Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади
For formulation and solution of the prediction problem based on the method of least squares the class of matrix functions with the set of matrix arguments (matrix multiple regression) is used. The successive solution of the prediction problem was performed using the mathematical apparatus of the sin...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111035 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302136199938048 |
|---|---|
| author | Nazaraha, Inna |
| author_facet | Nazaraha, Inna |
| author_sort | Nazaraha, Inna |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-12T11:42:34Z |
| description | For formulation and solution of the prediction problem based on the method of least squares the class of matrix functions with the set of matrix arguments (matrix multiple regression) is used. The successive solution of the prediction problem was performed using the mathematical apparatus of the singular value decomposition and the Moore–Penrose pseudoinverse technique under the development of tuple operators. The algorithm for estimating the unknown parameters was implemented in Wolfram Mathematica. The proposed method was demonstrated for predictions of basic macroeconomic indicators of Ukrainian economics. The approach was verified using statistical data about economic indicators of Ukraine for the period of 2007–2016. The results of calculations were presented. As shown in examples, the matrix multiple regression can be an effective prediction instrument in economics with an acceptable for planning processes accuracy. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.10 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
І.М. Назарага, 2018
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 119
УДК 51-77+338.27
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.10
ПРОГНОЗУВАННЯ МАКРОЕКОНОМІЧНИХ ПОКАЗНИКІВ
НА ОСНОВІ МАТРИЧНОЇ МНОЖИННОЇ РЕГРЕСІЇ:
ПРИКЛАДИ
І.М. НАЗАРАГА
Анотація. Для розв’язання задачі прогнозування на основі методу найменших
квадратів використано клас матричних функцій з набором матричних аргумен-
тів (матричну множинну регресію). Послідовне розв’язання задачі прогнозу-
вання виконано із застосуванням математичного апарату сингулярного роз-
кладу і техніки псевдообернення за Муром–Пенроузом у межах розвитку
концепції кортежних операторів. Алгоритм оцінювання невідомих параметрів
реалізовано у Wolfram Mathematica. Запропонований метод продемонстровано
для прогнозування основних макроекономічних показників економіки Украї-
ни. Підхід перевірявся на статистичних даних про економічні показники за пе-
ріод 2007 – 2016 рр.; наведено результати розрахунків. Як показано на прикла-
дах, матрична множинна регресія може бути ефективним інструментом
прогнозування в економіці з прийнятною для процесів планування точністю.
Ключові слова: матрична множинна регресія, метод найменших квадратів,
макроекономіка, прогноз.
ВСТУП
З огляду на важливість та складність прийняття керівниками вищих рівнів
обґрунтованих та ефективних рішень для управління економікою виникає
потреба у передбаченні наслідків цих рішень. Тому наразі підвищується
роль науково обґрунтованих прогнозів макроекономічних показників.
Створення, удосконалення та модифікація математичних моделей та
методів прогнозування економічних процесів сприяють розробленню уза-
гальненої методології макроекономічного моделювання, а реалізація та ап-
робація відповідних алгоритмів прогнозування є важливими для відпрацю-
вання відповідних рекомендацій щодо прийняття управлінських рішень.
АНАЛІЗ ЛІТЕРАТУРНИХ ДАНИХ ТА ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ
В Україні дослідження у сфері макромоделювання економічних процесів
проводяться у багатьох наукових інститутах та державних структурах.
Резyльтати циx доcлiджень знайшли вiдобpаження y низцi моделей, ос-
новними з яких є:
макpомодель економiки Укpаїни-1 (pозpоблена в Iнcтитyтi еко-
номiки i пpогнозyвання НАНУ, автоpи В.М. Геєць, М.I. Скpипниченко,
М.П. Соколик, С.С. Шyмcька [1–3]);
модель cеpедньоcтpокового пpогнозyвання Iнcтитyтy кiбеpнетики
iм. В.М. Глyшкова НАН України (розробники Л. Гyляницький, I. Сеpгiєнко,
Б. Панаcюк [4]);
І.М. Назарага
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 120
моделювальна cиcтема «Бюджет» (автоpи М.В. Миxалевич ,
В.С. Миxалевич, Сеpгiєнко I.В. [5], pозpобка Iнcтитyтy кiбеpнетики
iм. В. М. Глyшкова НАН Укpаїни);
макpоекономiчна модель Києво-Могилянcької академiї, розроблена пiд
кеpiвництвом I.Г. Лyк’яненко [6, 7];
моделi пpогнозyвання, якi ґрунтуються на методi гpyпового
вpаxyвання аргументів; pозpоблений y Кiбеpнетичномy центpi НАН Укpаїни
О.Г. Iваxненком та його yчнями [8 –10];
макpоекономiчна модель Мiжнаpодного центpy пеpcпективниx
доcлiджень, Мiнicтеpcтва економiки Укpаїни та Національного банку Укра-
їни [11];
макpоекономiчна модель Наyково-доcлiдного економiчного інcтитyтy
Мiнicтеpcтва економiки Укpаїни (автоp А. О. Сiгайов [12]);
макpоекономiчна модель мiжнаpодного наyково-навчального центpy
iнфоpмацiйниx теxнологiй та cиcтем ЮНЕСКО/МПI НАН Укpаїни та
Мiнicтеpcтва оcвiти i наyки Укpаїни, подана низкою економетpичниx моде-
лей «УКРМАКРО» (автоpи О. Бакаєв, Г. Бондаpенко, I. Лyкiнов [13]);
довгоcтpокова економетpична модель економiчного зpоcтання y
пеpеxiдниx економiкаx (pозpоблена cпiвpобiтниками Міжнародного валют-
ного фонду О. Гавpилишиним, I. Iзвоpcкi, Р. Рооденом [14]);
макpоекономiчна модель центpy cоцiальниx та економiчниx
доcлiджень (CASE); автоpи-pозpобники М. Гpонiцкi, Я. Шиpмеp, К. П’єтка
[15, 16];
модель макpоекономiки Укpаїни «Альфа», що pозpоблена в
деpжавномy НДI iнфоpматизацiї та моделювання економiки Мiнicтеpcтва
економiки Укpаїни та pозвиваєтьcя в Нацiональномy інcтитyтi cтpатегiчниx
доcлiджень пpи Пpезидентовi Укpаїни й Інституті економіки промисловості
України (автор Ю.М. Харазішвілі [17, 18]).
Аналiзуючи праці [1–18], можна констатувати, що в Укpаїнi
cфоpмyвалиcя такi два оcновнi пiдxоди до макpоекономiчного моделювання:
1) заcтоcyвання piзниx ваpiантiв pегpеciйного аналiзy та побyдова
pегpеciйниx (лiнiйниx та нелiнiйниx) piвнянь для моделювання тиx чи iншиx
економiчниx змiнниx на оcновi пеpедicтоpiї з наcтyпною екcтpаполяцiєю;
2) моделювання cоцiально-економiчниx пpоцеciв на базi аналiтичниx
(точниx) залежноcтей iз заcтоcyванням cyчаcниx економiчниx теоpiй, що
вiдобpажають фyнкцiональнi зв’язки мiж показниками. Головною та найваж-
ливiшою пеpевагою аналiтичниx методiв є невiдpивнicть вiд cамого об’єкта
пpогнозyвання.
Пеpеважна бiльшicть ycтанов, якi здiйснюють макpоекономiчний аналiз
та пpогнозyвання, використовує перший пiдxiд, тобто такий, який базyєтьcя
на застосуваннi чаcовиx pядiв макpопоказникiв i полiномiв, побyдованиx на
їх основi. Заyважимо, що для макpоекономiки пеpеxiдного пеpiодy зна-
чення i pоль пеpедicтоpiї дещо знижyютьcя, що зyмовлено, оcобливо
в коpоткоcтpоковому пеpiоді, швидкими каpдинальними змiнами еко-
номiчного, pинково-кон’юнктypного, cоцiально-полiтичного xаpактеpy.
Утім не пiдлягає запеpеченню викоpиcтання методiв pегpеciйного аналiзy i
пpогнозyвання на оcновi пеpедicтоpiї, які можна i потpiбно заcтоcовyвати
Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 121
для знаходження значень змінних і параметрів та для якиx неможливо
вcтановити модельнi зв’язки, зокpема в yмоваx пеpеxiдниx економiк.
У працях [19–22] запропоновано нові методи аналізу об’єктів, які
можна подати складними багаторозмірними табличними структурами
(матрицями), і проводиться дослідження сучасного математичного апарату,
що дозволяє оперувати із цими структурами. Зокрема, у працях [20–22]
В.С. Донченком та його учнями запропоновано концепцію кортежних опе-
раторів, що дає змогу перенести техніки сингулярного розкладу і псевдо-
обернення на евклідові простори матриць фіксованої розмірності.
Таким чином, для розв’язання задач прогнозування запропоновано до
розгляду клас матричних функцій набору матричних аргументів — матрич-
ну множинну регресію [21]. У процесі розвитку концепції кортежних опера-
торів [20–22] розроблено математичний апарат сингулярного розкладу і те-
хніки псевдообернення за Муром–Пенроузом, що дозволило поставити і
конструктивно розв’язати задачу оцінювання методом найменших квадратів
для множинної матричної регресії. Зокрема, запропоновано алгоритм оці-
нювання методом найменших квадратів для вектора невідомих параметрів
згаданого класу матричних функцій [21]. Оскільки для економічних завдань
природними представниками досліджуваних об’єктів є табличні структури,
наприклад, таблиці показників за роками, кварталами чи місяцями, то за-
пропоновані методи можна успішно застосовувати для прогнозування еко-
номічних показників.
Мета дослідження — з’ясувати можливість використання запропоно-
ваного у праці [21] алгоритму на основі матричної множинної регресії для
розв’язання задач прогнозування макроекономічних показників з прийнят-
ною для планування точністю.
Емпіричними даними для розрахунків стали дані Державної служби
статистики України про такі макроекономічні показники: внутрішній вало-
вий продукт, оплата праці найманих працівників, кінцеві споживчі витрати,
експорт товарів та послуг, імпорт товарів та послуг.
ТЕОРЕТИЧНІ ЗАСАДИ МЕТОДУ ПРОГНОЗУВАННЯ НА ОСНОВІ
МАТРИЧНОЇ МНОЖИННОЇ РЕГРЕСІЇ
Теоретичні основи методу аналізу та прогнозування об’єктів, що виражені
матрицями, детально подано у працях [20–22].
Отже, нехай маємо M матриць спостережень: .,...,, 21 MXXX
Формуємо матричні пари, що задають вхідні та вихідні дані моделі:
),(),...,,(),,( 2211 NN YOYOYO , де NiYi ,1, — відгуки прогнозу, ,iKi XY
Ni ,1 , а NiOi ,1, — матричні кортежі-рядки, які називатимемо осно-
вами (опорами) прогнозу: )...( 11 KXXO , ,,)...( 122 KXXO NO
)...( 1 NKN XX ; KNM , K — довжина основи.
Множинну матричну регресію з матричними значеннями визначимо
таким чином [21]: як матричну функцію Y матричного кортежу-рядка
)...( 1,1 KK XX , nm
k RX , Kk ,1 такого вигляду )( ,1 KY
KK XX ...11 , KkRk ,1,1 , що визначаються на основі спостере-
І.М. Назарага
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 122
жень NiYi
i
K ,1),,( )(
,1 , де Nii
K ,1,)(
,1 — і-та компонента матричного кор-
тежу-рядка )...( 1,1 KK XX .
Аналогічно до праць [21, 22] визначимо оператор nmNK RR
KN
,:
,
— матричний кортежний оператор з евклідового простору KR в евклідів
простір стовпчикових кортежів довжини N з матриць розмірності nm і
покомпонентним скалярним добутком для стовпчикових кортежів
nmN
N
nmN
N
R
B
B
R
A
A
,
1
2
,
1
1 ...,... у такому вигляді: nmN ,21 ),(
N
i
trii BA
1
),( , а KnmN RR
KN
,* :
,
— оператор, спряжений до
KN , .
АЛГОРИТМ ПРОГНОЗУВАННЯ ПОКАЗНИКІВ
1. Побудова стовпчикових «компонентних» кортежів Kjj ,1, , Y :
)(
)(
2
)(
1
...
j
N
j
j
j
O
O
O
, де )( j
iO — j -та компонента NiOi ,1, ,
N
Y
Y
Y
Y
...
2
1
— ма-
тричний стовпчиковий кортеж, отриманий зі значень спостережень ,iY
Ni ,1 .
2. Побудова матриці Грама F стовпчикових «компонентних» кортежів
Kjiji ,1,),( F :
),(...),(),(
............
),(...),(),(
),(...),(),(
21
22212
12111
KKKK
K
K
F ,
де Kjiji ,1,),( — «скалярний» добуток матричних кортежів, який визна-
чається покомпонентним скалярним добутком відповідних матриць.
Зауваження: для матриць )( ijaA та )( ijbB , njmi ,1,,1 скаляр-
ний добуток визначається так:
njmi
T
ijij BtrAbaBA
,1,,1
),( .
3. Розв’язання задачі на власні значення для F . Обчислення ненульо-
вих сингулярностей Frankrriii ,,1),,( 2 матриці Грама F стовпчико-
вих «компонентних» кортежів.
Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 123
Зауваження: ненульові сингулярності riii ,1),,( 2 записуємо у від-
повідності до зростання власних значень.
4. Обчислення власних кортежів ,
1
:
1
ki
K
k
k
i
ii
ri ,1 оператора
*
,, KNKN .
5. Обчислення скалярних добутків risk nmNYii ,1,),( , .
6. Обчислення ̂ за формулою
r
k
nmNYkkk
1
,
1 ),(ˆ .
7. Обчислення прогнозної функції kN
K
k
k XY
1
ˆˆ , KiRX nm
i ,1, .
ЕМПІРИЧНІ ДАНІ ДЛЯ РОЗРАХУНКІВ
Для розглянутих у роботі прикладів використано статистичні дані Держав-
ної служби статистики України із квартальною дискретизацією [23]. Зокре-
ма, у табл. 1 – 5 подано значення валового внутрішнього продукту (ВВП),
оплати праці найманих працівників (ОПНП), кінцевих споживчих витрат
(КСВ), експорту (Е) та імпорту (І) за 2007 – 2016 рр. (квартальні дані у фак-
тичних цінах).
Т а б л и ц я 1 . Значення 5 показників поквартально за 2007 – 2008 рр.
(млн грн)
Показник
I
2007
II
2007
III
2007
IV
2007
I
2008
II
2008
III
2008
IV
2008
ВВП 139444 166869 199535 214883 191459 236033 276451 244113
ОПНП 69078 82021 91922 108915 100492 116441 121522 132009
КСВ 112494 130245 140935 174907 161565 182154 194262 220921
Е 67513 79664 88491 87537 88516 116640 132177 107526
І 76022 85992 93895 108464 110802 135800 144433 129553
Т а б л и ц я 2 . Значення 5 показників поквартально за 2009 – 2010 рр.
(млн грн)
Показник
I
2009
II
2009
III
2009
IV
2009
I
2010
II
2010
III
2010
IV
2010
ВВП 189028 214103 250306 259908 217286 256754 301251 307278
ОПНП 99206 111616 114251 126270 114062 133690 139108 153791
КСВ 172426 188041 196074 216285 194511 216027 232397 271295
Е 86994 95390 114962 126218 112105 134553 145563 157144
І 92892 96846 116057 133065 114550 131242 156102 179050
І.М. Назарага
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 124
Т а б л и ц я 3 . Значення 5 показників поквартально за 2011 – 2012 рр.
(млн грн)
Показник
I
2011
II
2011
III
2011
IV
2011
I
2012
II
2012
III
2012
IV
2012
ВВП 261878 314620 376019 364083 293493 349212 387620 378564
ОПНП 135831 155367 158186 178727 158145 180432 179944 199638
КСВ 236580 268688 285548 314385 272970 311851 328173 356607
Е 156545 179626 184258 187524 165810 181413 188467 181657
І 173046 187916 202131 215935 186323 215091 214364 219616
Т а б л и ц я 4 . Значення 5 показників поквартально за 2013 – 2014 рр.
(млн грн)
Показник
I
2013
II
2013
III
2013
IV
2013
I
2014
II
2014
III
2014
IV
2014
ВВП 303753 354814 398000 408631 316 905 382391 440476 447143
ОПНП 163364 183339 180058 203892 169 089 186692 188225 190937
КСВ 285787 330494 341854 371497 304 578 352472 351349 421560
Е 149357 152499 162010 165535 151 712 202040 204937 212440
І 172928 173944 212798 205060 162 853 210717 216959 236235
Т а б л и ц я 5 . Значення 5 показників поквартально за 2015 – 2016 рр.
(млн грн)
Показник
I
2015
II
2015
III
2015
IV
2015
I
2016
II
2016
III
2016
IV
2016
ВВП 375991 456715 566997 588841 455637 535324 669170 723051
ОПНП 166364 194932 195389 220961 192014 220039 224611 240612
КСВ 345298 404693 429804 529418 438528 470927 508831 600568
Е 249852 250632 266601 278843 251845 283191 299323 340266
І 261354 252318 274856 294910 294328 292715 351084 385000
РЕЗУЛЬТАТИ ОБЧИСЛЕНЬ ЗА АЛГОРИТМОМ ДЛЯ РІЗНИХ ВАРІАНТІВ
ГРУПУВАННЯ СПОСТЕРЕЖУВАНИХ ДАНИХ
На підставі даних табл. 1 очевидним чином формуємо матриці спостережень
1X та ,,2 X на підставі даних табл. 5 – матриці 9X і 10X .
Маємо 10 матриць спостережень: 1021 ,,, XXX .
Поданий вище алгоритм реалізовано у середовищі Wolfram Mathematica і
за ним виконано розрахунки для різних варіантів групування даних.
Далі наведемо детальну схему розрахунку першого варіанта, а в решті
випадків подаватимемо лише вхідні дані та результуючі таблиці прогнозних
значень показників.
Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 125
Варіант 1
,3K 5N ;
)( 3211 XXXO , 41 XY ; )( 4322 XXXO , 52 XY ;
)( 5433 XXXO , 63 XY ; )( 6544 XXXO , 74 XY ;
)( 7655 XXXO , 85 XY .
1. Побудова стовпчикових «компонентних» кортежів:
5
4
3
2
1
1
X
X
X
X
X
;
6
5
4
3
2
2
X
X
X
X
X
;
7
6
5
4
3
3
X
X
X
X
X
;
8
7
6
5
4
X
X
X
X
X
Y .
2. Обчислення матриці Грама:
F =
966509673671512246406504577794022783818
122464065045776542753192059163695301166
916369530116691636953011663633238471770
, 3rank Fr .
3. Обчислення ненульових сингулярностей матриці Грама F стовпчи-
кових «компонентних» кортежів:
)0.351937 0,802513; 0,481782;(1 v , 1 147468,756 ;
)0.686805 0.128307; 0.715427;(2 v , 2 198378,243 ;
)0.635955 0.582676; 0.506014;(3 v , 3 53542517,00 .
4. Обчислення власних кортежів i , ri ,1 . Отримуємо три власні кор-
тежі-матриці розмірності 424 , які не наводимо у зв’язку з їх великим розмі-
ром.
5. Обчислення скалярних добутків:
118985,3931 sk ; 75188,2282 sk ; 22478812,623 sk .
6. Знаходження ̂ : )989.0 0,288;0,472;(ˆ .
7. Обчислення прогнозної функції:
Прогноз показників на 2015 р. (поквартально і за рік у цілому) подано
в табл. 6.
Т а б л и ц я 6 . Прогнозні значення 5 показників поквартально на 2015 р.
(млн грн)
Показник
I
2015
II
2015
III
2015
IV
2015
У цілому 2015 р.
ВВП 364319,03 440654,63 503775,36 503033,39 1811782,41
ОПНП 194744,65 216909,02 219141,72 224238,91 855034,30
КСВ 347626,57 400450,07 403760,81 478079,33 1629916,78
Е 185209,21 241449,93 244899,63 248093,53 919652,29
І 199107,07 259732,61 254358,38 278136,40 991334,46
І.М. Назарага
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 126
Варіант 2
,3K 6N ;
)( 3211 XXXO , 41 XY ; )( 4322 XXXO , 52 XY ;
)( 5433 XXXO , 63 XY ; )( 6544 XXXO , 74 XY ;
)( 7655 XXXO , 85 XY ; )( 8766 XXXO , 96 XY .
Стовпчикові «компонентні» кортежі:
6
5
4
3
2
1
1
X
X
X
X
X
X
;
7
6
5
4
3
2
2
X
X
X
X
X
X
;
8
7
6
5
4
3
2
X
X
X
X
X
X
;
9
8
7
6
5
4
X
X
X
X
X
X
Y .
Результат обчислень за алгоритмом (прогноз значень показників на
2016 р.) наведено в табл. 7 (квартальні дані та за рік у цілому).
Т а б л и ц я 7 . Прогнозні значення 5 показників поквартально на 2016 р.
(млн грн)
Показник
І
2016
II
2016
III
2016
IV
2016
У цілому 2016 р.
ВВП 433695,44 518619,66 630096,81 655502,51 2237914,41
ОПНП 199021,37 232587,48 230267,10 269508,70 931384,65
КСВ 397228,75 464485,67 496709,00 584068,04 1942491,45
Е 277954,75 260259,57 280771,61 291889,10 1110875,03
І 299942,78 272343,05 316996,86 323553,21 1212835,89
Варіант 3
,4K 4N ;
)( 43211 XXXXO , 51 XY ; )( 54322 XXXXO , 62 XY ;
)( 65433 XXXXO , 73 XY ; )( 76544 XXXXO . 84 XY .
Стовпчикові «компонентні» кортежі:
4
3
2
1
1
X
X
X
X
;
5
4
3
2
2
X
X
X
X
;
6
5
4
3
3
X
X
X
X
;
7
6
5
4
4
X
X
X
X
;
8
7
6
5
X
X
X
X
Y .
Прогноз на 2015 р. подається у табл. 8 (квартальні дані та за рік):
Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 127
Т а б л и ц я 8 . Прогнозні значення 5 показників поквартально на 2015 р.
(млн грн)
Показник
I
2015
II
2015
III
2015
IV
2015
У цілому 2015 р.
ВВП 371635,11 456049,62 528706,34 515384,32 1871775,39
ОПНП 197063,78 220652,68 226220,82 226534,14 870471,42
КСВ 351978,00 402954,30 407662,26 491269,19 1653863,75
Е 202554,83 277783,02 278407,39 279384,65 1038129,88
І 212596,58 294916,31 266538,41 305262,57 1079313,86
Варіант 4
,4K 5N ;
)( 43211 XXXXO , 51 XY ;
)( 54322 XXXXO , 62 XY ;
)( 65433 XXXXO , 73 XY ;
)( 76544 XXXXO , 84 XY ;
)( 87655 XXXXO , 95 XY .
Стовпчикові «компонентні» кортежі:
5
4
3
2
1
1
X
X
X
X
X
;
6
5
4
3
2
2
X
X
X
X
X
;
7
6
5
4
3
3
X
X
X
X
X
;
8
7
6
5
4
4
X
X
X
X
X
;
9
8
7
6
5
X
X
X
X
X
Y .
Результат розрахунку за алгоритмом (прогноз значень відповідних по-
казників на 2016 р.) подано у табл. 9 (квартальні дані та в цілому за рік).
Т а б л и ц я 9 . Прогнозні значення 5 показників поквартально на 2016 р.
(млн грн)
Показник
I
2016
II
2016
III
2016
IV
2016
У цілому 2016 р.
ВВП 450775,44 537064,93 648284,26 668516,46 2304641,08
ОПНП 205713,68 243697,16 240385,16 289982,96 979778,95
КСВ 407938,32 475514,47 518184,18 593590,41 1995227,38
Е 304062,75 268825,30 292743,44 298281,97 1163913,46
І 331339,33 292423,06 336455,97 337617,27 1297835,63
Варіант 5
,5K 3N ;
)( 543211 XXXXXO , 61 XY ;
І.М. Назарага
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 128
)( 654322 XXXXXO , 72 XY ;
)( 765433 XXXXXO , 83 XY .
Стовпчикові «компонентні» кортежі:
3
2
1
1
X
X
X
;
4
3
2
2
X
X
X
;
5
4
3
3
X
X
X
;
6
5
4
4
X
X
X
;
7
6
5
5
X
X
X
;
8
7
6
X
X
X
Y .
Прогноз значень показників на 2015 р. (квартальні дані та в цілому за
рік) як результат обчислень за алгоритмом подано в табл. 10.
Таблиця 10. Прогнозні значення 5 показників поквартально на 2015 р.
(млн грн)
Показник І
2015
II
2015
III
2015
IV
2015
У цілому 2015 р.
ВВП 320262,93 389877,65 458030,44 449476,61 1617647,64
ОПНП 168548,28 188293,25 191653,25 198948,83 747443,61
КСВ 301161,34 345971,84 351874,82 413788,92 1412796,91
Е 174465,46 227054,45 228378,01 232141,21 862039,14
І 187870,08 237520,45 232869,67 257369,89 915630,08
Варіант 6
,5K 4N ;
)( 543211 XXXXXO , 61 XY ; )( 654322 XXXXXO , 72 XY ;
)( 765433 XXXXXO , 83 XY ; )( 876544 XXXXXO , 94 XY .
Стовпчикові «компонентні» кортежі:
4
3
2
1
1
X
X
X
X
;
5
4
3
2
2
X
X
X
X
;
6
5
4
3
3
X
X
X
X
;
7
6
5
4
4
X
X
X
X
;
8
7
6
5
5
X
X
X
X
;
9
8
7
6
X
X
X
X
Y .
У результаті застосування алгоритму отримуємо прогноз значень пока-
зників на 2016 р. (квартальні дані та в цілому за рік), табл. 11.
Т а б л и ц я 1 1 . Прогнозні значення 5 показників поквартально на 2016 р.
(млн грн)
Показник I
2016
II
2016
III
2016
IV
2016
У цілому 2016 р.
ВВП 402460,80 482792,18 566956,08 568345,28 2020554,34
ОПНП 196277,51 228834,31 228353,18 261436,26 914901,26
КСВ 368337,09 425160,03 455892,61 519157,90 1768547,64
Е 257878,01 258518,25 273517,80 272129,22 1062043,28
І 280807,45 288234,60 299236,38 310479,10 1178757,52
Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 129
ОБГОВОРЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ОБЧИСЛЕНЬ
Для визначення точності прогнозу показників використаємо формальний
критерій точності (Absolute Percentage Error):
z
zz
APE
ˆ
, де z — факти-
чне, а ẑ — прогнозне значення відповідного показника.
Для перевiрки якостi запропонованого методу використано
pетpоcпективне оцiнювання пpогнозy. Загальноприйнятим є те, що значення
АРЕ, яке менше за 10%, вiдповiдає виcокiй точноcтi пpогнозy, а отже, i
якоcтi моделi чи підходу; вiд 10 до 20 % — добpiй точноcтi; вiд 20 до 50 %
— задовiльнiй; бiльше як 50 % — незадовiльнiй.
Розраховані значення похибок прогнозу річних значень показників за
вказаним критерієм для кожного з варіантів подано у табл. 12.
Т а б л и ц я 1 2 . Точність прогнозу для 5 показників для різних варіантів
групування даних
Показник Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3 Варіант 4 Варіант 5 Варіант 6
ВВП, % 8,89 6,10 5,87 3,30 18,65 15,22
ОПНП,% 9,95 6,17 11,94 11,68 3,88 4,29
КСВ,% 4,64 3,78 3,24 1,17 17,34 12,40
Е,% 12,07 5,43 0,75 0,91 17,58 9,58
І,% 8,50 8,34 0,38 1,91 15,49 10,91
Як бачимо з табл. 12, для варіанта 2 значення похибок менші за 10%,
що вiдповiдає виcокiй точноcтi пpогнозy. Для інших варіантів похибки не
перевищують 20%, що свідчить про добру точність прогнозу і, відповідно,
якість методу прогнозування.
Таким чином, згідно з обчисленими значеннями критерію APE (від 0%
до 20%) точнiсть прогнозування вказаних економічних показників є доброю.
Перевищення 10% значення похибки можна пояснити використанням стати-
стичних даних кризових 2008 – 2009 рр., а також специфікою статистичних
даних Державної служби статистики України: за 2011 – 2015 рр. використо-
вуються дані без урахування тимчасово окупованої території АР Крим,
м. Севастополя та частини зони проведення антитерористичної операції.
ВИСНОВКИ
У роботі розглядаються приклади застосування матричної множинної регре-
сії для прогнозування макроекономічних показників. З метою розв’язання
задачі оцінювання методом найменших квадратів для множинної матричної
регресії використано розроблений математичний апарат сингулярного роз-
кладу і техніку псевдообернення за Муром–Пенроузом у межах розвитку
концепції кортежних операторів.
Емпіричними даними для обчислень стали дані Державної служби ста-
тистики України за 2007 – 2016 рр. із квартальною дискретизацією. Розра-
І.М. Назарага
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 130
хунки виконано у середовищі Wolfram Mathematica. Розглянуто декілька
варіантів групування спостережуваних даних.
Згідно з обчисленими значеннями похибок прогнозу річних значень
показників за критерієм APE для кожного з варіантів групування даних (від
0% до 20%), точнiсть прогнозу і відповідно якість методу прогнозування
вказаних економічних показників є доброю.
Таким чином, виконані розрахунки показують, що матрична множинна
регресія може бути використана для розв’язання задач прогнозування мак-
роекономічних показників з прийнятною для планування точністю.
ЛІТЕРАТУРА
1. Геєць В. Сектоpальнi макpомоделi пpогнозyвання економiки Укpаїни /
В. Геєць, М. Скpипниченко, М. Соколик, С. Шyмcька // Економicт. — 1998.
— №5. — С. 58–67.
2. Моделi ендогенного зpоcтання економiки Укpаїни / [pед. М.I. Скpипниченко].
— К.: ДУ «Iн-т економiки та прогнозування», 2007. — 576 c.
3. Макроекономічне моделювання за секторами національної економіки
у програмно-аналітичному інструментарії «Макропрогноз економіки Укра-
їни» / В.М. Геєць, М.І. Скрипниченко // Математичне моделювання
в економіці: зб. наук. пр. — 2013. — Вип. 1. — С. 116–129.
4. Гyляницький Л. Розpобка моделей cеpедньоcтpокового пpогнозyвання ВВП Укpаїни /
Л. Гyляницький, I. Сеpгiєнко, Б. Панаcюк // Економicт. — 1998. — № 5. —
C. 68–71.
5. Миxалевич М.В. Моделювання пеpеxiдної економiки. Моделi, методи, iнфоpмацiйнi
теxнологiї / М.В. Миxалевич, I.В. Сеpгiєнко. — К.: Наyк. дyмка, 2005. — 670 c.
6. Лyк’яненко I.Г. Динамiчнi макроекономiчнi моделi. Новий концептуальний пiдхiд /
I.Г. Лyк’яненко. – К.: Вид. дiм «Києво-Могилянcька академія», 2003. — 50 c.
7. Лук’яненко І.Г. Макрофінансова стабільність: моделі та методи оцінки: мо-
ногр. [Електронний ресурс] / І.Г. Лук’яненко, О.І. Фарина. — К.: НаУКМА,
2016. — 185 с. — Режим доступу: http://www.ekmair.ukma.edu.ua
/handle/123456789/10878
8. Iваxненко О. Iндyктивнi методи пpогнозyвання та аналiзy cкладниx економiчниx
систем / О. Iваxненко, Г. Iваxненко // Економicт. — 1998. — № 5. — C. 88–97.
9. Степашко В.С. Опыт пpименения cиcтемы АСТРИД для моделиpования эко-
номичеcкиx пpоцеccов по cтатиcтичеcким данным / В.С. Степашко,
Ю.В. Коппа // Кибеpнетика и вычиcлительная теxника. — 1998. — № 117.
— C. 24–31.
10. Зайченко Ю.П. Нечiткий метод гpyпового вpаxyвання аpгyментiв та його
заcтоcyвання в задачаx пpогнозyвання макpоекономiчниx показникiв /
Ю.П. Зайченко, О.Г. Кебкал, В.Ф. Кpачковcький // Наyк. вicтi НТТУ «КПI».
— 2000. — № 2. — C. 18–26.
11. Початкова pобоча модель для Укpаїни: інфоpмаційний бюлетень Мiжнаpодного
центpy пеpcпективниx доcлiджень // Вicник центpy. — № 154, 17 чеpв. 2002 p.
12. Сiгайов А.О. Методичний та оpганiзацiйний аcпекти аналiзy монетаpниx показ-
никiв / А.О. Сiгайов. — К.: Наyк. дyмка, 2003. — 370 c.
13. Бакаєв О. Сиcтеми макpоеконометpичниx моделей пpогнозyвання економiки
Укpаїни / О. Бакаєв, Г. Бондаpенко, I. Лyкiнов // Економicт. — 1998. — № 5.
— C. 35–44.
14. Havrylyshyn O. Recovery and Growth During the Transition Economy / O. Havryly-
shyn, Ivailo Izvorski and Ron van Rooden // IMF Working paper WP. —
1998. — 141 p.
Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 131
15. Гpонiцкi М. Альтеpнативнi cценаpiї pозвиткy економiки Укpаїни y 1998 – 1999
pокаx / М. Гpонiцкi, Я. Шиpмеp, К. П’єтка // Економicт. — 1998. — № 5. —
C. 72–76.
16. Gronicki M. Macroeconomic Models for Ukraine / M. Gronicki, K. Piêtka // CASE
Working paper, 1999. — 56 p.
17. Хаpазiшвiлi Ю.М. Теоpетичнi оcнови cиcтемного моделювання cоцiально-
економiчного pозвиткy Укpаїни: моногp. / Ю.М. Хаpазiшвiлi. — К.:
ПолiгpафКонcалтинг, 2007. — 324 c.
18. Хаpазiшвiлi Ю.М. Неформальна складова в структурі регіональної економіки:
спроба моделювання та оцінки / Ю.М. Харазішвілі, Р.В. Прокопенко,
В.І. Ляшенко // Вісник економічної науки України. — 2017. — № 1 (32). —
С. 109–116.
19. Donchenko V. Vectors and matrixes least square method: foundation and application
examples / V. Donchenko, I. Nazaraga, O. Tarasova // International Journal In-
formation Theories and Applications. — 2013. — Vol. 20, N 4. — P.311–322.
20. Donchenko V. “Feature Vectors” in Grouping Information Problem in Applied
Mathematics: Vectors and Matrixes / V. Donchenko, T. Zinko, F. Skotarenko //
Problems of Computer Intellectualization: international conference, Institute of
Cybernetics NASU, ITHEA. — Kyiv, Ukraine, – Sofia, Bulgaria. — 2012. —
P. 111–124.
21. Донченко В.С. Матрична множинна регресія / В.С. Донченко, О.В. Тарасова //
Вісник КНУ імені Тараса Шевченка. Серія: фіз.-мат. науки. — 2015. — № 2.
— С. 133–138.
22. Донченко В.С. Концепцiя кортежностi для лiнiйних операторiв та її реалiзацiя
для матричних кортежів / В.С. Донченко, Т.П. Зінько, Ф.М. Скотаренко //
Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2015. — №3 (120).
— С. 127–140.
23. Офiцiйний сайт Деpжавної служби cтатиcтики Укpаїни [Електронний ресурс].
— Режим доcтyпy: http://www.ukrstat.gov.ua.
Надійшла 12.10.2017
|
| id | journaliasakpiua-article-111035 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:11Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/0b/2ac0a84fe928b5bb056f2cc585ed640b.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1110352018-04-12T11:42:34Z Predictions of macroeconomic indicators based on matrix multiple regression: examples Прогнозирование макроэкономических показателей на основе матричной множественной регрессии: примеры Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади Nazaraha, Inna matrix multiple regression least square method macroeconomic prediction матричная множественная регрессия метод наименьших квадратов макроэкономика прогноз матрична множинна регресія метод найменших квадратів макроекономіка прогноз For formulation and solution of the prediction problem based on the method of least squares the class of matrix functions with the set of matrix arguments (matrix multiple regression) is used. The successive solution of the prediction problem was performed using the mathematical apparatus of the singular value decomposition and the Moore–Penrose pseudoinverse technique under the development of tuple operators. The algorithm for estimating the unknown parameters was implemented in Wolfram Mathematica. The proposed method was demonstrated for predictions of basic macroeconomic indicators of Ukrainian economics. The approach was verified using statistical data about economic indicators of Ukraine for the period of 2007–2016. The results of calculations were presented. As shown in examples, the matrix multiple regression can be an effective prediction instrument in economics with an acceptable for planning processes accuracy. Для решения задачи прогнозирования на основе метода наименьших квадратов использован класс матричных функций с набором матричных аргументов (матричная множественная регрессия). Последовательное решение задачи прогнозирования выполнено с применением математического аппарата сингулярного разложения и техники псевдообращения за Муром–Пенроузом в пределах развития концепции кортежных операторов. Алгоритм оценивания неизвестных параметров реализован в Wolfram Mathematica. Предложенный метод продемонстрирован для прогнозирования основных макроэкономических показателей экономики Украины. Подход проверялся на статистических данных относительно экономических показателей за период 2007 – 2016 гг. Представлены результаты расчетов. Как показано на примерах, матричная множественная регрессия может быть эффективным инструментом прогнозирования в экономике с приемлемой для процессов планирования точностью. Для розв’язання задачі прогнозування на основі методу найменших квадратів використано клас матричних функцій з набором матричних аргументів (матричну множинну регресію). Послідовне розв’язання задачі прогнозування виконано із застосуванням математичного апарату сингулярного розкладу і техніки псевдообернення за Муром–Пенроузом у межах розвитку концепції кортежних операторів. Алгоритм оцінювання невідомих параметрів реалізовано у Wolfram Mathematica. Запропонований метод продемонстровано для прогнозування основних макроекономічних показників економіки України. Підхід перевірявся на статистичних даних про економічні показники за період 2007 – 2016 рр.; наведено результати розрахунків. Як показано на прикладах, матрична множинна регресія може бути ефективним інструментом прогнозування в економіці з прийнятною для процесів планування точністю. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-03-20 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111035 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.10 System research and information technologies; No. 1 (2018); 119-131 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2018); 119-131 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2018); 119-131 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111035/123516 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | матрична множинна регресія метод найменших квадратів макроекономіка прогноз Nazaraha, Inna Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади |
| title | Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади |
| title_alt | Predictions of macroeconomic indicators based on matrix multiple regression: examples Прогнозирование макроэкономических показателей на основе матричной множественной регрессии: примеры |
| title_full | Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади |
| title_fullStr | Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади |
| title_full_unstemmed | Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади |
| title_short | Прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади |
| title_sort | прогнозування макроекономічних показників на основі матричної множинної регресії: приклади |
| topic | матрична множинна регресія метод найменших квадратів макроекономіка прогноз |
| topic_facet | matrix multiple regression least square method macroeconomic prediction матричная множественная регрессия метод наименьших квадратов макроэкономика прогноз матрична множинна регресія метод найменших квадратів макроекономіка прогноз |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/111035 |
| work_keys_str_mv | AT nazarahainna predictionsofmacroeconomicindicatorsbasedonmatrixmultipleregressionexamples AT nazarahainna prognozirovaniemakroékonomičeskihpokazatelejnaosnovematričnojmnožestvennojregressiiprimery AT nazarahainna prognozuvannâmakroekonomíčnihpokaznikívnaosnovímatričnoímnožinnoíregresííprikladi |