принимаем, что функция RRf n →: удовлетворяет ус-
ловию Липшица, многозначные отображения F , τC измеримы по t и ком-
пактнозначны, F удовлетворяет условию Липшица с суммируемой функ-
цией τCtl ),( полунепрерывно сверху зависит от t .
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 95
При исследовании оптимизационных задач с дифференциальными
включениями стандартного вида обычно накладывались различные допол-
нительные предположения типа гладкости и выпуклости на входящие функ-
ции и множества (условия наличия локальных шатров или выпуклости
графика, липшицевой производной от опорной функции правой части, не-
проверяемых избыточных условий) [1, 2]. В некоторых работах исследова-
лись задачи оптимизации с дифференциальными включениями без предпо-
ложений о гладкости и выпуклости [3–6]. Применялся прямой метод
вариаций Л.С. Понтрягина для случая управляемых систем с дифференци-
альными включениями. Использование дифференцирования множества ре-
шений дифференциального включения по начальным данным позволяет пе-
рейти к более простому включению в вариациях [7–9]. Как важный элемент
в исследованиях использовался метод дифференцирования многозначных
отображений. Данные результаты были получены с применением указанно-
го метода для случая включений с последействием [8–10].
При дифференцировании многозначных отображений применяется ме-
тод, согласно которому график многозначного отображения F приближается
касательным конусом, который считается графиком другого многозначного
отображения F ′ , играющего роль производной. В зависимости от того, с
помощью какого именно предела вводится касательный конус, используется
та или иная терминология. Напомним некоторые определения касательных
конусов и производных.
Пусть YXYXZ ,,×= — нормированные пространства. Множества
AXBA ;, ⊂ — замыкание множества AA int; — внутренность множества
};{inf),(; AbbaAadA ∈−= — расстояние от точки a до множества
}1:{; ≤∈= zZzSA z — единичный замкнутый шар в ),(; BAZ ρ — хаус-
дорфово расстояние между множествами BA, .
)},(sup),,(sup{max),( AbdBadBA
BbAa ∈∈
=ρ .
Определение 1. Касательным конусом );( aATT к множеству A в точке
Aa∈ называется множество
∩∪∩
δπδε
επ
<<
−
>>
+−=
0
1
00
))(();( SaAaATT .
Определение 2. Асимптотическим касательным конусом );( aATA к
множеству ZA ⊂ в точке Aa∈ называется множество
);();();( aATaATaAT TTA
∗−= ,
где }:{ ABxxBA ⊂+=−∗ .
Определенные выше конусы замкнуты, а конус );( aATA — выпуклый.
Справедливо включение );();( aATaAT TA ⊂ .
Определение 3. Производной многозначного отображения F в точке
Fz rg∈ по направлению x называется множество
А.П. Яковлева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 96
)};rg(),(:{)()( zFTyxyxzDF T∈= . (3)
Определение 4. Производной функции RXf →: в точке fx dom0 ∈
по направлению x называется число
)))}(,(;epi(),(:{inf))(( 000 xfxfTxRxxDf T∈∈= αα .
Определение 5. Субдифференциалом функции f в точке fx dom0 ∈
называется множество
}))((,:{)( 00 XxxxDfxxxxf ∈∀≤∗∗=∂ . (4)
Теорема 1. Пусть при сделанных выше предположениях функция x~
является решением задачи (4). Тогда существуют такие абсолютно непре-
рывные функции ρ и 1ρ , что
1) ;0)()),(~()( 1111 =−∂∈ ttxft ρρ
2) ))(~),(gr())(),(),(( 1 tztFTttt ∗∈ρρρ , п. в. 1 1[ , ]t t tτ∈ − ;
))(~),(gr())()(),(),(( 11 tztFTtttt ∗−∈++ τρρρρ , п. в. 0 1[ , ]t t t τ∈ − ;
3) )()()),();(()()),();(()( 11 τρρϕρϕρ ττ +=−∈− ∗∗ ttttCTtttCTt ,
п. в. 0 0[ , ], ( ) ( ( ), ( ), ( ))t t t z t x t x t x tτ τ∈ − = − ,
где ∗T обозначается конус, сопряженный к конусу T ; T — любой выпук-
лый замкнутый конус, удовлетворяющий включению
],[)),(~;gr())(~;gr( 10 ttttzFTtzFT T ∈⊂ ,
],[)),(;())(;( 00 ttttCTtCT T τϕϕ ττ −∈⊂ ;
)(tT — измеримое многозначное отображение.
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ И
ЖИВУЧЕСТЬ
Свойством живучести обладают в той или иной степени все системы со
сложной структурой. Именно живучесть позволяет системе сохраняться в
экстремальных условиях, разрушающих ее структуру, целостность, ведущих
к потере цели функционирования [11]. Сравнительный анализ известных
работ показал отсутствие единого подхода к разрешению проблемы живуче-
сти сложных технических систем. Как правило, в каждой практической
задаче применяется свой подход, базирующийся на общих принципах спо-
собности объекта к реконструкции в процессе функционирования. Разрабо-
танные математические аппараты исследований поведения так называемых
живучих траекторий отражают некоторые аспекты понятия живучести тех-
нических систем. Такие траектории хорошо описываются в рамках теории
дифференциальных игр и теории дифференциальных включений. В некото-
рых работах рассматриваются общие физические и математические свой-
ства живучести как технических, так и информационных систем, изучаются
свойства живучих траекторий [12–15].
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 97
Понятие живучести траекторий дифференциального включения опре-
деленным образом соответствует известному в технике понятию «живу-
честь», связанному с надежностью функционирования технических систем.
Траектории динамических систем являются живучими, если удовлетворяют
некоторым ограничениям, которые называются ограничениями живучести.
Они возникают из сущности изучаемой системы. Такими ограничениями
могут быть, например, соотношение баланса между наличием некоторых
ресурсов и их использованием.
Рассмотрим динамическую систему, скорость изменения которой зави-
сит от текущего состояния системы многозначным образом. Математически
это выражается с помощью дифференциального включения вида
0( ) ( , ( )), (0) , [0, )x t a t x t x x t∈ = ∈ ∞ ,
где a — многозначное отображение; ),0[,2: ∞=→× CXXRa x .
Дифференциальное включение обобщает задачу управления, если по-
ложить ),,(),( Uxtfxta = , где f — некоторая функция; U — множество
значений управления u . Задается некоторое многозначное отображение
xRP 2: → , называемое трубкой живучести, которое определяет ограниче-
ния живучести в том смысле, что живучими будут считаться траектории,
попадающие в многозначное отображение xRP 2: → , 0),()( ≥∈ ttPtx .
Ставится следующая задача: выяснить, при каких условиях относи-
тельно многозначных отображений a и P для любых )0(0 Px ∈ существует
хотя бы одна траектория дифференциального включения, содержащаяся
в P .
Дифференциальные уравнения и включения описывают однозначным
или многозначным образом динамику системы, в которой в каждый момент
времени скорость зависит от состояния системы только в этот момент вре-
мени. Дифференциальные включения с памятью, называемые также функ-
ционально-дифференциальными включениями, выражают зависимость ско-
рости в каждый момент времени от истории развития системы до этого
момента времени. Под функциональной живучестью подразумеваются ог-
раничения живучести, также зависящие от истории развития системы, т.е.
ограничения, накладываемые не только на состояние системы, но и на ее
прошлое развитие.
Техника, разработанная для обычных задач живучести, применяется к
задачам функциональной живучести с дифференциальными включениями с
памятью, что позволяет описать свойство функциональной живучести как
условие функционального касания, означающее, что для любого прошлого
состояния системы существует, по крайней мере, «скоростное касание» ко
множеству различных состояний, удовлетворяющих ограничениям функ-
циональной живучести.
Функционально-дифференциальное включение описывает связь между
скоростью системы и историей ее развития до времени 0>t следующим
образом:
),)(,()( xtTtatx ∈ п. в. ),0[ ∞∈t , (5)
А.П. Яковлева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 98
где оператор T ставит в соответствие любой непрерывной функции x ее
историю xtT )( до момента времени t таким образом:
)()]()([:]0,( τττ +=−∞∈∀ txxtT . (6)
Начальные условия выражают тот факт, что история развития системы
до момента времени t=0 известна и определяется функцией C∈ϕ как
ϕ=xT )0( . (7)
Ограничения функциональной живучести записываются с помощью
требования, чтобы в любой момент времени ),0[ ∞∈t
( ) ( )T t x P t∈ . (8)
P обладает свойством живучести относительно отображения a , если
для любой начальной функции )0(P∈ϕ существует решение )(⋅x такое, что
почти всюду при 0≥t выполняются следующие соотношения [11]:
))(,()( xtTtatx ∈ ,
ϕ=xT )0( ,
)()( tPxtT ∈ , 0≥∀ t .
Для автономного случая задача живучести
))(()( xtTatx ∈ , п. в. ),0[ ∞∈t , (9)
ϕ=xT )0( , (10)
PxtT ∈)( , (11)
где CP ⊂ — замкнутое подмножество.
Считается [11], что подмножество CP ⊂ обладает свойством живуче-
сти относительно отображения а, если для любой начальной функции P∈ϕ
существует решение )(⋅x включения (9), начинающееся на ϕ в смысле (10)
и живучее в P в смысле (11).
Обычная задача живучести является частным случаем задачи
функциональной живучести. Действительно, полагая ))0(()( yayA = и =∏
})0(:{ PyCy ∈∈= , где xXa 2: → , CP ⊂ , получаем, что вследствие (6)
))(())0()(,())(,()( txaxtTtaxtTtatx ==∈ , а также PxtTtx ∈= ))0()(()( тогда
и только тогда, когда ∏∈xtT )( .
Задача живучести с m переменными запаздывания также укладывается
в схему функциональной живучести. Рассмотрим m функций запаздывания
),0[),0[: ∞→∞τ . Дифференциальное включение с запаздывающим аргу-
ментом описывается многозначным отображением x
m
XXa 2...: →×× таким
образом:
)))((,...)),((()( 1 ttxttxatx mττ −−∈ .
Системы с предысторией и функциональная живучесть
Системні дослідження та інформаційні технології, 2008, № 1 99
Ограничения живучести с запаздываниями можно описать с помощью
n функций запаздывания ),0[),0[: ∞→∞ξ и многозначного отображения
x
m
XXR 2...: →×× , ),0[ ∞∈∀ t .
)))((,...)),((()( 1 ttxttxRtx mξξ −−∈ .
Эта задача укладывается в общую схему, если положить
)))((,...)),((()( 1 tytyayA nττ −−= ,
)))}((,...)),((()0(:{ 1 tytyRyCy mξξ −−∈∈=∏ .
Действительно,
=−−=∈ )))(()(,...)),(()(())(()( 1 ttxtTttxtTaxtTAtx mττ
)))((,...)),((( 1 ttxttxa mττ −−= ;
( ) ( ( ) )(0)x t T t x= .
Следовательно,
)))((,...)),((()( 1 ttxttxRtx mξξ −−∈ ,
∏∈−−∈ xtTttxttxRxtT m )())),((,...)),((()0()( 1 ξξ .
Аналогично можно убедиться, что задача живучести Вольтерра
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∈ ∫
∞−
t
dssxstkatx ))(,,()( ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∈ ∫
∞−
t
dssxstlPtx ))(,,()(
также укладывается в эту схему.
Ниже приведена теорема, которая называется теоремой функциональ-
ной живучести и в которой указаны условия, при каких отображения a и P
определяют живучую траекторию.
Приведем понятие области функциональной живучести. Пусть задана
некоторая функция у на подмножестве CP ⊂ . Обозначим )(yK p подмно-
жество элементов Xv∈ таких, что 0>∀ε существует число ],0[ ε∈h и
функция Cyh∈ , удовлетворяющая условиям
ϕ=nyT )0( ,
PyhT n ∈)( , (12)
Bv
h
yhy hh ε+∈
− )0()(
,
где 0>ε ; B — шар единичного радиуса с центром в нуле. Множество
aP dom⊂ является областью функциональной живучести для многознач-
ного отображения a , если y P∀ ∈ .
А.П. Яковлева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2008, № 1 100
0)()( ≠∩ yKya p . (13)
Пусть многозначное отображение a не пусто, полунепрерывное
сверху, компактнозначно, выпуклозначно, а также линейно растет, т.е.
)1()( +≤ xCxa , const=C , yxa sup)( = , а P замкнуто. Тогда имеет
место
Теорема 2. P обладает свойством живучести тогда и только тогда, ко-
гда оно является областью функциональной живучести, т.е. когда выполня-
ется соотношение (13).
ЛИТЕРАТУРА
1. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука,
1980. — 320 с.
2. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и опти-
мальное управление // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. —
1985.— 169. — С. 194–252.
3. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. — М.: Наука, 1988. — 280 с.
4. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управле-
ния. — М.: Наука, 1988. — 360 с.
5. Половинкин Е.С., Смирнов Г.В. Об одном подходе к дифференцированию
многозначных отображений // Докл. АН СССР. — 1986. — 288. — № 2. —
С. 296–301.
6. Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М.: Мир, 1988. —
512 с.
7. Яковлева А.П. Задача оптимального управління для диференціального вклю-
чення з післядією // Докл. АН УССР. — 1989. — № 11. — С. 70–72.
8. Jakovleva A.P. Necessary extremum conditions for differential inclusions with after-
effect // Optimization. — 1992. — 25. — Р. 117–127.
9. Яковлева А.П. Оптимизационная задача и необходимые условия экстремума
для дифференциальных включений с последствием // Дифференциальные
уравнения. — 1992. — № 2. — С. 223–231.
10. Додонов А.Г., Кузнецова М.Г., Горбачик Е.С. Живучесть и надежность сложных
систем: Метод. пособие. — Киев: Междунар. науч.-учебн. центр, 2001. —
163 с.
11. Aubin J.-P. Viability Theory. — Boston–Bazel–Berlin: Вirkhäuser, 1991. — 543 p.
12. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир,
1984. — 421 с.
13. Додонов А.Г., Кузнецова М.Г., Горбачик Е.С. Введение в теорию живучести
вычислительных систем. — Киев: Наук. думка, 1990. — 184 с.
14. Haddad G. Monotone viable trajectories for functional differential inclusions //
Journal of Differential Equations. — 1981. — № 42. — Р. 1–24.
15. Остапенко В.В., Яковлева А.П., Шубенкова Т.А. Моделювання властивостей
живучості // В зб.: Теорія обчислень. — Київ: Ін-т кібернетики
ім. В.М. Глушкова НАН України, 1999. — С. 276–280.
Поступила 07.12.2007
|
| id | journaliasakpiua-article-109777 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:09Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/3f/8639cb137bf31fdef2d0e1d832266b3f.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1097772018-04-11T11:06:06Z Systems with prehistory and functional viability Системы с предысторией и функциональная живучесть Системи з передісторією та функціональна живучість Yakovleva, A. P. Systems with prehistory are investigated and their most general description in the form of functional-differential inclusions is presented. The optimization problems with functional-differential inclusions and their applications to modeling viability properties are considered. Исследуются системы с предысторией. Дано их наиболее общее описание в виде функционально-дифференциальных включений. Рассматриваются оптимизационные задачи на основе таких включений и применение этих систем при моделировании свойств живучести. Досліджуються системи із передісторією. Надається їх найбільш загальний опис у вигляді функціонально-диференціальних включень. Розглядаються оптимізаційні задачі на основі таких включеннь та їх застосування до моделювання властивостей живучесті. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-09-08 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109777 System research and information technologies; No. 1 (2008); 93-100 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2008); 93-100 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2008); 93-100 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109777/104818 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Yakovleva, A. P. Системи з передісторією та функціональна живучість |
| title | Системи з передісторією та функціональна живучість |
| title_alt | Systems with prehistory and functional viability Системы с предысторией и функциональная живучесть |
| title_full | Системи з передісторією та функціональна живучість |
| title_fullStr | Системи з передісторією та функціональна живучість |
| title_full_unstemmed | Системи з передісторією та функціональна живучість |
| title_short | Системи з передісторією та функціональна живучість |
| title_sort | системи з передісторією та функціональна живучість |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/109777 |
| work_keys_str_mv | AT yakovlevaap systemswithprehistoryandfunctionalviability AT yakovlevaap sistemyspredystoriejifunkcionalʹnaâživučestʹ AT yakovlevaap sistemizperedístoríêûtafunkcíonalʹnaživučístʹ |