Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску

The model describes an economy with monopolies and consumers interests dependent on the production volume of goods. Determined limitations of defined model characteristics prove an equilibrium existence. The equilibrium existence means a solvability of equilibrium equations. An algorithm for solving...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Makhort, Andrii P.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018
Schlagworte:	рівновага попит пропозиція монополісти ціноутворення
Online Zugang:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112310
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	System research and information technologies
Завантажити файл:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334324990246912
author	Makhort, Andrii P.
author_facet	Makhort, Andrii P.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Andrii P. Makhort", "institution": "Лабораторія математичного моделювання відділу синергетики Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ" } ]
author_sort	Makhort, Andrii P.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-04-12T11:42:34Z
description	The model describes an economy with monopolies and consumers interests dependent on the production volume of goods. Determined limitations of defined model characteristics prove an equilibrium existence. The equilibrium existence means a solvability of equilibrium equations. An algorithm for solving the equilibrium problem is propoіsed. Each solution corresponds to an equilibrium state of the economy. The algorithm determines the equilibrium states with indicated properties. Discovered optimal values of equilibrium characteristics guarantee an acceptable level of satisfaction of all economy subjects' needs. Evaluated boundary values of equilibrium characteristics lead to an estimation of an attainment of selected equilibrium states.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.03
first_indexed	2025-07-17T10:23:14Z
format	Article
fulltext	 А.П. Махорт, 2018 36 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 УДК 519.86 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.03 АЛГОРИТМ ВИЗНАЧЕННЯ СТАНІВ РІВНОВАГИ ЗА УМОВИ ЗАЛЕЖНОСТІ СТРУКТУРИ СПОЖИВАННЯ ВІД ОБСЯГІВ ВИПУСКУ А.П. МАХОРТ Анотація. Доведено існування рівноваги в економічній системі з монополістами та споживчими уподобаннями, що формуються з урахуванням інформації про обсяги випуску товарів. Установлено умови на задані економічні характери- стики, які гарантуватимуть розв'язність рівнянь рівноваги в заданій області значень. Указано алгоритми знаходження рівноважних характеристик. Розгля- нуто можливість оптимального вибору значень рівноважних характеристик. Оптимальність пов'язується з бажанням окремих суб'єктів економічної систе- ми забезпечити якомога повніше задоволення своїх потреб. Знайдено граничні оцінки значень економічних характеристик, які дозволяють установити можливість досягнення станів рівноваги з вибраними властивостями. Ключові слова: рівновага, попит, пропозиція, монополісти, ціноутворення. ВСТУП Дослідження економічних систем за допомогою рівноважних підходів дає змогу виявити інструменти і засоби впливу на них для реалізації сценаріїв функціонування із заданими властивостями. Зокрема, використання рівнова- ги вальрасового типу [1,2] дозволяє виявляти чинники, що призводять до порушення балансу між попитом і пропозицією товарів в економічній сис- темі, та з'ясувати інтервали значень змінних характеристик економічної сис- теми, які гарантуватимуть дотримання цього балансу. Дисбаланси пов’язані з розвитком процесів, що негативно діють на суб'єкти економічної системи. Поява таких процесів може бути наслідком взаємовідносин між суб'єктами економічної системи. Формування споживчих уподобань суб'єктів економічної системи є од- ним з проявів взаємовідносин. На формування уподобань можуть впливати різні чинники, серед них і виробничі технології. З усіх складових виробни- чих технологій (в найширшому сенсі) тут йтиметься про обсяги товарів на ринку. Економічні обґрунтування вагомості цього чинника досить очевидні. Звернемо увагу лише на один із фактів, а саме: взаємозв'язок між певними типами товарів, використання яких відбувається в комплексі. Тому потреба у споживанні деяких типів товарів безпосередньо зумовлюється наявністю на ринку пов'язаних з ними товарів. Споживчі уподобання значною мірою впливають на умови встановлення рівноваги в економічній системі, а ураху- вання того, чи іншого чинника може суттєво змінити характеристики станів рівноваги і процес ціноутворення в економічній системі. Мета роботи — з’ясування впливу залежності коефіцієнтів споживан- ня, що описують споживчі уподобання суб'єктів економічної системи, від Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 37 обсягів випуску продукції на умови встановлення рівноваги економічної системи, з урахуванням інших чинників впливу в економічній системі, таких як монополізм. Будемо визначати ті характеристики станів рівноваги економічної сис- теми, перебування в яких буде прийнятним за рівнем споживання для всіх суб'єктів економічної системи. У раніше розглянутих спробах розв'язати поставлену задачу [3] виник- ли додаткові припущення про розміщення ненульових елементів матриці попиту, яка складається з коефіцієнтів споживання. У дослідженні викори- стовуватимемо альтернативний підхід до розв'язання задачі, щоб уникнути таких припущень. ОПИС МОДЕЛІ ЕКОНОМІКИ Нехай економічна система утворена сукупністю l суб'єктів, кожен з яких є споживачем товарів. Усього ln  різновидів товарів, а їх обсяг виробництва характеризує вектор випусків n iixx 1}{  . Споживчі уподобання суб'єктів економічної системи задаватиме матриця попиту ln jkkj xcxC , 1,1 )()(   із за- лежними від обсягів випуску товарів елементами. Споживачів в економічній системі вважатимемо ненасичуваними (вони мають намір витрачати весь свій прибуток на придбання нових товарів). Матричний елемент )(xckj визначає кількість k -го товару, яку бажає придбати j -й споживач, якщо обсяг випуску товарів задають компоненти вектора x . Очевидно, для кож- ного ненасичуваного споживача існує мінімальний набір необхідних йому товарів. Потреба у нових товарах, як і прибуток суб'єктів економічної сис- теми, не є необмеженими, тому є і верхня межа споживчих інтересів. Цілком слушно вважати, що для елементів матриці попиту )(xC справедливі оцінки 10 )( kjkjkj cxcc  , а також 0:],1[,1 1  kjcljnk . Останнє озна- чатиме, що мінімальний набір товарів не повинен бути нульовим (інакше споживач не буде ненасичуваним). Вважатимемо, що в економічній системі наявні n суб'єктів, які вироб- ляють один з можливих типів товарів для підтримування свого функціону- вання. Решта nl  суб'єктів економічної системи функціонують за рахунок зовнішніх надходжень. Ці надходження можуть бути сформовані в резуль- таті оподаткування прибутків. Відповідно вектор n ii 1}{  вказуватиме рівні оподаткування суб'єктів економічної системи. Економічна система від- крита, і її суб'єкти можуть як отримувати додаткові обсяги товарів ззовні, так і експортувати частину своїх товарів. Таку взаємодію із зовнішнім ото- ченням задаватимуть вектори експорту n iie 1}{  та імпорту n iii 1}{  . Серед ви- робників товарів є tn  монополістів. Виробники отримують свій прибуток в результаті певної виробничої діяльності. Їх рішення використовувати один з можливих технологічних процесів для виготовлення обраного типу товарів описуватиме матриця n jkjkjkj xba 1, /   . Елементи технологічної матриці А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 38 задають ті витрати, які потрібні для виробництва одиниці випуску товару в натуральних показниках з урахуванням постійних витрат, що скеровуються на підтримання функціонування самого виробництва. Крім виготовлення власних нових товарів, суб'єкти економічної системи можуть володіти та- кож і деяким запасом раніше вироблених товарів, як своїх, так і виготовле- них іншими виробниками. Структуру запасу товарів в економічній системі характеризують елементи матриці n jk kjb 1, 1  . Її елементи 1 kjb вказують на кі- лькість запасу k -го товару у j -го суб'єкта економічної системи. ЗАВДАННЯ ДОСЛІДЖЕННЯ У моделі задаватимемо складові технологічної матриці n jkkja 1,  , n jkkjb 1,  , елементи матриць ln jk kjcC , 1,1 00   і ln jk kjcC , 1,1 11   , які визнача- ють граничні споживчі набори товарів суб'єктів економічної системи. Відомі і елементи матриці n jk kjb 1, 1  . Весь запас товарів його власник може вистав- ляти на продаж. Виняток становитимуть хіба що товари монополістів. Сенс монополізму полягає в тому, що їх товари не можуть виставлятись на про- даж іншими суб'єктами, унаслідок чого відповідні елементи матриці запасу товарів мають бути нульовими. Згідно з економічними реаліями стратегія оподаткування, що описується вектором ),,( 00 1 t  , має бути визначеною. Щодо рівнів оподаткування монополістів ),,( 1 nt    , то вони можуть розглядатись як важіль впливу на монополістів і залежати від стану рівноваги, у якому перебуватиме економічна система. Регулювання зовнішньоекономічної діяльності потребує фіксованих обсягів експорту ),,( 00 1 nee  та імпорту товарів ),,( 00 1 nii  . Стратегії поведінки виробників, крім заданих технологічних коефіцієнтів, передбачають певне додаткове планування їх діяльності. Для монополістів це означає, що вони самостійно здатні контролювати рівень цін своїх товарів ),,( 00 1 nt pp  . Решта виробників здійснюють планування контролем значень обсягів випуск своїх товарів ),,( 00 1 txx  . Із досягненням рівноваги в економічній системі встановлюватиметься баланс між попитом на товари і їх пропозицією. Рівновага економічної сис- теми з указаними характеристиками описується рівняннями [1, 3]: ;,1,)( 1 1 111 nkiebbxaxyxc kk n i ki n i ki n i ikik l j jkj    (1)          n k kkjj n k kkjjjj pbpapx 11 .,1,)( 11 1 njpxcypb n s ssjj n k kkjj    (2) Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 39 Система рівнянь (1), (2) задає рівність попиту і пропозиції в економічній системі. За її допомогою можна визначити всі ймовірні стани рівноваги з прибутковим виробництвом суб'єктів економічної системи [1]. Характеристиками різних станів рівноваги будуть вектори t iip 1}{  , n tii 1}{  , n tiix 1}{  і l iiy 1}{  . Саме стосовно цих векторів і розв'язуватимемо систему рівнянь (1), (2) з рештою заданих величин. Серед станів рівноваги одні є прийнятними для всіх споживачів, інші можуть бути для них небажаними. Вважатимемо, що прийнятні стани рівноваги визначаються значеннями ступенів задоволення потреб споживачів і компоненти вектора l iiy 1}{  мають належати інтервалу M i m yyy  , li ,1 . ОПТИМАЛЬНІ СТУПЕНІ ЗАДОВОЛЕННЯ ПОТРЕБ СПОЖИВАЧІВ Вважатимемо матрицю n kjjkaA 1,   продуктивною. Тоді із системи рівнянь (1) для частини індексів отримаємо вираз ,,1, ~~)( 0 1 11 tkbzAE k n s sks     (3) де введено нові невідомі величини .,1,)(~ 1 1 niyxcz l j jiji    (4) Права частина виразу (3) буде заданою .,1,)( ~ 1 1 1 1100 tkbbieAExb n s n j n i sisjsskskk                  Для решти індексів маємо       n s ks n s sksk AEzAEx 1 1 1 11 )(~)( ,,1, 1 1 1 ntkbbie n i si n j sjss             (5) Функціональну залежність величин nszs ,1,~1  від вектора x тимчасо- во не братимемо до уваги і розглядатимемо їх як незалежні змінні. Якщо із системи рівнянь (3) визначити вектор n sszz 1 11 }~{~  , то за ним з підсистеми рівнянь (5) можна однозначно визначити і невідомі обсяги випуску продукції монополістів n tiix 1}{  . Але у виразі (3) невідомих більше ніж рівнянь. У цьому випадку для вектора n sszz 1 11 }~{~  можна застосувати пара- метричне подання розв'язку. Такого типу параметричне подання згідно з працею [1] описуватиме всі можливі додатні розв'язки задачі вигляду (3) стосовно вектора 1~z . Щоб використати це подання, необхідно виконати А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 40 певні вимоги. Для зменшення кількості параметрів потрібно щоби ранг матриці nt sk ksAE , 1, 1)(   дорівнював t . Із припущення про продуктивність матриці n kjjkaA 1,   випливатиме існування невиродженої матриці t sk ksAE 1, 1)(   [4]. Далі слід вимагати, щоб елементи оберненої до неї матриці t ikkiH 1, 0  задовольняли нерівності .,1,0 ~ ), ~ ( 1 0000 tiHbHb t s sisi    Тоді можна записати параметричний розв'язок )~(~~ 11  zz рівняння (3):        ), ~ (,,~~),(), ~ ()~(~ 00 1 0 1 0 1 01 t n tj jjj HbzHdHbz  ,~~,,~~,~~),( * 11 1 0         nntt n tj jjtj zzzHd  (6) У виразі (6) ,,1,)(),( 1 010 ntkHAEHd t s siskik     для заданого додатного вектора n tiizz 1 * }~{~  мають виконуватись вимоги ,,1,,1,~),(), ~ ( 000 tkntjzHdHb jkjk  а компоненти вектора параметрів )~,...,~(~ 1 nt   належатимуть множині  , яка задається обмеженнями ;,1,~~),(), ~ ( 1 000 tkzHdHb n tj jjkjk    ;,1,0~ ntii  .1~~ 1 1     n n tj j Параметр 1 ~ n відіграє роль масштабного доданка, тому він може бути і від'ємним. Якщо з рівняння (5) за вектором )~(~1 z визначити рівноважний вектор обсягів випуску товарів монополістами n tiix 1}{  , його компоненти залежатимуть від вибору вектора параметрів ~ . Через функціональну залежність елементів матриці попиту )(xC від вектора x тепер вони теж залежатимуть від вектора ~ . Позначимо: .,1,,1),()~( ljnkxcc kjkj  Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 41 Як і для елементів матриці )(xC , для елементів матриці ln jk kjc , 1,1 * )~(   мають зберегтися обмеження .~,,1,,1,)~( 10  ljnkccc kjkjkj (7) Урахуємо тепер зв'язок (4) між величинами )~(~1 sz , ns ,1 і компонен- тами вектора x , унаслідок чого отримаємо рівняння для знаходження рівноважних значень ступенів задоволення потреб споживачів .,1),~(~)~( 1 1 * nizyc i l j jij   (8) Очевидно, що область значень компонентів вектора y залежить від то- го, якими будуть вибрані значення компонентів вектора параметрів ~ з множини  . Сама ж система рівнянь (8) не дає змоги однозначно визна- чити компоненти вектора l iiy 1}{  . З'ясуємо, чи можна визначати характери- стики, прийнятні для суб'єктів економічної системи, ґрунтуючись на прин- ципах оптимальності. Визначити прийнятні значення ступенів задоволення потреб споживачів, тобто з інтервалу M i m yyy  , ni ,1 , можна, розв'язавши екстремальну задачу за фіксованого вектора ~ з множини    ,])~([ 2 1 )~( ~ ),~( ~ min 1 200 ,,1    n j jj yy y n FF  (9) з урахуванням рівностей (8) як додаткових вимог. Використаємо раніше отримані результати [5]. Тоді величини n ii 1)}~({  задаватимемо виразами ,,1,)~()~( 1 * 1 tsc t k kskss    ntsc t k kskss ,1,)~()~( 1 1 0    , а задачу (9) розв'язуватимемо за додаткових вимог .,1),~(~)~( 1 01 1 tkzyyc kk n j jkj   (10) Відповідно до результатів [5] значення ступенів задоволення потреб споживачів ),,( 1 nyy  , які розв'язуватимуть екстремальну задачу (9), (10), описуватимуться рівняннями ;,1,)~()()( 1 * 1 tscy t k kskksss    (11) ,,1,)~()( 1 1 0 ntscy t k kskkss    (12) де величини t iii 1}{  будуть розв'язком операторного рівняння А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 42 ;,1),,,,~( ~ 11 ~ tkttkkk    (13)              1 1 1 2 1 0 11 ~ )~()~(~),,,~( ~ s n ts skkttk cz              t j jjjk t j jjkj cc 1 * 1 * 1 )()~()()~( 1 .,1),()~()~( 1 1 1 ** 2 1 tkcc jj t j n i jiki              За кожного фіксованого вектора  nt   ~,...,~~ 1 , ~  у рівняннях (10)–(13) сталі 0 , 1 є заданими, їх значення вибираються з умов ,,1,0))~(~)~(~()~( 1 0 1 1 1 tkzzc kk l nj kj           ,,1,)~()~(~)~(~)~( 1 1 1 0 1 1 1 tkcyzzcy l nj kj M kk l nj kj m    Заданими є і сукупність параметрів },,{ 11 1 nt    . Для існування розв'язку зі встановленими обмеженнями на вектор ступенів задоволення потреб споживачів достатньо виконати такі умови: для величин m , M , вибраних з оцінок ;,1,)~()~( 1 * 1 1 * 1 tsyccy M t k ks M t k ks mm                ,,1,)~()~( 1 0 1 * 1 1 0 ntsyccy s M t k ks M t k ks m s m    і сталих 0 , 1 справедливі нерівності                   n k t i sk m k n tk kss ccz 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 )~()~()~(~ ;,1,)~()~()~( 1 1 1 * 1 * tsccc M t i is t i siik                         n k t i sk M k n tk kss ccz 1 1 * 2 1 1 1 1 2 1 0 )~()~()~(~ .,1,)~()~()~( 1 1 1 * 1 * tsccc m t i is t i siik       Виникає питання як вибирати вектор ~ з множини  . Припустімо, що він має бути розв'язком системи рівнянь Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 43 .,1),~(~)~( 1 01 1 ntkzyyc kk n j jkj   (14) або відповідно до подання (6) .,1,)~(~ 1~ 1 1 * * 0 ntkyyc z k n j jkj k k              (15) Сформулюємо умови існування додатного розв'язку із заданими вла- стивостями системи рівнянь (11)–(13), (15). Теорема 1. Нехай для заданих значень сталих 0 , 1 і параметрів },,{ 11 1 nt    , а також вибраних на підставі оцінок ;,1, 1 0 1 1 1 1 tsyccy M t k ks M t k ks mm                ,,1,1 0 1 0 1 11 0 ntsyccy s M t k ks M t k ks m s m    величин m , M справедливі нерівності                  n k t i sk m k n tk ks M s ccz 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 ~  ;,1, 1 1 1 1 1 1 1 tsccc M t i is t i siik                         n k t i sk M k n tk ks m s ccz 1 1 0 2 1 1 1 0 2 1 0 ~ ,,1, 1 0 1 1 0 1 0 tsccc m t i is t i siik       де              ij n k jkij M i m i cHd y Hbz Q 1 1 00 0 00 ),(), ~ (~ ;,1,0),( 1 1 10 0 ticHd y ij n k jkij m             Q              ij n k jkij m i M i cHd y Hbz Q 1 1 10 0 00 ),(), ~ (~ ;,1,~),( 1 1 00 0 tizcHd y m i j n k jkij M i             Q ;,1},0),(:],,1[{ 0 tiHdkntk iki Q .,1},0),(:],,1[{ 0 tiHdkntk iki Q А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 44 Тоді існує додатний розв'язок задачі (11)–(13), (15). Розв'язком будуть вектори n iiy 1}{  , n tii 1}~{  і t iii 1}{  . Крім того, компоненти вектора n iiy 1}{  задовольнятимуть обмеження M i m yyy  , ni ,1 . Доведення. Унаслідок припущення про властивості елементів матриці ln jk kjc , 1,1 * )~(   , для яких мають виконуватись обмеження (7) ,~,,1,,1,)~( 10  ljnkccc kjkjkj з виразу (15) отримаємо граничні значення параметрів }~,...,~{ 1 nt   : ;,1,~ ~ 1 1 1 * 0 ntkc z y n j kj k m m k              ,,1,~ ~ 1 1 0 * 0 ntkc z y n j kj k M M k              якщо всі компоненти вектора n iiy 1}{  міститимуться в інтервалі ],[ Mm yy . За цими граничними значеннями утворимо множину ,,1, 2 )~~(~ 2 )~~( ,~~ 1                 ntjR m j M j j m j M jtn на якій також мають виконуватись обмеження (7). Розглянемо дію оператора t itti 111 ~ )},,,~( ~ {     на вектор з множини              tkR mM kk mM kk ,1, 2 )( 2 )( ,M за довільно вибраного вектора ~ з множини 1~ . Для кожного вектора з множини M та вектора 1~~  на підставі умов теореми для оператора t itti 111 ~ )},,,~( ~ {     можна записати оцінки зверху                       t j n i jikis n ts skkk cccz 1 1 11 2 1 1 1 11 2 1 0~ 1 )~(~~              t j jjjk t j jjkjjj cc 1 1 1 1 1 )()( 1 )(                       t j jk t j kj m s n ts skk cccz 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 0 1 )~(~                       1 1 1 2 1 0 1 1 11 2 1 ~1 s n ts sk M k t j n i jiki m czcc Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 45 ,,1, 11 1 1 11 2 11 1 1 1 1 tkcccc M t j n i jiki m t j jk t j kj m                        і оцінки знизу                       t j n i jikis n ts skkk cccz 1 1 00 2 1 1 1 01 2 1 0~ 1 )~(~~              t j jjjk t j jjkjjj cc 1 0 1 0 1 )()( 1 )(                       t j n i jiki M s n ts skk cccz 1 1 00 2 1 1 1 01 2 1 0 1 )~(~                       1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 ~1 s n ts sk m k t j jk t j kj M czcc .,1, 11 1 0 1 0 11 1 00 2 1 tkcccc m t j jk t j kj M t j n i jiki M                        Виконання цих оцінок означатиме, що за будь-якого вектора 1~~  оператор t itti 111 ~ )},,,~( ~ {     переводитиме множину M саму в себе. Тоді для величин t iii 1}{  будуть справедливими обмеження .,1, tkM kk m  Відповідно для векторів 1~~  і   Mt iii 1}{ з виразів (11), (12) випливатимуть оцінки знизу ;,1, 1 1 1 tsycy m t k ks mm s    ,,1, 1 11 0 ntsycy m t k ks m ss    і оцінки зверху ;,1, 1 0 1 tsycy t k M ks MM s    .,1, 1 01 0 ntsycy M t k ks M ss    Таким чином, якщо для розв'язання системи рівнянь (11)–(13), (15) ви- користати ітераційний процес і початкові вектори n iiy 1 ]0[ }{  , t iii 1 ]0[]0[ }{  та ]0[~ вибирати відповідно з множин ,,1, 2 )( 2 )( ,              nk yy y yy Ry mM k mM k А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 46 M і 1~ , отримаємо, що подальші ітерації теж належатимуть до цих мно- жин. У результаті на підставі теорем про нерухому точку можемо зробити висновок про існування розв'язку з потрібними властивостями задачі (11) – (13), (15). Теорему доведено. Так визначені компоненти вектора n iiy 1}{  задовольнятимуть рівняння (10), (14). А щоб значення ступенів задоволення потреб споживачів відповідали одному зі станів рівноваги для компонентів вектора l iiy 1}{  , мають бути справедливими рівності .,1,)~()~(~)~(~ 1 1 1 0 1 nkycyzz l nj jkjkkk    (16) Тоді вони розв'язуватимуть і рівняння (8). Вважатимемо надалі, що у матриці n jk l ns jskscc 1,1 11   найбільше власне значення 1~  додатне. Щоб знайти потрібні значення ступенів задоволення потреб споживачів l tiiy 1}{  , використаємо екстремальну задачу [5]     l nj jj yy y ln 1 211 ),,( ])~([ 2 1~ ),~( ~ min 1 FF  (17) за додаткових вимог (16). Розв'язок задачі має задовольняти і обмеження .,1, lnkyyy M k m  (18) Відповідно до результатів [5] існуватиме додатний вектор n ii 1 1}ˆ{  , за якого величини n ii 1)}~({  будуть означені виразом lnsc n k ksks ,1,)~(ˆ 1 1    , а задача (16)–(18) розв'язна. Справді, для екстремальної задачі (16), (17) можна записати функцію Лагранжа .)~()~(~)~(~ˆ)~(ˆ 2 1ˆ 1 1 1 1 0 11 1 2 1 1                      n k l nj jkjkkkk l j j t k kjk ycyzzycL За такої функції Лагранжа для будь-якого довільно вибраного ненульо- вого вектора ),,( 1 nyy  справедливі нерівності ,0 ˆ 1 2 1 1 2       l s s l j l i ji ji yy yyy L а розв'язок екстремальної задачі (16), (17) задовольнятиме вимоги Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 47 ;,1,0)~(ˆ)~(ˆ ˆ 1 1 1 1 lnsccy y n k ksk n j jsjs s      L (19) .,1,0)~()~(~)~(~ ˆ ˆ 1 1 1 0 1 1 nkycyzz l nj jkjkkk k      L (20) На підставі вимог (19), (20) отримаємо рівняння на множники Лагранжа n ii 1 1}ˆ{  : .,1,)~(~)~(~)ˆˆ()~()~( 1 1 0 1 1 11 1 nkyzzcc kkk n j jj l ns jsks           Якщо матриця n jk l ns jsks cc 1,1 )~()~(    нерозкладна, то згідно з теоремою Перона–Фробеніуса [6] існує додатний власний вектор, який відповідає найбільшому власному значенню  ~ . Якщо ж матриця розкладна, власний вектор буде принаймні невід'ємним. Нехай n iiiv 1 11 }ˆˆ)1{(  і є таким век- тором. Тоді рівняння на множники Лагранжа подамо у вигляді            n j j l ns jskskkk ccv 1 1 1 111 ˆ)~()~()( ~ .,1,)~(~)~(~ 1 1 0 1 nkyzz kkk  звідки випливатиме, що для гарантованого існування ненульових множників Лагранжа n ii 1 1}ˆ{  достатньо відповідним чином підібрати компоненти векторів n ii 1 1}{  і значення параметра v . У випадку, якщо в матриці n jk l ns jskscc 1,1 11   найбільше власне значення 1~  додатне, то з нерівностей njkcccc l ns jsks l ns jsks ,1,,)~()~( 1 11 1    , випливатиме 0 ~~ 1  . У результаті рівноважні значення ступенів задово- лення потреб споживачів l niiy 1}{  визначатимуться за формулою                n k n j j l ns jskskss cccy 1 1 1 1 *** ˆ)~()~()~(~ 1 .,1,))~(~)~(~()~(~ 1 1 1 1 1 0 1* lnsvyzzc n k kkkkks      Вибір величин n ii 1 1}{  і v , крім забезпечення ненульових значень множників Лагранжа n ii 1 1}ˆ{  , може гарантувати і виконання вимоги (18). А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 48 Зауваження. Достатніми умовами справедливості обмежень (18) для розв'язку задачі (16), (17) є              n k n j j l ns jsksks ccc 1 1 1 1 111 0 ˆ~ 1 ;,1,)~~(~ 1 1 1 10 1 0 lnsyvyzzc m n k k mm k m kks                   n k n j j l ns jsksks ccc 1 1 1 1 000 1 ˆ~ 1 .,1,)~~(~ 1 1 1 10 0 1 lnsyvyzzc M n k k MM k M kks      де 0~  — найбільше власне значення матриці t jk l ns jskscc 1,1 00   . ОПТИМАЛЬНІ ЦІНИ ТОВАРІВ Ціни є рівноважними, якщо вони задовольнятимуть рівняння вигляду (2). Нехай технології виробництва товарів такі, що для деякої додатної сталої 0 ~ С справедлива оцінка .,1,,1, ~ 0 tstjСxa jsj  Для запобігання надлишковому нагромадженню товарів, коли запас певних типів товарів в економічній системі такий, що їх подальше виготов- лення може призвести до перевиробництва і порушення рівноваги, на еле- менти матриці запасу товарів установимо обмеження .,1,,1, ~11 tstjСbbc y sjsjsj j m j   (21) якщо виконуватиметься вимога .,1,,1,010 tstjbbc y sjsjsj j M j   (22) де СС ~~ 0  , а M jy і m jy — відповідно найвищий і найнижчий прийнятні для j -го суб'єкта економічної системи рівні задоволення потреб. Спектральний радіус матриці n kjjkaA 1,   вважається меншим за одиницю, тому вираз (2) можна трансформувати до вигляду ;,1),(ˆ tkpp x kk  P (23)             t j jj j n ts ssjjk x k x y paAEp 1 1 01)()(P̂ Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 49 .,1,)( 1 )( 1 1 1 tkpbb x pxc n s ssisj j n s ssj         Теорема 2. За умови виконання обмежень (21), (22) і нерівностей ,1max 1 )( 1 1 10 ],1[0 1                  t k t j sjsjsj j M j tsj jk bbc y x AE де стала С ~ така, що             t j n ts ssj jj m j n ts ssjjk pc x y paAE 1 1 0 0 1 01)( ;,1,0 ~11 10 1 0 0 tkC x pb x j n ts ssj j         , max 1 )(1 1 )( 1 1 1 ],1[0 1 1 1 1 0 1 0 1 00 0 1 1                                   t k t j sjsjsj j M j tsj jk t k t j n ts ssj n ts ssj j M j n ts ssjj j jk bbc y x AE pbpc y pax x AE існує додатний розв’язок рівняння (23). Доведення. Для суми   t k x k p 1 )(P̂ справедливий ланцюжок нерівностей               t k t j n s ssj jj M j n ts ssjjk t k x k pxc x y paAEp 1 1 1 0 1 01 1 )()()(P̂                 t k t j n ts ssjjk n s ssjsj j paAEpbb x 1 1 1 01 1 1 0 )()( 1              t k t j jk n s ssjsj j n s ssj jj M j AEpbb x pc x y 1 1 1 1 1 0 1 0 0 )()( 1               n ts ssj j n ts ssj jj M j n ts ssj pb x pc x y pa 1 0 0 1 00 0 1 0 1 .max 1 )( 1 1 1 10 ],1[0 1                  t k t j t s ssjsjsj j M j tsj jk pbbc y x AE Урахувавши обмеження (21), отримаємо, що завжди можна підібрати значення параметра 00  , для якого виконуватиметься оцінка знизу: А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 1 50             t j n s ssj jj m j n ts ssjjk x k pxc x y paAEp 1 1 0 1 01 )()()(P̂                t j n ts ssjjk n s ssjsj j paAEpbb x 1 1 01 1 1 0 )()( 1             t j jk n s ssjsj j n s ssj jj m j AEpbb x pc x y 1 1 1 1 0 1 1 0 )()( 1               0 1 0 0 1 01 0 1 0 1 n ts ssj j n ts ssj jj m j n ts ssj pb x pc x y pa                  t j t s sjsjsj j m j j jk bbc y x AE 1 1 11 0 1 1 )(             t j n ts ssj jj m j n ts ssjjk pc x y paAE 1 1 01 0 1 01)( tk x AECtpb x t j j jk n ts ssj j ,1, 1 )( ~1 0 1 0 1 0 1 0 0           . Тепер, якщо задати параметр  так, щоб задовольнити нерівності ; max 1 )(1 1 )( 1 1 10 ],1[0 1 1 1 1 0 1 00 1 00 0 1                                   t k t j sjsjsj j M j tsj jk t k t j n ts ssj n ts ssj j M j n ts ssjj j jk bbc y x AE pbpc y pax x AE             t j n ts ssj jj m j n ts ssjjk pc x y paAE 1 1 01 0 1 01)( tkC x pb x j n ts ssj j ,1,0 ~11 0 1 0 0        , то компактна опукла множина          t k kk ptkp 1 0 ,,1, переводитиметься оператором t k x k p 1)}(ˆ{ P сама в себе. У результаті на підставі теорем про нерухому точку [7] встановимо існування додатного розв’язку рівняння (23). Теорему доведено. Зауваження. Виконання умов теореми гарантуватиме існування розв'язку рівняння (23) і у випадку, якщо стала 0 ~ С така, що СС ~~ 0  . Aлгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 1 51 ВИСНОВКИ У цьому дослідженні доведено існування рівноваги в економічній системі з монополістами та споживчими уподобаннями, що формуються з ураху- ванням інформації про обсяги випуску товарів. Існування рівноваги означає розв'язність рівнянь, якими вона описується. Кожному їх розв'язку відповідатиме один з можливих станів рівноваги. Установлені умови на задані економічні характеристики гарантуватимуть розв'язність рівнянь рівноваги в заданій області значень, тобто вказано умови реалізації станів рівноваги із заданими властивостями. Такі стани рівноваги гарантують за- безпечення хоча б мінімального рівня задоволення потреб окремих суб'єктів економічної системи. Указано алгоритми знаходження рівноважних харак- теристик. На відміну від попередніх результатів [3] знято встановлені там вимоги на розміщення ненульових елементів матриці попиту. Указано граничні оцінки рівноважних значень економічних характеристик, за якими можна виокремити стани рівноваги з вибраними властивостями. Роботу виконано за часткової підтримки НАН України (проект 0118U003196). ЛІТЕРАТУРА 1. Гончар М.С. Математичні основи інформаційної економіки / М.С. Гончар. — К.: Ін-т теор. фізики, 2007. — 464 с. 2. Debreu G. Existence of competitive equilibrium / G. Debreu // Handbook of Mathe- matical Economics, ed. by K.J.Arrow and M.D.Intriligator. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1982. — Vol. II. — P.698–742. 3. Махорт А.Ф. О влиянии потребительских предпочтений на равновесие в от- крытой экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — № 4. — C. 11–28. 4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1966. — 576 с. 5. Махорт А.П. Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — C. 95–107. 6. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. — М.: Наука, 1984. — 320 с. 7. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — М.: Наука, 1977. — 442 с. Надійшла 19.10.2017
id	journaliasakpiua-article-112310
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:23:14Z
publishDate	2018
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/8f/c46d5040e7e3f2e87416160d519e668f.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1123102018-04-12T11:42:34Z The algorithm for determining the states of equilibrium subject to the dependence of the consumption structure on the volumes of production Алгоритм определения состояний равновесия при условии зависимости структуры потребления от объемов выпуска Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску Makhort, Andrii P. equilibrium monopolies demand supply prices formation равновесие монополисты спрос предложение ценообразование рівновага попит пропозиція монополісти ціноутворення The model describes an economy with monopolies and consumers interests dependent on the production volume of goods. Determined limitations of defined model characteristics prove an equilibrium existence. The equilibrium existence means a solvability of equilibrium equations. An algorithm for solving the equilibrium problem is propoіsed. Each solution corresponds to an equilibrium state of the economy. The algorithm determines the equilibrium states with indicated properties. Discovered optimal values of equilibrium characteristics guarantee an acceptable level of satisfaction of all economy subjects' needs. Evaluated boundary values of equilibrium characteristics lead to an estimation of an attainment of selected equilibrium states. Доказано существование равновесия в экономической системе с монополистами и потребительскими предпочтениями, которые формируются с учетом информации об объемах выпуска товаров. Установлены условия на заданные экономические характеристики, которые обеспечат решимость уравнений равновесия в заданной области значений. Предложен алгоритм нахождения равновесных характеристик. Рассмотрена возможность оптимального выбора равновесных характеристик. Оптимальность связывается с желанием субъектов экономической системы обеспечить наиболее полное удовлетворение своих нужд. Найдены граничные значения экономических характеристик, которые позволяют оценить возможность достижения состояний равновесия с выбранными свойствами. Доведено існування рівноваги в економічній системі з монополістами та споживчими уподобаннями, що формуються з урахуванням інформації про обсяги випуску товарів. Установлено умови на задані економічні характеристики, які гарантуватимуть розв'язність рівнянь рівноваги в заданій області значень. Указано алгоритми знаходження рівноважних характеристик. Розглянуто можливість оптимального вибору значень рівноважних характеристик. Оптимальність пов'язується з бажанням окремих суб'єктів економічної системи забезпечити якомога повніше задоволення своїх потреб. Знайдено граничні оцінки значень економічних характеристик, які дозволяють установити можливість досягнення станів рівноваги з вибраними властивостями. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-03-20 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112310 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.1.03 System research and information technologies; No. 1 (2018); 36-51 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2018); 36-51 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2018); 36-51 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112310/123507 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	рівновага попит пропозиція монополісти ціноутворення Makhort, Andrii P. Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску
title	Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску
title_alt	The algorithm for determining the states of equilibrium subject to the dependence of the consumption structure on the volumes of production Алгоритм определения состояний равновесия при условии зависимости структуры потребления от объемов выпуска
title_full	Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску
title_fullStr	Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску
title_full_unstemmed	Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску
title_short	Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску
title_sort	алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску
topic	рівновага попит пропозиція монополісти ціноутворення
topic_facet	equilibrium monopolies demand supply prices formation равновесие монополисты спрос предложение ценообразование рівновага попит пропозиція монополісти ціноутворення
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/112310
work_keys_str_mv	AT makhortandriip thealgorithmfordeterminingthestatesofequilibriumsubjecttothedependenceoftheconsumptionstructureonthevolumesofproduction AT makhortandriip algoritmopredeleniâsostoânijravnovesiâpriusloviizavisimostistrukturypotrebleniâotobʺemovvypuska AT makhortandriip algoritmviznačennâstanívrívnovagizaumovizaležnostístrukturispoživannâvídobsâgívvipusku AT makhortandriip algorithmfordeterminingthestatesofequilibriumsubjecttothedependenceoftheconsumptionstructureonthevolumesofproduction

Алгоритм визначення станів рівноваги за умови залежності структури споживання від обсягів випуску

Institution

Ähnliche Einträge