Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами
Laplace operator construction is considered in L2-version with respect to the measure in the context of diffeomorphism between (infinite-dimensional) Riemannian manifolds. The connection between such operators as the gradient closure, boundary restriction operator and divergence with respect to the...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112203 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302142634000384 |
|---|---|
| author | Potapenko, Oleksii Yu. |
| author_facet | Potapenko, Oleksii Yu. |
| author_sort | Potapenko, Oleksii Yu. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-12T11:42:34Z |
| description | Laplace operator construction is considered in L2-version with respect to the measure in the context of diffeomorphism between (infinite-dimensional) Riemannian manifolds. The connection between such operators as the gradient closure, boundary restriction operator and divergence with respect to the measure on diffeomorphic manifolds is derived. It is proved that in the case when the gradient closure, boundary restriction operator and divergence with respect to measure are correctly defined on a Riemannian manifold, the respective operators are correctly defined on a diffeomorphic Riemannian manifold too. As a corollary of the derived connection, the class of solvable boundary value problems (problems that have one and only one solution) on Riemannian manifolds (and on Hilbert’s space as a particular case of Riemannian manifold) is widened by reducing the problem of a special kind into an associated with it Dirichlet problem. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
А.Ю. Потапенко, 2018
132 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1
УДК 517.98+517.95
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.11
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, АССОЦИИРОВАННАЯ
С ДИФФЕОМОРФИЗМОМ
МЕЖДУ РИМАНОВЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ
А.Ю. ПОТАПЕНКО
Аннотация. Рассмотрена конструкция оператора Лапласа в 2L -версии по ме-
ре в контексте диффеоморфизма между (бесконечномерными) римановыми
многообразиями. Получена связь между операторами замыкания градиента,
граничным оператором следа и дивергенции по мере на диффеоморфных ри-
мановых многообразиях. Показано, что в случае корректности определения
замыкания градиента, граничного оператора следа и дивергенции на римано-
вом многообразии соответствующие операторы на диффеоморфном с ним ри-
мановом многообразии тоже корректно определены. Как результат получен-
ной связи между операторами расширен класс решаемых задач (задач, которые
имеют, притом единственное, решение) на римановом многообразии (и на
гильбертовом пространстве как частном случае риманова многообразия) све-
дением задачи специального типа к ассоциированной с ней задаче Дирихле.
Ключевые слова: гильбертово пространство, риманово многообразие, диф-
феоморфизм, борелевская мера, дифференцирование мер, оператор Лапласа,
задача Дирихле.
ВВЕДЕНИЕ
Построению оператора Лапласа в бесконечномерном случае и связанным
с ним уравнениям посвящено много публикаций (см., например, работы
[1–8]). В данной работе продолжается исследование иной конструкции лап-
ласиана: лапласиана в 2L -версии. Лапласиан в 2L -версии на гильбертовом
пространстве был предложен и изучался в работах [9–12]; на римановых,
в том числе бесконечномерных, многообразиях лапласиан в 2L -версии и
задача Дирихле рассматриваются в работах [13,14].
В настоящей работе исследуется диффеоморфное отображение между
бесконечномерными римановыми многообразиями специального класса как
способ расширения класса решаемых краевых задач. Изометрическим ото-
бражениям между конечномерными римановыми многообразиями посвяще-
ны, например, работы [15, 16]. Насколько известно автору исследования
диффеоморфных отображений между римановыми многообразиями в кон-
тексте краевых задач ранее не проводились.
Цель работы — расширение класса решаемых краевых задач на рима-
новом многообразии путем сведения задачи специального типа к диффео-
морфно ассоциированной с ней задаче Дирихле, которая исследовалась
в работе [14].
Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 133
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Пусть M — риманово сепарабельное многообразие класса 2C с модельным
пространством H ; G — область в M с гладкой границей GS ; STp —
касательное пространство к S в точке Sp , линейное подпространство
MTp коразмерности 1. Риманов тензор позволяет для каждого Mp за-
дать на MTp скалярное произведение ),( , а следовательно, и соответст-
вующую норму |||| .
Обозначим через )(MCb пространство всех ограниченных непрерыв-
ных вещественных функций на M , через );( TMMCb — пространство всех
непрерывных ограниченных векторных полей на M , через )(1 MCb (соот-
ветственно, );(1 TMMCb ) — пространство всех функций )(MCf b (соот-
ветственно, полей );( TMMCbX ), дифференцируемых в каждой точке
Mx с непрерывной и ограниченной на всем M производной )(f (соот-
ветственно )(X ). Здесь MTpf p
*)( определен формулой MTpf p:)(
Rfpp YY ; )( pX — линейный оператор в MTp , определённый
формулой XYX Yppp :)( , где — связность Леви–Чивиты на M
(бесконечномерный вариант см., например, [17, с. 83]).
Атлас )},{( U ( HU : ) риманова многообразия M будем
называть равномерным [18], если существуют такие 0,,0 r , что
1) для каждой точки Mp существует такая карта ),( pp U , что
))(()( pBU prpp }‖)(‖:{ rqpHq p ;
2) для каждых MTUqMp qp ,, выполняется 2|||| H
p
22 |||||||| H
p для карты ),( pp U из пункта 1).
В работе [18] доказана полнота внутренней метрики риманова много-
образия с равномерным атласом. Напомним, что полнота метрики является
необходимым условием корректного построения оператора Лапласа, прове-
денного в работе [13].
Пусть везде в дальнейшем 1M и 2M — счетномерные римановы мно-
гообразия класса 2C с равномерными атласами 1 и 2 соответственно;
21: MMF — ограниченный диффеоморфизм между ними, т.е., существу-
ет такое 0K , что KqFpF ||)()(||,||)(|| 1 для всех ,1Mp 2Mq ;
1G — область в 1M с гладкой границей 11 GS , )( 12 GFG , 2S
)( 12 SFG .
А.Ю. Потапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 134
СТРОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Векторное поле );(1 TMMCbZ будем называть строго трансверсальным
к S , если существует 0 такое, что для каждой точки Sp :
)),(( STpd pZ (здесь },||)(||{inf)),(( STpSTpd pp ZZ ).
Докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть )( 1
1
1 MCbn — строго трансверсальное к 1S векторное
поле. Тогда векторное поле )()(' 1
1
1
2
FFF nn — строго трансверсальное
к 2S .
Доказательство. Фиксируем точку 2Sq и обозначим 1
1 )( SqFp .
Также обозначим как 2K множество всех 1C кривых 22 ),(:
22
Saav vv
( 0
2
va ) таких, что qv )0(2 . Аналогично обозначим как 1K множество 1C
кривых 11 ),(:
11
Saav vv ( 0
1
va ) таких, что pv )0(1 . Заметим, что
}|{ 1112 KvvFK . Тогда
}|||)(||{inf)),(( 2202222 KvtvSTqd tq | nn
}||||)()()()(||{inf 11011 KvtvpFppF t-n
}||||)()(||{inf||))((|| 11011
11 KvtvppF tn
),),((||)()(|| 11
11 STpdpF pn
откуда, учитывая ограниченность диффеоморфизма F и условие леммы,
получаем существование таких 0, K , не зависящих от q , что
,)),(( 22 K
STqd q
n
что и доказывает строгую трансверсальность 2n к 2S .
ЗАМЫКАЕМОСТЬ ГРАДИЕНТА
Лемма 2. Пусть оператор
1
gradG корректно задан (мера 1 имеет полный
носитель) и замыкаем в );( 112 GL , для )( 2MBA ))(()( 1
12 AFA
.
Также
)(modconst)(mod0grad 111
ffG .
Тогда оператор
2
gradG также корректно задан и замыкаем в );( 222 GL и
)(modconst)(mod0grad 222
ffG .
Следующее утверждение следует непосредственно из построения ме-
ры 2 .
Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 135
Утверждение 1. Пусть )( 21 MLf . Тогда )( 11 MLFf и
12
12
MM
dFfdf .
Доказательство леммы 2. Корректность задания
2
gradG очевидна:
полнота носителя меры 2 следует из полноты носителя меры 1 и опреде-
ления 2 . Сначала докажем замыкаемость
2
gradG . Пусть 0)( 2
1 nfGC в
);( 222 GL , ZnG f
2
grad в );,( 2222 TMGL . Необходимо показать, что
)(mod0 2Z . Благодаря утверждению 1 имеем
112
1
2
1
2
2
2 )(
G
n
G
n
G
n dFfdFfdf ,
а значит 0)( 1
1 FfGC n в );( 112 GL .
Найдем )(grad
1
FfnG :
))grad(()())())((())(()(grad
21
*** FfFFFfFfFf nGnnnG . (1)
Теперь покажем, что )()()(grad *
1
FFFfnG Z в );;( 1112 TMGL .
Действительно, учитывая ограниченность диффеоморфизма F и схо-
димость ZnG f
2
grad в );,( 2222 TMGL , имеем
1
2 1
2** ||))grad(()()()(||
G
nG dFfFFF Z
1
2 1
22 ||))grad((||
G
nG dFfFK Z
0||grad||||grad||
2
2
1
2 2
22
1
22
G
nG
G
nG dfKdFfK ZZ ,
откуда, благодаря замыкаемости
1
gradG , получаем
)(mod0)(mod0)(mod0)()( 211
* ZZZ FFF ,
что доказывает замыкаемость
2
gradG .
Теперь докажем, что
)(modconst)(mod0grad 222
ffG .
Для этого сначала покажем, что )grad(
1GDFf и
))grad(()()(grad
21
* FfFFf GG . (2)
Поскольку )grad(
2GDf , существует последовательность )( 2
1 GCfn
такая, что ffn в );( 222 GL и ff GnG 22
gradgrad в );;( 2222 TMGL .
Из nff 2 получаем FfFfn в );( 112 GL и
А.Ю. Потапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 136
1
12 1
2* ||)(grad))grad(()(||
G
nGG dFfFfF
1
22 1
2** ||))grad(()())grad(()(||
G
nGG dFfFFfF
1
22 1
22 ||))grad(())grad((||
G
nGG dFfFfK
,0||gradgrad(||
1
22 2
22
G
nGG dffK
что доказывает тождество (2).
Теперь, имея (2), получаем
)(mod0))grad(()()(mod0grad 1
*
2 22
FfFf GG
)(modconst)(modconst)(mod0)(grad 2111
fFfFfG .
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ. ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР СЛЕДА
Пусть на 1M фиксировано строго трансверсальное к 1S поле )( 1
1
1 MCbn
такое, что логарифмическая производная 1 вдоль поля 1n 11
div n облада-
ет свойством
)(|div 11 11
GLG n . (3)
Данное условие, вместе с замыкаемостью
1Ggrad , позволяют коррект-
но определить граничный оператор следа
),()()(: 112121 1
SLSLD Ggrad ,
который для функций )( 1
1 GCu совпадает с оператором ограничения:
1
|Suu . На гильбертовом пространстве граничный оператор следа введен
в работе [9] и исследован в работе [11]; случай риманова многообразия ана-
логичен. Построение поверхностной меры 1 также приведен в работе [9].
Напомним, что функция );( 111 ML совпадает с 11
div n , так как для
всех функций )( 1
1
1 MCu b выполняется
.),grad(
11
1 11111
MM
M dudu n (4)
Пусть ))(()( 1
12 AFA и ))(())(()( 1
1
1
2 FFF nn . Леммы 1 и 2
позволяют утверждать, что 2n будет строго трансверсально к 2S , а опера-
тор
2
gradG — замыкаем. Для построения оператора следа на )grad(
2GD не
достаточно условия )(|div 22 22
GLG n . Как будет видно из следующей
леммы, это условие действительно выполняется.
Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 137
Лемма 3.
.)(divdiv 1
12 12
Fnn
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что
для всех функций )( 2
1 MCu b выполняется
.))((div),grad(
2
1
2
2 2
1
122
MM
M dFudu nn
Действительно, учитывая утверждение 1, определение 2n и тождества
(1) (точнее, его аналог для градиентов на 21,MM ) и (4), имеем
1
2
2
2 1222 ),grad(),grad(
M
M
M
M dFudu nn
1
1
1
2 1111
* )),(grad()),)grad(()((
M
M
M
M dFudFuF nn
.))((divdiv)(
2
1
1
1 2
1
111
MM
dFudFu nn
Следствие 1. Если )(|div 11 11
GLG n , то )(|div 22 22
GLG n .
Таким образом, на )grad(
2GD корректно определен граничный оператор
следа 2 . Следующее утверждение отображает связь операторов 1 и 2 .
Утверждение 2. Пусть )(
1GDu grad . Тогда )(
2
1
GDFu grad и
.)()( 1
2
1
2
FuFu
Доказательство. Доказательство вхождения )(
2
1
GDFu grad ана-
логично проведенному в тождестве (2).
Поскольку
1
|)(1 Suu и
2
|)()( 11
2 SFuFu для )( 1
1 GCu , до-
казательство утверждения в этом случае очевидно. Поскольку )( 1
1 GC плот-
но в )(
1GD grad , утверждение истинно в общем случае.
ДИВЕРГЕНЦИЯ ПО МЕРЕ
Замыкаемость
1
gradG , а также условие (3) позволяют корректно определить
граничные операторы следа )()(: 121 1
SLD G grad и )(:
22 GD grad
)( 22 SL . Теперь оператор дивергенции по мере корректно определяем
следующим образом [10]:
.)|(div;)|(div *
Ker2
*
Ker1 2211
GG gradgrad
Следующая лемма устанавливает связь между операторами 1div и 2div .
А.Ю. Потапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 138
Лемма 4. Пусть ))(())(()();(div 1
1
1
211 pFpFFpD ZZZ . Тогда
)(div22 DZ и
.)(divdiv 1
1122
FZZ
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что
для всех функций 2Ker u выполняется
22
2
.))((div),( 2
1
1122
GG
G dFudu ZZgrad
Убедимся, что это действительно так. Учитывая утверждение 1, опре-
деление 2Z , тождество (2), вхождение 1Ker Fu (как следствие утвер-
ждения 2) и определение 1div , имеем
1
2
2
2 11
*
22 )),)(()((),(
G
G
G
G dFuFdu ZgradZgrad
1
2 11)),((
G
G dFu Zgrad
.))((div))(div(
21
2
1
11111
GG
dFudFu ZZ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, F-АССОЦИИРОВАННАЯ С ЗАДАЧЕЙ ДИРИХЛЕ
Пусть
1
gradG замыкаем и выполнено условие (3), а значит, корректно опре-
делены операторы
1Ggrad , 1 и 1div . Благодаря леммам 1 и 2 и следствию 1
можем утверждать, что операторы
2Ggrad , 2 и 2div также корректно оп-
ределены.
Рассмотрим задачу Дирихле на 1M . Пусть ,)( 12 GLf ,)( 1
1 GCk
,0)(,)( 1 xkGCa 0)( xa . Рассмотрим уравнение относительно
функции u
fuauk G )(div
11 grad (5)
с краевым условием
,)(1 u (6)
где 1Im .
Определение. Будем называть следующую краевую задачу относи-
тельно функции u F -ассоциированной с задачей Дирихле (5)–(6) уравнение
11*11
2 )())))((()((div
2
FfuFauFFFFk G grad (7)
с краевым условием
.)( 1
2
Fu (8)
Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 139
Теорема. Функция 2u будет решением F -ассоциированной краевой
задачи (7)–(8), тогда и только тогда, когда Fuu 21 будет решением соот-
ветствующей задачи Дирихле (5)–(6).
Доказательство. Сначала рассмотрим краевые условия. Учитывая ут-
верждение 2, имеем
)()( 1
12
1
22 FuFu
.)()( 11
11
11
1 uFFuF
Теперь покажем, что уравнение (7) при 2uu эквивалентно уравнению
(5) при 1uu . Действительно, учитывая тождество (2) и лемму 4, имеем
1
2
1
2
*11
2 )())))((()((div
2
FfuFauFFFFk G grad
)()())()))((()((div 1
1
11
1
*11
2 2
FuFaFuFFFFk G grad
11
1
1
1
1
2
1 )()))()())((((div
2
FfFuaFukFFFf G grad
1
1
1
11 )())((div
2
FuaFuk G grad
.)(div 111
1
2
fuaukFf G grad
ВЫВОДЫ
В работе показано, что выполнение технических условий, позволяющих по-
строить на римановом многообразии с равномерным атласом лапласиан по
мере, сохраняется при переходе к диффеоморфному риманову многообра-
зию с равномерной структурой (леммы 1 и 2 и следствие 1). Проведенное
сравнение соответствующих операторов на диффеоморфных многообразиях
( div,,grad ) позволяет свести рассмотрение краевой задачи вида (7)–(8)
к задаче Дирихле (5)–(6) на диффеоморфном многообразии, расширив таким
образом, благодаря в частности результатам работ [13, 14], класс решаемых
краевых задач. В контексте дальнейших исследований представляется ра-
зумным рассмотрение конкретных примеров диффеоморфных пар многооб-
разий и соответствующих им краевых задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gross L. Potential theory on Hilbert space / L. Gross // J. Funct. Anal. — 1967. —
1. — P. 123–181.
2. Далецкий Ю.Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними
параболические уравнения / Ю.Л. Далецкий // Успехи мат. наук. — 1967. — 22,
№ 4. — C. 3–54.
3. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. — М.:
Наука, 1967. — 512 c.
А.Ю. Потапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 140
4. Немировский А.С. Об аксиоматическом описании оператора Лапласа для функ-
ций на гильбертовом пространстве / А.С. Немировский, Г.Е. Шилов //
Функциональный анализ и его приложение. — 1969. — 3, № 3. — C. 79–85.
5. Богданский Ю.В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно
бесконечномерными эллиптическими операторами / Ю.В. Богданский //
Укр. мат. журн. — 1977. — 29, № 6. — C. 781–784.
6. Accardi L. On Laplacians and traces / L. Accardi, O.G. Smolianov // Conf. Semin.
Univ. Bari. — 1993. — 250. — P. 1–25.
7. Accardi L. A quantum approach to Laplace operators / L. Accardi, A. Barhoumi,
H. Ouerdiane // Infinite Dimens. Anal. Quant. Probab. Relat. Top. — 2006. — 9.
— P. 215–248.
8. Accardi L. Exotic Laplacians and associated stohastic processes / L. Accardi, U.C. Ji,
K. Saito // Infinite Dimens. Anal. Quant. Probab. Relat. Top. — 2009. — 12. —
P. 1–19.
9. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача
Дирихле для уравнения Пуассона в 2L -версии / Ю.В. Богданский // Укр.
мат. журн. — 2011. — 63, № 9. — C. 1169–1178.
10. Богданский Ю.В. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом про-
странстве / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Укр. мат. журн. —
2014. — 66, № 6. — C. 733–739.
11. Богданский Ю.В. Граничный оператор следа в области гильбертова простран-
ства и характеристическое свойство его ядра / Ю.В. Богданский // Укр. мат.
журн. — 2015. — 67, № 11. — C. 1450–1460.
12. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере и эргодическая теорема / Ю.В. Богдан-
ский, Я.Ю. Санжаревский // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, № 9. —
C. 1172–1180.
13. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Ди-
рихле I / Ю.В. Богданский, А.Ю. Потапенко // Укр. мат. журн. — 2016. — 68,
№ 7. — C. 897–907.
14. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Ди-
рихле II / Ю.В. Богданский, А.Ю. Потапенко // Укр. мат. журн. — 2016. —
68, № 11. — C. 1443–1449.
15. Obata M. Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphere /
M. Obata // J. of the Math. Soc. of Jap. — 1962. — 14, N. 3. — P. 333–340.
16. Omori H. Isometric immersions of Riemannian manifolds / H. Omori // J. of the
Math. Soc. of Jap. — 1967. — 19, N 2. — P. 205–214.
17. Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия /
Ю. Л. Далекций, Я. И. Белопольская. — К.: Вища шк., 1989. — 296 c.
18. Потапенко О.Ю. Нескінченновимірні ріманові многоводи з рівномірною стру-
ктурою / О.Ю. Потапенко // Наукові вісті НТУУ «КПI». — 2016. — Т. 108,
№ 4. — С. 73—79.
Поступила 27.10.2017
|
| id | journaliasakpiua-article-112203 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:13Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/e7/c99338aa34b04d745c857cf44758c4e7.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1122032018-04-12T11:42:34Z Boundary value problem, associated with diffeomorphism between Riemannian manifolds Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами Potapenko, Oleksii Yu. Hilbert space Riemannian manifold diffeomorphism Borel measure derivation of measures Laplacian Dirichlet problem Гильбертово пространство риманово многообразие диффеоморфизм борелевская мера дифференцирование мер оператор Лапласа задача Дирихле Гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле Laplace operator construction is considered in L2-version with respect to the measure in the context of diffeomorphism between (infinite-dimensional) Riemannian manifolds. The connection between such operators as the gradient closure, boundary restriction operator and divergence with respect to the measure on diffeomorphic manifolds is derived. It is proved that in the case when the gradient closure, boundary restriction operator and divergence with respect to measure are correctly defined on a Riemannian manifold, the respective operators are correctly defined on a diffeomorphic Riemannian manifold too. As a corollary of the derived connection, the class of solvable boundary value problems (problems that have one and only one solution) on Riemannian manifolds (and on Hilbert’s space as a particular case of Riemannian manifold) is widened by reducing the problem of a special kind into an associated with it Dirichlet problem. Рассмотрена конструкция оператора Лапласа в L2-версии по мере в контексте диффеоморфизма между (бесконечномерными) римановыми многообразиями. Получена связь между операторами замыкания градиента, граничным оператором следа и дивергенции по мере на диффеоморфных римановых многообразиях. Показано, что в случае корректности определения замыкания градиента, граничного оператора следа и дивергенции на римановом многообразии соответствующие операторы на диффеоморфном с ним римановом многообразии тоже корректно определены. Как результат полученной связи между операторами расширен класс решаемых задач (задач, которые имеют, притом единственное, решение) на римановом многообразии (и на гильбертовом пространстве как частном случае риманова многообразия) сведением задачи специального типа к ассоциированной с ней задаче Дирихле. Розглянуто конструкцію оператора Лапласа в L2-версії за мірою в контексті дифеоморфізму між (нескінченновимірними) рімановими багатовидами. Отримано зв’язок між операторами замикання градієнта, граничним оператором сліду і дивергенції за мірою на дифеоморфних ріманових багатовидах. Показано, що у випадку коректності визначення операторів замикання градієнта, граничного оператора сліду і дивергенції на рімановому багатовиді відповідні оператори на дифеоморфному з ним рімановому багатовиді також коректно визначені. Як результат отриманого зв’язку між операторами розширено клас задач, що мають розв’язок (задач, що мають, причому єдиний, розв’язок) на ріманових багатовидах (і на гільбертовому просторі як окремому випадку ріманового багатовиду) зведенням задачі спеціального типу до асоційованої з нею задачі Діріхле. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-03-20 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112203 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.11 System research and information technologies; No. 1 (2018); 132-140 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2018); 132-140 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2018); 132-140 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112203/123517 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле Potapenko, Oleksii Yu. Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами |
| title | Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами |
| title_alt | Boundary value problem, associated with diffeomorphism between Riemannian manifolds Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями |
| title_full | Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами |
| title_fullStr | Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами |
| title_full_unstemmed | Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами |
| title_short | Крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами |
| title_sort | крайова задача, асоційована з дифеоморфізмом між рімановими багатовидами |
| topic | Гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле |
| topic_facet | Hilbert space Riemannian manifold diffeomorphism Borel measure derivation of measures Laplacian Dirichlet problem Гильбертово пространство риманово многообразие диффеоморфизм борелевская мера дифференцирование мер оператор Лапласа задача Дирихле Гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112203 |
| work_keys_str_mv | AT potapenkooleksiiyu boundaryvalueproblemassociatedwithdiffeomorphismbetweenriemannianmanifolds AT potapenkooleksiiyu kraevaâzadačaassociirovannaâsdiffeomorfizmommeždurimanovymimnogoobraziâmi AT potapenkooleksiiyu krajovazadačaasocíjovanazdifeomorfízmommížrímanovimibagatovidami |