Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення
In order to solve the important applied problems it is necessary to approximate the experimental data. In this paper, we consider the problem of adaptive data approximation and propose the general iterative scheme. This procedure has two cycles: internal and external. The external cycle provides cha...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2017
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/119459 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334327183867904 |
|---|---|
| author | Garashchenko, Fedir G. Matvienko, Vladimir T. |
| author_facet | Garashchenko, Fedir G. Matvienko, Vladimir T. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Fedir G. Garashchenko",
"institution": "Кафедра моделювання складних систем факультету комп’ютерних наук та кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ"
},
{
"author": "Vladimir T. Matvienko",
"institution": "Факультет комп’ютерних наук та кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ"
}
] |
| author_sort | Garashchenko, Fedir G. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-04T16:37:16Z |
| description | In order to solve the important applied problems it is necessary to approximate the experimental data. In this paper, we consider the problem of adaptive data approximation and propose the general iterative scheme. This procedure has two cycles: internal and external. The external cycle provides changes to the basic functions structure, their extension if necessary. The internal cycle checks the approximation parameters during receiving the experimental data. The proposed scheme uses the representation of a pseudoinverse operator. Conditions for the convergence of the iterative scheme for approximating signals, which are based on Lyapunov stability theory are given. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.4.09 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матвієнко, 2017
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 109
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 621.391: 519.24
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.4.09
АДАПТИВНА АПРОКСИМАЦІЯ СИГНАЛІВ
З ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДІВ ПСЕВДООБЕРНЕННЯ
Ф.Г. ГАРАЩЕНКО, В.Т. МАТВІЄНКО
Анотація. Для розв’язання ряду важливих прикладних задач необхідно прово-
дити апроксимацію експериментальних даних у реальному часі. Розглянуто
задачу адаптивної апроксимації експериментальних даних. Запропоновано за-
гальну ітераційну схему. Ця процедура має два цикли: зовнішній (передбачає
зміну структури базисних функцій, їх нарощування у разі потреби) і
внутрішній (уточнює параметри апроксимації у міру надходження експери-
ментальних даних). Запропонована схема базується на формі подання псевдо-
оберненого оператора. Наведено умови збіжності ітераційної схеми апрокси-
мації сигналів, які ґрунтуються на теорії стійкості за Ляпуновим.
Ключові слова: адаптивна апроксимація, динамічна система, оптимізація,
псевдоінверсія, ітераційна схема, збіжність.
ВСТУП
Ефективним методом апроксимації вимірюваних сигналів є їх наближення
лінійними комбінаціями систем базисних функцій [1–4]. Невідомі парамет-
ри можна визначати на основі методів псевдообернення, склавши відповідну
систему лінійних алгебричних рівнянь, урахувавши таке:
інформація про сигнал надходить у реальному часі;
самі базисні функції та їх кількість, необхідні для апроксимації, не-
відомі.
Задача полягає в розробленні алгоритмів апроксимації експеримен-
тальних даних, за допомогою яких можна уточнювати параметри
апроксимації, не переобчислюючи їх на кожному етапі в повному обсязі. Це
дає змогу значно швидше розв’язувати складні задачі інформатики та
прикладної математики.
У роботі для апроксимації експериментальних даних запропоновано за-
гальну ітераційну схему. Така процедура являє собою динамічну систему
різницевих рівнянь, записану для шуканих параметрів. Вона має два цикли:
зовнішній (передбачає зміну структури базисних функцій і в разі потреби їх
нарощування) та внутрішній (уточнює параметри апроксимації у міру над-
ходження експериментальних даних). Скільки необхідно брати вимірів для
Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матвієнко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 110
внутрішнього циклу і як довго нарощувати систему базисних функцій — це
проблема, яку можна розв’язати під час розгляду конкретних задач, зокрема
використовуючи підходи з теорії стійкості та чутливості. Наприклад, при
розпізнаванні мовних сигналів наперед невідома структура базисних функ-
цій та їх кількість, які оптимально апроксимують той чи інший звук. Варто
звернути увагу на те, що для аналізу збіжності апроксимації можна викори-
стовувати методи практичної стійкості динамічних систем.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Припустімо, що вимірюється в деякі моменти
Tttttttttttt
NNnNNnn ............ 213122221112110 21
скалярна величина )(tx , а отже, відомо
;)(...,),(),(
11 1112121111 nn txxtxxtxx
;)(...,),(),(
22 2222222121 nn txxtxxtxx
)(),...,(),(...,),( 22113131 NN NnNnNNNN txxtxxtxxtxx . (1)
Задача полягає в апроксимації із заданою наперед точністю в реаль-
ному часі сигналу за допомогою системи базисних функцій
)(),...,(),( 21 ttt N (2)
у вигляді лінійної комбінації
n
i
ii ttx
1
)()( . (3)
При цьому n може змінюватись від 1 до M . Важливим є асимптотич-
не дослідження моделі ( M ).
Параметри апроксимації n ...,,, 21 будемо визначати з умови (3),
ураховуючи те, що кількість базисних функцій та величина вибірки невідомі
для досягненої точності. Для обчислення коефіцієнтів i у виразі (3) роз-
глянемо систему рівнянь
kk
n
i
kkkjkjii nmmjNkxt
kk
,,1,,1,)(
1
, (4)
де km може набувати значень від 1 до kn з позначень (1) залежно від
номера k . Тобто kn — наперед задані обмеження кількості вимірів на
k -й ітерації.
В описаній моделі, використовуючи базисні функції та виміри, отрима-
ємо систему великої розмірності, що значно ускладнює обчислювальні про-
цедури і є небажаним для розв’язання практичних задач, описаних вище.
Тому для визначення параметрів моделі n ...,,, 21 запишемо різницеву
систему.
Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 111
Перепишемо систему (4) у векторно-матричній формі. Для цього вве-
демо позначення:
)(...)()(
............
)(...)()(
)(...)()(
21
22221
11211
),(
kkk
k
kmnkmkm
knkk
knkk
mn
ttt
ttt
ttt
A — відома матриця розмірності
nmk ;
)...,,,( 21
T)(
k
k
kmkk
m xxxb — km -вимірний вектор вимірюваних даних;
)...,,,( 21
T)(
nmmm
n
m kkkk
— вектор невідомих параметрів розмірності n ;
тут і далі символом Т будемо позначати операцію транспонування.
Тоді система (4) набуває вигляду
)()(),( k
k
k mn
m
mn bA . (5)
Розв’язок системи (5) можна подати через псевдообернену матрицю
),( kmnA розмірності kmn :
)(),()( kk
k
mmnn
m bA .
Далі алгоритм адаптивної апроксимації передбачає розбиття на два
етапи: зовнішній і внутрішній з відповідними індексами та змінними циклів
k і kj . На відповідних етапах циклів до системи базисних функцій або ви-
мірів додаються функції з метою уточнення параметрів апроксимації. Робо-
та алгоритму припиняється з виконанням однієї з декількох умов: досягнуто
задану точність , неможливо додавати базисні функції або нарощувати
експериментальні дані.
Припустімо, що за умовами задачі потрібно додавати функції на зовні-
шньому етапі циклу та виміри — на внутрішньому.
Тоді, розширивши систему завдяки ще одній точці експериментальних
даних 1, kmkx на внутрішньому циклі, в системі (4) зросте кількість невідо-
мих параметрів і система набуде вигляду
kk
n
i
kkkjkjii nmmjNkxt
kk
1,1,1,,1,)(
1
. (6)
Переписавши систему (6) у векторно-матричній формі, отримаємо
)1()(
1
)1,(
k
k
k mn
m
mn bA , (7)
де
)()()( 1,1,21,1
),(
)(
1
),(
)1,(
kkk
k
k
k
k
mknmkmk
mn
Tn
m
mn
mn
ttt
A
a
A
A — матриця
розмірності )1( kmn ;
1,
)(
)1(
k
k
k
mk
m
m
x
b
b — 1km -вимірний вектор віль-
Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матвієнко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 112
них членів; )(
1
n
mk
— вектор шуканих параметрів розмірності n на )1( km -й
ітерації.
Розв’язок системи (7) можна записати через псевдообернену матрицю
)1( kmA :
)1()1,()(
1
kk
k
mmnn
m bA . (8)
Оскільки матрицю )1(mA можна виразити через псевдообернені та
проекційні матриці на km -й ітерації, то для пошуку вектора шуканих пара-
метрів запишемо ітераційну схему. Справедлива така теорема.
Теорема 1. Для коригування вектора невідомих параметрів послідов-
ним нарощуванням вимірюваних даних виконується ітераційна схема
...,2,1,)()(),()(
1 k
n
m
n
m
mnn
m mL
kk
k
k
(9)
з початковими умовами
T)(
1
)(
1
T)(
1
)1(
T)1,()1,(
T)1,()1(
)(
1 nn
n
nn
n
n
aa
ab
AA
Ab
.
Таким чином, для коригування параметрів записано лінійну різницеву
схему (9). Доведення теореми полягає в тому, щоб подати матрицю
)1,( kmnA через матрицю ),( kmnA , проекційні матриці )( ),( kmnAZ і
)( ),( kmnAR на m -й ітерації і підставити в систему (8).
У роботі наведемо формули лише для обчислення матриці ),( kmnL та
вибору )(n
mk
для двох випадків [5–6].
Випадок 1. Припустімо, що для матриці ),( kmnA виконується співвід-
ношення
0)( )(
1
),(T)(
1
n
m
mnn
m k
k
k
aAZa .
Тоді матриця ),( kmnL і вектор )(n
mk
розмірностей nn і n відповідно
мають вигляд
T)(
1)(
1
),(T)(
1
)(
1
),(
),(
)(
)(
n
mn
m
mnn
m
n
m
mn
n
mn
k
k
k
k
k
k
k a
aAZa
aAZ
EL ;
1,)(),(T)(
)(),(
)(
11
1
)(
)(
k
k
k
k
k
k
k mkn
m
mnn
m
n
m
mn
n
m x
aAZa
aAZ
,
де nE — одинична матриця розмірності n .
Для цього випадку проекційні матриці )( )1,( kmnAZ і )( )1,( kmnAR об-
числюються ітераційно за такими формулами:
Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 113
T)(
1
),(
)1,( )( n
m
mn
mn
k
k
k
a
A
ZAZ
)(
1
),(T)(
1
),(T)(
1
)(
1
),(
),(
)(
)()(
)(
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
mn
k
k
k
k
kk
k
k
aAZa
AZaaAZ
AZ
; (10)
)(
1
),(T)(
1
),(T)(
1
)(
1
),(
),(
T)(
1
),(
)1,(
)(
)()(
)()(
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
mn
n
m
mn
mn
k
k
k
k
kk
k
k
k
k
k
aAZa
ARaaAZ
AR
a
A
RAR
2)(
1
),(T)(
1
),(T)(
1
)(
1
),(
)(
1
),(T)(
1
),(T,)(
1
)(
1
),(
))((
)()(
)(
)()(
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
k
k
k
k
kk
k
k
k
k
k
kk
k
aAZa
AZaaAZ
aAZa
AZaaAR
).)(1( )(
1
),(T)(
1
n
m
mnn
m k
k
k
aARa (11)
Випадок 2. Якщо для матриці ),( kmnA виконується рівність
0)( )(
1
),(T)(
1
n
m
mnn
m k
k
k
aAZa ,
то матриця ),( kmnL і вектор )(n
mk
обчислюються за формулами:
)(
1
),()(
1
)(
1
)(
1
),(
),(
)(1
)(
n
m
mnTn
m
Tn
m
n
m
mn
n
mn
k
k
k
kk
k
k
aARa
aaAR
EL ;
1,)(
1
),(T)(
1
)(
1
),(
)(
)(1
)(
k
k
k
k
k
k
k mkn
m
mnn
m
n
m
mn
n
m x
aARa
aAR
.
Проекційні оператори в цьому випадку обчислюються таким чином:
)()( ),(
T)(
1
),(
)1,( k
k
k
k mn
n
m
mn
mn AZ
a
A
ZAZ
; (12)
T)(
1
),(
)1,( )( n
m
mn
mn
k
k
k
a
A
RAR
)(
1
),(T)(
1
),(T)(
1
)(
1
),(
),(
)(1
)()(
)(
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
mn
k
k
k
k
kk
k
k
aARa
ARaaAR
AR
. (13)
За означенням проекційні матриці )(AZ і )(AR для матриці A визна-
чаються за формулами
T)(,)( AAARAAEAZ n . (14)
Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матвієнко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 114
Згідно з (14) для ітераційного обчислення матриць (10), (11) і (12), (13)
необхідно спочатку визначити )( )1,(nAZ і )( )1,(nAR за формулами:
2)(
1
T)(
1
T)(
1
)(
1
2T)1,()1,(
)1,(T)1,(
T)(
1
)1,(
)()(
)()(
nn
nn
nnn
nn
n
nn
aa
aa
E
AA
AA
EaZAZ ;
TT)(
1
T)(
1
T)1,()1,(T)(
1
)1,( )()()()()( nnnnnn aaAAaRAR
.
2)(
1
T)(
1
T)(
1
)(
1
)(
1
T)(
1
)(
1
)(
1
T)(
1
)(
1
T)1,()1,(
)1,(
)1,()1,(
)1,(
)( nn
nn
nn
Tn
nn
n
nn
n
Еnn
Еn
aa
aa
aa
a
aa
a
AA
A
AA
A
Ітераційну схему (9) можна досліджувати на збіжність за допомогою
аналога другого методу Ляпунова для різницевих рівнянь. Вважатимемо, що
— розв’язок задачі, тобто )(n
mk
, якщо km . Тоді заміною
)()( n
m
n
m kk
y
систему (9) запишемо у нових змінних:
...,2,1),( )()()(
1 k
n
m
n
m
n
m myfy
kkk
(15)
Задача аналізу збіжності ітераційної процедури (9) буде еквівалентною
дослідженню стійкості різницевої схеми (15). При цьому ,0)( n
mk
y
...,2,1km називають незбуреним розв’язком.
Означення 1. Незбурений розв’язок системи (15) називають стійким за
Ляпуновим, якщо для будь-якого 0 можна вказати таке 0)( , що на
розв’язках системи (15) виконується нерівність ...,2,1,)( k
n
m my
k
за умо-
ви )(
1
ny (тут і далі під )(n
mk
y будемо розуміти евклідову норму вектора
)(n
mk
y ).
Якщо, крім означення 1, на розв’язках системи (15) виконується умова
0lim )(
n
mm k
k
y при )(
1
ny , то незбурений рух системи (15) називають
асимптотично стійким за Ляпуновим.
Справедливі такі теореми.
Теорема 2. Нехай в області
)()( : n
m
n
m kk
yyY
для системи різницевих рівнянь (15) можна вказати додатно визначену по-
слідовність функцій Ляпунова ,...2,1),( )( k
n
mm myV
kk
, а її перша різниця на
розв’язках розглянутої системи буде недодатною, тобто
0)())(()()( )()()(
1
)()(
11
n
mm
n
m
n
mm
n
mm
n
mmm kkkkkkkkkk
yVyfVyVyVV ,
Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 115
то незбурений розв’язок є стійким за Ляпуновим.
Теорема 3. Якщо за умов попередньої теореми щодо послідовності
функцій Ляпунова ...,2,1),( )( k
n
mm myV
kk
перша різниця ...,2,1, km mV
k
на розв’язках системи (15) є від’ємно визначеною, то незбурений розв’язок
системи (15) є асимптотично стійким.
Необхідно зазначити, що для випадку 2 послідовність функцій Ляпуно-
ва можна вибирати у вигляді
...,2,1,)(),(T)()1( k
n
m
mnn
mm myByV
k
k
kk
,
де )(n
mk
B — деякі додатно визначені матриці.
Теорема 4. Якщо — розв’язок системи (4) для будь-якого km , то сис-
тема різницевих рівнянь для збуреного руху, тобто відносно векторів )(n
mk
y ,
буде мати вигляд
...,2,1,)(),()(
1 k
n
m
mnn
m myLy
k
k
k
. (16)
Таким чином, для цього випадку дослідження збіжності ітераційної
процедури (9) за збурених початкових даних еквівалентне аналізу стійкості
лінійної різницевої системи (16). Згідно з принципом стиснених відобра-
жень Банаха різницева система (16) буде асимптотично стійкою, якщо
...,2,1,)()()( myyL mmm
Розглянемо процедуру зовнішнього циклу запропонованого алгоритму,
коли до системи базисних функцій (2) додаємо ще одну функцію )(1 tn .
Тоді в системі типу (4) змінюється кількість невідомих параметрів:
kk
n
i
kkkjkjii nmmjNkxt
kk
,,1,,1,)(
1
1
. (17)
Запишемо систему (17) у векторно-матричній формі
)()1(),1( k
k
k mn
m
mn bA , (18)
де ),( )1(),(),1( n
m
mnmn
k
kk aAA — матриця розмірності )1( nmk ; Tn
mk
a )1(
))(...,),(),(( 12111 kkmnknkn ttt — відомий вектор розмірності km ;
),( 1,
T)(T)1(
nm
n
m
n
m kkk
— )1( n -вимірний вектор шуканих змінних на
)1( n -й ітерації.
Розв’язок системи (18) можна записати через псевдообернену матрицю
),1( kmnA
)(),1()1( kk
k
mmnn
m bA .
Оскільки в цьому випадку псевдообернена матриця ),1( kmnA виража-
ється через псевдообернену та проекційні матриці на n -й ітерації, для по-
Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матвієнко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 116
шуку вектора невідомих параметрів можна записати різницеву схему. Спра-
ведлива така теорема.
Теорема 5. Для коригування вектора невідомих параметрів за послідов-
ного розширення системи базисних функцій і незмінних вимірів сигналу
справедливою є ітераційна схема
...,2,1,)()(),()1( nuQ n
m
n
m
mnn
m kk
k
k
з початковими умовами для скалярної величини )1(
km :
)(
),1(T),1(
T),1(
)1( k
kk
k
k
m
mm
m
m b
AA
A
.
У випадку коли
0)( )1(),(T)1( n
m
mnn
m k
k
k
aAZa ,
матриця ),( kmnQ і вектор )(n
mk
u набувають вигляду
0
),( nmn E
Q k ; (19)
)1(T),(T)1(
)(T),(TT)1(
)1(T),(T)1(
)(T),(TT)1()1(),(
)(
)(
)(
)(
)(
n
m
mnn
m
mmnn
m
n
m
mnn
m
mmnn
m
n
m
mn
n
m
k
k
k
kk
k
k
k
k
kk
kk
k
k
aAZa
bAZa
aAZa
bAZaaA
u .
Для цього випадку проекційні матриці )( ),1( kmnAZ і )( ),1( kmnAR
обчислюються ітераційно за такими формулами:
)()()( T),(T)1(),(),1( k
k
kk mnn
m
mnmn AZaAZAZ
)1(T),(T)1(
T),(T)1()1(T),(
)(
)()(
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
k
k
k
k
kk
k
aAZa
AZaaAZ
;
)()( )1(),(T),( n
m
mnmn
k
kk aARAR
)1(T),(T)1(
T),(T),1(),1(T),(
T),(
)(
)()(
)(
n
m
mnn
m
mnmn
m
mn
m
mn
mn
k
k
k
kk
k
k
k
k
k
aAZa
ARaaAZ
AR
)1(T),(T)1(
T),(T)1()1(T),(
)(
)()(
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
k
k
k
k
kk
k
aAZa
AZaaAR
.))(1(
))((
)()(
)1(T),(T)1(
2)1(T),(T)1(
T),(T)1()1(T),(
n
m
mnn
mn
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
k
k
k
k
k
k
k
kk
k
aARa
aAZa
AZaaAZ
Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення
Системні дослідження та інформаційні технології, 2017, № 4 117
У випадку, коли матриця ),( kmnA задовольняє умову
0)( )1(T),(T)1( n
m
mnn
m k
k
k
aAZa ,
матриця ),( kmnQ має вигляд (19):
)1(T),(T)1(
)(T),(TT)1(
)1(T),(T)1(
)(T),(TT)1()1(),(
)(
)(1
)(
)(1
)(
n
m
mnn
m
mmnn
m
n
m
mnn
m
mmnn
m
n
m
mn
n
m
k
k
k
kk
k
k
k
k
kk
kk
k
k
aAZa
bARa
aARa
bAZaaA
u ,
Проекційні матриці )( ),1( kmnAZ і )( ),1( kmnAR обчислюються таким
чином:
)()()( T),()1(),(),1( k
k
kk mnn
m
mnmn AZaAZAZ ;
)()()( T),()1(),(),1( k
k
kk mnn
m
mnmn ARaARAR
)1(T),(T)1(
T),(T)1()1(T),(
)(1
)()(
n
m
mnn
m
mnn
m
n
m
mn
k
k
k
k
kk
k
aARa
ARaaAR
;
2)1()1(
T)1()1(
2),1(T),1(
T),1(),1(
T)1(T),1(
)()(
)()(
kk
kk
kkk
kk
k
k
m
T
m
mm
mmm
mm
Nm
m
aa
aa
E
AA
AA
EaZAZ ;
),1(T),1(
T),1(
),1(T),1(
),1(
T)1(T),1( )()(
kk
k
kk
k
k
k
mm
m
mm
m
m
m
AA
A
AA
A
aRAR
2)1(T)1(
T)1()1(
2),1(T),1(
T),1(),1(
)()(
kk
kk
kk
kk
mm
mm
mm
mm
aa
aa
AA
AA
.
ВИСНОВОК
Запропонований алгоритм адаптивної апроксимації даних ефективно засто-
совується для розв’язання прикладних задач. Наведені умови збіжності ал-
горитму апроксимації підтверджують ефективність процедури в реальному
часі. Такий підхід до апроксимації даних дає змогу їх використовувати для
розв’язання задач розпізнавання.
ЛІТЕРАТУРА
1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. — М. Наука,
1965. — 407 с.
2. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение
в системах оптимизации / Ю.Г. Евтушенко. — М.: Наука, 1982. — 432 с.
Ф.Г. Гаращенко, В.Т. Матвієнко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2017, № 4 118
3. Бублик Б.Н. Структурно-параметрическая оптимизация и устойчивость дина-
мики пучков / Б.Н. Бублик, Ф.Г. Гаращенко, Н.Ф. Кириченко. — К.: Наук.
думка, 1985. — 304 с.
4. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений /
Д.И. Мартынюк. — К.: Наук. думка, 1972. — 246 с.
5. Гаращенко О.Ф. Об одном методе последовательного построения матриц орто-
гональных преобразований / О.Ф. Гаращенко , Н.Ф. Кириченко // Проблемы
управления и информатики. — 2005. — № 1. — С. 75–87.
6. Гаращенко Ф.Г. Адаптивные модели аппроксимации сигналов в структурно-
параметрических классах функций / Ф.Г. Гаращенко, О.С. Дегтяр, О.Ф. Швець
// Проблемы управления и информатики. — 2011. — № 2. — С. 69–77.
Надійшла 05.09.2017
|
| id | journaliasakpiua-article-119459 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:22Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/25/faba06b7a989e363cb128b403a158525.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1194592018-04-04T16:37:16Z Adaptive approximation of signals using pseudoinversion methods Адаптивная аппроксимация сигналов с использованием методов псевдообращения Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення Garashchenko, Fedir G. Matvienko, Vladimir T. adaptive approximation dynamical system optimization pseudoinversion iterative scheme convergence адаптивная аппроксимация динамическая система оптимизация псевдоинверсия итерационная схема сходимость адаптивна апроксимація динамічна система оптимізація псевдоінверсія ітераційна схема збіжність In order to solve the important applied problems it is necessary to approximate the experimental data. In this paper, we consider the problem of adaptive data approximation and propose the general iterative scheme. This procedure has two cycles: internal and external. The external cycle provides changes to the basic functions structure, their extension if necessary. The internal cycle checks the approximation parameters during receiving the experimental data. The proposed scheme uses the representation of a pseudoinverse operator. Conditions for the convergence of the iterative scheme for approximating signals, which are based on Lyapunov stability theory are given. При решении ряда важных прикладных задач необходимо проводить аппроксимацию экспериментальных данных в реальном времени. Рассмотрена задача адаптивной аппроксимации эксперементальных данных. Предложена общая итерационная схема. Эта процедура имеет два цикла: внешний (предусматривает изменение структуры базисных функций, их наращивание при необходимости) и внутренний (уточняет параметры аппроксимации по мере поступления экспериментальных данных). Предложенная схема базируется на форме представления псевдообратного оператора. Приводятся условия сходимости итерационной схемы аппроксимации сигналов, которые базируются на теории устойчивости по Ляпунову. Для розв’язання ряду важливих прикладних задач необхідно проводити апроксимацію експериментальних даних у реальному часі. Розглянуто задачу адаптивної апроксимації експериментальних даних. Запропоновано загальну ітераційну схему. Ця процедура має два цикли: зовнішній (передбачає зміну структури базисних функцій, їх нарощування у разі потреби) і внутрішній (уточнює параметри апроксимації у міру надходження експериментальних даних). Запропонована схема базується на формі подання псевдооберненого оператора. Наведено умови збіжності ітераційної схеми апроксимації сигналів, які ґрунтуються на теорії стійкості за Ляпуновим. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2017-12-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/119459 10.20535/SRIT.2308-8893.2017.4.09 System research and information technologies; No. 4 (2017); 109-118 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2017); 109-118 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2017); 109-118 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/119459/114244 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | адаптивна апроксимація динамічна система оптимізація псевдоінверсія ітераційна схема збіжність Garashchenko, Fedir G. Matvienko, Vladimir T. Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення |
| title | Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення |
| title_alt | Adaptive approximation of signals using pseudoinversion methods Адаптивная аппроксимация сигналов с использованием методов псевдообращения |
| title_full | Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення |
| title_fullStr | Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення |
| title_full_unstemmed | Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення |
| title_short | Адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення |
| title_sort | адаптивна апроксимація сигналів з використанням методів псевдообернення |
| topic | адаптивна апроксимація динамічна система оптимізація псевдоінверсія ітераційна схема збіжність |
| topic_facet | adaptive approximation dynamical system optimization pseudoinversion iterative scheme convergence адаптивная аппроксимация динамическая система оптимизация псевдоинверсия итерационная схема сходимость адаптивна апроксимація динамічна система оптимізація псевдоінверсія ітераційна схема збіжність |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/119459 |
| work_keys_str_mv | AT garashchenkofedirg adaptiveapproximationofsignalsusingpseudoinversionmethods AT matvienkovladimirt adaptiveapproximationofsignalsusingpseudoinversionmethods AT garashchenkofedirg adaptivnaâapproksimaciâsignalovsispolʹzovaniemmetodovpsevdoobraŝeniâ AT matvienkovladimirt adaptivnaâapproksimaciâsignalovsispolʹzovaniemmetodovpsevdoobraŝeniâ AT garashchenkofedirg adaptivnaaproksimacíâsignalívzvikoristannâmmetodívpsevdoobernennâ AT matvienkovladimirt adaptivnaaproksimacíâsignalívzvikoristannâmmetodívpsevdoobernennâ |